Annales 2008 à 2010

PHY 241
ANNALES
(responsable UE : P. Toulemonde)
UE PHY241
Année 2010/11
DLST - U. J. Fourier
Annales
Ce document contient les annales de PHY241 des épreuves terminales (sessions 1 et 2) pour les années
2008-09 et 2009-10.
1
Licence de Sciences et Technologie – 2ème année
année 2008-09
UE PHY241
Epreuve terminale (durée 2h)
Documents interdits – Calculatrice interdite
QUESTION DE COURS (~ 30 min) :
1 – Rappeler l’expression de la force de Laplace en précisant chacun des termes et son cadre
d’application.
2 – Pendule électrique :
On considère un conducteur filiforme cylindrique rigide de longueur l de masse m mobile
autour d’un axe horizontal perpendiculaire au fil en une de ses extrémités (point O). L’autre
extrémité affleure dans du mercure contenu dans une cuve. Un courant d’intensité I constant
traverse le fil dans le sens imposé par le générateur du schéma ci-dessous. Le fil est placé dans
un champ magnétique B uniforme perpendiculaire au plan de la figure.
(a) Déterminer à l’équilibre l’angle d’inclinaison α du fil par rapport à la direction
verticale en fonction de B, I, l, m et g, le fil affleurant exactement à la surface du
mercure à l’équilibre. A-t-on le même équilibre si on applique un courant I dans le sens
opposé ?
(b) On appelle Φ0 le flux embrassé de B à travers le circuit lorsque I = 0, c'est-à-dire
lorsque α = 0. A partir de la situation précédente à l’équilibre, on diminue le courant I
de dI. Donner la variation du flux dΦ associée en fonction de B, l et α. En déduire la
force électromotrice (fem) induite si la diminution de I s’effectue pendant un temps dt.
Ο
B
α
mercure
1
PROBLEME (~ 1h30) : Ampèremètre à pince
Un barreau cylindrique conducteur (C), infiniment long, de section droite s = πa2 (un disque) et
d’axe zz’ est constitué d’un métal de conductivité γ. Il est parcouru par un courant électrique
continu d’intensité I, de densité uniforme j parallèle à z’z.
I. Cylindre conducteur
1 – Faire un schéma et analyser les symétries de la distribution de courant du système. En
déduire, dans un système de coordonnées adapté, l’orientation du champ magnétique
B (M ) créé par ce courant I en un point M de l’espace et sa dépendance par rapport aux
variables.
2 – Appliquez le théorème d’Ampère pour déterminer B (M ) en tout point M de l’espace. On
distinguera deux cas possibles. Tracer l’allure de la fonction B (M ) .
3 – (a) Sachant que la puissance P dissipée par effet Joule et par unité de volume est
montrer que la résistance électrique d’une longueur l du cylindre s’écrit : R =
dP j 2
,
=
dτ
γ
l
γπa 2
(b) [« points bonus » !] Comparer cette puissance P dissipée dans une longueur l du
conducteur au flux du vecteur de Poynting P à travers sa surface latérale. On rappelle que
P=
E∧B
μ0
et que j = γ E .
II. Tore de section carrée
Une surface torique, de section carrée est engendrée par un
carré de coté 2b tournant autour d’un axe (Δ) de son plan,
N spires
juxtaposées
(Δ)
parallèle à deux de ses cotés. On réalise un solénoïde
torique (S) en enroulant un fil conducteur sur la surface
(S)
précédente, de manière à constituer une seule couche de N
spires
identiques
carrées
jointives
supposées
planes.
Désignons par c le rayon moyen de ce solénoïde (voir
figure ci-contre représentant une partie du solénoïde). Un
courant continu d’intensité I’ circule dans les spires.
2b
c
2
1 – En vous aidant de schémas (vues en coupe ou en 3D), indiquez les symétries de la
distribution de courant I’ et en déduire l’orientation du champ magnétique B ( M ) en un point M
de l’espace engendré par la circulation de I’.
2 – Déterminer le champ B ( M ) à l’intérieur et à l’extérieur de (S) crée en un point M à une
distance ρ’ de l’axe (Δ). En particulier montrer que ce champ est nul pour M extérieur au tore.
3 – Exprimer l’énergie emmagasinée Em dans tout le volume du tore. On rappelle que l’énergie
emmagasinée par unité de volume d’un système générant un champ B est donné par
l’expression
dE m
B2
=
.
2μ 0
dτ
4 – Déduire de l’expression précédente que l’inductance propre (coefficient d’auto-induction)
du tore est : L =
μ 0 N 2b ⎛ c + b ⎞
ln⎜
⎟ . Retrouvez ce résultat en calculant le flux propre de B à
π
⎝c−b⎠
travers 1 spire constitutive du tore puis à travers ses N spires.
III. Association des 2 systèmes
On considère à présent le système formé par l’association du cylindre conducteur (C) de
longueur infinie, parcouru par un courant I et le solénoïde torique (S) dont on réunit maintenant
les extrémités du fil entre elles (I’ = 0), de manière à constituer un circuit fermé. Les axes zz’ et
(Δ) des deux sous-systèmes sont confondus.
1 – Montrer que l’expression littérale du coefficient d’induction mutuelle Mspire entre (C) et une
spire de (S) s’écrit M spire =
μ 0b ⎛ c + b ⎞
ln⎜
⎟ . En déduire la valeur de la mutuelle M du système
π ⎝c−b⎠
complet.
2 – Si l’intensité I du courant dans le cylindre diminue à partir de sa valeur initiale, que se
passe-t-il dans le circuit du tore ? I’ reste-t-il nul ? Sinon, dans une figure en coupe (passant par
l’axe z’z) précisez son sens en justifiant votre réponse.
3 – On reprend le dispositif ci-dessus en reliant maintenant les extrémités du bobinage torique
aux bornes d’un voltmètre et en injectant dans le cylindre (C) un courant I = I 0 cos(ϖt ) , qui
varie donc dans le temps.
(a) Qu’observe-t-on sur le voltmètre ? Calculer l’amplitude e0 de la force électromotrice (fem)
d’induction dans le solénoïde.
(b) Ce dispositif est utilisé dans l’industrie sous le nom « d’ampèremètre à pince ». Quel est
l’intérêt de ce montage ?
3
Licence de Sciences et Technologie – 2ième année
année 2008-09
UE PHY241
Epreuve terminale, session 2 (durée 2h)
Documents interdits – Calculatrice interdite
QUESTIONS DE COURS & APPLICATION DU COURS (~ 40 min) :
1. On considère un condensateur plan aux armatures infinies (dans les directions x et y),
chargé, à l’équilibre (cf. schéma ci-dessous).
a) Quelle est la densité de charges volumique dans ses armatures (justifier)? Pourquoi at-on à l’équilibre des densités de charges opposées entre les armatures ? Que vaut le
champ électrostatique à l’intérieur des armatures ?
z
d
x
+σ
O
-σ
y
Calculez le champ électrostatique créé entre les armatures infinies de ce condensateur
plan, en fonction de la densité surfacique de charges σ et de la distance d entre ses
armatures.
b) En l’absence de champ magnétique, les deux premières équations de Maxwell
r ρ
r r r
s’écrivent divE =
et ro t E = 0
ε0
Sans démonstration, donnez les formes intégrales (et leurs noms) de ces deux équations
avec leurs conditions d’utilisation.
c) Retrouvez l’expression des opérateurs divergence et rotationnel en coordonnées
cartésiennes. Montrez alors que les deux premières équations de Maxwell sont vérifiées
dans l’espace entre les deux armatures chargées.
1
2. Un barreau cylindrique plein de rayon R, en cuivre et de longueur infinie, est relié au
potentiel V0.
a) Indiquez comment se répartissent les charges (faire une figure et justifier).
b) Déterminez le champ électrostatique en tout point de l’espace.
c) Après avoir énoncé le théorème de Coulomb, indiquer si le résultat de la question 2b
est en accord avec ce théorème.
PROBLEME 1(~ 1h20):
A/ Une spire conductrice filiforme de rayon r est placée dans l'entrefer d'un aimant où
r
r
règne un champ magnétique uniforme B = B u x . La résistance électrique totale de la
boucle est R.
La spire tourne autour de l’axe (O,z). A l’instant t, la position de la spire est repérée par
r
r
l’angle θ entre u x et le vecteur unitaire normal à la spire n .
z
y
0
B
θ
n
x
0
Vue de
dessus :
θ
n
y
x
A l'instant initial, la spire est perpendiculaire au champ (θ=0). On fait tourner la boucle
avec une vitesse angulaire ω autour de l’axe (O,z).
2
1) Quel phénomène physique intervient lors de cette expérience ?
2) Calculer le flux du champ à travers la spire en fonction du temps.
3) En déduire l’intensité traversant le circuit en fonction du temps.
4) Quelle est la charge traversant une section donnée de la spire, lorsque la boucle
effectue un tour complet autour de (O,z)?
5) Quel type de machine peut-on fabriquer sur ce principe?
B/
Un petit aimant permanent peut être assimilé à une spire indéformable parcourue par un
courant constant I. La surface de la spire est S, et elle est orientée selon la règle du tirer
bouchon par un vecteur unitaire n .
z
I
x
y
B
n
Ce petit aimant est placé dans l’entrefer d’un électroaimant, dans une zone de l’espace
où le champ magnétique est strictement constant, orienté selon l’axe (O,y). La direction
r
initiale de n est quelconque.
1) Dans un premier temps le seul mouvement permis à l’aimant correspond à un
r
mouvement de translation ( n est constant au cours du mouvement). Quelle est la force
exercée sur le petit aimant (négligez la pesanteur)?
2) Dans un second temps, seuls les mouvements de rotation sont permis. Donner la (les)
position(s) d’équilibre ? Justifier.
3
Licence de Sciences et Technologie – 2ème année
année 2009-10
UE PHY241
Epreuve terminale (durée 2h)
1ère session – mai 2010
Documents interdits – Calculatrice interdite
EXERCICE (~ 30 min) :
1. A l’aide d’un schéma, rappeler l’expression de la force de Lorentz sur une charge ponctuelle.
2. Etablir l’équation de la trajectoire d’une charge ponctuelle q (supposée positive) dans un champ
électrique E et magnétique B uniformes parallèles à l’axe Oz et dont la vitesse initiale v0 est
dirigée suivant l’axe Ox. On s’aidera d’un schéma pour résoudre l’équation différentielle régissant
le mouvement de la particule.
PROBLEME (~ 1h30) : Haut-parleur électrodynamique
Nous allons nous intéresser dans ce problème à un élément essentiel du haut-parleur : sa bobine.
Celle-ci est un solénoïde cylindrique situé dans le vide, représenté en coupe sur la figure
ci-dessous. Elle est supposée de longueur h très grande devant son rayon a, et comporte n spires
par unité de longueur. Les effets de bord seront négligés. La bobine est alimentée par un courant
i lentement variable. La perméabilité magnétique du vide est notée µ0.
I. Topographie du champ magnétique
1.1 En supposant le solénoïde de longueur infinie, déterminer la direction du champ magnétique
B en tout point de l’espace à l’aide de considérations de symétrie.
1.2 On s’intéresse ici au champ produit par une seule spire du solénoïde, représentée
ci-dessous :
Enoncer la loi de Biot et Savart pour les circuits filiformes. On notera i.dl un élément de
courant de la spire situé en un point P du circuit.
Reproduire le schéma de la figure ci-dessus en précisant la direction et le sens :
- du vecteur champ élémentaire dBs (N ) créé par l’élément de courant source i.dl en un point
N de l’axe ;
- du vecteur champ magnétique Bs (N ) créé par la spire de courant au même point.
On s’intéresse maintenant au champ magnétique B(M) créé par l’ensemble du solénoïde.
1.3 Soit M un point quelconque, situé à l’intérieur du solénoïde.
a- Lorsque M est sur l’axe Oz, déduire de ce qui précède le sens du champ B (M ) .
b- Quelle que soit la position de M (hors de l’axe), préciser, en considérant les symétries du
problème, la (les) coordonnée(s) cylindrique(s) (r, θ, z) dont le champ B (M ) dépend a priori.
1.4 En appliquant le théorème d’Ampère sur un contour analogue au contour A1A2A3A4 défini
sur la 1ère figure, montrer que le champ B (M ) à l’intérieur du solénoïde ne dépend pas de r.
II. Calcul du champ magnétique sur l’axe
On donne l’expression du champ magnétique produit par une spire parcourue par un courant i,
en un point N de son axe, en fonction des paramètres définis sur la 2ème figure :
Bs ( N ) = Bsr u r + Bsθ uθ + Bsz u z
1.5 Démontrer que Bsz ( N ) =
μ 0i
2a
(sin α ) 3 en précisant les valeurs de Bsr et de Bsz , et montrer
que le champ sur l’axe du solénoïde, loin des deux extrémités, vaut :
B ( M ) = Br u r + Bθ uθ + B z u z avec : B z ( M ) = μ 0 ni .
Que valent Br et Bz ?
III. Champ magnétique dans tout l’espace
1.6 En appliquant le théorème d’Ampère sur un contour que l’on précisera, trouver l’expression
du champ B (M ' ) lorsque M' est un point situé à l’extérieur du solénoïde.
1.7 Réaliser un schéma faisant figurer les lignes de champ et leur sens dans le cas du solénoïde
infini.
1.8 Réaliser qualitativement le même tracé dans le cas du solénoïde fini.
IV. Calcul de l’auto-inductance (inductance propre)
1.9 Définir le flux magnétique φ p créé à travers une spire par l’ensemble du solénoïde. On
pourra s’aider d’un schéma pour définir les orientations nécessaires.
1.10 Déduire des questions précédentes la valeur du flux total Φ à travers le solénoïde (supposé
très long) et la valeur de l’auto-inductance L de la bobine en fonction de n, a, h, et µ0.
1.11 Dans le cas du solénoïde fini, de hauteur h, le champ magnétique en un point M’ de son
axe, distant de z de son point central O, est donné par :
B(M ' ) = Bz u z =
μ 0 ni
2
(cos α 1 + cos α 2 )u z .
a. A l’aide d’un schéma préciser α1 et α2.
b. Exprimez Bz en fonction de µ0, n, i, h, z et a.
c. Donnez l’expression du flux du champ magnétique traversant une tranche n.dz du solénoïde.
En supposant que le champ reste identique en norme et en direction pour les points en dehors de
l’axe du solénoïde, calculez alors le flux total traversant le solénoïde fini.
d. En déduire que l’inductance propre du solénoïde fini s’écrit L = μ 0 n 2πa 2
Est-ce cohérent avec le cas du solénoïde infini ?
[R
2
]
+ h2 − a .
V. Energie emmagasinée dans le solénoïde
1.12. Rappeler l’expression de l’énergie emmagasinée par un système filiforme parcourue par
un courant i et d’inductance propre L.
1.13 Donner dans le cas du solénoïde infini cette énergie.
VI. Système de deux bobines en interaction
On imagine à présent une seconde bobine, de longueur finie l comportant n’ spires par unité de
longueur et de rayon b < a à l’intérieur du solénoïde infini considéré précédemment (toujours
parcourue par le courant i). Cette seconde bobine est centrée sur l’axe du solénoïde infini mais
son axe faisant un angle β (<90°) avec celui du solénoïde.
1.14 Donnez l’expression du flux total Φ’ traversant la seconde bobine en fonction de µ0, n, n’,
i, l, b et β.
1.15 En déduire l’inductance mutuelle M des deux circuits.
1.16 On suppose maintenant β = 0 et on relie la seconde bobine à une résistance R située à
l’extérieure de l’ensemble de façon à constituer un circuit fermé. A t = 0, on coupe le courant
parcourant le solénoïde infini qui diminue alors de façon exponentielle : i = i0 exp(−t / τ ) (pour
t >0).
a. Que se passe-t-il dans la seconde bobine ?
b. En déduire le courant i’ circulant dans cette seconde bobine pour t>0 en fonction de µ0, n, n’,
i0, l, b, τ et R.
Licence de Sciences et Technologie – 2ème année
année 2009-10
UE PHY241
Epreuve 2° session (durée 2h)
Documents interdits – Calculatrice interdite
EXERCICE 1 (~ 30 min) :
r
r
⎛ d B dE r ⎞
⎟
1. Enoncer les équations de Maxwell en régime permanent ⎜
⎜ dt = dt = 0 ⎟
⎝
⎠
2. Rappelez l’expression du champ électrostatique entre les armatures d’un condensateur plan,
les électrodes étant chargées avec une densité de charges surfacique σ . Faire un schéma
précisant l’orientation du champ.
3. Vérifier que les équations de Maxwell sont valides entre les deux armatures du condensateur
plan.
r
r
r
4. Sachant que B est uniforme dans l’entrefer d’un électroaimant (on prendra B = B0 k avec
B0 une constante), vérifier que les équations de Maxwell sont valides dans cette zone.
( )
r
r
5. Question indépendante : A( Ax , Ay , Az ) étant un champ vectoriel, calculer div rotA en
coordonnées cartésiennes. On simplifiera l’expression au maximum.
r
r
r
v
(Rappel : en coordonnées cartésiennes, ∇ = ∂ i + ∂ j + ∂ k )
∂x
∂y
∂z
EXERCICE 2 (~ 60 min) :
z’
Δ
I
R
P
r
o
i
z
Un fil infini, vertical (zz’), placé dans le vide, est parcouru par un courant d’intensité I constant.
Une spire plane circulaire de rayon R, et parcourue par un courant i, est assujettie à se déplacer
dans le plan de la figure. On transporte la spire de l’infini à une distance PO = r du fil. On
r
suppose r grand par rapport à R, c’est-à-dire que le champ B rayonné par le fil xx’ peut être
considéré comme uniforme dans la zone de la spire.
r
1. Calculer le champ B rayonné par le fil zz’ au centre de la spire plane, en utilisant le système
de coordonnés le mieux adapté, les principes de symétries et le théorème d’Ampère sur un
contour judicieusement choisi.
r
2. Calculer le champ B rayonné par le fil zz’ au centre de la spire plane, en utilisant la loi de
Biot et Savart.
3. Quel est le flux du champ magnétique crée par le fil à travers la spire lorsque celle-ci est à
l’infini ? à la distance r ? En déduire la variation du flux d’induction ΔΦ à travers la spire au
cours du déplacement considéré, en fonction de I,R,r et μ0.
4. Quel est la variation d’énergie potentielle de la spire dans le déplacement considéré? Quel est
le travail fourni par l’opérateur ?
5. Calculer la force qui s’exerce sur la spire lorsqu’elle est libre de se déplacer radialement en
fonction de i, I, R, r et μ ?
6. On fait tourner la spire d’un certain angle α autour d’un axe Δ parallèle au fil et passant par
O. Evaluer, en fonction de I, R, r, μ0 et α: la variation de flux, la variation d’énergie potentielle
pendant cette rotation, et le couple qui s’exerce sur la spire dans cette nouvelle position.
EXERCICE 3 (~ 30 min) :
On relie les deux armatures d’un condensateur plan de surface S (supposé dans le vide) à un
générateur de tension V. On coupe ensuite les fils de contact afin d’isoler le condensateur. Les
armatures sont espacées d’une distance x.
1) Faites un schéma du condensateur et portez y les informations de son état électrostatique
(charges, potentiel, champ électrostatique) une fois déconnecté du générateur de tension.
2) Quelle est la valeur du champ électrique régnant entre les armatures planes du
condensateur ? En déduire la capacité du condensateur.
3) Définissez la pression électrostatique subie à la surface des armatures et donner son
expression en fonction de V, x et ε0.
4) Calculer la force d’attraction existant entre les deux armatures à partir des forces de pression
électrostatique.
5) Calculer l’énergie stockée par le condensateur en fonction de fonction de V, x, S et ε0.
6) Calculer la force d’attraction existant entre les deux armatures à partir de l’énergie du
emmagasinée dans le condensateur.