24/09/2016 Khaled Hassine 1

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Khaled Hassine
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CHAPITRE I – ALGÈBRE
DE BOOLE
Par :
Khaled Hassine
[email protected]
Khaled Hassine
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PLAN
Introduction
Variables et fonctions binaires
Du transistor aux portes logiques
Théorèmes fondamentaux
Récapitulatif
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Khaled Hassine
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1
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PLAN
Introduction
Variables et fonctions binaires
Du transistor aux portes logiques
Théorèmes fondamentaux
Récapitulatif
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De Boole à Shannon

George Boole (1815-1864)


défini vers 1850 une algèbre applicable aux
raisonnements sur des propositions logiques :
une proposition peut être vraie, à la quelle on
attribue la valeur 1, ou fausse, dont la valeur est
0.
Shannon en 1938
a appliqué cette algèbre à l'analyse des circuits
de commutation : le courant passe ou ne passe
pas, ce que l'on note également par 1 ou 0.

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Objectifs


Présenter d'une manière simplifiée les concepts
fondamentaux de l’algèbre de Boole en vue de
son application aux conceptions des circuits de
base d'un ordinateur.
Conception de quelques circuits très utiles pour le
fonctionnement d'un ordinateur :


combinatoires (additionneur, multiplexeur, ...)
séquentiels (registres, compteur, ...)
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PLAN
Introduction
Variables et fonctions binaires
Du transistor aux portes logiques
Théorèmes fondamentaux
Récapitulatif
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Variables logiques



Une variable logique (ou encore binaire ou
booléenne) est une variable dont la valeur
appartient à un ensemble de deux éléments
représentés en binaire par les symboles 0 et 1.
(A est une variable logique, A {0,1}).
Par convention, une variable logique est :


vraie si sa valeur est 1,
fausse dans le cas contraire.
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En électronique

Deux états associés à deux niveaux de tension:


V(0) et V(1) pour les états 0 (inférieur à +0.8 V) et
1 (+2 V et +5 V ).
On distingue les logiques positive et négative
selon que V(1) > V(0) ou V(1) < V(0).
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3
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En électronique …
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Fonctions logiques

Une fonction logique (ou booléenne) est une
fonction à n variables logiques dont la valeur
appartient à l'ensemble {0,1} :


F(A1, A2, ..., An)  à {0,1}.
Toute fonction logique peut être réalisée à
l’aide d’un petit nombre de fonctions logiques
de base aussi appelées opérateurs logiques ou
portes (gates)
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Table de vérité

La fonction F est parfaitement définie par la
donnée des ses valeurs pour les 2n
combinaisons possibles des n variables.

Le tableau de correspondance entre les états d’entrée
et les états de sortie.

Le tableau représentant les 2n valeurs s'appelle
la table de vérité de la fonction.
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Fonctions logiques à une variable
A
F1 : Coupure F2 : Identité
F3 : Inverse
F4 : Passage
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
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Opérateur complémentation

La fonction F3 : A





fonction de base très utile.
C'est la fonction inverse appelée encore
complémentation ou négation de la variable A
se lit : non A ou encore A barre.
À une fonction correspond toujours un opérateur
réalisant cette fonction.
L'opérateur de complémentation, appelé
l’opérateur NON (NOT en anglais).
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L’opérateur NON ou inverseur
A
A
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Fonctions à deux variables
16 fonctions possibles
00
01
10
11
ab
Remarque
0
0
0
0
F0=0
Constante 0
0
0
0
1
F1=ab
Fonction Intersection ET / AND
0
0
1
0
F2
0
0
1
1
F3=a
0
1
0
0
F4
0
1
0
1
F5=b
0
1
1
0
F6=ab
Fonction Ou Exclusif / XOR
0
1
1
1
F7=a+b
Fonction OU / OR
16
Fonctions à deux variables …
16 fonctions possibles
00
01
10
11
ab
Remarque
1
0
0
0
F8
Fonction NAND
1
0
0
1
F9=ab
Fonction égalité
1
0
1
0
F10
1
0
1
1
F11
1
1
0
0
F12=a
1
1
0
1
F13
1
1
1
0
F14=a+b
Fonction NOR
1
1
1
1
F15=1
Constante 1
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Intersection et réunion

Deux fonctions très importantes qui portent
sur deux variables :

La fonction intersection (ou produit logique) :
A
noté A x B (ou A LB)
AB
B

la fonction réunion (ou somme logique) : noté A
A
+ B (ou encore A nB).
A+B
B
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Fonctions de base

Toute fonction logique peut s'exprimer sous la
forme d'une expression faisant intervenir les
trois fonctions :




complémentation,
produit logique
somme logique,
d'où l'appellation «fonctions de base» ou
«fonctions fondamentales».
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Ou Exclusif


Une autre fonction intéressante à 2 variables
est très utilisée dans la pratique : c'est la
fonction OU Exclusif.
L'opérateur de la fonction OU EXCLUSIF
(notée  et appelé en anglais XOR)
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Principale propriétés de la
fonction Ou Exclusif
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Porte à Trois Etats


La porte "3 états", ou "tri-state", n'est pas une porte
logique au sens strict. Elle est principalement utilisée
pour connecter une sortie sur une ligne commune à
plusieurs circuits (un bus par exemple).
Elle remplace généralement une porte ET. En effet, la
mise en parallèle sur une même ligne de plusieurs
portes ET introduit des capacités parasites. Ceci
augmente les constantes de temps et a pour effet de
détériorer les fronts de montée et de descente des
signaux. Cela peut perturber le fonctionnement d'un
système.
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Porte à Trois Etats …


Lorsque la commande C est à 0, l'impédance de
sortie est très grande : pratiquement déconnectée.
Les portes "3 états" fournissent une amplification de
puissance.
C
1
1
0
A
0
1
X
Y
0
1
0
Sortie
faible impédance
faible impédance
haute impédance
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PLAN
Introduction
Variables et fonctions binaires
Du transistor aux portes logiques
Théorèmes fondamentaux
Récapitulatif
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Le transistor



Un circuit logique est caractérisé par un
comportement binaire (deux états logiques).
Ceci est facilement obtenu avec des signaux
électriques ayant différentes tensions ou
intensités de courant.
En pratique,



l'état 0 est associé à une tension qui voisine le 0
L’état 1 pour une tension qui voisine les 5 volts.
Le composant de base d'un circuit logique est
le transistor.
Collecteur
Base
Emetteur
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Le transistor

Un transistor peut être perçu comme un
interrupteur électronique très rapide construit à
base d'un semi-conducteur (par exemple, le
silicium).
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Porte NOT à base de transistor

VCC
Son fonctionnement est le suivant :


Si Ve (la tension en entrée) voisine
le 0 ( 1 V), le transistor est en état
bloqué. On récupère VCC (égale à
5 volts) comme tension en sortie
(Vs).
Si Ve (la tension en entrée) voisine
les 5 volts ( 2 V), le transistor est
en état passant et la terre absorbe
toute la tension VCC. La tension de
sortie (Vs) est alors nulle.
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Vs
Ve
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Porte NAND à base de transistor
VCC
Vs
Ve2
Ve1
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Porte NOR à base de transistor
VCC
Vs
Ve1
Ve2
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Les circuits intégrés logiques

Les circuits intégrés logiques (CI, CIL, puce ou
encore Chip) sont des composantes à base de semiconducteur (le silicium), de taille 5 x 5 mm, qui
contient des composants électroniques tels que les
transistors, les diodes, les résistances et les capacités..
Circuit intégré
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Broches
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Circuits intégrés
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Les circuits intégrés logiques




Les diverses composantes sont interconnectées dans la puce de
façon à former le circuit électronique.
Un circuit intégré est encapsulé dans un boîtier (Package en
anglais) rectangulaire en plastique ou en céramique de 5 à 15 mm
de long. Sur les deux long cotés de ce boîtier sont disposés, de
manière symétrique, des broches (ou pattes) permettant d'assurer
des connexions électriques (entrés, sorties, alimentations, ...), d'où
l'appellation de ces circuits DIP (Dual Inline Package : Boîtiers à
deux rangées de connexions symétriques).
On n'accède au circuit interne qu'à partir des broches (externes)
dont le nombre est normalisé. Les boîtiers les plus usuels disposent
de 14, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 40, 64 et 68 broches.
Il existe aussi d'autres présentations carrées disposant des
connexions reparties sur les 4 côtés ou en dessous du boîtier.
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Echèle d’intégration
Nom
Signification
Année de sortie
Nombre
de transistors
Nombre de portes
logiques par boîtier3
SSI
small-scale
integration
1964
1 à 10
1 à 12
MSI
medium-scale
integration
1968
10 à 500
13 à 99
LSI
large-scale integration
1971
500 à 20 000
100 à 9 999
VLSI
very large-scale
integration
1980
20 000 à 1 000 000
10 000 à 99 999
ULSI
ultra-scale integration
19844
1 000 000 et plus
100 000 et plus
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Circuits intégrés logiques




Les circuits intégrés logiques sont classés en 5 familles
selon leur densité d'intégration (nombre de portes/mm2)
Ces distinctions ont peu à peu perdu de leur utilité avec la
croissance exponentielle du nombre de portes.
Aujourd'hui plusieurs centaines de millions de transistors
(plusieurs dizaines de millions de portes) représentent un
chiffre normal (pour un microprocesseur ou un circuit
intégré graphique haut de gamme).
Afin de parvenir à de tels niveaux d'intégrations, un flot de
conception complexe est utilisé.
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Les différentes familles de circuits
intégrés

Les circuits intégrés sont classés par famille. Chaque famille a
son propre circuit électronique de base qui est en général la
porte NAND ou la porte NOR.
Abréviation Nom complet
Circuit de base
TTL
Tansistor Transistor Logic
NAND
ECL
Emitter Coupled Logic (logique à émetteur couplé)
NOR ou OR
MOS
Metal Oxyde Semi-conducteur
CMOS
Complementary MOS
NAND, NOR
I 2L
Integrated Injection Logic (logique à injection
intégrée)
NOR
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Paramètres de comparaison des
circuits intégrés




Fan out : le nombre d'utilisations du signal de sortie
(d'une porte) comme signal d'entrée à d'autres portes
Puissance dissipée : puissance consommée par une
porte et qui doit être disponible à l'alimentation.
Délai de propagation : intervalle de temps que met un
signal pour se propager de l'entrée d'un circuit à sa
sortie. La vitesse d'exécution est inversement
proportionnelle au délai de propagation.
Immunité au bruit ou marge de bruit minimum qui
affecte la valeur de sortie d'un signal.
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Fan out
B
A
D
C
Fan out de A = 2 - Fan out de B = 1- Fan out de C =1
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Emitter Coupled Logic : ECL

Développé dés 1963 par Motorola, le circuit
de base de la technologie ECL est la porte
NOR (ou OR)
Délai de
propagation
ECL environ 1.5 ns
Puissance
dissipée
250 mW
A
(A + B)
B
A+B
Immunité
bruit
0.3 V
au Fan out
>7
NOR
Deux portes sont disponibles.
OR
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Tansistor Tansistor Logic : TTL

Le circuit de base pour la famille logique TTL
est la porte NAND. Le Fan out pour la famille
TTL = 10.
Série
Nom de la version
Abrégé Délai de
propagation (ns)
74
74L
Standard serie 74
Low Power 47L
puissance basse)
High Speed (grande
vitesse)
Schottky 74S
Low Power Schottky
TTL
LTTL
10
33
10
1
0.4 V à 1 V
0.4 V
HTTL
6
22
0.4 V
STTL
LSTTL
3
9.5
19
2
0.4 V
74H
74S
74LS
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Puissance dissipée Immunité
par porte (mW)
au bruit
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13
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Exemples de circuits intégrés TTL
(de Texas Instruments)
6A
13
14
6Y
12
5A
11
5Y
10
4A
9
4Y
8
Fonction : Y = A
SN 7404
1
1A
2
1Y
VCC
14
3
2A
4A
13
4B
12
4
2Y
5
3A
4Y
11
3A
10
6
3Y
3B
9
7
Ground (masse)
3Y
8
Fonction : Y = A. B
SN 7403
1
1A
2
1B
3
1Y
4
2A
5
2B
6
7
2Y Ground (masse)
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Metal Oxyde Semi-conducteur
MOS

Le principal inconvénient de la famille MOS
par rapport à TTL et ECL est le grand délai de
propagation. Par contre, ils offrent une grande
densité d'intégration / puce.
CMOS
Délai de
propagation
25 ns
Puissance
dissipée
15 µW
Immunité au
bruit
2.4 V
Fan out
>50
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Integrated Injection Logic I2L
I2L
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Délai de
propagatio
n
25 ns à 250
ns
Puissance Densité
dissipée
d'intégrati
on
6 nW à 70 200
µW
portes/mm2
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Tension
d'alimenta
tion
1 à 15 V
42
14
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PLAN
Introduction
Variables et fonctions binaires
Du transistor aux portes logiques
Théorèmes fondamentaux
Récapitulatif
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Liste des théorèmes
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Remarques


La loi d'inversion est aussi dite loi de
complémentarité.
Les lois d'absorption et de De Morgan sont utiles
pour la simplification des expressions logiques. Les
lois de "De Morgan" permettent, en particulier, de
trouver le complément d'un élément d'expression
booléenne. Il faut pour cela :


Changer les opérations ET en opérations OU et vice versa.
Complémenter chaque terme de l'expression.
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15
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Exemple
A  BC
la forme ou
de la loi de
"De Morgan"
E  A  BC
E  A ( B  C)
la forme et
de la loi de
"De Morgan"
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Autres relations intéressantes
A A
A  AB  ( A  B )( A  A)  A  B
( A  B )( A  B )  A
La loi de De Morgan peut facilement être généralisée à N
variables binaires
A1 A2  An  A1  A2    An
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A1  A2    An  A1  A2    An
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Démonstration de la loi de
distributivité
(A+B)(A+C)
= AA + AC + AB + BC
= A + AC + AB + BC
= A (1+B+C)+BC
= A + BC
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Démonstration du théorème de
Consensus
Forme ET :
AB  BC  AC  AB  AC
AB  AC  AB(C  C )  AC ( B  B)
 ABC  ABC  ACB  AC B
 BC ( A  A)  ABC  AC B
 BC  ABC  AC B  B(C  AC )  AC B
 B(C  A)  AC B  BC  AB  AC B
 AB  C ( B  AB)  AB  C ( B  A)
 AB  CB  C A
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Démonstration du théorème de
Consensus
Forme OU :
( A  B)(B  C)( A  C)  ( A  B)( A  C)
( A  B )( B  C )( A  C )  ( AB  BB  AC  BC )( A  C )
 ( AB  B  AC  BC )( A  C )  ( B  AC )( A  C )
 AB  AAC  CB  ACC  AB  CB  AC
( A  B )( A  C )  AB  CB  AC
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Exemple d'utilisation du théorème
de consensus
BC  BCD  ABD  ABC  ABCD  ACD
 BC  ABD  ABC  ABCD  ACD
 B(C  AC )  ABD  CD( AB  A)
 B(C  A)  ABD  CD( B  A)
 BC  BA  ABD  CDB  CD A
 BC  BA  ABD  CD AB
 BC  ABD  AB  CD AB
 BC  ABD  AB  CD
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Généralité sur les algorithmes
Concept de complexité
Vecteurs et matrices
Représentation interne
Calculs numériques approchés


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Définition d’un algorithme
Structure d’un algorithme
Types des données
Types d’instructions
Un algorithme est une suite finie et non ambiguë d’opérations ou
d'instructions permettant de résoudre un problème. Le mot
algorithme vient du nom latinisé du mathématicien AlKhawarizmi, surnommé « le père de l'algèbre ». ...
Un algorithme est une méthode générale pour résoudre un
ensemble de problèmes. Il est dit correct lorsque, pour
chaque instance du problème, il se termine en produisant la bonne
sortie, c'est-à-dire qu'il résout le problème posé. On
mesure l'efficacité d'un algorithme notamment par sa durée de
calcul, par sa consommation de mémoire RAM (en partant du
principe que chaque instruction a un temps d'exécution constant),
par la précision des résultats obtenus , etc.
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53
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