SUJETS DE TD Table des mati`eres Circuit RLC série 3 Circuit LC

Licence 3 IST
Signaux et systèmes linéaires
SUJETS DE TD
Table des matières
Circuit RLC série
Circuit LC série
Circuit RLC série
Circuit RLC série
Oscillations d’une masse
Base de Fourier
Famille d’exponentielles réelles
Signaux de Rademacher
Famille des sinus cardinaux décalés
Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Décomposition en cosinus discret
Famille de cosinus
Deux calculs de convolutions simples
Convolution de sinus cardinaux
Étude d’un filtre dérivateur à temsp discret
Étude d’un filtre dérivateur à temps discret
Étude d’un filtre intégrateur à temps discret
Étude d’un filtre moyenneur à temps discret
Séries de Fourier et dérivation
Série de Fourier et redresseur
Série de Fourier de créneaux carrés
Série de Fourier de créneaux triangulaires
Corde vibrante
Conduction de chaleur dans un milieu fini
Transformée de Fourier des doubles exponentielles
Transformée de Fourier des exponentielles monolatères
Transformée de Fourier de fréquences pures observées sur un horizon fini
Transformée de Fourier des gaussiennes
Système Radar
Étalement spectral/temporel. Inégalité de Heisenberg
Conduction de chaleur dans un milieu infini
Quizz des transformée de Fourier
Un peu d’optique : diffraction à l’infini et interférences
Transformée de Fourier des doubles exponentielles (à temps discret)
Transformée de Fourier de fréquences pures observées sur un horizon fini (à temps discret)
Erreur d’interpolation et filtre anti-repliement
M. Kowalski
1
3
3
4
4
5
6
6
7
7
8
8
9
10
10
11
11
12
12
12
13
13
14
14
16
17
18
18
19
19
20
21
23
23
25
25
26
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
Algorithme de transformée de Fourier rapide
Transformée en Z de la double exponentielle à temps discret
Transformée en Z inverse d’une fraction rationnelle d’ordre 1
Transformée en Z inverse d’une fraction rationnelle d’ordre 2
Étude d’un filtre donné par sa fonction de transfert en z
Étude d’un filtre donné par sa fonction de transfert en z
Étude d’un filtre donné son transfert en z
Transformée en Z de la fonction porte à temps discret
Sous échantillonnage – Interpolation – transformée en Z
Filtre tout pôle d’ordre 1
Équation différentielle et transformée de Laplace
Transformée de Laplace de la double exponentielle
Circuit RC et transformée de Laplace
Transformée de Laplace bilatérale de la fonction porte
Transformée de Laplace inverse d’une fraction rationnelle d’ordre 1
Transformée de Laplace des exponentielles généralisées tronquées
Transformée de Laplace inverse d’une fraction rationnelle d’ordre 2
2
26
28
28
28
29
29
29
29
30
31
31
32
32
33
33
33
34
L
R
C
i(t)
"
e(t)
−−−−−−−→
!
H
s(t)
−−−−−−−→
Signaux et systèmes v(t)
linéaires
2
Signaux et systèmes
linéairesl’équation
Déterminez
Sujets de TD
différentielle qui relie e(t) et s(t).
Exercice 1 — Circuit RLC série. On travaille avec le circuit RLC série donné sur la figure suivante, à gauche.
Exercice
1. —
Circuit
RLC
série.
Les
sont
supposés
parfaits.avec
On le
l’analyse
soussérie
forme
entrée–sortie,
comme
indiqué
sur le schéma
Exercice
2 composants
— Circuit
LC
série.
On travaille
circuit LC
donné
sur la figure
suivante,
à gauche.
On travaille avec le circuit RLC série donné sur la figure suivante, à gauche. Les composants sont
de droite sont
: l’entrée
e(t) parfaits.
est la tension
v(t) auxsous
bornes
du circuit
et la sortie
est s(t)
l’intensité
qui traverse le
Les composants
supposés
On l’analyse
forme
entrée–sortie,
comme
indiqué
sur le schéma
supposés parfaits. On l’analyse sous forme entrée–sortie, comme indiqué sur le schéma de droite :
circuit
i(t).
de droite
: l’entrée
la tension
bornes
du circuit
et sortie
la sortie
l’intensité
traverse
l’entrée
e(t)e(t)
est est
la tension
v(t)v(t)
auxaux
bornes
du circuit
et la
est est
s(t)s(t)
l’intensité
qui qui
traverse
le le
circuit i(t).
circuit i(t).
Signaux et systèmes linéaires
Signaux et systèmes linéaires L
R
2
C
2
e(t)
s(t)
i(t)
L
C
"
−−−−série
−→ donné H
−−
−−−−−→à gauche.
i(t)
Exercice
1 — Circuit RLC série. On travaille
avec le e(t)
circuit−−
RLC
sur la figure
suivante,
s(t)
"
−sous
−−−donné
−forme
−→ sur
−−−−
−−→ sur le schéma
Exercice 1 —Les
Circuit
RLC série.
Onsupposés
travaille parfaits.
avec le circuit
RLC−série
la figure
à−
gauche.
composants
sont
On l’analyse
entrée–sortie,
comme
indiqué
H suivante,
!
Les composants
supposés
parfaits.
sous
forme
entrée–sortie,
comme
indiqué
sur l’intensité
le schémaqui traverse le
de sont
droite
: l’entrée
e(t) estOnla l’analyse
tension v(t)
aux
bornes
du circuit et
la sortie
est s(t)
v(t)!
de droite : l’entrée
est la tension v(t)
aux bornes du circuit et la sortie est s(t) l’intensité qui traverse le
circuite(t)
i(t).
v(t)
circuit i(t).
Déterminez l’équation différentielle qui relie e(t) et s(t).
(1) Déterminez l’équation différentielle qui relie e(t) et s(t).
C linéaire.
quitravaille
relie
e(t)
et s(t)
.
1. Déterminez
(2) Montrez
qu’ildifférentielle
s’agit
d’unOn
système
Exercice
2l’équation
—L Circuit
LC Rsérie.
avec
le circuit
LC série donné sur la figure suivante, à gauche.
e(t)entrée–sortie, comme indiqué sur
s(t)
LLes composants
R
C
i(t)
(3) Montrezsont
qu’ilsupposés
est en plus
invariant.
parfaits.
On "
l’analyse sous forme
le schéma
−−−−−
−−→
−−−−−−−→
H
e(t)
s(t)
i(t)
2. Montrez
qu’il
s’agit
d’un
système
linéaire
et
invariant.
de droite
: l’entrée libres.
e(t) estLelacircuit
tensionestv(t)
aux−−
bornes
dupour
circuit
sortie
est
l’intensité
qui traverse le
(4) Solutions
supposé
ouvert
t <et0 la
à l’instant
t −=
"
−
−−−−→
−−−s(t)
−−
−
→0 on le met
H et s(t)
circuit i(t).
en court circuit. Déterminez la sortie
s(t),
t
∈
R.
Le
signal
est-il
un
signal
causal,
!
3. Solutions périodique,
libres. Le circuit
supposéfinie
ouvert
stable,est
d’énergie
? pour t < 0 et à l’instant t = 0 on le met en court
! t ∈ . Dans quelle condition physique le signal s(t) est-il non
s(t),
circuit. Déterminez la sortie v(t)
(5) Solutions
forcées. Le circuit est supposé forcé à v(t) = v0 cos(2πf t + ϕ), pour t ∈ R+ .
v(t)
nul ?
Déterminez la sortie s(t). Le signal s(t) est-il un signal causal, périodique, stable, d’énergie
Déterminez
l’équation différentielle qui relie e(t) et s(t).
finie ?
L
C
4. Solutions forcées.
Le
circuit
est
supposé
forcé à v(t)
v0 cos
[2πf
t + ϕ], pour t ∈ + et ouvert
Déterminez l’équation différentielle
qui =
relie
e(t)e(t)
et s(t).
i(t)
s(t)
avant. Déterminez
la
sortie
s(t)
.
−−−série
−−→ donné sur
−−−−−−→à gauche.
H la figure−suivante,
Exercice 2 "
— Circuit LC série. On travaille avec le circuit−−LC
Exercice
— sont
Circuit
LC série.
Exercice 2 —Les
Circuit
LC2.série.
Onsupposés
travaille
avec le circuit
LC série
donné
surentrée–sortie,
la figure suivante,
gauche. sur le schéma
composants
parfaits.
On l’analyse
sous
forme
commeà indiqué
On
travaille
avec
le
circuit
LC
série
donné
sur
la
figure
suivante,
à
gauche.
Les
composants
sont
!
Les composants
supposés
parfaits.
sousaux
forme
entrée–sortie,
comme
indiqué
sur l’intensité
le schéma
de sont
droite
: l’entrée
e(t) estOnla l’analyse
tension v(t)
bornes
du circuit et
la sortie
est s(t)
qui traverse le
supposés parfaits. On l’analyse
sous forme entrée–sortie, comme indiqué sur le schéma de droite :
v(t)
de droite
:
l’entrée
e(t)
est
la
tension
v(t)
aux
bornes
du
circuit
et
la
sortie
est
s(t)
l’intensité
qui
traverse
le
circuit
i(t).
Exercicel’entrée
3 — Circuit
série. On
travaille
avec le
surl’intensité
la figure suivante,
à gauche.
e(t) estRLC
la tension
v(t)
aux bornes
ducircuit
circuitRLC
et la série
sortiedonné
est s(t)
qui traverse
le
circuitLes
i(t).composants
sont
supposés
parfaits.
On
l’analyse
sous
forme
entrée–sortie,
comme
indiqué
sur
le
schéma
circuit i(t).
de droite : l’entrée e(t) est la tension totale v(t) aux bornes du circuit et la sortie s(t) est la tension aux bornes
l’équation différentielle qui relie e(t) et s(t).
1. vDéterminez
de la bobine
L (t).
L
C
i(t) qu’il
s(t)
2. LMontrez
C s’agit d’un système linéaire et invariant. e(t)
"
−−−−−−−→
i(t)
H s(t) −−−−−−−→
e(t)
" 3. Solutions libres. Le circuit est supposé −
−−−−−pour
−→ t < 0 H
ouvert
et à l’instant−−t−−
=−−
0−→
on le met en court
!
circuit. Déterminez la sortie s(t), t ∈ . Dans quelle condition physique le signal s(t) est-il non
! v(t)
nul ?
v(t)
4. Solutions forcées. Le circuit est supposé forcé à v(t) = v0 cos [2πf t + ϕ], pour t ∈ + et ouvert
Jean-François(1)
Giovannelli
Sujets de travaux dirigés
Déterminez
la sortie
s(t).
Déterminez
l’équation
différentielle
quirelie
reliee(t)
e(t)etets(t)
s(t).
Déterminez
l’équation
différentielle
qui
.
1.avant.
différentielle
e(t) et
s(t). et invariant.
1. Déterminez l’équation
(2) Montrez
qu’il s’agit qui
d’unrelie
système
linéaire
2. Montrez qu’il s’agit d’un système linéaire et invariant.
2. MontrezExercice
qu’il s’agit
d’un
système
et invariant.
3 le circuit RLC série donné sur la figure suivante, à gauche.
3 —
Circuit
RLClinéaire
série. On
travaille avec
3. Solutions libres. Le circuit est supposé ouvert pour t < 0 et à l’instant t = 0 on le met en court
Les composants sont supposés parfaits. On l’analyse sous forme entrée–sortie, comme indiqué sur le schéma
s(t),pour
t ∈ t<
. Dans
condition
circuit.
Déterminez
la sortie
3. Solutions libres.
Le circuit
est supposé
ouvert
0 et àquelle
l’instant
t = 0 physique
on le metleensignal
courts(t) est-il non
de droite : l’entrée e(t) est la tension totale v(t) aux bornes du circuit et la sortie s(t) est la tension aux bornes
circuit. Déterminez
nul ? la sortie s(t), t ∈ . Dans quelle condition physique le signal s(t) est-il non
de la bobine vL (t).
nul ?
4. Solutions forcées. Le circuit est supposé forcé à v(t) = v0 cos [2πf t + ϕ], pour t ∈ + et ouvert
4. Solutions forcées.
circuit est la
supposé
forcé
avant.LeDéterminez
sortie s(t)
. à v(t) = v0 cos [2πf t + ϕ], pour t ∈ + et ouvert
avant. Déterminez la sortie s(t).
Signaux et systèmes linéaires
2
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
Exercice 1 — Circuit RLC série. On travaille avec le circuit RLC série donné sur la figure suivante, à gauche.
Les composants sont supposés parfaits. On l’analyse sous forme entrée–sortie, comme indiqué sur le schéma
(3) Solutions libres. Le circuit est supposé ouvert pour t < 0 et à l’instant t = 0 on le met en
de droite : l’entrée e(t)
est circuit.
la tension
v(t) aux la
bornes
circuit
la sortie
estcondition
s(t) l’intensité
quiletraverse
le
court
Déterminez
sortiedu
s(t),
t ∈ R.et Dans
quelle
physique
signal s(t)
circuit i(t).
est-il non nul ?
(4) Solutions forcées. Le circuit est supposé forcé à v(t) = v0 cos(2πf t + ϕ), pour t ∈ R+ et
ouvert avant. Déterminez la sortie s(t).
L
R
C
e(t)
s(t)
Exercice 3. — Circuit RLC série.
i(t)
"
−
−
−
−
−
−
−
→
−
−
−
−
−
−
−→
On travaille
avec
le circuit RLC série donné sur la figure suivante,
sont
Hà gauche. Les composants
Signaux
et systèmes
linéaires
supposés parfaits. On l’analyse sous forme entrée–sortie, comme indiqué sur le schéma de droite :
l’entrée e(t) est la tension v(t)!aux bornes du circuit et la sortie est s(t) l’intensité qui traverse le
circuit i(t). v(t)
Déterminez l’équation différentielle
qui relie e(t) et s(t).
!
C
Exercice 2 — Circuit LC série. On travaille avec le circuit LC série donné sur la figure suivante, à gauche.
Les composants sont supposés parfaits. On l’analyse sous forme entrée–sortie, comme indiqué sur le schéma
de droite : l’entrée e(t) est la tension v(t) aux bornes du circuit et la sortie est s(t) l’intensité qui traverse le
circuit i(t).
e(t)
s(t)
v(t)
−−−−−−−→
−−−−−−−→
R
H
L
!
C
L
i(t)
"
vL (t)
e(t)
−−−−−−−→
!
H
s(t)
−−−−−−−→
v(t)
(1) Déterminez l’équation différentielle qui relie e(t) et s(t).
1. Déterminez l’équation différentielle qui relie e(t) et s(t).
Caractéristiques
du système.
l’équation
différentielle
qui relie e(t) et s(t).
1. Déterminez(2)
(a) Montrez qu’il s’agit d’un système linéaire.
2. Caractéristique
du système.
2. Montrez qu’il s’agit
d’un système
linéaire
et invariant.
(b) Montrez
qu’il est
en plus
invariant.
2a. Démontrez qu’il s’agit d’un système linéaire.
3. Solutions libres. Le circuit est supposé ouvert pour t < 0 et à l’instant t = 0 on le met en court
Exercice 4.la—sortie
Circuit
RLC
s(t),
t ∈série.
. Dans quelle condition physique le signal s(t) est-il non
circuit. Déterminez
2b.
Démontrez
qu’il est
en plus
On
travaille
avec
le
circuit
RLC
sérieinvariant.
donné sur la figure suivante, à gauche. Les composants sont
nul ?
supposés parfaits. On l’analyse sous forme entrée–sortie, comme indiqué sur le schéma de droite :
3.forcées.
Réponse
indicielle.
Le
circuit
est
ouvert
à l’instant
t = 0aux
on bornes
impose une
l’entrée
e(t)Le
estcircuit
la tension
totale
v(t)
auxsupposé
et la
sortie
s(t)
est
4. Solutions
est supposé
forcé
àbornes
v(t) =du
v0circuit
cos pour
[2πf
tt +<
ϕ]0, et
pour
t ∈la tension
+ et ouvert
de latension
bobine constante
L (t).
avant. Déterminez
la vsortie
s(t)v(t)
. = v0 .
(1) Déterminez l’équation différentielle qui relie e(t) et s(t).
3a. Que vaut e(t), t ∈
? Déterminez la sortie s(t), t ∈
(2) Caractéristiques du système.
.
Exercice 3 — Circuit
série. On
le circuit
série donné
la figurefinie
suivante,
à gauche.
3b.RLC
Le signal
s(t)travaille
est-il unavec
signal
causal,RLC
périodique,
stable,sur
d’énergie
?
4
Les composants sont supposés parfaits. On l’analyse sous forme entrée–sortie, comme indiqué sur le schéma
de droite : l’entrée
e(t) est laforcées.
tension totale
v(t)est
auxsupposé
bornes forcé
du circuit
et =
la vsortie
4. Solutions
Le circuit
à v(t)
[2πfest
t +laϕ]tension
, pour taux
∈ bornes
.
0 cos s(t)
de la bobine vL (t).
4a. Déterminez la sortie s(t).
4b. Le signal s(t) est-il un signal causal, périodique, stable, d’énergie finie ?
3
L
R
C
i(t)
Signaux et systèmes linéaires
"
e(t)
−−−−−−−→
!
H
s(t)
−−−−−−−→
Signaux et systèmes linéaires
v(t)
3
Sujets de TD
Déterminez l’équation différentielle
qui relie e(t) et s(t).
!
C
Exercice 2 — Circuit LC série. On travaille avec le circuit LC série donné sur la figure suivante, à gauche.
Les composants sont supposés parfaits. On l’analyse sous forme entrée–sortie, comme indiqué sur le schéma
de droite : l’entrée e(t) est la tension v(t) aux bornes du circuit et la sortie est s(t) l’intensité qui traverse le
circuit i(t).
e(t)
s(t)
v(t)
−−−−−−−→
−−−−−−−→
R
H
L
!
C
L
i(t)
"
vL (t)
e(t)
−−−−−−−→
!
H
s(t)
−−−−−−−→
v(t)
(a) Démontrez qu’il s’agit d’un système linéaire.
1. Déterminez
l’équation
qui relie e(t) et s(t).
(b) Démontrez
qu’ildifférentielle
est en
plus
différentielle
qui
relie
e(t)invariant.
et s(t).
1. Déterminez l’équation
(3) Réponse indicielle. Le circuit est supposé ouvert pour t < 0 et à l’instant t = 0 on impose
2. Caractéristique
du système.
une tension constante
v(t) = v0 .
2. Montrez qu’il s’agit d’un système linéaire et invariant.
(a) Que vaut e(t), t ∈ R ? Déterminez la sortie s(t), t ∈ R.
2a. Démontrez qu’il s’agit d’un système linéaire.
signal
est-il un
signal
causal,
stable,
3. Solutions libres.(b)
Le Le
circuit
ests(t)
supposé
ouvert
pour
t < périodique,
0 et à l’instant
t =d’énergie
0 on le finie
met ?en court
s(t),
t
∈
.
Dans
quelle
condition
physique
le
signal
s(t)
est-ilt ∈non
circuit. Déterminez
la
sortie
(4) Solutions forcées. Le circuit est supposé forcé à v(t) = v0 cos(2πf t + ϕ), pour
R.
2b. Démontrez qu’il est en plus invariant.
nul ?
(a) Déterminez la sortie s(t).
(b) Leindicielle.
signal s(t)Le
est-il
un signal
causal,ouvert
d’énergie
finiet ?= 0 on impose une
Réponse
circuit
est supposé
pour tstable,
< 0 et
à l’instant
4. Solutions3.forcées.
Le circuit
est supposé
forcé
à v(t)
= vpériodique,
+ et ouvert
0 cos [2πf t + ϕ], pour t ∈
tension
constante
v(t)
=
v
.
0
avant. Déterminez la sortie s(t).
Exercice
—vaut
Oscillations
masse.
3a. 5.
Que
e(t), t ∈ d’une
? Déterminez
la sortie s(t), t ∈ .
On étudie le dispositif présenté sur la figure suivante à gauche. La masse m se déplace sur un
axe Ox et on repère sa position à tout instant par x(t). Elle est soumise à plusieurs forces : l’action
→donné
Exercice 3 — Circuit
série. On
le circuit
série−
la figurefinie
suivante,
à gauche.
3b.RLC
Le signal
s(t)travaille
est-il unavec
signal
causal,RLC
périodique,
stable,sur
d’énergie
?
−
−
d’un ressort de raideur k, une force de frottement fluide ff = −h→
v , h > 0 où →
v est la vitesse et
→
−
Les composants sont supposés parfaits. On l’analyse sous forme entrée–sortie, comme indiqué sur le schéma
une force extérieure connue fe (t).
de droite : l’entrée
e(t)
est la tension
totale
v(t)est
auxsupposé
bornes
dusystème
circuit
etsous
la vsortie
s(t)
est
laϕ]tension
4.
forcé
à v(t)
=
[2πfdu
t +schéma
, pour
taux
∈ bornes
. sur la
0lacos
OnSolutions
cherche àforcées.
décrire Le
le circuit
comportement
de ce
forme
présenté
→
−
de la bobine vpartie
(t).
L
droite de la figure : l’entrée e(t) est la valeur algébrique de la force extérieure fe (t) et la
4a. laDéterminez
.
sortie est
position delalasortie
masses(t)
x(t).
(1) Déterminez l’équation différentielle qui relie e(t) et s(t).
4b. Le signal s(t) est-il un signal causal, périodique, stable, d’énergie finie ?
(2) Caractéristiques du système.
(a) Montrez qu’il s’agit d’un système linéaire.
(b) Montrez qu’il est en plus invariant.
Exercice 4 — Oscillations d’une masse. On étudie le dispositif présenté sur la figure suivante à gauche. La
Jean-Françoismasse
Giovannelli
Sujets
deElle
travaux
dirigés à plusieurs
m se déplace sur un axe Ox et on repère sa position à tout instant par
x(t).
est soumise
−
→
→
→
5 de frottement fluide ff = −h−
forces : l’action d’un ressort de raideur k, une force
v , h > 0 où −
v est la vitesse
−
→
et une force extérieure connue fe (t).
On cherche à décrire le comportement de ce système sous la forme du schéma présenté sur la partie droite
−
→
de la figure : l’entrée e(t) est la valeur algébrique de la force extérieure fe (t) et la sortie est la position de la
masse x(t).
Déterminez l’équation différentielle qui relie e(t) et s(t).
Exercice 2 — Circuit LC série. On travaille avec le circuit LC série donné sur la figure suivante, à gauche.
Les composants sont supposés parfaits. On l’analyse sous forme entrée–sortie, comme indiqué sur le schéma
de droite : l’entrée e(t) est la tension v(t) aux bornes du circuit et la sortie est s(t) l’intensité qui traverse le
circuit i(t). Signaux et systèmes linéaires
Signaux et systèmes linéaires
L
4
Sujets de TD
C
→
−
fe (t)
i(t)
"
e(t)
−−−−−−−→
!
!
!
x
e(t)H
−−−−−−−→
s(t)
−−−−−−−→
v(t)
H
s(t)
−−−−−−−→
Exercice 6. — Base de Fourier.
Cet l’équation
exercice estdifférentielle
dédié la construction
de laetdécomposition
en série de Fourier. On travaille dans
qui relie e(t)
s(t).
1. Déterminez
l’ensemble
des signaux
définis de
l’intervalle qui
[0, Trelie
] dans
C et
et s(t)
d’énergie
finie : L2 ([0, T ]) = L2 . Cet
1. Déterminez
l’équation
différentielle
e(t)
.
espace est muni du produit hermitien :
2. Montrez qu’il s’agit d’un système linéaire et invariant.
2. Caractéristique du système.
Z
1
∗
dt
hx, yi =
3. Solutions libres. Le circuit est supposé ouvert
pour t < 0x(t)y(t)
et à l’instant
t = 0 on le met en court
T [0,T
2a. Montrez qu’il s’agit d’un système
linéaire.
]
circuit. Déterminez la sortie s(t), t ∈ . Dans quelle condition physique le signal s(t) est-il non
couple de signaux (x, y) de L2 .
nul ? pour tout2b.
Montrez qu’il est en plus invariant.
Dans cet espace, on considère la famille des signaux ϕk , k ∈ Z définis par :
4. Solutions forcées. Le circuit est supposé forcé à2jπkf
v(t)t = v0 cos [2πf t + ϕ], pour t ∈
ϕk (t) = e
avec f = 1/T .
avant. Déterminez la sortie s(t).
+
et ouvert
(1) Tracez les parties réelles, imaginaires, les modules et les phases de ϕk (t), pour k = 0, 1, 2.
Exercice 5 — Base de Fourier. Cet exercice est dédié la construction de la décomposition en série de Fourier.
(2)travaille
Montrez
quel’ensemble
la famille des
k est orthonormale.
On
dans
des ϕsignaux
définis de l’intervalle [0, T ] dans et d’énergie finie : L2 ([0, T ]) =
2
2 . Cet
(3)
Déduisez-en
décomposition
des
signaux
de Lsérie
sur donné
la famille
des
ϕk , i.e.
les formules
de
espace
est la
muni
du produit
hermitien
: RLC
Exercice 3 —LCircuit
RLC série.
On
travaille
avec
le circuit
sur la
figure
suivante,
à gauche.
!
décomposition
en
série
de
Fourier.
Les composants sont supposés parfaits. On l’analyse sous forme1 entrée–sortie, comme
indiqué sur le schéma
∗
dt est la tension aux bornes
#x, y$du
= circuit et x(t)y(t)
de droite : l’entrée e(t) est la tension totale v(t) aux bornes
la
sortie
s(t)
T [0,T ]
de la bobine vL (t).
Exercice
— Famille
d’exponentielles
pour tout7.couple
de signaux
(x, y) de L2réelles.
. Dans cet espace, on considère la famille des signaux ϕk , k ∈ définis
Dans
cet
exercice
on
travaille
dans
l’ensemble
des signaux x réels x(t) définis pour t ∈ R+ et
par :
d’énergie finie : L2 (R+ ) = L2 . Cet espace est muni 2jπkf
:
t
ϕk (t) = e du produit
avecscalaire
f = 1/T
.
Z
∞
1. Tracez les parties réelles, imaginaires,
hx, yi = les modules
x(t)y(t)dtet les phases de ϕk (t), pour k = 0, 1, 2.
0
2. tout
Montrez
quedelasignaux
famille (x,
desy)ϕkdeest
pour
couple
L2orthonormale.
.
Dans cet espace, on considère la famille des signaux ϕk , k ∈ N∗ définis par :
3. Déduisez-en la décomposition des signaux de L2 sur la famille des Sujets
ϕk , i.e.,
formules
de décomJean-François Giovannelli
de les
travaux
dirigés
√
position en série de Fourier.
−kt
ϕk (t) = 2k e
.
(1) Tracez les ϕk (t), pour k = 1, 2, 3.
2
(2) Vérifiez
ϕk ∈ L
.
Exercice
6 —que
Famille
d’exponentielles
réelles. Dans cet exercice on travaille dans l’ensemble des signaux x
(3) [x(t)]
Montrez
que la famille
des ϕ
normée finie
(ie les: L
ϕ2k (sont
pour t ∈
réels
d’énergie
= norme
L2 . Cet1).espace est muni du produit scalaire :
+ketest
+ )de
∈ définis
! ∞
(4) La famille des ϕk est-elle orhogonale ?
#x, y$ =
x(t)y(t)dt
0
pour tout couple de signaux (x, y) de
définis par :
L2 .
Dans cet espace, on considère la famille des signaux ϕk , k ∈
6
ϕk (t) =
√
2k e−kt .
1. Tracez les ϕk (t), pour k = 1, 2, 3.
2. Vérifiez que ϕk ∈ L2 .
3. Montrez que la famille des ϕk est normée (i.e., les ϕk sont de norme 1).
∗
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
Exercice 8. — Signaux de Rademacher.
On considère la famille Ψ = {ψn }n∈N des signaux définis sur l’intervalle [0, T ] par
∀n ∈ N ψn (t) = sgn(sin(2n πt/T ))
où sgn représente la fonction signe :


1
sgn(u) = 0


−1
si u > 0
si u = 0
si u < 0
(1) Pour quelles valeurs de t a-t-on ψn (t) = 0 ? Tracez les signaux ψn , pour n = 0, 1, 2 et 3.
(2) Cette question concerne quelques propriétés de symétrie des signaux ψn .
(3) Pour tout t ∈ [0, T ] et pour n 6= 0, calculez ψn (T − t) en fonction de ψn (t). En déduire une
relation entre ψn (T /2 − t) et ψn (T /2 + t), pour t ∈ [0, T /2] et n 6= 0.
(4) Pour tout t ∈ [0, T /2] et pour n ∈ N, déterminez une relation simple entre ψn+1 (t) et
ψn (2t).
(5) Montrez que la famille des Ψ est une famille orthogonale. Calculez la norme de chaque ψn .
Cette dernière partie est consacrée à la décomposition de deux signaux x(t) sur la famille Ψ. Plus
précisément, il s’agit de construire une approximation x̂(t) de x(t) sous forme d’une combinaison
linéaire signaux ψn :
∞
X
x̂(t) =
αn ψn (t) .
n=0
Le travail à réaliser consiste à déterminer les coefficients αn de manière à minimiser la norme
de l’erreur d’approximation x̃(t) = x(t) − x̂(t). Déterminez les coefficients αn dans les deux cas
suivants.
(1) Le signal à décomposer est x1 (t) = a, la fonction constante égale à a sur [0, T ].
(2) Le signal à décomposer est triangulaire
T 2 x2 (t) = 1 − t − ∀t ∈ [0, T ] .
T
2
(3) La famille des Ψ est-elle une base complète de L2 ([0, T ]) ?
Exercice 9. — Famille des sinus cardinaux décalés.
On considère la famille des signaux ϕk , k ∈ Z définis par :
ϕk (t) = sinc(F t − k) =
pour t ∈ R et on pose T = 1/F .
sin(π(F t − k))
,
π(F t − k)
(1) Étudiez en détail le signal ϕ0 (t). Comment déduire simplement les ϕk (t) à partir de ϕ0 (t) ?
Tracez les ϕk (t), pour k = −2, −1, 0, 1, 2.
7
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
(2) Calculez s(t) la transformée de Fourier inverse de S(f ) = ( F1 ) ΠF (f ) où ΠF (f ) est la
fonction porte définie pour f ∈ R par :
(
1 si f ∈ [−F/2; F/2] ,
ΠF (f ) =
0 sinon .
(3) Déduisez-en ϕ0 (f ) la transformée de Fourier du signal ϕ0 .
(4) À partir de ce qui précède, déterminez les transformées de Fourier ϕk (f ) de chacune des
fonctions ϕk (t). Étudiez les en détail et représentez les pour k = −2, −1, 0, 1, 2.
(5) Calculez les produits scalaires hϕn , ϕm i. Déduisez-en que la famille ϕ = (ϕk )k∈Z est orthogonale. Donner la norme de chacun des ϕk .
(6) On considère un signal x(t), à bande limitée à l’intervalle [−F/2, F/2]. Décomposez le signal
x(t) sur la famille de sinus cardinaux ϕk (t). Exprimez les coefficients du développement en
fonction de x(t) et commentez le résultat.
Exercice 10. — Orthonormalisation de Gram-Schmidt.
On considère une famille de signaux ψk , k ∈ N∗ définis d’un intervalle I ⊂ R dans R. On suppose
que ces signaux forment une famille libre c’est-à-dire qu’ils sont linéairement indépendants. L’objet
de cet exercice est de construire un nouvelle famille de signaux ϕk , k ∈ N∗ qui soit orthonormale.
On construit cette nouvelle famille par récurrence sur k et par l’intermédiaire d’une autre famille
χk de la manière suivante.

χ1 = ψ1
χ1
Initialisation (k = 1) :
ϕ1 =
1/2
hχ
,
1 χ1 i

k−1
X


χk = ψk −
hψk , ϕi iϕi
Récurrence (k > 1) :
i=1

χk

ϕk =
hχk , χk i1/2
Cette procédure est appelée la procédure d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
(1) Explicitez la procédure pour k = 1, 2, 3. Donnez-en une interprétation géométrique.
(2) Montrez qu’aucun des χk ne peut être nul.
(3) Montrez que les ϕk sont normés i.e. de norme unité.
(4) Montrez enfin par récurrence sur k que la famille de ϕk est une famille orthonormale.
(5) Que se passe-t-il si la famille des ψk est déjà orthogonale ? Et si elle est déjà orthonormale ?
(6) Appliquez, pour k = 1, 2, 3, cette procédure d’orthonormalisation à la famille suivante :
ψk (t) = e−kt avec I = R+
Exercice 11. — Décomposition en cosinus discret.
Cet exercice est dédié à la décomposition en cosinus discret. Il s’agit d’un outil fondamental,
introduit en 1974, qui est à la base des premières méthodes de compressions de données (signaux,
images, . . .) et en particlier de la norme jpeg. On parle de dct pour Discrete Cosinus Transform.
8
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
Cette décomposition s’applique à des signaux réels, à temps discret et de longueur fini N . On
indice les instants de n = 0 à n = N − 1. On munit RN du produit scalaire usuel : si x et y sont de
tels signaux, leur produit scalaire, noté hx, yi est définit par
n=N
X−1
hx, yi =
(1)
xn yn .
n=0
(1) Vérifiez que (1) est bien un produit scalaire. Précisez la norme déduite.
On définit N signaux Cn pour n = 0, 1, . . . , N − 1 de longueur N de la manière suivante.
Le premier signal C0 (m) est un signal constant
1
C0 (m) = √ ∀m = 0, 1, . . . , N − 1
N
les N − 1 autres signaux sont définis pour n = 1, 2, . . . , N − 1 par
r
2
(2m + 1)πn
cos(
)∀m = 0, 1, . . . , N − 1
Cn (m) =
N
2N
(2) Propriétés de la famille des Cn
(a) Calculez la norme de chacun des Cn .
(b) Calculez les produits scalaires hCp , Cq i.
(c) Déduisez-en que la famille des Cn , n = 0, 1, . . . , N − 1 est une famille othonormale.
Pourquoi est-ce aussi une base ?
Exercice 12. — Famille de cosinus.
Cet exercice est dédié à la décomposition de signaux à temps continue et de durée finie sur une
famille de cosinus. Il s’agit d’un outil fondamental, dont la version temps discret introduite en 1974,
est à la base de méthodes de compressions de données (signaux, images, . . .) et en particulier de la
norme jpeg.
Cette décomposition s’adresse à des signaux x(t) réels, à temps continue, de durée finie t ∈ [0, 1]
et d’énergie finie. L’ensemble de ces signaux est L2 ([0, 1]), muni du produit scalaire usuel : si x et
y sont de tels signaux, leur produit scalaire, noté hx, yi est défini par
(2)
hx, yi =
Z
1
x(t) y(t) d t .
0
(1) Vérifiez que (2) est bien un produit scalaire. Précisez la norme déduite.
On définit les signaux Cn pour n ∈ N de la manière suivante. Le premier signal C0 est
un signal constant
C0 (t) = 1 , pour t ∈ [0, 1] ,
(2) les autres signaux sont définis pour n ∈ N∗ par
√
Cn (t) = 2 cos(πnt) , pour t ∈ [0, 1] .
(3) Propriétés de la famille des Cn
(a) Tracez C0 , C1 , C2 et C3 .
9
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
(b) Calculez la norme de chacun des Cn .
(c) Calculez les produits scalaires hCp , Cq i.
(d) Déduisez-en que la famille des Cn , n ∈ N est une famille orthonormale.
On souhaite alors décomposer un élément x ∈ L2 ([0, 1]) sous la forme :
∞
X
x(t) =
Xn Cn (t) .
n=0
(e) Donner la forme des Xn en fonction de x(t) et de Cn (t).
(4) Deux cas particuliers
(a) Décomposez le signal constant x(t) = 12.
(b) Décomposez le signal x(t) = cos(πf0 t), où f0 est une constante donnée positive.
(c) Montrez qu’on a une relation de Parseval :
Z 1
∞
X
|Xn |2 =
|x(t)|2 dt .
n=0
0
Exercice 13. — Deux calculs de convolutions simples.
(1) On considère le signal « porte » à temps continue défini pour t ∈ R par
(
1 si t ∈ [−T /2; +T /2]
ΠT (t) =
0 si t ∈
/ [−T /2; +T /2]
Calculez y la convolution de ΠT1 et ΠT2 . On supposera T2 > T1 .
(2) On considère le signal « porte » à temps discret défini pour n ∈ Z par
(
1 si n ∈ [−N ; +N ]
ΠN (n) =
0 sinon
Calculez y la convolution de ΠN1 et ΠN2 . On supposera N2 > N1 .
Exercice 14. — Convolution de sinus cardinaux. On considère le signal « porte » à temps continu
défini pour t ∈ R par
(
1 if t ∈ [−T /2; +T /2]
ΠT (t) =
0 if t ∈
/ [−T /2; +T /2]
def
(1) Calculez sa transformée de Fourier Π̂T (f ). On posera sinc(u) = sin(πu)
πu . Vérifiez les éventuelles propriétés de symétries de Π̂T (f ).
On considère par ailleurs, le signal également à temps continu défini pour t ∈ R par
sin πF t
πF t
(2) Déduire de la question précédente, la transformée de Fourier ŝF (f ) de sF (t).
(3) Déterminez c la convolution de sF et de sF 0 : c = sF ? sF 0 . On pourra supposer F > F 0 .
def
sF (t) = sinc(F t) =
10
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
Exercice 15. — Étude d’un filtre dérivateur à temsp discret.
On considère le filtre F défini par la relation de entrée-sortie suivante (e est l’entrée s la sortie) :
s(n) = e(n) − e(n − 1) , ∀n ∈ Z ,
(1) F est-il linéaire, invariant, causal ?
(2) Déterminez sa réponse impulsionnelle. Le filtre est-il stable ?
(3) Calculez la sortie de F lorsqu’il est attaqué par le signal :
(
1 − |n|/N si n = −N, −N + 1, . . . , −1, 0, 1, . . . , N − 1, N
e(n) =
0
sinon
(4) Filtrage des fréquences pures. On attaque F par un signal monochromatique à la fréquence
ν et d’amplitude a ∈ C, c’est-à-dire e(n) = ae2jπνn , n ∈ Z.
(a) Calculez la sortie du filtre. Quelle est la fréquence en sortie ? Commentez.
(b) Quel est le « gain » d’amplitude en fonction de la fréquence ? S’agit-il d’un filtre
passe-bas ? Que deviennent les composantes continues, par filtrage ? (Cette question
ne nécessite aucun calcul.)
Exercice 16. — Étude d’un filtre dérivateur à temps discret.
On considère le filtre F défini par la relation entrée-sortie suivante (e est l’entrée s la sortie) :
s(n) = e(n) − e(n − 1) , ∀n ∈ Z .
(1) F est-il linéaire, invariant, causal ?
(2) Par quel signal faut-il l’attaquer pour obtenir en sortie la réponse impulsionnelle ? Déterminez cette réponse impulsionnelle et représentez la graphiquement.
(3) On attaque maintenant le filtre par le signal :
(
1 si n ∈ {−N, . . . , N }
e0 (n) =
0 si
où N est un entier positif donné. Représentez graphiquement ce signal. Calculez s0 (n) la
sortie associée et représentez la aussi.
(4) Pour terminer, on attaque F par un signal monochromatique à la fréquence ν et d’amplitude
a ∈ C, c’est-à-dire e(n) = ae2jπνn , n ∈ Z.
(5) Calculez la sortie du filtre. Quelle est la fréquence en sortie ? Commentez.
(6) Montrez que la sortie se met sous la forme :
s(n) = G(ν) e(n) .
G(ν) est appelé le « gain ». S’agit-il d’un filtre passe-bas, passe haut, passe bande, passe
tout, passe rien ? Que deviennent les composantes continues, par filtrage ?
11
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
Exercice 17. — Étude d’un filtre intégrateur à temps discret.
On considère le filtre F défini par la relation entrée-sortie suivante (e est l’entrée et s la sortie) :
s(n) =
1
(e(n) + e(n − 1)) , ∀n ∈ Z .
2
(1) F est-il linéaire, invariant, causal ? Argumentez brièvement.
(2) Déterminez sa réponse impulsionnelle. Le filtre est-il stable ?
(3) Déterminez et représentez H(ν) le gain en fréquence. Le filtre est-il passe haut, passe bas,
passe bande ?
(4) Calculez la sortie de F lorsqu’il est attaqué par le signal :
(
1 si n = 0, 1, . . . , N − 1, N
e(n) =
0 sinon.
(5) On attaque maintenant le filtre F par un signal monochromatique à la fréquence ν0 et
d’amplitude a0 ∈ C, c’est-à-dire e(n) = a0 e2iπν0 n , n ∈ Z. Quelle est la sortie du filtre ?
Quelle est la fréquence en sortie du filtre ? Commentez.
Exercice 18. — Étude d’un filtre moyenneur à temps discret.
On considère le filtre F défini par la relation entrée-sortie suivante (e est l’entrée et s la sortie) :
s(n) =
1
1
1
e(n − 1) + e(n) + e(n + 1) , ∀n ∈ Z .
4
2
4
(1) F est-il linéaire, invariant, causal ? Argumentez brièvement.
(2) Déterminez sa réponse impulsionnelle. Le filtre est-il stable ?
(3) On attaque le filtre F par un signal monochromatique à la fréquence ν0 et d’amplitude
a0 ∈ C, c’est-à-dire e(n) = a0 e2jπν0 n , n ∈ Z. Quelle est la sortie du filtre ? Quelle est la
fréquence en sortie du filtre ? Commentez. Le filtre est-il passe haut, passe bas, passe bande ?
Exercice 19. — Séries de Fourier et dérivation.
Soit un signal réel x périodique de période T . On note cn (x) ses coefficients de Fourier. A partir
de ce signal on construit un nouveau signal par dérivation y = x0 et on note cn (y) ses coefficients
de Fourier. L’objet de cet exercice est d’étudier le lien entre les cn (y) et les cn (x).
(1) En exploitant le fait que x est un signal réel, montrez que ∀n ∈ Z, c−n (c) = c̄n (x).
(2) Montrez que si x est dérivable alors y est aussi périodique de période T .
(3) Calculez les cn (y) en fonction de cn (x). Montrez qu’on peut écrire : cn (y) = H(n)cn (x)
pour tout n ∈ Z et étudiez sommairement la fonction H. S’agit-il d’un système passe-haut,
passe-bas, passe bande, . . . ?
12
1
!x, y" =
T
!
x(t)y(t)∗ dt .
t∈[T ]
Exercice 21 — Série de Fourier et redresseur. On travaille sur un système de redressement R qui fournit en
sortie unSignaux
signal s(t)
= |e(t)| lorsqu’il est attaqué par un signal e(t).
et systèmes linéaires
Sujets de TD
e(t) −−−−−−−−−→
−−−−−−−−−→ s(t) = |e(t)|
R
On l’attaque avec un signal sinusoïdal à la fréquence f0 :
e(t) = cos(2πf0 t) avec t ∈
1. Quelle est la fréquence du signal de sortie ?
2. Déterminer le développement en série de Fourier du signal de sortie.
Exercice 22 — Série de Fourier de créneaux carrés. On définit le signal [c(t)]t∈
période T0 par :


si t = 0 ou t = T0 /2
0
Figure 1. Gauche : temps. Droite : Fréquences.
c(t) = 1
si t ∈ ]0; T0 /2[


−1 si t ∈ ]T0 /2; T0 [
carré et périodique de
Exercice 20. — Série de Fourier et redresseur.
système
de redressement
R qui de
fournit
en sortie
un signal
s(t) = |e(t)|
lorsqu’il les
sur [0; T0 [.On
Ontravaille
pose f0sur
= un
1/T
faire une analyse
Fourier
du signal
c’est-à-dire
en déterminer
0 . On veut
est
attaqué
par
un
signal
e(t).
différentes composantes spectrales et leur poids.
On l’attaque avec un signal sinusoı̈dal à la fréquence f0 :
e(t) = cos(2πf0 t) avec t ∈ R
(1) Quelle est la fréquence du signal de sortie ?
(2) Déterminer le développement en série de Fourier du signal de sortie.
Temps
Fréquence
Exercice 21. — Série de Fourier de créneaux carrés.
On définit le signal c carré et périodique de période T0 par :

0
siDonnez
t = 0 ou
T0 /2
sa t« =
représentation
spectrale », c’est-à-dire
1. Calculez les coefficients de Fourier de ce
signal.
représentez le poids de chacune des
c(t)composantes
= 1
sien
t ∈fonction
]0; T0 /2[de la fréquence.


−1 si t ∈ ]T0 /2; T0 [
sur [0;Giovannelli
T0 [. On pose f0 = 1/T0 . On veut faire une analyse de Fourier du signal
c’est-à-dire
Jean-François
Sujets
de travaux en
dirigés
déterminer les différentes composantes spectrales et leur poids.
13
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
(1) Calculez les coefficients de Fourier de ce signal. Donnez sa « représentation spectrale »,
c’est-à-dire représentez le poids de chacune des composantes en fonction de la fréquence.
(2) En appliquant la relation de Parseval, en déduire que :
+∞
X
π2
1
=
.
(2p + 1)2
8
p=0
(3) Intuitivement, que se passe-t-il selon vous si on passe ce signal dans un filtre qui élimine
toutes les fréquences supérieures à 2f0 , en valeur absolue ?
Exercice 22. — Série de Fourier de créneaux triangulaires.
On considère le signal périodique de période T0 défini sur [−T0 /2; T0 /2] par :
c(t) = 1 −
2|t|
.
T0
On pose f0 = 1/T0 .
(1) Déterminez les coefficients de Fourier de ce signal. Représentez le poids de chacune des
composantes en fonction de la fréquence.
(2) Écrivez Sx (t) la série de Fourier associée.
(3) À quels instants la série de Fourier est-elle égale au signal c’est-à-dire en quels points a-t-on
c(t) = Sx (t) ?
(4) En déduire que :
+∞
X
1
π2
=
2
(2p + 1)
8
p=0
(5) En déduire par ailleurs que :
+∞
X
1
π4
=
4
(2p + 1)
96
p=0
(6) Intuitivement, que se passe-t-il selon vous si on passe ce signal dans un filtre qui élimine
toutes les fréquences supérieures à f0 /2 ? Répondez à la même question mais avec un filtre
qui élimine les fréquences supérieures à 2f0 .
Exercice 23. — Corde vibrante.
On souhaite décrire le mouvement d’un corde telle que celle d’une guitare. On note L la longueur
de la corde et u(x, t) la position de la corde à l’instant t et à l’abscisse x, comme indiqué sur la
figure suivante.
La corde étant maintenue à ses deux extrémités, les conditions aux limites sont évidemment
u(0, t) = u(L, t) = 0 à tout instant. Par ailleurs on se donne des conditions initiales (t = 0) de
position et de vitesse :
u(x, 0) = f (x) et
où f et g sont deux fonctions données.
14
∂u
(x, 0) = g(x)
∂t
fréquences supérieures à f0 /2 ? Répondez à la même question mais avec un filtre qui élimine les
fréquences supérieures à 2f0 .
Exercice 24 — Corde vibrante. On souhaite décrire le mouvement d’un corde telle que celle d’une guitare. On
note L la longueur de la corde et u(x, t) la position de la corde à l’instant t et à l’abscisse x, comme indiqué
sur la figure
suivante.
Signaux
et systèmes linéaires
Sujets de TD
y
"
!
!
u
"
x=0
! x
x=L
(1) Montrez que u vérifie l’équation différentielle suivante
1 ∂2u
∂2u
−
=0,
(3)
Jean-François Giovannelli
Sujets de travaux dirigés
∂x2
c2 ∂t2
et rappelez les hypothèses physiques sous-jacentes. Montrez que c’est une équation linéaire.
Le suite de cet exercice est consacré à la résolution de cette équation dans le cas particulier
de la corde oscillante avec les conditions aux limites et les conditions initiales données. On
adopte la méthode dite de « séparation des variables » dûe à Bernoulli. Elle consiste à
chercher les solutions de (3) sous forme séparable u(x, t) = α(x)β(t).
(2) Montrez qu’il existe nécessairement une constante λ ∈ R telle que
(4)
c2 α00 (x) =λα(x)
(5)
β 00 (t) =λβ(t)
(3) Résolution en α.
(a) Donnez les conditions aux limites pour α.
(b) Résoudre (4). Montrez qu’on obtient des solutions non triviales uniquement si λ < 0
et plus précisément si :
πc 2
λ = λk = − k
.
L
(c) Représentez les solutions correspondantes αk (x) pour k = 1, 2 et 3.
(4) Résolvez ensuite l’équation en β : déterminez les βk solutions de (5), pour les différentes
valeurs de λ = λk .
(5) En déduire que les fonctions :
X
πc π
πc
u(x, t) =
ak cos(k t) + bk sin(k t) sin(k x)
L
L
L
k
sont solutions de l’équation initiale (3).
(6) Utilisez les conditions initiales pour montrez que les ak et les bk s’obtiennent comme coefficients du développement en série de Fourier de deux fonctions f˜ et g̃ que l’on précisera.
(7) On s’intéresse pour terminer au cas particulier où la vitesse initiale est nulle i.e. g(x) = 0
et la corde est pincée par son milieu comme indiqué sur la figure suivante :
Déterminez alors complètement la forme de la corde, c’est-à-dire déterminez u(x, t).
15
corde est pincée par son milieu comme indiqué sur la figure suivante :
y
Signaux et systèmes linéaires
15
"
7. On s’intéresse pour terminer au cas particulier où la vitesse initiale est nulle i.e., g(x) = 0 et la
h
corde est pincée
paretson
milieu
indiqué sur la figure suivante
:
Signaux
syst
èmes comme
linéaires
Sujets de TD
y
"
!
!
x=0
x=L
!
!
x=0
x=L
!
x
Déterminez alors complètement la forme de lah corde, c’est-à-dire déterminez u(x, t).
!
x
Exercice 25 — Conduction de chaleur dans un milieu fini. Dans cet exercice on cherche à caractériser les
phénomènes de propagation de chaleur dans un cylindre. Le cylindre est homogène, de longueur L, section S,
densité Exercice
ρ, capacité24.
calorique
C (par unité
de masse)
et conductivité
thermique K. On note T (x, t) la température
— Conduction
de chaleur
dans
un milieu fini.
du
cylindre
à
l’instant
t
et
à
l’abscisse
x,
comme
indiqué
sur
la
figure
suivante.
Déterminez alors
forme de
la corde, c’est-à-dire
déterminez
u(x, t).
Dans complètement
cet exercice onlacherche
à caractériser
les phénomènes
de propagation
de chaleur dans un
cylindre. Le cylindre est homogène, de longueur L, section S, densité ρ, capacité calorique C (par
unité de masse) et conductivité thermique K. On note T (x, t) la température du cylindre à l’instant
t et à l’abscisse x, comme indiqué sur la figure suivante.
Exercice 25 — Conduction de chaleur dans un milieu fini. Dans cet exercice on cherche à caractériser les
phénomènes de propagation de chaleur dans un cylindre. Le cylindre est homogène, de longueur L, section S,
densité ρ, capacité calorique C (par unité de masse) et conductivité thermique K. On note T (x, t) la température
Isolant
du cylindre à l’instant t et à l’abscisse x, comme indiqué sur
la figure suivante.
! x
x=0
x=L
Isolant
Les deux
du cylindre
baignent
dansdans
un milieu
de température
nullex i.e.,i.e.
on on
impose
deux
condiLes extrémités
deux extrémités
du cylindre
baignent
un milieu
de température
impose
deux
! nulle
tions aux
limites
:
T
(0,
t)
=
T
(L,
t)
=
0
à
tout
instant
et
ses
parois
latérales
sont
entourées
d’un
isolant
parfait.
conditions aux limites : T (0, t) = T (L, t) = 0 à tout instant et ses parois latérales sont entourées
Par ailleurs
se donne
les conditions
initiales
= 0) de
: T (x, 0)(t==T00)
(x)deune
fonction donnée.
d’un on
isolant
parfait.
Par ailleurs
on se (tdonne
les température
conditions initiales
température
:
T (x, 0) = T0 (x) une fonction donnée.
1. Équation
différentielle
pour T (x,
t). T (x, t).
(1) Équation
différentielle
pour
x=0
x=L
(a) Le flux de chaleur à travers une « tranche » du cylindre est proportionnel à la différence
1a. Le flux de
à travers
une
tranche
» du cylindre
est proportionnel
à la différence
de chaleur
température
entre
les« deux
extrémités,
proportionnel
à la surface
de la section du
Les deux extrémités
du
cylindre
baignent
dans
un
milieu
de
température
nulle
i.e.,
on
impose
deux condide température
les deux extrémités,
proportionnel
section
du
cylindreentre
et inversement
proportionnel
à la longueuràdelalasurface
tranchede
de la
cylindre
considérée.
tions aux limites : Tcylindre
(0, t) =et
T
(L,
t)
=
0
à
tout
instant
et
ses
parois
latérales
sont
entourées
d’un
isolant
parfait. les
Leinversement
coefficient deproportionnel
proportionnalité
est K, la conductivité
considérant
à la longueur
de la tranche thermique.
de cylindreEn
considérée.
Par ailleurs on se donne
les conditions
initiales (t à=travers
0)est
de K
température
: T (x, thermique.
0)de=cylindre,
T0 (x)En
une
fonction
échanges
thermiques
une
tranche
montrez
quedonnée.
lelesflux de
Le coefficient
de proportionnalité
, la mince
conductivité
considérant
chaleur
en
x
est
relié
à
la
température
par
:
échanges thermiques à travers une mince tranche de cylindre, montrez que le flux de
1. Équation différentielle
(x, t)à.la température par :
∂T
x estTrelié
chaleur enpour
q(x) = −KS
.
∂x
∂T
1a. Le flux de chaleur
à travers que
une le
« tranche
du cylindre est
à la différence
c’est-à-dire
flux est »proportionnel
au proportionnel
gradient de température
et orienté dans le
.
(13)
q(x) = −KS
sens opposé
à ce
dernier. proportionnel∂x
de température entre
les deux
extrémités,
à la surface de la section du
cylindre et inversement
proportionnel
longueur
la tranche
de cylindre
considérée.
(b) Lorsqu’un
élément duà la
cylindre
de de
masse
m reçoit
une quantité
de chaleur ∆Q, sa
c’est-à-dire que le flux est proportionnel au gradient de température et orienté dans le
s’élève
deux quantités
étant reliées
par la relation
Le coefficient detempérature
proportionnalité
estdeK∆T
, la, les
conductivité
thermique.
En considérant
les classique de
sens opposé à ce dernier.
échanges thermiques à travers une mince tranche de cylindre, montrez que le flux de
chaleur en x est relié à la température par :
16
Jean-François Giovannelli
q(x) = −KS
∂T
.
∂x
(13)
Sujets de travaux dirigés
c’est-à-dire que le flux est proportionnel au gradient de température et orienté dans le
sens opposé à ce dernier.
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
la thermodynamique : ∆Q = mC∆T . En étudiant l’évolution d’une mince tranche de
cylindre pendant une durée infiniment courte, montrez que la température et le flux
de chaleur sont reliés par :
∂T
∂q
= −SρC
.
∂x
∂t
(c) Déduisez de (1a) et (1b) que T vérifie l’équation différentielle suivante
(6)
∂2T
1 ∂T
− 2
= 0,
∂x2
a ∂t
avec a2 = K/ρC. Montrez que c’est une équation linéaire.
Le suite de cet exercice est consacré à la résolution de cette équation. On adopte la
méthode dite de « séparation des variables » dûe à Bernoulli. Elle consiste à chercher les
solution de (6) sous forme séparable T (x, t) = α(x)β(t).
(7)
(2) Montrez qu’il existe nécessairement une constante λ ∈ R telle que
a2 α00 (x) =λα(x)
β 0 (t) =λβ(t)
(8)
(3) Résolution en α.
(a) Donnez les conditions aux limites pour α.
(b) Résolvez (7). Montrez qu’on obtient des solutions non triviales uniquement si λ < 0 et
plus précisément si :
πa 2
.
λ = λk = − k
L
(c) Représentez les solutions correspondantes αk (x) pour k = 1, 2 et 3.
(4) Résolvez ensuite l’équation en β : déterminez les βk solutions de (8), pour les différentes
valeurs de λ = λk . Représentez les solutions correspondantes β(x) pour k = 1, 2 et 3.
(5) En déduire que les fonctions :
T (x, t) =
X
ak sin(k
k
2
πa −(k aπ
L ) t
t)e
L
sont solutions de l’équation initiale (6).
(6) Utilisez les conditions initiales pour montrez que les ak s’obtiennent comme coefficients du
développement en série de Fourier d’une fonction T̃0 que l’on précisera.
(7) On s’intéresse pour terminer au cas particulier où la température initiale est uniforme sur
l’ensemble du cylindre : T0 (x) = T0 pour x ∈ [0, L]. Déterminez alors complètement T (x, t).
Exercice 25. — Transformée de Fourier des doubles exponentielles.
Cet exercice est consacré au calcul de la transformée de Fourier de :
x(t) = e−α |t| , t ∈ R et α > 0 ,
ainsi qu’à ses propriétés, notamment en terme de largeur à mi-hauteur.
(1) Calculez x̂(f ) la transformée de Fourier de x(t).
17
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
(2) Vérifiez les propriétés de symétrie de X. Vérifiez également que :
Z
Z
x(0) =
X(f ) d f et X(0) =
x(t) dt
R
en exploitant le résultat suivant :
R
R
R
2 −1
(1 + u )
du = π.
(3) Calculez ∆t et ∆f les largeurs à mi-hauteur de x(t) et X(f ). Commentez.
Exercice 26. — Transformée de Fourier des exponentielles monolatères.
Cet exercice est consacré à la transformée de Fourier des signaux exponentiels :
(
0
textsit < 0
x(t) =
e−αt si t > 0
avec α > 0 ainsi qu’à ses propriétés, notamment en terme de largeur à mi-hauteur.
(1) Calculez et représentez graphiquement x̂(f ) la transformée de Fourier de x(t). Étudiez le
comportement limite lorsque α tend vers 0 et vers +∞. Commentez.
(2) On définit la largeur spectrale ∆f et la largeur temporelle ∆t de la manière suivante. On
cherche t0 > 0 et f0 > 0 tels que :
|x̂(f0 )|2 = |X(0)|2 /2 et |x(t0 )|2 = |x(0)|2 /2
et on pose ∆f = 2f0 et ∆t = 2t0 .
(3) Calculez ∆f et ∆t ainsi que leur produit p, en fonction de α. Commentez les évolutions de
∆f , ∆t et p en fonction de α.
Exercice 27. — Transformée de Fourier de fréquences pures observées sur un horizon fini.
Cet exercice est dédié à l’étude de la transformée de Fourier d’un signal monochromatique observé
sur un horizon fini c’est-à-dire sur une durée finie. Pour cela on définit le signal « porte » constant
égal à un à l’intérieur d’un intervalle et nul à l’extérieur :
(
1 si t ∈ [−T /2; +T /2]
ΠT (t) =
0 si t ∈
/ [−T /2; +T /2]
où T est un réel positif. On définit ensuite le signal d’intérêt, c’est-à-dire un signal monochromatique, de fréquence f0 multiplié par le signal porte précédent :
xT (t) = e2iπf0 t ΠT (t) .
(1) Calculez Π̂1 (f ), la transformée de Fourier de Π1 (t). On pourra introduire la fonction sinus
cardinal définie par sinc(u) = sin(πu)
πu . Étudiez la fonction Π̂1 (f ) en détail.
(2) En déduire la valeur des deux intégrales de Dirichlet :
2
Z ∞
Z ∞
sin x
sin x
dx et
dx
x
x
0
0
(3) En exploitant les relations « transformée de Fourier et dilatation du temps » déterminez
la transformée de Fourier Π̂T (f ) du signal porte général Π̂T (t).
18
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
(4) En exploitant les relation « transformée de Fourier et modulation » déterminez la transformée de Fourier x̂T (f ) du signal xT (t). Commentez le résultat obtenu en fonction de la
largeur T de la porte considérée et notamment le comportement lorsque T → ∞.
Exercice 28. — Transformée de Fourier des gaussiennes.
Dans cet exercice on détermine la transformée de Fourier de la gaussienne :
2
t−τ
gτ σ (t) = e−π( σ ) , t ∈ R ,
paramétrée par τ ∈ R et σ ∈ R∗+ . On admettra le résultat suivant :
Z
2
e−πx dx = 1 .
R
Dans un premier temps on s’intéresse à la gaussienne centrée réduite g = g01 .
(1) Montrez simplement que sa transformée de Fourier s’écrit :
Z ∞
2
ĝ(f ) = 2
e−πt cos(2πf t) dt .
0
(2) En dérivant sous le signe intégrale par rapport à la fréquence puis en intégrant par partie,
déterminez une équation différentielle simple en ĝ(f ).
(3) Résolvez l’équation différentielle et déterminez les constantes d’intégration en utilisant la
relation (28).
(4) Déterminez finalement la transformée de Fourier ĝτ σ de gτ σ .
(5) Comparez les largeurs de ĝτ σ et de gτ σ et commentez.
Exercice 29. — Système Radar.
On émet dans l’atmosphère une onde monochromatique e(t) à la fréquence f0 et d’amplitude A.
On note c la célérité de l’onde et λ sa longueur d’onde.
Si cette onde rencontre un objet brillant, une partie en est réfléchie (coefficient de réflection a)
et l’onde rétrodiffusée peut alors être captée par une antenne. Le travail du radar que l’on étudie
dans cet exercice consiste à déterminer la direction d’arrivée θ0 (voir figure).
L’antenne est constituée de N capteurs alignés et régulièrement espacés avec un pas d. On note
rn (t), pour n = 0, 1, . . . N − 1 le signal reçu par le capteur n. On suppose par ailleurs que les
réflecteurs éventuels sont suffisamment loin de l’antenne pour pouvoir assimiler l’onde reçue à une
onde plane.
Les signaux reçus sur chacun des capteurs sont évidemment retardés les uns par rapport aux
autres. Le retard dépend clairement de θ0 , il est minimum (et nul) si θ0 = 0 et maximum si
θ0 = ±π/2. Le principe de ces radars est d’exploiter le retard entre les signaux reçus pour déterminer
θ0 .
(1) On note t0 le retard avec lequel l’onde est reçu sur le capteur 0. Montrez que les retards
successifs sur les différents capteurs forment une suite arithmétique. Donnez sa raison τ0 .
Déterminez la forme des signaux reçus rn (t) sur chacun des capteurs.
19
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
Dans les radars anciens, dits à balayage mécanique, l’antenne est en rotation permanente et on
forme en sortie la somme des signaux reçus. On comprend que, lorsque les signaux sont en phase
(θ0 = 0), la somme est constructive et le signal de sortie prend une grande valeur.
On réalise aujourd’hui ce qu’on appelle un « balayage électronique », ou encore une « formation
de voies » (beam forming, en anglais). On avance électroniquement les signaux reçus par les différents
capteurs de manière à les remettre en phase.
Dans la suite, on pose :
u = sin θ et u0 = sin θ0
v = u d/λ et v0 = u0 d/λ
et V = v − v0 .
(2) Déterminez l’avance τn = nτ qu’il faut introduire sur le n-ieme capteur pour « viser » une
direction θ donnée. Déterminez la forme des signaux xn (t, τ ) ainsi construits.
(3) Calculez la somme S(t, τ ) des signaux xn (t, τ ) ainsi que sa puissance P (V ). Montrez que
P (V ) = A2 a2 H(V ) avec
sin N πV
H(V ) =
sin πV
et étudiez la fonction H(V ). A quelle condition sur λ et d peut-on retrouver la valeur de θ0 ?
Exercice 30. — Étalement spectral/temporel. Inégalité de Heisenberg.
On travaille avec un signal réel x(t) , t ∈ R. On suppose que les signaux x(t), x0 (t) et tx(t) sont
des signaux de L2 (R). Comme à l’accoutumée on définit l’énergie du signal x :
Z
Z
2
E=
|x(t)| dt =
|x̂(f )|2 df
R
R
On définit ensuite la fréquence centrale et de manière duale le « temps central » à l’aide des
relations suivantes :
Z
Z
1
1
2
f0 =
f |x̂(f )| df et t0 =
t|x(t)|2 dt
E R
E R
Enfin, on mesure l’étalement spectral (i.e. la dispersion spectrale) ainsi que l’étalement temporel
(i.e. la dispersion temporelle) par :
Z
Z
1
1
2
2
2
2
∆f =
(f − f0 ) |x̂(f )| df et ∆t =
(t − t0 )2 |x(t)|2 dt
E R
E R
L’objet de cet exercice est de montrer que l’étalement spectral et l’étalement temporel ne peuvent
pas être quelconques. Au contraire, le produit des deux reste toujours supérieur à 1/4π : lorsque
l’étalement spectral augmente l’étalement temporel diminue en raison inverse.
Pour cela on pose :
Z
Z
1
1
f 2 |x̂(f )|2 df et δt 2 =
t2 |x(t)|2 dt
δf 2 =
E R
E R
et on montre trois résultats préliminaires.
20
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
(1) (a) Montrez pour commencer que :
δf
2
= ∆f
2
+ f02 et δt
2
= ∆t
2
+ t20
en développant simplement les carrés.
(b) En utilisant les relations de « transformée de Fourier et dérivation » montrez que :
Z
Z
|x0 (t)|2 dt = 4π 2 f 2 |x̂(f )|2 df
R
R
(c) Montrez enfin, en intégrant par partie, que l’énergie du signal peut se calculer à partir
du signal dérivé x0 (t) :
Z
dx(t)2
dt
E=− t
dt
R
(2) Déduisez la relation recherchée :
q
q
∆t 2 + t20 ∆f
2
+ f02 >
1
4π
de ce qui précède, en appliquant l’inégalité de Schwarz. Écrivez également la relation obtenue
pour des signaux « centrés » au sens t0 = 0 et f0 = 0.
Signaux et systèmes linéaires
(3) Pour quelle classe de signaux a-t-on l’égalité ?
21
Exercice
32 — Conduction
de chaleur
dans undans
milieu
Exercice
31. — Conduction
de chaleur
un infini.
milieuDans
infini.cet exercice on cherche à caractériser les
Dans
exercice ondecherche
caractériser
les phénomènes
propagation
de chaleur
dans un de
phénomènes
decet
propagation
chaleurà dans
un cylindre
de longueurdeinfinie.
Le cylindre
est homogène,
cylindre
de
longueur
infinie.
Le
cylindre
est
homogène,
de
section
S,
densité
ρ,
capacité
calorique
section S, densité ρ, capacité calorique C (par unité de masse) et conductivité thermique K. On note T (x, t)
C (par unité
de masse)
et conductivité
thermique
K. On indiqué
note T (x,
température
duPar
cylindre
la température
du cylindre
à l’instant
t et à l’abscisse
x, comme
surt)lalafigure
suivante.
ailleurs on
à l’instant t et à l’abscisse x, comme indiqué sur la figure suivante. Par ailleurs on impose des
impose des conditions initiales (t = 0) de température : T (x, 0) = T0 (x) une fonction donnée.
conditions initiales (t = 0) de température : T (x, 0) = T0 (x) une fonction donnée.
Isolant
x
!
x=0
1. Équation différentielle pour T (x, t).
(1) Équation différentielle pour T (x, t).
(a) de
Le chaleur
flux de chaleur
à travers
une « tranche
» du cylindre
est proportionnel
à la différence
1a. Le flux
à travers
une « tranche
» du cylindre
est proportionnel
à la différence
de température
deux extrémités,
proportionnel
à la surface
de la section
de température
entre lesentre
deuxlesextrémités,
proportionnel
à la surface
de la section
du du
cylindre
et
inversement
proportionnel
à
la
longueur
de
la
tranche
de
cylindre
considérée.
cylindre et inversement proportionnel à la longueur de la tranche de cylindre considérée.
Le coefficient de proportionnalité est K, la conductivité thermique. En considérant les
Le coefficient de proportionnalité est K , la conductivité thermique. En considérant les
échanges thermiques à travers une mince tranche de cylindre, montrez que le flux de
chaleur en x est relié à la température par : 21
q(x) = −KS
∂T
.
∂x
(20)
c’est-à-dire que le flux est proportionnel au gradient de température et orienté dans le
sens opposé à ce dernier.
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
échanges thermiques à travers une mince tranche de cylindre, montrez que le flux de
chaleur en x est relié à la température par :
∂T
q(x) = −KS
.
∂x
c’est-à-dire que le flux est proportionnel au gradient de température et orienté dans le
sens opposé à ce dernier.
(b) Lorsqu’un élément du cylindre de masse m reçoit une quantité de chaleur ∆Q, sa
température s’élève de ∆T , les deux quantités étant reliées par la relation classique de
la thermodynamique : ∆Q = mC∆T . En étudiant l’évolution d’une mince tranche de
cylindre pendant une courte durée, montrez que la température et le flux de chaleur
sont reliés par :
∂T
∂q
= −SρC
.
∂x
∂t
Déduisez de (1a) et (1b) que T vérifie l’équation différentielle suivante
∂2T
1 ∂T
− 2
= 0,
∂x2
a ∂t
avec a2 = K/ρC. Montrez que c’est une équation linéaire.
La suite de cet exercice est consacrée à la résolution de cette équation en passant dans le domaine
de Fourier. La transformée de Fourier de T (x, t) par rapport à la variable x est une fonction de la
fréquence f que l’on pourrait noter : T̂ (f ). Comme cette fonction dépend aussi du temps on la note
T̂ (f, t).
(2) Équation différentielle en T̂ .
(a) En utilisant les formules de « transformée de Fourier et dérivation » déterminez les
∂2T
transformées de Fourier de ∂T
∂x et de ∂x2 , en fonction de T̂ .
R
(b) En dérivant la relation de transformée de Fourier reliant T en T̂ sous le signe , calculez
la transformée de Fourier de ∂T
∂t .
(c) Déduisez de ce qui précède une équation différentielle simple pour T̂ (f, t). Donnez
également les conditions initiales pour T̂ (on notera T̂0 la transformée de Fourier de
T0 ).
(d) Résoudre l’équation différentielle obtenue ci-dessus et montrez que la solution se met
sous la forme du produit de T̂0 (f ) par une fonction Π(f, t) que l’on précisera :
T̂ (f, t) = T̂0 (f ) Π(f, t) .
(3) En revenant dans le domaine spatial, i.e. par transformée de Fourier inverse, montrez que la
température recherchée T (x, t) s’écrit comme la convolution (par rapport à la variable x) de
la température initiale T0 (x) par une fonction P (x, t) que l’on explicitera complètement et
que l’on étudiera sommairement. Montrez par ailleurs que P (x, t) est elle-même une solution
de l’équation d’origine (1b).
(4) On s’intéresse pour terminer au cas particulier où la température initiale est de la forme :
2
T0 (x) = Ae−αx pour x ∈ R. Déterminez alors complètement T (x, t).
22
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
Exercice 32. — Quizz des transformée de Fourier. La figure suivante représente cinq signaux
temporels réels à temps continu s0 à s4 . Les signaux s1 à s4 ont été obtenus par des transformations
simples du signal s0 : modulation, décalage, dilatation, . . .
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
ï1
ï1
ï1
ï1
ï1
ï2
0
2
4
6
ï2
0
s0
2
4
6
ï2
0
s1
2
4
6
ï2
0
s2
2
4
6
ï2
0
s3
2
4
6
4
6
s4
(1) Identifiez ces transformations, i.e. expliquez comment chacun des signaux s1 à s4 a été
obtenu à partir de s0 .
La figure suivante représente leur transformée de Fourier (ŝa à ŝe ), dans le désordre. . .On sait
cependant que ŝa est la transformée de Fourier de s0 . nb : certaines transformées de Fourier sont
complexes mais seule leur partie réelle est représentée, pour alléger les figures.
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
ï1
ï1
ï1
ï1
ï1
ï2
0
2
ŝa
4
6
ï2
0
2
4
6
ŝb
ï2
0
2
ŝc
4
6
ï2
0
2
4
6
ŝd
(2) Reformez les couples (si , Sj ), i.e. retrouvez la transformée de Fourier des signaux s1 , s2 , s3 , s4
dans l’ensemble ŝb , ŝc , ŝd , ŝe .
Exercice 33. — Un peu d’optique : diffraction à l’infini et interférences.
On travaille sur le procédé de formation de figure de diffraction classique rappelé sur la figure suivante. Les hypothèses standard de l’optique sont essentiellement au nombre de deux. Premièrement
on ne s’intéresse aux figures de diffraction qu’autour de l’axe optique c’est-à-dire on fait l’hypothèse
θ reste petit. D’autre part on étudie les figures de diffraction à l’infini c’est-à-dire D très grand. En
pratique on forme ces figures de diffraction dans le plan focal d’une lentille convergente.
On note c la célérité de l’onde, f sa fréquence et λ sa longueur d’onde. On suppose que l’onde
incidente sur la fente diffractante est d’amplitude unité et on note a(x) la transparence de la fente.
Le phénomène de diffraction résulte des déphasages relatifs des différents rayons émergeant de la
fente et arrivant en Mθ , c’est-à-dire dans la direction θ.
(1) En prenant le point O comme origine, déterminez le décalage temporel ∆t d’un rayon
émergeant en un point x de la fente dans la direction θ en fonction de x, y, λ, D et f . On
pourra aussi poser z = y/λD. En déduire le terme de phase associé.
(2) En sommant les contributions de chaque élément de longueur dx situé en x (principe de
Huyghens), montrez que la figure de diffraction F (z) est la transformée de Fourier â(z) de
la fonction de transparence a(x).
(3) Dans le cas présenté sur la figure i.e. a1 (x) = 1 si x ∈ [−L/2, L/2] déterminez la figure de
diffraction.
(4) Un autre cas intéressant est constitué par les fameuses fentes de Young. Le système comporte deux fentes infiniment minces, en x = l et x = −l. On modélise le système par une
transparence a2 (x) = δ(x − l) + δ(x + l). Déterminez alors la figure d’interférences.
23
ï2
0
2
ŝe
Signaux et systèmes
Signauxlinéaires
et systèmes linéaires
23
Sujets de TD
x
!
! Mθ
#
""
""" "
"
#
""" """"
""
"
"
#
"
"
"
"
""
""
""" """"
""" ""
#
"
"
"
""
""" """"
""
"
#
"
"
"
O """" """"" """"
"
"
""
""
""
"""
"
"
θ
"
""
Fente
Écran
D
(5)leOn
considère
pour
terminer,
la « combinaison
des deux
1. En prenant
point
O comme
origine,
déterminez
le décalage »temporel
∆tprécédents
d’un rayonc’est-à-dire
émergeant deux
fentes
de
largeur
L
centrées
en
x
=
l
et
x
=
−l.
Déduire
de
ce
qui
précède
la
nouvelle
figure.
en un point x de la fente dans la direction θ en fonction de x, y, λ, D et f . On pourra aussi
poser
Montrez en quoi on observe des franges d’interférences « sous » la figure de diffraction.
z = y/λD . En déduire le terme de phase associé.
2. En sommant les contributions de chaque élément de longueur dx situé en x (principe de Huyghens),
montrez que la figure de diffraction
F (z) est la transformée
de la sous
fonction
Roche
Anguille de Fourier A(z)
Anguille
roche de
(une fente large)
(deux fentes minces)
(deux fentes larges)
transparence a(x).
2a. Dans le cas présenté sur la figure i.e., a1 (x) = 1 si x ∈ [−L/2, L/2] déterminez la
figure de diffraction.
2b. Un autre cas intéressant est constitué par les fameuses fentes de Young. Le système
comporte deux fentes infiniment minces, en x = l et x = −l. On modélise le système par
une transparence a2 (x) = δ(x − l) + δ(x + l). Déterminez alors la figure d’interférences.
2c. On considère pour terminer, la « combinaison » des deux précédents c’est-à-dire deux
de diffraction
Franges
d’interférence
Interférences
sous diffraction
fentes de largeurFigure
L centrées
en x = l et x =
−l. Déduire
de ce qui précède
la nouvelle
(L1 quoi
= 0.5,on
L2 observe
= 2)
(l1 =d’interférences
4, l2 = 1)
des deux)
figure. Montrez en
des franges
« sous (produit
» la figure
de
diffraction.
24
Roche
(une fente large)
Anguille
(deux fentes minces)
Anguille sous roche
(deux fentes larges)
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
Exercice 34. — Transformée de Fourier des doubles exponentielles (à temps discret).
Cet exercice est consacré au calcul de la transformée de Fourier des signaux :
x(n) = α|n| , n ∈ Z et α ∈] − 1, 1[ , α 6= 0
ainsi qu’à quelques-unes de leurs propriétés.
(1) Calculez x̂(ν) la transformée de Fourier de x(n).
(2) Vérifiez les propriétés de symétrie de x̂. Vérifiez également que :
X
x̂(0) =
x(n) .
Z
(3) Étudiez en détail le comportement de x̂(ν). Que dire du contenu spectral du signal x(n) :
plutôt basse fréquence, haute fréquence, . . . ?
(4) Que se passe-t-il lorsque α tend vers -1, 1, ou 0 ?
Exercice 35. — Transformée de Fourier de fréquences pures observées sur un horizon fini (à temps
discret).
Cet exercice est dédié à l’étude de la transformée de Fourier d’un signal monochromatique à
temsp discret observé sur une durée finie. Pour cela on définit le « signal porte » constant égal à
un à l’intérieur d’un intervalle et nul à l’extérieur :
(
1 si t ∈ [−N ; +N ]
ΠN (n) =
0 si t ∈
/ [−N ; +N ]
où N est un entier positif. On définit ensuite le signal d’intérêt, c’est-à-dire un signal monochromatique, de fréquence ν0 multiplié par le signal porte précédent :
xN (n) = e2jπν0 n ΠN (n) .
(1) Calculez Π̂N (ν) la transformée de Fourier de ΠN (n). On pourra introduire le noyau de
Dirichlet défini par DirN (u) = sin(N πu)/ sin πu.
(2) Vérifiez les propriétés de symétries de Π̂N (ν). Vérifiez que Π̂N (ν) est bien 1-périodique.
Vérifiez également que :
X
Π̂N (0) =
ΠN (n) .
Z
et donner :
Z
1
sin((2N + 1)πν)/ sin(πν)dν .
0
(3) Étudiez la fonction Π̂N (ν) en détail.
(4) En exploitant les relation « transformée de Fourier et modulation » déterminez la transformée de Fourier x̂N (ν) du signal {xn }n∈Z . Commentez le résultat obtenu en fonction de la
largeur de la porte considérée et notamment le comportement lorsque N tend vers l’infini.
25
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
Exercice 36. — Erreur d’interpolation et filtre anti-repliement.
Dans cet exercice on s’intéresse à l’interpolation de signaux à bande limitée et à bande non
limitée.
Pour cela, on considère la famille des sinus cardinaux ϕk , k ∈ Z définis par :
ϕk (t) = sinc(F t − k) =
sin π(F t − k)
, t∈R,
π(F t − k)
et on pose T = 1/F . On définit également le signal « porte » :
(
1
si f ∈ [−F/2; F/2] ,
ΠF (f ) = F
0
sinon .
(1) Famille des ϕk , transformées de Fourrier, orthogonalité, norme, . . .
(a) Tracez ϕ0 en positionnant précisément ses zéros. Déduisez simplement les ϕk à partir
de ϕ0 . Tracez également ϕ1 et ϕ−1 .
(b) Montrez que la transformée de Fourier ϕ̂0 de ϕ0 est ΠF . Déduisez-en la transformée
de Fourier ϕ̂k de ϕk .
(c) Déduisez-en également que la famille des ϕk est orthogonale. Donner la norme de
chacun des ϕk .
On rappelle maintenant la formule d’interpolation de Shannon :
z̃(t) =
X
k∈Z
z(kT ) sin(F t − k) .
Elle est fondée uniquement sur les valeurs échantillonnées z(kT ) du signal z à la cadence T . Elle
permet d’interpoler, c’est-à-dire de reconstruire un signal z̃ pour tout t ∈ R. On note ez̃ = z − z̃
l’erreur d’interpolation et Ez̃ son énergie.
(2) A quelle condition a-t-on une interpolation parfaite : z = z̃, i.e. Ez = 0 ?
(3) On considère alors un signal x, à bande non nécessairement limitée. On l’injecte à l’entrée
d’un filtre de réponse en fréquence F ΠF (f ) ce qui donne en sortie un signal xF . On
échantillonne alors x et xF , à la cadence T , ce qui fournit deux jeux d’échantillons x(kT ), k ∈
Z d’une part et xF (kT ), k ∈ Z d’autre part. On utilise chacun de ces deux jeux d’échantillons
pour interpoler x grâce à (36). On obtient ainsi deux interpolées que l’on note respectivement
x̃ et x̌.
(4) Calculez les deux erreurs de reconstruction Ex̃ et Ex̌ et comparez-les.
(5) Que se passe-t-il si x est à bande limitée à [−F/2 ; F/2] ?
(6) Conclure sur l’intérêt ou non des « filtres anti-repliement ».
Exercice 37. — Algorithme de transformée de Fourier rapide.
Cet exercice est dédié aux principes des algorithmes de Transformée de Fourier Rapide (fft pour
Fast Fourier Transform) qui permettent le calcul numérique (sur ordinateur) rapide et exact d’une
version discrétisée en fréquence de certaines transformée de Fourier à temps discret.
En général, le calcul numérique exact de la transformée de Fourier à temps discret d’un signal
{xn }n∈Z
26
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
+∞
X
(9)
n=−∞
xn e−2jπνn , ν ∈ [0, 1]
n’est pas possible pour deux raisons : la somme s’étend sur une infinité de termes et doit être
évaluée pour une infinité de valeurs de ν entre 0 et 1. En revanche, le calcul devient possible si
seulement un nombre fini de xn est non nul et si on se contente d’un nombre fini de valeurs de ν.
Par exemple, si xn est nul pour n < 0 et pour n > N0 , on peut calculer exactement les valeurs
de (9) sur une grille fréquentielle régulière de M valeurs de ν entre 0 et 1 : νm = m/M , pour
m = 0, . . . , M − 1. On pose alors :
(10)
x̂m =
NX
0 −1
n=0
xn e−2jπmn/M , pour m = 0, . . . , M − 1 .
Il s’agit d’une transformée de Fourier à temps discret, discrétisée en fréquence : on parle de Transformée de Fourier Finie. En pratique, on choisit M suffisamment grand pour avoir « l’impression »
d’une variable fréquentielle ν continue. Dans cet exercice, on commence cependant par considérer
le cas M = N0 et on suppose que N0 est une puissance de 2 : N0 = 2K .
Pour évaluer la rapidité des calculs on comptabilise le nombre de multiplications complexes
requises pour réaliser le calcul complet des x̂m , m = 0, . . . , M − 1. On suppose que les exponentielles
complexes sont précalculées.
(1) Quel est le nombre de multiplications nécessaires pour réaliser le calcul complet des x̂m à
partir des xn en utilisant la relation (10). Combien cela fait-il lorsque N0 = 1024 = 210 ?
L’idée à la base des algorithmes de fft consiste à découper le signal x en séparant les échantillons
pairs et les échantillons impairs. On définit alors x(p) et x(i) de longueur N1 = N0 /2 :
(i)
x(p)
n = x2n et xn = x(2n + 1) pour n = 0, . . . , N1 − 1
et on définit :
x̂(p)
m =
NX
1 −1
−2jπmn/N1
x(p)
et x̂(i)
n e
m =
n=0
NX
1 −1
n=0
(2) Calculez les x̂m en fonction des
(p)
x̂m
−2jπmn/N1
x(i)
pour m = 0, . . . , N0 − 1 .
n e
(i)
et x̂m pour m = 0, . . . , N0 − 1.
(p)
(3) Combien faut-il de multiplications pour reconstituer l’ensemble des x̂m à partir des x̂m et
(i)
x̂m ?
(p)
(p)
(i)
(i)
(4) Montrez que x̂m+N1 = x̂m et x̂m+N1 = x̂m . Combien faut-il calculer d’échantillons de x̂(p)
et x̂(i) pour avoir tous les x̂m ?
On sait donc calculer une transformée de Fourier finie sur N0 points à partir de deux de transformée de Fourier finie sur N1 = N0 /2 points. Pour calculer chacune des transformée de Fourier
finie sur N1 points on découpe à leur tour chaque signal x(p) et x(i) en deux signaux de longueur
N2 = N1 /2 toujours en séparant les échantillons pairs et les échantillons impairs. On obtient ainsi
quatre signaux de longueur N2 . On itère P fois l’opération jusqu’à n’avoir que des signaux de taille
NP = 2.
(5) Donnez la valeur de P . Combien de signaux obtient-on ?
27
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
(6) Donnez la relation de transformée de Fourier finie sur NP = 2 points. Combien de multiplication nécessite-t-elle ?
(7) Finalement, donnez le nombre de multiplications nécessaires pour réaliser le calcul complet
des x̂m à partir des xn en utilisant cet algorithme ? Quel est le gain par rapport au calcul
direct utilisant la relation (10) ? Combien cela fait-il lorsque N0 = 1024 = 210 ?
(8) Proposer une astuce pratique permettant de choisir M quelconque, plus grand que N0 , pour
avoir effectivement l’impression d’une variable fréquentielle ν continue.
Exercice 38. — Transformée en Z de la double exponentielle à temps discret.
On considère la famille des signaux exponentiel ou géométrique, à temps discret, définies par
avec α ∈ R.
|n|
xα
n ) = α , ∀n ∈ Z
(1) Comment varie le signal xα avec α. Représentez le pour différentes valeurs de α.
(2) Calculez la transformée en Z de xα . Précisez la région de convergence.
(3) Pour quelles valeurs de α le signal est-il stable ? Donnez, dans ce cas, sa transformée de
Fourier.
Exercice 39. — Transformée en Z inverse d’une fraction rationnelle d’ordre 1.
On s’intéresse ici à l’inversion de la fraction rationnelle d’ordre 1 :
1
H(z) =
z−a
où a ∈ R.
(1) Déterminez la suite {hn }n dont H est la transformée en Z. On distinguera deux cas selon
la région de convergence considérée.
(2) Donnez, dans chaque cas, la condition de stabilité pour H. Dans les cas stables, donnez la
transformée de Fourier ĥ de {hn }n . Donnez également le module au carré de ĥ.
Exercice 40. — Transformée en Z inverse d’une fraction rationnelle d’ordre 2.
On s’intéresse ici à l’inversion de la fraction rationnelle d’ordre 2 :
H(z) =
où a, b ∈ R, avec a < b.
1
(z − a)(z − b)
(1) Calculez la transformée en Z inverse {hn }n de H. On distinguera tous les cas possibles selon
la région de convergence considérée.
(2) Donnez, dans chaque cas, la condition de stabilité de H. Dans les cas stables, donnez la
transformée de Fourier ĥ de {hn }n . Donnez aussi le module au carré de ĥ.
28
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
Exercice 41. — Étude d’un filtre donné par sa fonction de transfert en z.
On s’intéresse à (aux) filtre(s) de fonction de transfert en z :
H(z) =
4z 2
(1) Donnez les zéros et les pôles.
z2
− 8z + 3
(2) Calculez la (les) réponses impulsionnelle(s) du (des) filtre(s) associé(s). Précisez à chaque
fois les caractéristiques du filtre : causalité, stabilité, . . .
(3) Donnez le (les) filtre(s) inverse(s) en précisant ici encore leurs caractéristiques.
Exercice 42. — Étude d’un filtre donné par sa fonction de transfert en z.
On considère le filtre dont le transfert en z est :
z 2 − z − 36
H(z) = 2
z −z−6
(1) Calculez la transformée en z inverse {hn }n de H. On distinguera tous les cas possibles selon
la région de convergence considérée.
(2) Donnez, dans chaque cas, la condition de stabilité de H. Dans les cas stables, donnez la
transformée de Fourier ĥ de {hn }n . Donnez aussi le module au carré de ĥ.
Exercice 43. — Étude d’un filtre donné son transfert en z.
On considère le(s) filtre(s) de transfert en z :
z
− 3z + 2
(1) Calculez la transformée en Z inverse {hn }n de H(z). On distinguera tous les cas possibles
selon la région de convergence considérée.
H(z) =
z2
(2) Donnez, dans chaque cas, la condition de stabilité de H. Dans les cas stables, donnez la
transformée de Fourier ĥ de {hn }n . Donnez aussi le module au carré de ĥ.
Exercice 44. — Transformée en Z de la fonction porte à temps discret.
On considère la famille des signaux porte, à temps discret, définis par
(
1 si n ∈ [n0 − N ; n0 + N ]
ΠN,n0 (n) =
0 si n ∈
/ [n0 − N ; n0 + N ]
avec n0 et N deux entiers naturels.
(1) Comment varie la fonction ΠN,n0 avec n0 et N ? Représentez la pour différentes valeurs de
n0 et N . Quelle est sa durée ?
(2) Calculez la transformée en Z de la fonction porte centrée en n0 = 0 : ΠN,0 . Précisez la
region de convergence.
(3) En exploitant les relations de « décalage et transformée en Z », donnez la transformée en
Z de ΠN,n0 pour tout n0 . Précisez la région de convergence.
29
1. Comment varie la fonction πN,n0 avec n0 et N . Représentez la pour différentes valeurs de n0 et N .
Quelle est sa durée ?
2. Calculez la transformée en z de la fonction porte centrée en n0 = 0 : πN,0 . Précisez la région de
convergence.
3. En exploitant les relation de « décalage et
Signaux
et convergence.
systèmes linéaires
région de
TZ
», donnez la
TZ
de πN,n0 pour tout n0 . Précisez la
Sujets de TD
(4)signal
Le signal
est-il stable
pourn0tout
et N ? Retrouvez
la transformée
de de
Fourier
4. Le
πN,n0Πest-il
pour tout
et Nn?0 Retrouvez
la transformée
de Fourier
πN,n0de
.
N,n0 stable
ΠN,n0 .
Exercice 45. — Sous échantillonnage – Interpolation – transformée en Z.
Exercice
— Sousauéchantillonnage
– Interpolation
– Transformée
auconstitué
système à temps
On 47
s’intéresse
système à temps
discret symbolisé
sur la figureen1.z.IlOn
est s’intéresse
globalement
discret
symbolisé
sur
la
figure
1.
Il
est
globalement
constitué
de
deux
parties
«
Système
I
»
et
Système
II »
de deux parties « Système I » et « Système II » situés respectivement à gauche et à droite«de
la
situés
respectivement
à gauche
et àcetdroite
de laestfigure
1. Laau
première
de cet
exercicepartie
est consacrée
au
figure
1. La première
partie de
exercice
consacrée
premierpartie
système,
la seconde
est
consacrée
au second
et la partie
troisième
partie concerne
leur et
association.
premier
système,
la seconde
est consacrée
au second
la troisième partie concerne leur association.
Système I
e
Sp
Si
Système II
xp
yp
xi
yi
Ip
Ii
zp
zi
+!
s
F IGURE 1 –
Figure 1. Système considéré
— Partie I : premier système —
— Partie I : premier système —
Le premier système est défini par deux sous systèmes Sp et Si et à une entrée e, il associe deux sorties xp
Le premier
et xi définies
par :système est défini par deux sous
! systèmes Sp et Si et à une entrée e, il associe deux
sorties xp et xi définies par :
( xp (n) = e(2n)
∀n ∈
xp (n)
= e(2n)
xi (n)
= e(2n + 1)
∀n ∈ Z
xi (n) = e(2n + 1)
Il réalise ainsi deux sous échantillonnages du signal d’entrée : il retient d’une part les échantillons d’indice pair
Il réalise ainsi deux sous échantillonnages du signal d’entrée : il retient d’une part les échantillons
et d’autre
part
lesetéchantillons
impair. d’indice impair.
d’indice
pair
d’autre partd’indice
les échantillons
Sp et Si sont-ils des systèmes linéaires ? Sont-ils invariants ? Justifiez brièvement.
1. S(1)
p et Si sont-ils des systèmes linéaires ? Sont-ils invariants ? Justifiez brièvement.
(2) Relation entrée – sortie, en z. On note E, Xp , Xi les transformées en z de e, xp , xi .
(a) entrée
Rappelez
la relation
denote
définition
Écrivez E(z)
2. Relation
– sortie,
en z . On
E, Xp ,de
Xi E(z).
les transformées
en zetdeE(−z)
e, xp , en
xi . séparant les
termes pairs et les termes impairs.
(b) Calculez
E(z) +de
E(−z)
et E(z)
− E(−z).
2a. Rappelez
la relation
définition
de E(z)
. Écrivez E(z) et E(−z) en séparant les termes
pairs
et les termes impairs.
(c) Déduisez-en
(
Xp (z) = 0.5 (E(z 1/2 ) + E(−z 1/2 ))
Xi (z) = 0.5 z 1/2 (E(z 1/2 ) − E(−z 1/2 ))
Jean-François Giovannelli
Sujets de travaux dirigés
(3) Donnez la transformée de Fourier x̂p de la sortie xp en fonction de la transformée de Fourier
ê de l’entrée e. Comment construire graphiquement x̂p à partir de ê ? Commentez.
30
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
— Partie II : second système —
La seconde partie du système est constituée de deux sous-systèmes lp et li d’entrées yp et yi et
de sorties zp et zi définies par
(
(
zp (2n) = yp (n)
zi (2n) = 0
et
∀n ∈ Z
zp (2n + 1) = 0
zi (2n + 1) = yi (n)
La sortie est la somme s(n) = zp (n) + zi (n). On note Zp , Zi , Yp , Yi et S les transformées en z de
zp , zi , yp , yi et s.
(4) Calculez Zp en fonction de Yp d’une part et Zi en fonction de Yi d’autre part.
(5) Donnez la transformée de Fourier ẑp de la sortie zp en fonction de la transformée de Fourier
ŷp de l’entrée yp . Comment construire graphiquement ẑp à partir de ŷp ? Commentez.
(6) Donnez S en fonction de Yp et Yi .
— Partie III : association des deux systèmes —
(7) On associe les deux systèmes en faisant : yp = xp et yi = xi . Déterminez la sortie s en
fonction de l’entrée e. Commentez.
Exercice 46. — Filtre tout pôle d’ordre 1.
On considère les filtres définis par la relation entrée-sortie suivante :
s(n) = αs(n − 1) + e(n) , ∀n ∈ Z ,
où e(n) est l’entrée, s(n) la sortie et α un paramètre réel.
(1) Déterminez H(z) la fonction de transfert en z correspondante. Donnez les zéros et les pôles
de H(z). Précisez les régions de convergence concernées.
(2) Étudiez la stabilité et la causalité des filtres correspondant en fonction de α.
(3) Déterminez le transfert en fréquence (quand c’est possible) et donnez les caractéristiques
du filtre (passe haut, passe bas, . . . ) en fonction de α.
(4) Déterminez la ou les réponse(s) impulsionnelle(s) en fonction de α.
M
Exercice 47. — Équation différentielle et transformée de Laplace.
On s’intéresse à un système causal à temps continu régit l’équation différentielle suivante :
y 0 + αy = βx
où x est l’entrée, y la sortie et y sa dérivée. Les coefficients α et β sont des réels donnés. On note
Lx (s) et Ly (s) les transformées de Laplace de x et y.
0
(1) S’agit-il d’un système linéaire ? Est-il invariant ? Justifiez brièvement.
(2) Déterminez la fonction de transfert H(s) = Ly (s)/Lx (s).
(3) À quelle condition sur α le système est-il stable ?
31
3. A quelle condition sur α le système est-il stable ?
Exercice 50 — Transformée de Laplace de la double exponentielle. Dans cet exercice on s’intéresse aux fonctions exponentielles du temps, de la forme :
Signaux et systèmes linéaires xα,τ (t)
= e−α|t−τ | , pour t ∈
Sujets de TD
où α estExercice
un réel positif
et Transformée
τ est un réel de
quelconque.
48. —
Laplace de la double exponentielle.
Dans cet exercice on s’intéresse aux fonctions exponentielles du temps, de la forme :
1. Représentez quelques-unes de ces fonctions (pour différentes valeurs de α et τ ).
xα,τ (t) = e−α|t−τ | , ∀t ∈ R
2. On commence par étudier le cas α = 1 et τ = 0. Calculer la
où α est un réel positif et τ est un réel quelconque.
région de convergence.
TL
de la fonction x1,0 (t). Donnez la
(1) Représentez quelques-unes de ces fonctions (pour différentes valeurs de α et τ ).
3. En exploitant
les relations
« dilatation
la TL de
l’un quelconque
des signaux
(2) On commence
pardeétudier
le cas et
α TL
= 1»,etdéterminez
τ = 0. Calculer
la transformée
de Laplace
de la
xα,0 (t) fonction x1,0 (t). Donnez la région de convergence.
(3) En exploitant les relations de « dilatation et transformée de Laplace », déterminez la
4. Pour terminer,
déterminez
la TL de
des signaux
signaux xxα,0
(t), en exploitant les relations
α,τ(t)
transformée
de Laplace
de l’un
l’un quelconque
quelconque des
de « décalage et TL ».
(4) Pour terminer, déterminez la transformée de Laplace de l’un quelconque des signaux xα,τ (t),
en exploitant les relations de « décalage et transformée de Laplace ».
Exercice 51 — Circuit RC et transformée de Laplace. On travaille avec le circuit RC série donné sur la figure
Exercice
49. — Circuit
RC et transformée
suivante.
Les composants
sont supposés
parfaits. de Laplace.
On travaille avec le circuit RC série donné sur la figure suivante. Les composants sont supposés
parfaits.
R
C
i(t)
"
!
v(t)
l’équation
différentielle
qui reliequi
v(t)relie
et i(t)
pourra
τ poser
= RCτ. = RC.
1. Déterminez
(1) Déterminez
l’équation
différentielle
v(t). On
et i(t).
On poser
pourra
(2) Quelques transformées de Laplace.
2. Quelques transformées de Laplace.
(a) Démontrer que si s 7→ Lx (s) est la transformée de Laplace de x(t), alors s 7→ sLx (s)
est la transformée de Laplace de la dérivée x.
2a. Démontrer que si X(s) est la transformée de Laplace de x(t), alors sX(s) est la trans(b)de
Calculer
Laplace
formée
Laplaceladetransformée
la dérivée xde! (t)
de x(t)L.u du signal échelon u, qui vaut 0 pour t < 0 et 1
pour t > 0. Donner la région de convergence correspondante.
(3) On revient au circuit électrique précédent. On suppose que la tension v vaut 0 pour t < 0
Jean-François Giovannelli
Sujets de travaux dirigés
et V0 pour t > 0. On posera V0 = RI0 .
(a) Déduire de ce qui précède, Li la transformée de Laplace de i.
(b) En déduire l’intensité i en inversant la transformée de Laplace. Indication : on pourra
utiliser tous les résultats du cours sans démonstration.
(c) Quelle est la limite de i lorsque t tend vers l’infini ? Commentez.
32
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
Exercice 50. — Transformée de Laplace bilatérale de la fonction porte.
Dans cet exercice on s’intéresse aux fonctions « porte » c’est-à-dire aux fonctions de la variable
temporelle :
(
1 si t ∈ [τ − T /2; τ + T /2]
ΠT,τ (t) =
0 si t ∈
/ [τ − T /2; τ + T /2]
où T et τ sont deux réels quelconques.
(1) On commence par étudier le cas T = 1 et τ = 0. Calculer la transformée de Laplace
bilatérale de la fonction Π1,0 (t). Donnez la région de convergence.
(2) En exploitant les relations de « dilatation et transformée de Laplace », déterminez la
transformée de Laplace (toujours bilatérale) de l’un quelconque des signaux ΠT,0 (t)
(3) Pour terminer, déterminez la transformée de Laplace bilatérale de l’un quelconque des
signaux ΠT,τ (t), en exploitant les relations de « décalage et transformée de Laplace ».
Exercice 51. — Transformée de Laplace inverse d’une fraction rationnelle d’ordre 1.
On s’intéresse ici à l’inversion de la fraction rationnelle d’ordre 1 :
1
H(s) =
avec a ∈ R .
s−a
(1) Déterminez la fonction temporelle h dont Lh est la transformée de Laplace. On distinguera
deux cas selon la région de convergence considérée.
(2) Donnez, dans chaque cas, la condition de stabilité de H. Dans les cas stables, donnez la
transformée de Fourier ĥ de h. Donnez également le module au carré de ĥ.
Exercice 52. — Transformée de Laplace des exponentielles généralisées tronquées.
Cet exercice est consacré à la démonstration du résultat suivant donné en cours et concernant la
transformée de Laplace des exponentielles généralisées tronquées. Pour tout entier naturel n, avec
la convention 0! = 1, on a :
x+
n,p (t)
=
tn ept u(t)
−→
T.L.
+
(s)
Xn,p
=
n!
; B(Re(p), +∞)
(s − p)n+1
x−
n,p (t)
=
−tn ept u(−t)
−→
T.L.
−
Xn,p
(s)
=
n!
; B(−∞, Re(p))
(s − p)n+1
(11)
où p est un nombre complexe quelconque et u est la fonction échelon unité (échelon de Heaviside).
Ce résultat est fondamental pour l’inversion des transformée de Laplace des fractions rationnelles.
(1) La démonstration de la première relation se fait par récurrence sur n.
(a) Démontrez que la relation est vraie pour n = 0.
(b) Supposez que la relation est vraie pour n = n0 . Déduisez en qu’elle est alors vraie pour
n = n0 + 1 en intégrant par partie.
(2) Déduisez la seconde relation de la première en vous appuyant sur la relation de « retournement temporel et transformée de Laplace ».
33
Signaux et systèmes linéaires
Sujets de TD
(3) Expliquez comment, à l’aide de ce résultat, on peut inverser les fractions rationnelles en s.
Exercice 53. — Transformée de Laplace inverse d’une fraction rationnelle d’ordre 2.
On s’intéresse ici à l’inversion de la fraction rationnelle d’ordre 2 :
1
H(s) =
(s − a)(s − b)
où a, b ∈ R, avec a < b.
(1) En utilisant les relations (11), donnez la transformée de Laplace inverse h de H. On distinguera tous les cas possibles selon la région de convergence considérée.
(2) Donnez, dans chaque cas, la condition de stabilité de H. Dans les cas stables, donnez la
transformée de Fourier ĥ de h. Donnez aussi le module au carré de ĥ.
34