24/09/2016 CHAPITRE I – ALGÈBRE DE BOOLE Par : Khaled Hassine [email protected] 24/09/2016 Khaled Hassine 1 PLAN Introduction Variables et fonctions binaires Variables et fonctions binaires Du transistor aux portes logiques Du transistor aux portes logiques Théorèmes fondamentaux Théorèmes fondamentaux Récapitulatif Khaled Hassine 2 PLAN Introduction 24/09/2016 Khaled Hassine 24/09/2016 Khaled Hassine Récapitulatif 3 24/09/2016 Khaled Hassine 4 1 24/09/2016 De Boole à Shannon George Boole (1815-1864) Objectifs défini vers 1850 une algèbre applicable aux raisonnements sur des propositions logiques : une proposition peut être vraie, à la quelle on attribue la valeur 1, ou fausse, dont la valeur est 0. Shannon en 1938 a appliqué cette algèbre à l'analyse des circuits de commutation : le courant passe ou ne passe pas, ce que l'on note également par 1 ou 0. Khaled Hassine 24/09/2016 5 24/09/2016 Introduction Variables et fonctions binaires Du transistor aux portes logiques Théorèmes fondamentaux Khaled Hassine 6 Khaled Hassine Une variable logique (ou encore binaire ou booléenne) est une variable dont la valeur appartient à un ensemble de deux éléments représentés en binaire par les symboles 0 et 1. (A est une variable logique, A {0,1}). Par convention, une variable logique est : Récapitulatif Khaled Hassine combinatoires (additionneur, multiplexeur, ...) séquentiels (registres, compteur, ...) Variables logiques PLAN 24/09/2016 Présenter d'une manière simplifiée les concepts fondamentaux de l’algèbre de Boole en vue de son application aux conceptions des circuits de base d'un ordinateur. Conception de quelques circuits très utiles pour le fonctionnement d'un ordinateur : 7 24/09/2016 vraie si sa valeur est 1, fausse dans le cas contraire. Khaled Hassine 8 2 24/09/2016 En électronique En électronique … Deux états associés à deux niveaux de tension: 24/09/2016 V(0) et V(1) pour les états 0 (inférieur à +0.8 V) et 1 (+2 V et +5 V ). On distingue les logiques positive et négative selon que V(1) > V(0) ou V(1) < V(0). Khaled Hassine 9 24/09/2016 Fonctions logiques Khaled Hassine F(A1, A2, ..., An) à {0,1}. Toute fonction logique peut être réalisée à l’aide d’un petit nombre de fonctions logiques de base aussi appelées opérateurs logiques ou portes (gates) 24/09/2016 Khaled Hassine 10 Table de vérité Une fonction logique (ou booléenne) est une fonction à n variables logiques dont la valeur appartient à l'ensemble {0,1} : Khaled Hassine 11 La fonction F est parfaitement définie par la donnée des ses valeurs pour les 2n combinaisons possibles des n variables. Le tableau de correspondance entre les états d’entrée et les états de sortie. Le tableau représentant les 2n valeurs s'appelle la table de vérité de la fonction. 24/09/2016 Khaled Hassine 12 3 24/09/2016 Fonctions logiques à une variable A F1 : Coupure F2 : Identité F3 : Inverse F4 : Passage Opérateur complémentation La fonction F3 : A 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Khaled Hassine 24/09/2016 13 L’opérateur NON ou inverseur fonction de base très utile. C'est la fonction inverse appelée encore complémentation ou négation de la variable A se lit : non A ou encore A barre. À une fonction correspond toujours un opérateur réalisant cette fonction. L'opérateur de complémentation, appelé l’opérateur NON (NOT en anglais). Khaled Hassine 24/09/2016 14 Fonctions à deux variables 16 fonctions possibles A A 15 Khaled Hassine 00 01 10 11 ab Remarque 0 0 0 0 F0=0 Constante 0 0 0 0 1 F1=ab Fonction Intersection ET / AND 0 0 1 0 F2 0 0 1 1 F3=a 0 1 0 0 F4 0 1 0 1 F5=b 0 1 1 0 F6=ab Fonction Ou Exclusif / XOR 0 1 1 1 F7=a+b Fonction OU / OR 16 4 24/09/2016 Fonctions à deux variables … Intersection et réunion 16 fonctions possibles 00 01 10 11 ab 1 0 0 0 F8 Fonction NAND 1 0 0 1 F9=ab Fonction égalité 1 0 1 0 F10 1 0 1 1 F11 1 1 0 0 F12=a 1 1 0 1 F13 1 1 1 0 F14=a+b Fonction NOR 1 1 1 1 F15=1 Constante 1 Remarque A+B 24/09/2016 18 complémentation, produit logique somme logique, Une autre fonction intéressante à 2 variables est très utilisée dans la pratique : c'est la fonction OU Exclusif. L'opérateur de la fonction OU EXCLUSIF (notée et appelé en anglais XOR) d'où l'appellation «fonctions de base» ou «fonctions fondamentales». 24/09/2016 Khaled Hassine Khaled Hassine Ou Exclusif Toute fonction logique peut s'exprimer sous la forme d'une expression faisant intervenir les trois fonctions : la fonction réunion (ou somme logique) : noté A A + B (ou encore A nB). B Fonctions de base La fonction intersection (ou produit logique) : A noté A x B (ou A LB) AB B 17 Deux fonctions très importantes qui portent sur deux variables : Khaled Hassine 19 24/09/2016 Khaled Hassine 20 5 24/09/2016 Principale propriétés de la fonction Ou Exclusif Porte à Trois Etats Khaled Hassine 24/09/2016 21 Porte à Trois Etats … 24/09/2016 A 0 1 X Y 0 1 0 22 PLAN Introduction Variables et fonctions binaires Du transistor aux portes logiques Sortie faible impédance faible impédance haute impédance Khaled Hassine Khaled Hassine 24/09/2016 Lorsque la commande C est à 0, l'impédance de sortie est très grande : pratiquement déconnectée. Les portes "3 états" fournissent une amplification de puissance. C 1 1 0 Khaled Hassine La porte "3 états", ou "tri-state", n'est pas une porte logique au sens strict. Elle est principalement utilisée pour connecter une sortie sur une ligne commune à plusieurs circuits (un bus par exemple). Elle remplace généralement une porte ET. En effet, la mise en parallèle sur une même ligne de plusieurs portes ET introduit des capacités parasites. Ceci augmente les constantes de temps et a pour effet de détériorer les fronts de montée et de descente des signaux. Cela peut perturber le fonctionnement d'un système. Théorèmes fondamentaux Récapitulatif 23 24/09/2016 Khaled Hassine 24 6 24/09/2016 Le transistor Un circuit logique est caractérisé par un comportement binaire (deux états logiques). Ceci est facilement obtenu avec des signaux électriques ayant différentes tensions ou intensités de courant. En pratique, Le transistor l'état 0 est associé à une tension qui voisine le 0 L’état 1 pour une tension qui voisine les 5 volts. Le composant de base d'un circuit logique est le transistor. 24/09/2016 Collecteur Base Emetteur Khaled Hassine 25 Porte NOT à base de transistor 24/09/2016 Khaled Hassine Si Ve (la tension en entrée) voisine le 0 ( 1 V), le transistor est en état bloqué. On récupère VCC (égale à 5 volts) comme tension en sortie (Vs). Si Ve (la tension en entrée) voisine les 5 volts ( 2 V), le transistor est en état passant et la terre absorbe toute la tension VCC. La tension de sortie (Vs) est alors nulle. Khaled Hassine Khaled Hassine 24/09/2016 26 Porte NAND à base de transistor VCC VCC Son fonctionnement est le suivant : Un transistor peut être perçu comme un interrupteur électronique très rapide construit à base d'un semi-conducteur (par exemple, le silicium). Vs Vs Ve2 Ve Ve1 27 24/09/2016 Khaled Hassine 28 7 24/09/2016 Porte NOR à base de transistor Les circuits intégrés logiques VCC Vs Ve1 24/09/2016 Ve2 Khaled Hassine Circuit intégré 29 24/09/2016 Circuits intégrés Khaled Hassine Khaled Hassine Broches Khaled Hassine 30 Les circuits intégrés logiques 24/09/2016 Les circuits intégrés logiques (CI, CIL, puce ou encore Chip) sont des composantes à base de semiconducteur (le silicium), de taille 5 x 5 mm, qui contient des composants électroniques tels que les transistors, les diodes, les résistances et les capacités.. 31 Les diverses composantes sont interconnectées dans la puce de façon à former le circuit électronique. Un circuit intégré est encapsulé dans un boîtier (Package en anglais) rectangulaire en plastique ou en céramique de 5 à 15 mm de long. Sur les deux long cotés de ce boîtier sont disposés, de manière symétrique, des broches (ou pattes) permettant d'assurer des connexions électriques (entrés, sorties, alimentations, ...), d'où l'appellation de ces circuits DIP (Dual Inline Package : Boîtiers à deux rangées de connexions symétriques). On n'accède au circuit interne qu'à partir des broches (externes) dont le nombre est normalisé. Les boîtiers les plus usuels disposent de 14, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 40, 64 et 68 broches. Il existe aussi d'autres présentations carrées disposant des connexions reparties sur les 4 côtés ou en dessous du boîtier. 24/09/2016 Khaled Hassine 32 8 24/09/2016 Echèle d’intégration Nom Signification Année de sortie Nombre de transistors Circuits intégrés logiques SSI small-scale integration 1964 1 à 10 1 à 12 MSI medium-scale integration 1968 10 à 500 13 à 99 LSI large-scale integration 1971 500 à 20 000 100 à 9 999 VLSI very large-scale integration 1980 20 000 à 1 000 000 10 000 à 99 999 ULSI ultra-scale integration 19844 1 000 000 et plus 100 000 et plus Khaled Hassine 24/09/2016 Nombre de portes logiques par boîtier3 33 24/09/2016 Les différentes familles de circuits intégrés Circuit de base TTL Tansistor Transistor Logic NAND ECL Emitter Coupled Logic (logique à émetteur couplé) NOR ou OR MOS Metal Oxyde Semi-conducteur CMOS Complementary MOS NAND, NOR I2L Integrated Injection Logic (logique à injection intégrée) NOR 24/09/2016 Khaled Hassine Khaled Hassine Khaled Hassine 34 Paramètres de comparaison des circuits intégrés Les circuits intégrés sont classés par famille. Chaque famille a son propre circuit électronique de base qui est en général la porte NAND ou la porte NOR. Abréviation Nom complet Les circuits intégrés logiques sont classés en 5 familles selon leur densité d'intégration (nombre de portes/mm2) Ces distinctions ont peu à peu perdu de leur utilité avec la croissance exponentielle du nombre de portes. Aujourd'hui plusieurs centaines de millions de transistors (plusieurs dizaines de millions de portes) représentent un chiffre normal (pour un microprocesseur ou un circuit intégré graphique haut de gamme). Afin de parvenir à de tels niveaux d'intégrations, un flot de conception complexe est utilisé. 35 Fan out : le nombre d'utilisations du signal de sortie (d'une porte) comme signal d'entrée à d'autres portes Puissance dissipée : puissance consommée par une porte et qui doit être disponible à l'alimentation. Délai de propagation : intervalle de temps que met un signal pour se propager de l'entrée d'un circuit à sa sortie. La vitesse d'exécution est inversement proportionnelle au délai de propagation. Immunité au bruit ou marge de bruit minimum qui affecte la valeur de sortie d'un signal. 24/09/2016 Khaled Hassine 36 9 24/09/2016 Fan out Emitter Coupled Logic : ECL B A D C Développé dés 1963 par Motorola, le circuit de base de la technologie ECL est la porte NOR (ou OR) Délai de propagation ECL environ 1.5 ns Puissance dissipée 250 mW Immunité bruit 0.3 V au Fan out >7 Fan out de A = 2 - Fan out de B = 1- Fan out de C =1 Khaled Hassine 24/09/2016 37 Le circuit de base pour la famille logique TTL est la porte NAND. Le Fan out pour la famille TTL = 10. Série Nom de la version Abrégé Délai de propagation (ns) 74 74L Standard serie 74 Low Power 47L puissance basse) High Speed (grande vitesse) Schottky 74S Low Power Schottky TTL LTTL 74H 74S 74LS 24/09/2016 Khaled Hassine 10 33 (A + B) B A+B Deux portes sont disponibles. OR Khaled Hassine 24/09/2016 14 38 6A 13 6Y 12 5A 11 5Y 10 4A 9 4Y 8 Fonction : Y = A SN 7404 1 1A Puissance dissipée Immunité par porte (mW) au bruit 10 1 NOR Exemples de circuits intégrés TTL (de Texas Instruments) Tansistor Tansistor Logic : TTL A 2 1Y VCC 14 0.4 V à 1 V 0.4 V 3 2A 4A 13 4B 12 4 2Y 4Y 11 5 3A 3A 10 6 3Y 3B 9 7 Ground (masse) 3Y 8 Fonction : Y = A. B SN 7403 HTTL 6 22 0.4 V STTL LSTTL 3 9.5 19 2 0.4 V Khaled Hassine 1 1A 39 24/09/2016 2 1B 3 1Y 4 2A 5 2B 6 7 2Y Ground (masse) Khaled Hassine 40 10 24/09/2016 Metal Oxyde Semi-conducteur MOS Integrated Injection Logic I2L Le principal inconvénient de la famille MOS par rapport à TTL et ECL est le grand délai de propagation. Par contre, ils offrent une grande densité d'intégration / puce. CMOS Délai de propagation 25 ns Puissance dissipée 15 µW Immunité au bruit 2.4 V I2L Fan out Puissance Densité dissipée d'intégrati on 6 nW à 70 200 µW portes/mm2 Tension d'alimenta tion 1 à 15 V >50 Khaled Hassine 24/09/2016 Délai de propagatio n 25 ns à 250 ns 41 24/09/2016 Khaled Hassine 42 Liste des théorèmes PLAN Introduction Variables et fonctions binaires Du transistor aux portes logiques Théorèmes fondamentaux Récapitulatif 24/09/2016 Khaled Hassine Khaled Hassine 43 24/09/2016 Khaled Hassine 44 11 24/09/2016 Remarques Exemple La loi d'inversion est aussi dite loi de complémentarité. Les lois d'absorption et de De Morgan sont utiles pour la simplification des expressions logiques. Les lois de "De Morgan" permettent, en particulier, de trouver le complément d'un élément d'expression booléenne. Il faut pour cela : A BC la forme ou de la loi de "De Morgan" Khaled Hassine 45 A A ( A B )( A B ) A La loi de De Morgan peut facilement être généralisée à N variables binaires Khaled Hassine 24/09/2016 Khaled Hassine 46 (A+B)(A+C) = AA + AC + AB + BC = A + AC + AB + BC = A (1+B+C)+BC = A + BC A AB ( A B )( A A) A B A1 A2 An A1 A2 An la forme et de la loi de "De Morgan" Démonstration de la loi de distributivité Autres relations intéressantes 24/09/2016 E A ( B C) Changer les opérations ET en opérations OU et vice versa. Complémenter chaque terme de l'expression. 24/09/2016 E A BC A1 A2 An A1 A2 An Khaled Hassine 47 24/09/2016 Khaled Hassine 48 12 24/09/2016 Démonstration du théorème de Consensus Forme ET : Démonstration du théorème de Consensus AB BC AC AB AC Forme OU : ( A B)(B C)( A C) ( A B)( A C) AB AC AB(C C ) AC ( B B) ( A B )( B C )( A C ) ( AB BB AC BC )( A C ) ABC ABC ACB AC B ( AB B AC BC )( A C ) ( B AC )( A C ) BC ( A A) ABC AC B AB AAC CB ACC AB CB AC BC ABC AC B B(C AC ) AC B B(C A) AC B BC AB AC B ( A B )( A C ) AB CB AC AB C ( B AB) AB C ( B A) AB CB C A 24/09/2016 Khaled Hassine 49 24/09/2016 Khaled Hassine 50 24/09/2016 Khaled Hassine 52 Exemple d'utilisation du théorème de consensus BC BCD ABD ABC ABCD ACD BC ABD ABC ABCD ACD B(C AC ) ABD CD( AB A) B(C A) ABD CD( B A) BC BA ABD CDB CD A BC BA ABD CD AB BC ABD AB CD AB BC ABD AB CD 24/09/2016 Khaled Hassine Khaled Hassine 51 13 24/09/2016 Généralité sur les algorithmes Concept de complexité Vecteurs et matrices Représentation interne Calculs numériques approchés Un algorithme est une suite finie et non ambiguë d’opérations ou d'instructions permettant de résoudre un problème. Le mot algorithme vient du nom latinisé du mathématicien AlKhawarizmi, surnommé « le père de l'algèbre ». ... Un algorithme est une méthode générale pour résoudre un ensemble de problèmes. Il est dit correct lorsque, pour chaque instance du problème, il se termine en produisant la bonne sortie, c'est-à-dire qu'il résout le problème posé. On mesure l'efficacité d'un algorithme notamment par sa durée de calcul, par sa consommation de mémoire RAM (en partant du principe que chaque instruction a un temps d'exécution constant), par la précision des résultats obtenus , etc. 24/09/2016 Khaled Hassine Définition d’un algorithme Structure d’un algorithme Types des données Types d’instructions Khaled Hassine 53 14