Etude de deux phénomènes de diffusion : LA

PSI Brizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 36 -
Etude de deux phénomènes de
diffusion :
LA DIFFUSION THERMIQUE &
LA DIFFUSION de PARTICULES
1. LA DIFFUSION : UN MODE DE TRANSFERT SANS
MOUVEMENT MACROSCOPIQUE
1.1. Les différents modes de transfert de la chaleur
Comme nous l’avons évoqué dans le premier chapitre, les transferts thermiques peuvent se faire selon
3 modes : par conduction thermique, par convection ou par rayonnement.
Le transfert thermique par diffusion peut avoir lieu même à travers des milieux matériels
macroscopiquement immobiles : un tisonnier dont une extrémité plonge dans un feu, voit
progressivement sa température augmenter du fait des échanges thermiques par conduction tout le long
de la barre. L’explication vient du mouvement d’agitation thermique des particules qui composent le
solide, mouvement qui se propage de proche en proche.
Dans le cas de la convection, les transferts thermiques se font par l’intermédiaire d’un fluide
caloporteur : ce fluide, au contact d’une zone « chaude » peut recevoir de la chaleur. En se déplaçant par
des mouvements macroscopiques, ce fluide pourra ensuite céder de la chaleur à des zones « froides ».
Ce mode de transfert thermique est beaucoup plus rapide que le précédent et permet la thermalisation
rapide des fluides. Dans ces fluides, les phénomènes de conduction sont souvent masqués par les
phénomènes de convection.
Dans le cas des transferts par rayonnement, aucun support matériel n’est nécessaire : le Soleil
réchauffe notre planète alors que le vide les sépare….Tout corps « chaud » émet un rayonnement
électromagnétique qui transporte de l’énergie susceptible d’échauffer le corps qui le reçoit.
1.2. Homogénéisation : courants de diffusion
Les phénomènes de diffusion se manifestent lorsque, dans un milieu donné, existe une
inhomogénéité : de température T dans le cas de la diffusion thermique, de densité particulaire n dans le
cas de la diffusion de particules.
Il se crée alors un courant thermique (resp. de particules) qui tend à uniformiser cette grandeur
intensive même en l’absence de mouvement macroscopique du milieu.
Si on débouche un flacon de parfum, on en ressent l’odeur au bout de quelques temps (pour être dans
les conditions de la diffusion, il faut éviter tout courant d’air qui mettrait en jeu de la convection) ; un
goutte d’encre versée dans un verre d’eau tendra à se répandre et colorer la totalité de l’eau contenue
dans le verre (même si on « touille » pas, ce qui prendra évidemment plus de temps que si on agite le
mélange) ; les poignées d’une cocotte métallique dans laquelle boue de l’eau sont chauffées par
conduction par le dessous de cette cocotte.

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Ces courants sont caractérisés par des vecteurs dont la direction donne le sens des échanges et la
norme l’intensité surfacique de ces échanges.
Vecteur densité de courant de particules :
!
r
j
N
tel que le flux de ce vecteur à travers une surface
représente le nombre de particules traversant cette surface par unité de temps.
!
dS
"
M
!
jN(M)
Si dN désigne le nombre de particules traversant Σ pendant dt,
on a :
!
dN =jN(M)dS
M"#
$$
%
&
'
(
)
*
dt
!
r
j
N
a pour dimension L-2T-1 et s’exprime en m-2.s-1.
Vecteur densité de courant thermique (ou densité de flux thermique) :
!
r
j
Q
tel que le flux de ce vecteur
à travers une surface représente la puissance thermique traversant cette surface (c’est-à-dire, l’énergie
thermique par unité de temps).
!
dS
"
M
!
jQ(M)
Si δQ désigne le transfert thermique traversant Σ pendant dt, on
a :
!
"Q=jQ(M)dS
M#$
%%
&
'
(
)
*
+
dt
!
r
j
Q
a la dimension d’une puissance surfacique et s’exprime en
W.m-2.
Pth=
!
jQ(M)dS
M"#
$$
représente donc la puissance thermique
traversant la surface Σ.
1.3. Lois phénoménologiques de Fick et de Fourier
Le phénomène de diffusion de particules (resp. de la chaleur) naît de l’inhomogénéité des
concentrations (resp. des températures) et le courant de particules (resp. de chaleur) tend à homogénéiser
ces grandeurs. Mrs Fick, pour la diffusion de particules et Fourier pour la diffusion de chaleur, ont
proposé des lois similaires :
1.3.1. Loi de Fick : cœfficient de diffusion.
!
jN(M) ="DgradMn
: loi de Fick
dans laquelle n désigne la densité volumique de particules (en m-3) et D le cœfficient de diffusion qui
s’exprime en m2.s-1.
Cette loi phénoménologique traduit les faits suivants :

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- le courant de particules est d’autant plus grand que l’inhomogénéité de concentration est
importante (cf la proportionnalité au gradient de la concentration).
- le courant de particules a le sens des concentrations décroissantes (cf le signe « - » de la
loi) : le mouvement microscopique de diffusion de particules a lieu des zones les plus riches en
particules vers les zones les plus pauvres et tend donc à homogénéiser le milieu.
- le cœfficient D dépend de la nature des particules et du milieu support. Plus D est
important, plus les particules diffusent facilement dans le support. Un ordre de grandeur d’un
cœfficient d’autodiffusion d’un gaz dans lui-même : D ≈ 10-5 m2.s-1.
1.3.2. Loi de Fourier : conductivité thermique
!
jQ(M) ="#gradMT
: loi de Fourier
dans laquelle T désigne la température et λ la conductivité thermique du matériau qui s’exprime en
W.m-1.K-1.
Cette loi phénoménologique traduit les faits suivants :
- le courant thermique est d’autant plus grand que l’inhomogénéité de température est
importante (cf la proportionnalité au gradient de la température).
- il a le sens des températures décroissantes (cf le signe « - » de la loi) : le transfert
thermique a lieu des zones les plus chaudes vers les zones les plus froides et tend donc à
homogénéiser la température.
-le cœfficient λ dépend de la nature du milieu. Plus λ est important, plus les transferts
thermiques se font facilement. On dira du milieu qu’il est un bon conducteur thermique.
Voici quelques ordres de grandeur de la conductivité thermique selon les milieux :
cuivre 390 ; acier inox 16 ; verre 1,2 ; laine de verre 4.10-2 , gaz dans les conditions usuelles : 3.10-2 ;
polystyrène expansé : 10-3.
1.4. Analogie avec la conduction électrique
En électricité, un courant électrique I peut naître d’une différence de potentiel. En effet, à une ddp est
associé un champ électrostatique dirigé vers les potentiels décroissants. Ce champ électrique met les
charges en mouvement. La loi d’Ohm locale (voir conditions d’applications dans le cours
d’électromagnétisme) relie la densité de courant électrique au champ électrique :
!
je="E=#"gradV
loi d’Ohm
loi dans laquelle
!
r
j
est la densité de courant électrique, γ la conductivité électrique du matériau et V le
potentiel électrostatique.
On peut dresser un tableau de correspondance entre les grandeurs thermique et électrique :
Thermique
Electrique
T
V
!
jQ(M) ="#gradMT
!
je(M) ="#gradMV
λ
γ
!
Pth =jQdS
"
##
!
I=jedS
"
##

PSI Brizeux Ch. T4 : Phénomènes de diffusion - 39 -
De même qu’il existe de bons conducteurs ou de mauvais conducteurs (isolants) électriques, il existe
donc de bons conducteurs ou de mauvais conducteurs thermiques : à la conductivité électrique γ, on
associe la conductivité thermique λ.
Comme les charges (positives) et le courant électrique s’écoulent vers les potentiels décroissants,
un transfert thermique s’effectue vers les régions de température décroissante (du « chaud » vers le
« froid »...)
2. EQUATIONS DE LA DIFFUSION
2.1. Bilans énergétiques dans un conducteur
thermique unidimensionnel
Considérons un conducteur cylindrique, de section s constante, d’axe x : toutes les grandeurs du
problème ne dépendront que du temps (nous ne nous plaçons pas forcément en régime permanent) et de
la variable d’espace x ( on dit que le problème est unidimensionnel ) :
j·
Q
x
x + dx
T(x, t)
+
+
x
Nous allons effectuer un bilan énergétique entre les instants t et t+dt sur la « tranche » élémentaire de
conducteur comprise entre les abscisses x et x + dx:
- le transfert thermique « entrant » dans la tranche de conducteur est : δQ = [jQ(x, t)S - jQ(x+dx,t)S] dt
- le volume Sdx de conducteur, de capacité thermique massique c, de masse volumique ρ, voit son
énergie interne varier de dU = ρcSdx dT.
- on peut enfin imaginer que le conducteur thermique est le siège de phénomènes producteurs ou
dissipateurs d’énergie : s’il est également conducteur électrique et parcouru par un courant par exemple,
on aura production d’énergie par effet Joule au sein du conducteur. Ce terme sera modélisé par une
puissance volumique p algébrique : si p est positive la tranche Sdx reçoit de l’énergie, si p est négatif elle
en dissipe. Pendant dt, l’énergie associée à ces phénomènes est donc dE = pSdx dt. Dans le cas de l’effet
Joule par exemple on aura p =
!
je.E
.
Remarque : un cas classique d’échange avec l’extérieur est celui où les parois latérales du conducteur
ne sont pas parfaitement calorifugées. Les échanges thermiques avec l’extérieur se font donc du fait
même de la différence de température entre un point de la conduite et ce milieu extérieur. Si l’on choisit
le cas où la température extérieure est uniforme et égale à Te, le transfert thermique par unité de temps
est souvent modélisé par la loi de Newton et baptisé échange convecto-conductif :
!
"Q
•
=#h T(x) #Te
( )
dSlat

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dSlat étant l’élément de surface en contact avec l’extérieur. h s’exprime en W.K-1.m-2 et dépend de la
nature du conducteur et du fluide qui est à l’extérieur.
Le bilan énergétique associé à la tranche Sdx s’écrit :
dU = δQ + dE
soit :
ρcSdx dT = jQ(x, t) S dt - jQ(x + dx ,t) Sdt + pSdx dt
La température dans le conducteur est de la forme T(x,t), et la variation dT envisagée ici est associée à
une évolution temporelle. On a donc : dT =
∂T
∂t dt
Enfin jQ(x + dx, t) - jQ(x, t) =
∂jQ
∂x dx. Après simplification par S et dx, il reste :
!
"jQ
"x+#c"T "t=p
ou encore, en notant uv = ρcT l’énergie interne volumique du conducteur :
!
"jQ
"x+"uv "t=p
2.2. Bilans de particules dans un milieu unidimensionnel
On peut déterminer le même type d’équation en diffusion de particules, en introduisant un éventuel
terme de création ou disparition de particules sous forme d’une densité volumique ν :
!
"jN
"x+"n "t=#
2.3. Bilans dans un milieu unidimensionnel et en régime
permanent : répartitions linéaires et résistance thermique.
En l’absence de facteurs de production, les équations précédentes deviennent, en régime permanent :
!
"j
"x=0
relation, qui, associée aux lois de Fick ou de Fourier, devient :
!
d2C
dx2=0 ou d2T dx2=0
.
Exemple de la diffusion thermique : le profil de température, en régime permanent, dans une barre
cylindrique dont les parois latérales sont parfaitement calorifugées et dont les températures extrêmes sont
imposées est :