énoncé

Spé ψ 2012-2013
Devoir n°3
TRAITEMENT DU SIGNAL
Le sujet, étude du principe de fonctionnement d’un voltmètre numérique, comporte trois
parties assez largement indépendantes. La réponse à chaque question devra être accompagnée d’une
justification précise pour être prise en compte.
Les figures sont données en fin d’énoncé.
Partie I
LIMITES AU FONCTIONNEMENT LINEAIRE DE L’AO IDEAL.
On considère le montage figure 1, où l’ampli opérationnel est décrit par le modèle idéal.
I-1) Montrer que l’on a, en général, uS ( t ) = GuE ( t ) .
I-2) Le constructeur indique un courant maximum en sortie de 20 mA. On applique à
l’entrée du montage la tension uE ( t ) = U EM cos ( ωt ) avec UEM = 1,0 V, R2 = 100 kΩ, R1 = 10 kΩ,
USAT = U’SAT = 14,0 V. Comment choisir la valeur d’une résistance RU placée en sortie pour garder
un fonctionnement linéaire ?
duS
< σ , où σ est appelé vitesse de balayage de l’AO
dt
(slew rate). Le constructeur indique pour l’AO précédent σ = 1,0 V⋅µs–1. On applique à l’entrée la
même tension qu’à la question I-1) et l’on augmente ω. Jusqu’à quelle valeur ω1 de ω, uS(t) restet-elle théoriquement sinusoïdale ? Décrire la déformation de uS(t) pour des valeurs ω > ω1. On peut
se servir de l’apparition de cette déformation pour estimer σ. Proposer une autre méthode de mesure
expérimentale de σ utilisant un autre type de signal uE(t).
I-3) La sortie ne reste linéaire que si
Partie II
PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D’UN VOLTMÈTRE NUMÉRIQUE.
La figure 2 donne le schéma de principe d’un voltmètre numérique à double rampe. La tension à mesurer U (supposée constante) et la tension de référence UREF sont positives. Les AO sont
idéaux, de tensions de saturation telles que USAT = U’SAT = 14,0 V. On notera VA, VB,VD les potentiels des points A, B, D par rapport à la masse.
II-1) LE SCHÉMA.
a) Quelle est la fonction de (I), K2 étant ouvert ? Que vaut alors VA ?
b) K2 et K3 étant ouverts et K1 fermé, montrer que (II) est un intégrateur.
c) Quelle est la fonction de (III) ? Exprimer VD en fonction de VB.
C’est la valeur de VD qui détermine l’action de la logique de commande sur les interrupteurs et le compteur. Lorsque cette commande le permet, le compteur reçoit des impulsions de période T0 délivrées par l’horloge. Le résultat du comptage est transmis à l’afficheur.
II-2) FONCTIONNEMENT.
Pour t < 0, K3 est fermé, K1 et K2 ouverts.
À partir de t = 0, K1 est fermé, K2 et K3 ouverts.
À partir de t = t1 = N1T0, K2 est fermé, K1 et K3 ouverts, N1 est fixé indépendamment de U.
a) Exprimer et représenter graphiquement VB(t) entre t = 0 et t1, puis pour t > t1 (on
rappelle que U est positif).
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Devoir n°2
On note t2 l’instant où VD bascule, entraînant la commande : K3 fermé, K1 et K2 ouverts.
Qu’est-ce qui provoque le basculement: de VD ?
b) Exprimer (t2 – t1) en fonction de U, UREF, N1 et T0.
c) Comment choisir UREF par rapport à U pour que le cycle de mesure, déclenché par
la logique de commande, puisse reprendre à 2t1 = 2N1T0 ?
d) Peut-on choisir N1 aussi grand que l’on veut ?
II-3) MESURE.
Le compteur enregistre les impulsions fournies par l’horloge uniquement entre t1 et t2, soit
pendant (t2 – t1), une impulsion est comptée pour chaque période T0 écoulée. On note
N 2 = ( t2 − t1 ) / T0 .
a) Exprimer N2 en fonction N1, UREF et U.
b) Quelle est la relation entre l’indication N’ du compteur et N2 (on considérera que
le nombre d’impulsions comptées est égal au nombre de périodes entières T0 contenues dans (t2 –
t1 ) ?
c) La précision de mesure dépend-elle de la précision avec laquelle T0 est connue ?
Quelle qualité de l’horloge intervient essentiellement dans la fiabilité de la mesure ? Quelle modification de caractéristique de l’horloge augmenterait la précision de la mesure ?
II-4) UTILISATION DU VOLTMÈTRE EN RÉGIME VARIABLE.
La mesure des valeurs efficaces (fonction RMS des voltmètres numériques, ou root mean
square : racine carrée de la moyenne du carré) peut se ramener à la mesure d’une tension continue.
a) Soit v ( t ) = v0 + va ( t ) , avec v0 = v ( t ) , v0 est la valeur moyenne de v(t) et va(t) la
composante alternative.
α) Établir la relation entre VEFF, v0 et VaEFF ; VaEFF est la valeur efficace de la
composante alternative.
En fonctionnement RMS-AC+DC l’appareil donne VEFF.
En fonctionnement RMS-AC l’appareil donne VaEFF.
β) Calculer les valeurs efficaces, en fonction de E, des tensions v1(t) et v2(t)
représentées figure 3.
b) La figure 4 donne le schéma de traitement de la tension variable v(t) avant application au
voltmètre numérique.
α) Le multiplieur analogique auquel on appliquerait x(t) et y(t) fournirait en
x(t ) y (t )
.On considère v(t) sinusoïdale pure : v ( t ) = U EFF 2 cos ( ωt ) . Montrer que
sortie z (t ) =
E0
VA ' ≠ 0 , (VA’. potentiel du point A’ est défini sur la figure 4). Représenter et comparer les spectres
de fréquence de v(t) et VA’.
β) Le filtre passe-bas est un filtre RC représenté figure 5. Exprimer la fonction de transfert de ce filtre et la pulsation de coupure en fonction de R0 et C0. Comment choisir
R0C0 pour que VB = VA ' ?
γ) On peut aussi utiliser le filtre représenté figure 6. Exprimer la fonction de
transfert de ce filtre et sa pulsation de coupure. Quelle condition doit être réalisée pour que cette
pulsation de coupure sot la même que celle du filtre précédent ? Quel(s) avantage(s) et inconvénient(s) se filtre présente-t-il par rapport au précédent ?
δ) L’extracteur de racine carrée est représenté figure 7. Q est un quadripôle
dont la fonction de transfert est s ' = f ( e ') , l’AO est idéal et fonctionne en régime linéaire. Montrer
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Devoir n°2
que le choix d’un multiplieur pour Q permet d’obtenir s proportionnel à e (soit s = E0 e ) ? Représenter le schéma correspondant.
ε) On utilise l’extracteur de racine carrée avec e = VB’ et s = U. Soit v(t) une
tension sinusoïdale pure v ( t ) = VEFF 2 cos ( ωt ) . En supposant R0 et C0 choisis convenablement,
montrer que U est proportionnel à VEFF. Si v(t) est une fonction périodique quelconque, indiquer
comment choisir R0C0 pour que U soit proportionnel à VEFF.
II-5) MESURE DES FAIBLES TENSIONS.
Avec le voltmètre de principe, figure 2, aucune rampe de charge n’est obtenue quand U = 0.
Pour pouvoir mesurer des tensions faibles, on modifie la partie intégrateur de la façon indiquée figure 8. U et UEFF sont prises positives. Le fonctionnement est le suivant :
Pour t < 0, K3 est fermé, K1 et K2 ouverts.
À partir de t = 0, K1 est fermé, K2 et K3 ouverts: phase 1.
À partir de t = t1 = N1T0, K2 est fermé, K1 et K3 ouverts, N1 est fixé indépendamment de U :
phase 2.
a) Exprimer pour chaque phase VB(t) en fonction de t, R, C, UREF, U et t1. Représenter graphiquement VB(t), en indiquant les durées proportionnelles aux nombres d’impulsions N1 et
N2 (à une unité près) comptées pendant les phases 1 et 2.
b) Sur le même graphe faire apparaître VB(t) lors d’une mesure de U = 0. On note N02
le nombre d’impulsions correspondant à la phase 2 dans ce cas.
c) Montrer que U s’exprime en fonction de UREF, N2 et N1 seulement. Si l’on souhaite
un nombre indiqué par le compteur proportionnel à U, quand doit-on commencer l’enregistrement
des impulsions ?
Partie III
ÉTUDE DUN DISPOSITIF POUVANT SERVIR D’HORLOGE.
On désire obtenir en sortie d’un oscillateur, qui servira d’horloge, la tension représentée figure 10. On appelle rapport cyclique : α = θ / T0 .
III-1) LE MONTAGE DE BASE :
Ce montage (figure 9) utilise un AO idéal fonctionnant dans sa zone non linéaire (comparateur à hystérésis). Les tensions de saturation de l’AO sont USAT et –USAT. On note
R1
V1 = U SAT
.
R1 + R2
USAT.
a) À t = 0, v– = 0 et uS = + USAT. Exprimer v–(t) pour t ≥ 0 en fonction de t, R, C et
b) Montrer qu’il existe un instant t1 tel que uS bascule en –USAT. Exprimer t1 en fonction de R, C, V1 et USAT.
c) Exprimer v–(t) pour t ≥ t1 et montrer qu’il existe un instant t2 tel que uS bascule
en +USAT. Exprimer t2 – t1 en fonction de R, C, V1 et USAT.
d) Représenter v–(t), uS(t) et uS(V–).
e) Calculer la période T0 de v–(t) et uS(t) en fonction de R, C, V1 et USAT puis R, C, R1
et R2. Calculer α.
AN : R1 = 20 kΩ, R2 = 80 kΩ, R = 5,0 kΩ et l’on veut T0 = 20 µs. Calculer C.
f) Qualitativement, comment le slew rate σ limité de l’AO modifie-t-il la forme de
uS(t) ? On donnera l’allure du graphe uS(t). Pour USAT = 14,0 V, quelle condition numérique devrait
respecter σ pour que les commutations soient acceptables (durée de commutation inférieure à
T0/2) ?
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Devoir n°2
On envisage maintenant des modifications du montage de base permettant des réglages indépendants de la période, du rapport cyclique et de l’amplitude de la tension de sortie
III-2) MODIFICATION DE LA PÉRIODE.
On réalise le montage figure 11 où RP est un potentiomètre de 25 kΩ avec k variant de 0 à 1.
Les autres composants ont les valeurs indiquées à la question 1 avec C = 4,9 nF.
a) Exprimer T0 en fonction de R, C, R1, R2, RP et k.
b) Quelles sont les valeurs numériques extrêmes de f0 = 1/T0 ?
c) Que vaut, dans ce cas, le rapport cyclique ?
III-3) MODIFICATION DU RAPPORT CYCLIQUE.
On réalise le montage figure 12 où R’P est un potentiomètre de 4,7 kΩ, k variant de 0 à 1,
R’ = R" = 100 Ω. Les diodes sont idéales et les autres composants ont les valeurs indiquées à la
question III-1.
a) Calculer la période T0. Dépend-elle de k ?
b) Calculer le rapport cyclique α en fonction de R’, R", RP’ et k. Quelles sont ses valeurs numériques extrêmes pour k variant de 0 à 1 ?
III-4) MODIFICATION DE L’AMPLITUDE.
On réalise le montage figure 13a où D1 et D2 sont des diodes Zener de tensions Zener respectives VZ1 = 9,0 V et VZ2 = 3,0 V et de tension seuil VSEUIL = 0,6 V, conformément à la caractéristique tracée figure 13b. Les autres composants ont les valeurs indiquées à la question III-1.
Déterminer et représenter le graphe de uS(t). Si les diodes supportent un courant d’intensité
maximale IMAX = 10 mA, comment faut-il choisir RZ ?
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Annexe (figures)
+
–
⊳
∞
R2
uE
uS
R1
figure 1
INTER
ELEC
(I)
(II)
(III)
C
R
R
–
⊳
∞
+
K3
A
R
–
K1
+
U
–
D
⊳
∞
+
K2
UREF
AFFICHEUR
NUMERIQUE
B
⊳
∞
LOGIQUE
DE
COMMANDE
COMPTEUR
HORLOGE
figure 2
v1
v2
E
2E
t
t
–E
figure 3
FILTRE
A’
MULTIPLIEUR
B’
PASSE-BAS
vA’
v(t)
EXTRACTEUR
DE
RACINE CARREE
S
u(t)
vB’
figure 4
R0
vA’
C0
R2
vB’
vA’
e’
C
R3
R1
figure 5
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Q
s’
C
figure 6
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–
+
–
⊳
∞
+
vB’
e
⊳
∞
s
figure 7
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INTER
ELEC
C
K3
R
–
K1
+
–U
K2
UREF
B
⊳
∞
UREF/2
figure 8
R
–
⊳
∞
+
v–
u’S
R2
θ
E
C
t
uS
v+
R1
T0
figure 10
figure 9
R’
D’
R
kRP’
–
⊳
∞
+
(1 – k)RP’
D’’
R’’
R2
C
uS
–
(1 – k)RP
⊳
∞
+
R2
k RP
C
uS
R1
R1
figure 12
figure 11
i
R
–
+
u
⊳
∞
RZ
i
R2
D1
C
R1
uS
VSEUIL
D2
u
figure 13b
figure 13a
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–VZ
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