24/09/2016
Khaled Hassine 1
24/09/2016 1Khaled Hassine
Khaled.hassin[email protected]
Par : Khaled Hassine
CCHAPITREHAPITRE II –– AALGÈBRELGÈBRE
DEDE BBOOLEOOLE
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Khaled Hassine
Théorèmes fondamentaux
Du transistor aux portes logiques
Introduction
Récapitulatif
PLAN
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Variables et fonctions binaires
Khaled Hassine
Théorèmes fondamentaux
Du transistor aux portes logiques
Introduction
Récapitulatif
PLAN
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Variables et fonctions binaires
Khaled Hassine
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De Boole à Shannon
George Boole (1815-1864)
défini vers 1850 une algèbre applicable aux
raisonnements sur des propositions logiques :
une proposition peut être vraie, à la quelle on
attribue la valeur 1, ou fausse, dont la valeur est
0.
Shannon en 1938
a appliqué cette algèbre à l'analyse des circuits
de commutation : le courant passe ou ne passe
pas, ce que l'on note également par 1 ou 0.
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Objectifs
Présenter d'une manière simplifiée les concepts
fondamentaux de l’algèbre de Boole en vue de
son application aux conceptions des circuits de
base d'un ordinateur.
Conception de quelques circuits très utiles pour le
fonctionnement d'un ordinateur :
combinatoires (additionneur, multiplexeur, ...)
séquentiels (registres, compteur, ...)
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Théorèmes fondamentaux
Du transistor aux portes logiques
Introduction
Récapitulatif
PLAN
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Variables et fonctions binaires
Khaled Hassine
Variables logiques
Une variable logique (ou encore binaire ou
booléenne) est une variable dont la valeur
appartient à un ensemble de deux éléments
représentés en binaire par les symboles 0 et 1.
(A est une variable logique, A {0,1}).
Par convention, une variable logique est :
vraie si sa valeur est 1,
fausse dans le cas contraire.
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En électronique
Deux états associés à deux niveaux de tension:
V(0) et V(1) pour les états 0 (inférieur à +0.8 V) et
1 (+2 V et +5 V ).
On distingue les logiques positive et négative
selon que V(1) > V(0) ou V(1) < V(0).
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En électronique …
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Fonctions logiques
Une fonction logique (ou booléenne) est une
fonction à n variables logiques dont la valeur
appartient à l'ensemble {0,1} :
F(A1, A2, ..., An) à {0,1}.
Toute fonction logique peut être réalisée à
l’aide d’un petit nombre de fonctions logiques
de base aussi appelées opérateurs logiques ou
portes (gates)
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Table de véri
La fonction F est parfaitement définie par la
donnée des ses valeurs pour les 2n
combinaisons possibles des n variables.
Le tableau de correspondance entre les états d’entrée
et les états de sortie.
Le tableau représentant les 2nvaleurs s'appelle
la table de vérité de la fonction.
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Fonctions logiques à une variable
A
F1: Coupure
F2: Identité
F3: Inverse
F4: Passage
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
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Opérateur complémentation
La fonction F3:
fonction de base très utile.
C'est la fonction inverse appelée encore
complémentation ou négation de la variable A
se lit : non A ou encore A barre.
À une fonction correspond toujours un opérateur
réalisant cette fonction.
L'opérateur de complémentation, appelé
l’opérateur NON (NOT en anglais).
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L’opérateur NON ou inverseur
15
AA
Fonctions à deux variables
16
00
01
10
11
ab
Remarque
0
0
0
0
F0=0
Constante 0
0
0
0
1
F1=ab
Fonction Intersection ET / AND
0
0
1
0
F2
0
0
1
1
F3=a
0
1
0
0
F4
0
1
0
1
F5=b
0
1
1
0
F6=ab
Fonction Ou Exclusif / XOR
0
1
1
1
F7=a+b
Fonction OU / OR
16 fonctions possibles
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Fonctions à deux variables …
17
00
01
10
11
ab
Remarque
1
0
0
0
F8
Fonction NAND
1
0
0
1
F9=ab
Fonction égalité
1
0
1
0
F10
1
0
1
1
F11
1
1
0
0
F12=a
1
1
0
1
F13
1
1
1
0
F14=a+b
Fonction NOR
1
1
1
1
F15=1
Constante 1
16 fonctions possibles
Intersection et réunion
Deux fonctions très importantes qui portent
sur deux variables :
La fonction intersection (ou produit logique) :
noté A xB (ou A LB)
la fonction réunion (ou somme logique) : noté A
+B (ou encore A nB).
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A
BA+B
A
BAB
Fonctions de base
Toute fonction logique peut s'exprimer sous la
forme d'une expression faisant intervenir les
trois fonctions :
complémentation,
produit logique
somme logique,
d'où l'appellation «fonctions de base» ou
«fonctions fondamentales».
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Ou Exclusif
Une autre fonction intéressante à 2 variables
est très utilisée dans la pratique : c'est la
fonction OU Exclusif.
L'opérateur de la fonction OU EXCLUSIF
(notée et appelé en anglais XOR)
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