Document

Transport quantique mésoscopique
Du transport classique au transport quantique
Hélène Bouchiat
[email protected]
Conductivité et temps de relaxation, diffusion classique
Collisions élastiques et inélastiques
Cohérence de phase et interférences électroniques
Comment définir la résistance d’un conducteur cohérent ?
A-Système connecté
Conductivité et transmission
Formule de Landauer
Canaux de conduction et quantification de la conductance
Fil quantique = guide d’onde électronique
Transport balistique et diffusif
Canaux effectifs dans un système diffusif et localisation
Où se fait la chute de potentiel ? Résistance de contact et dipôles de Landauer
Fluctuations de conductance
B- Système isolé
Effet Aharonov Bohm Courants permanents et sensibilité aux conditions aux
limites
Conductivité et absorption micro-onde
Comprendre le transport aux échelles submicroniques
À très basse température T< 1K
Rappels: Conductivité et temps de relaxation
Diffusion électronique et Modèle classique de Drude
Electron au niveau de Fermi particule classique (caractérisée par les dépendances
temporelles de sa position et de sa vitesse x(t), v(t)= dx/dt )
<v(t)> = 0. temps de collision τ
<v(ο)v(t)>t = <v(ο)2>t e -t/τ avec
<v(ο)2> t = vF2
Trajectoire diffusive :
<x(t) –x(0)> =0,
< (x(t) –x(0)) 2> = D t
coefficient de diffusion D = l τ /d avec l = vF τ distance moyen entre 2 chocs
successifs est le libre parcours moyen.
Equation de Langevin :
m dv/dt = -v/τ + F(t)
Terme de viscosité
varie très rapidement avec le temps à l’échelle de τ: <F(t)> =0
Champ électrique E(t) variant lentement en comp.de F(t)
m d<v(t) >/dt = -<v (t)> /τ + e E(t)
t
<v(t)> - <v(0> = ∫0 (e E(t’) /m) e -( t -t’)/ τ dt’
Champ statique: vitesse à l’équilibre eEτ/m
Densité de courant <j > = ne <v> = σ(0) E
σD(ω) = σD(0) / (1+ω2τe2)
σ(0) = ne2 τ / m
Champ alternatif:
E(t) = E0e i ωt
Re
σ(ω) = ne2 τ / m (1+iωτ)
Im
1/τe
ω
Attention!
Hypothèse <v2(t)> = vF2 = Cte !
N’est pas valable si la particule diffusante ne subit que des chocs élastiques !
Entre chaque collision δ v = +,- eE τ.
diffusion dans l’espace des vitesses : <v2(t)> = v2 (0) + (1 /d )(eE τ/m)2 nc(t)
où nc(t) = nombre moyen de collisions pendant le temps t,
nc(t) = t/τ.
T effective augmente en E2 t.
Ce n’est qu’en présence collisions inélastiques avec un réservoir thermodynamique
que le température des électrons se stabilise à une valeur finie et un état stationnaire est
atteint!
Ordres de grandeur, semi-conducteur : m eff =0.1 , E=104V/m τ = 10-13 s, tin =10-11 s
dT= 100K
Collisions élastiques et potentiel de désordre
Diffusion d’une onde plane e ikr sur le potentiel créé par des impuretés
statiques ponctuelles : a
u(r - Ri)
Ri
Règle d’or de Fermi :
Wkk’ = (2π/ h) |<k|U|k’>|2 δ(εk −εk’ )
probabilité de transition par unité de temps de l’état k vers un état k’
Potentiel constitué d’un grand nombre d’impuretés ponctuelles a < λF disposées de
façon aléatoire :
V(r)= Σ i u (r –Ri)
<V(r)V(r’)> = nimp δ(r –r’ ) U2
Potentiel de diffusion courte portée
|<k|V|k’>|2 = Cte = nimp U 2 / Ld
temps τ relaxation du courant :
1/ τ = (2π/ h) ∫ W kk’ Lddd k’ /(2πd)
U = ∫ u( r ) dd r
1/ τ = (2π/ h) U 2 ρv(εF) nimp
Indépendant de la température! Ne détruit pas la cohérence de phase!
τ ~ 10 –12 s
Collisions élastiques et potentiel de désordre
:
k’, εk’ =εk
k, εk
U(r - Ri)
Ri
V(r)= Σ i U (r –Ri)
<V(r)V(r’)> = nimp δ (r –r’ ) U2/Ld
Règle d’or de Fermi : Wkk’ = (2π/ h) |<k|V|k’>|2 δ (εk −εk’ )
(cf Cohen ch 13)
(
Temps τ relaxation du courant :
1/ τ = ∫ W kk’ δ(ε(k’) − εF) Lddd k’ /(2πd)
1/ τ = (2π/ h) U 2 ρV(εF) nimp
Indépendant de la température! Ne détruit pas la cohérence de phase!
τ ~ 10 –12 s
Diffusion d ’une lumière cohérente par un milieu
désordonné
(speckel optique)
Figure d’interférence dépend de la position de chaque centre diffuseur
Modèle d’Anderson:
électrons sur un réseau périodique
a
na (n+1)a
t
H =- Σn ε n|n > <n | - Σn,m
t nm |n > <m |
t nm =1 couplage entre sites proches voisins
Modèle de liaisons fortes
Relation de dispersion des ondes de Bloch sans désordre:
E(k) =-2t cos ka
Ψk = c0 Σn e inka |n >
(1D) (Cohen comp F 11)
Désordre:
-W/2
Energies sur site ε n variables aléatoires
P(εn)
+W/2
εn
h/ τ α W2/t
Collisions inélastiques et brisure de cohérence de phase
Diffusion inélastique: εk’≠εk
Modification irréversible de l’environnement du système électronique
Exemples: absorption ou l’émission d’un photon ou d’un phonon.
Wkk’ = (2π/h) ∫ dε |<k, np|Ueph|k’, np±1 >|2 na e (ε,q=k-k’ ) δ(εk − εk’ ±ε )
k, εk
k’, εk’
(q ,ε, )
Dépend fortement de la température ! (Cf Kittel)
Collision inélastique
déphasage irréversible de la fonction d’onde
∆φ ∼ε τ int τ int : temps typique d’interaction
Longueur de cohérence de phase:
Lφ2= Dτφ
1/τφ = 1/τeph + 1/τee + 1/τsp
Processus inélastiques mais aussi impuretés magnétiques !
)
Collisions inélastiques et brisure de cohérence de phase
Diffusion inélastique: εk’≠εk
Modification irréversible de l’environnement du système électronique
Exemples: absorption ou l’émission d’un photon ou d’un phonon.
interaction électron phonon potentiel microscopique Ueph:
Wkk’ = (2π/ h) ∫ dε |<k, np|Ueph|k’, np±1 >|2 na , e (ε,q=k-k’ ) δ(εk − εk’ ±ε )
k, εk
k’, εk’
(q ,ε, )
na , e (ε,q=k-k’ )probabilité d’absorber ou émettre un phonon (q ,ε, )
dépend fortement de la température !
Collision inélastique
déphasage irréversible de la fonction d’onde électronique
∆φ ∼ε τ int τ int : temps typique d’interaction
brouillage des interférences!
Longueur de cohérence de phase:
Lφ2= Dτφ Temps de cohérence de phase τφ limité par tous les processus inélastiques:
1/τφ = 1/τeph + 1/τee
mais aussi les collisions sur des impuretés magnétiques !
Diffusion des électrons dans un métal désordonné
Impureté
Environnement Collisions inélastiques
λF
le
Les collisions élastiques
ne détruisent pas les interférences !
Régime mésoscopique
L < Lφ
Echelle de cohérence de phase
Lφ>>le
q.q. nm (T ordinaire)
q.q. microns (T = 0.1K!!)
De l’atome au solide macroscopique...
Macroscopique
Atomique
L ≈ a0
0.5 10-300
a0 λF
L >> Lφ
100-105
Å
le
Lφ
Balistique
Mésoscopique
LΦ ≈ 1µm
T ≈ 100 mK
L
Micro et Nanostructures artificielles
Faisceau d’électrons
Lithographie
électronique
Après développement
Résine sensible
Substrat
Dépôt de métal
Après dissolution
du masque de résine
Réalisation de masque de dépôt ou de gravure
Nanofil d’or
sur silicium
1µm
Les lois classiques de l’électricité ne sont plus valables!
R1
À l’échelle mésoscopique:
V = R I avec R = R1 + R2
V
R2
R = ρL/S
I
Anneau gravé dans une couche semiconductrice
GaAs/GaAlAs
G1=1/R1
G1
I
V
G2
I = G V avec G = G1 + G2
G = σ S/L
Correction quantique à la conductance
Petite pour: -Nombreux canaux de conduction
-Contacts macroscopiques
G2
1µm
Conductance dépend du couplage à l’appareil de mesure
V
V
Contacts tunnel
Bons contacts
I
I
Blocage de Coulomb
et spectroscopie des niveaux ell
G=transmission
Mesures sans contact…
Couplage Electrique
Couplage Magnétique
Magnetisme Orbital
V(t)
Φ(t)
Polarisabilité
E(t)
I(t)
V(t) = −dΦ(t)/dt
I(t) = GmV(t)
I(t)
I(t) = GeV(t)
Electrons à 1D
λ=2π/k
Fil de longueur
L
Fonctions d’onde: ondes planes kn=(2n+1) π/L
E (k) = h2k2 /2m
EF , kF
Niveau de Fermi
δE =( h2kF /m) (2 π/L)
= h vF / L
Transport électronique à 1D
EF + e V
EF =1/2 m vF 2
δN(eV)
I
EF + e V
δE = h vF / L
EF
L
Fil 1D entre deux réservoirs sans désordre
I = [dN/dE]
EF
( eV )
δN(eV)
[dN/dE] = 2/ δE =2 L / h vF
EF
( e vF / L )
i (1 elec)
G = I / V = 2 e2 / h =1/RQ
quantum de conductance !
Transport électronique à 1D
EF + e V
EF =1/2 m vF 2
δN(eV)
I
EF + e V
R=1- T
X
δE = h vF / L
EF
T coefficient de transmission
Fil 1D entre deux réservoirs avec une impureté
I = [dN/dE]
EF
T ( eV )
δN(eV)
[dN/dE] = 2/ δE =2 L / h vF
EF
( e vF / L )
i (1 elec)
G = I / V = 2 T e2 / h
quantum de conductance !
Résistance 2 ou 4 contacts?
La conductance d’un fil sans désordre est finie!
Ne dépend pas de la longueur du fil !
Chute de potentiel essentiellement aux contacts
Accumulation de charges…
1/g = 1/T
= 1+ (1-T)/T =1+R/T à 1D
Résistance de contact = 1/G balistique
I
Mesure 4 contacts:
R=V/I= R/T
V
Sondes de tension T<<1
Coefficient de transmission et matrice de « Scattering » S
Conservation du courant
Renversement du sens du temps
Centre diffuseur ponctuel
exp ikx
t exp ikx
r exp- ikx
V (x) = U δ(x)
x
Solution stationnaire de l’équation de Shrödinger
(- h 2 / 2m) d2 ψ /dx2 (x) + V(x) = E ψ(x) ψ(x)
Discontinuité de ψ’(x) en x=0:
1/t = 1 - (m / h 2 ) U /ik
T/R = h 2vF2/U2
(2m / h 2 ) U ψ(0)
Centres diffuseurs incohérents : Loi d’Ohm
d
exp ikx
B
A
C
T1, R1
1
D
2
T2 R2
Pas de cohérence de phase entre 1 et 2
T12 = T1 T2 Σn [ R1 R2]n = T1 T2 /(1- R1 R2)
ρ12 = (1- T12 ) / T12 = (1- T1 ) / T1 + (1- T2 ) / T2 = ρ1 + ρ2
N diffuseurs en série : L = N d
ρ(L)= (1- T(L) ) / T(L) = N (1- T1 ) / T1 = N ρ1
ρ(L) = ( L/d) ρ1 = L/le
le: libre parcours moyen entre 2 collisions = vF τe = d h2vF2/U2
La résistance de conducteurs cohérents en série
n’est pas additive
exp ikx
B
A
Résistance double barrière
C
eiΦ B
A = r1 + C t1
B = r’1 C + t1
D
C e-iΦ = B r2 eiΦ
D = B eiΦ t2
C e-iΦ
1
2
θ = 2Φ+arg (r2r’1)
Après moyennage sur
n barrières en série
ρN = ρ1 exp (N R1) = ρ1 exp (L/le)
(Imry)
Augmentation exponentielle de la résistance en L/le
Localisation des ondes électroniques à 1D
θ
Généralisation à un fil à plusieurs canaux
Nombre de canaux de conduction d’un conducteur de section S :
M =S /λF2
Nb de vecteurs d’onde transverse
Onde plane incidente
Onde plane transmise
ka
kb
|ka| = |ka| = kF
G (L) = (e2 / h) tr t t+
tab
onde plane ka
Matrice MxM des amplitudes de transmission
vers onde plane kb
Fil balistique:
G = s M e2 / h
tab
=
δab
s dégénérescence de spin, s=2 en champ nul..
La conductance d’un fil sans désordre est finie!
Ne dépend pas de la longueur du fil !
Généralisation à plusieurs canaux
Nombre de canaux de conduction d’un conducteur
En l’absence de centres diffuseurs:
G = s M e2 / h
s dégénérescence de spin, s=2 en champ nul..
La conductance d’un fil sans désordre est finie!
Ne dépend pas de la longueur du fil !
Chute de potentiel essentiellement aux contacts
Accumulation de charges…
Réalisation expérimentale de conducteurs balistiques
Faible densité
1 seule sous bande est occupée
Gaz bidimensionnel d’électrons
Densité modulable avec une grille électrostatique
Quantification de la conductance dans une constriction
GaAlAs
GaAs
Si+
Gaz bidimensionnel d’électrons haute mobilité
déplété localement par des grilles électrostatiques
E
e
GaAlAs
GaAs
Si+
z
(Van Wees et al)1988
Ouverture d’un canal
de conduction sup.
lorsque W > nλF/2
Visualisation des modes de conduction dans 2DEG
Topinka et al Nature 2001
C. Urbina et al. CEA Saclay