Transport quantique mésoscopique Du transport classique au transport quantique Hélène Bouchiat [email protected] Conductivité et temps de relaxation, diffusion classique Collisions élastiques et inélastiques Cohérence de phase et interférences électroniques Comment définir la résistance d’un conducteur cohérent ? A-Système connecté Conductivité et transmission Formule de Landauer Canaux de conduction et quantification de la conductance Fil quantique = guide d’onde électronique Transport balistique et diffusif Canaux effectifs dans un système diffusif et localisation Où se fait la chute de potentiel ? Résistance de contact et dipôles de Landauer Fluctuations de conductance B- Système isolé Effet Aharonov Bohm Courants permanents et sensibilité aux conditions aux limites Conductivité et absorption micro-onde Comprendre le transport aux échelles submicroniques À très basse température T< 1K Rappels: Conductivité et temps de relaxation Diffusion électronique et Modèle classique de Drude Electron au niveau de Fermi particule classique (caractérisée par les dépendances temporelles de sa position et de sa vitesse x(t), v(t)= dx/dt ) <v(t)> = 0. temps de collision τ <v(ο)v(t)>t = <v(ο)2>t e -t/τ avec <v(ο)2> t = vF2 Trajectoire diffusive : <x(t) –x(0)> =0, < (x(t) –x(0)) 2> = D t coefficient de diffusion D = l τ /d avec l = vF τ distance moyen entre 2 chocs successifs est le libre parcours moyen. Equation de Langevin : m dv/dt = -v/τ + F(t) Terme de viscosité varie très rapidement avec le temps à l’échelle de τ: <F(t)> =0 Champ électrique E(t) variant lentement en comp.de F(t) m d<v(t) >/dt = -<v (t)> /τ + e E(t) t <v(t)> - <v(0> = ∫0 (e E(t’) /m) e -( t -t’)/ τ dt’ Champ statique: vitesse à l’équilibre eEτ/m Densité de courant <j > = ne <v> = σ(0) E σD(ω) = σD(0) / (1+ω2τe2) σ(0) = ne2 τ / m Champ alternatif: E(t) = E0e i ωt Re σ(ω) = ne2 τ / m (1+iωτ) Im 1/τe ω Attention! Hypothèse <v2(t)> = vF2 = Cte ! N’est pas valable si la particule diffusante ne subit que des chocs élastiques ! Entre chaque collision δ v = +,- eE τ. diffusion dans l’espace des vitesses : <v2(t)> = v2 (0) + (1 /d )(eE τ/m)2 nc(t) où nc(t) = nombre moyen de collisions pendant le temps t, nc(t) = t/τ. T effective augmente en E2 t. Ce n’est qu’en présence collisions inélastiques avec un réservoir thermodynamique que le température des électrons se stabilise à une valeur finie et un état stationnaire est atteint! Ordres de grandeur, semi-conducteur : m eff =0.1 , E=104V/m τ = 10-13 s, tin =10-11 s dT= 100K Collisions élastiques et potentiel de désordre Diffusion d’une onde plane e ikr sur le potentiel créé par des impuretés statiques ponctuelles : a u(r - Ri) Ri Règle d’or de Fermi : Wkk’ = (2π/ h) |<k|U|k’>|2 δ(εk −εk’ ) probabilité de transition par unité de temps de l’état k vers un état k’ Potentiel constitué d’un grand nombre d’impuretés ponctuelles a < λF disposées de façon aléatoire : V(r)= Σ i u (r –Ri) <V(r)V(r’)> = nimp δ(r –r’ ) U2 Potentiel de diffusion courte portée |<k|V|k’>|2 = Cte = nimp U 2 / Ld temps τ relaxation du courant : 1/ τ = (2π/ h) ∫ W kk’ Lddd k’ /(2πd) U = ∫ u( r ) dd r 1/ τ = (2π/ h) U 2 ρv(εF) nimp Indépendant de la température! Ne détruit pas la cohérence de phase! τ ~ 10 –12 s Collisions élastiques et potentiel de désordre : k’, εk’ =εk k, εk U(r - Ri) Ri V(r)= Σ i U (r –Ri) <V(r)V(r’)> = nimp δ (r –r’ ) U2/Ld Règle d’or de Fermi : Wkk’ = (2π/ h) |<k|V|k’>|2 δ (εk −εk’ ) (cf Cohen ch 13) ( Temps τ relaxation du courant : 1/ τ = ∫ W kk’ δ(ε(k’) − εF) Lddd k’ /(2πd) 1/ τ = (2π/ h) U 2 ρV(εF) nimp Indépendant de la température! Ne détruit pas la cohérence de phase! τ ~ 10 –12 s Diffusion d ’une lumière cohérente par un milieu désordonné (speckel optique) Figure d’interférence dépend de la position de chaque centre diffuseur Modèle d’Anderson: électrons sur un réseau périodique a na (n+1)a t H =- Σn ε n|n > <n | - Σn,m t nm |n > <m | t nm =1 couplage entre sites proches voisins Modèle de liaisons fortes Relation de dispersion des ondes de Bloch sans désordre: E(k) =-2t cos ka Ψk = c0 Σn e inka |n > (1D) (Cohen comp F 11) Désordre: -W/2 Energies sur site ε n variables aléatoires P(εn) +W/2 εn h/ τ α W2/t Collisions inélastiques et brisure de cohérence de phase Diffusion inélastique: εk’≠εk Modification irréversible de l’environnement du système électronique Exemples: absorption ou l’émission d’un photon ou d’un phonon. Wkk’ = (2π/h) ∫ dε |<k, np|Ueph|k’, np±1 >|2 na e (ε,q=k-k’ ) δ(εk − εk’ ±ε ) k, εk k’, εk’ (q ,ε, ) Dépend fortement de la température ! (Cf Kittel) Collision inélastique déphasage irréversible de la fonction d’onde ∆φ ∼ε τ int τ int : temps typique d’interaction Longueur de cohérence de phase: Lφ2= Dτφ 1/τφ = 1/τeph + 1/τee + 1/τsp Processus inélastiques mais aussi impuretés magnétiques ! ) Collisions inélastiques et brisure de cohérence de phase Diffusion inélastique: εk’≠εk Modification irréversible de l’environnement du système électronique Exemples: absorption ou l’émission d’un photon ou d’un phonon. interaction électron phonon potentiel microscopique Ueph: Wkk’ = (2π/ h) ∫ dε |<k, np|Ueph|k’, np±1 >|2 na , e (ε,q=k-k’ ) δ(εk − εk’ ±ε ) k, εk k’, εk’ (q ,ε, ) na , e (ε,q=k-k’ )probabilité d’absorber ou émettre un phonon (q ,ε, ) dépend fortement de la température ! Collision inélastique déphasage irréversible de la fonction d’onde électronique ∆φ ∼ε τ int τ int : temps typique d’interaction brouillage des interférences! Longueur de cohérence de phase: Lφ2= Dτφ Temps de cohérence de phase τφ limité par tous les processus inélastiques: 1/τφ = 1/τeph + 1/τee mais aussi les collisions sur des impuretés magnétiques ! Diffusion des électrons dans un métal désordonné Impureté Environnement Collisions inélastiques λF le Les collisions élastiques ne détruisent pas les interférences ! Régime mésoscopique L < Lφ Echelle de cohérence de phase Lφ>>le q.q. nm (T ordinaire) q.q. microns (T = 0.1K!!) De l’atome au solide macroscopique... Macroscopique Atomique L ≈ a0 0.5 10-300 a0 λF L >> Lφ 100-105 Å le Lφ Balistique Mésoscopique LΦ ≈ 1µm T ≈ 100 mK L Micro et Nanostructures artificielles Faisceau d’électrons Lithographie électronique Après développement Résine sensible Substrat Dépôt de métal Après dissolution du masque de résine Réalisation de masque de dépôt ou de gravure Nanofil d’or sur silicium 1µm Les lois classiques de l’électricité ne sont plus valables! R1 À l’échelle mésoscopique: V = R I avec R = R1 + R2 V R2 R = ρL/S I Anneau gravé dans une couche semiconductrice GaAs/GaAlAs G1=1/R1 G1 I V G2 I = G V avec G = G1 + G2 G = σ S/L Correction quantique à la conductance Petite pour: -Nombreux canaux de conduction -Contacts macroscopiques G2 1µm Conductance dépend du couplage à l’appareil de mesure V V Contacts tunnel Bons contacts I I Blocage de Coulomb et spectroscopie des niveaux ell G=transmission Mesures sans contact… Couplage Electrique Couplage Magnétique Magnetisme Orbital V(t) Φ(t) Polarisabilité E(t) I(t) V(t) = −dΦ(t)/dt I(t) = GmV(t) I(t) I(t) = GeV(t) Electrons à 1D λ=2π/k Fil de longueur L Fonctions d’onde: ondes planes kn=(2n+1) π/L E (k) = h2k2 /2m EF , kF Niveau de Fermi δE =( h2kF /m) (2 π/L) = h vF / L Transport électronique à 1D EF + e V EF =1/2 m vF 2 δN(eV) I EF + e V δE = h vF / L EF L Fil 1D entre deux réservoirs sans désordre I = [dN/dE] EF ( eV ) δN(eV) [dN/dE] = 2/ δE =2 L / h vF EF ( e vF / L ) i (1 elec) G = I / V = 2 e2 / h =1/RQ quantum de conductance ! Transport électronique à 1D EF + e V EF =1/2 m vF 2 δN(eV) I EF + e V R=1- T X δE = h vF / L EF T coefficient de transmission Fil 1D entre deux réservoirs avec une impureté I = [dN/dE] EF T ( eV ) δN(eV) [dN/dE] = 2/ δE =2 L / h vF EF ( e vF / L ) i (1 elec) G = I / V = 2 T e2 / h quantum de conductance ! Résistance 2 ou 4 contacts? La conductance d’un fil sans désordre est finie! Ne dépend pas de la longueur du fil ! Chute de potentiel essentiellement aux contacts Accumulation de charges… 1/g = 1/T = 1+ (1-T)/T =1+R/T à 1D Résistance de contact = 1/G balistique I Mesure 4 contacts: R=V/I= R/T V Sondes de tension T<<1 Coefficient de transmission et matrice de « Scattering » S Conservation du courant Renversement du sens du temps Centre diffuseur ponctuel exp ikx t exp ikx r exp- ikx V (x) = U δ(x) x Solution stationnaire de l’équation de Shrödinger (- h 2 / 2m) d2 ψ /dx2 (x) + V(x) = E ψ(x) ψ(x) Discontinuité de ψ’(x) en x=0: 1/t = 1 - (m / h 2 ) U /ik T/R = h 2vF2/U2 (2m / h 2 ) U ψ(0) Centres diffuseurs incohérents : Loi d’Ohm d exp ikx B A C T1, R1 1 D 2 T2 R2 Pas de cohérence de phase entre 1 et 2 T12 = T1 T2 Σn [ R1 R2]n = T1 T2 /(1- R1 R2) ρ12 = (1- T12 ) / T12 = (1- T1 ) / T1 + (1- T2 ) / T2 = ρ1 + ρ2 N diffuseurs en série : L = N d ρ(L)= (1- T(L) ) / T(L) = N (1- T1 ) / T1 = N ρ1 ρ(L) = ( L/d) ρ1 = L/le le: libre parcours moyen entre 2 collisions = vF τe = d h2vF2/U2 La résistance de conducteurs cohérents en série n’est pas additive exp ikx B A Résistance double barrière C eiΦ B A = r1 + C t1 B = r’1 C + t1 D C e-iΦ = B r2 eiΦ D = B eiΦ t2 C e-iΦ 1 2 θ = 2Φ+arg (r2r’1) Après moyennage sur n barrières en série ρN = ρ1 exp (N R1) = ρ1 exp (L/le) (Imry) Augmentation exponentielle de la résistance en L/le Localisation des ondes électroniques à 1D θ Généralisation à un fil à plusieurs canaux Nombre de canaux de conduction d’un conducteur de section S : M =S /λF2 Nb de vecteurs d’onde transverse Onde plane incidente Onde plane transmise ka kb |ka| = |ka| = kF G (L) = (e2 / h) tr t t+ tab onde plane ka Matrice MxM des amplitudes de transmission vers onde plane kb Fil balistique: G = s M e2 / h tab = δab s dégénérescence de spin, s=2 en champ nul.. La conductance d’un fil sans désordre est finie! Ne dépend pas de la longueur du fil ! Généralisation à plusieurs canaux Nombre de canaux de conduction d’un conducteur En l’absence de centres diffuseurs: G = s M e2 / h s dégénérescence de spin, s=2 en champ nul.. La conductance d’un fil sans désordre est finie! Ne dépend pas de la longueur du fil ! Chute de potentiel essentiellement aux contacts Accumulation de charges… Réalisation expérimentale de conducteurs balistiques Faible densité 1 seule sous bande est occupée Gaz bidimensionnel d’électrons Densité modulable avec une grille électrostatique Quantification de la conductance dans une constriction GaAlAs GaAs Si+ Gaz bidimensionnel d’électrons haute mobilité déplété localement par des grilles électrostatiques E e GaAlAs GaAs Si+ z (Van Wees et al)1988 Ouverture d’un canal de conduction sup. lorsque W > nλF/2 Visualisation des modes de conduction dans 2DEG Topinka et al Nature 2001 C. Urbina et al. CEA Saclay