Communication in Wavelength Multiplexed Optical Networks Bruno Beauquier To cite this version: Bruno Beauquier. Communication in Wavelength Multiplexed Optical Networks. Networking and Internet Architecture. Université Nice Sophia Antipolis, 2000. English. <tel-00504392> HAL Id: tel-00504392 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00504392 Submitted on 20 Jul 2010 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. THSE prsente L'UNIVERSIT DE NICE SOPHIA ANTIPOLIS U.F.R. SCIENCES pour obtenir le titre de DOCTEUR Spcialit : INFORMATIQUE COMMUNICATIONS DANS LES RSEAUX OPTIQUES PAR MULTIPLEXAGE EN LONGUEUR D'ONDE par Bruno BEAUQUIER Soutenue le 17 janvier 2000 devant le jury compos de : M. Ioan M. Jean-Claude BERMOND Mme. Dominique M. Franois M. Ugo M. M. BOND SOTTEAU TILLEROT VACCARO Prsident Directeur Rapporteur Rapporteur Rapporteur Pierre FRAIGNIAUD Examinateur Jean-Claude KNIG Examinateur mes parents. Remerciements Je tiens particulirement remercier toutes les personnes qui m'ont aid, tant sur le plan professionnel que sur le plan personnel, mener terme cette preuve : - Johny Bond, responsable de l'quipe PaCom, pour l'honneur qu'il me fait de prsider mon jury, et pour l'extrme gentillesse avec laquelle il m'a accueilli lors de mon arrive Sophia Antipolis - Jean-Claude Bermond, pour m'avoir accueilli dans son quipe et avoir accept de diriger cette thse. Je lui suis profondment reconnaissant de l'aide et du temps prcieux qu'il m'a consacrs, de la conance qu'il m'a toujours accorde, et surtout de l'ambiance particulirement amicale qu'il sait instaurer et qui m'a permis d'eectuer mon doctorat dans les meilleures conditions possibles - Dominique Sotteau, pour l'honneur qu'elle me fait de participer mon jury, malgr ses contraintes professionnelles, pour la gentillesse et le courage d'avoir rapport cette thse, et pour ses nombreux contacts cordiaux et utiles tout au long de mes travaux - Franois Tillerot, pour l'honneur qu'il me fait de participer mon jury, pour la gentillesse et le courage d'avoir rapport cette thse dans des dlais aussi courts, et pour ses nombreuses remarques trs protables sur la partie technologique de ce manuscript - Ugo Vaccaro, pour l'honneur qu'il me fait de participer mon jury, pour la gentillesse et le courage d'avoir rapport cette thse, et pour l'hospitalit chaleureuse dont il a fait preuve lors de mon sjour Salerno - Pierre Fraigniaud et Jean-Claude Knig, pour l'honneur qu'ils me font de faire partie de mon jury - Stphane Prennes, pour sa prcieuse collaboration et son contact trs enrichissant, et pour nos nombreuses discussions amicales - Michel Syska, pour avoir accept d'tre mon tuteur de monitorat, pour tous les prcieux conseils qu'il m'a fournis, pour son amiti sincre, voire (mme) pour son hospitalit gnreuse lors de nombreuses soires footballistiques - Olivier Delmas, pour le plaisir d'avoir partag son bureau et d'avoir travaill avec lui, et pour toutes nos discussions enjoues - Eric Darrot, pour le plaisir d'avoir collabor avec lui et pour avoir apprci son obstination acharne et son sens de la rpartie i - Nausica Marlin, pour le plaisir de l'avoir ctoye dans la bonne humeur, pour tous les moments passs ensemble et la complicit que nous avons partage. - Afonso Ferreira, pour ses conseils aviss, son contact amical et pour nos nombreuses discussions extra-professionnelles - les autres membres du projet SLOOP, David Coudert, Tania Jimnez, Philippe Mussi, Jean-Nol Petit, ses ex-membres, Franoise Baude, Denis Caromel, Nathalie Furmento, Bruno Gaujal, Peter Mammay, Yves Roudier, David Sagnol, Gnther Siegel, Laurent Villefranche, et les nouveaux, Sbastien Choplin et Xavier Hardy, pour l'ambiance sympathique qu'ils font ou ont fait rgner dans les bureaux et les couloirs du projet - Ephie Deriche, Zohra Khala et Patricia Lachaume, tant pour leur diligence et leur ecacit rsoudre mes embarras administratifs, que pour leur gentillesse et leur disponibilit - Franois Brmond, Olivier Dalle et Cyril Godart, dits les Marmules, pour leur accueil sympathique, leurs boues soit dittiques, soit pantagruliques, et pour l'amiti forge autour de leur table ou encore la sueur des bourres tires dans les ctes sophiapolitaines - mes autres compagnons de course pied, Jrme Galtier, Igor Litovski et Philippe Nain, pour leur bonne humeur permanente et leur saine mulation lors de nos sorties l'heure du djeuner - Sandrine Julia et Bruno Martin, pour leur accueil chaleureux et leur amiti, entretenue malgr l'loignement, coups de boues et de sorties au ski - Joseph Yu, pour le plaisir d'avoir fait sa connaissance ds mon arrive, pour ses conseils aviss et sa gentillesse perptuelle - Luisa Gargano, Pavol Hell et David Peleg, pour leur contact la fois enrichissant sur le plan professionnel et trs amical sur le plan personnel - toutes les personnes rencontres sur Sophia et qui m'ont permis de passer de trs bons moments : Soraya Arias, Thomas Bonald, Sandrine Chevris, Jrme Durand-Lose, Patrick Itey, Nathanael Rota, et j'en oublie - mes amis de plus longue date, Alexandre, Anne-Emmanuelle, Frdric, Julia et Yves, pour le plaisir que j'ai eu les connatre, pour toutes les aventures vcues ensemble et pour leur amiti sincre - et bien sr mes parents, pour l'aide et l'aection qu'ils n'ont jamais cess de m'apporter. ii Table des matires Introduction 1 La technologie optique pour les tlcommunications 1.1 Aperu historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Systmes de transmission optiques . . . . . . . . . 1.2.1 Fibre optique . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 metteurs optiques . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Rcepteurs optiques . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Amplicateurs optiques . . . . . . . . . . . 1.3 Multiplexage optique . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Multiplexage temporel (TDM) . . . . . . . 1.3.2 Multiplexage en longueur d'onde (WDM) . 1.3.3 Comparaison entre TDM et WDM . . . . 1.4 Commutation optique . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Gnrations de rseaux . . . . . . . . . . . 1.4.2 Commutateurs optiques . . . . . . . . . . 1.4.3 Convertisseurs optiques . . . . . . . . . . . 2 Problmatique et modlisation . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Graphes et rseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Notions lmentaires de thorie des graphes 2.2.2 Rseaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Optimisation et approximation . . . . . . . . . . . 2.4 Formulation des problmes tudis . . . . . . . . . 2.4.1 Problme du routage tout-optique . . . . . . 2.4.2 Problme de la charge . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Relations entre les problmes . . . . . . . . 2.5 Communications structures . . . . . . . . . . . . . 3 Routage WDM tout-optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 11 11 16 16 18 20 21 23 23 24 25 26 26 27 30 35 35 37 38 40 42 44 45 47 49 51 59 3.1 Rseaux gnraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.1 Instances quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 iii 3.1.2 Permutations et k-relations 3.1.3 Diusion et multicast . . . . 3.1.4 change total . . . . . . . . 3.2 Rseaux particuliers . . . . . . . . 3.2.1 Arbres . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Cycles . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Grilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion et perspectives 68 72 73 75 75 81 83 91 A Optimal wavelengthrouted multicasting B. Beauquier, P. Hell et S. Prennes Discrete Applied Mathematics, volume 84, pages 15$20, Elsevier Science, 1998. Editors' Choice 1998. Rapports de recherche I3S 97-32 et INRIA 3276. 95 B All-to-all communication in some wavelengthrouted alloptical networks B. Beauquier Networks: An International Journal, volume 33, numro 3, pages 179$187, Wiley-Interscience, 1999. Rapports de recherche I3S 98-06 et INRIA 3452. 103 C All-to-all routing and coloring in weighted trees of rings B. Beauquier, S. Prennes et D. T%th In Proceedings of the 11th ACM Symposium on Parallel Algorithms and Architectures (SPAA'99), pages 185$190, Saint-Malo, France, 27-30 juin 1999. Rapports de recherche I3S 99-12 et INRIA 3700. 121 D Tight bounds for broadcasting in the linear cost model B. Beauquier, O. Delmas et S. Prennes Rapports de recherche I3S 99-20 et INRIA 3827. E Broadcasting in WDM optical rings and tori 137 B. Beauquier In P-J. Wan, D-Z. Du et P. M. Pardalos, editors, DIMACS Workshop on Multichannel Optical Networks: Theory and Practice, Rutgers University, NJ, 16-19 mars 1998, volume 46 of DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, pages 63$73. American Mathematical Society, 1998. Rapports de recherche I3S 98-05 et INRIA 3410. 159 iv F On arbitrary Waksman networks and their vulnerability B. Beauquier et E. Darrot Soumis Parallel Processing Letters (World Scientic). Version tendue de l'article paru dans Actes des 1res Rencontres Francophones sur les Aspects Algorithmiques des Tlcommunications (AlgoTel'99), pages 95$ 100, Rosco, France, 5-7 mai 1999. Rapports de recherche I3S 99-17 et INRIA 3788. 175 v vi Introduction Les rsultats obtenus dans cette thse, qui s'est droule au sein du projet Sloop 1 , portent principalement sur l'tude des communications dans les rseaux optiques par multiplexage en longueur d'onde. Ils s'inscrivent dans une thmatique d'allocation des ressources en vue de raliser des communications dans un rseau. La problmatique gnrale que nous avons considre peut se rsumer de la manire suivante. Il s'agit de satisfaire dans un rseau optique une famille de requtes de connexion, appele instance de communication et forme de couples de n&uds (source, destination). La satisfaction d'une requte passe par l'attribution d'un chemin dans le rseau et d'une longueur d'onde sur les liens utiliss, avec la contrainte que deux requtes ne peuvent pas utiliser le mme lien avec la mme longueur d'onde. L'objectif dans ce cadre est de minimiser l'utilisation des ressources optiques, c'est--dire le nombre total de longueurs d'onde permettant de satisfaire l'instance donne. La ncessit pressante de disposer de rseaux de communication trs haut dbit, dont les performances dpassent largement celles que peuvent fournir les rseaux ATM actuels, se fait jour face au nombre croissant d'utilisateurs et l'mergence d'applications en rseau intensives, telles que la rcupration de donnes sur Internet, les applications Java, les confrences distance, l'imagerie en temps rel ou encore le calcul intensif distribu. La technologie de la bre optique peut apporter une solution pour subvenir ce besoin, gr'ce ses caractristiques de transmission exceptionnelles, sans comparaison avec les capacits des rseaux classiques. Son intrt majeur rside dans sa bande passante norme qui dpasse celle des transmissions lectroniques de plusieurs ordres de grandeur. Alors que la bre optique tait une curiosit technologique pendant les dernires dcennies, le d est prsent de rendre ses promesses eectives an de pourvoir la demande des rseaux de communication du futur. En tenant compte de la contrainte pour un site connect $ qui peut tre une station de travail ou une porte d'accs vers des sous-rseaux locaux $ de ne pouvoir transmettre et recevoir des donnes qu'au dbit lectronique, la cl du problme dans la conception de rseaux de communication exploitant la bande 1 Sloop est un projet commun Cnrs / Inria / Universit de Nice - Sophia Antipolis. 1 passante optique est de parvenir introduire dans les architectures et les protocoles des moyens de transmission des donnes concurrents. Dans un rseau de communication optique, cette concurrence peut tre tablie par la technique du multiplexage en longueur d'onde (Wavelength-Division Multiplexing, WDM). La technologie WDM est une approche qui permet de grer l'importante discordance opto-lectronique en termes de bande passante, en permettant aux quipements des sites connects d'accder au rseau au dbit de l'lectronique seulement, ceci en multiplexant sur la mme bre optique plusieurs canaux WDM connectant dirents sites. Le spectre optique d'une bre est dcoup en un certain nombre d'intervalles de longueurs d'onde (ou frquences) distincts, de telle sorte que chaque intervalle supporte un canal de communication transmettant au dbit dsir, en particulier celui de l'lectronique. Il est communment admis que la technologie WDM constitue actuellement le procd de multiplexage favori pour les rseaux de communication optiques. Le problme devient alors de concevoir et de dvelopper des architectures de rseau, des protocoles et des algorithmes appropris, destins assurer une utilisation ecace des nouvelles potentialits oertes, notamment en ce qui concerne l'allocation des ressources optiques. Plus spciquement, le problme du routage optique des communications, qui consiste attribuer une route et une longueur d'onde aux direntes requtes entre les sites connects, requiert la rsolution de nombreux problmes algorithmiques de nature combinatoire. Pour rsoudre ce type de problmes, nous nous sommes placs dans un contexte d'optimisation algorithmique dterministe et statique (o-line). En d'autres termes, nous supposons les donnes du rseau et de l'instance xes une fois pour toutes, et nous cherchons un routage optique satisfaisant des contraintes et minimisant une fonction de cot. Cette situation se rencontre aussi bien dans le cadre des rseaux de transport, des rseaux locaux ou des interconnexions de processeurs, lorsque les communications sont connues l'avance. En revanche, nous n'avons pas considr de mthodes probabilistes de rsolution, ni l'approche dynamique (on-line) du problme, pour laquelle les requtes de connexion se prsentent au cours du temps. Dans les rseaux optiques WDM, le nombre de longueurs d'onde disponibles est fortement limit, gnralement de l'ordre de la trentaine (on trouve cependant aujourd'hui une ore commerciale de Lucent 80 canaux), et les perspectives futures ne laissent pas envisager de dpasser l'ordre de la centaine. De plus, le cot et la complexit des n&uds de commutation augmentent signicativement avec le nombre de longueurs d'onde traiter. C'est pourquoi il est crucial de chercher minimiser l'utilisation de ces ressources optiques. Ce type d'optimisation revt une importance particulire dans le cadre de la conception et du dimensionnement 2 d'un rseau optique : d'une part, en vue de satisfaire une certaine demande de trac prvue l'avance, et an de minimiser le cot global des quipements ncessaires d'autre part, pour grer l'utilisation des ressources optiques en assurant la possibilit d'tablir de nouvelles connexions. Cette problmatique est celle du projet Porto 2 qui a rcemment dmarr. Les points d'accs au rseau optique communiquent entre eux via des canaux WDM, dits tout-optiques lorsqu'ils ne subissent pas de conversion lectronique intermdiaire, et qui sont galement appels chemins optiques. Une telle liaison peut recouvrir une srie de liens en bre optique et fournir ainsi une connexion de type commutation de circuits (circuit-switching, en anglais) entre deux sites distants dans la topologie physique. Chaque n&ud de routage intermdiaire doit pour cela possder une fonction de commutation optique adapte. Les commutateurs optiques les plus simples actuellement commercialiss (par exemple par Alcatel ou Lucent Technologies) sont capables de diriger une bre d'entre sur n'importe quelle bre de sortie (rpartiteur ou ber optical crossconnect (f-oxc)). D'autres, plus volus, peuvent extraire d'une bre certaines longueurs d'onde et en rinsrer (multiplexeur insertion/extraction (mie) ou optical add/drop multiplexer (oadm)). D'autres enn, plus sophistiqus encore, appels brasseurs, permettent d'envoyer un canal WDM indpendamment des autres sur n'importe quelle bre de sortie, sans modier sa longueur d'onde (wavelength routing optical cross-connect (wr-oxc)), ou en la convertissant en une autre (wavelength translating optical cross-connect (wt-oxc)). En fonction de ces types de n&uds de commutation, direntes architectures pour les rseaux tout-optiques ont t proposes dans la dernire dcennie. Toutes prsupposent cependant l'utilisation de liens entre les n&uds de routage qui sont constitus de paires de bres optiques unidirectionnelles. Ainsi, nous modlisons un rseau tout-optique par un graphe ou multi-graphe orient symtrique, dont les sommets reprsentent indiremment les points d'accs et les n&uds de routage. Dans ce cadre, chaque arc correspond une bre optique unidirectionnelle qui supporte un nombre x de longueurs d'onde, que nous supposons uniforme dans tout le rseau. Notons toutefois qu'un arc ne reprsente pas ncessairement une liaison physique point--point, mais peut correspondre une liaison virtuelle prtablie. Ainsi la topologie fournie au dpart peut tre celle librement choisie par le concepteur du rseau. De plus, nous considrons l'une des architectures les plus communes et les plus souvent tudies, qui est constitue de n&uds de commutation forms de brasseurs et de multiplexeurs insertion/extraction, sans toutefois autoriser la conversion des longueurs d'onde. La possibilit de conversion totale (Planication et Optimisation des Rseaux de Transport Optiques) est un projet prcomptitif du Rnrt (Rseau National de Recherche en Tlcommunications) entre le projet Sloop, Alcatel (Corporate Research Center) et France Telecom (CNET). 2 Porto 3 dans tout le rseau a t cependant aborde, mais nous avons laiss de ct l'hypothse de conversion partielle et limite certains n&uds. Dans le chapitre 1, nous prsentons la technologie optique pour les tlcommunications, an de prciser le cadre technique de notre recherche et d'aider le lecteur informaticien la comprhension des contraintes physiques sous-jacentes la modlisation thorique. Cette prsentation vise caractriser les problmes essentiels rencontrs en pratique, en gardant toutefois l'esprit que les progrs technologiques dans le domaine sont rapides. Nous commenons dans la section 1.1 par donner un aperu historique de l'volution des tlcommunications et de l'avnement de la bre optique comme support de transmission privilgi. Nous poursuivons dans la section 1.2 en dcrivant les dirents lments d'un systme de transmission optique $ que sont la bre, les metteurs, les rcepteurs et les amplicateurs $ et en donnant quelques caractristiques techniques. Dans la section 1.3, nous prsentons deux techniques de multiplexage qui permettent d'exploiter la bande passante spectrale de la bre optique : le multiplexage temporel (Time-Division Multiplexing, TDM) et le multiplexage en longueur d'onde (WDM). Nous expliquons pourquoi cette dernire approche semble prfrable. Enn, nous donnons dans la section 1.4 une classication des diffrents types de n&uds de commutation envisags dans la conception de rseaux dits tout-optiques, dans lesquels les signaux sont achemins trs haut dbit sans conversion opto-lectronique intermdiaire entre la source et la destination. Dans le chapitre 2, nous posons la problmatique tudie au cours de la thse et nous donnons la modlisation qui a servi de base nos recherches. Nous commenons dans la section 2.1 par rappeler le contexte qui est celui des rseaux de tlcommunications tout-optiques, dans lesquels il est possible de raliser des communications sous le mode de la )commutation de circuit* (circuit switching), dj abondamment tudi pour les rseaux d'interconnexion entre processeurs. Ainsi une requte de connexion entre deux sites distants peut tre tablie par l'allocation d'un chemin optique, qui consiste en l'attribution d'une route dans le rseau et d'une longueur d'onde sur les liens utiliss. Un tel routage optique prsuppose une certaine fonctionalit des n&uds de commutation. Nous prcisons le type de commutateurs optiques retenu dans notre tude, en insistant sur sa slectivit en longueur d'onde. Cette hypothse permet de commuter les chemins optiques indpendamment les uns des autres, avec la contrainte que deux chemins ne peuvent utiliser la mme longueur d'onde sur le mme lien. De plus, sans conversion dans les n&uds de routage, la mme longueur d'onde doit tre utilise tout le long d'un chemin optique. 4 Dans la section 2.2, nous donnons les notions lmentaires de la thorie des graphes ncessaires la modlisation des communications dans les rseaux optiques, ainsi que la dnition de topologies particulires tudies par la suite. Nous rappelons dans la section 2.3 quelques notions sur les problmes d'optimisation et les algorithmes d'approximation. Nous formulons dans la section 2.4 les problmes d'optimisation tudis dans le chapitre suivant et les annexes. Nous commenons par modliser un rseau tout-optique par un graphe orient, la plupart du temps symtrique, puis nous dnissons formellement d'une part le problme du routage optique, et d'autre part celui de la charge. Ce dernier problme correspond au cas o+ la conversion en longueur d'onde est possible. Dans les deux cas, l'objectif est de trouver un ensemble R de chemins optiques pour un ensemble I de requtes de connexion donn dans un graphe G donn, et de minimiser le nombre total de longueurs d'onde utilises (l'optimal est not ~w(G I ) dans le premier cas, not ~(G I ) et appel charge dans le second). Ces problmes de minimisation sont relis des problmes de maximisation associs, pour lesquels il s'agit de trouver un ensemble de requtes ralisables de cardinalit maximale, tant donn un nombre de longueurs d'onde x. Plus gnralement, tous ces problmes sont intrinsquement connects des problmes de routage disjoint et de multi,ot entier. Nous terminons ce chapitre par la section 2.5 qui expose certains schmas de communication tudis par la suite. Ce type de communications, dites structures, possde une rgularit qui permet une formalisation et une rsolution plus aises, et peut se rvler intressant tudier dans la mesure o+ il se rapproche des situations relles plus irrgulires. Le chapitre 3 est une synthse des rsultats obtenus dans la littrature concernant principalement le problme du routage optique. Une version prliminaire de cet tat de l'art avait t fournie dans -1]. Nous avons tent de prsenter les apports les plus signicatifs selon notre point de vue, en esprant n'avoir oubli aucune contribution importante. L'accent a t mis sur les rapports entre les paramtres ~w et ~, c'est--dire sur les relations entre le problme du routage optique et celui de la charge, pour lequel il existait dj nombre de mthodes de rsolution algorithmiques, de par son antriorit dans les domaines de la thorie des graphes et de l'optimisation combinatoire. Nous commenons dans la section 3.1 par donner des rsultats de complexit montrant la dicult du problme tudi dans sa gnralit, cause de ses liens troits avec les problmes de multi,ot entier et de coloration, connus comme tant diciles. Nous mentionnons ensuite des bornes infrieures et suprieures gnrales relatives certains paramtres des graphes. Nous poursuivons cette approche en restreignant les instances de communication considres celles des 5 permutations, des k-relations, de la diusion, du multicast, puis de l'change total. Dans la section 3.2, nous en venons considrer des topologies de rseaux particulires, que sont les arbres, les cycles et les grilles, dont il est gnralement plus facile d'exploiter les proprits structurelles. La conclusion prsente des perspectives de nouveaux axes de recherche sur les communications optiques, qu'il semble d'ores et dj intressant d'approfondir au vu de l'volution de la technologie et de son application eective. Le reste de la thse est constitue des annexes qui rassemblent les articles publis, dans le format des rapports de recherche. L'annexe A correspond l'article -2] et prsente un algorithme polynmial pour rsoudre de faon optimale le problme du routage optique pour les instances de multicast dans les graphes orients, avec un nombre de longueurs d'onde gal la charge (~w = ~). Une consquence de ce rsultat, comme d'autres qui suivent, est que la conversion des longueurs d'onde n'est pas utile pour router optiquement ce type de communications. La particularit du multicast, qui possde une source unique pour toutes les requtes de connexion, a permis de ramener la rsolution du problme celle d'un ,ot entier simple dans un rseau associ, pour lequel une mthode optimale est connue. Un argument de coupe permet de relier cette optimalit celle de la charge. L'annexe B correspond l'article -3] et donne des mthodes constructives optimales (ou quasi-optimales) pour router optiquement l'instance de l'change total dans diverses topologies rgulires : les grilles toriques carres multi-dimensionnelles, les grilles simples associes, et les sommes cartsiennes de graphes complets. La structure rgulire de ces rseaux a permis une rsolution de type algbrique. Ici encore nous avons montr l'galit entre les paramtres ~w et ~. L'annexe C correspond l'article -4] et montre, encore une fois, que le problme du routage optique se rsout aussi bien que le problme de la charge pour l'change total, cette fois-ci pour une classe de rseaux trs utilise dans les tlcommunications, celle des arbres de cycles. Ce rsultat possde en plus l'avantage de voir la dnition de l'change total gnralise un rseau dont les n&uds sont pondrs, ce qui permet de considrer un trac non uniforme dpendant du produit des poids des couples de n&uds communiquant. L'annexe D correspond l'article -5] qui tudie une modlisation des communications dirente de celle aborde jusqu' prsent. Cette tude concernant la diusion est valable aussi pour tous les modles de rseaux d'interconnexion utilisant le mode de la commutation de circuit. L'hypothse de travail est la ralisation d'une instance de requtes en plusieurs tapes successives. Dans le cadre des rseaux optiques, une telle contrainte survient lorsqu'il n'est pas pos6 sible de raliser l'instance donne en une seule tape, par exemple cause d'un nombre de longueurs d'onde insusant. On parle alors de rseaux multihop. Le cot d'un protocole ralisant un ensemble de requtes peut alors tre exprim comme la somme des cots des direntes tapes eectues pour les satisfaire. Le cot d'une tape de communication est suppos dpendre de manire ane de la quantit d'information transmise, c'est--dire compos d'un cot xe et d'un cot de transmission. Dans ce contexte, nous fournissons des protocoles de diusion pour le graphe complet et nous obtenons des bornes infrieures correspondantes trs nes, qui restent valables dans toute topologie. Il est ainsi observ une dcroissance exponentielle du cot global de transmission lorsqu'un petit nombre d'tapes est ajout par rapport au minimum, et une dcroissance linaire pour un trs grand nombre d'tapes supplmentaires. L'annexe E correspond l'article -6] et met en application pour les rseaux optiques WDM les rsultats obtenus dans l'annexe prcdente. Sa lecture se suft cependant elle-mme. Nous obtenons, sous un modle de cot ane, des familles de protocoles quasi-optimaux pour la diusion dans des rseaux optiques multihop, qui sont des cycles et des grilles toriques bidimensionnelles. Ces algorithmes exploitent le gain de connectivit fourni par le routage optique, de manire transposer l'tude prcdente relative au graphe complet, et apportent des performances signicatives par rapport la diusion classique sur un arbre couvrant. Pour terminer, nous prsentons dans l'annexe F, qui correspond l'article -7], des rsultats issus d'une collaboration avec la socit Alcatel Space Industries et qui sortent du cadre de l'tude des rseaux optiques. Ces travaux ont t motivs par la conception de rseaux de permutation tolrants aux pannes et destins tre embarqus dans des satellites de tlcommunications. Le problme gnral consiste minimiser le nombre de commutateurs utiliss, cause de leur cot prohibitif, pour raliser un rseau de permutation rarrangeable. Nous avons ainsi gnralis la famille des rseaux de Waksman qui tait dnie et dmontre valide seulement pour les puissances de deux. Nous avons galement considr le cas d'un blocage quelconque de commutateur et fourni une construction pour le tolrer. 7 8 Bibliographie -1] B. Beauquier, J-C. Bermond, L. Gargano, P. Hell, S. Prennes et U. Vaccaro. Graph problems arising from wavelength-routing in all-optical networks. In Proc. of IPPS'97, 2nd Workshop on Optics and Computer Science (WOCS'97), Geneva, Switzerland, avril 1997. IEEE Press. -2] B. Beauquier, P. Hell et S. Prennes. Optimal wavelength-routed multicasting. Discrete Applied Mathematics (Elsevier Science), 84:15$20, 1998. Editors' Choice 1998. -3] B. Beauquier. All-to-all communication in some wavelength-routed all-optical networks. Networks (Wiley-Interscience), 33(3):179$187, mai 1999. -4] B. Beauquier, S. Prennes et D. T%th. All-to-all routing and coloring in weighted trees of rings. In Proc. of the 11th ACM Symposium on Parallel Algorithms and Architectures (SPAA), pages 185$190, Saint-Malo, France, juin 1999. ACM Press. -5] B. Beauquier, O. Delmas et S. Prennes. Tight bounds for broadcasting in the linear cost model. Rapport de recherche Sloop, novembre 1999. En cours de dpt. -6] B. Beauquier. Broadcasting in WDM optical rings and tori. In D-Z. Du P-J. Wan and P.M. Pardalos, editors, Proc. the DIMACS Workshop : "Multichannel Optical Networks : Theory and Practice", volume 46 of DIMACS Series on Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, pages 63$ 73, Rutgers University, NJ, mars 1998. American Mathematical Society. -7] B. Beauquier and E. Darrot. Arbitrary size Waksman networks and their vulnerability. Soumis Parallel Processing Letters (World Scientic). Version tendue de l'article paru dans Actes des 1res Rencontres Francophones sur les Aspects Algorithmiques des Tlcommunications (AlgoTel'99), pages 95$100, Rosco, France, mai 1999. 9 10 CHAPITRE 1 La technologie optique pour les tlcommunications 1.1 Aperu historique Les premires liaisons servant communiquer entre les continents furent les c'bles tlgraphiques, installs sous la mer depuis l'poque de la guerre de Scession. Les c'bles coaxiaux leur ont succd pour acheminer les conversations tlphoniques. Le premier c'ble coaxial traversant l'Atlantique fut pos en 1955 et correspondait 48 lignes tlphoniques. Depuis, quel chemin parcouru gr'ce aux bres optiques ! Une seule paire de ces minces et longs ls de verre, qui propagent l'information sous forme d'impulsions de lumire, transmet simultanment prs d'un demi-million de communications tlphoniques d'un continent l'autre. L'ide de fabriquer des bres en verre de silice susamment pur pour transporter la lumire sur de grandes distances a fait son chemin ds la n des annes 1960. Le principe simpli est le suivant : la lumire envoye dans le c&ur de la bre se r,chit sur ses parois, ce qui permet de guider le faisceau lumineux le long de la bre, malgr sa courbure. La concrtisation de cette ide a pris du temps. Il a fallu des innovations technologiques successives touchant la fois le support matriel et la manire d'y faire circuler l'information. Il a fallu en particulier dvelopper des sources laser miniatures (diodes laser) et des dispositifs de rception (photodiodes), ainsi que l'lectronique numrique des circuits intgrs. Aussi, pour les communications longue distance, les liaisons radio par satellite sont longtemps restes les plus utilises et elles n'ont cd le pas devant les c'bles optiques qu' la n des annes 1980. Mais aujourd'hui, l'essentiel des communications intercontinentales passe par des c'bles optiques sous-marins dposs sur le fond des ocans, qui tissent une vritable toile sur la plante. Les bres optiques ont ainsi complte11 ment remplac les c'bles coaxiaux. Pour l'utilisateur, un signe tangible de cette mutation a t la disparition, en 1988, du temps mort de 0,4 seconde, d la liaison vers le satellite relais. En quoi rside l'intrt des liaisons optiques et quelle est la technologie ncessaire leur utilisation ? Rappelons d'abord les principaux lments d'une liaison optique. Elle comprend une source de lumire laser, qui est une diode laser semblable celle des lecteurs de disques compacts, fonctionnant prs de l'infrarouge ( des longueurs d'onde allant de 1,2 1,6 m). La lumire mise est module par un transmetteur, systme command par le signal lectrique qui apporte l'information. Ces impulsions lumineuses sont envoyes dans la bre et rcupres l'autre extrmit par un rcepteur (une photodiode) qui reconvertit le signal optique en signal lectrique, lequel est enn transform en son, image ou texte, dans le tlphone, la tlvision ou l'cran d'ordinateur. Comme dans tout systme de communication numrique, l'information est code sous la forme d'une succession de bits (de binary digit, pour dsigner 0 ou 1). Dans une bre optique, les bits sont achemins physiquement par une onde lumineuse dont on module l'intensit : le temps est divis en crneaux de mme dure, pendant lesquels le bit 1 est cod par une impulsion lumineuse et le bit 0 par une absence de lumire, comme pour la lecture des disques laser compacts. Le tlphone standard fonctionne 64 kilobits (64 mille bits) par seconde, la future tlvision numrique quelque 100 mgabits (cent millions de bits) par seconde. Dans les communications numriques haut dbit, on compte maintenant en gigabits par seconde (Gbit/s), soit un milliard de bits transmis par seconde sous forme d'impulsions lumineuses. Pour donner une ide, 1 Gbit/s reprsente environ quinze mille conversations tlphoniques simultanes. Pourquoi le dbit est-il limit ? N'oublions pas que les impulsions constituant les signaux sont dcoupes dans une onde lumineuse. Ce dcoupage n'a de sens que si chaque crneau contient au moins une priode de l'onde. Plus formellement, la thorie des communications nous dit que le nombre d'informations transmises par seconde ne peut excder la frquence de l'onde porteuse (soit au plus un bit par priode de l'onde). Cette proprit montre l'intrt d'utiliser des signaux optiques, dont les frquences vont de 1014 1015 Hertz (Hz), plutt que les ondes radio de frquences plus faibles (de l'ordre de 105 1011 Hz). Un dbit suprieur n'est pas le seul avantage de la lumire. Les bres optiques prsentent des pertes bien moindres que les c'bles en cuivre utiliss pour les transmissions lectriques, jusqu' certaines distances. Prenons un exemple : pour des dbits de 1 Gbit/s, la frquence de l'onde porteuse doit tre au moins de 12 l'ordre du gigahertz (109 Hz). Or dans cette gamme, un c'ble coaxial perd 99 9% de l'nergie sur 1 kilomtre, et plus encore aux frquences plus leves. Ce support ne sied que pour des signaux de plus basse frquence (1-100 MHz), donc de faibles dbits. l'inverse, les bres de verre prsentent la frquence de 2 1014 Hz une transmission de 95% par kilomtre, ce qui autorise une trs longue porte. L'ampleur et la rapidit des progrs apparaissent clairement quand on sait que la premire bre dveloppe par la socit Corning en 1970 perdait galement 99% de la lumire au bout d'un kilomtre seulement, comparer avec la mme perte pour 100 kilomtres actuellement. En dpit de ces performances remarquables, le signal nit par s'aaiblir aprs une certaine distance et se rapproche trop du bruit de fond des dtecteurs. Audessous d'un certain seuil d'nergie, le rcepteur devient incapable de distinguer les bits sans ambigu1t. Les standards habituels des tlcommunications imposent un maximum d'une erreur par milliard de bits reus, et cela correspond grossirement 500 photons par bit. Dans les communications fort dbit, on atteint vite cette limite. La puissance optique d'une diode laser est de quelques milliwatts, ce qui reprsente quelque 1016 photons par seconde. un taux de transmission de 1 Gbit/s, il y a donc 107 photons par bit. On calcule facilement qu'avec une transparence de 95% par kilomtre, le seuil de 500 photons par bit est franchi au bout d'environ 200 kilomtres. Pour tendre la porte des liaisons sur plusieurs centaines de kilomtres sans dgrader le taux d'erreur, il sut de maintenir le nombre de photons par bit au-dessus de la valeur fatidique au moyen de dispositifs qui regnrent le signal aaibli. Des )rpteurs* optolectroniques sont arrivs sur le march ds les annes 1980. Ils comportent une photodiode (puce en matriau semi-conducteur mise sous tension) qui convertit le signal optique en signal lectrique, un amplicateur, une bascule lectronique qui identie les bits, et nalement une diode laser commande par le signal lectrique rsultant pour la conversion inverse. C'est en 1988 que le tout premier systme de ce type a t install entre la France, l'Angleterre et les tats-Unis. Il est constitu d'un c'ble sous-marin d'une longueur de 7 500 km, dot d'environ 110 rpteurs placs tous les 70 km, et il opre 0 28 Gbits/s, soit l'quivalent de quarante mille lignes tlphoniques. Mais pour les distances transocaniques, le dbit maximal de ce type de liaisons avec rpteurs optolectroniques tait limit non par la bre elle-mme, mais par la rapidit de l'lectronique. En eet, des frquences de fonctionnement suprieures au gigahertz, les circuits lectroniques deviennent coteux et leur abilit diminue. Cet obstacle a t contourn la n des annes 1980 gr'ce l'apparition rvolutionnaire des amplicateurs optiques bre de verre dope l'erbium -Gla93, 13 Des94]. Un dveloppement qui fut rapidement suivi en 1995 par leur mise en service dans le domaine des c'bles sous-marins. Un amplicateur optique fonctionne sur le principe de l'mission stimule comme un laser. Les atomes d'erbium contenus dans la bre sont excits par une diode laser auxiliaire qui les porte vers un tat d'nergie suprieur, nergie qu'ils peuvent cder en retour pour amplier le signal aaibli passant dans la bre. Le signal optique voit ainsi sa puissance multiplie par un facteur allant de 100 10 000. Dans les tlcommunications optiques, l'intrt d'utiliser de tels amplicateurs optiques plutt qu'lectroniques est norme. Tout d'abord, ils se raccordent par simple soudure aux bres de transmission. Mais surtout, ils vitent les conversions optolectroniques eectues par les rpteurs et donc la limitation du dbit associe ces derniers. La gamme de frquences qu'accepte l'amplicateur optique s'tend sur plusieurs traHertz (1 THz = mille milliards de Hertz), ce qui englobe trs largement le signal amplier. Autre proprit, dont nous verrons l'intrt par la suite : plusieurs canaux optiques de longueurs d'onde direntes peuvent tre amplis simultanment. En sus du pompage ecace par diode laser, la bre dope l'erbium possde deux qualits supplmentaires. D'abord, le gain - c'est--dire le rapport d'amplication - est trs peu sensible la polarisation du signal incident (la polarisation caractrise la direction dans laquelle vibre le champ lectrique associ l'onde lumineuse). C'est un atout essentiel, car l'tat de polarisation des signaux se modie de faon alatoire au fur et mesure qu'ils se propagent dans la bre. Ensuite, l'amplicateur ne dforme pas les signaux, il les amplie l'identique (y compris le bruit engendr par l'mission spontane qui peut tre limit par le placement d'un ltre optique en sortie). Cette proprit subsiste dans des conditions de fonctionnement extrmes. Par exemple, avec une puissance d'entre trop leve, le gain diminue mais le signal ne subit pas de distorsion, contrairement au cas des amplicateurs lectroniques. Aux trois gros atouts de l'amplicateur bre dope l'erbium (pompage ecace, insensibilit la polarisation, absence de distorsion) s'ajoutent la compatibilit avec les bres standards, la faiblesse des pertes d'nergie dans les connexions, le bruit minimal, l'insensibilit la temprature. Selon les applications, la plage de gain exploitable autour de la longueur d'onde 1 5 m s'tale sur 100 3 000 GHz. La course vers les hauts dbits a galement bnci du dveloppement des techniques optiques de multiplexage et de commutation. Le multiplexage consiste transporter sur un mme support physique plusieurs signaux. La commutation est une opration de routage au niveau du rseau global qui permet d'acheminer les signaux de chaque metteur vers chaque destinataire. 14 Le multiplexage dit temporel demeure trs utilis. Il consiste imbriquer temporellement les dirents ,ots d'information en trames successives. On peut raliser lectroniquement les fonctions de multiplexage/dmultiplexage temporels avec des circuits intgrs ultra-rapides (40 Gbits/s en laboratoire). Toutefois, le cot prohibitif de ces circuits pour les trs hauts dbits suggre d'eectuer le multiplexage temporel par des moyens purement optiques, une voie actuellement explore. Dans les gnrations de c'bles optiques en dveloppement, l'accroissement du dbit est assur par une technique qui se superpose la premire : le multiplexage en longueur d'onde, connu sous l'appellation anglaise WDM (WavelengthDivision Multiplexing). Celui-ci consiste envoyer plusieurs signaux de longueurs d'onde direntes simultanment dans la mme bre optique. Multiplexage et dmultiplexage en longueur d'onde sont eectus par des composants optiques passifs, de faon similaire la dcomposition et recomposition des couleurs de l'arc-en-ciel par un prisme. La technique WDM ouvre galement des perspectives de routage optique dans les rseaux. Les communications peuvent tre ainsi aiguilles dans telle ou telle direction suivant leur longueur d'onde. Deux questions majeures se posent : quelle est la porte maximale des liaisons amplies ? Jusqu' quel dbit d'information peut-on aller ? Car lorsqu'on atteint des dbits de plus de 10 Gbits/s sur des milliers de kilomtres, d'autres dicults majeures d'ordre physique se font jour, en particulier la dispersion chromatique et les eets non-linaires (variation de la vitesse de propagation lie la longueur d'onde d'une part, lie l'intensit d'autre part). Le soliton (impulsion trs brve, cf. -LT76]) permet d'chapper ce dilemme en conjuguant idalement les deux types de dispersion de manire les neutraliser, ceci en calculant judicieusement son intensit et sa longueur d'onde. Le soliton excite l'imagination des ingnieurs du monde des tlcommunications. Mais son utilisation suppose certains dveloppements techniques pointus, relatifs aux dispositifs d'mission et au ltrage en rception. Les techniques progressant continuellement, il est hasardeux de faire un pronostic sur les capacits ultimes des systmes de communication optiques. chaque record de transmission, de nouveaux eets limitants sont dcouverts, et de nouvelles parades mises en &uvre pour chacun. Il n'en reste pas moins que les dbits faramineux de l'ordre du Tbits/s dj dmontrs en laboratoire, quivalent plusieurs dizaines millions de connexions tlphoniques simultanes dans une seule bre. De tels dbits ouvrent des perspectives pratiquement illimites aux )autoroutes de l'information*. 15 1.2 Systmes de transmission optiques Un systme de transmission optique lmentaire est constitu de trois parties, comme il est montr sur la gure 1.1 : un metteur, une bre optique et un rcepteur. Comme plusieurs livres excellents traitent en dtails des systmes de transmission optiques, par exemple -JJ96, Gre93, Agr92, vEvdP91], nous ne dcrivons dans cette section que les concepts de base. émetteur optique fibre optique récepteur optique Figure 1.1: Systme de transmission optique lmentaire. 1.2.1 Fibre optique La bre optique possde un grand nombre de proprits remarquables qui en font un support physique excellent pour les tlcommunications. La qualit d'un milieu physique pour la transmission de signaux se fonde sur deux principaux facteurs qui sont l'attnuation et la dispersion. Attnuation L'attnuation reprsente la rduction de la puissance du signal au cours de sa propagation. Ce facteur est dterminant pour connatre la distance maximale que peut parcourir un signal, tant donnes la puissance d'mission et la sensibilit en rception. Notons P (D) la puissance de l'impulsion lumineuse dans une bre optique la distance de D km de l'metteur, Pr la sensibilit du rcepteur (puissance minimale requise pour dtecter le signal) et A le facteur d'attnuation de la bre. D'aprs -Hen85], l'attnuation est caractrise par P (D) = 10;AD=10 P (0) Pour une longueur de bre de D km, la puissance P (D) doit tre au moins gale la sensibilit Pr , d'o+ nous dduisons P (0) Dmax = 10 log10 A Pr 16 La distance maximale entre l'metteur et le rcepteur (ou entre les amplicateurs) dpend donc bien davantage du facteur d'attnuation que de la puissance d'mission ou de la sensibilit en rception. La gure 1.2(a) montre une courbe typique de l'attnuation (exprime en dcibels par kilomtre (dB/km)) de la puissance du signal lumineux en fonction de sa longueur d'onde (exprime en m) dans une bre optique utilise en rgime monomode. La bande passante spectrale est d'environ 25 terahertz (THz) autour de la longueur d'onde 1.3 m pour une attnuation infrieure 0.5 dB/km, et d'autant autour de la longueur d'onde 1.5 m pour une attnuation infrieure 0.2 dB/km. Ces valeurs sont deux ordres de grandeur plus faibles en attnuation et quatre ordres de grandeur plus levs en bande passante que celles des c'bles coaxiaux. Figure 1.2: Courbes typiques de l'attnuation (a) et de la dispersion (b) en fonction de la longueur d'onde pour une bre optique en mode simple. Dispersion La dispersion reprsente la dpendance de la constante de propagation par rapport la frquence. Elle permet de calculer l'largissement de la dure des impulsions au cours de leur propagation. Pour des signaux lumineux, on parle de dispersion chromatique, ce phnomne tant responsable de la dcomposition de la lumire blanche par un prisme de verre. En eet, la vitesse de propagation de la lumire dans la matire transparente, dnie par l'indice de rfraction optique, est fonction de la longueur d'onde. Or une impulsion lumineuse dans une bre optique n'est pas parfaitement monochromatique, puisqu'un laser ne transmet pas sur une frquence unique, et puisqu'un 17 signal transportant de l'information a une largeur spectrale non nulle. Par consquent, les direntes longueurs d'onde constituant le signal lumineux vont se propager des vitesses direntes, ce qui entraine l'largissement temporel des impulsions qui peuvent alors se chevaucher, provoquant des erreurs la dtection. En outre, plus une impulsion est brve, plus sa gamme de frquences est tendue. Aussi la dispersion chromatique est un facteur d'autant plus limitatif que les dbits sont levs, car les impulsions sont alors trs brves et proches les unes des autres dans le temps. La gure 1.2(b) montre une courbe typique de la dispersion chromatique (exprime en picosecondes par nanomtre par kilomtre (ps/(nm.km))) du signal lumineux par rapport sa longueur d'onde (exprime en m) dans une bre optique standard (G.652) utilise en mode simple. La dispersion est quasiment nulle autour de la longueur d'onde 1.3 m et conserve des valeurs faibles autour de la longueur d'onde 1.5 m. Par chance, la bre optique combine donc dans les mmes zones de frquences ses trs bonnes performances en dispersion et en attnuation. 1.2.2 metteurs optiques Dans un systme de transmission optique, un metteur a deux fonctions primordiales : la gnration d'un signal optique et la modulation de ce signal par l'information mettre (voir Figure 1.1). Une qualit supplmentaire trs utile d'un metteur optique est sa capacit d'tre accordable en frquence. Principe du laser Le mot laser est l'acronyme de Light Amplication by Stimulated Emission of Radiation, signiant littralement )amplication de lumire par mission stimule de rayonnement*. Le but est de produire un faisceau trs intense de lumire cohrente monochromatique. Pour comprendre le principe du laser et de l'mission stimule, nous devons rappeler quelques notions sur les niveaux d'nergie des particules lmentaires. Un atome est dit stable lorsque ses lectrons sont dans les niveaux d'nergie les plus faibles. Pour chaque type d'atome, les lectrons ont un nombre ni de niveaux d'nergie possibles, appels tats. Lorsqu'un atome absorbe de l'nergie, ces lectrons sont ports dans des tats d'nergie plus levs. L'atome devient alors instable et gnralement il retourne dans un tat infrieur rapidement en librant un photon. Cependant, certaines molcules sont dites mtastables car elles peuvent demeurer dans un tat excit plus longtemps. Cette proprit permet l'mission stimule comme nous allons le voir immdiatement. 18 La gure 1.3 montre une reprsentation schmatique de la structure d'un laser. Il est constitu de deux miroirs qui forment une cavit contenant une substance quasi-stable. L'excitation des lectrons de cette substance par apport d'nergie (par exemple par un courant lectrique) provoque dans un premier temps l'mission de photons, qui vont ensuite se r,chir sur les miroirs aux extrmits de la cavit. Excitation Miroir Miroir Faisceau LASER Milieu excité réfléchissant Cavité semi-réfléchissant Figure 1.3: La structure gnrale d'un laser. L'mission stimule se produit lorsqu'un photon rencontre un lectron excit. Cette probabilit est d'autant plus forte dans un milieu quasi-stable, puisque les lectrons excits peuvent y devenir majoritaires si susamment d'nergie est apporte. L'lectron peut alors retourner dans un tat infrieur et librer son nergie sous la forme d'un autre photon qui possde la mme direction et la mme cohrence que le photon stimulant. Si la longueur de la cavit est multiple entier de la demi-longueur d'onde des photons, ceux-ci vont pouvoir se combiner de faon cohrente et se dupliquer, de manire produire un faisceau de plus en plus intense une frquence prcise. Ce faisceau laser est rcupr en utilisant un miroir semi-r,chissant l'une des extrmits de la cavit, et sa frquence peut tre ajuste en modiant la taille de la cavit. On peut galement accorder un laser plus rapidement en modiant l'indice optique du milieu excit. Modulation La modulation est le procd qui permet au laser de transmettre de l'information dans une bre optique, en faisant varier certaines caractristiques du signal lumineux mis, en particulier son amplitude, sa frquence ou sa phase. La frquence de modulation dtermine le dbit de donnes qui peut tre transmis. On parle de modulation directe ou externe, selon que le laser lui-mme ou un composant extrieur (modulateur) fait varier le signal. Une tude dtaille de la modulation directe peut tre trouve dans -Pet88]. Les lasers semi-conducteurs permettent des frquences de modulation directe jusqu' quelques dizaines de gigahertz, mais cette modulation est limite en pratique par des eets de dispersion. Pour des dbits suprieurs quelques gigabits 19 par seconde, la modulation externe est prfrable, notamment l'aide de modulateurs par lectro-absorption (voir -Woo88] pour une prsentation exhaustive). Accordabilit Il existe plusieurs techniques pour accorder dynamiquement la longueur d'onde d'mission des signaux laser. Les deux paramtres importants sont le temps de rglage sur une frquence donne et la largeur de la bande de frquences accessible. Sans entrer dans les dtails techniques, nous donnons dans le tableau 1.1 les performances actuelles, susceptibles d'voluer, des dirents metteurs laser accordables communment utiliss -Bra90, Muk92]. Notons l'existence d'un compromis entre les deux paramtres d'accordabilit. Laser accordable Bande de frquences (nm) Temps de rglage Mcanique 500 1$10 ms Acousto-optique 83 10 s Electro-optique 7 1$10 ns (estim) Injection DBR1 10 1$10 ns Tableau 1.1: Caractristiques des metteurs laser. 1.2.3 Rcepteurs optiques La fonction d'un rcepteur dans un systme de transmission optique est de dtecter et de dmoduler un signal lumineux transmis sur une bre. La dtection consiste en la conversion du signal optique en signal lectrique. La dmodulation est gnralement accomplie ensuite par les techniques habituelles des systmes de transmission lectriques. Dtection Deux techniques de dtection sont utilises. La dtection directe est ralise par une diode photo-sensible qui convertit un ,ot de photons en un ,ot d'lectrons. Le courant lectrique rsultant est ensuite ampli puis soumis un test de seuil pour dterminer si l'information logique correspondante est un bit 0 ou 1. Une alternative est la dtection cohrente qui utilise un laser auxiliaire comme oscillateur local. Une photodiode reoit alors un signal issu de la combinaison des deux signaux laser, qui est plus facile dtecter et qui est compatible avec les trois types de modulation (en amplitude, frquence et phase). Ce systme 1 recteur de Bragg distribu (Distributed Bragg Reector). 20 est nanmoins plus complexe et beaucoup plus coteux. L'avantage de la dtection cohrente est la rception de signaux faibles, rendue dicile par le bruit de fond, l'inconvnient tant sa complexit de mise en place. Nous renvoyons -Agr92, LG88] pour davantage d'information sur la dtection cohrente. Accordabilit Comme les metteurs laser, les rcepteurs optiques sont susceptibles d'tre accordables en frquence de rception. Une documentation sur les direntes technologies peut tre trouve dans -Gre93] et -Bra90]. Le tableau 1.2 donne les caractristiques des rcepteurs accordables communment utiliss, en termes de bande de frquences et de temps de rglage. Ici encore, les deux paramtres de rglage sont inversement proportionnels. Rcepteur accordable Bande de frquences (nm) Temps de rglage Fabry-Perot 500 1$10 ms Acousto-optique 250 10 s Electro-optique 16 1$10 ns Tableau 1.2: Caractristiques des rcepteurs optiques. 1.2.4 Amplicateurs optiques Bien que la gure 1.1 ne mentionne pas la prsence d'amplicateurs dans un systme de transmission optique lmentaire, ceux-ci sont ncessaires lorsque les signaux optiques parcourent de longues distances dans la bre optique, cause du phnomne d'attnuation. Ils sont galement utiles dans les rseaux optiques locaux pour restaurer la qualit des signaux aecte par la dispersion et le bruit. Les deux principaux paramtres qui dterminent la qualit d'un amplicateur optique sont : le gain, exprim en dcibels (dB), qui mesure le rapport entre la puissance du signal entrant et celle du signal sortant, et la largeur de bande des frquences ampliables. Notons que les amplicateurs peuvent tre galement caractriss par leur gain ecace, exprim en dcibels par milliwatt (dB/mW), qui mesure le rapport entre le gain et la puissance utilise pour l'amplication. L'amplication optique repose sur le principe de l'mission stimule, comme pour les metteurs laser. Les deux grands types de composants sont les amplicateurs semi-conducteur et les amplicateurs bre dope. Une prsentation gnrale des amplicateurs optiques se trouve dans -O'M93]. 21 Les amplicateurs semi-conducteur sont constitus d'un laser semi-conducteur, modi en supprimant la cavit rsonante. Le signal lumineux d'entre traverse la rgion active du semi-conducteur qui, par mission stimule, l'amplie. Les amplicateurs bre dope sont composs d'une pompe laser, d'un coupleur, d'une portion de bre dope avec des ions de terre rare, et d'un ltre, comme il est reprsent sur la gure 1.4. La pompe laser met un signal puissant qui excite les ions dopants, an que le signal transmettant les donnes puisse agir sur les ions excits par le principe de l'mission stimule. Le bruit engendr par l'mission spontane peut tre limit par le placement d'un ltre optique en sortie. signal original coupleur fibre dopée filtre signal amplifié pompe laser Figure 1.4: Amplicateur bre dope. L'lment dopant de terre rare le plus utilis est l'erbium, qui permet d'amplier les longueurs d'onde entre 1525 nm et 1560 nm. Les amplicateurs bre dope l'erbium (AFDE) ont des gains de l'ordre de 25 dB, et mme 51 dB exprimentalement. Les gains ecaces varient entre 5 et 10 dB/mW. La puissance requise de ces pompes laser reste donc trs faible, quoique suprieure celle des autres lasers d'mission (250 mW contre 1 2 mW). Pour amplier les signaux autour de la longueur d'onde 1300 nm, les amplicateurs bre ,uore dope au praseodymium (AFFDP) ont rcemment retenu l'attention des chercheurs. Les derniers dveloppements sont prsents dans -Whi95]. Amplicateur Frquences Largeur de bande Gain Semi-conducteur Toutes 40 nm 25 dB AFDE 1525$1560 nm 35 nm 25$51 dB AFFDP 1280$1330 nm 50 nm 20$40 dB Tableau 1.3: Caractristiques des amplicateurs optiques. 22 1.3 Multiplexage optique Cette partie rpond la question de savoir comment exploiter les dizaines de trahertz de bande passante spectrale disponibles dans la bre optique. La technique gnrale utilise est le multiplexage dans le domaine optique, ce qui signie que la capacit de la bre est divise par des moyens optiques en plusieurs canaux accessibles individuellement et indpendamment. La division de la bande passante en canaux peut tre ralise, comme en lectronique, dans la dimension temporelle ou dans la dimension des frquences (ou longueurs d'onde). Dans le premier cas, on parle de multiplexage temporel (Time-Division Multiplexing, TDM) et dans le second de multiplexage en longueur d'onde (Wavelength-Division Multiplexing, WDM). 1.3.1 Multiplexage temporel (TDM) Le multiplexage TDM consiste imbriquer temporellement dirents canaux de communication en trames successives. Si l'on se reprsente un ,ot d'information par les dents d'un peigne, le multiplexage temporel revient superposer les peignes des dirents canaux en les dcalant les uns par rapport aux autres (voir gure 1.5). Cela ncessite une synchronisation prcise. la rception, chaque canal temporel est dmultiplex puis achemin vers sa destination. On peut raliser lectroniquement les fonctions de multiplexage/dmultiplexage temporels avec des circuits intgrs ultra-rapides (40 Gbits/s en laboratoire). Toutefois, le cot prohibitif de ces circuits pour les trs hauts dbits suggre d'eectuer le multiplexage temporel par des moyens purement optiques, une voie actuellement explore. t t fréquence temps t t t t multiplexeur électronique laser filtre démultiplexeur électronique émetteurs electroniques récepteurs électroniques Figure 1.5: Multiplexage temporel (TDM). 23 1.3.2 Multiplexage en longueur d'onde (WDM) Le multiplexage en longueur d'onde (Wavelength-Division Multiplexing, WDM) est une technique de multiplexage qui peut se superposer la prcdente. Le principe est le mme que celui du multiplexage en frquences (Frequency-Division Multiplexing, FDM) dans les transmissions lectriques. Plusieurs signaux sont gnrs simultanment sur des frquences optiques (ou longueurs d'onde) direntes et peuvent tre moduls individuellement. Le multiplexage WDM est une approche qui permet de grer l'importante discordance opto-lectronique en termes de bande passante. Le spectre optique d'une bre est dcoup en un certain nombre d'intervalles de longueurs d'onde (ou frquences) distincts, dans les rgions de faible attnuation (voir gure 1.2), de telle sorte que chaque intervalle supporte un canal de communication transmettant au dbit dsir, par exemple celui de l'lectronique. Ainsi, en autorisant la coexistence de plusieurs canaux WDM sur une mme bre, l'norme bande passante optique peut tre exploite, en permettant aux quipements d'accder au rseau au dbit de l'lectronique seulement. Les canaux WDM sont accessibles par des metteurs laser rgls sur des longueurs d'onde spciques. Le multiplexage et le dmultiplexage en longueur d'onde sont eectus par des composants optiques passifs, de faon similaire la dcomposition et recomposition des couleurs de l'arc-en-ciel par un prisme. t t fréquence temps t t t t multiplexeur optique démultiplexeur optique transmetteurs laser filtres optiques Figure 1.6: Multiplexage en longueur d'onde (WDM). Canaux WDM Un facteur important dans la conception des rseaux optiques WDM est le nombre de longueurs d'onde utilisables, qui est limit par la technologie des composants. La bande passante de la bre optique, comme il est mentionn dans la section 1.2.1, est limite par les rgions de faible attnuation autour des longueurs 24 d'onde 1.3 m et 1.5 m. Ces rgions ont une bande passante d'environ 25 THz chacune. Cependant, les rseaux optiques ne vont pas pouvoir bncier de toute cette largeur de bande en raison de la limitation des composants optiques et de l'espacement des canaux WDM. Les amplicateurs oprent sur des bandes de frquences de 35 nm 40 nm, les metteurs laser rglables sur 10 nm, et les ltres rglables ne couvrent pas toujours toute la gamme des frquences disponibles (16 nm pour les ltres lectrooptiques). Par ailleurs, le nombre de canaux utilisables dpend fortement de leur espacement. D'aprs -Bra90], l'espacement des canaux doit valoir au moins 6 fois leur bande passante pour viter les interfrences. En supposant une ecacit en modulation de 0.5 bps/Hz (ce qui signie qu'un bit est cod sur deux intervalles de temps), il en rsulte un facteur 8 entre la bande des frquences utilises et le dbit d'information qui va pouvoir circuler sur les canaux. Un nombre lev de canaux fournit au rseau davantage de capacit, ainsi qu'un cot plus lev des composants et une plus grande complexit des mcanismes de gestion. 1.3.3 Comparaison entre TDM et WDM Au premier abord, on pourrait penser que les deux approches de multiplexage optique TDM et WDM sont semblables. Elles le sont au niveau formel puisqu'elles permettent la superposition sur le mme support physique de transmission de plusieurs canaux de communication, identiables selon leur dcalage temporel pour TDM et selon leur longueur d'onde pour WDM. Cependant, au niveau technologique l'approche TDM prsente des inconvnients signicatifs par rapport l'approche WDM. En premier lieu, les canaux TDM ne sont pas transparents pour le dbit de modulation ni pour le type de modulation. Ils sont uniquement modulables numriquement en amplitude et leur dbit est impos par le multiplexeur temporel. l'inverse, chaque canal WDM peut tre modul individuellement, numriquement ou analogiquement, en amplitude ou en phase. Le dbit de chaque canal WDM peut en outre tre choisi arbitrairement, du moment que les signaux ne se recouvrent pas spectralement. Il en rsulte une plus grande ,exibilit. Une autre caractristique dsavantageuse du multiplexage optique TDM provient du trs haut dbit du signal multiplex, qui rsulte de l'agrgation des canaux entrelacs temporellement. Cette consquence inhrente au multiplexage temporel constitue un inconvnient majeur pour les systmes de transmission optiques, lorsque le signal multiplex se met couvrir des dizaines de gigahertz. Le traitement lectronique constitue alors un frein aux oprations de multiplexage 25 et dmultiplexage temporels, alors que l'approche WDM eectue celles-ci optiquement et passivement. De plus, le phnomne de dispersion limite d'autant plus la propagation du signal TDM multiplex que son dbit est important. Les dbits moindres de chaque canal WDM permettent d'viter ce problme. Enn, l'approche TDM soure d'un manque d'extensibilit. L'addition d'un nouveau canal TDM ncessite une modication des dcalages temporels et une resynchronisation de tous les canaux dj existants. Inversement, l'indpendance des canaux WDM autorise la cration d'un nouveau canal simplement par l'ajout d'un metteur laser et d'un ltre optique appropris, sans aecter les autres canaux. En conclusion, l'approche WDM s'avre la technique de multiplexage prfrentielle pour les systmes de transmission optiques, en raison de la transparence, de la ,exibilit et de l'extensibilit des canaux WDM. 1.4 Commutation optique La plupart des rseaux actuels procdent lectroniquement au traitement des donnes et utilisent la bre optique seulement comme un support de transmission. Les oprations de commutation et de routage sont ralises en convertissant les signaux optiques sous leur forme lectronique originelle. Il en rsulte une grande ,exibilit, cependant le dbit de l'lectronique n'est pas compatible avec l'norme bande passante de la bre optique. De plus, la conversion opto-lectronique introduit un dlai supplmentaire dans le routage des ,ots d'information. Pour s'aranchir de ces limitations des composants de commutation optiques ont t dvelopps, capables de traiter des signaux optiques trs haut dbit sans conversion opto-lectronique. Pour cette raison, les rseaux utilisant cette technologie de commutation sont appels rseaux tout-optiques. Dans l'tat actuel, le contrle des fonctions de commutation demeure cependant ralis de faon lectronique. 1.4.1 Gnrations de rseaux Au vu de leur volution, on peut classier les rseaux de communication c'bls en trois gnrations, selon le rle des bres optiques dans leur topologie. Cette classication a t tablie dans -Gre91]. La premire gnration de rseaux ne fait aucune utilisation de la bre optique. Les rseaux locaux traditionnels LAN (Local Area Network), comme Ethernet, tombent dans cette catgorie, de mme que certains grands rseaux WAN (Wide Area Network) comme ARPAnet. Ils ont t conus sur la base d'un milieu de 26 transmission en cuivre plus ou moins able. Une caractristique principale de ces rseaux est le contrle en chaque n&ud des ,ots d'information an de raliser leur commutation. Dans la deuxime gnration de rseaux, les transmissions lectriques des donnes sont remplaces par des systmes de transmission optiques. L'architecture traditionnelle des rseaux est cependant conserve. Les avantages immdiats sont un dbit beaucoup plus lev, des distances de transmission plus grandes et une abilit accrue. Il en a rsult l'mergence de rseaux mtropolitains MAN (Metropolitan Area Network), ainsi que les premiers rseaux SONET (Synchronous Optical NETwork) et SDH (Synchronous Digital Hierarchy). La troisime et dernire gnration de rseaux permet de proter pleinement des proprits uniques de la transmission optique par bre. L'exceptionnelle bande passante spectrale peut en eet tre exploite par la technique du multiplexage en longueur d'onde WDM que nous avons voque dans la section 1.3.2. De plus, non seulement les fonctions d'mission et de rception sont ralises par des composants optiques (diodes laser et photo-diodes), mais galement les fonctions de commutation en chaque n&ud du rseau. Pour cette raison, les rseaux de la troisime gnration sont appels rseaux tout-optiques. Nous allons dcrire prsent les dirents composants optiques de commutation qui sont l'origine de leur avnement. 1.4.2 Commutateurs optiques Rpartiteur Un rpartiteur (Fiber Optical Cross-Connect, F-OXC) permet d'eectuer une fonction de commutation entre les bres d'entre et de sortie du routeur (voir gure 1.7). C'est le plus lmentaire des commutateurs optiques et le moins coteux en fabrication. Ce type d'quipements ne permet pas d'eectuer les oprations de dmultiplexage sur les signaux entrants ni de multiplexage sur les signaux sortants. C'est pourquoi le rpartiteur est dit insensible aux longueurs d'onde. Les fonctions d'extraction et d'insertion de signaux avec le terminal reli au routeur sont possibles, mais c'est alors l'ensemble des canaux WDM multiplexs qui est extrait d'une bre d'entre ou insr dans une bre de sortie. Multiplexeur insertion/extraction (MIE) Un multiplexeur insertion/extraction (Optical Add/Drop Multiplexer, OADM) permet d'extraire certains canaux WDM en transit sur une bre optique et d'en insrer d'autres. Il est gnralement constitu d'un dmultiplexeur optique passif, de commutateurs 2 2 ddis aux direntes longueurs d'onde et d'un mul27 Fibres d’entrée Fibres de sortie Extraction Insertion Figure 1.7: Rpartiteur (F-OXC). tiplexeur optique passif, comme il est montr schmatiquement sur la gure 1.8. Les tats des commutateurs intermdiaires contrls lectroniquement dterminent quels canaux WDM poursuivent leur chemin, lesquels sont extraits en vue de leur rception locale et lesquels peuvent tre insrs aprs mission locale. Figure 1.8: Multiplexeur insertion/extraction (MIE). Le composant MIE peut tre gre directement sur une bre optique, ou faire partie d'un n&ud de routage plus complexe. En particulier, associs avec un rpartiteur, plusieurs MIE peuvent former un routeur MIE, comme il est reprsent sur la gure 1.9. 28 Extraction Insertion Fibres d’entrée Fibres de sortie Extraction Insertion Figure 1.9: Rpartiteur avec MIE. Brasseur Un brasseur (Wavelength Routing Optical Cross-Connect, WR-OXC) est un composant de commutation slectif en longueur d'onde. Cela signie que chaque canal WDM peut tre dirig vers une bre de sortie indpendamment des autres canaux multiplexs sur la mme bre d'entre. Démultiplexeurs Commutateurs Fibres d’entrée Multiplexeurs Fibres de sortie Figure 1.10: Brasseur recongurable (WR-OXC). La composition d'un brasseur est reprsente sur la gure 1.10. Une srie de dmultiplexeurs situs aux extrmits des bres d'entre permet dans un premier temps de dmultiplexer les signaux entrants et de diriger spatialement chaque groupe de canaux WDM la mme longueur d'onde vers un commuta29 teur photonique particulier. Ces commutateurs sont contrls lectroniquement et appliquent sur les groupes de canaux des fonctions de commutation indpendantes les unes des autres. Les canaux WDM sont enn remultiplexs sur chaque bre de sortie. Associ des multiplexeurs insertion/extraction, un brasseur possde une capacit de routage plus tendue, puisqu'ainsi les canaux WDM peuvent tre commuts, extraits ou insrs, comme il est reprsent sur la gure 1.11. Fibres d’entrée Fibres de sortie Extraction Insertion Figure 1.11: Brasseur avec MIE. 1.4.3 Convertisseurs optiques Les dirents composants optiques de commutation que nous venons de dcrire imposent aux canaux WDM de respecter la contrainte de continuit en longueur d'onde. En d'autres termes, les canaux commuts conservent en sortie la longueur d'onde qu'ils possdent en entre. On peut s'aranchir de cette contrainte et augmenter ainsi les capacits de routage optique par l'utilisation de convertisseurs de longueur d'onde. Les direntes techniques permettant la conversion de longueur d'onde ont t classies et compares dans direntes tudes -DMJ+ 96, SI96, Wie96, Yoo96]. On peut distinguer deux grands types de technologies : la conversion optolectronique, pour laquelle le signal optique doit tre pralablement converti en un signal lectrique, et la conversion tout-optique, pour laquelle le signal demeure dans le domaine optique. Les techniques de conversion tout-optique peuvent leur tour tre divises en celles bases sur les eets cohrents et celles qui utilisent la modulation croise. 30 Conversion opto-lectronique Dans la conversion de longueur d'onde opto-lectronique, le signal optique convertir doit d'abord tre traduit dans le domaine lectrique l'aide d'une photodiode (voir gure 1.12). Le ,ot lectronique rsultant est ensuite rinject, aprs stockage ventuel dans une mmoire tampon, sur la commande de modulation d'un metteur laser rgl sur la longueur d'onde dsire. Cette mthode a t exprimente pour des dbits allant jusqu' 10 Gbps -Yoo96]. Cependant, elle est plus complexe et consomme davantage de puissance que les autres mthodes dcrites ci-dessous -DMJ+ 96]. De plus, le procd de conversion opto-lectronique aecte la transparence du signal, en lui imposant un format de modulation et un dbit spciques. Toute information module en phase, en frquence ou analogiquement, est perdue durant ce processus de conversion. signal signal d’entrée converti photodiode tampon laser Figure 1.12: Convertisseur de longueur d'onde opto-lectronique. Conversion tout-optique Sans entrer dans les dtails technologiques, nous donnons ici brivement les proprits des deux principales techniques de conversion tout-optique. Les mthodes de conversion bases sur les eets cohrents tolrent tous les formats de modulation, orant ainsi une transparence totale du signal. C'est de plus le seul type d'approche qui permet la conversion simultane d'un ensemble de longueurs d'onde vers un autre et qui peut tolrer des dbits dpassant les 100 Gbps -Yoo96]. Les techniques de conversion bases sur la modulation croise utilisent des composants optiques actifs semi-conducteurs, tels que des amplicateurs ou des metteurs laser. Les dbits autoriss sont de l'ordre de 10 Gbps. L'avantage de cette approche rside dans sa facilit d'utilisation. 31 Brasseur convertisseur Un brasseur convertisseur (Wavelength Translating Optical Cross-Connect, WTOXC) est un composant de commutation slectif en longueur d'onde et qui permet de plus leur conversion. Le brassage des canaux WDM ne s'eectue donc pas ncessairement longueur d'onde constante, comme dans un brasseur simple. Ces n&uds de commutation prsentent ainsi davantage de ,exibilit, mais une structure beaucoup plus complexe. Les architectures des brasseurs convertisseurs tant aussi varies que sophistiques, nous ne donnons pas ici de reprsentation dtaille. Il faut mentionner de plus que le domaine technologique de la conversion de longueur d'onde est en pleine volution, et les techniques actuelles peuvent changer rapidement. Cependant, nous reprsentons sur la gure 1.13 la capacit de routage optique d'un brasseur convertisseur total, c'est--dire capable d'eectuer n'importe quelle conversion d'un canal WDM, associ des multiplexeurs insertion/extraction. Cette fonctionalit puissante sera considre dans les chapitres suivants et nous tudierons son intrt par rapport celle des brasseurs simples. Fibres d’entrée Fibres de sortie Extraction Insertion Figure 1.13: Brasseur convertisseur total avec MIE. Les systmes de transmission WDM point--point aujourd'hui disponibles utilisent l'entre des liaisons des convertisseurs opto-lectroniques appels transpondeurs. Utiliss l'origine comme interface avec les autres rseaux (SDH en l'occurence), ils prennent de l'importance dans le brassage optique puisqu'ils peuvent tre utiliss autour de brasseurs recongurables, parant ainsi l'incompatibilit entre les longueurs d'onde propritaires des dirents constructeurs. Remarque. 32 Bibliographie -Agr92] G. P. Agrawal. 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Dans ce contexte, un point d'accs ne fournit pas ncessairement une porte d'entre un terminal particulier, mais plutt une collection de terminaux issus de sous-rseaux locaux, dont l'activit se trouve agrge, de manire ce que chaque metteur ou rcepteur du point d'accs fonctionne un dbit de transmission lectronique. Les points d'accs au rseau optique communiquent entre eux via des canaux WDM (cf. section 1.3.2), dits tout-optiques car ils ne subissent pas de conversion lectronique intermdiaire, et qui sont galement appels chemins optiques. Une telle liaison peut recouvrir une srie de liens en bre optique et fournir ainsi une connexion de type commutation de circuits (circuit-switching, en anglais) entre deux sites distants dans la topologie physique. Chaque n&ud de routage intermdiaire doit pour cela possder une fonction de commutation optique adapte. Les dirents types de commutateurs optiques existants ont t prsents dans la section 1.4. Nous ne nous intressons pas ici aux mcanismes de commutation permettant l'tablissement des connexions, mais nous supposons que le contrle du rseau est eectu de manire centralise en vue d'assurer des liaisons durables. Plusieurs architectures pour les rseaux tout-optiques ont t proposes dans la dernire dcennie. Toutes prsupposent cependant l'utilisation de liens entre les n&uds de routage qui sont constitus de paires de bres optiques unidirectionnelles, puisque la pose de ces bres en pratique s'eectue facilement de manire symtrique. La distinction entre les direntes architectures intervient au niveau 35 du type des n&uds de commutation utiliss. Pour notre part, nous considrons l'une des architectures les plus communes et les plus souvent tudies, par exemple dans -CNW90, Pan92, VD93, RS95], qui est constitue de n&uds de commutation forms partir de brasseurs avec multiplexeurs insertion/extraction (n&uds WR-OXC avec MIE), tels qu'ils sont prsents dans la section 1.4.2 (voir gure 1.11, page 30). Cette hypothse permet ainsi une grande libert de commutation optique, sans toutefois autoriser la conversion des longueurs d'onde, qui est en revanche possible avec les brasseurs convertisseurs (n&uds WT-OXC, voir gure 1.13, page 32). L'ensemble de nos travaux est bas sur ce type d'architecture. l'poque de leur rdaction, les possibilits de conversion tout-optique taient alors encore considres comme relativement immatures et trs coteuses -BDO+98]. Il faut cependant noter que la recherche technologique actuelle se focalise sur ce nouvel enjeu an de rendre les composants de conversion utilisables grande chelle et dans un futur proche. Cette nouvelle perspective amne de nouveaux problmes algorithmiques $ notamment si les possibilits de conversion sont limites $ que nous n'avons pas abords dans notre tude, si ce n'est le cas de la conversion totale. Nous invitons le lecteur intress par les problmes rsultant de la conversion limite se reporter sur les travaux -Gar98, ACKP98a, ACKP98b, RS98, KK99]. Dans ce qui suit, nous allons prsenter la modlisation thorique qui a servi de support notre recherche. Dans une certaine mesure, elle vise simplier la structure relle des rseaux optiques qui peuvent se rvler htrognes, tout en conservant cependant les caractristiques essentielles des problmes divers rencontrs en pratique. Ainsi, nous modliserons un rseau tout-optique par un graphe ou multigraphe orient, symtrique la plupart du temps, dont les sommets reprsenteront indiremment les points d'accs et les n&uds de routage. Dans ce cadre, chaque arc correspond une bre optique unidirectionnelle qui supporte un nombre x de longueurs d'onde, que nous supposerons uniforme dans tout le rseau. Le type de commutateurs retenu dans nos tudes (brasseurs WR-OXC) possde la proprit d'tre slectif en longueur d'onde. Cela signie que les dirents signaux optiques arrivant sur une mme bre d'entre peuvent tre distingus selon leurs longueurs d'onde et commuts chacun sur une bre de sortie particulire. Sans conversion optique ou opto-lectronique, un signal doit conserver la mme longueur d'onde tout le long d'un chemin reliant la source et la destination. De plus, cause de l'interfrence lectro-magntique, deux signaux ayant la mme longueur d'onde ne peuvent pas tre transmis sur la mme bre optique. Une longueur d'onde unique doit donc tre rserve sur tous les liens d'un chemin 36 pour satisfaire une requte de connexion. Cette dernire contrainte disparat en cas de conversion possible en des n&uds intermdiaires. Dans les rseaux optiques WDM, le nombre de longueurs d'onde disponibles est fortement limit, gnralement de l'ordre de la trentaine, et les perspectives futures ne laissent pas envisager de dpasser l'ordre de la centaine. De plus, le cot et la complexit des commutateurs et des multiplexeurs augmentent signicativement avec le nombre de longueurs d'onde traiter. C'est pourquoi il est crucial de chercher minimiser l'utilisation de ces ressources optiques. En gnral, le problme se posant dans un rseau WDM tout-optique consiste satisfaire simultanment un ensemble de requtes de connexion, appel instance de communication, qui est form de couples source-destination. Pour chacune des requtes, il s'agit d'attribuer un chemin dans le rseau ainsi qu'une longueur d'onde, de manire respecter les contraintes du routage optique formules cidessus. L'objectif de cette allocation de ressources est de minimiser le nombre de longueurs d'onde utilises. Cette optimisation est importante de deux points de vue : d'une part, dans le cadre de la conception et du dimensionnement d'un rseau optique, en vue de satisfaire une certaine demande de trac prvue l'avance et an de minimiser le cot global des quipements ncessaires (bres, brasseurs, multiplexeurs) d'autre part, dans un rseau existant, pour grer l'utilisation des ressources optiques en assurant la possibilit d'tablir de nouvelles connexions ultrieurement. 2.2 Graphes et rseaux Un rseau optique de tlcommunications peut se modliser l'aide d'un graphe ou d'un multigraphe orient, tels que nous allons les dnir formellement. Les sommets reprsentent les n&uds du rseau, qui peuvent tre des points d'accs ou des commutateurs. Les arcs reprsentent les liens physiques unidirectionnels en bre optique. Un certain nombre de paramtres usuels en thorie des graphes sont associs des proprits physiques ou des performances des rseaux modliss. En rgle gnrale, le graphe physique du rseau optique ne comporte pas de structure particulire, hormis une certaine connexit ncessaire l'acheminement du trac et la scurisation du rseau. Notons cependant que l'tude de topologies rgulires peut s'avrer intressante partir du moment o+ on les retrouve comme sous-structures du rseau global. De mme, l'tude de schmas de communication rguliers, plus aisment formalisables et solubles en gnral, prsente un intrt dans la mesure o+ ils se rapprochent de situations relles. 37 2.2.1 Notions lmentaires de thorie des graphes Nous donnons seulement les dnitions ncessaires par la suite. Le lecteur pourra trouver les notions non rappeles ici dans le livre de l'action RUMEUR -dR94], dans les livres de thorie des graphes de Berge -Ber83], de Bondy et Murty -BM76] ou dans l'ouvrage de Leighton consacr au paralllisme -Lei92]. Dnitions - Un graphe orient (digraph en anglais) G = (V (G) A(G)) est constitu d'un ensemble ni V (G) = fx1 x2 : : : xN g d'lments, appels sommets, et d'une famille nie A(G) = fa1 a2 : : : amg de reprsentants de couples de sommets, appels arcs. - Notons qu'un couple de sommets (x y) 2 V (G) V (G) peut tre reprsent plusieurs fois dans la famille A(G) on parle alors d'arc multiple (x y) et de multigraphe G . - Un graphe non orient G = (V (G) E (G)) est constitu d'un ensemble ni V (G) de sommets et d'une famille nie E (G) = fe1 e2 : : : emg de reprsentants de paires de sommets, appeles artes. - Le nombre de sommets d'un (multi)graphe (orient ou non) est appel l'ordre du graphe, et est not N . - Si a = (x y) est un arc, alors x est son extrmit initiale et y son extrmit finale. - Si a = (x y) est un arc, le sommet y est un successeur du sommet x et x est un prdcesseur de y. On s'autorise dire galement que y est adjacent x. - Si e = fx yg est une arte, les sommets x et y sont dits adjacents l'un l'autre et l'arte e est dite incidente x et y. - Nous appellerons par la suite liens les arcs ou les artes d'un graphe, qu'il soit orient ou non. - Un graphe orient est dit symtrique si l'existence d'un arc a = (x y) implique l'existence de l'arc a0 = (y x). - On note G le graphe orient symtrique obtenu partir d'un graphe non orient G en prenant dans A(G ) les arcs a = (x y) et a0 = (y x) pour chaque arte e = fx yg de E (G). - Un arc de la forme (x x) ou une arte de la forme fx xg est appel(e) boucle. 38 - Un (multi)graphe ne comportant ni boucle, ni arc ou arte multiple, est appel graphe simple. - Nous appellerons par la suite simples non orients. graphes (sans autre adjectif) les graphes - On appelle degr sortant (resp. entrant) d'un sommet x dans un graphe orient, not d+(x) (resp. d;(x)) le nombre d'arcs d'extrmit initiale (resp. nale) x. - On appelle degr d'un sommet x dans un graphe, not d(x), le nombre d'artes incidentes x. - On appelle degr maximum (resp. minimum) d'un graphe, not (resp. ), le maximum (resp. minimum) des degrs des sommets. - On appelle chemin (dipath en anglais) dans un graphe orient une suite P = (a1 a2 : : : aq ) d'arcs, telle que l'extrmit nale de ai est l'extrmit initiale de ai+1 , pour 1 i < q. La longueur du chemin P est alors le nombre d'arcs qui le composent. - On peut galement dnir un chemin P = (a1 a2 : : : aq ) dans un graphe orient simple par la suite des sommets (x0 x1 : : : xq ), telle que ai = (xi;1 xi). On dit alors que P est un chemin de x0 vers xq . - On appelle chane (path en anglais) dans un graphe une suite P = (e1 e2 : : : eq ) d'artes, telle que deux artes conscutives sont incidentes un mme sommet. La longueur de la chane P est alors le nombre d'artes qui la composent. - On s'autorise par la suite appeler une chane un chemin, la distinction dpendant de la nature du graphe considr. - Un chemin qui ne comporte pas deux fois le mme lien est dit simple. Un chemin qui ne comporte pas deux fois le mme sommet est dit lmentaire. - On appelle distance entre deux sommets x et y dans un graphe (orient ou non), note d(x y), la longueur minimale d'un chemin de x vers y. - On appelle diamtre d'un graphe (orient ou non), not D, le maximum des distances entre les sommets. - On appelle circuit dans un graphe orient un chemin d'un sommet vers lui-mme. - On appelle cycle dans un graphe une chane d'un sommet vers lui-mme. 39 - Un graphe orient est dit fortement connexe s'il existe un chemin de tout sommet vers tout autre sommet. - Un graphe est dit connexe s'il existe une chane entre toute paire de sommets. Constructions classiques - La somme cartsienne (cartesian product en anglais) de deux graphes simples orients G = (V A) et G0 = (V 0 A0), note G2G0 , est le graphe ayant pour ensemble de sommets le produit cartsien V V 0 et pour ensemble d'arcs les couples ((x x0 ) (y y0)) tels que x = y et (x0 y0) 2 A0 ou tels que x0 = y0 et (x y) 2 A. La somme cartsienne de deux graphes non-orients se dnit de manire analogue. - Soient ; un groupe dont la loi de composition est note multiplicativement et S un ensemble (ou systme) de gnrateurs de ; ne contenant pas l'lment neutre e de ;. Alors le graphe de Cayley orient sur ; muni du systme de gnrateurs S , not G(; S ), est dni par : - l'ensemble des sommets est ;, - l'ensemble des arcs est constitu des couples (x sx), pour x 2 ; et s 2 S. 2.2.2 Rseaux usuels Nous dnissons ici certains graphes classiques qui sont le plus souvent tudis. Dans le cadre des rseaux optiques, il s'agira de considrer les graphes orients symtriques associs. - On note CN le cycle (ou anneau) (lmentaire) d'ordre N , de longueur N (voir gure 2.1). - On note PN la chane (lmentaire) d'ordre N , de longueur N ; 1. - On note KN le graphe complet d'ordre N , ayant N sommets deux deux adjacents (voir gure 2.1). - On note Hn l'hypercube de dimension n, d'ordre N = 2n, qui est la somme cartsienne de n copies du graphe K2 . Il se dnit rcursivement partir de K2 : Hn = K2 2Hn;1 = K 2K2 2{z 2K}2 | 2 n fois Il peut galement se dnir comme le graphe dont les sommets sont les mots de longueur n sur l'alphabet f0 1g, tel que deux sommets sont adjacents si et seulement si leurs mots dirent en une seule lettre (voir gure 2.2). 40 Figure 2.1: Cycle C6 et graphe complet K6 . 0000 0001 0010 0100 0011 0101 0110 1000 1001 1010 1100 1011 1101 1110 0111 1111 Figure 2.2: Hypercube H4. - On note M (pQ 1 p2 : : : pn ) la grille (mesh en anglais) de dimension n, d'ordre N = ni=1 pi, qui est la somme cartsienne des n chanes Pp (i = 1 2 : : : n), soit Pp1 2Pp2 2 2Pp (voir gure 2.3). i n - On note TM (l1 l2 : : : ln) la grille Q torique (toroidal mesh en anglais) ou tore de dimension n, d'ordre N = ni=1 li, qui est la somme cartsienne des n cycles Cl (i = 1 2 : : : n), soit Cl1 2Cl2 2 2Cl (voir gure 2.3). n i - Un arbre de cycles est un graphe form par une union de cycles qui s'intersectent deux--deux en au plus un sommet, et tel que deux sommets quelconques peuvent tre relis par exactement deux chemins arte-disjoints (voir gure 2.4). 41 Figure 2.3: Grille M (5 4) et tore TM (5 4). Figure 2.4: Arbre de cycles. 2.3 Optimisation et approximation Un problme d'optimisation P est donn par par un ensemble I d'instances (entres), un ensemble S de solutions (sorties), une fonction s : I ! P (S ) des instances vers les parties des solutions acceptables, une fonction val : I S ! N mesurant la qualit val(I S ) de la solution S 2 s(I ) pour l'instance I , et un objectif min ou max. Si l'objectif est min (resp. max), on souhaite trouver une solution S 2 s(I ) qui minimise (resp. maximise) val(I S ). Nous ne considrons que des problmes d'optimisation pour lesquels il est facile de vrier l'appartenance I , l'appartenance une partie de solutions acceptables, et de calculer la fonction val. Davantage de dtails sur les dnitions formelles de ces problmes peuvent tre trouvs dans -MPS98]. Lorsque nous aborderons par la suite des problmes particuliers d'optimisation, nous les prsenterons parfois 42 d'une manire plus informelle, en gardant toutefois l'esprit ces dnitions. Nous rappelons qu'un problme de dcision P est NP -complet s'il est dans la classe de complexit NP et s'il existe une rduction polynmiale de tout autre problme de NP vers P . La version dcisionnelle d'un problme d'optimisation P est le problme de dcision obtenu en ajoutant un entier K l'instance I et en se demandant )Existe-t-il une solution S 2 s(I ) telle que val(I S ) K ?* dans le cas d'un problme de maximisation, ou bien )Existe-t-il une solution S 2 s(I ) telle que val(I S ) K ?* dans le cas d'un problme de minimisation. Un problme d'optimisation est dit NP -dur ou NP -dicile si sa version dcisionnelle est NP complte. Nous invitons le lecteur intress se rfrer au livre de Garey et Johnson -GJ79] pour une introduction la thorie de la NP -compltude. Pour un problme d'optimisation donn, un algorithme qui s'excute en temps polynmial et qui produit toujours une solution optimale est dit exact, ou simplement optimal. L'existence d'un algorithme exact pour un problme NP -dur impliquerait l'galit P =NP . Par consquent, les algorithmes polynmiaux d'approximation sont intressants pour les problmes d'optimisation NP -durs. Un algorithme d'approximation A pour un problme d'optimisation P est un algorithme dterministe dont le temps d'excution est polynmial en la taille de l'entre et qui rend toujours une solution acceptable. Notons OPT (I ) la valeur d'une solution optimale, i.e., OPT (I ) = maxS2s(I ) val(I S ) pour les problmes de maximisation et OPT (I ) = minS2s(I ) val(I S ) pour les problmes de minimisation. Dans le premier cas, on dit que l'algorithme A possde un facteur d'approximation (absolu) si OPT (I )=val(I A(I )) pour toute instance I , A(I ) reprsentant la sortie de A sur l'entre I . Dans le second cas, la condition est val(I A(I ))=OPT (I ) . Parfois il peut tre intressant de considrer le comportement asymptotique d'un algorithme d'approximation. Pour un problme de maximisation, un algorithme A possde un facteur d'approximation asymptotique si lim supOPT (I )!1 A(I )=OPT (I ) . Pour un problme de minimisation, la condition requise est lim supOPT (I )!1OPT (I )=A(I ) . Une prsentation gnrale des algorithmes d'approximation pour les problmes NP -durs peut tre trouve dans le livre -Hoc97] publi par Hochbaum. Les algorithmes d'approximation requirent habituellement que l'entre soit donne entirement l'avance, et dans ce cas ils sont appels statiques (o-line, en anglais). Pour les problmes d'optimisation considrs dans cette thse, l'entre consiste gnralement en un ensemble ou une collection de requtes de communication. En revanche, pour certaines applications il est raliste de supposer que les requtes se prsentent au fur et mesure et l'algorithme doit les traiter sans 43 connatre les requtes venir. De tels algorithmes sont appels dynamiques (online, en anglais). Pour d'autres applications encore, l'ensemble des requtes est connu l'avance, mais la dure d'une communication est inconnue jusqu' sa n. Une introduction aux algorithmes dynamiques et un tat-de-l'art peuvent tre trouvs dans le livre de Borodin et El-Yaniv -BEY98] et dans celui publi par Fiat et Woeginger -FW98]. 2.4 Formulation des problmes tudis Nous sommes prsent en mesure de dnir les problmes d'optimisation tudis dans le chapitre suivant et les annexes. Ces problmes sont relis l'allocation des ressources pour des requtes de connexion dans un rseau de communication optique. Un rseau donn est modlis par un graphe ou multigraphe orient G = (V A). Les sommets correspondent aux n&uds du rseau et les arcs aux liens physiques en bre optique. La plupart du temps, les graphes tudis seront orients symtriques. Leur graphe non-orient associ pourra alors tre considr galement, par souci de simplicit. Dans leur gnralit, les problmes se posant dans les rseaux WDM toutoptiques consistent satisfaire simultanment un ensemble de requtes de connexion, appel instance, form de couples de n&uds. Pour chaque requte, il s'agit d'attribuer un chemin dans le rseau et d'allouer une longueur d'onde, soit tout le long du chemin, soit sur chaque lien formant le chemin en cas de conversion possible, de manire ce que deux requtes distinctes n'utilisent pas la mme longueur d'onde sur le mme lien. L'objectif dans ce cadre est de minimiser l'utilisation des ressources optiques, c'est--dire le nombre total de longueurs d'onde permettant de satisfaire l'instance donne. Les premires tudes dans la littrature ont reprsent les rseaux optiques par des graphes non-orients. Cette modlisation ne correspond pas prcisment la ralit physique, puisque les communications optiques sont unidirectionnelles, mais elle peut tre prise en considration sous les hypothses restrictives suivantes : Le modle non-orient des rseaux de communication toutoptiques correspond au cas o+ les requtes de connexion sont symtriques et sous la contrainte d'tre routes deux--deux par des chemins symtriques et sur la mme longueur d'onde. Remarque. Les problmes d'optimisation dnis dans toute cette section peuvent tre tudis pour les direntes variantes de graphes (orients, orients symtriques, 44 orients non-symtriques, non-orients). 2.4.1 Problme du routage tout-optique Dans un rseau tout-optique, une requte de connexion entre un n&ud u et un n&ud v est reprsente par le couple (u v). Elle est tablie en rservant une longueur d'onde sur tous les liens d'un chemin de u vers v. Les chemins correspondant aux direntes connexions ne doivent pas utiliser la mme longueur d'onde sur le mme lien. Si les commutateurs ne permettent pas de conversion (donc de type WR-OXC), une connexion doit utiliser la mme longueur d'onde tout le long du chemin de la source vers la destination. Nous appelons problme du routage (tout-)optique le problme de l'allocation des chemins et des longueurs d'onde (ou couleurs) pour une collection de requtes (instance) dans les rseaux tout-optiques sans conversion. PROBLME du Routage Optique Entre : un (multi)graphe G et une instance I de requtes dans G Sortie : une allocation de chemins et de couleurs aux requtes, telle que deux chemins utilisant le mme lien ont deux couleurs direntes Objectif : minimiser le nombre de couleurs utilises On note ~w(G I) le nombre de couleurs d'une solution optimale si le graphe G est orient, et w(G I) si le graphe G est non-orient. L'allocation de chemins aux requtes de l'instance donne est appele routage. Par abus de langage, le terme routage dsigne galement l'ensemble des chemins ainsi forms. Notons que le routage doit tre calcul et fourni en sortie. Si le routage est donn comme une partie de l'entre (au lieu de permettre l'algorithme de le choisir), on obtient un problme de coloration de chemins. Ceci revient rsoudre le problme de la coloration des sommets du graphe de conit associ, de telle manire que deux sommets adjacents sont colors diremment. Le nombre minimum de couleurs ncessaires pour colorer les sommets d'un graphe est appel nombre chromatique. de conflit associ un routage R dans un graphe G (orient ou non) est le graphe non-orient dont les sommets reprsentent les chemins de R et tel que deux sommets sont adjacents si et seulement si les chemins correspondants partagent un lien de G. Dfinition. Le graphe On note ~w(G I R) (resp. w(G I R)) le nombre chromatique du graphe de con,it d'un routage R ralisant une instance I dans un graphe orient G (resp. 45 non-orient). Ainsi ~w(G I ) = minR ~w(G I R), et de mme pour w(G I ). Pour les graphes qui sont des arbres, le routage optique et la coloration de chemins sont deux problmes quivalents, puisque un chemin lmentaire associ une requte quelconque est unique. La gure 2.5 montre un exemple simple d'instance de requtes dans un arbre orient symtrique six sommets, chaque lien reprsentant une paire d'arcs symtriques. Cinq chemins sont dessins correspondant aux requtes (0 2), (1 3), (4 3), (4 5) et (0 5). Une coloration correcte possible attribue ces chemins les couleurs vert, rouge, vert, rouge et bleu, respectivement. En outre, trois couleurs sont eectivement ncessaires puisque le graphe de con,it est un cycle de longueur impaire. 0 3 (0,2) (0,5) 1 2 (4,5) 5 (1,3) (4,3) 4 Figure 2.5: Un routage dans un arbre et son graphe de con,it associ. Le problme du routage optique vaut la peine d'tre tudi dans le cadre de la conception et du dimensionnement d'un rseau optique, en vue de satisfaire une certaine demande de trac prvue l'avance. De mme, il est digne d'intrt dans un rseau possdant une bande passante optique susante pour satisfaire un ensemble de requtes de connexion, en vue de minimiser l'utilisation des ressources optiques, qui se rvlent limites par la technologie, et d'assurer ainsi la possibilit d'tablir de nouvelles connexions ultrieurement. Cependant, la situation est dirente dans un rseau optique qui n'a pas la capacit susante pour satisfaire tout un ensemble de requtes simultanment. Plus exactement, ceci se produit lorsque le nombre de longueurs d'onde disponibles est plus petit que le nombre ncessaire. Il peut alors tre souhaitable de satisfaire un sous-ensemble de l'instance initiale, le but tant de maximiser son cardinal. PROBLME du Routage Optique Maximum 46 Entre : un (multi)graphe G, une instance I de requtes dans G et un entier W > 0 Sortie : une partie I 0 I et une allocation aux requtes de I 0 de chemins et de couleurs parmi W possibles, telle que deux chemins utilisant le mme lien ont deux couleurs direntes Objectif : maximiser le cardinal de I 0 Remarque. Une autre possibilit de routage, si le nombre de longueurs d'onde est insusant, consiste raliser l'instance de communication en plusieurs tapes successives. Si l'on conserve un routage tout-optique entre les sources et les destinations, alors le nombre d'tapes ncessaires devient d~w=W e si W longueurs d'onde sont disponibles. Si l'on s'autorise des reconversions opto-lectroniques en des n&uds intermdiaires, on se place alors dans le cadre des rseaux dits multi-hop qui est abord dans les annexes D et E. 2.4.2 Problme de la charge Dans les rseaux optiques permettant toute conversion d'une longueur d'onde en une autre, dans un n&ud intermdiaire d'un chemin optique, la contrainte de la coloration des chemins allous aux requtes disparat. Il en rsulte en fait une multicoloration de chaque chemin, qui consiste attribuer une couleur spcique sur chaque lien utilis, de telle sorte que deux chemins qui partagent un lien n'ont pas la mme couleur sur ce lien. Ceci ne pose aucun problme algorithmique, puisque toute stratgie d'allocation gloutonne fonctionne. Le nombre total de longueurs d'onde ncessaires pour tablir les requtes de connexion est alors gal au nombre maximum de chemins utilisant le mme lien. La charge d'un lien pour un routage R ralisant une instance I dans un graphe G (orient ou non) dsigne le nombre de chemins de R qui utilisent le lien . Ce nombre est not ~(G I R ) si G est orient et (G I R ) si G est non-orient. La charge du routage R est alors dnie comme la charge maximale des liens pour R. C'est le nombre maximum de chemins de R qui utilisent le mme lien de G. Il est not ~(G I R) en orient et (G I R) en non-orient. Dfinitions. Nous appelons problme de la charge le problme d'optimisation rsultant du problme du routage optique avec l'hypothse de conversion totale des longueurs d'onde. Il s'agit de trouver un routage R ralisant l'instance I donne et minimisant la charge ~(G I R) (ou (G I R)). 47 PROBLME de la Charge Entre : un (multi)graphe G et une instance I de requtes dans G Sortie : une allocation de chemins aux requtes (un routage) Objectif : minimiser la charge du routage On note ~(G I) la charge d'une solution optimale si le graphe G est orient, et (G I) si le graphe G est non-orient. Ainsi ~(G I ) = minR max ~(G I R ), et de mme pour (G I ). Pour l'exemple de la gure 2.5, nous avons ~(G I ) = 2. De manire vidente, la charge optimale d'un routage ralisant une instance donne minore le nombre optimal de longueurs d'onde pour le problme du routage optique appliqu la mme instance. Ceci rsulte immdiatement du fait que le problme de la charge est un problme d'allocation de chemins et de longueurs d'onde, avec la libert supplmentaire de la conversion. Proprit. Pour tout problme (G I ), ~w(G I ) ~ (G I ). La proprit analogue est aussi valable en non-orient. Une autre dmonstration consiste dire que le nombre de longueurs d'onde ncessaires pour le problme du routage optique est au moins gal au nombre maximum de chemins devant ncessairement utiliser le mme lien, ce qui correspond la dnition de la charge minimale d'un routage. Notons que rpondre la question ) ~(G I ) p?*, tant donn un entier p, revient dterminer si le multi,ot entier correspondant aux requtes de I est ralisable dans le rseau de ,ot Fp obtenu en aectant chaque arc de G une capacit gale p. Il s'agit donc d'un problme trs classique en optimisation (cf. le livre -AMO93] ou le chapitre -GTT90]). Remarque. Comme le problme du routage optique, le problme de la charge possde son problme de maximisation associ : PROBLME du Routage Maximum Entre : un (multi)graphe G et une instance I de requtes dans G et un entier W > 0 Sortie : une partie I 0 I et une allocation de chemins aux requtes de I 0, de charge au plus W Objectif : maximiser le cardinal de I 0 48 Dans le cas extrme o+ le nombre W de longueurs d'onde disponibles est rduit 1, les deux problmes de maximisation prcdants deviennent quivalents et peuvent tre noncs par une formulation qui a t trs tudie dans la littrature (cf. par exemple le chapitre de Frank -Fra95b] dans -GGL95]) : PROBLME du Routage Disjoint Maximum Entre : un (multi)graphe G et une instance I de requtes dans G Sortie : une partie I 0 I et une allocation de chemins aux requtes de I 0, telle que deux chemins n'utilisent pas le mme lien Objectif : maximiser le cardinal de I 0 La version dcisionnelle du problme devient : PROBLME du Routage Disjoint Donnes : un (multi)graphe G et une instance I de requtes dans G Question : existe-t-il une allocation de chemins aux requtes de I 0 , telle que deux chemins n'utilisent pas le mme lien ? 2.4.3 Relations entre les problmes Nous commenons par montrer brivement en quoi le problme du routage optique peut tre vu comme un problme de multi,ot entier dans un graphe associ, et donc galement comme un problme de routage disjoint. Par souci de simplicit, nous avons reprsent sur la gure 2.6 la rduction dans le cas d'une instance de multicast, pour laquelle toutes les requtes possdent le mme n&ud source. Une construction semblable est utilise en annexe A. Il s'agit en l'occurence de rsoudre dans un graphe orient symtrique G le problme du routage optique pour l'instance I = fxg fv w y zg. Nous avons dj remarqu que le problme de la charge pour (G I ) revient dterminer le plus petit entier p rendant ralisable un certain problme associ Fp de multi,ot entier. Nous dirons qu'un sommet x 2 V (G) est une source (resp. une destination) s'il existe y 2 V (G) tel que (x y) 2 I (resp. (y x) 2 I ). Le rseau de multi,ot Fp0 associ au problme du routage optique (G I ) est construit partir de G de la manire suivante. - on commence par prendre p copies indpendantes du graphe G dont les arcs sont munis d'une capacit unitaire. Les p copies d'un sommet u 2 V (G) sont notes u1 u2 : : : up. - pour chaque source x 2 V (G), on ajoute un sommet xout qui est reli xi , pour 1 i p, par un arc (xout xi) de capacit innie. 49 y (a) v z y (b) z1 w1 xout y2 v2 1) ( (p) (p) 1) (p) v (p) x1 ( w (p) v1 (c) x x y1 (p) z x2 z2 yin vin zin win w2 (p) w Figure 2.6: (a) Un graphe orient G avec une source x et des destinations fv w y zg. (b) Le rseau de ,ot Fp. (c) Le rseau de ,ot F20 . Toutes les capacits non marques valent 1 et toutes les orientations des arcs sont omises. - pour chaque destination y 2 V (G), on ajoute un sommet yin, et le sommet yi, pour 1 i p, est reli yin par un arc (yi yin) de capacit unitaire. - l'instance de requtes I dans G, nous associons l'instance I 0 = f(xout yin) j (x y) 2 I g dans Fp0 . Il est alors facile de voir que ~w(G I ) = min fp j le multi,ot Fp0 est ralisable g. Nous avons donc tabli que problme du routage optique (resp. maximum) se rduit au problme du routage disjoint (resp. maximum). Dans le cas particulier d'une instance multicast, le problme de routage optique se rduit un problme de simple ,ot. Nous renvoyons l'annexe A pour une prsentation plus dtaille. Remarque. S'il existe, pour une classe de graphes, un algorithme pour le problme du routage disjoint maximum ayant un facteur d'approximation (non ncessairement constant), alors il existe, pour cette mme classe de graphes, un algorithme pour le problme du routage optique ayant un facteur d'approximation en O(log jI j:). Proprit. La technique utilise est semblable celle colorant les sommets d'un graphe l'aide d'un algorithme sachant approximer le problme de trouver Remarque. 50 un ensemble de sommets indpendants de cardinalit maximale (maximum independent set, MIS). Elle a t utilise par Aumann et Rabani dans -AR95] an de traiter le problme du routage optique dans les grilles bidimensionnelles. Ide de preuve. Soit I une instance dans un graphe G et posons ~w = ~w(G I ). Pour tout partie I 0 I , ~w(G I 0) ~w. Donc dans toute solution optimale du problme du routage optique (G I ), il existe au moins jI 0j=~w requtes utilisant la mme couleur, et donc routes par des chemins arc-disjoints. Par consquent, une solution optimale du problme du routage disjoint maximum (G I 0) est de taille au moins jI 0j=~w. Comme nous supposons l'existence d'un algorithme polynmial d'approximation pour ce problme, nous en dduisons que pour toute partie I 0, on peut trouver en temps polynmial une partie I 00 I 0 de taille (jI 0 j=(~w)) qui peut tre route par des chemins arc-disjoints. On peut alors dnir un algorithme d'approximation glouton pour le routage optique de la manire suivante. Initialement, I 0 = I et on sait router avec la mme couleur une partie I0 de taille (jI j=~w). En posant ensuite I 0 = I n I0 , on sait router avec une autre couleur une partie I1 I 0 de taille (jI 0j=(~w)), en sachant que jI 0j = O(jI j(1 ; ~1w )). L'ensemble courant I 0 dcrot donc d'un facteur (~w=(~w ; 1)) chaque tape. Le calcul montre que le nombre d'tapes de l'algorithme, jusqu' puisement de toutes les requtes de I , est O(~w log jI j), ce qui correspond au nombre de couleurs utilises. 2 2.5 Communications structures Lorsqu'un ensemble de connexions doit s'tablir dans un rseau de tlcommunications, il peut tre plus ou moins alatoire ou possder une structure prdtermine. Dans le cas de communications prvisibles l'avance, il est souhaitable de connatre quel routage utiliser avant mme que le problme ne se pose, et d'optimiser la solution fournie an d'exploiter au mieux les ressources de transmission du rseau. C'est pourquoi les problmes de routage dans les rseaux, trs tudis dans le cadre des rseaux d'interconnexion entre processeurs -FL94, HHL86, HKMP95], peuvent tre regroups en deux grandes classes -Fra95a, Lei92] : les routages prcalculs ou statiques (en anglais, o-line) et les routages temps-rel ou dynamiques (en anglais, on-line). Le terme temps-rel est utilis lorsque les requtes de communication ne sont pas connues l'avance et qu'il faut rsoudre le problme de routage au moment o+ elles se prsentent. Dans ce cas de gure, les communications peuvent intervenir tout moment, a priori sans aucune synchronisation ni cohrence entre elles, 51 et on pourra parler de communications anarchiques. L'tude de cette classe de problmes, qui n'est pas notre objet, passe par l'tude (dicile) de fonctions de routage qui essayent de garantir au mieux l'tablissement des communications en vitant les blocages. l'oppos, la classe des routages prcalculs concerne des problmes rguliers qui apparaissent souvent, notamment dans les rseaux de transport, et dont il est bnque de dterminer et d'optimiser la solution au pralable. Ces instances de communication particulires sont appeles communications structures. On parle galement de communications globales ou collectives, lorsque celles-ci font intervenir la totalit des n&uds du rseau. Nous dnissons prsent les communications structures les plus frquemment mises en &uvre : - Diusion (One-to-All ou broadcasting) : opration qui consiste envoyer d'un n&ud du rseau une mme information vers tous les autres n&uds. - Distribution (diusion personnalise, personalized One-to-All, distributing ou scattering) : opration qui consiste envoyer d'un n&ud du rseau une information dirente vers chacun des autres n&uds. - Rassemblement (gathering) : opration qui consiste envoyer de chaque n&ud du rseau une information vers un n&ud particulier. C'est l'opration inverse de la distribution. - change total (All-to-All, total exchange ou gossiping) : opration qui consiste envoyer de chaque n&ud du rseau une mme information vers tous les autres n&uds. Cela revient eectuer une diusion partir de tous les n&uds du rseau simultanment. - Multidistribution (change total personnalis, personalized All-to-All, complete exchange ou multiscattering) : opration qui consiste envoyer de chaque n&ud du rseau une information dirente vers chacun des autres n&uds. Cela revient eectuer une distribution partir de tous les n&uds du rseau simultanment. - Multicast (diusion partielle, One-to-Many ou multicasting) : opration qui consiste envoyer d'un n&ud du rseau une mme information vers d'autres n&uds. - Permutation : opration pour laquelle chaque n&ud du rseau envoie et reoit une information exactement. - k-Relation : opration pour laquelle chaque n&ud du rseau envoie et reoit au plus k informations. 52 Dans le cadre de notre tude sur le routage tout-optique, nous attirons l'attention sur le fait que les schmas de communication structure que sont, d'une part la diusion et l'change-total, d'autre part la distribution et la multidistribution, correspondent respectivement aux mmes instances de communication, puisque la donne des requtes ne tient pas compte de la nature de l'information vhicule. Ainsi, un ensemble de chemins optiques ralisant une diusion (un change total) peut tout aussi bien raliser une distribution (une multidistribution). Cependant, nous continuerons d'utiliser les termes les plus restrictifs par (mauvaise) habitude. Notons toutefois que la distinction devient importante dans le cadre des rseaux optiques multi-hop, qui sont tudis pour la diusion en annexe E. Remarque. Dfinitions. tant donn l'ensemble V des sommets d'un graphe G, - Une instance de diusion ou de distribution est note IO et correspond un ensemble f(x0 y) j y 2 V g pour un sommet x0 x. - L'instance de l'change total ou de la multidistribution est note IA et correspond l'ensemble f(x y) j x 2 V y 2 V g. - Une instance de multicast ou de multicast personnalis est note IM et correspond un ensemble f(x0 y) j y 2 V 0 g pour un sommet x0 x et une partie V 0 V . - Une instance de permutation est note I1 et correspond un ensemble f(x (x)) j x 2 V g pour une bijection de V . - Une 1-relation est une instance note galement I1 et qui correspond une partie d'une instance de permutation. - Une k-relation est une instance note Ik et qui correspond une union de k instances qui sont des 1-relations. 53 54 Bibliographie -ACKP98a] V. Auletta, I. Caragiannis, C. Kaklamanis, and G. Persiano. Ecient wavelength routing with low-degree converters. 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Dans le cas gnral, c'est--dire pour un graphe orient G et une instance I quelconques, le problme du routage optique et de la dtermination de ~w(G I ) a t montr NP -complet par Erlebach et Jansen dans -EJ96]. En fait, ils ont montr cette proprit pour les arbres et les cycles orients symtriques. Ils l'ont tendue aux grilles dans -EJ97] et au cas des arbres binaires avec un nombre de couleurs limit 3, par rduction du problme de la coloration des artes d'un multigraphe, NP -complet d'aprs Holyer -Hol81]. Thorme 3.1.1 (Erlebach et Jansen -EJ97]) 4 Le problme suivant est NP complet : Donnes : Un arbre binaire orient symtrique T et une instance I . Question : Existe-t-il un routage optique pour (T I ) utilisant au plus 3 couleurs ? Corollaire 3.1.2 4 Le problme suivant est NP -complet : Donnes : Un graphe orient G, une instance I et un entier k. Question : Existe-t-il un routage optique pour (G I ) utilisant au plus k couleurs ? D'un certain point de vue, la dicult du problme de routage optique provient de la dicult intrinsque de deux problmes sous-jacents : le problme du routage et le problme de la coloration des chemins. tant donns un graphe orient G et une instance I , la recherche d'un routage R, ralisant I et minimisant la charge maximale ~(G I R) des arcs de G, est intressante pour le problme de routage optique puisque la charge d'un routage minore le nombre de couleurs ncessaires pour le colorer : ~(G I R) ~w(G I R). 59 La dtermination de ~ est troitement relie au problme du multi,ot capacits entires. tant donns un graphe G muni de capacits entires sur ses liens et un ensemble de requtes munies de demandes entires, il s'agit de trouver un ,ot de valeur correspondante de chaque source vers sa destination, de manire ne pas dpasser les capacits des liens. D'aprs Even, Itai et Shamir -EIS76], mme le bi-,ot capacits unitaires est un problme NP -complet, dans les graphes orients ou non. En transformant chaque requte munie de sa demande d en d copies de la mme requte unitaire, le problme du multi,ot consiste alors router une instance I dans le graphe G sans dpasser les charges des liens autorises. Il s'en suit immdiatement la NP -compltude du problme de routage et de la dtermination de ~(G I ) ou de (G I ), puisqu'il s'agit de faire passer un multi,ot unitaire dans un graphe capacits constantes. Thorme 3.1.3 (d'aprs Even, Itai et Shamir -EIS76]) 4 Le problme suivant est NP -complet : Donnes : Un graphe G (orient ou non), une instance I et un entier k. Question : Existe-t-il un routage pour (G I ) de charge maximale k sur les liens de G ? Notons que dans le cas orient, ce dernier rsultat peut aussi s'obtenir partir d'un thorme plus puissant de Fortune, Hopcroft et Willie -FHW80], tablissant la NP -dicult de trouver deux chemins arc-disjoints pour deux requtes dans un graphe orient. En eet, router une instance dans un graphe sans dpasser une certaine charge c est quivalent router les requtes par des chemins disjoints dans le multi-graphe associ de multiplicit uniforme c. l'aide de cette proprit, nous pouvons donner un rsultat encore plus fort dmontrant la non-approximabilit du problme du routage optique dans le modle orient, comme cela a t remarqu par Jarry dans -Jar99]. Thorme 3.1.4 4 Le problme suivant est NP -complet : Donnes : Un graphe orient G et une instance I . Question : Se trouve-t-on dans l'une des deux situations suivantes ? Il existe deux chemins arc-disjoints dans G pour deux requtes de I . Il n'existe pas de routage pour (G I ) par des chemins arc-disjoints. L'ide de la preuve de ce thorme consiste construire une semi-grille G oriente (non-symtrique) en plaant aux intersections des lignes et des colonnes des copies d'un sous-graphe G pour lequel il est NP -dicile d'aprs -FHW80] de dcider si deux requtes peuvent le traverser par deux chemins arc-disjoints. Une reprsentation schmatique se trouve sur la gure 3.1. On dnit alors un ensemble I de requtes f(xi yi) j 1 i lg telles que leur ralisation par des chemins arc-disjoints est possible si et seulement si deux chemins arc-disjoints 60 existent pour traverser le sous-graphe G . Dans le cas contraire, il n'existe pas deux chemins arc-disjoints dans G pour router deux requtes de I . x x5 x4 x3 x2 x1 y1 y2 y3 y4 y5 y Figure 3.1: Semi-grille et routage disjoint non-approximable. Ainsi, il est NP -dicile de dcider si une seule ou toutes les requtes peuvent tre routes avec une charge maximale unitaire sur les arcs du graphe, donc de dcider si ~w(G I ) = 1 ou si ~w(G I ) = jI j, et nous en dduisons le corollaire suivant : Corollaire 3.1.5 4 Il n'existe pas d'algorithme d'approximation pour le problme du routage optique dans un graphe orient, moins que P = NP . La question analogue dans le cas orient symtrique reste ouverte. Cependant, lorsque le nombre de requtes est born, le problme de routage devient polynmial, dans le cas non-orient d'aprs un rsultat de Robertson et Seymour -RS95], et dans le cas orient symtrique d'aprs des travaux rcents de Jarry -Jar99], avec toutefois des constantes caches normes qui rendent les algorithmes impraticables. Nous invitons le lecteur intress par la complexit des problmes de routage (et la solvabilit en temps polynmial de certains cas particuliers) se rfrer au livre dit par Korte, Lov3sz, Prmel et Schrijver -KLPS90], et en particulier 61 au chapitre crit par Frank -Fra90]. Une technique gnrale pour obtenir des algorithmes d'approximation (randomiss) pour le problme de routage (sous certaines conditions) est la technique randomise d'arrondi due Raghavan et Thompson. Les dtails de leur mthode et les applications au routage VLSI et aux rseaux de multi,ot peuvent tre trouvs dans -RT87]. Une fois un routage connu pour raliser une instance de communication, savoir colorer ecacement ses chemins est ncessaire dans le cadre du problme de routage optique. Malheureusement, ce problme de coloration restreint des chemins est aussi dicile que le problme bien connu de la coloration des sommets d'un graphe, comme il a t remarqu par Chlamtac, Ganz et Karmi dans -CGK92]. tant donn un graphe non-orient H quelconque, il sut de dnir un ensemble R de chemins ad-hoc dans un graphe G galement construit dessein, de telle sorte que H soit le graphe de con,it de R. Par ailleurs, le rsultat dcoule immdiatement du premier thorme de ce chapitre, puisque le routage est x dans un arbre. Proposition 3.1.6 4 Le problme suivant est NP -complet : Donnes : Un graphe G (orient ou non) et un routage R. Question : Existe-t-il une coloration des chemins de R utilisant 3 couleurs ? Dans le modle non-orient, la NP -compltude du problme de routage optique provient de rsultats bien antrieurs l'avnement de la technologie WDM. Concernant le problme de la coloration de chemins dans un arbre, Golumbic et Jamison -GJ85b] ont tabli que la dtermination de w(G I ) est un problme NP -complet mme pour les toiles (arbres dont tous les sommets sauf un ont degr 1), en rduisant ce problme celui de la coloration des artes d'un multigraphe qui est NP -complet d'aprs Holyer -Hol81] (voir section 3.2.1, page 78). Ce rsultat a t tendu dans -EJ96] au cas des cycles non-orients, alors que le problme devient polynmial pour les arbres de degr born d'aprs -EJ97]. Au vu de ce dernier rsultat et de la NP -dicult dterminer ~w(G I ) pour les arbres binaires orients, on pourrait croire que le problme de routage optique est plus dicile dans le modle orient. Ce n'est pas vrai en gnral. Par exemple, pour les toiles, le problme non-orient est NP -complet -GJ85b] alors que le problme orient est polynmial, par rduction au problme de couplage dans les graphes bipartis (voir section 3.2.1, page 76), soluble d'aprs le thorme de Knig-Hall. Prenons un graphe orient G et un routage R ralisant une instance I . Soient L la longueur maximale des chemins dans R et le degr maximum du graphe de con,it associ R. Puisque tout chemin est en con,it avec au plus ~(G I R) ; 1 autres chemins sur chacun de ses arcs, il est clair que L(~ (G I R) ; 1). Une 62 coloration gloutonne du graphe de con,it permet d'utiliser au plus +1 couleurs. Nous en dduisons une borne asymptotique pour le problme de routage optique (G I ) : ~w = O(L~), o+ L reprsente ici la plus petite longueur maximale des chemins d'un routage R tel que ~(G I R) = ~(G I ). Le mme raisonnement dans le modle non-orient conduit galement w = O(L). Une stratgie gloutonne plus labore pour colorer les chemins d'un routage est propose dans -ABNC+94, ABNC+ 96]. Elle s'avre plus ecace que la prcdente si le paramtre L est susamment grand. Reprenons les mmes notations et notons m le nombre d'arcs du graphe G. La somme des charges des arcs de G vaut au plus m~(G I R), or elle est gale d'autre part la somme des longueurs des de R. Par consquent, pmchemins p le nombre de chemins de longueur au moins ne peut excder ~(G I R) m. Une couleur spcique est attribue chacun de ces chemins. En considrant le graphe de con,it des chemins restants et en appliquant la mme coloration gloutonne quep prcdemment, on peut complter la coloration en utilisant au plus ~(G I R) m couleurs supplmentaires. Il en dcoule le rsultat suivant, formul initialement dans le modle non-orient : Thorme 3.1.7 (Aggarwal et al. -ABNC+ 94]) 4 Pour tout problme (G I ), o G a m arcs, p ~w(G I ) 2~(G I ) m : Dans le mme temps, il est montr dans -ABNC+ 94, ABNC+ 96] que les deux bornes suprieures issues des colorations gloutonnes mentionnes ci-dessus sont optimales un facteur constant prs. Plus prcisment, il est fourni une famille de problmes non-orients, dont p une reprsentation est donne par la gure 3.2, telle que w = ( min fL mg), o+ L reprsente la distance maximale entre deux sommets formant une requte et m le nombre d'artes du graphe. Cette famille de cas pathologiques repose sur une topologie en "pseudo-grille", telle qu'elle est reprsente sur la gure 3.2. Pour un entier n 2 donn, la pseudo-grille Gn est constitue de n n&uds sources fs1 s2 : : : sng, de 2n ; 2 colonnes de 2n ; 1 n&uds chacune et de n n&uds destinations ft1 t2 : : : tng, relis entre eux comme il est montr sur la gure 3.2 pour n = 4. Le nombre d'artes de Gn est ainsi m = O(n2). Notons In l'instance f(si ti)g1in et Ink l'instance forme par k copies de l'instance In. Dans tous les cas, la distance maximale pour une requte vaut L = 4n ; 3 = O(n). Remarquons d'abord que deux requtes quelconques dans In entrent ncessairement en con,it, puisqu'il n'existe pas deux chemins arte-disjoints reliantpdeux paires source-destination. On en dduit que w(Gn In) = n = (min fL mg). Par ailleurs, notons que l'instance In peut tre route avec une charge maximale de (Gn In) = 2 = O(1) (voir gure 3.2). En considrant prsent l'instance Ink , on obtient pour la 63 mme raison que w(Gn Ink ) = kn , or (Gn Ink ) = O(k). Nous avons donc bien p k w(Gn In ) = kn = ( min fL mg). s1 t4 s2 t3 s3 t2 s4 t1 Figure 3.2: Instance pathologique dans une pseudo-grille non-oriente. La question se pose alors de savoir si ce dernier rsultat est transposable dans le modle orient. Nous pouvons rpondre par l'armative, mais le problme reste ouvert dans le cas orient symtrique. Proposition 3.1.8 4 Pour tout et tout L, il existe un graphe orient G et une instance I tels que ~(G I ) (max d(x y) L et ~w(G I ) = (L) : xy)2I La preuve de cette proposition est en tous points semblable la prcdente dmonstration. Elle repose sur la construction de la gure 3.3, identique celle de la gure 3.2 si ce n'est l'orientation des arcs. Cette orientation permet de conserver la proprit que deux requtes entrent ncessairement en con,it, du fait qu'il n'existe pas deux chemins arc-disjoints reliant deux couples sourcedestination. Notons que la mme topologie oriente symtriquement ne possde plus cette proprit, puisqu'alors deux chemins ont la possibilit de se croiser verticalement en sens inverse sans gnrer de con,it. Nous avons vu prcdemment que la rsolution du problme de routage optique peut tre dcompose en deux tapes (trouver un routage de charge minimale et colorer ses chemins), chacune d'elles demeurant cependant intrinsquement dicile optimiser. Il est noter que cette approche souvent utilise ne conduit pas ncessairement une solution optimale, mme si chacun des deux sous-problmes est rsolu de faon optimale. En eet, nous pouvons 64 s1 t4 s2 t3 s3 t2 s4 t1 Figure 3.3: Instance pathologique dans une pseudo-grille oriente non-symtrique. construire un problme (G I ) tel que tout routage R ralisant I , de charge minimale ~(G I R) = ~(G I ), n'est pas colorable avec ~w(G I ) couleurs. Autrement dit, un routage optique optimal pour ce problme particulier n'est pas un routage optimal en termes de charge (ce qui rpond une question pose dans -BBG+97]). Proposition 3.1.9 4 Il n'existe pas toujours de routage R ralisant une instance I dans un graphe orient G, tel que ~(G I R) = ~ (G I ) et ~w(G I R) = ~w(G I ). Nous donnons une construction dans un graphe orient nonsymtrique, qui reprend la structure en pseudo-grille venant d'tre prsente. Pour tout entier n 2, le graphe Hn est construit partir du graphe Gn reprsent sur la gure 3.3, auquel on ajoute deux sommets s et t ainsi que l'arc (s t) et tous les arcs (si s), (t ti), pour 1 i n, comme le montre la gure 3.4 pour n = 4. Preuve. Nous reprenons la notation In pour l'instance f(si ti )g1in. Comme prcdemment, nous avons ~(Hn In) = 2. Par consquent, dans tout routage Rn ralisant In, de charge maximale ~(Hn In Rn) = ~(Hn In), au moins n ; 2 chemins n'utilisent pas l'arc (s t), d'o+ ~w(Hn In Rn) n ; 2. Or il n'est pas dicile de voir que ~w(Hn In) = dn=2e, puisqu'en routant x requtes par l'arc (s t) et n ; x requtes par le sous-graphe Gn, on obtient un routage colorable avec max fx n ; xg couleurs. Notons enn qu'en dnissant le multigraphe Hn0 partir du graphe Hn en multipliant l'arc (s t) par un facteur c = n=4 ; 1 (ou en reliant s t par c chemins arc-disjoints, an que Hn0 soit un graphe simple), on obtient alors que ~(Hn0 In) = 2 et ~w(Hn0 In) = 4, alors que tout routage Rn de charge 2 ncessite 65 s s1 t4 s2 t3 s3 t2 s4 t1 t Figure 3.4: Pseudo-grille H4 avec raccourci. n=2 ; 2 couleurs. Le rapport ~w(Hn0 In Rn)=~w(Hn0 In) est ainsi de l'ordre de n=8. 2 Question 3.1.10 4 Qu'en est-il des propositions 3.1.8 et 3.1.9 dans le cas orient symtrique ? La premire partie de cette question revient se trouver des constructions orientes symtriques telles que les paramtres ~w et ~ dirent signicativement. De telles constructions pourraient alors ventuellement tre exploites pour rpondre la seconde partie de la question, comme il a t fait prcdemment pour la proposition 3.1.9. Dans cette perspective, nous pouvons fournir un lment de rponse en considrant le cycle CN . Nous allons dnir une instance IN telle que ~w(CN IN ) = N=2 = 2~(CN IN ) ; 1. Ainsi, dans le cas orient symtrique, ~w et ~ peuvent direr d'un facteur 2. Posons N = 2(2k + 1) et reprsentons les sommets de CN par les entiers modulo N . Soient JN = f(2i mod N 2i + N=2 mod N )g1iN=2 et IN l'instance forme par deux copies de JN . Nous avons donc dans IN un total de N requtes et clairement toutes les requtes qui sont routes dans le mme sens entrent en con,it. Nous en dduisons que ~w(CN IN ) = N=2. Par ailleurs, nous pouvons montrer qu'un routage optimal pour la charge consiste router dans les deux sens opposs chaque paire de requtes identiques, comme il est montr sur la gure 3.5 pour N = 6, ce qui donne une charge maximale de k + 1 = dN=4e. Comme tout routage pour IN comporte N chemins de longueur N=2 et le cycle CN contient 2N 66 arcs, N 2 =4N = N=4 est la charge moyenne des arcs et donc ~(CN IN ) = dN=4e. Figure 3.5: Routage optique pour (C6 I6). Nous allons prsent nous intresser aux liens entre le problme de routage optique et l'arc-connexit. Dfinitions. Soit G = (V A) un graphe orient fortement connexe. - Pour tout S V (G), on note m(S ) le nombre d'arcs de A(G) ayant seulement leur extrmit initiale dans S . - L' arc-connexit (G) de G est le nombre minimum d'arcs dont la suppression rend le graphe non fortement connexe : (G) = minSV (G) m(S ). - On dit que G est k-arc-connexe si (G) k. - L' arc-connexit cG(r) d'un sommet r 2 V (G) est le nombre minimum d'arcs dont la suppression rend un sommet de V (G) non accessible partir de r : cG (r) = minr2SV (G) m(S ). Les versions orientes des thormes de Menger, que l'on peut trouver par exemple dans le livre de Berge -Ber83], permettent de relier les notions globale et locale de l'arc-connexit avec le problme du routage arc-disjoint. Nous donnons ici la version locale. Thorme 3.1.11 (Menger) 4 Pour tout couple (r t) de sommets dans un graphe orient G, le nombre maximum de chemins arc-disjoints de r vers t est cG(r). Dans un graphe orient, un arbre de recouvrement enracin est un arbre qui permet d'atteindre tout sommet partir de la racine. Le thorme suivant montre que l'arc-connexit donne une proprit encore plus forte que celle dcrite par le thorme de Menger. 67 Thorme 3.1.12 (Edmonds -Edm72]) 4 Pour tout sommet r dans un graphe orient G, le nombre maximum d'arbres de recouvrement arc-disjoints enracins en r est cG(r). Une consquence trs intressante de ce thorme fondamental a t tablie dans -Shi79]. Corollaire 3.1.13 (Shiloach (et Tarjan) -Shi79]) 4 Pour k couples quelconques de sommets (s1 t1 ) : : : (sk tk ) dans un graphe orient k-arc-connexe, il existe k chemins arc-disjoints P1 : : : Pk tels que Pi est un chemin de si vers ti , pour 1 i k. Ajoutons au graphe G un sommet r ainsi que les arcs (r si), pour 1 i k, pour former le graphe G0. Le graphe G tant k-arc-connexe, cG0 (r) = k. En appliquant le thorme 3.1.12, on obtient k arbres de recouvrement arc-disjoints enracins en r et un chemin dans chacun respectivement de r vers chaque ti en passant par si, ce qui induit le rsultat. 2 Preuve. Tous les rsultat mentionns sur l'arc-connexit sont accompagns dans la littrature d'algorithmes polynmiaux permettant d'exhiber des solutions eectives. Le dernier rsultat nous permet d'en dduire une mthode ecace pour rsoudre un problme de routage optique (G I ) dans un graphe d'arc-connexit . En partitionnant l'ensemble des requtes en djI j=e sous-ensembles de taille au plus , on peut alors router chacun par des chemins arcs-disjoints et lui attribuer ainsi une longueur d'onde spcique. Corollaire 3.1.14 4 Pour tout graphe orient G d'arc-connexit et pour toute instance I , le problme de routage optique (G I ) peut tre rsolu en temps polynmial en utilisant djI j=e longueurs d'onde. 3.1.2 Permutations et k-relations Dans sa thse -Pan92] et dans -PG95], Pankaj a dtermin une borne infrieure sur la charge ncessaire dans le pire des cas pour router une instance de permutation dans un graphe quelconque de degr maximum donn. La technique utilise repose sur la construction d'une instance de permutation dont les requtes sont distantes, de manire maximiser la somme des distances de l'instance. En divisant cette somme par le nombre de liens dans le graphe, on obtient une minoration de la charge moyenne d'un routage, et donc de la charge maximale. Plus prcisment, il est montr que dans tout graphe orient G de degr entrant ou sortant maximum 2, il existe une instance de permutation I1 68 telle que ~(G I1) blog2N=2c . La preuve donne dans -PG95] peut tre modie an d'amliorer le rsultat. Aussi nous donnons directement le thorme optimis et sa preuve : Proposition 3.1.15 4 Pour tout graphe orient G de degrs maximum sortant et entrant + ; 2, avec = max f+ ;g et = min f+ ;g, il existe une instance de permutation I1 telle que ; 1)c : ~w(G I1 ) ~(G I1) blog (N Supposons que = + (et = ;). Le cas inverse est identique par symtrie. Pour tout sommet x dans G, il y a au plus sommets distance 1 de x, et plus gnralement au plus d distance d. Donc le nombre de sommets distance < d de x est au plus d;1 d X i = ; 1 d ;1 i=0 Ainsi, en posant d0 = blog (N ; 1)c, on obtient que le nombre de sommets distance < d0 de x est au plus N ; 1. Par consquent, il existe un sommet distance au moins d0 de tout sommet x. Construisons prsent un graphe biparti H = (V1 V2 E ) o+ V1 et V2 sont deux copies de V (G) et tel que l'arte fx1 y2g est dans E si et seulement si dG(x y) d0, o+ x et y sont les deux sommets correspondants dans G. D'aprs ce qui prcde, tous les sommets de V1 ont un degr au moins 1, et les sommets de V2 aussi par le raisonnement symtrique, puisque d0 blog; (N ; 1)c. Le thorme de Knig-Hall (dont un corollaire arme qu'il existe dans tout (multi)graphe biparti un couplage saturant tous les sommets de degr maximum, voir par exemple -Ber83]) implique alors l'existence d'un couplage parfait dans H , qui induit de faon naturelle une permutation I1 sur les sommets de G (toute arte fx1 y2g du couplage induit la requte (x y)). Nous avons donc montr l'existence d'une instance de permutation dans le graphe G qui ncessite N chemins, chacun de longueur au moins d0. La charge d'un routage pour cette instance est minore par le rapport entre la somme des longueurs de ses chemins et le nombre d'arcs valant au plus N , ce qui donne 0N = blog (N ;1)c . 2 ~w(G I1) ~(G I1) dN Preuve. La mme technique de dmonstration permet d'obtenir un rsultat encore plus satisfaisant dans le cas des graphes orients symtriques et sommet-transitifs. Un graphe orient G = (V A) est sommet-transitif si pour tout couple de sommets (a b), il existe une bijection sur l'ensemble V (G), telle que (a) = b et (x y) 2 A(G) si et seulement si ((x) (y)) 2 A(G). Dfinition. 69 Proposition 3.1.16 (Pankaj -Pan92]) 4 Pour tout graphe orient symtrique et sommet-transitif G de diamtre D et de degr maximum , il existe une instance de permutation I1 telle que ~w(G I1) ~(G I1) D : Remarque. Notons que cette dernire borne ne peut tre amliore, puisqu'elle s'applique exactement au cas de l'hypercube, o+ D= = 1. En eet, comme nous le verrons ultrieurement, l'instance forme des couples de sommets antipodaux (de charge uniforme 1) peut tre route avec une seule longueur d'onde. Intressons-nous prsent aux k-relations. Pour rappel, une k-relation est une instance de communication o+ chaque sommet est origine et destination d'au plus k requtes. Par le thorme de Knig-Hall, on peut partitionner une krelation en k instances de permutation. Rciproquement, l'union de k instances de permutation donne une k-relation (qui peut tre une multi-instance, o+ certaines requtes peuvent apparatre plusieurs fois). Ainsi, les deux thormes prcdents peuvent tre facilement adapts au cas des k-relations, en multipliant les bornes infrieures par k. En s'inspirant de la construction de la gure 3.2 donne par Aggarwal et al. -ABNC+ 94, ABNC+ 96], Raghavan et Upfal ont obtenu dans -RU94] une borne infrieure pour le routage optique non-orient des k-relations, qui tient compte de l'arte-expansion du graphe. En adaptant leur preuve l'aide de la construction de la gure 3.3, on obtient un rsultat quivalent dans le modle orient, qui tient compte de l'arc-expansion du graphe. Soit G = (V A) un graphe orient. Pour tout S V (G), soit m(S ) le nombre d'arcs ayant seulement leur extrmit initiale dans S . L'arc-expansion de G est alors dnie par m(S ) : (G) = 1jmin S jN=2 jS j Dfinition. Ce paramtre a t tudi dans le cas des graphes non-orients par Mohar -Moh89] sous le nom de nombre isoprimtrique. Une dnition lgrement dirente a t considre par Sol dans -Sol95]. Son inverse peut se voir comme un minorant de la charge ncessaire pour router une permutation dans le pire cas. On peut de mme montrer facilement que pour tout graphe G orient d'ordre N , (G):~(G IA) N=2, o+ IA est l'instance de l'change total. Ce paramtre vaut par exemple = N=2 pour le graphe complet d'ordre N et = 2=N pour le 70 chemin de longueur N , et pour ces deux graphes on a l'galit dans la relation prcdente si N est pair. Dans le cas du chemin, il est facile de construire une k-relation comprenant kN=2 requtes devant toutes utiliser le mme arc central. Le nombre de couleurs pour cette instance sera alors gal ~w = kN=2 = k= . Le rsultat suivant montre qu'on peut se trouver dans une situation encore pire, en termes d'arc-expansion. Proposition 3.1.17 ((d'aprs Raghavan et Upfal -RU94])) 4 Pour tout 1 et tout 1 k N , il existe un graphe orient G planaire, de degr born et d'arc-expansion , et une k-relation Ik , tels que ~w(G Ik ) = (k= 2 ) : Preuve. Considrons la pseudo-grille oriente Gn , reprsente pour n = 4 sur la gure 3.3, sur laquelle on gree un chemin orient (symtrique) de longueur n sur chaque si et ti, pour 1 i n. Le graphe orient Hn ainsi obtenu possde une arc-expansion approximativement gale 1=n, pour n grand. Constituons prsent l'instance Ik l'aide de k requtes (sji tji ) pour 1 i j n, o+ sji et tji sont les j -mes sommets des chemins relis respectivement si et ti . Il s'en suit que Ik est une k-relation et que toutes ses requtes entrent en con,it, pour les mmes raisons que prcdemment. Nous avons donc ~w(Hn Ik ) = kn2 = (k= 2). 2 La dernire proposition repose sur l'adaptation au cas orient qui a permis d'obtenir la proposition 3.1.8 et qui ne connat pas d'quivalent dans le cas orient symtrique. La question suivante se pose donc sur le mme plan que la question 3.1.10. Question 3.1.18 4 La proposition 3.1.17 est-elle vrie pour les graphes orients symtriques ? tant donn un problme de routage optique (G I ), nous avons tabli au dbut de ce chapitre que ~w(G I ) L(R)~(G I R) pour tout routage R ralisant l'instance I , o+ L(R) est la longueur maximale des chemins de R. Ainsi, il est intressant de savoir router une instance en minimisant la fois la charge et la longueur des chemins. Ce problme a t trait par Leighton et Rao -LR88] dans le modle non-orient et dans le cadre des rseaux de multi,ot. Le rsultat qui nous intresse concerne les instances de permutation et peut tre transpos au cas orient symtrique, c'est pourquoi nous le formulons sous cette forme. Thorme 3.1.19 (Leighton et Rao -LR88]) 4 Pour tout graphe orient symtrique G de degr born et d'arc-expansion , et pour toute instance de permutation I1 , on peut obtenir en temps polynmial un routage R ralisant I1 tel que ~(G I1 R) = O(log N= ) et L(R) = O(log N= ), o L(R) est la longueur maximale des chemins de R. 71 Malheureusement, aucun rsultat quivalent pour les graphes orients nonsymtriques n'est connu, les problmes de multi,ot tant en gnral plus difciles rsoudre dans ce cas. En utilisant le thorme prcdent, Aumann et Rabani -AR95] ont obtenu une borne suprieure qui dcoule de la remarque cidessus et du fait qu'une k-relation peut tre dcompose en k permutations. Au vu de la proposition 3.1.17, le rsultat suivant constitue une bonne approximation asymptotique du problme de routage optique pour les k-relations dans les cas les pires. Corollaire 3.1.20 (Aumann et Rabani -AR95]) 4 Pour tout graphe orient symtrique G de degr born et d'arc-expansion , et pour toute k-relation Ik , le problme de routage optique (G Ik ) peut tre rsolu en temps polynmial en utilisant O(k log2 N= 2 ) longueurs d'onde. 3.1.3 Diusion et multicast Une instance de diusion dans un graphe G = (V A) est constitue de tous les couples (u0 v) pour un sommet u0 x : IO (u0) = f(u0 v) j v 2 V (G) v 6= u0g. Il s'agit donc de router et colorer N ; 1 requtes de communication. Si le degr sortant de u0 est not d+(u0), au moins jIO(u0)j=d+(u0) chemins doivent ncessairement partager un arc issu de u0, d'o+ ~w(G IO(u0)) ~(G IO (u0)) d dN+(;u10 ) e. Par ailleurs, si G est k-arc-connexe, en utilisant le corollaire 3.1.14 on a ~w(G IO(u0)) d Nk;1 e. Donc, comme il a t montr dans -BGP+96], cela nous donne la valeur exacte de ~w(G IO(u0)) pour la diusion dans un graphe k-arc-connexe partir d'un sommet de degr sortant k. Proposition 3.1.21 (Bermond et al. -BGP+96]) 4 Pour tout graphe orient G k-arc-connexe et pour une instance de diusion IO (u0) partir d'un sommet u0 de degr sortant k, N ; 1 : ~w(G IO(u0)) = ~(G IO(u0)) = k Ce dernier rsultat est intressant car il s'applique pour diuser partir d'un sommet de degr sortant minimum dans les graphes dits d'arc-connexit maximale, pour lesquels l'arc-connexit est justement gale au degr minimum sortant. D'aprs un thorme de Mader -Mad71], les graphes sommet-transitifs font partie de cette famille, et donc galement tous les graphes de Cayley. Une gnralisation de la proposition prcdente a t tablie dans -BHP98] et fait l'objet de l'article en annexe A. Une instance de multicast est un multiensemble de requtes tel que la projection sur la premire coordonne est rduite 72 un sommet unique. Ainsi une instance de diusion est un cas particulier de multicast. Thorme 3.1.22 (Beauquier, Hell et Prennes -BHP98]) 4 Pour tout graphe orient G et toute instance de multicast IM , le problme de routage optique (G IM ) peut tre rsolu de faon optimale en temps polynmial, et de plus, ~w(G IM) = ~(G IM) : 3.1.4 change total Nous rappelons que l'instance de l'change total dans un graphe G est dnie par IA = V (G) V (G). Tous les rsultats de cette section sont accompagns d'algorithmes optimaux rsolvant les problmes en temps polynmial. Notons que la complexit de la dtermination des paramtres ~(G IA) et ~w(G IA) en gnral demeure un problme ouvert. Bermond et al. dans -BGP+96] et indpendamment Wilfong dans -Wil96] ont trait le cas des cycles. Thorme 3.1.23 4 Dans tout cycle orient symtrique CN , ~w(CN IA ) = ~(CN IA) = dbN 2 =4c=2e : Le cas de l'hypercube a t rsolu par Pankaj dans -Pan92] et indpendamment par Bermond et al. dans -BGP+96]. Thorme 3.1.24 4 Dans tout hypercube orient symtrique Hd de dimension d et d'ordre N = 2d, ~w(Hd IA) = ~(Hd IA) = 2d;1 : Les trois rsultats suivants font l'objet de l'article en annexe B. Le premier gnralise le thorme prcdant et a t montr galement en partie dans -Tog98b, Tog98a]. Thorme 3.1.25 (Beauquier -Bea99]) 4 Soient n1 n2 : : : nd des entiers tels que 2 n1 n2 : : : nd. En notant par K (n1 n2 : : : nd) la somme cartsienne des d graphes complets Kn (1 i d) orients symtriques, i ~w(K (n1 n2 : : : nd) IA) = ~(K (n1 n2 : : : nd ) IA) = 73 d Y i=1 ni : Thorme 3.1.26 (Beauquier -Bea99]) 4 Dans toute grille torique carre Cnd de dimension d, de ct n et d'ordre N = nd , ~w(Cnd IA) = ~(Cnd IA ) = nd+1 =8, si n est pair, et sinon, ~(Cnd IA) = (n2 ; 1)nd;1 =8 ~w(Cnd IA) (n + 1)d+1 =8 = ~w(Cnd+1 IA ) Thorme 3.1.27 (Beauquier -Bea99]) 4 Dans toute grille carre Pnd de dimen- sion d, de ct n et d'ordre N = nd , ~w(Pnd IA) = ~(Pnd IA) = nd+1 =4, si n est pair, et sinon, ~(Pnd IA) = (n2 ; 1)nd;1=4 ~w(Pnd IA) (n + 1)d+1=4 = ~w(Pnd+1 IA ) Enn, le cas des arbres de cycles a t considr dans -BPT99] et fait l'objet de l'annexe C. Notons que cette tude traite de graphes munis d'une pondration sur les sommets et d'un change total pondr en consquence. Dfinition. Un arbre de cycles est un graphe form par une union de cycles qui s'intersectent deux--deux en au plus un sommet, et tel que deux sommets quelconques peuvent tre relis par exactement deux chemins arte-disjoints. Thorme 3.1.28 (Beauquier, Prennes et T%th -BPT99]) 4 Dans tout arbre de cycles pondr T , ~w(T IA ) = ~(T IA ). Au vu de ces rsultats varis, une perspective de recherche intressante serait de montrer l'galit entre les paramtres ~w et ~ pour l'change total dans tout graphe orient, moins de trouver un contre-exemple. La question reste ouverte. Question 3.1.29 4 L'galit ~w(G IA) = ~(G IA) est-elle vrie pour l'instance d'change total IA dans tout graphe orient G ? Nous pensons que c'est au moins le cas pour les graphes orients symtriques. Conjecture 3.1.30 4 L'galit ~w(G IA) = ~(G IA) est vrie pour l'instance de l'change total IA dans tout graphe orient symtrique G. L'tude du paramtre (G IA) en non-orient, qui a t introduit initialement (pour la charge des sommets) par Chung et al. dans -CCRS87] sous le nom d'indice de transmission (forwarding index) et qui est souvent reli au cas orient, a donn lieu des rsultats gnraux par Heydemann, Meyer et Sotteau dans -HMS89] et par Heydemann et al. dans -HMOS94]. 74 3.2 Rseaux particuliers Lorsque la topologie du rseau est prdtermine, il est souvent plus facile d'exploiter ses proprits structurelles connues l'avance an de rsoudre ecacement le problme du routage optique. Quand ce problme demeure NP -complet malgr la restriction une certaine classe de rseaux et/ou une certaine famille d'instances de communication, on parvient cependant obtenir de meilleures approximations que dans le cas gnral. Nous considrons en premier lieu le cas des arbres, trs frquemment utiliss dans les rseaux de tlcommunications longue distance, puis nous traiterons certaines familles de graphes plus adapts aux rseaux locaux, de par leur forte connexit. 3.2.1 Arbres Dans notre contexte, un arbre est un graphe orient symtrique fortement connexe et sans circuit. Cela revient dire qu'il existe un seul chemin lmentaire reliant un couple de sommets donns. Par consquent, le problme du routage ne se pose pas dans les arbres : toutes les requtes sont routes par les plus courts chemins. L'exemple le plus simple d'arbre est le chemin. Dans ce cas, la coloration des requtes peut se faire indpendamment pour celles qui vont dans un sens et dans l'autre, et chacun de ces deux sous-problmes devient un problme polynmial bien connu : la coloration des sommets du graphe d'intervalles correspondant. C'est le graphe de con,it constitu d'un sommet par requte et d'une arte entre requtes qui se chevauchent. Une coloration gloutonne dans l'ordre des sources des requtes donne une solution optimale. Ainsi ~w(PN I ) = ~(PN I ) pour toute instance I dans tout chemin orient symtrique PN de longueur N ; 1. Une autre famille d'arbres relativement simple est celle des toiles. Une toile est un arbre ayant un seul sommet de degr suprieur 1. L'toile oriente symtrique d'ordre N 3 est note SN . L'exemple de la gure 2.5 (page 46) montre que l'galit ~w(T I ) = ~(T I ) n'est pas vrie pour tout arbre T et toute instance I . Nous pouvons cependant caractriser les arbres pour lesquels cette galit est satisfaite pour toute instance. Une subdivision d'toile (spider en anglais) est un arbre ayant au plus un sommet de degr suprieur 2. Dfinition. Thorme 3.2.1 4 Soit T un arbre orient symtrique. Les deux assertions suivantes sont quivalentes : 75 (a) T est une subdivision d'toile. (b) Pour toute instance I , ~w(T I ) = ~(T I ). On peut dduire de sa dnition qu'une subdivision d'toile est forme par l'union de chemins qui s'intersectent tous en un mme sommet. Les chemins de longueurs 2 et les toiles sont des subdivisions d'toiles particulires. On a vu que la condition (b) est satisfaite pour les chemins. Montrons qu'elle est aussi vrie pour les toiles. Notons V (SN ) = fu1 u2 : : : uN g l'ensemble des sommets de l'toile SN , de telle manire que tous les sommets sauf u1 soient de degr 1. Soit I une instance de communication dans SN . On peut supposer sans perte de gnralit que le sommet u1 ne fait partie d'aucune requte de I . Dans le cas contraire, les requtes concernant u1 se colorent en dernier facilement et en conservant la proprit dsire. Soit G(I ) = (V1 V2 E ) le (multi)graphe biparti tel que V1 = faig1<iN , V2 = fbj g1<jN , et l'arte ai bj ] 2 E (G) pour toute requte (ui uj ) 2 I . De cette dnition on en dduit que deux artes de G(I ) sont adjacentes si et seulement si les deux requtes correspondantes dans I sont en con,it (voir gure 3.6, avec une notation dirente). Par consquent, trouver une coloration des requtes de I revient trouver une coloration des artes de G(I ), telle que deux artes adjacentes sont colores diremment. Preuve. A a a’ b b’ B c c’ d d’ e e’ E C D Figure 3.6: Couplage biparti et routage optique dans une toile oriente. Pour ce problme, connu galement sous le nom de problme de couplage dans un graphe biparti, il existe le thorme de Knig-Hall (voir -Ber83] par exemple) qui nous dit que dans tout (multi)graphe biparti de degr maximum , on peut 76 trouver une coloration des artes qui utilise couleurs. En remarquant que le degr maximum de G(I ) correspond exactement la charge maximale des arcs de l'toile SN pour l'instance I , on obtient que ~w(SN I ) = ~(SN I ). Pour gnraliser cette proprit aux subdivisions d'toiles, la technique employe repose sur une combinaison des deux mthodes appliques aux toiles et aux chemins respectivement. tant donne une instance dans une subdivision d'toile, on peut colorer les requtes entre les direntes branches par la technique utilise pour les toiles, et les requtes restantes l'intrieur des branches par la technique utilise pour les chemins, de manire conserver l'galit entre le nombre de couleurs utilises et la charge maximale des arcs. L'implication (a))(b) peut tre ainsi dmontre. Pour montrer la contrapose, il sut de montrer que si la condition (a) n'est pas satisfaite, alors la condition (b) non plus. Soit T un arbre possdant au moins deux sommets de degrs 3, nots u et v. Soient u1 et u2 (resp. v1 et v2) deux sommets voisins de u (resp. de v) non situs sur le plus court chemin reliant u et v. Alors l'instance I = f(u1 v) (u v1) (v2 v1) (v2 u2) (u1 u2)g est telle que ~(T I ) = 2 et ~w(T I ) = 3, de la mme faon que sur la gure 2.5, page 46. D'o+ (b))(a). 2 Dans sa gnralit, le problme de routage optique dans les arbres orients symtriques a t montr NP -dur par Erlebach et Jansen -EJ96] et par Kumar et al. -KPRS97], mme si la charge de l'instance vaut 3. Il le demeure pour les arbres binaires -EJ97, KPRS97] et pour les arbres de profondeur 2 -KPRS97], sans restriction sur la charge. Il devient cependant polynmial pour les arbres de taille borne -KPRS97]. Dirents travaux ont tent d'approximer ce problme dicile. Nous commenons par prsenter les rsultats obtenus dans le modle non-orient. Dans ce cas, la coloration des chemins correspond la coloration des graphes EPT (pour Edge intersection graphs of Paths in a Tree, en anglais) tudis par Golumbic et Jamison dans -GJ85a, GJ85b], qui ont montr notamment que leur reconnaissance et leur coloration sont NP -diciles. En fait, ils ont montr que le problme de coloration est dj NP -dur dans les toiles, par rduction du problme de la coloration des artes d'un multigraphe, de la manire suivante. Notons V (SN ) = fu1 u2 : : : uN g l'ensemble des sommets de l'toile SN centre en u1. Soit I une instance dans SN et soit G(I ) = (V (SN ) E (I )) le multigraphe tel que l'arte ui uj ] 2 E (I ) pour toute requte (ui uj ) 2 I . De cette dnition on en dduit que deux artes de G(I ) sont adjacentes si et seulement si les deux requtes correspondantes dans I sont en con,it (voir gure 3.7, avec une notation dirente). Par consquent, trouver une coloration des requtes 77 de I revient trouver une coloration des artes de G(I ), telle que deux artes adjacentes sont colores diremment. A A B E C B D E C D Figure 3.7: Arte-coloration d'un multigraphe et routage optique dans une toile non-oriente. Comme Tarjan prcdemment dans -Tar85], Raghavan et Upfal -RU94] ont montr que w(T I ) 3(T I )=2 pour toute instance dans tout arbre. Ce rsultat s'appuie sur le thorme de Shannon -Sha49] qui permet de colorer les artes d'un multigraphe de degr maximum l'aide de 3=2 couleurs (voir par exemple -FW77] pour une prsentation de l'algorithme). Il a t observ dans -MKR95] que ce facteur d'approximation 3=2 peut tre amlior asymptotiquement en 9=8 gr'ce l'algorithme de coloration des artes de Goldberg -Gol84a, Gol84b]. De mme, en utilisant un thorme d'approximation de Nishizeki et Kashiwagi -NK90], Erlebach et Jansen ont donn dans -EJ96] un algorithme ayant pour facteur d'approximation 1:1 asymptotiquement et 4=3 dans l'absolu. D'aprs -Hol81], il est NP -dur de dcider si les artes d'un graphe de degr 3 sont colorables avec 3 ou 4 couleurs. Le facteur 4=3 d'approximation absolue est donc le meilleur possible. Thorme 3.2.2 (Erlebach et Jansen -EJ96]) 4 Pour tout arbre non-orient T et pour toute instance I , le problme de routage optique (T I ) peut tre rsolu en temps polynmial en utilisant w(T I ) couleurs si w(T I ) 2 et au plus b1:1w(T I ) + 0:8c couleurs sinon. Remarque. Dans le modle non-orient, il est dicile de colorer un ensemble de chemins qui partagent un sommet, puisque cela revient colorer les artes d'un 78 multigraphe. En revanche, il est ais de combiner de telles colorations locales pour obtenir une coloration globale de tous les chemins considrs, sans augmenter le nombre de couleurs utilises. Inversement, dans le modle orient, il est facile de colorer des chemins qui partagent un sommet, puisque cela revient colorer les artes d'un graphe biparti, mais il est dicile de combiner plusieurs colorations locales optimales pour former une coloration globale optimale. Mihail, Kaklamanis et Rao -MKR95] ont t les premiers considrer le cas orient pour les rseaux optiques. Contrairement aux graphes EPT, les graphes de con,it de chemins dans les arbres orients symtriques n'avaient pas retenu l'attention auparavant. Leur rsultat sur les arbres est une borne de 15~(T I )=8 pour ~w(T I ), obtenue en rduisant le problme d'allocation des longueurs d'onde un cas particulier de coloration des artes d'un graphe biparti, comme il a t montr prcdemment pour les toiles. En utilisant la mme technique gnrale, le facteur 15=8 a pu tre amlior en 7=4 par Kaklamanis et Persiano dans -KP96] (et indpendamment par Kumar et Schwabe dans -KS97]), puis en 5=3 par Erlebach et al. dans -EJKP97, EJK+99]. Thorme 3.2.3 (Erlebach et al. -EJKP97, EJK+99]) 4 Pour tout arbre orient symtrique T et pour toute instance I , le problme de routage optique (T I ) peut tre rsolu en temps polynmial en utilisant d5~(T I )=3e longueurs d'onde. L'algorithme permettant d'atteindre ce rsultat prsente en outre l'avantage d'tre glouton. Il procde par phases en parcourant les sommets de l'arbre en profondeur et en colorant pour chacun d'eux tous les chemins qui le contiennent et qui n'ont pas t pralablement colors. Cette procdure est rduite un problme contraint de coloration des artes d'un graphe biparti, d'o+ est issu le rsultat. Un tel algorithme ne ncessite pas de contrle global, dans le sens o+ chaque sommet dcide localement, son tour, quelles couleurs il attribue aux requtes qui le concernent et qui ne sont pas dj colores. Notons que des algorithmes plus simples ont t fournis pour les arbres binaires dans -CKP97] et -Jan97], permettant de colorer toute instance I l'aide d'au plus b5~(T I )=3c couleurs, ce qui prsente une trs lgre amlioration par rapport au cas gnral. Il est donn de plus dans -Jan97] une construction non triviale dans un arbre binaire, pour laquelle ~ = 3 et ~w = 5. L'importance du thorme 3.2.3 est souligne par la proprite, montre galement dans -CKP97, Jan97, EJKP97, EJK+99], qu'aucun algorithme glouton de ce type ne peut procurer de meilleure approximation par rapport la charge : Proposition 3.2.4 (Erlebach et al. -EJKP97, EJK+99]) 4 Pour tout > 1, tout > 0 et tout algorithme glouton A, il existe un arbre orient symtrique T (binaire) et une instance I , tels que ~(T I ) = et A rsoud le problme (T I ) en utilisant au moins (5=3 ; ) longueurs d'onde. 79 Par ailleurs, comme dans le modle non-orient, en se basant sur la NP dicult de la coloration des artes d'un multigraphe de degr 3 -Hol81] et par une rduction de ce problme, Erlebach a montr dans sa thse -Erl98] qu'on ne peut esprer obtenir un algorithme polynmial d'approximation infrieure 4=3 : Thorme 3.2.5 (Erlebach -Erl98]) 4 Dcider si ~w(T I ) = 3 pour une instance I dans un arbre T orient symtrique est NP -complet. Par consquent, il n'existe pas d'algorithme polynmial pour le problme de routage optique ayant un facteur d'approximation infrieur 4=3, moins que P = NP . Toujours pour apprcier le facteur d'approximation 5=3 du thorme 3.2.3, on peut exhiber des problmes de routage optique dans des arbres ayant une charge arbitrairement grande et tels que le rapport ~w=~ vaut 5=4. La construction de tels exemples est base sur l'exemple (T I ) de la gure 2.5, page 46. En notant I n l'instance forme par n copies de I , pour tout n 2, le problme (T I n) revient multi-colorer les sommets d'un pentagone. D'aprs un rsultat montr dans -HR82], nous en dduisons la proposition suivante, donne dans -BBG+97] et galement par Kumar et Schwabe dans -KS97] : Proposition 3.2.6 4 Pour tout entier il existe un problme (T I ) dans un arbre orient symtrique T , tel que ~(T I ) et ~w(T I ) 5~(T I )=4 : Conjecture 3.2.7 4 La constante 5=4 de la proposition 3.2.6 est ne. Le problme de l'change total dans les arbres orients symtriques a t rsolu par Gargano, Hell et Prennes -GHP97], par un algorithme polynmial permettant de colorer toutes les requtes de l'instance IA l'aide de ~(T IA) couleurs. En fait, le rsultat a t dmontr pour les arbres pondrs, pour lesquels les sommets ont des poids entiers et l'instance IA comporte pour chaque couple de sommets autant de copies de la requte correspondante que le produit de leurs poids respectifs. La dmonstration est inductive et repose sur le fait que tout arbre peut tre obtenu partir d'une toile pondre, de mme poids total et de mme charge maximale pour l'change total, l'aide de deux oprations sur les feuilles qui sont : 1) l'ajout d'une nouvelle feuille sur une ancienne, et 2) la division d'une feuille en deux feuilles. Ces deux oprations sur les feuilles d'un arbre pondr maintiennent constant le poids total des sommets en jeu ainsi que la charge maximale des arcs pour l'change total. Pour chacune d'elles, une modication adquate de la coloration des requtes est fournie, notamment l'aide du thorme de Knig-Hall pour l'opration de division. 80 Thorme 3.2.8 (Gargano, Hell et Prennes -GHP97]) 4 Pour tout arbre orient symtrique T et pour l'instance d'change total IA , le problme de routage optique (T IA) peut tre rsolu de faon optimale en temps polynmial et ~w(T IA) = ~(T IA) : Dans le modle non-orient, ce dernier rsultat n'est pas vri en ce qui concerne l'galit entre ~w et ~. En eet, pour la subdivision d'toile S ayant trois branches de longueur 2 chacune, et donc 7 sommets au total, nous avons une charge (S IA) = 2:(2:5) = 20, atteinte sur les artes intrieures, or au moins 24 couleurs sont ncessaires pour colorer les 3 groupes de 8 requtes entre les branches distinctes, qui entrent en con,it deux deux. Cependant, il n'a pas t dmontr notre connaissance que ce problme ne pouvait pas tre rsolu ecacement, aussi nous formulons la question. Question 3.2.9 4 Pour tout arbre non-orient T et pour l'instance d'change total IA, le problme de routage optique (T IA) peut-il tre rsolu de faon optimale en temps polynmial ? 3.2.2 Cycles Dans notre contexte, sauf prcis explicitement, un cycle est un graphe orient symtrique, qui peut se dnir comme tant fortement connexe et 2-rgulier. Contrairement au cas des arbres o+ le problme de routage ne se pose pas, il intervient dans les cycles sous la forme de choix binaires : pour router chaque requte par un chemin, il faut dcider quelle orientation du cycle utiliser. tant donn un routage pour raliser une instance de communication, le problme de la coloration de ses chemins est alors quivalent au problme bien connu de la coloration des sommets des graphes arc-circulaires, montr NP -complet dans -GJMP80]. Au vu de la libert supplmentaire accorde par le choix du routage, il n'est pas immdiat que le problme de routage optique dans les cycles soit galement NP -dicile. Erlebach et Jansen l'ont cependant dmontr dans -EJ96], aussi bien dans le modle orient que dans le modle non-orient, par une rduction du problme de la coloration des graphes arc-circulaires. Une preuve plus simple de NP -complexit pour le cas orient symtrique pourra toutefois tre trouve dans la version journal de -WW98]. Un algorithme d'approximation de facteur 2 pour le routage optique peut tre obtenu facilement dans les cycles, comme il a t remarqu prcdemment dans -RU94] pour le cas non-orient et dans -MKR95] pour le cas orient. Il sut de router toutes les requtes par des chemins qui n'utilisent pas un lien 81 particulier du cycle (une paire d'arcs symtriques ou une arte). De cette faon, la charge obtenue sur les liens du cycle est au plus double de la charge optimale pour l'instance considre. Le graphe de con,it des chemins rsultants est alors un graphe d'intervalles, qui se colore en temps polynmial avec autant de couleurs que la charge du routage. La charge optimale minorant le nombre de couleurs optimal, le facteur d'approximation est bien de 2. ce jour, il n'est malheureusement pas connu d'algorithme dterministe qui possde un meilleur facteur d'approximation, ce qui peut paratre surprenant. Cependant, Kumar a rcemment prsent dans -Kum98] un algorithme randomis d'approximation asymptotique 1 + 1=e ' 1:37, avec forte probabilit, sous l'hypothse log jI j = o(~(G I )). Un rsultat complmentaire est fourni dans -Che99]. En ce qui concerne le problme de routage, Wilfong et Winkler dans -WW98] ont rcemment donn un algorithme polynmial pour router toute instance I dans un cycle orient symtrique C avec une charge maximale ~(C I ). Leur mthode consiste utiliser une relaxation du programme linaire entier correspondant et une technique d'arrondi qui prserve l'optimalit entire de la solution. Thorme 3.2.10 (Wilfong et Winkler -WW98]) 4 Pour tout cycle C orient symtrique et toute instance I , on peut trouver en temps polynmial un routage R ralisant I tel que ~ (C I R) = ~(C I ). Le rsultat quivalent dans le modle non-orient avait dj t dmontr par Frank et al. dans -Fra85, FNS+92], partir d'un rsultat de Okamura et Seymour -OS81]. Thorme 3.2.11 (Frank et al. -FNS+92]) 4 Pour tout cycle non-orient C et pour toute instance I , on peut trouver en temps linaire un routage R pour I tel que (C I R) = (C I ). Le facteur d'approximation dterministe de 2 mentionn ci-dessus rsulte d'une coloration l'aide d'un nombre de couleurs au plus double de la charge (on peut mme conomiser une couleur facilement, voir -Tuc75]). Il s'avre qu'on ne peut mieux faire par rapport la charge, comme le montre l'exemple donn la page 66, pour lequel ~w(C I ) = 2~(C I ) ; 1. Aussi les deux thormes prcdents ne permettent pas d'envisager une meilleure approximation dans le cas gnral. En revanche, tant donn un routage dans un cycle, on peut approximer la coloration de ses chemins par un facteur 3=2. En eet, un rsultat trs peu connu de Karapetyan -Kar80] permet de colorer les sommets d'un graphe arccirculaire avec b3'=2c couleurs, o+ ' reprsente la taille maximale d'une clique. 82 Le meilleur algorithme prcdemment connu (bien qu'antrieur!) tait celui de Shih et Hsu -SH90] orant un facteur d'approximation gal 5=3. Thorme 3.2.12 (Karapetyan -Kar80]) 4 On peut colorer en temps polynmial toute famille F d'arcs sur un cercle en utilisant b 23 '(F )c couleurs. Il serait donc souhaitable d'obtenir un algorithme de routage qui minimise la taille de la clique maximale engendre dans le graphe de con,it des chemins, an de tirer prot de ce rsultat. Enn, notons que dans le cas o+ un routage donn est propre, c'est--dire si aucun chemin n'est contenu dans un autre, Orlin, Bonuccelli et Bovet ont donn un algorithme optimal pour sa coloration -OBB81]. 3.2.3 Grilles Kramer et van Leeuwen ont donn dans -KvL84] une preuve de NP -compltude pour un problme de routage intervenant dans le contexte de la thorie VLSI. Elle permet d'en dduire l'aide de lgres modications que le mme rsultat pour le problme du routage disjoint maximum dans les grilles bidimensionnelles orientes symtriques ou non-orientes. Par consquent, sont galement NP diciles les problmes du routage optique et du routage dans ces topologies, et il n'existe aucun algorithme d'approximation ayant un facteur infrieur 2, moins que P = NP . Le modle non-orient a t tudi essentiellement. Pour toute grille G de dimension borne et d'ordre N , et pour toute instance I , Aumann et Rabani ont donn dans -AR95] un algorithme d'approximation pour rsoudre le problme du routage optique (G I ) l'aide de O(log N log jI jw(G I )) couleurs. La technique utilise repose sur l'utilisation d'une routine pour le problme du routage disjoint maximum, ayant un facteur d'approximation en O(log N ). Kleinberg et Tardos ont amlior cette routine dans -KT95] pour une classe de graphes incluant les grilles bidimensionnelles, en obtenant une approximation constante, ce qui mne une approximation en O(log N ) pour le routage optique. La dernire amlioration, toujours pour une dimension de 2, a t apporte par Rabani : Thorme 3.2.13 (Rabani -Rab96]) 4 Pour toute grille carre non-oriente Pnd d'ordre N = nd et pour tout instance I , le problme de routage optique (Pnd I ) peut tre rsolu en temps polynmial et en utilisant poly(log log N ):w(Pnd I ) longueurs d'onde, o poly dsigne un polynme. De plus, w(Pnd I ) peut tre calcul un facteur constant prs. 83 84 Bibliographie -ABNC+ 94] A. Aggarwal, A. Bar-Noy, D. Coppersmith, R. Ramaswami, B. Schieber, and M. Sudan. Ecient routing and scheduling algorithms for optical networks. In Proc. of the 5th Annual ACMSIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA'94), pages 412$ 423. ACM Press, January 1994. -ABNC+ 96] A. Aggarwal, A. Bar-Noy, D. Coppersmith, R. Ramaswami, B. Schieber, and M. Sudan. Ecient routing in optical networks. Journal of the ACM, 46(6):973$1001, November 1996. -AR95] Y. Aumann and Y. Rabani. Improved bounds for all optical routing. In Proc. of the 6th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA'95), pages 567$576. ACM Press, January 1995. -BBG+97] B. Beauquier, J-C. Bermond, L. Gargano, P. Hell, S. Prennes, and U. Vaccaro. Graph problems arising from wavelength-routing in alloptical networks. In Proc. of IPPS'97, 2nd Workshop on Optics and Computer Science (WOCS'97), Genve, April 1997. 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Dans le deuxime chapitre, nous avons pos la problmatique tudie au cours de la thse et dcrit formellement le modle et les problmes qui ont servi de base nos recherches. Nous avons ensuite fourni dans le troisime chapitre une synthse des rsultats obtenus dans la littrature concernant le problme du routage optique et ses relations avec le problme de la charge. Les rsultats que nous avons obtenus sont dtaills dans les annexes qui suivent, sous la forme d'articles en anglais et dans le format des rapports de recherche. Un grand nombre de perspectives de recherches semblent prometteuses. Nous avons montr au dbut du troisime chapitre pourquoi le problme de routage optique n'est pas approximable dans sa gnralit dans le cas des graphes orients. Cependant, aucun rsultat de ce type n'est connu dans le cas orient symtrique. De plus, la question reste ouverte de savoir dans quelle mesure le rapport ~w=~ (entre le nombre de longueurs d'onde et la charge ncessaires) peut tre lev, ne serait-ce que suprieur 2. De manire gnrale, il serait intressant de chercher amliorer les facteurs d'approximation des algorithmes fournis dans la littrature. En particulier, le facteur de 5=3, valable pour toute instance du problme de routage optique dans les arbres orients symtriques, est issu d'un algorithme local et glouton. La question de savoir si un algorithme centralis peut atteindre une meilleure approximation mrite d'tre aborde. Plusieurs de nos rsultats prsents dans les annexes confortent notre sentiment que l'galit ~w(G IA) = ~(G IA) est vrie dans tout graphe orient symtrique G pour l'instance IA de l'change total. moins de trouver un contreexemple qui contredirait notre conjecture, il serait souhaitable de parvenir montrer cette proprit dans le cas gnral. 91 Notre modlisation thorique tend simplier la structure relle des rseaux de communication optiques et les objectifs d'optimisation, tout en conservant les caractristiques essentielles des problmes rencontrs en pratique. Des gnralisations vers des modles plus larges seraient souhaitables. En particulier, nous pourrions considrer des rseaux tout-optiques possdant des capacits limites de conversion et des ensembles de longueurs d'onde disponibles dirents selon les liens. De plus, nous pourrions chercher optimiser des fonctions de cot sur les routages optiques qui prennent en compte la complexit des n&uds de commutation ncessaires pour les raliser. Ainsi, dans le cadre du projet Porto du RNRT, nouvellement contract avec Alcatel (Corporate Research Center) et France Telecom (CNET), le domaine de la conception et du dimensionnement des rseaux optiques de tlcommunications, qui vise minimiser le cot global des quipements mis en place pour assurer une certaine matrice de trac, nous apparat comme le plus propice valider pratiquement les comptences que nous avons acquises par l'tude des communications tout-optiques multiplexes en longueur d'onde. De plus, cette tude comporte de nouveaux aspects pratiques intressants formaliser, comme ceux issus des direntes politiques de scurisation (protections, restaurations) des rseaux de transport, destines garantir l'acheminement du trac malgr d'ventuelles pannes de n&uds ou de liens. Nous avons considr dans cette thse des problmes relativement rguliers, sous une approche statique et centralise. Il serait intressant de prolonger ces travaux dans une perspective dynamique et/ou distribue. Nous souhaiterions de mme faire voluer nos recherches vers l'analyse de topologies et d'instances de communication irrgulires. Ceci implique de se familiariser avec de nouvelles mthodes de rsolution, telles que la programmation linaire en nombres entiers ou l'algorithmique randomise, an de les associer avec les techniques plus classiques que nous avons utilises jusqu'ici. 92 Annexes 93 ANNEXE A Optimal wavelengthrouted multicasting 95 96 Optimal Wavelength–Routed Multicasting Bruno Beauquier* , Pavol Hell** , Stéphane Pérennes* Thème 1 — Réseaux et systèmes Projet SLOOP Octobre 1997 Abstract: Motivated by wavelength division multiplexing in all-optical networks, we consider the problem of finding a set of paths from a fixed source to a multiset of destinations, which can be coloured by the fewest number of colours so that paths of the same colour do not share an arc. We prove that this minimum number of colours is equal to the maximum number of paths that share one arc, minimized over all sets of paths from the source to the destinations. We do this by modeling the problems as network flows in two different networks and relating the structure of their minimum cuts. The problem can be efficiently solved (paths found and coloured) using network flow techniques. Key-words: All–optical networks, WDM routing, multicast, graphs, flows. (Résumé : tsvp) Submitted to Discrete Applied Mathematics. * SLOOP is a joint project with the CNRS and the University of Nice-Sophia Antipolis (I3S laboratory). This work has been partially supported by the French GDR/PRC Project PRS, by the Galileo Project. Emails : {beauquier, speren}@sophia.inria.fr ** Simon Fraser University, School of Computing Science, Burnaby, B.C., V5A 1S6, Canada. Email : [email protected] Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France) Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65 Algorithme optimal de multicast tout-optique Résumé : Ce rapport est motivé par l’étude du routage par multiplexage en longueur d’onde (en anglais Wavelength Division Multiplexing : WDM) dans les réseaux tout–optiques. Nous considérons le problème du multicast dans lequel un processeur fixé désire communiquer simultanément avec un certain nombre d’autres processeurs. Il s’agit de trouver dans le graphe associé des chemins reliant la source du multicast aux destinations et de colorer ces chemins, de manière à ce qu’aucun lien du réseau ne soit traversé par deux chemins de la même couleur. Nous résolvons ce problème en utilisant des techniques de flots. Il en découle un algorithme polynomial pour calculer une solution optimale. Mots-clé : Réseaux tout–optiques, multicast, graphes, routage, flots. Optimal Wavelength–Routed Multicasting 1 1 Motivation and Definitions Optics is emerging as a key technology in communication networks, promising very high speed local or wide area networks of the future. A single optical wavelength supports rates of gigabits per second, which in turn support multiple channels of voice, data and video [4, 5]. Multiple laser beams that are propagated over the same fiber on distinct optical wavelengths can increase this capacity even further. This is achieved through Wavelength Division Multiplexing (or WDM) [2], by partitioning the optical bandwidth into several channels and allowing the transmission of multiple data streams concurrently along the same optical fiber. All–optical (or single–hop [6]) communication networks provide all source-destination pairs with end-to-end transparent channels that are identified through a wavelength and a physical path. Wavelengths being a limited resource, solutions to the problem of efficient routing and wavelengths allocation are of importance for the future development of optical technology. The problem we consider here is motivated by switched networks with reconfigurable wavelength selective optical switches, without wavelength converters, where different signals may travel on the same communication link (but on different wavelengths) into a node, and then exit from it on different links, keeping their original wavelengths. See the recent survey [1] for an account of the theoretical problems and results obtained for this all–optical model. We use the standard terminology of digraphs and flow networks [3]. A dipath (’directed path’) in digraph G = (V A) is a sequence of nodes P = (v 1 v2 : : : vk ), k 1, such that (vi vi+1 ) 2 A for 1 i k ; 1. For any sets S and S 0 in a digraph, we denote by m(S S 0 ) the number of arcs beginning in S and ending in S 0 . In a flow network [3], we denote by c(u v ) the capacity of the arc (u v), and by c(S S) the capacity of the cut (S S). We are now ready to formulate our problems. Let G be a digraph. A request in G is an ordered pair of nodes (x y ) (corresponding to a message to be sent from x to y ). An instance I in G is a collection (multiset) of requests (a request (x y ) may appear more than once). A routing R of an instance I is a collection of dipaths R = fP (x y ) j (x y ) 2 I g, where P (x y ) is a dipath from x to y . Let G be a digraph and I an instance in G. For each routing R of I , we denote by ~w(G I R) the minimum number of wavelengths (’colours’) that can be assigned to the dipaths in R, so that no two dipaths of the same wavelength share an arc. The WDM problem (G I ) asks for a routing R of I which minimizes ~w(G I R). We denote by ~w(G I ) this minimum of ~w(G I R) over all routings R for I . Let again G be a digraph and I an instance. For each routing R of I , the load of an arc 2 A in the routing R, denoted by ~ (G I R ), is the number of dipaths of R containing . The load of a routing R, denoted by ~ (G I R), is the maximum of ~ (G I R ) over all arcs 2 A. The congestion problem (G I ) asks for a routing R of I which minimizes its load. We denote by ~ (G I ) this minimum of ~ (G I R) over all routings R for I . 99 2 B. Beauquier, P. Hell, S. Pérennes The relevance of the parameter ~ to our problem is shown by the following lemma: Lemma 1 ~w(G I ) ~(G I ) for any instance I in any digraph G. Proof. Indeed, to solve a given WDM problem (G I ) one has to use a number of wavelengths at least equal to the maximum number of dipaths having to share an arc. 2 In this paper, we are interested in a special case of instances where the collection of requests has the form f(x y ) j y 2 Y g for a fixed node x 2 V , called the originator, and a multiset Y of nodes in V . Such an instance is called a multicast (or a one–to–many) instance. The particular instance where Y is the set V , is called a broadcast. 2 Multicasting and Network Flows In the case of multicasting, we can model both of the above problems (the WDM problem as well as the congestion problem) by network flows. Consider a digraph G = (V A) with a multicast instance I = f(x y) j y 2 Y g, with originator x. In what follows we assume that Y is a set, i.e., that each node y appears at most once in Y . Indeed, if Y is a general multiset, we can transform the problem by adding to each destination y which appears in Y (y ) times, a set of (y ) ; 1 vertices of degree one, adjacent to y , each (as well as y ) having multiplicity one. We begin by modeling the congestion problem (G I ) (cf. Figure 1 (b)). Let s t be two new vertices that will play the roles of source and sink. For every positive integer p, we define the S network Fp to have the vertex set V fs tg, the arc set f(s x)g A ( y2Y f(y t)g), and the capacities c(s x) = 1, c(u v ) = p for all (u v ) 2 A, and c(y t) = 1 for all y 2 Y . Proposition 2 ~(G I ) p if and only if F p has a flow of value jY j. 2 Proof. From the definitions. For future reference we also consider the capacities of cuts in the network F p . Suppose S is a subset of V and S = V n S . This gives rise to the cut (S fsg S ftg) in Fp . The capacity of this cut is infinite when x 2 S; otherwise it is jS \ Y j + p m(S S). According to the above proposition, ~ (G I ) is the smallest integer p such that F p admits a flow of value jY j. Combining this with the max-flow min-cut theorem of [3] we obtain jS \ Y j + ~(G I ):m(S S) jY j, for any S V: (1) Next we discuss the network flow model for the WDM problem (G I ) (cf. Figure 1 (c)). Let be a positive integer. For 1 i , let G i = (Vi Ai ) be a copy of G = (V A), and let Y 0 be a copy of Y . For each v 2 V , let v i be the copy of v in V i , and for each y 2 Y , let y 0 the copy of y in Y0 . Let s t be two new verticesSwhich will be the source and sink. We define the network F 0 S S to have the vertex set V = fs tg ( i=1 Vi ) Y0 , the arc set A = i=1 f(s xi )g ( i=1 Ai ) S S S ( y2Y i=1 f(yi y0 )g) ( y2Y f(y0 t)g), and except for the arcs (s x i ) (1 i ) of infinite capacity, all other arcs having capacity one. 100 Optimal Wavelength–Routed Multicasting 3 Proposition 3 ~w(G I ) if and only if F 0 has a flow of value jY j. Proof. Suppose first that G admits dipaths from x to each y 2 Y , which can be coloured by integers from f1 : : : g in such a way that no two dipaths sharing the same arc have the same color. Define the values f 0 (ui vi ) = 1, for each arc (u v ) 2 A which belongs to a dipath of color i (1 i ). These values can be extended in a natural way to a flow f 0 of value jY j in F0 . Conversely, assume that there exists a flow f 0 of value jY j in F0 . By construction of F 0 , this implies that there is for each node y 2 Y 0 an incoming arc with flow one. Hence for each y 2 Y 0 there is exactly one i such that the node y i has an incoming arc with flow one in G i . In that Gi there must be a dipath from x i to yi consisting of arcs all having flow one, and we can assign the corresponding dipath in G the color i. Thereby are defined dipaths in G from x to each y 2 Y , which are coloured by colours as required. 2 Theorem 4 Let G be a digraph and I a multicast instance in G. Then ~w(G I ) optimal solution to the WDM problem (G I ) can be found in polynomial time. = ~ (G I ), and an Proof. In view of lemma 1 and the above proposition, it will suffice to show that the network F 0 , with = ~ (G I ), has a flow of value jY j. We shall do this by showing that every cut has capacity at least jY j, cf. [3]. Consider a cut (S fsg S ftg) in F0 , and let Si = S \ Vi and Si = S \ Vi , for 1 i , and let S0 = S \ Y0 and S0 = S \ Y0 . Clearly, we may assume that each x i 2 Si 1 i , otherwise the capacity of the cut will be infinite. Then the capacity is c(S fsg S ftg) = X i1 m(Si Si ) + X i1 m(Si S0 ) + jS0 j y 2 Y , let S = fyi j i 1 yi 2PS g. If Yi denotesPthe copy of Y in V i , then P y i1 jSi \ Yi j = y2Y0 jSy j. Note also that i1 m(Si S0 ) = y2Y0 m(Sy S0 ), and that m (S S ) is 0 if y 2 S0 , and is jSP y j if y 2 S0 . For every y 2 Y , we have jS y j , and hence P y 0 1 y2S0 jSy j jS0 j, i.e., jS0 j y2S0 jSy j. Summarizing, we obtain: For each P c(S fsg S ftg) X i1 X i1 X i1 m(Si Si ) + X y2S0 m(Si Si ) + 1 jSy j + 1 X y2Y0 X y2S0 jSy j jSy j m(Si Si ) + 1 jSi \ Yi j Recall that we set = ~ (G I ). By the inequality (1), we have jS i \ Yi j + :m(Si Si ) jY j for each i 1, and thus c(S fsg S ftg) jY j. Our proof implies, in an obvious way, a flow-based algorithm to compute ~w(G I ) (and solve the WDM problem (G I )) in polynomial time, for any multicast instance I in any digraph G. (Of 2 course, the same applies to ~ (G I ) and the congestion problem.) 101 4 B. Beauquier, P. Hell, S. Pérennes y (a) y1 v v1 x (c) z s x y (p) v (p) (p) z t v0 y2 z0 v2 1) ( (p) y0 z1 w1 s (p) (p) 1) ( 1) ( w (b) x1 x2 z2 t w0 (p) w w2 Figure 1: (a) A digraph G with originator x and where Y = fv w y z g. (b) The network F p . (c) The network F 20 . All capacities not marked are equal to one. All arc orientations are omitted. References [1] B. Beauquier, J-C. Bermond, L. Gargano, P. Hell, S. Pérennes, and U. Vaccaro. Graph problems arising from wavelength–routing in all–optical networks. In Proc. of 2 nd Workshop on Optics and Computer Science, Geneva, April 1997. [2] N. K. Cheung, K. Nosu, and G. Winzer. Special issue on dense WDM networks. Journal on Selected Areas in Communications, 8, 1990. [3] L. R. Ford and D. R. Fulkerson. Flows in Networks. Princeton University Press, 1962. [4] P. E. Green. Fiber–Optic Communication Networks. Prentice–Hall, 1993. [5] D. Minoli. Telecommunications Technology Handbook. Artech House, 1991. [6] B. Mukherjee. WDM-based local lightwave networks, Part 1: Single-hop systems. IEEE Network Magazine, 6(3):12–27, May 1992. 102 ANNEXE B All-to-all communication in some wavelengthrouted alloptical networks 103 104 AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks Bruno Beauquier* Th me 1 Rseaux et syst mes Projet Sloop Juillet 1998 Abstract: This paper studies the problem of AlltoAll Communication for optical networks. In such networks the vast bandwidth available is utilized through wavelength division multiplexing (WDM) : a single physical optical link can carry several logical signals, provided that they are transmitted on dierent wavelengths. In this paper we consider alloptical (or singlehop) networks, where the information, once transmitted as light, reaches its destination without being converted to electronic form in between, thus reaching high data transmission rates. In this model, we give optimal alltoall protocols, using minimum numbers of wavelengths, for particular networks of practical interest, namely the d-dimensional square tori with even side, the corresponding meshes and the Cartesian sums of complete graphs. Key-words: Optical networks, WDM, routing, all-to-all. (Rsum : tsvp) To appear in NETWORKS: An International Journal (Wiley-Interscience). * SLOOP, joint project I3S-CNRS/UNSA/INRIA. Work partially supported by the French GDR/PRC Project PRS and by Galileo Project. Email : [email protected] Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France) Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65 Routage tout-optique pour l'change complet dans des rseaux WDM Rsum : Ce rapport tudie le probl me raliser simultanment toutes les communications possibles dans certaines classes de rseaux optiques. Dans ces rseaux, la forte bande passante disponible est utilise par la technique du multiplexage en longueur d'onde (en anglais, Wavelength Division Multiplexing : WDM) : un seul lien physique en bre optique peut transporter plusieurs signaux logiques, du moment qu'ils sont transmis des longueurs d'onde direntes. Sont considrs ici des rseaux tout-optiques, o l'information, une fois convertie en lumi re, atteint sa destination sans reconversion lectronique intermdiaire. Cela permet des taux de transmission de donnes plus levs. Pour ce mod le de rseaux optiques, nous donnons des protocoles de communication pour raliser toutes les connexions possibles en mme temps. Les topologies tudies sont celles des tores et des grilles multidimensionnelles carres, et des produits cartsiens de graphes complets. La plupart des rsultats fournis sont optimaux quant au nombre de longueurs d'onde utilises. Mots-cl : Rseaux optiques, multiplexage en longueur d'onde, WDM, routage. AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks 1 Introduction 1 Motivation. Optics is emerging as a key technology in communication networks, promising very high speed local or wide area networks in the future. A single optical wavelength supports rates of gigabits-per-second (which in turn support multiple channels of voice, data and video 11, 14]). Multiple laser beams that are propagated over the same ber on distinct optical wavelengths can increase this capacity much further. This is achieved through WDM (Wavelength Division Multiplexing) 6], by partitioning the optical bandwidth into a large numbers of channels whose rates match those of the electronic transmission. This allows multiple data streams to be transferred concurrently along the same optical ber. Alloptical (or singlehop 15]) communication networks provide all source-destination pairs with end-to-end transparent channels that are identied through a wavelength and a physical path. Maintaining the signal in optical form allows the elimination of the electronic bottleneck of networks with electronic switching. It is worth pointing out the severe limitations that current optical technologies impose on the amount of available wavelengths per ber. Therefore, solutions to the problem of ecient routing and wavelengths allocation have importance for the future development of the optical technology. The Optical Model. In general, a WDM optical network consists of routing nodes interconnected by pointtopoint ber-optic links, which can support a certain number of wavelengths. Two optical signals on the same wavelength incoming on two input ports must be routed to dierent output ports, otherwise it is not possible to distinguish them later. In this paper we consider switched networks with recongurable wavelength selective optical switches, without wavelength converters, which can be based on acoustooptic lters, as done in 1, 2, 18]. In this kind of networks, signals for dierent requests may travel on the same communication link into a node (on dierent wavelengths) and then exit along dierent links, keeping their original wavelength. The only constraint on the solution is that no two paths in the network sharing the same optical link have the same wavelength assignment. See the recent survey 3] for an account of the theoretical results obtained for this alloptical model. Some authors considered topologies with single undirected ber links carrying undirected paths 1, 2, 16, 18]. However, it has since become apparent that optical ampliers placed on the ber will be directed devices. In this paper, each link is bidirectional and actually consists of a pair of unidirectional links. Hence we model the underlying ber network as a symmetric directed graph G = (V (G) A(G)), where each arc represents a pointtopoint unidirectional ber-optic link. A solution consists of settings for the switches in the network, and an assignment of wavelengths to the requests, so that there is a directed path (dipath) between the nodes of each request, and that no arc will carry two dierent signals on the same wavelength. If it is not possible to establish all requested connections at the same time because of resource limitations, some connections are to be deferred and established later. It is thus important to minimize the number of wavelengths used to service a requested communication pattern. 107 2 Bruno Beauquier Contributions of this work. In this paper we study the problem of designing ecient routing and wavelength allocation for alltoall communication in some alloptical networks. In particular we consider the multi-dimensional square tori and meshes, and the Cartesian sums of complete graphs. This work has to be considered as a step in understanding the complexity of the alltoall problem in optical topologies relevant to local, metropolitan and wide area networks. We consider the design of ecient algorithms for two widely used global (or structured) communication operations : the total exchange (also called alltoall or gossiping) and the complete exchange (also called personalized alltoall or multi-scattering). Formally these processes can be described as follows : Total exchange : Each node in the network has a message and every node has to get all the messages. Complete exchange : Each node u in the network has some messages B (u v), to be sent respectively to all the other nodes v. In fact, these two communication schemes are equivalent in the alloptical model, if every node is able to send simultaneously dierent messages on dierent links and wavelengths. We briey call AlltoAll protocol any solution suitable to both problems. In this paper, we obtain optimal AlltoAll protocols for the d;dimensional hyper-square tori with even side, for the corresponding meshes, and for the Cartesian sums of complete graphs. Note that the same problem was solved for the binary hypercubes in 5, 16]. We refer to the recent survey 3] for other topologies and other communication patterns. 2 Preliminaries We model an alloptical network by a symmetric digraph, that is a directed graph, with vertex set V (G) and arc set A(G), such that if = (u v) 2 A(G) then 0 = (v u) 2 A(G). The number of vertices in G is always denoted by N = jV (G)j. The following notation is also used (for more details, see 7] or any textbook in graph theory like 4]) : P (x y) denotes a dipath in G from node x to node y, that is, a directed path which consists of a sequence of consecutive arcs beginning in x and ending in y. (x y) denotes the distance from x to y in G, that is, the minimum length of a dipath P (x y). The Cartesian sum (also called Cartesian product) of two digraphs G and G0 is the digraph whose vertices are the ordered pairs (x x0 ) where x is a vertex of G and x0 is a vertex of G0 . Thus its vertex set is the usual Cartesian sum of the vertex sets V (G) and V (G0 ). Furthermore there is an arc from (x x0 ) to (y y0) if and only if x = y and (x0 y0 ) is an arc of G0 , or x0 = y0 and (x y) is an arc of G. Zn = f0 1 : : : n ; 1g denotes the set of integers modulo n. Znd denotes the Cartesian sum of d copies of Zn. 108 AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks 3 CN and MN denote respectively the cycle and the chain with N vertices. Gd denotes the Cartesian sum of d copies of a digraph G. Hence Cnd is the ddimen- sional hyper-square torus with side n, and Mnd is the ddimensional hyper-square mesh with side n. KN denotes the complete graph with N vertices. Wavelength-routing problem A request is an ordered pair of nodes (x y) in G (corresponding to a message to be sent by node x to node y). An instance I is a collection of requests. A routing R for an instance I in G is a set of dipaths R = fP (x y) j (x y) 2 I g, realizing the requests of I . The conict graph associated to a routing R is the undirected graph (R E ) with vertex set R and such that two dipaths of R are adjacent if and only if they share an arc of G. Let G be a digraph and I an instance. The problem (G I ) consists of nding a routing R for the instance I and assigning each request (x y) 2 I a wavelength, so that no two dipaths of R sharing an arc have the same wavelength. If we think of wavelengths as colours, the problem (G I ) seeks a routing R and a vertex colouring of the conict graph (R E ), such that two adjacent vertices are coloured dierently. We denote by ~w(G I R) the chromatic number of (R E ), and by ~w(G I ) the smallest ~w(G I R) over all routings R. Thus ~w(G I R) is the minimum number of wavelengths for a routing R and ~w(G I ) the minimum number of wavelengths over all routings for (G I ). For a general network G and an arbitrary instance I , the problem of determining ~w(G I ) has been proved to be NPhard in 8]. In particular, it has been proved that determining ~w(G I ) is NPhard for trees and cycles. In 9] these results have been extended to binary trees and meshes. A related parameter Given a digraph G and a routing R for an instance I , the load of an arc 2 A(G) for the routing R, denoted by ~ (G I R ), is the number of dipaths of R containing . The load of G for the routing R (also called congestion), denoted by ~ (G I R), is the maximum load of an arc of G for the routing R, that is, ~ (G I R) = max2A(G) ~(G I R ). The load of G for an instance I , denoted by ~(G I ), is the minimum load of G for a routing R for I , that is, ~ (G I ) = minR ~(G I R). 109 4 Bruno Beauquier The relevance of this parameter to our problem is shown by the following lemma : Lemma 1 ~w(G I ) ~(G I ) for any instance I in any digraph G. Proof. To solve the problem (G I ), rst a routing R for the instance I is needed. Then the number ~w(G I R) of wavelengths necessary to be properly assigned to the dipaths of R is at least the maximum number of dipaths sharing an arc of G, that is ~(G I R). As ~w(G I ) is some ~w(G I R) for some routing R and by denition of ~ (G I ), the lemma holds. 2 The inequality in Lemma 1 can be strict, as shown by Figure 1. 0 3 (0,2) (0,5) 1 (4,5) 5 (1,3) 2 (4,3) 4 Figure 1: A routing for ve requests in a tree G and its associated conict graph. Indeed, for this instance I in this tree G, the load is ~(G I ) = 2 but ~w(G I ) = 3, since the conict graph is a cycle of length 5 which has chromatic number 3. In general, minimizing the number of wavelengths is not the same problem as that of realizing a routing that minimizes the number of dipaths sharing an arc. Indeed, our problem is made much harder due to the further requirement of wavelengths assignment on the dipaths. This is the case for trees. In order to get equality in Lemma 1, a routing R such that ~(G I R) = ~ (G I ) should be found, for which the associated conict graph is ~(G I )vertex colourable. In this paper, we consider a specic instance IA in G, called the AlltoAll instance, which consists of all the dierent ordered pairs of vertices in V (G). Hence IA = f(x y) j x 2 V (G) y 2 V (G) x 6= yg. In this case, ~ (G IA ) is called the arcforwarding index 13] of G. The same parameter dened similarly for undirected graphs is called the edgeforwarding index and has been studied in 12, 20]. 110 AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks 5 3 Hypersquare torus Cnd In this section we consider the problem (Cnd IA ) for the AlltoAll instance IA in the d;dimensional hypersquare torus with side n. We rst solve optimally the case where n is even. Then we will give a nearly optimal solution for the case where n is odd. Note that for n odd and d = 2 the problem has been optimally solved in 19]. Theorem 2 In the d;dimensional hypersquare torus Cnd, if n is even then we have : ~w(Cnd IA ) = ~(Cnd IA ) = nd+1 =8, and if n is odd then : ~(Cnd IA ) = nd;1 bn2 =4c=2 = (n2 ; 1)nd;1 =8 ~w(Cnd IA ) (n + 1)d+1=8 = ~w(Cnd+1 IA ). Before presenting the proof, we introduce two more lemmas. The rst one is adapted from an analogous property given in 12] in the undirected case. Lemma 3 LetPG be a digraph and R a routing in G for the AlltoAll instance IA. Then ~(G IA R) = ( x6=y (x y))=jA(G)j if and only if R is a routing of shortest dipaths loading equally each arc of G. Proof. The sum of the loads of all the arcs for R = fP (x y) j x 6= yg is equal to the sum of the lengths of all the dipaths in R.PIf R is a routing of shortest dipaths loading equally each arc, then the load is ~ (G R) = ( x6=y (x y))=jA(G)j. P Conversely, if the maximum load of an arc for R is ~(G R) =P ( x6=y (x y))=jA(G)j then P by summing the loads over all the arcs we get x6=y jP (x y)j x6=y (x y). Therefore the equality holds and each arc is maximally loaded. Thus R is a routing of shortest dipaths loading equally each arc. 2 A set S of dipaths in a digraph G is said to be covering if each arc in A(G) is contained in a dipath of S . Lemma 4 Let G be a digraph such that ~(G IA ) = (Px6=y (x y))=jA(G)j. We have ~w(G IA ) = ~ (G IA ) if and only if there exist a routing R of shortest dipaths for IA and a partition of R in some covering sets of arc-disjoint dipaths. Proof. A partition of a routing of shortest dipaths R = fP (x y) j x 6= yg in some covering sets of arc-disjoint dipaths provides a solution to the problem (G IA ) by assigning a dierent colour to each set of the partition. Thereby the number of colours used is the load of any arc for R, equal to ~(G IA ) according to Lemma 3. From Lemma 1 it follows that ~w(G IA ) = ~(G IA ). Conversely if ~w(G IA ) = ~(G IA ), then there exist a routing R for IA and a colouring of its dipaths with ~ (G IA ) colours, so that no two dipaths with the same colour share an arc. This colouring gives a partition of R in ~ (G IA ) sets of arc-disjoint dipaths. Each of them is a covering set because the sum of the lengths of the coloured dipaths is at least P x6=y (x y ) = ~ (G IA ):jA(G)j. As the load of G for R is ~ (G IA ), R is a routing of shortest dipaths, according to Lemma 3. 2 111 6 Bruno Beauquier A straight way to prove the rst part of Theorem 2 would be to assign properly a coloured dipath to each request in the instance IA , using a total number of colours (or wavelengths) equal to ~(Cnd IA ). In view of Lemma 4, we have found more convenient to provide an optimal solution by assigning to each colour a covering set of arc-disjoint shortest dipaths, so that each request in IA gets exactly one coloured dipath. Thereby the condition on a suitable partition stated in Lemma 4 is satised and we ensure optimality without counting the total number of colours used. Before going further, some more denitions and notation are necessary. De nitions 5 The vertex set V (Cnd ) is represented by Znd . The elements in Znd may be expressed in the canonicalP base fei g1id , that is, we may denote x = (x1 x2 : : : xd ) 2 Znd Pd by ( i=1 xi :ei ). Let J = di=1 ei . Given two subsets X and Y of Znd , we dene X + Y as the subset fx + y j x 2 X y 2 Y g. Remark 6 Cnd can be dened as a Cayley digraph on the Abelian group Znd. It is an arctransitive digraph where each vertex x = (x1 : : : xd ) is joined by 2d arcs to the vertices x ei = (x1 : : : xi 1 xd ) for 1 i d. We distinguish two kinds of dipaths to be assigned to the requests in the instance IA : De nitions 7 Given an arc from x to y, we say that is in the dimension i and in the progressive (regressive) direction if y = x + ei (if y = x ; ei ). These denitions are extended to the dipaths containing only arcs of thePsame kind. Given a request (x y) such that y = x + di=1 ai :ei , we dene the ascending dipath Pa (x y) as the concatenation (P1 P2 Pd ) of d dipaths, such that : - P1 is the shortest dipath from x to (x + a1 :e1 ), inPthe progressive direction if a1 = n=2. P - Pi (2 i d) is the shortest dipath from (x + ij;=11 aj :ej ) to (x + ij=1 aj :ej ), in the progressive direction if ai = n=2. Given a request (x y), we dene the descending dipath Pd (x y) as the reverse dipath of the ascending dipath Pa (y x), that is the dipath made of all the symmetric arcs of those of Pa (y x). For example in C42 , the ascending dipath from node (0 0) to (2 1) goes through nodes (1 0) and (2 0), while the descending dipath connecting the same nodes goes through (0 1) and (3 1). In order to dene the dierent subsets of requests to be assigned covering sets of arcdisjoint dipaths, we need the following denitions, when n is even : De nitions 8 LetPn = 2k. For every node x = (x1 x2 : : : xd ) 2 Znd , the level of x is dened as L(x) = di=1 xi 2 Zn . For every request (x y), the move of (x y) is dened as m(x y) = y ; x 2 Znd . Given m 2 Znd , let m = (k : : : k) ; m. An equivalence relation E is dened in Znd as follows : m m0 if and only if (m0 = m or m0 = ;m or m0 = m or m0 = ;m) Let us denote by E (m) the E ;class of m. In each E ;class a special move m0 is chosen. 112 AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks 7 Now we distinguish three dierent kinds of moves. First let M = fm 2 Znd j m 6= ;m and m 6= mg. If m 2 M then E (m) has 4 elements all in M . For example in Z82 , m = (2 1) 2 M and E (m) = f(2 1) (;2 ;1) (2 3) (;2 ;3)g. Now let K = fm 2 Znd j m = ;mg. If m 2 K then E (m) has 2 elements all in K . For example in Z82 , m = (4 0) 2 K and E (m) = f(4 0) (0 4)g. At last let H = fm 2 Znd j m = mg (H is empty if k is odd). If m 2 H then E (m) has 2 elements all in H . For example in Z82 , m = (2 ;2) 2 H and E (m) = f(2 ;2) (;2 2)g. Note that every move belongs to exactly one of these sets M , K or H . Requests with move in M For l 2 Zn , HP l denotes the hyperplane orthogonal to J containing all the nodes of level l, that is HP l = fx 2 Znd j L(x) = lg. A node y is said to be translated from a node x by a vector v if y = x + v. In what follows, we use a generalization of this denition for dipaths : the dipath translated by a vector v from a dipath P is induced by all the nodes translated from those of P . Given a node x0 and a special move m0 2 M , we rst consider the two symmetric dipaths P1 = Pa (x0 x0 + m0 ) and P10 = Pd (x0 + m0 x0 ) and the two symmetric dipaths P2 = Pd (x0 + m0 x0 + k:J ) and P20 = Pa (x0 + k:J x0 + m0 ). In what follows we show that all the dipaths translated from P1 , P10 , P2 , P20 by all the vectors in (HP 0 HP k ) form a covering set of arc-disjoint dipaths. We give an example by drawing, as shown in Figure 2-b, for d = 2, n = 8 and m0 = (2 1). So ;m0 = (;2 ;1), m0 = (2 3) and ;m0 = (;2 ;3). Figure 2-a shows only the dipaths translated by the vectors in HP 0 . Wrap-around connections of the torus are omitted for clarity and the dipaths P1 , P10 , P2 and P20 are drawn in bold. (a) (b) Figure 2: Construction of a covering set of arc-disjoints dipaths in C82 . 113 8 Bruno Beauquier Such a set of dipaths is assigned the same colour and contains one dipath for each request (x y) such that : - L(x) = L(x0 ) mod k and m(x y) = m0 , or - L(x) = L(x0 + m0 ) mod k and m(x y) = ;m0 , or - L(x) = L(x0 + m0 ) mod k and m(x y) = m0 , or - L(x) = L(x0 ) mod k and m(x y) = ;m0 . Such a set depends thus only on the value of (L(x0 ) mod k) and on m0 . The corresponding colour is represented by an element of CM = (Zk E (M )), where E (M ) is the set of the classes of M . Notice that in this way every request with move in M is assigned exactly one coloured dipath. Given a colour c 2 CM , every dipath coloured by c is called a c-dipath. Claim 9 For every colour c in CM , the set of c-dipaths is a covering set of arc-disjoint dipaths. Proof. For 1 i d, A+i denotes the set of the arcs in the dimension i and in the + progressive direction. Let us show that each arc in Ai is contained in exactly one c-dipath. As the c-dipaths are dened as symmetric pairs, the property will also hold for the arcs in the opposite direction. There are as many arcs in A+i as nodes in Cnd , that is, nd = N . On one hand, we show that the sum over all the c-dipaths of the number of arcs in A+i is equal to N . On the other hand, we show that each arc in A+i is contained in a cP -dipath. Let c = ( E (m)) 2 CM , with 2 Zk , and m0 = dj=1 aj :ej 2 E (m) the special move chosen in E (m). We assume that ai 2 f0 1 : : : kg, otherwise the proof is similar. Then the only c-dipaths using arcs in A+i have their move equal to m0 or m0 . There are exactly (2nd;1 ) c-dipaths having move m0 , since there are 2nd;1 vectors in (HP 0 HP k ). As many c-dipaths have move m0 . Each of those having move m0 (respectively m0 ) uses a~i (resp. k ; a~i ) arcs in A+i , where a~i is the integer representative of ai in f0 : : : kg Z . Therefore the c-dipaths use 2knd;1 = N times an arc in A+i . As x + (HP 0 HP k ) = HP L(x) HP L(x)+Sk , if X is a set of k nodes whose levels form ;1 HP = Z d. Thus, if there exist k arcs the entire set Zk , then X + (HP 0 HP k ) = nl=0 l n + in Ai contained in c-dipaths and whose origins have all the dierent levels modulo k, then each arc in A+i is contained in a c-dipath. P Let x 2 Znd such that L(x) = mod k, y = x + m0 and z = y + m0 . Let m1 = ij;=11 aj :ej Pd (m1 = 0 if i = 1) and m2 = j=i+1 aj :ej (m2 = 0 if i = d), so that m0 = m1 + ai :ei + m2 . First, P1 = Pa (x y) is an ascending c-dipath containing the a~i consecutive arcs in A+i between x + m1 and x + m1 + ai :ei . Secondly, P2 = Pd (y z ) is a descending c-dipath containing the (k ; a~i ) consecutive arcs in A+i between y + m2 and y + m2 + (k ; ai ):ei . On the whole, these k arcs have origins with all the dierent levels modulo k, because L(x + m1 + ai :ei ) = L(y ; m2 ) = L(y + m2 ) mod k. 2 114 AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks P2 x P1 9 z y c = ( 0 , E( (0,1) ) ) c = ( 1 , E( (0,1) ) ) c = ( 0 , E( (1,0) ) ) c = ( 1 , E( (1,0) ) ) Figure 3: Sets of c-dipaths in C42 for requests with move in M . Requests with move in K Let us now consider the case of requests with move m = dj=1 aj :ej 2 Znd such that 2m = 0. In this case we have aj 2 f0 kg for each j 2 f1 : : : dg and the cardinality of K = fm 2 Znd j 2m = 0g is 2d . As noticed before E (m) has 2 elements for every m 2 K and the set of classes E (K ) has 2d;1 elements. The construction of sets of arc-disjoint dipaths covering all the arcs is similar to the previous one, except that requests with moves in two E ;classes are involved in the same set. Given 2 Zk , m and m0 two moves taken in two dierent E ;classes, we consider all the dipaths Pa (x y) for L(x) = mod k and m(x y) 2 E (m), and all the dipaths Pd (x z ) for L(x) = mod k and m(x z ) 2 E (m0 ). Recall that these ascending (descending) dipaths contain only arcs in the progressive (regressive) direction, in accordance with the denitions 7. Obviously, in any dimension and in any direction there exist k consecutive arcs used by one of these dipaths. From the same arguments as in the previous proof, it follows that these dipaths form a covering set of arc-disjoint dipaths. Note that this dipaths assignment does not lead to a symmetric routing (where the dipaths for any two requests (x y) and (y x) are symmetric). P Requests with move in H At last we consider the case of requests with move m = dj=1 aj :ej 2 Znd such that m = m = k:J ; m. As noticed before, such requests exist only if k is even, say k = 2h, and we have aj 2 fh ;hg for 1 j d. Given 2 Zh and a special move m0 2 H , we dene the set of all the symmetric dipaths Pa (x x + m0 ) and Pd (x + m0 x) such that L(x) = mod h. By the same arguments again, it can be shown that these dipaths form a covering set of arc-disjoint dipaths. P 115 10 Bruno Beauquier (a) (b) (c) (d) Figure 4: Sets of c-dipaths in C42 for requests with move in K (a)(b) and in H (c)(d). Proof of Theorem 2. Following a result given in 12] for the undirected torus, we have P ~(Cnd IA ) = nd;1bn2 =4c=2 = ( x6=y (x y))=jA(G)j. The assumption of Lemma 4 is thus satised. In the case where n is even, we have shown how to obtain some sets of arc-disjoint shortest dipaths, each set covering all the arcs of the torus Cnd , so that every request in the AlltoAll instance IA is assigned exactly one dipath. As a consequence of Lemma 4, we have ~w(Cnd IA ) = ~(Cnd IA ). 2 Now we consider the case where n is odd and prove the second part of Theorem 2. Proposition 10 In the d;dimensional hypersquare torus Cnd, if n is odd we have : ~(Cnd IA ) = nd;1 bn2 =4c=2 = (n2 ; 1)nd;1 =8 ~w(Cnd IA ) (n + 1)d+1=8 = ~w(Cnd+1 IA ). Proof. From Lemma 1, we have ~ (Cnd IA ) ~w(Cnd IA ). To prove the upper bound we make use of the routing and the colouring given by the solution for n + 1. We consider Cnd as obtained from Cnd+1 by removing a symmetric cycle in each dimension and joining up each pair of disconnected links. Formally, we remove from V (Cnd+1 ) all the nodes having a component equal to 0, which form the set denoted by V0 (Cnd+1 ). In the induced subgraph wePconnect togetherPwith two symmetric new arcs all the pairs of remaining nodes of type f( j6=i xj :ej ) ; ei ( j6=i xj :ej )+ eig. Note that if a dipath in Cnd+1 uses two consecutive arcs in dierent dimensions around a node in V0 (Cnd+1 ), then either its source or its destination is in V0 (Cnd+1 ), according to the denitions 7. Thus, all the dipaths with source and destination out of V0 (Cnd+1 ) can be modied from Cnd+1 to Cnd by following the arc transformation. Therefore there is for every odd value of n a solution in Cnd using ~w(Cnd+1 IA ) colours. 2 4 Hypersquare mesh Mnd In this section we consider the problem (Mnd IA ) for the AlltoAll instance IA in the d;dimensional hypersquare mesh with side n. The construction of coloured dipaths is based on the solution for the torus given in the previous section. Note that the proof given in 19] for the mesh is not sound. 116 AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks 11 Theorem 11 In the d;dimensional hypersquare mesh Mnd , if n is even then we have : ~w(Mnd IA ) = ~ (Mnd IA ) = nd+1=4, and if n is odd then : ~(Mnd IA ) = nd;1 bn2 =4c = (n2 ; 1)nd;1=4 ~w(Mnd IA ) (n + 1)d+1 =4 = ~w(Mnd+1 IA ). Proof. Consider the mesh Mnd as obtained from the torus Cnd by removing all the pairs of wrap-around symmetric arcs. For every wrap-around arc contained in a dipath P in Cnd , let p be the longest sub-dipath of P using this arc and using arcs in the same dimension only. Let p0 be the dipath connecting the same nodes as p but using arcs in the other direction. By replacing p by p0 for every wrap-around arc contained in P , we obtain a new dipath P 0 not using any wrap-around arc. Any such dipath in the torus Cnd induces a dipath in the mesh Mnd. This gives a routing R0 for the instance IA in Mnd from the routing R in Cnd given in the previous section. Let us now dene the new colour assignment. The following property holds in the solution given previously to the problem (Cnd IA ) : every set of c-dipaths can be partitioned into two subsets, so that no two arcs with opposite directions in the same dimension are used respectively by two c-dipaths in the same subset. Thus, by construction the dipaths in each of the two corresponding subsets obtained in the mesh Mnd are pairwise arc-disjoint and can be assigned two new colours c1 and c2 , respectively. So twice as many colours as in the torus Cnd are used in the mesh Mnd . As from 12] ~(Mnd IA ) = 2~(Cnd IA ), the theorem holds, according to Theorem 2. 2 5 Cartesian sum of complete graphs The following theorem generalizes the result obtained in 16, 5] for hypercubes. Theorem 12 Let n1 n2 : : : nd be integers such that 2 n1 n2 nd. Let us denote by K (n1 n2 : : : nd) the Cartesian sum of the d complete graphs Kni (1 i d). Q We have : ~w(K (n1 n2 : : : nd) IA ) = ~(K (n1 n2 : : : nd ) IA ) = di=2 ni . Proof. In the sequel K (n1 n2 : : : nd) is denoted simply by G. The vertex set is represented by (Zn1 Zn2 Znd ). There is a pair of symmetric arcs between two nodes if they dier in exactly one component. The elements in V (G) may be expressed in the canonical base fei g1id. The graph G can be seen as n1 copies of K (n2 nQ3 : : : nd) connected together with Q n1 (n1 ; 1) di=2 ni arcs. Because there are n1 (n1 ; 1)( di=2 ni )2 requests between Q the pairwise distinct copies, it follows that oneQof these arcs must be contained in at least ( di=2 ni ) d n . According to Lemma 1, it remains to show dipaths. Therefore we have ~(G) i=2 i Qd that ~w(G IA ) i=2 ni . A dipath (u0 u1 : : : uk ) from u0 to uk is called ascending if for 1 i k the node ui is obtained from ui;1 by changing the component in position pi , so that p1 < p2 < : : : < pk . We assign to each request (x y) the ascending dipath P (x y). 117 12 Bruno Beauquier Given a1 in Zn1 , let 1 be the integer representative of a1 in f0 1 : : : n1 ; 1g Z . For 2 i d, (a1 )ni denotes the element of Zni having 1 as integer representative. The set of colours is represented by (Zn2 Zn3 Znd ). To each dipath P (x y), with x = (x1 x2 : : : xd ) and y = (y1 y2 : : : yd), we assign the colour c(x y) = ((yj ; xj ) + (x1 )nj )2jd . We prove now that each arc = (z z + i :ei ), with i 2 Zni , is not contained in two dipaths with the same colour. As ascending dipaths are considered, the arc is contained only in dipaths P (x y) with x = (x1 : : : xi;1 zi : : : zd) and y = (z1 : : : zi;1 (zi + i ) yi+1 : : : yd). So we have : c(x y) = ((z2 ; x2 ) + (x1 )n2 : : : (zi;1 ; xi;1 ) + (x1 )ni;1 i + (x1 )ni (yi+1 ; zi+1 ) + (x1 )ni+1 : : : (yd ; zd) + (x1 )nd ): Consider now any other dipath P (x0 y0 ) containing the arc . Again, we have : c(x0 y0) = ((z2 ; x02 ) + (x01 )n2 : : : (zi;1 ; x0i;1 ) + (x01 )ni;1 i + (x01 )ni (yi0+1 ; zi+1 ) + (x01 )ni+1 : : : (yd0 ; zd) + (x01 )nd ): Assume that c(x y) = c(x0 y0 ). Thus, i + (x1 )ni = i + (x01 )ni mod ni and so x1 = x01 mod n1 because n1 ni . From the identities of the other components, it follows that x = x0 and y = y0 . 2 6 Final remarks In this paper we have obtained optimal and nearly optimal All-to-All protocols in some switched all-optical networks. It remains to prove that the equality ~w = ~ also holds for square tori and meshes with odd side (some bidimensional cases of tori have been solved in 19]), and more generally for any torus and any mesh. We considered topologies that are all Cartesian sums of simple graphs, namely cycles, chains and complete graphs. An interesting issue deserves to be inveswould be interestingtigated : to obtain results for general Cartesian sums and to nd a way to design an ecient solution for the Cartesian sum of two graphs, for which ecient solutions are known. A recent work is worth to be pointed out. In 10] it is proved that the equality ~w(T IA ) = ~(T IA ) holds for any tree T . In view of all the results obtained by now, it is likely that the equality can be achieved for any symmetric digraph, indeed for any digraph. Finally we give two other future lines of research. The computation complexity of the quantity ~w(G IA ) remains to be determined. It is likely that this problem is NPhard. Therefore, it will be of interest to design approximation algorithms. Fault tolerant issues have to be considered too. See the survey 17] for an account of the vast literature on faulttolerance in traditional networks. 118 AlltoAll Communication for some WavelengthRouted AllOptical Networks 13 References 1] A. Aggarwal, A. Bar-Noy, D. Coppersmith, R. Ramaswami, B. Schieber, and M. Sudan. Ecient routing and scheduling algorithms for optical networks. In Proc. of the 5th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA), pages 412423. ACM Press, January 1994. 2] Y. Aumann and Y. Rabani. Improved bounds for all optical routing. In Proc. of the 6th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA), pages 567576. ACM Press, January 1995. 3] B. Beauquier, J-C. Bermond, L. Gargano, P. Hell, S. Prennes, and U. Vaccaro. Graph problems arising from wavelengthrouting in alloptical networks. In Proc. of 2nd Workshop on Optics and Computer Science (WOCS), part of IPPS, Gen ve, April 1997. 4] C. Berge. Graphs and Hypergraphs. North Holland, Amsterdam, 1973. 5] J-C. Bermond, L. Gargano, S. Prennes, A. A. 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In this paper, we consider symmetric directed trees of rings with weighted nodes. A routing for a weighted digraph is a collection of directed paths (dipaths), such that for each ordered pair of nodes (x1 x2 ) with respective weights w1 and w2 , there are w1 w2 dipaths (possibly not distinct) from x1 to x2 . Motivated by the Wavelength Division Multiplexing (WDM) technology in all-optical networks, we study the problem of nding a routing which can be colored by the fewest number of colors so that dipaths of the same color are arc-disjoint. We prove that this minimum number of colors (wavelengths) is equal to the maximum number of dipaths that share one arc (load), minimized over all routings. The problem can be eciently solved (dipaths found and colored) using cut properties. Key-words: optical networks, WDM, routing, coloring, cut. (Rsum : tsvp) Accepted in the 11th ACM Symposium on Parallel Algorithms and Architectures (SPAA'99). This work has been partially supported by the AFIRST in the framework of the French-Israeli project Communication Algorithms in Optical Networks and by the French RNRT project PORTO. * SLOOP is a joint project with the CNRS and the University of Nice-Sophia Antipolis (I3S laboratory). E-mail: {Bruno.Beauquier,Stephane.Perennes}@inria.fr. ** Technical University of Budapest, research done while visiting INRIA at Sophia Antipolis. E-mail: [email protected]. Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France) Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65 Routage Optique WDM dans les arbres d'anneaux pondrs Rsum : Un arbre d'anneaux est un graphe non-orient obtenu par l'union d'anneaux, qui s'intersectent deux--deux en au plus un sommet, de telle sorte que deux sommets sont relis par exactement deux chemins arte-disjoints. Dans ce rapport, nous considrons des arbres d'anneaux orients symtriques avec des sommets pondrs. Un routage pour un graphe orient pondr est une collection de chemins orients, telle que pour tout couple de sommets (x1 x2 ) de poids respectifs w1 et w2 , elle contient w1 w2 chemins (ventuellement distincts) allant de x1 vers x2 . Motivs par la technologie de multiplexage en longueurs d'onde WDM (Wavelength-Division Multiplexing) dans les rseaux tout-optiques, nous tudions le probl me de trouver un routage et une coloration minimale des chemins, avec la contrainte que deux chemins de la mme couleur sont arc-disjoints. Nous montrons que le nombre minimum de couleurs (longueurs d'onde) pour une solution est gal au nombre maximum de chemins qui partagent un arc (charge), parmi tous les routages possibles. Le probl me est rsolu par une mthode constructive et ecace, en utilisant des crit res de coupe. Mots-cl : rseaux optiques, WDM, routage, coloration, coupe. All-to-All Routing and Coloring in Weighted Trees of Rings 1 1 Introduction and Motivation Optics is emerging as a key technology in communication networks, promising very high speed local or wide area networks of the future. A single optical wavelength supports rates of gigabits per second, which in turn support multiple channels of voice, data and video 10, 13]. Multiple laser beams that are propagated over the same ber on distinct optical wavelengths can increase this capacity even further. This is achieved through Wavelength Division Multiplexing (or WDM) 6], by partitioning the optical bandwidth into a number of channels and allowing the transmission of multiple data streams concurrently along the same optical ber on dierent channels, i.e., dierent wavelengths. (Two streams of the same wavelength cannot be routed on the same ber due to electromagnetic interference.) Alloptical (or singlehop 14]) communication networks provide all source-destination pairs with end-to-end transparent channels that are identied through a wavelength and a physical path. They exploit photonic technology for the implementation of both the switching and the transmission functions 9], and maintain the signal in optical form through the transmission, thus allowing much higher data transmission rates (since there is no prohibitive overhead due to conversions to and from the electronic form). Wavelengths being a limited resource, solutions to the problem of ecient routing and wavelengths allocation are of importance for the future development of optical technology. The problem we consider here is motivated by switched networks with recongurable wavelength selective optical switches, without wavelength converters, where dierent signals may travel on the same communication link (but on dierent wavelengths) into a node, and then exit from it on dierent links, keeping their original wavelengths. Since optical links are inherently bidirectional, the problem has initially been modeled by undirected graphs, as in 1, 2, 15]. However, it has since become clear that the use of ampliers will actually make each bidirectional optical link into a pair of unidirectional links 16], and hence the new models of the situation tend to represent optical networks by symmetric directed graphs, as in 5, 12, 11]. In an all-optical network one needs to set up a number of communications (dipaths) between given pairs of nodes, with each communication being transmitted on one particular wavelength, and so that all communications that share a link have dierent wavelengths. Specically, the general problem is the following : Given a collection of requests (x1 y1 ) (x2 y2 ) : : : (xk yk ), connect each xi to the corresponding yi by a dipath Pi , and assign a wavelength to each Pi , so that dipaths with the same wavelength do not share a link. The objective is to use the minimum possible number of wavelengths. This parameter is considered of importance in evaluating the competitiveness of the wavelength division multiplexing technology 12]. A survey of graph theoretic problems associated with routing in optical networks can be found in 4]. The problem of minimizing the number of wavelengths has been proved to be NPcomplete for a general collection of requests, even in rings 7]. Here we consider the All-To-All communication process in the weighted case : for each ordered pair of nodes (x y) with respective weights w(x) and w(y), w(x)w(y) dipaths (possibly not distinct) from x to y have to be found and assigned wavelengths. Optimal results for this problem have been proved in 125 2 Beauquier, Prennes & Tth the unweighted case for rings 5, 18], for some cartesian products 3] including hypercubes and some toroidal meshes, for some compound graphs 17] and for trees 8]. In this paper we solve the case of the weighted symmetric directed trees of rings. These networks are interesting since tree-like structures are often used in the telecommunications industry 12] and emerging SDH (Synchronous Digital Hierarchy) local area networks generally consist of SONET (Synchronous Optical NETwork) rings connected together. 2 Preliminaries In this paper, we model an alloptical network as a weighted symmetric digraph (G w), that is a directed graph G, with node set V (G) and arc set A(G) (such that if (u v) 2 A(G) then (v u) 2 A(G)), together with a non negative integral weight function w on the set of P w(v) of (G w), and for any subset nodes. We always denote by N the total weight v2V (G)P of nodes S V (G) we dene the weight of S as w(S ) = s2S w(s). De nition 1 A tree of rings is an undirected graph obtained from the union of rings, which intersect two by two in at most one node, such that any two nodes are connected by exactly two edge-disjoint paths. Figure 1: A tree of rings. A symmetric digraph is naturally induced by an undirected graph by replacing each edge by two opposite arcs. In this paper, we consider weighted symmetric directed trees of rings. 126 All-to-All Routing and Coloring in Weighted Trees of Rings 3 De nition 2 A routing for a weighted digraph (G w) is a collection of directed paths (dipaths) in G, such that for each ordered pair of nodes (x y) there are w(x)w(y) dipaths (possibly not distinct) from x to y. The wavelength-routing problem for a weighted digraph (G w) consists of nding a routing and assigning each dipath a wavelength (or color), so that no two dipaths sharing an arc have the same wavelength. We denote by ~w(G w) the minimum number of wavelengths used to solve the wavelength-routing problem in (G w). Given a weighted digraph (G w) and a routing R, the load of an arc 2 A(G) is the number of dipaths in R containing . The load of (G w), denoted by ~ (G w), is the minimum over all routings R of the maximum load of the arcs of G. Clearly, ~ (G w) is a lower bound on ~w(G w). Property 3 ~w(G w) ~(G w) for any weighted digraph (G w). Given a weighted digraph (G w) and any partition (S S) of the set of nodes V (G), called a cut, we denote by c(S S) the number of arcs beginning in S and ending in S. At least w(S )w(S) dipaths in any routing for (G w) must use these arcs. So we have ~(G w) w(cS(S)wS()S) for any cut (S S). As far as a weighted tree of rings (T w) is concerned, we consider only cuts (S S) such that c(S S) = 2. Therefore S and S are two connected components of T . Setting M = w(S ) and m = w(S), we have M + m = N and we assume that M m in the sequel. The product Mm is called the load of the cut and the dierence = M ; m is called the gap of the cut. A tight cut is a cut with maximum load (or equivalently with minimum gap). Given two nodes a and b of (T w) with positive weights, we denote by wab the weight function obtained from w by decreasing the weights of nodes a and b by one unit (hence (T wab ) has total weight N ; 2). The minimum gap of (T wab ) is denoted by ab . The following property will be usefull : Property 4 Let (T w) be a weighted tree of rings with minimum gap 2. Let a and b be two nodes in V (T ) with positive weights. If there exists a tight cut (S S) of (T w) such that a b 2 S then ab = ; 2, otherwise ab . Proof. Consider any cut (S S) of T . If (S S) is a tight cut of (T w), then (S S) has gap ; 2 0 in (T wab ) if a b 2 S , and gap at least in (T wab ) if not. If (S S) is not a tight cut of (T w), then it has gap at least + 2 in (T w) and gap at least in (T wab ). 2 Half the load of a tight cut is clearly a lower bound on both ~(T w) and ~w(T w). In this paper, we show that this bound is indeed exact : Main Theorem For any weighted tree of rings (T w) we have ~w(T w) = ~(T w) = d Mm 2 e, where Mm is the load of a tight cut. The proof is done by induction on the total weight. We rst prove the result in the case of weighted rings and then proceed with the general case. 127 4 Beauquier, Prennes & Tth 3 Weighted rings In this section we prove the theorem in the case of weighted rings. The proof for arbitrary weighted trees of rings will follow the same lines. Due to the upper integral part appearing in Main Theorem, we need to introduce the notion of half-colors. Any color assigned to a set of arc-disjoint dipaths can be seen as the union of two opposite half-colors : a positive one for clockwise dipaths and a negative one for anti-clockwise dipaths. Conversely, any two opposite half-colors can give rise to one color. Therefore, half-coloring a routing with h+ positive half-colors and h; negative half-colors leads to a coloring with max fh+ h; g colors. Half-colors for a routing are said to be balanced Mm ; if jh+ ; h; j 1. We will manage to have h+ = d Mm 2 e and h = b 2 c, so that we can get a solution to the wavelength-routing problem using a total of max fh+ h; g = d Mm 2 e colors. The following proposition implies Main Theorem for weighted rings. Proposition 5 Let (C w) be a weighted ring and Mm be the load of a tight cut. There Mm ; exists a routing that can be colored with h+ = d Mm 2 e and h = b 2 c half-colors. Our proof is by induction on the total weight N : a coloring for (C w) is obtained from a coloring of the weighted ring (C wab ) for some two nodes a and b. De nition 6 Let (C w) be a weighted ring with total weight N . Given two nodes a and b with positive weights, let A and B be the two connected sets of nodes of C ; fa bg. Then nodes a and b are said to be antipodal if w(A) bN=2c and w(B ) bN=2c. Intuitively, antipodal nodes can be seen in the following way. Assume that the nodes of the weighted ring are labelled with disjoint intervals of integers modulo N , so that each node a has an interval I (a) of length equal to w(a) and adjacent nodes have adjacent intervals. Then, any two nodes a and b are antipodal if there are x 2 I (a) and y 2 I (b), such that y = x + b N2 c mod N or y = x + d N2 e mod N . Case A Keeping the same notation as in Property 4, we assume that : Condition A There exist two antipodal nodes a and b such that ab . Note that Condition A is fullled if 1, or if there exist two antipodal nodes a and b, such that for any tight cut (S S), a 2 S if and only if b 2 S. Lemma 7 If Proposition 5 holds for all weighted rings with weight less than N , then it holds for any weighted ring with weight N satisfying Condition A. Proof. Let (C w) be a weighted ring with weight N satisfying Condition A. (The result is obviously true if N 1.) According to Condition A, there are two nodes a and b such that the load of a tight cut of (C wab ) is at most (M ; 1)(m ; 1) = Mm ; (m + M ) + 1. Using the inductive hypothesis, we color a routing of (C wab ) with Mm ; (N ; 1) balanced 128 All-to-All Routing and Coloring in Weighted Trees of Rings 5 half-colors. Let A and B be the two connected sets of nodes of C ; fa bg. To obtain a colored routing for (C w) satisfying the lemma, it remains to assign in a balanced way N ; 1 half-colors to a set D1 of 4(w(A) + w(B )) dipaths connecting a and b with the nodes in A and B and to a set D2 of 2(w(a) + w(b) ; 1) dipaths connecting a with b. Given a0 2 A fa bg and b0 2 B fa bg, two half-colors (one in each direction) are sucient to color eight dipaths (possibly less if a0 2 fa bg or b0 2 fa bg) connecting a and b with a0 and b0 (see Figure 2). If N is even, as a and b are antipodal, we can choose N2;2 times a0 2 A fa bg and 0 b 2 B fa bg and use N ; 2 half-colors, so that sets D1 and D2 , but two dipaths connecting a with b, are found and colored. At last, one half-color (whose direction can be chosen to ensure the balance condition) is used in this case for the two last dipaths connecting a with b. In the other case, N is odd and we can assume w.l.o.g. that w(A) bN=2c and w(B ) N ;3 . By choosing N ;3 times a0 2 A fa bg and b0 2 B fa bg and using N ; 3 half-colors, 2 2 we can dene and color set D1 , but four dipaths connecting a and b with one node in A, and set D2 , but two dipaths connecting a with b. These last six dipaths can be dened and colored with two more half-colors. From the inductive hypothesis, we can also ensure that the same number of half-colors is used in the two directions of the ring (N is odd and Mm even). In both cases, we get a colored routing of (C w) with h+ + h; = Mm half-colors, so Mm ; that h+ = d Mm 2 2 e and h = b 2 c. a a’ b’ b Figure 2: Coloring eight dipaths between fa bg and fa0 b0 g with two half-colors. As proved in 5, 18], we deduce the following result : Corollary 8 Proposition 5 holds for any weighted ring (C w1 ) with uniform weight equal to 1. Proof. The minimum gap of (C w1 ) is at most one, so we are in Case A and the result follows inductively from the proof of Lemma 7. 2 129 6 Beauquier, Prennes & Tth Corollary 9 Proposition 5 holds for any weighted ring (C wk ) with uniform weight equal to k. Proof. Let p be the number of nodes of C . The load of a tight cut of (C wk ) is k2 times the load of a tight cut of (C w1 ) equal to dp=2ebp=2c. If p is odd or if p and p=2 are even, we can get a solution for (C wk ) by taking k2 times the half-colored routing for (C w1 ), where h+ = h; . If p is even and p=2 odd, we have h+ = h; + 1 in the2 half-colored routing for (C w1 ). To ensure the balance condition for (C wk ), we take d k2 e times the half-colored routing for (C w1 ) and b k22 c times the routing for (C w1 ) where clockwise and anti-clockwise half-colors are swapped. 2 Case B Let (C w) be a weighted ring with minimum gap . We assume that we are not in Case A, so > 1 and the following condition is satised : Condition B For any two antipodal nodes a and b, there exists a tight cut (S S) such that a 2 S and b 2 S . Lemma 10 Any weighted ring satisfying Condition B has uniform weight and an odd number of nodes. Proof. First notice that for any connected set X of nodes, w(X ) < M implies M . Note also that any node is antipodal to a least one node. Let a, b and d be three nodes, such that b and d are adjacent. Let B and D be the two connected sets of nodes of C ;fa b dg, between a and b, and between a and d, respectively. If a and b are antipodal and if (S S) is a tight cut such that a 2 S and b 2 S , then S = fag B fbg. Indeed, otherwise we have w(a) + w(B ) + w(b) < M , so w(a) + w(B ) + w(b) m = N ; M and w(a) + w(B ) + w(b) < N=2, but as a and b are antipodal, we have also w(d) + w(D) bN=2c (contradiction). Condition B implies that every node has weight at least . Indeed, assuming a and b antipodal, we have w(a)+ w(B )+ w(b) = M = m + and w(B )+ w(b) < M , so w(B )+ w(b) m and w(a) . Note also that if node a is antipodal to itself, then w(a) > N=2, there is only one tight cut and we are clearly in Case A. Assume that both nodes b and d are antipodal with node a. Then w(a)+w(B )+w(b) = M and w(a) + w(D) + w(d) = M . So N + w(a) = 2M = M + m + = N + , hence w(a) = . Assume that b is the only antipodal node with a. Then w(a) + w(B ) + w(b) = M and w(B ) + w(b) m N=2. As a and d are not antipodal and since w(D) < m N=2, we have w(B ) + w(b) > bN=2c (contradiction). Therefore, Condition B implies that every node has at least two antipodal nodes and weight . The number of nodes cannot be even, otherwise = 0 (Case A). So, in Case B the weight is uniform and the number of nodes is odd. 2 w(X ) m and w(X ) > m implies w(X ) 130 All-to-All Routing and Coloring in Weighted Trees of Rings 7 Proof of Proposition 5 The proof is made by induction. Let (C w) be a weighted ring with weight N . If N 1 then the result is trivial. Assume that Proposition 5 holds for all weighted rings with weight less than N . If (C w) satises Condition A, then we use Lemma 7, else (C w) has uniform weight and a number of nodes odd, according to Lemma 10, we use then Corollary 9 to conclude. 4 General case Now we extend Proposition 5 (and thus Main Theorem) to the case of weighted trees of rings. Proposition 11 Let (T w) be a weighted tree of rings and Mm be the load of a tight cut. Then there exists a routing which can be colored with h+ + h; = Mm half-colors, with Mm ; h+ = d Mm 2 e and h = b 2 c. De nition 12 Let (T w) be a weighted tree of rings and P a closed Eulerian dipath in T visiting each node. The interval labelling I for P (see Figure 2) is the assignment of an interval I (a) of integers in f1 : : : N g to each node a of T , such that : distinct nodes are assigned disjoint intervals and each node a is assigned an interval of length w(a) for any two integers i and j in f1 : : : N g, i < j , if i 2 I (a) and j 2 I (b) for some nodes a and b, then a = b or a is visited for the rst time before b along P . De nition 13 Let (T w) be a weighted tree of rings with total weight N , let P be a closed Eulerian dipath in T and let I be the interval labelling for P . Two nodes a and b are said to be antipodal if there exist i 2 I (a) and j 2 I (b) such that j = i + b N2 c mod N or j = i + d N2 e mod N . This denition of antipodal nodes of weighted trees of rings is equivalent to that given previously for weighted rings. Also, half-colors can be dened for trees of rings. Note that a closed Eulerian (and Hamilton) dipath P for a weighted tree of rings (T w) induces an orientation of each ring of T . Indeed, every arc used by P can be dened clockwise and every other arc can be dened anti-clockwise. We can then call half-color a color used for routing a set of arc-disjoint dipaths using exclusively clockwise or anti-clockwise arcs. Nevertheless, we will need a slightly dierent denition of half-colors in Case B. Indeed, to achieve Main Theorem it is only required that half-colors can be combined two by two to obtain colors. This will be the case in the proof of Lemmas 17 and 18 where each half-color will be used for routing a set of arc-disjoint dipaths using in each ring exclusively clockwise or anti-clockwise arcs. As for weighted rings, we rst assume that Condition A is satised (Case A). 131 8 Beauquier, Prennes & Tth [45,49] [44] (4) (1) (4) [40,43] (3) (2) [50,52] [38,39] [4] [5,6] (1) (2) [33,36] [37] (1) [1,3] [20,22] (3) (3) [30,31] (2) (4) (1) (5) [7,11] [23] [12,14] (3) (1) [15] [16,19] [32] (1) (2) (4) (4) [24,25] [26,29] Figure 3: Interval labelling of a weighted tree of rings (weights are in brackets) induced by a closed Eulerian dipath. Lemma 14 If Proposition 11 holds for all weighted trees of rings with weight less than N , then it holds for any weighted tree of rings with weight N satisfying Condition A. Proof. The same arguments as in the proof of Lemma 7 are used and we give here a short proof. Given a weighted tree of rings (T w), let P be a closed Eulerian dipath in T . We consider two antipodal nodes a and b and we can assume w.l.o.g. that a is visited for the rst time before b along P . Let A be the set of nodes visited after a and before b and let B be the set of nodes visited before a or after b. By dening A and B in this manner and by routing all requests clockwise or anti-clockwise along P , the proof of Lemma 7 can be adapted and leads to the same result.2 Let (T w) be a weighted tree of rings with minimum gap . If Condition A is not satised, then > 1 and Condition B holds (Case B). De nition 15 A main ring of (T w) is any ring where some tight cut occurs. A block of a main ring C is any set of nodes remaining connected after removing all the arcs of C . Whereas for weighted rings Condition B implies an odd number of nodes of the same weight, for weighted trees of rings we need to add the condition that every block of a main ring has weight at most N=2 (Case B1). 132 All-to-All Routing and Coloring in Weighted Trees of Rings 9 Lemma 16 Consider a weighted tree of rings satisfying Condition B and having a main ring with blocks all of weight at most N=2. Then there is an odd number of blocks all of the same weight. Sketch of proof. See the proof of Lemma 10. (Blocks of a tree of rings correspond to nodes of a ring and antipodal blocks are dened as containing antipodal nodes.) 2 Figure 4: A weighted tree of rings in Case B1. All weights are equal to 1. The remaining case to study is that of a weighted tree of rings satisfying Condition B and having a main ring with one block of weight greater than N=2 (Case B2). So there is exactly one tight cut in the main ring separating this block from the other blocks. Moreover Condition B implies the existence of another tight cut out of the main ring, as two antipodal nodes can be chosen respectively in and out of the main ring. So we can see the weighted tree of rings as the union of weighted trees of rings (at least two of them having the same maximum weight) which intersect two by two in the same weighted node. Figure 5: A weighted tree of rings in Case B2. All weights are equal to 1. In order to complete the proof of Main Theorem we need to solve Case B1 and Case B2. Lemma 17 Proposition 11 holds for any weighted tree of rings (T w) with 2p + 1 blocks (p > 0) of weight k. 133 10 Beauquier, Prennes & Tth Proof. The load of a tight cut is p(p + 1)k2 . The half-coloring of (T w) follows from the solution obtained for the ring (C2p+1 w1 ) with 2p + 1 nodes and uniform unit weight, that uses p(p + 1) half-colors. We number blocks of T with integers from 1 to 2p +1 like the nodes of C2p+1 and for each integer i we take a closed Eulerian dipath Pi of block number i and its interval labelling Ii . Moreover, for 1 i 2p + 1 and 1 x k, we denote by li (x) the node of block number i such that x 2 Ii (li (x)). We establish a correspondence between each half-color used in a solution for (C2p+1 w1 ) and a set of k2 half-colors for (T w). Every dipath in T will be routed in every block along its Eulerian dipath. Assume that c is a half-color used in (C2p+1 w1 ) for clockwise dipaths. For each pair of integers x and y such that 1 x y k, we use in (T w) a half-color to color dipaths 1) from node li (x) to node li (y) for each i, and 2) from node li (y) to node lj (x) if there is in (C2p+1 w1 ) a dipath from node i to node j colored by c. Note that these dipaths are dened clockwise in the main ring, clockwise in the blocks if x y and anti-clockwise in the blocks if y < x. Similarly, if c is used in (C2p+1 w1 ) for anti-clockwise dipaths then for 1 x y k we use in (T w) a half-color to color dipaths 1) from node li (y) to node li (x) for each i, and 2) from node li (x) to node lj (y) if there is in (C2p+1 w1 ) a dipath from node i to node j colored by c. Note that these dipaths are dened anti-clockwise in the main ring, anti-clockwise in the blocks if x y and clockwise in the blocks if y < x. This symmetric assignment ensures that half-colors can be combined two by two to obtain colors, so Proposition 11 holds in Case B1. 2 Lemma 18 Proposition 11 holds for any weighted tree of rings (T w) that is the union of weighted trees of rings (at least two of them having the same maximum weight) which intersect two by two in the same weighted node. Sketch of proof. Let v be the common weighted node of the weighted subtrees of rings whose union forms (T w). Note that v is at the border of every tight cut. In each subtree of rings we take a closed Eulerian dipath and every dipath in T will be routed in every subtree of rings along its Eulerian dipath. A good routing strategy is to combine the dierent routings for each subtree of rings obtained by adding to the weight of node v the weights of the other subtrees of rings (Condition A is then satised in each so modied subtree of rings). The main problem consists in coloring the set of all dipaths going to or from or through v. This is obviously equivalent to color a set of dipaths in a subdivided star, i.e. in a graph that is the union of paths (twice more than subtrees of rings) which intersect two by two in the same node. Theorem 21 of 4] states the existence of a coloring in this case with the right number of colors. The remaining dipaths go neither to neither from nor through v and can be colored more easily. 2 134 All-to-All Routing and Coloring in Weighted Trees of Rings 11 References 1] A. Aggarwal, A. Bar-Noy, D. Coppersmith, R. Ramaswami, B. Schieber, and M. Sudan. Ecient routing and scheduling algorithms for optical networks. In Proc. of the 5th Ann. ACM-SIAM Symp. on Discrete Algorithms (SODA'94), pages 412423. ACM Press, January 1994. 2] Y. Aumann and Y. Rabani. Improved bounds for all optical routing. In Proc. of the 6th Ann. ACM-SIAM Symp. on Discrete Algorithms (SODA'95), pages 567576. ACM Press, January 1995. 3] B. Beauquier. 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Springer-Verlag, 1996. 136 ANNEXE D Tight bounds for broadcasting in the linear cost model 137 138 Tight Bounds for Broadcasting in the Linear Cost Model Bruno Beauquier , Olivier Delmas , Stphane Prennes Th me 1 Rseaux et syst mes Projet Sloop Novembre 1999 Abstract: This work considers broadcast protocols made of successive communication rounds in the linear cost model: the time needed to send a message of length L is dened as + L . In this model, the communication time of any algorithm A is expressed as the sum RA + TA , where RA is the number of rounds and TA the transmission cost of the algorithm. In order to design an ecient algorithm realizing a given communication pattern, it appears that minimizing RA and TA are antinomic goals. We study this trade-o issue for broadcast protocols. Surprisingly, such a general theoretical study has almost never been done. In the literature, only the two opposite issues are actually considered: minimizing the number of rounds in the case of short messages, or minimizing the transmission cost in the case of large messages. Our results concern the fully-connected N -nodes network KN , with N = (k + 1)T , in the bidirectional k;ports mode. We derive tight bounds on the communication time for broadcasting in T + r rounds, our lower bounds holding for any network. Key-words: communication networks, broadcasting, linear cost. (Rsum : tsvp) An extended abstract of this paper written by the second author has been accepted in the 5th International Colloquium on Structural Information and Communication Complexity (SIROCCO'98). This work has been partially supported by the AFIRST in the framework of the French-Israeli project Communication Algorithms in Optical Networks and by the French RNRT project PORTO. Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France) Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65 Bornes Fines pour la Diusion avec Cot Linaire Rsum : Ce travail consid re des protocoles de diusion se droulant en tapes successives sous le mod le linaire du co&t de communication : le temps ncessaire pour envoyer un message de longueur L est dni par + L . Dans ce mod le, le temps de communication d'un algorithme s'exprime par la somme RA + TA , o RA est le nombre d'tapes et TA le cot de transmission de l'algorithme. En vue de concevoir un algorithme ecace ralisant un schma de communication donn, il appara't que minimiser RA et TA sont des objectifs antinomiques. Nous tudions le compromis ncessaire entre ces deux co&ts dans le cadre de la diusion. Il s'av re qu'une telle tude thorique gnrale n'a pratiquement jamais t entreprise. Dans la littrature, seulement les deux cas extrmes sont considrs : minimisation du nombre d'tapes dans le cas de messages courts, ou minimisation du co&t de transmission dans le cas de messages longs. Nos rsultats concernent le rseau complet KN , avec N = (k + 1)T , sous le mode k-ports bidirectionnel. Nous drivons des bornes nes sur le temps de communication pour la diusion en T + r tapes, les bornes infrieures tant valables dans tout rseau. Mots-cl : rseaux de communication, diusion, co&t linaire. 1 Tight Bounds for Broadcasting 1 Introduction When studying information dissemination in communication networks, often considered are protocols made of successive communication rounds with a linear model for the communication cost : the time needed to send a message of size L from a node to another is dened as + L , where stands for a start-up time while L represents the cost of sending L bits of data in a channel with bandwidth 1= . The cost of a round is dened as the maximum of the cost of all the communications done during this round. In such a modelization, the communication time of any algorithm A can be expressed as the sum RA + TA , where RA is the number of rounds and TA the transmission cost of the algorithm. This linear model of the communication cost is often used in the literature and references to algorithmic work can be found in 6, 7]. When trying to design an optimal algorithm performing a given communication pattern, it appears that minimizing RA and TA are often antinomic goals. In fact, in the literature many authors optimize only one of these two parameters by considering one of the two extremal cases: Short messages (i.e. L ) ; In this case, RA is the leading term of the communication time. Hence, only the number of rounds is to be minimized. Many authors have proposed broadcast algorithms optimal with that respect (see the surveys 10, 11], the book 14], the chapter 13] or the theses 6, 7]). Large messages (i.e. L ) ; In this case, only the transmission cost is to be minimized. Techniques, like pipelined algorithms using disjoint spanning trees, ensure a nearly optimal cost for message transmission (see 8, 12, 15] for hypercube network or 4, 9] for grids, and 10, 14] for a general survey). Note that this kind of optimality always implies a large number of communication rounds. Some authors considered also families of algorithms A(p) depending on some parameter p (for example, for pipelined algorithms p usually represents the size of packets, assuming that all packets have the same size ; see the survey 10] and the associated references). In this case, the family A(p) uses RA (p) rounds with a transmission cost TA (p). Within a family, as the functions RA (p) and TA (p) have usually an opposite behavior, the optimal p minimizing the communication time can be chosen for given , L and . Here, in order to design optimal algorithms and to study this trade-o, we proceed in a dierent way. Given the number of rounds, we try to determine (at least to nd a tight estimation of) the minimum transmission cost of any algorithm realizing the communication pattern within this given number of rounds. A general theoretical study about such a tradeo has almost never been done (except in 5]) and therefore no optimal protocol was known but in the case of short or large messages, by optimizing only the leading term. 141 2 Beauquier, Delmas & Prennes The determination of the minimum transmission cost of an algorithm using a given number of rounds appears to be a dicult problem. So, we restrict ourselves to the communication scheme called broadcasting, where a single source has to send the same message of length L to all the other nodes in the network. We also assume that links are full-duplex (i.e. there is a bidirectional link between each pair of node) and that a node can simultaneously send and receive data on at most k;ports. We consider the case where the network is the complete graph KN and we assume that N = (k + 1)T , as this is the maximum number of nodes which can be informed in T rounds. With these hypotheses, any broadcast algorithm needs at least T rounds. In this paper, we study the antinomy between the number of rounds and the transmission cost. When the number of rounds is small, more exactly of the form T + r with r logk+1 (T )+1, we show that an estimation of the transmission cost is given by an exponential T r + ( 1 ). Conversely, for a large number of extra rounds r T ; 1, we decrease (k+1) k observe a linear decrease krT ++1r ; O( r12 ), whereas for intermediate values no trade-o occurs, the transmission cost remaining close to 2=k. The article is organized as follows. In section 2 we give the denitions and hypotheses and show why our study is valid for both the store-and-forward and the circuit-switched routing modes. We also introduce a function allowing to study the trade-o issue formally. In section 3 we give an upper bound for broadcasting with a few extra rounds, while we derive tight lower bounds in section 4. Other tight bounds for many extra rounds are derived in section 5. In conclusion we summarize our results and discuss their applications. 2 Framework Recall that we consider synchronous protocols made of successive communication rounds. De nition 1 The communication time of a broadcast algorithm A in a network G can be expressed as b(A) = RA + TA , where RA is the number of rounds and TA the transmission cost. The minimum broadcast time over all algorithms is denoted by b(G). For any k-ports network with N nodes, the usual lower bound on the time for broadcasting a message of length L is expressed as the sum of the lower bounds valid for the number of rounds and for the transmission cost 6]: b(G) dlogk+1 N e + Lk (1) As already noticed, existing upper bounds have quite a dierent form where a trade-o appears. 142 3 Tight Bounds for Broadcasting The function dened below will be useful to derive a relation between the number of rounds and the transmission cost. De nition 2 Let G be a xed network and T the minimum number of rounds for broadcasting in G. Then, f (G L r) is dened as the minimum transmission cost of any algorithm broadcasting in G a message of length L and completing in r extra rounds, i.e. using T + r rounds. With the previous denition, we have b(G) (T + r) + f (G L r) , for any r 0. Hypothesis 3 Packet sizes are assumed to be continuous. This does not hold formally in practice, as messages are made of integer numbers of bits. However, as these numbers are generally large, the continuity assumption makes sense. Property 4 Assuming continuous packet sizes, the function f is linear in L, i.e. f (G L r) = f (G 1 r) L. Moreover, f (G 1 r) is a non-increasing function of r. Proof. Let M be a message of length L and let AL0 be an algorithm broadcasting a message M 0 of length L0 with transmission cost f (G L0 r). Let us denote by h the function x ! 7 x L=L0 from 0 L0 ] to 0 L]. Note that h induces a function H from the set of submessages of M 0 to the set of submessages of M . With function H we are able to dene submessages of M from submessages of M 0 . By following the same communication protocol as AL0 with the images by H , we obtain an algorithm AL broadcasting M with cost f (G L0 r) L=L0. Hence, f (G L r) f (G L0 r) L=L0. By inverting roles of M 0 and M , we get the reverse inequality. Note at last that any algorithm using r + 1 rounds can emulate an algorithm using r rounds by sending empty messages during its last round, so f (G 1 r + 1) f (G 1 r). 2 Remark 5 As f (G L r) is linear in L, we will consider w.l.o.g. that L = 1. Hypothesis 6 We consider the case of the complete graph KN with N nodes. Note that the behaviour of f (G 1 r) strongly depends on the topology of network G. Any link conict is avoided in the complete graph. Therefore we will derive lower bounds valid for every network with N nodes. Moreover, as each pair of vertices can communicate 143 4 Beauquier, Delmas & Prennes in the complete graph, the study is also valid for both the store-and-forward and the circuitswitched routing modes. Finally, in order to simplify computations we will assume that: Hypothesis 7 Under the k-ports communication mode, N = (k + 1)T . This is not avery restrictive hypothesis, as N is thereby the maximum number of nodes which can be informed by a broadcast protocol completing in T communication rounds. With all these hypotheses, we give in the next sections results on f (KN 1 r), with N = (k + 1)T , that will be denoted simply by fT (r). With this notation, we have immediately: Proposition 8 fT (0) = T . Proof. As N = (k + 1)T , every node other than the source can be informed only once during the T rounds and must receive the whole message whose length is 1. Hence, the size of any message sent during any round must be equal to 1, and so fT (0) 0. A greedy algorithm matching this bound can be dened as follows. During T rounds every informed node sends the whole message to k not yet informed nodes. The broadcast is thus completed and the resulting transmission cost is T . 2 3 Upper bound for broadcasting with a few extra rounds Here, we construct inductively algorithms for broadcasting with r extra rounds. We initiate the induction by using the greedy broadcast algorithm given in Proposition 8. 2 + fT;1 (r;1) . Lemma 9 For T > 0 and r > 0, fT (r) k+1 k+1 Proof. For t 0, let Nt = (k + 1)t, hence N = NT . The idea consists in dening an algorithm in KN using T + r rounds from an algorithm in KNT;1 using T ; 1+ r ; 1 rounds. The vertex set V (KN ) of the complete graph KN can be seen as the cartesian product f1 2 : : : k +1gf1 2 : : : NT ;1 g and can be represented by the following matrix with k +1 144 5 Tight Bounds for Broadcasting rows and NT ;1 columns: 0 B V (KN ) = B B @ (1 1) (1 2) (2 1) (2 2) .. .. . . (k + 1 1) (k + 1 2) (1 NT ;1 ) (2 NT ;1 ) .. ... . (k + 1 NT ;1 ) 1 C C C A The source (1 1) rst partitions equally the message into k + 1 packets each of size 1=(k + 1), denoted by mi for 1 i k + 1. During the rst round, the source (1 1) sends packet mi to node (i 1), for 2 i k +1. The transmission cost of this round is 1=(k + 1). During the next (T ; 1 + r ; 1) rounds and for 1 i k + 1, each packet mi is broadcast from node (i 1) to all the vertices in line i. This is realized by performing k + 1 independent and parallel identical protocols broadcasting in (T ; 1) + (r ; 1) rounds a message of length 1=(k + 1) in k + 1 disjoint complete graphs of cardinality NT ;1 . By denition of fT ;1 , the transmission cost of this phase is fT ;1 (r ; 1)=(k +1). Finally, as the original message is distributed on every column, each node (i j ) sends in the last round packet mi to the k others nodes in column j (parallel total exchanges of the packets mi are realized in the dierent columns). The transmission cost of this last round is 1=(k + 1). 2 + fT;1 (r;1) . Summarizing, we obtain the inductive inequality fT (r) k+1 k+1 2 Now the following proposition can be stated. ;r r + 2 1 ; 1 r . Proposition 10 For r T , fT (r) (kT+1) k (k+1) Proof. For r P = 0 we use Proposition 8. For 1 r T , applying inductively Lemma 9 2 i + fT;r (0) leads to fT (r) ri=1 (k+1) (k+1)r . Note that the condition r T follows from the fact that Lemma 9 can be applied only for T > 0. 2 145 6 Beauquier, Delmas & Prennes 4 Lower bounds for broadcasting with a few extra rounds 4.1 Notation For every t 0, let Nt = (k + 1)t . Then Nt is an upper bound on the maximum number of nodes having received some information after the t rst rounds. For 1 t T + r, we need the following denitions: lt : maximum size of the messages sent during round t, Lt = Pti=1 lt : transmission cost after the rst t rounds, it P : total information received during the round t, It = ti=1 it : total information received after the rst t rounds, and by convention, L0 = I0 = 0. 4.2 Preliminaries To study the transmission cost once some vertices have already been informed, we need a to consider particular protocols where a given number s of sources can simultaneously broadcast information, and which we call broadcast protocols with s sources. Lemma 11 For any broadcast protocol with s sources, for any t 1 and for a xed Lt , we have It s Ltt (Nt ; 1). Moreover, equality holds only if all the costs li , with 1 i t, are equal. Proof. The following holds for each round t + 1 such that t 0. At most sNt nodes can send messages, hence it+1 k(sNt )lt+1 . Let i(x t) be the total information received by node x after t rounds. The information sent by the sources is at most s(klt+1 ) and each of the other nodes can send no more P than what it has already received, hence it+1 s(klt+1 )+k x2G i(x t) = sklt+1 +kIt . So for every t such that 0 t T , we have: It+1 It + ksNtlt+1 It+1 (k + 1)It + kslt+1 (2) (3) Note that the lemma is true for t = 1, as we have N0 = 1, I0 = 0, leading to I1 ksl1 = sl1 (N1 ; 1). We assume that it holds for a given t and we prove it for t + 1. 146 7 Tight Bounds for Broadcasting We recall that Lt+1 is xed. For a protocol with some transmission cost lt+1 at round t + 1, we have Lt = Lt+1 ; lt+1 and by induction hypothesis It s Lt+1 ;t lt+1 (Nt ; 1) From (2) and (3), we get: It+1 It+ ksNt lt+1 s Lt+1 ;t lt+1 (Nt ; 1) + kNtlt+1 = '1 (lt+1 ) It+1 (k+ 1)It + kslt+1 s Lt+1 ;t lt+1 (Nt ; 1)(k + 1) + klt+1 = '2 (lt+1 ) Functions '1 and '2 are two ane functions in lt+1 , '1 being increasing while '2 is nonincreasing. Therefore, min('1 (lt+1 ) '2 (lt+1 )) is smaller than the common value obtained t+1 and we obtain: by solving '1 (lt+1 ) = '2 (lt+1 ). The solution of this equation is lt+1 = Lt+1 It+1 '1 (lt+1 ) = '2 (lt+1 ) = tL+t+11 (Nt+1 ; 1) i+1 for each i t, which indeed To reach this bound, we must have by induction li+1 = Li+1 implies that all the intermediate costs are equal. In this view, the transmission optimization may be called greedy. 2 Corollary 12 For 0 p < q T + 1, the information transmission Iq after q rounds of every protocol having xed values of Ip , Lp and Lq satises: Iq Ip + Lqq ;; pLp (Nq ; Np ) (4) Proof. First, note that after p rounds at most Np nodes can be informed. So, after round p, an information transmission occurs from Np sources during q ; p rounds and with a xed cost (Lq ; Lp ). According with t = q ; p, Lt = Lq ; Lp and to Lemma 11 applied L ;L q p 2 s = Np we have (Iq ; Ip ) Np q;p (Nq;p ; 1) and the result holds. Remark 13 For values of t greater than T + 1, Lemma 11 does not give an accurate estimation of It . This is due to the fact that for t T + 1, the maximum number of 147 8 Beauquier, Delmas & Prennes informed nodes is NT , which is much smaller than Nt . Nevertheless, lower bounds on fT (r) can still be derived from inequalities (2) and (3), but they are not tight enough and the rened analyses given in the next sections allow to obtain better results. Consider a dissemination protocol with one source using T + r rounds. After round T + r, each node must have received a complete message of length 1, hence, if i(x t) (as in the proof of Lemma 11) denotes the total information received by node x after t rounds, we have for any node x , i(x T + r) 1. By summing over all the nodes (except the source) we get the next inequality: IT +r NT ; 1 (5) Remark 14 Using the fact that any broadcast algorithm using T rounds satises IT N ; 1, we nd again Proposition 8 from Lemma 11, i.e. the transmission cost LT is at least T . 4.3 One extra round +1 Proposition 15 fT (1) = Tk+1 Proof. We prove that fT (1) of an algorithm using T T +1 by reduction to the absurd, assuming the existence k+1 +1 . + 1 rounds with a transmission cost LT +1 < Tk+1 First we prove that lT +1 < k1 . With inequalities (5) and (3) and from Lemma 11, we have: NT ; 1 IT +1 (k + 1)IT + klT +1 IT LTT (NT ; 1) by hypothesis, LT = LT +1 ; lT +1 +1 ; lT +1 < Tk+1 1 kT 1 k . Combining the three relations leads to lT +1 < k+1;1 N; As klT +1 < 1, a node without information cannot receive enough information during the last round. So, during the rst T rounds each node must receive some information, exactly one message as N = (k + 1)T . 148 9 Tight Bounds for Broadcasting Let l = min flt j 1 t T + 1g be the minimum cost of all rounds. We have (T + 1)l +1 , so l < 1 . Now, we distinguish two cases. LT +1 < Tk+1 k+1 The minimum value l is attained for lT +1 . As a vertex can receive at most kl information in round T + 1, then it should be know at least 1 ; kl information after round T and so, according to Proposition 8 we have lt 1 ; kl for 1 t T . The minimum value l is attained for some t0 with 1 t0 T . As the algorithm follows a spanning tree pattern during the rst T rounds, exactly (Nt0 ; Nt0 ;1 ) nodes receive at most l information during round t0 . Let S be the set of all the descendants of these nodes after round T ( and note that jS j = (k + 1)T ;t0 (Nt0 ; Nt0 ;1 ) = NT ; NT ;1 . So, all the nodes in S have at most l information after round T . As l < 1=(k + 1), no node in S can receive, in the last round, k messages from nodes in S . As k(N ; jS j) = jS j, we deduce that during round T + 1 each node in S receives (k ; 1) messages of length at most l from nodes in S and one message of length at least (1 ; kl) from a node not in S . Consequently, any node not in S must have at least (1 ; kl) information after round T . So, lT +1 1 ; kl and lt 1 ; kl for 1 t T , with t 6= t0 . In both cases we have LT +1 l + T (1 ; kl) = '(l). Finally, just note that '(l) is a 1 , we have LT +1 > '( 1 ) = T +1 , contradicting strictly decreasing function in l. As l < k+1 k+1 k+1 our main hypothesis. As the conditions used in this proof are necessary to perform any +1 and the result follows from broadcast protocol, then, it is proved that fT (1) LT +1 Tk+1 Proposition 10. 2 4.4 Two extra rounds Before to state a lower bound for two extra rounds, we need to introduce a new notion about the transmission cost. De nition 16 Given a network G with one source vertex. A transmission algorithm using t rounds is a communication protocol such that: Initially the source has a message of innite size, and all the other vertices in G have no information. During the t rounds of the protocol, each vertex with some information can send k dierent submessages such that each size is not greater than the known information. At the end of the protocol, i.e. after t rounds, all the vertices in G have received an amount of information at least equal to 1. 149 10 Beauquier, Delmas & Prennes Remark 17 Clearly, these transmission constraints are weaker than those for broadcasting. Indeed, at the end of a transmission protocol, we make no assumption about what message reaches each vertex. We only restrict the nal amount of information in each vertex. De nition 18 Let gT (r) be the minimal transmission cost of any transmission algorithm for the complete graph KN using T + r rounds. Property 19 As any broadcast algorithm satises the transmission constraints, we have fT (r) gT (r). Our lower bound can now be stated. ; T 2 + 2 ; Proposition 20 fT (2) = (k+1) k+1 1 kT . Proof. From Proposition 10 we have fT (2) broadcast algorithm using T + 2 rounds. T (k+1)2 2 . We consider an optimal + k+1 After the rst round, at least (1 ; kl1 ) information remains to be broadcast from the source in T + 1 rounds, so l1 + (1 ; kl1 )fT (1) LT +2 NT2 + N21 and from Proposition 15 we deduce: 1 1 kT ; 1 ; k l1 (kT ; 1)N = N ; kT (6) 1 1 Before the last round, every node must have at least (1 ; klT +2) information. Therefore, by denition of the function gT , we get that LT +1 is at least (1 ; klT +2 )gT (1). So lT +2 satises the same inequality as l1 : 1 1 kT ; 1 ; k (7) lT +2 (kT ; 1)N = N ; kT 1 1 Let be such that LT +2 = l1 + T + lT +2 . By applying Corollary 12 with p = 1 and q = T + 1, we obtain IT +1 k + (NT +1 ; N1 ). Then from NT ; 1 IT +2 N1 IT +1 + k we deduce: N1 ; N1 2 As T=N is small compared to 1=(kT ), combining (6), (7) and (8) gives: 1 fT (2) = LT +2 = l1 + T + lT +2 NT + N2 ; kT 2 1 150 (8) 2 11 Tight Bounds for Broadcasting 4.5 Some extra rounds We have given in section 3 algorithms for broadcasting with r extra rounds, inducing upper bounds on fT (r). For large enough values of T , their transmission cost can be approximated T r and 2 . The former is dominating for small values of r by the sum of the two terms (k+1) k and decreases exponentially with r. We prove in the following that in this case the upper bounds of Proposition 10 are tight. Therefore we show the eciency of our algorithms, which allow to decrease signicantly the transmission cost with a few additive rounds. T r + Theorem 21 For 0 r T , fT (r) = (k+1) ;1 k . Proof. We derive here a lower bound on fT (r) matching the upper bound given by Proposition 10. Let consider a broadcast algorithm using T + r rounds. After round r ; 1 it can be seen as a broadcast protocol with (at most) Nr;1 sources. So from inequality (3) with t = T + r ; 1 we get: IT +r (k + 1) IT +r;1 + k Nr;1 lT +r By iteration for T t < T + r ; 1 and as lt+1 IT +r Nr IT + r ;1 X i=0 1, we obtain: (k Ni lT +r;i ) Nr IT + (Nr ; 1) Then, we apply Lemma 11 with t = T , L T NT IT +r + 1 Nr (IT + 1) Nr T (N ; 1) + 1 and it follows that LT ;T ;1 T T 1;Nr T T NT;r N ;1 = Nr + N ;1 Nr = Nr + N . Now, we must compare this relation with the upper bound given by Proposition 9, that is we compare NT with k1 . As NT is small compared to k1 the proposition holds. 2 The above proposition is meaningless when r > logk+1 (T ) as it reduces to fT (r) = ( k1 ). In the following we investigate this case and we give a better bound. Proposition 22 For r < T ; 1, fT (r) 2 k. Proof. We consider a broadcast algorithm using T + r rounds and having a transmission cost strictly less than 2=k, and we show that r T ; 1. Let t0 be the last round after which 151 12 Beauquier, Delmas & Prennes it remains some information not yet broadcast from the source, hence Lt0 +1 1=k. After round t0 , T rounds are necessary to broadcast this last piece of information in the entire network, so t0 + T T + r and t0 r. Given the assumption on the total transmission cost, every node must have received some information after the round t0 + 1, otherwise LT +r Lt0 +1 + 1=k 2=k. Therefore, we have t0 + 1 T , leading to r T ; 1. 2 Corollary 23 For logk+1(T ) + 1 < r < T ; 1, fT (r) = k2 + O ; 1 k2 . r);2 . As for r log (T ) + 2, we Proof. By Proposition 10 we have fT (r) k2;+ k k(T(k;+1) r k+1 1 2 have (k + 1)r T (k + 1)2 , then, fT (r) k + O k2 and the result holds with Proposition 2 22. Remark 24 It has been proved that the minimum transmission cost fT (r) decreases ex- ponentially when a small number of extra rounds is used. However, this behaviour stops as soon as r is greater than logk+1 (T ). Indeed, the main cost becomes 2=k. This can be explained as follows: to have an unit length message broadcast in a whole network under the k-ports mode, a transmission cost of 1=k is required to make the message go out from the source and also to make it enter into any other node. We could think that the pipeline techniques could decrease this cost as they should allow to have these two costs covered by each other, in order to go below a total cost of 2=k. Unfortunately, Proposition 22 proves that no pipelined algorithm can be usefull if r < T ; 1. 5 Broadcasting with many extra rounds In this section, we investigate the case where many extra rounds are used, i.e. with r T ;1. In this range pipelined protocols are possible and we study how such techniques allow to decrease the transmission cost. 5.1 Upper bounds: pipelined algorithms Proposition 25 For r T ; 1, fT (r) krT ++1r . Proof. This upper bound follows from an algorithm. In the following Zq will denote the set of integers modulo q. The elements of Zq will be taken in the set f0 1 : : : q ; 1g. The vertex set of the complete graph KN is represented by ZTk+1. The elements in ZTk+1 may be expressed in the canonical base fei g1iT , that is, we may denote a vertex x = P (x1 x2 : : : xT ) 2 ZTk+1 by Ti=1 xi ei . The source is the element with all components 152 13 Tight Bounds for Broadcasting equal to 0. In the following, we need to dene a labelling of the arcs to be used in our algorithm. For each node x, for 1 j k and 1 i T , the arc (x x + j ei ) will be labelled by i. In our algorithm, only arcs labelled by i are used during a round t = i mod T . Now, let U be the set of vertices such that U = fu 2 V (KN ) j u = j ei with 1 j k and 1 i T g. For each node u 2 U , let T0 (u) be simply the vertex u. Now, for 1 h T , let Th (u) be the tree induced from Th;1 (u) by adding all the possible arcs labelled by (i + h mod T ). Thus, TT (u) is a directed spanning tree rooted in u. In this way, we have dened k T arc;disjoint spanning trees and the algorithm mainly consists in pipelining concurrently in each of them. Moreover, to maintain the full use of the bandwidth until the end of the process, the last piece of information is broadcast during the last T rounds using a spanning tree rooted in the source. Now, we describe the algorithm. The source rst cuts equally its unit length message into kr + 1 distinct submessages, denoted by ml with 1 l kr + 1. For 1 t r, at round t the source sends submessage m(t;1)k+j , for 1 j k, to node u = j e(t mod T ) . When a submessage ml , with 1 l kr, has been sent from the source to a node u 2 U , it is broadcast in TT (u) during the next T rounds (using thereby all the arcs labelled by i at each round t = i mod T ). The last submessage mkr+1 is broadcast from the source in the T last rounds, using all the possible arcs labelled by t mod T at round t. The dierent rounds use the same transmission cost equal to 1=(kr + 1), that is the length of each submessage. This leads to the expected total cost (T + r)=(kr + 1). 2 5.2 Lower bounds Lemma 26 For any r 0, if fT (r) T +r kr+1 then fT (r + T ) T +(r+T ) k(r+T )+1 . Proof. Consider an optimal algorithm broadcasting an unit length message in T +(T + r) rounds. After round T , at least (1 ; kLT ) information remains to be broadcast from the source in T + r extra rounds, hence: T + r (1 ; kL ) = ' (L ) fT (r + T ) LT + fT (r) (1 ; kLT ) LT + kr T 1 T +1 153 14 Beauquier, Delmas & Prennes Note also that after time T , an amount of (N ; 1 ; IT ) information has to be transmitted on at most k(N ; 1) links at each round (as those incoming the source are useless). From Lemma 11, we know that IT LTT (N ; 1), hence: fT (T + r) LT + k1 1 ; LTT = '2 (LT ) As in the proof of Lemma 11, '1 is a decreasing function while '2 is an increasing function. So min('1 (LT ) '2 (LT )) '1 ( ), where satises '1 ( ) = '2 ( ). Solving the equation we get: + krT ++1r (1 ; k ) = + k1 (1 ; T ) = k(r+TT )+1 r+T ) '1 ( ) = '2 ( ) = kT(+( r+T )+1 So we have fT (T + r) T +(r+T ) k(r+T )+1 . 2 T +2) Lemma 27 fT (T + 2) = kT(+( T +2)+1 Proof. From Proposition 25 we have fT (T + 2) arguments we get: T +(T +2) k(T +2)+1 fT (T + 2) T +(T +2) k(T +2)+1 LT +1 T +(T +2) k(T +2)+1 and by using the same LT +1 + fT (1) (1 ; kLT +1 ) +1 (1 ; k LT +1 ) LT +1 + Tk+1 T +1 k(T +2)+1 Let us denote by L0T +1 the sum of the transmission costs of the last T + 1 rounds, hence fT (T + 2) = LT +1 + L0T +1 . T +(T +2) k(T +2)+1 fT (T + 2) T +(T +2) k(T +2)+1 L0T +1 fT (1) (1 ; kL0T +1 ) + L0T +1 T +1 (1 ; k L0 ) + L0 T +1 T +1 k+1 T +1 k(T +2)+1 2 So the lemma holds. 154 15 Tight Bounds for Broadcasting Theorem 28 For r T , and r = 0 1 2 mod T , fT (r) = krT ++1r . Proof. We use Lemma 26 inductively. To initiate the induction for r = 0 mod T , we use Proposition 8, that is fT (0) = T verifying the condition of Lemma 26. For r = 1 mod T , we +1 . Finally, for r = 2 mod T , we use Lemma 27 giving use Proposition 15, that is fT (1) = Tk+1 the exact value of fT (T + 2), that veries the needed condition too. For these three cases, we obtain fT (r) krT ++1r . The result follows from Proposition 25. 2 Corollary 29 For T 2 f1 2 3g and for any r T , fT (r) = krT ++1r . Corollary 30 For r T , fT (r) = krT ++1r ; O ; 1 r2 . Proof. Assume that r1 = aT , r = aT + b and r2 = (a + 1)T with a 1 and 0 b < T . a+1)T , and f (r ) = (a+2)T . As by Property 4, We know by Theorem 28 that fT (r1 ) = (kaT T 2 +1 k(a+1)T +1 fT is a non-increasing function, we have: fT (r1 ) fT (r) fT (r2 ) (a+1)T kaT +1 f T (r ) So we obtain for r T , (a+2)T k(a+1)T +1 1 ; 1 ;O 1 fT (r) = k1 + ka k2 Ta a2 1 T 1 1 T + r fT (r) = k + kr ; k2 r ; O r2 = kr + 1 ; O r12 2 The above proposition and corollary make the following conjecture very likely to hold: Conjecture 31 For any T and any r T , fT (r) = krT ++1r . 6 Conclusion In this paper, we have shown the existence of a trade-o between the number of rounds and the transmission cost of broadcast protocols. We have derived tight bounds on the minimum communication time (T + r) + fT (r) L of any algorithm using T + r rounds for broadcasting a message of length L in the bidirectional k-ports complete network KN , with N = (k + 1)T . The following table summarizes the dierent results obtained: 155 16 Beauquier, Delmas & Prennes Number of extra rounds Minimum transmission cost r=0 fT (0) = T +1 r=1 fT (1) = Tk+1 ; T 2 r=2 fT (2) = (k+1)2 + k+1 ;; kT1 T r + 1 2 r logk+1 (T ) + 1 fT (r) = (k+1) ; k 2 logk+1 (T ) + 1 < r < T ; 1 fT (r) = k + O k12 r T , r = 0 1 2 mod T fT (r) = krT ++1r ; r T ;1 fT (r) = krT ++1r ; O r12 Comment greedy exponential trade-o no trade-o linear trade-o Our lower bounds have been obtained for complete networks, therefore they are valid for any topology. Conversely, our matching upper bounds derived from our algorithms require strong connectivity to be reached. For example, we can show that the exponential decrease of the transmission cost does not occur in a ring network. However, all routing mechanisms based on the circuit-switched mode can take advantage of our algorithms, due to the additional connectivity provided. In particular, the Wavelength Division Multiplexed (WDM) optical routing can oer full connectivity in various network topologies (see 3, 2]). Our study has thus been fruitfully taken into account in 1] for multi-hop optical ring and mesh networks. Further work should concentrate on other less connected topologies, for which greater lower bounds will arise. Acknowledgements We are grateful to J-C. Bermond for his helpful remarks and comments. 156 17 Tight Bounds for Broadcasting References 1] B. Beauquier. Broadcasting in WDM optical rings and tori. In Proc. the DIMACS Workshop : "Multichannel Optical Networks : Theory and Practice", volume 46 of DIMACS Series on Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, pages 6373, Rutgers University, NJ, March 1998. American Mathematical Society. 2] B. Beauquier, J-C. Bermond, L. Gargano, P. Hell, S. Prennes, and U. Vaccaro. Graph problems arising from wavelengthrouting in alloptical networks. In Proc. of 2nd IEEE Workshop on Optics and Computer Science (WOCS, part of IPPS'97), Geneva, Switzerland, April 1997. IEEE Press. 3] J-C. Bermond, L. Gargano, S. Prennes, A. A. Rescigno, and U. Vaccaro. Ecient collective communication in optical networks. In Proc. of 23rd International Colloquium on Automata, Languages and Programming (ICALP'96), volume 1099 of Lecture Notes in Computer Science, pages 574585. Springer-Verlag, July 1996. 4] J-C. Bermond, P. Michallon, and D. Trystram. Broadcasting in wraparound meshes with parallel monodirectional links. Parallel Computing, 18:639648, 1992. 5] J. Bruck, C-T. Ho, S. Kipnis, and D. Weathersby. Ecient algorithms for all-to-all communications in multi-port message-passing systems. In Annual ACM Symposium on Parallel Algorithms and Architectures (SPAA '94), pages 298309, Cape May, New Jersey, June 1994. ACM. 6] O. Delmas. Communications par commutation de circuits dans les rseaux d'interconnexion. 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Journal of Parallel and Distributed Computing, 10:167181, 1990. 158 ANNEXE E Broadcasting in WDM optical rings and tori 159 160 Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori Bruno Beauquier* Th me 1 Rseaux et syst mes Projet Sloop Avril 1998 Abstract: The well-known spanning binomial tree broadcast algorithm is generalized to obtain two families of broadcast algorithms for optical rings and two-dimensional toroidal meshes (tori) using Wavelength Division Multiplexing (WDM). These generalizations take advantage of the concurrent transmission through optical links oered by WDM. Their performances are measured under the linear cost model : the cost of sending a message of L bits is dened as + L , where is the latency and is the per-byte transmission cost. It is assumed that each node can concurrently transmit one message and receive one message. Our algorithms are based on the familiar spanning binomial tree and on the dimensional exchanges commonly used on hypercubes. We restrict the number of nodes in a ring and in each dimension of a torus to be a power of two. The algorithms described in this paper oer signicant performance improvements over the basic spanning tree broadcast. Key-words: Optical networks, WDM, broadcasting. (Rsum : tsvp) To appear in the DIMACS Series on Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science published by the American Mathematical Society. Presented in the workshop on Multichannel Optical Networks: Theory and Practice, (DIMACS, March 16-19, 1998). * SLOOP, joint project I3S-CNRS/UNSA/INRIA. Work partially supported by the AFIRST in the framework of the French-Israeli project Communication Algorithms in Optical Networks. Email : [email protected] Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France) Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65 Diusion par multiplexage en longueur d'onde dans les anneaux et les tores optiques Rsum : L'algorithme bien connu de diusion sur un arbre couvrant bin)mial est gn- ralis pour obtenir deux familles d'algorithmes de diusion dans des anneaux et des tores optiques utilisant la technique du multiplexage en longueur d'onde (en anglais, Wavelength Division Multiplexing : WDM). Ces gnralisations exploitent les avantages de la technologie WDM qui permet des transmissions de donnes concurrentes au sein d'une mme bre optique. Les performances des algorithmes sont mesures par un mod le de co&t ane : le temps pour envoyer un message de L bits est dni par + L , o est la latence et l'inverse de la bande passante. Il est suppos que chaque n*ud peut en mme temps envoyer et recevoir un seul message. Nos algorithmes sont bass sur des plongements des arbres couvrants bin)miaux et des changes dimensionnels, classiquement utiliss dans les hypercubes. Mots-cl : Rseaux optiques, multiplexage en longueur d'onde, diusion. Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori 1 1 Introduction Optics is emerging as a key technology in communication networks, promising very high speed local or wide area networks of the future. A single optical wavelength supports rates of gigabits per second, which in turn support multiple channels of voice, data and video 4, 6]. Multiple laser beams that are propagated over the same ber on distinct optical wavelengths can increase this capacity even further. This is achieved through Wavelength Division Multiplexing (or WDM) 3], by partitioning the optical bandwidth into several channels and allowing the transmission of multiple data streams concurrently along the same optical ber. The problem we consider here is motivated by multi-hop communication networks 7] with recongurable wavelength selective optical switches, without wavelength converters. Dierent signals may travel on the same ber-optic link (but on dierent wavelengths) into a node, and then exit from it on dierent links, keeping their original wavelengths. In such communication networks, each source-destination pair can be connected by an end-to-end transparent channel that is identied through a wavelength and a physical path. This necessitates to tune the sender and the receiver to the same wavelength and to set the intermediate optical switches in the right conguration. Wavelengths being a limited resource, solutions to the problem of ecient routing and wavelengths allocation are of importance for the future development of optical technology. A broadcast is an operation where one node of a distributed multicomputer network has a message that must be copied to each other node. The work presented here oers solutions to the broadcast problem for optical rings and toroidal meshes based on the familiar spanning binomial tree and on dimensional exchanges commonly used on hypercubes 5]. The paper is organized as follows. The next section describes the communication model on which the analysis of communication algorithms will be based. The broadcast algorithms and their costs are given in Section 3. In Section 4 all the results are summarized and comments are made. 2 Communication Model This work considers solutions to the broadcast problem on rings of n = 2d processors and on two-dimensional toroidal meshes of n = n1 n2 = 2d1 2d2 processors. The nodes of a ring are numbered by integers i modulo n. The nodes of a toroidal mesh (torus) are numbered by couples (i j ) of an integer i modulo n1 and an integer j modulo n2 . Each node is connected by a pair of unidirectional ber-optic links (one in each direction) to each of its immediate neighbours in the horizontal and vertical directions. Each node can concurrently transmit one message and receive one message. In this paper, a message in a torus is routed or only horizontally either only vertically to the receiver. Messages can be routed through a node without aecting its performance as a sender or receiver. It is assumed that all links have the same xed bandwidth. Wavelength conict occurs when the paths taken by two or more messages sent on the same wavelength have one or more links in common. 163 2 Bruno Beauquier Finally, it is assumed that each receiving node allocates a buer for each incoming message before it arrives. Under this assumption the sender can transmit a message without prior handshaking with the receiver. A simple communication model describes the cost of sending a message of L bits as + L , where is the latency (including the start-up, the switching and the wavelength tuning delays) and is the per-byte transmission cost (1= corresponds to the bandwidth). A close examination of real message passing networks reveals a much larger collection of factors that can aect the cost of communication algorithms. Some of these factors are the length of the circuit over which the message travels, the eects of message packetization performed by the node operating system, the packet permutation costs within a node, the synchronization costs. The permutation costs generally aect the cost of global communication and remarks will be given in Section 4. The remaining factors, which have relatively small eects on cost, will not be considered here. 3 Broadcast Algorithms Two families of broadcast algorithms for optical rings and toroidal meshes are considered. Each algorithm is based on communication patterns commonly used on hypercubes, such as spanning binomial trees and dimensional exchanges. It is assumed w.l.o.g. that node 0 of the ring (respectively node (0 0) of the torus) contains a message of length L to be broadcast to all the other nodes. The cost of a broadcast operation is measured from the time the originator begins the broadcast to the time the last node receives the message. The familiar spanning tree broadcast algorithm is considered rst. Improvements of that basic algorithm will take advantage of 1) the concurrent transmission through optical links oered by WDM, 2) the additional bandwidth oered by bidirectional links, and 3) the increased connectivity of toroidal meshes over rings. 3.1 Basic subroutines 3.1.1 Spanning tree broadcast The rst algorithm is based on the familiar spanning binomial tree that is used in the recursive broadcast algorithm for hypercubes 5]. This algorithm will be called the spanning tree (ST) broadcast and was described earlier in 1] for linear arrays and meshes. A ST broadcast on a ring or a torus of 2d nodes takes d rounds. On the ith round (1 i d), each node j that already has a copy of the message sends it to node j 2d;i, where denotes bitwise exclusive OR. This is illustrated for a ring in Figure 1(a). The corresponding spanning tree is shown in Figure 1(b). Each arc of the tree is labeled with the round at which it carries the message. 164 3 Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori 0 1 2 3 4 5 6 7 000 (1) (1) 100 (2) (2) 110 (2) 010 (3) 101 (3) 001 (3) 011 (3) (3) 111 (a) (b) Figure 1: Spanning tree broadcast on a ring of 23 nodes. The spanning binomial tree on which the ST broadcast algorithm is based is also used in all of the other broadcast algorithms considered here. The nodes of such trees are numbered in binary. (From a purely graph-theoretic point of view, these trees are not spanning trees, but they are useful for describing the scheduling and routing of messages and they will continue to be referred to as spanning trees here.) For purposes here, a spanning tree with root 0 is a directed graph of n = 2d nodes in which each node j has children whose node numbers are obtained by complementing exactly one of the trailing zeros (if any) of j . To determine the node numbering of a spanning tree with root other than 0, exclusive OR the node number of each node in the tree with the node number of the root. For more details about the properties of these trees see 5]. In the spanning tree of a ring of 2d nodes, some tree arcs represent directed paths of several links in the ring and some links are used in several tree arcs. Since some of the tree arcs carry messages simultaneously during this broadcast algorithm, there might be wavelength conict. (This possibility does not arise in hypercube because there is a oneto-one correspondence between tree arcs and hypercube links.) Even though some arcs in the tree share the same links, at each round only disjoint sets of links are used, and so one wavelength is sucient. A ST broadcast on a torus of 2d1 2d2 = 2d nodes, based on the algorithm for rings, is shown in Figure 2. In this algorithm the message is rst broadcast to the nodes in the row containing the originator, then each node in that row broadcasts the message to the nodes in its column. As in the case of the ring, wavelength conict can be avoided with the use of one wavelength only. 165 4 Bruno Beauquier Figure 2: A simple spanning tree broadcast on a torus of 22 22 nodes. Thus, for both a ring of 2d nodes and a torus of 2d1 2d2 = 2d nodes, the ST broadcast algorithm uses one wavelength and has cost d( + L ) (1) There are two other communication problems whose solutions are used frequently in the broadcast algorithms given here. Solutions to these two problems, based on spanning trees, are now described. 3.1.2 Distribute algorithm Some of the algorithms that follow make use of the distribute operation in which one node sends a distinct message to each other node in the network. This operation is also called scatter or one-to-all personalized communication 5]. In all of the broadcast algorithms of Section 3.2, the messages to be distributed, called packets, will arise by partitioning the original message that is to be broadcast. In a ring or a torus of n = 2d nodes, each of the distributed packets, has length L=n, where L is the total length of the message to be broadcast. The distribute algorithm used here is based on a spanning tree : a message of length L is distributed to all the nodes in the tree by halving it at each round until each node has received its packet. For both a ring of 2d nodes and a torus of 2d1 2d2 = 2d nodes, the cost of this distribute algorithm (using one wavelength) is d X i=1 1 + L 2i = d + 1 ; 2d L 3.1.3 All-to-all broadcast (2) The other problem of interest is called the all-to-all broadcast. In this problem, each node has a message (typically, a packet of length L=n) that must be broadcast to all other nodes. This problem is easily solved by exchanging packets between nodes whose node numbers (written in binary) dier by one bit. On hypercubes this algorithm is known as a dimensional exchange and the same term will be used here. Note that the message length doubles at each round of this algorithm and so its cost is the same as the cost (2) of the distribute algorithm described above, provided that there is no wavelength conict. However, on the 166 5 Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori topologies considered in this paper a dimensional exchange can give rise to link contention, whose issue is addressed now. In a ring of 2d nodes, the all-to-all broadcast algorithm can be realized with 2d;2 wavelengths, that we number from 0 to (2d;2 ; 1), by making node numbered j communicate with wavelength numbered j ] = j mod 2d;2 (see Figure 3). On the rst round, each node has to send its packet to the corresponding opposite node in the ring. No wavelength conict occurs if half of the nodes using the same wavelength communicate in the clockwise direction of the ring, while the other half of nodes use the other direction. 0 1 2 3 4 5 6 7 04 15 26 37 04 15 26 37 0246 1357 0246 1357 0246 1357 0246 1357 0123 0123 0123 0123 0123 0123 0123 0123 4567 4567 4567 4567 4567 4567 4567 4567 Figure 3: All-to-All broadcast algorithm using two wavelengths in a ring of 23 nodes. In a torus of 2d1 2d2 nodes (assuming that d1 d2 ), the rst (d1 ; d2 ) rounds of the all-to-all broadcast algorithm consist in exchanges of packets along the longest axis. As in the case of the ring, this can be done with 2d1;2 wavelengths. Then it remains to realize a dimensional exchange in 2d1 ;d2 contiguous square blocks of 2d2 2d2 nodes. Making half of the nodes communicate horizontally while the other half of nodes communicate vertically, and vice versa, as shown in Figure 4, allows to use only 2d2;3 wavelengths in the last phase of the algorithm. An appropriate wavelength assignment can be easily obtained in a greedy fashion. So, in the special case of a square torus of 2d1 2d1 nodes, only 2d1;3 are thus sucient for the dimensional exchange. Thus, the all-to-all broadcast algorithm uses 2d;2 wavelengths for a ring of 2d nodes, wavelengths for a torus of 2d1 2d2 = 2d nodes (only 2d1 ;3 if d1 = d2 ), and has cost d X 1 L (3) + 2d+1;i = d + 1 ; 2d L 2max (d1 d2 );2 i=1 167 6 Bruno Beauquier Figure 4: All-to-All broadcast algorithm using one wavelength in a torus of 23 23 nodes. With the basic tools introduced above, we can now continue with the construction and analysis of broadcast algorithms. 3.2 Distribute-and-Exchange (DE) broadcast algorithms The ST broadcast algorithm can be generalized to take better advantage of the available network optical bandwidth. In particular, broadcast algorithms that have bidirectional message ow are now described. They exploit the network property that messages moving in opposite directions do not contend with each other for optical communication links. In this section we describe a family fA(r)g1rd of broadcast algorithms, so that A(r) completes in d + r communication rounds in a ring or a torus of 2d nodes. For rings, our algorithms are very similar to those given in 8] for linear arrays under a circuit-switched communication model that leads nearly to the same constraints as our WDM assumptions. 3.2.1 DE broadcast algorithms on a ring For 1 r d, the ring can be viewed as 2r interleaved subrings each with 2d;r nodes. The ith of these subrings, for 0 i < 2r , consists of nodes numbered j:2r + i, for 0 j < 2d;r . To broadcast the message on these interleaved rings, the message is rst distributed among nodes 0, 1, ..., (2r ; 1) with one wavelength. From (2), the cost of this distribution 168 7 Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori is r + 1 ; 21r L (4) Each of the informed nodes then acts as the source of a ST broadcast of a message of length L=2r on a subring of 2d;r nodes (see Figure 5). By making the even numbered nodes transmitting to the right and the odd numbered nodes to the left, only 2r;1 wavelengths are sucient. From (1), the cost of this phase is (d ; r) + L 2r (5) The nal phase of the algorithm consists of collecting the packets to reconstruct the original message in each node. This is accomplished by a dimensional exchange on each contiguous subring of 2r nodes using 2r;2 wavelengths. We use here the fact that at the end of the ST broadcasts the distribution of the packets is the same in each contiguous subring. Therefore, receiving the information of a node in the same subring is equivalent to receiving the information of the corresponding node in an adjacent subring. From (3), this phase has cost 1 r + 1 ; 2r L (6) 0123 0123 23 23 1 0123 1 3 0 3 distribute (2 rounds) 0123 23 1 3 2 ST broadcasts 1 3 23 0 3 1 0 2 1 3 2 0 3 0123 1 13 023 02 13 13 02 02 13 13 02 02 13 13 02 exchange (2 rounds) Figure 5: DE broadcast algorithm using two wavelengths in a ring of 23 nodes. Thus, the DE broadcast algorithm A(r) in a ring of 2d nodes uses 2r;1 wavelengths and its total cost is d ; r ; 2 (d + r) + 2 + 2r L 3.2.2 DE broadcast algorithms on a torus We describe here a family of broadcast algorithms similar to those of the previous section. They complete with the same total cost but they necessitate a smaller number of wavelengths, by taking advantage of the connectivity of the torus. As before, for 1 r d the algorithm A(r) uses d + r rounds in a torus of 2d1 2d2 = 2d nodes and proceeds in three phases. 169 8 Bruno Beauquier distribute (3 rounds) ST broadcasts (2 rounds) exchange (3 rounds) Figure 6: DE broadcast algorithm using one wavelength in a torus of 23 22 nodes. Consider the 2d1 2d2 torus as made up of 2r interleaved subtori, each of size d ; 2 1 r1 2d2;r2 , with r1 + r2 = r, so that each 2r1 2r2 contiguous block of nodes has exactly one node from each subtorus. To have each subtorus as square as possible, we will choose to set r1 = min (r d r;d21 +d2 e) and r2 = max (0 b r;d21+d2 c) (hence r1 r2 ), so that the dierence (d1 ; r1 ) ; (d2 ; r2 ) is as small as possible. In the rst phase of the algorithm, the originator distributes the message as 2r packets among the nodes in the 2r1 2r2 block which it belongs to. See Figure 6 for an example. This necessitates only one wavelength and the same cost (4) as in a ring. Each of the nodes in that block then acts as the root of a ST broadcast of a message of length L=2r in a subtorus of size 2d1;r1 2d2 ;r2 . If (d1 ; r1 ) > (d2 ; r2 ), this phase can be realized with 2r1 ;1 wavelengths. If (d1 ; r1 ) = (d2 ; r2 ), alternating the orientation of the spanning trees of the 2r subtori as in Section 3.1.3 (i.e. making one quarter of nodes communicate to the right, another downwards, another to the left and the last upwards) allows to use only 2r1 ;2 wavelengths (See Figure 6). From Equation (1), this second phase has the same cost (5) as in a ring. After the broadcast phase is completed, each node in each contiguous 2r1 2r2 block contains one of the 2r packets. These packets are then recombined using a dimensional exchange. As noticed before, each block can be seen as a torus of 2r1 2r2 = 2r nodes and 2r1 ;2 wavelengths (only 2r1 ;3 if r1 = r2 ) are sucient. The last phase has the same cost (6) as in a ring. 170 9 Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori Thus, the DE broadcast algorithm A(r) in a torus of 2d1 2d2 = 2d nodes uses 2r1;1 wavelengths (only 2r1 ;2 if (r ;jd1 ; d2 j) is non negative and even), with r1 = min (r d r;d21 +d2 e), and its total cost is d ; r ; 2 (d + r) + 2 + 2r L 3.3 Pipelined broadcast algorithms We present in this section a generalization to rings and tori of the pipelined broadcast algorithms given in 5] for hypercubes. In addition, we provide a slight improvement on the total cost which may be also applied on hypercubes. As before, we dene a family fA(r)grd of pipelined broadcast (PB) broadcast algorithms, so that A(r) completes in d + r communication rounds in a ring or a torus of 2d nodes. The communication pattern of all our PB algorithms are based on an embedding in rings or tori of the arc-disjoint spanning trees described in 5] for hypercubes. However, we prefer for simplicity to describe our PB algorithms as induced by the communication pattern of the dimensional exchanges of Section 3.1.3. In consequence, the same number of wavelengths will be sucient to ensure no wavelength conict. It will be made use of the following property : the all-to-all broadcast is accomplished, however is chosen the order of the dimensional exchanges. This fact is easy to understand for hypercubes, where all dimensions are somewhat equivalent, and the same holds for rings and tori. For r d, the PB algorithm A(r) proceeds as follows (see Figure 7) for a ring and Figure 8 for a torus). The original message is rst partitioned into r + 1 packets, all of size L=(r + 1). During the rst d rounds, the communication pattern of the ST broadcast is used, but the originator sends a dierent packet (to a dierent node) at each round. Each such packet is then broadcast from its rst destination to all the network using a spanning tree induced by the all-to-all broadcast algorithm. During all the remaining rounds, the communication pattern of the dimensional exchanges is used cyclically. The originator continues sending a dierent packet at each round until round r and sends then the last packet during the last d rounds. 01234 01234 0 0 01234 01 02 3 1 01234 1 01 01234 013 2 2 0 012 4 012 3 1 0 0 0 2 0123 0123 0124 0123 4 3 Figure 7: Pipelined broadcast algorithm in a ring of 22 nodes. 171 1 4 10 Bruno Beauquier 012 345 012 345 012 345 0 0 1 1 0 012 345 0 0 2 1 0 0 012 012 012 3 345 4 012 3 0 2 012 345 1 02 01 03 01 4 1 3 2 01 1 02 2 01 012 345 014 013 013 2 2 2 1 0 0 3 3 5 4 3 3 012 012 012 012 5 3 012 012 5 4 5 012 3 4 0 1 2 0 012 012 012 345 34 35 4 012 3 0 3 5 4 012 35 4 5 4 012 012 34 35 1 1 0 012 34 5 5 012 34 Figure 8: Pipelined broadcast algorithm in a torus of 22 21 nodes. Thus, as packets of the same size L=(r + 1) are sent at any round, the PB algorithm A(r) has a total cost of (d + r) + rL +1 For comparison, the algorithm of 5] completing in (d + r) communication rounds has cost (d + r)( + Lr ). The slight improvement arises from the fact that in our algorithm the originator sends packets until the last round. 4 Result analysis The following table summarizes the costs of the broadcast algorithms described in this paper and the maximum number of wavelengths that they use during a round. The costs of the algorithms designed for rings are given for n = 2d nodes while the torus algorithms are given for n = 2d1 2d2 nodes. It is assumed that the DE broadcast algorithms are dened for 1 r d and the PB algorithms for d r. Algorithm ring/torus ST ring DE torus DE Cost d( + L ) Number of wavelengths 1 2r;1 2r1 ;1 if (r ; jd1 ; d2 j) is negative or odd ; d ; r ; 2 (d + r) + 2 + 2r L 2r1 ;2 else, with r1 = min (r d r;jd21;d2 j e) square torus DE 2br=2c if r is odd 2r=2;2 if r is even ring PB 2d;2 L torus PB (d + r) + r+1 2max (d1 d2);2 square torus PB 2d=2;2 172 Broadcasting in WDM Optical Rings and Tori 11 Note that for r (log2 d + (1)) the DE broadcast algorithms are not worthwhile. Indeed, their transmission cost has a constant coecient close to two whenever 2r = (d), and this cannot be improved unless r d ; 1. For extremely short messages the ST broadcast algorithms have the lowest cost on both rings and tori because of their low latency. In fact, the ST broadcast is a DE broadcast for r = 0. However, the total cost function being convex, the best DE broadcast has lower cost than the ST broadcast if it is already the case for r = 1, that is, whenever L > (d ;21) For example, even in a 100Mb/sec network of 22 = 4 nodes with latency = 50sec, the ST broadcast has greater cost for broadcasting messages of length L > 10Kb. In the case where suciently large messages are concerned, the PB algorithms presented in the previous section allow to decrease the coecient of the transmission cost down to one, which is optimal. These algorithms are particularly interesting for applications such as broadcast TV or video conferencing. In view of the results obtained in 2], all of our broadcast algorithms have nearly optimal transmission costs, and thus the best of them has the same optimality for the broadcast problem. More precisely, under the same communication model (actually not necessarily optical) it is shown in 2] that any broadcast algorithm completing in d + r rounds has a transmission cost at least (d=2r + (1))L if 1 r d and at least (1 + o(1))( d+r r )L if r d. In this paper we have not dealt with the issue of permutation costs that can aect our algorithms. As it can be noticed, internal data movements are required in the PB algorithms described in the previous section. Indeed, some of the nodes in the network receive, say, the packet numbered i up to d rounds after having received the packet numbered (i + d ; 1). A parameter representing the cost of moving data within a node should be subsequently included in the cost analysis of these algorithms. For our DE broadcast algorithms, this problem can be solved by modifying slightly the exchange phase. If the dimensional exchanges are realized in the reverse order of the one described in Section 3.1.3, then all the received packets can be concatenated within a node without permutation. Nevertheless, we have chosen to present all the dimensional exchanges of our DE broadcast algorithms with that particular order for the following reason. If not enough wavelengths are available in the optical network, these algorithms can still be executed by dividing the not possible communication rounds into several rounds. For example, if one given round in the algorithm requires twice more wavelengths than it is available, then the same communication pattern can be realized in two rounds instead of one. Thus, it is important to have the communication cost of such rounds as small as possible, which is provided by our ordering of exchanges. Note that in our DE broadcast algorithms, only a few rounds require many wavelengths, therefore their total cost will not be signicantly aected in case of wavelength limitation. 173 12 Bruno Beauquier 5 Conclusions This study of the problem of broadcasting in WDM optical rings and two-dimensional toroidal meshes has yielded two families of algorithms. The well-known spanning tree (ST) broadcast algorithm was generalized by taking advantage of the increased bandwidth oered by the bidirectional WDM concurrent transmission. This gave rise rst to a family of Distribute-and-Exchange (DE) algorithms having lower cost than the ST broadcast algorithm for all but the very short messages. Then was described a family of pipelined broadcast (PB) algorithms which perform better for long messages. The additional connectivity of tori over rings has been fully used. Indeed, provided that the torus is quite square, the number of wavelengths used is approximatively the square root of that used in the ring with as many nodes. Our algorithms require knowledge of machine-dependent constants for network latency and bandwidth to obtain good performance. However, implementations and performance measurements to be compared with the analytic predicted costs are desirable to design a more precise communication model. Further work should also generalize our algorithms to allow the number of nodes in a ring or in a dimension of a torus to be any number, not just a power of two. References 1] M. Barnett, D. G. Payne, and R. van de Geijn. Optimal broadcasting in mesh-connected architectures. Technical Report TR-91-38, Dept. of Computer Sciences, Univ. of Texas, December 1991. 2] B. Beauquier, O. Delmas, and S. Prennes. Tight bounds for broadcasting in the linear cost model. Technical report, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, 1997. To appear. 3] N. K. Cheung, Nosu K., and G. Winzer. Special issue on dense WDM networks. IEEE Journal on Selected Areas in Communications (JSAC), 8, 1990. 4] Paul E. Green. Fiber Optic Networks. Prentice Hall, 1993. 5] C.T. Ho and S.L. Johnsson. Optimum broadcasting and personalized communication in hypercubes. IEEE Transactions on Computers, 38(9):12491268, September 1989. 6] D. Minoli. Telecommunications Technology Handbook. Artech House, 1991. 7] B. Mukherjee. WDM-based local lightwave networks, Part II: Multihop systems. IEEE Network Magazine, 6(4):2032, July 1992. 8] S. R. Seidel. Broadcasting on linear arrays and meshes. Technical Report ORNL/TM12356, Oak Ridge National Laboratory, March 1993. 174 ANNEXE F On arbitrary Waksman networks and their vulnerability 175 176 On Arbitrary Waksman Networks and their Vulnerability Bruno Beauquier * , Eric Darrot * Th me 1 Rseaux et syst mes Projet Sloop Octobre 1999 Abstract: Motivated by problems in telecommunication satellites, we investigate rearrangeable permutation networks made of binary switches. A simple counting argument shows that the number of switches necessary to build a n n rearrangeable network (i.e. capable of realizing all one-to-one mappings of its n inputs to its n outputs) is at least dlog2 (n!)e = n log2 n ; n log2 e + o(n) as n ! 1. For n = 2r , the r-dimensional Bene+ network gives a solution using n log2 n ; n2 switches. Waksman, and independently Goldstein and Leibholz, improved these networks using n log n ; n + 1 switches. We provide an P2 extension of this result to arbitrary values of n, using ni=1 dlog2 (i)e switches. The routing algorithm used in Bene+ networks is also generalized for arbitrary values of n. Finally the fault-tolerance issue of these networks is discussed. Key-words: switching networks, multistage networks, rearrangeable networks, permutation networks, fault tolerance, vulnerability. (Rsum : tsvp) Submitted to Parallel Processing Letters (World Scientic). An extended abstract of this paper has been accepted in ALGOTEL'99, Rosco, France, 57 mai 1999. This work has been supported by Alcatel Space Industries (Toulouse, France). * SLOOP is a joint project with the CNRS and the University of Nice-Sophia Antipolis (I3S laboratory). E-mail: {Bruno.Beauquier,Eric.Darrot}@inria.fr. Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA ANTIPOLIS Cedex (France) Téléphone : 04 93 65 77 77 – Télécopie : 04 93 65 77 65 Rseaux de Waksman Gnraliss et Vulnrabilit Rsum : Motive par des probl mes de conception de rseaux embarqus dans des satellites de tlcommunications, notre tude porte sur les rseaux de permutation rarrangeables composs de commutateurs binaires. Un simple argument de comptage montre que le nombre de commutateurs ncessaires pour construire un rseau rarrangeable n n (capable de raliser toutes les permutations de ses n entres vers ses n sorties) est au moins dlog2 (n!)e = n log2 n ; n log2 e + o(n), quand n ! 1. Pour n = 2r , le rseau de Bene+ n r-dimensionnel fournit une solution utilisant n log2 n ; 2 commutateurs. Waksman, et indpendamment Goldstein et Leibholz, ont amlior cette construction en utilisant n log2 n; n +1 commutateurs. Nous donnons une gnralisation de ce rsultat pour toute valeur de n, P en utilisant ni=1 dlog2 (i)e commutateurs. L'algorithme de routage utilis dans les rseaux de Bene+ est galement gnralis pour notre construction. Enn, nous traitons la tolrance aux pannes de ces rseaux. Mots-cl : commutation, rseaux multi-tages, rseaux de permutation, rarrangeabilit, tolrance aux pannes. On Arbitrary Waksman Networks and their Vulnerability 1 1 Motivation The following problem arises in network design for telecommunication satellites. Incoming audio or video signals are to be relayed to output ampliers through an on-board network of waveguides and switching elements each having 4 ports. Each element can be seen as a 2 2 switch which can be set in a direct-connection state or a crossed-connection state. Furthermore, once on board, ampliers can fail and the switches can lock in one state and remain blocked in it. In 6, 12] it is assumed that amplier failures can occur and that any input signal can be routed possibly to any output amplier. In contrast, we consider in this paper the case where ampliers do not fail and where each incoming signal needs a specic amplier, according to the geographical areas targetted, the trac variations and/or the compatibility between signals and ampliers. For many reasons (layout properties, reliability, energy saving, etc), but mainly to decrease launch costs, it is crucial to minimize the network physical weight, i.e. to minimize the number of switches, the number of links (waveguides) and their length. As launch costs are dramatically high, it is worth saving even one switch. In the case of switch blocking the problem becomes minimizing the number of additional switches needed to guarantee the satellite's purpose, despite a number of possible faulty switches determined by the expected satellite lifetime. This dicult problem is tackled at the end of this paper, in case of only one faulty switch and will be the subject of a forthcoming paper 1], in case of an arbitrary number of faults. A practical way to realize such networks is to use the classical multistage permutation networks well studied for both telecommunication and parallel applications. In section 2 we recall some denitions on rearrangeable permutation networks and the known results. In section 3 we present a constructive way of building an arbitrary size permutation network and we give the associated routing algorithm. This improves on previous results in terms of the switch count, as shown by Table 1, and by computation in section 4. Finally in section 5 we extend our results in case of one faulty switch. 2 Rearrangeable Permutation Networks A switching network is an arrangement of switches and transmission links allowing some input terminals (or signals) to be connected to some output terminals (or ampliers) by edge-disjoint paths. Such a network can potentially perform all or only some of the possible connections of its inputs to its outputs, but is usually restricted to one-to-one connections. A switching network with n inputs and n outputs is said to be a rearrangeable permutation network if, for any one-to-one mapping of the inputs on the outputs, there is a set of edge-disjoint paths connecting the input i to the output (i), for each 1 i n. As specied in the introduction we restrict ourselves in this paper to binary permutation networks constructed solely from binary switches. However, our results can be easily 179 2 Beauquier & Darrot extended to k-ary permutation networks where every switch can realize any mapping of its k inputs to its k outputs. Since one binary switch has two possible settings, s switches have 2s settings. Note that this does not imply that s switches will realize 2s distinct network mappings, as dierent settings can sometimes produce the same network mapping. But at least dlog2 (n!)e, or at least n log2 n ; 1:443n from Stirling's formula, binary switches are needed to realize all n! possible mappings of a network with n inputs and n outputs. The rst rearrangeable binary permutation network was designed by Bene+ 2, 3, 4] and was based on the Clos 3-stage network 8]. The r-dimensional Bene+ network can realize any permutation of its n = 2r inputs to its n = 2r outputs on edge-disjoint paths, through 2r ; 1 levels of 2r;1 switches, for a total of n log2 n ; n2 switches. Bene+ networks are thus asymptotically optimal in terms of the switch count. The 3-dimensional 8 8 Bene+ network is shown in Figure 1(a). Further works by dierent authors 9, 10, 11, 13] have shown that one switch could be spared at each step of the recursive construction of Bene+ networks, without aecting its rearrangeability. We call Waksman networks the corresponding optimized networks, having n log2 n ; n + 1 switches, n being a power of two. The case n = 8 is shown in Figure 1(b). (a) (b) Figure 1: A 8 8 Bene+ network (a) and a 8 8 Waksman network (b) Recently Chang and Melhem 7] gave a generalization of Bene+ networks for any number n of inputs/outputs. Although they wish to reduce the number of switches used, their construction does not take into account the possibility of sparing one switch in the even case of the recursion, that we present here. We call arbitrary size Waksman networks (AS-Waksman) our permutation networks and S (n) denoting the number of switches used for any number n of terminals, we obtain : S (n) = S = n + S j n k + n ; 1 2 2 l m n X i=1 dlog2 (i)e 180 (1) (2) On Arbitrary Waksman Networks and their Vulnerability 3 Note that this result is mentionned in a footnote in 11] (page 447) and is attributed to M. W. Green, no publication being known though. Table 1 presents the values obtained by the dierent constructions. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 Lower bound Bene 2] AS-Bene 7] Waksman 13] AS-Waksman 1 1 1 1 1 3 3 3 5 6 6 5 5 7 8 8 10 12 11 13 15 14 16 20 20 17 17 19 22 21 22 26 25 26 30 29 29 36 33 33 39 37 37 44 41 41 49 45 45 56 56 49 49 118 144 144 129 129 Table 1: Comparative switch count. 3 Network Construction Three binary switches can be used to construct a 3 3 permutation network as shown in Figure 2(a). This network can be seen as being built from a 2 2 network (a switch) and a 1 1 network (a link). Figure 2(b) shows the 4 4 Waksman network using ve binary switches. It can be seen as being built from two 2 2 permutation networks. The procedures used to construct these networks can be generalized to recursively construct a network of any size. Specically, a n n AS-Waksman is constructed recursively from an AS-Waksman of size d n2 e and an AS-Waksman of size b n2 c. When n is even, the construction is similar to that of Waksman. The n inputs are connected to n2 switches and each switch is connected to two AS-Waksman networks of size n2 . Any n ; 2 outputs are connected to 181 4 Beauquier & Darrot (a) (b) Figure 2: A 3 3 AS-Waksman network (a) and a 4 4 Waksman network (b) n 2 ; 1 switches and each of them is connected to the two AS-Waksman subnetworks. The last two outputs are connected directly to the two subnetworks as shown in Figure 3(a). To construct an AS-Waksman when n is odd, any n ; 1 inputs are connected to b n2 c switches and each switch is connected to the AS-Waksman of size b n2 c and the AS-Waksman of size d n2 e. Similarly, any n ; 1 outputs are connected to b n2 c switches and each switch is connected to the two AS-Waksman subnetworks. The last input and the last output are connected directly to the AS-Waksman of size d n2 e as shown in Figure 3(b). 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n n 2 n 2 n 2 n 2 1 2 1 2 3 3 4 4 n-3 n-4 n-2 n-3 n-1 n n-2 n-1 b n2 c b n2 c 3 4 n-4 d n2 e d n2 e n (a) n even 1 2 n-3 n-2 n-1 n (b) n odd Figure 3: General construction of AS-Waksman networks This recursive process is illustrated in Figure 4 where a 9 9 AS-Waksman is built from a 4 4 AS-Waksman and a 5 5 AS-Waksman. In general, a n n AS-Waksman network may be constructed in this way, for any n. Remark : Notice that our connection rules allow many possible constructions, according to which and how inputs/outputs are connected, and thus they dene actually a family of AS-Waksman networks. Nevertheless, in the gures and for the main proof, we suppose for convenience that inputs 2k ; 1 and 2k are connected to the same switch for 1 k n=2, 182 On Arbitrary Waksman Networks and their Vulnerability 5 as well as outputs 2l ; 1 and 2l for 1 l (n ; 1)=2, while the remaining connections are direct as shown in Figure 3. Figure 4: A 9 9 AS-Waksman network Theorem 1 Given any one-to-one mapping of n inputs to n outputs in a n n ASWaksman network, there is a set of edge-disjoint paths from the inputs to the outputs connecting input i to output (i) for 1 i n. Proof. The proof is by induction on n. If n = 1 or n = 2, the AS-Waksman network consists of a single link or a single binary switch respectively and the result is obvious. Hence, we assume that the result is true for the AS-Waksman networks of sizes b n2 c and d n2 e. The key of the induction is to observe that the middle part of an AS-Waksman network comprises two AS-Waksman subnetworks. Hence, it will be sucient to decide whether each path is to be routed through the upper or the lower subnetwork. The only constraints that we have on whether paths use the upper or lower subnetworks are that paths from inputs 2k ; 1 and 2k must use dierent subnetworks for 1 k n=2, as well as paths to outputs 2l ; 1 and 2l for 1 l (n ; 1)=2. This is because each switch on the rst and last levels of the AS-Waksman network has precisely one connection to each of the upper and lower subnetworks. There is no choice when either the input or the output is connected directly to a subnetwork. The routing problem to realize any given permutation can be reduced to a bipartite edge coloring problem as follows. If n is even then let n = 2p and if n is odd then let n = 2p ; 1. Consider the bipartite multigraph G = (V E ) with vertex set V = fuk vk g1kp and with edge uk vl ] 2 E if there are i 2 f2k ; 1 2kg and j 2 f2l ; 1 2lg such that (i) = j . From this denition, it follows that G has maximum degree 2. It is a classical result from 183 6 Beauquier & Darrot graph theory (see e.g. 5]), known as K$nig-Hall's theorem, that the edges of a bipartite multigraph of maximum degree can be colored using exactly colors, so that adjacent edges are assigned dierent colors. Now we assume that the edge coloring problem is solved for G using two colors and we show how this leads to a routing of the permutation in the n n AS-Waksman network. Let color 1 be the color assigned to the edge ud;1 (n)=2e vp ]. Note that the path connecting input ;1 (n) to output n must use the lower subnetwork. Thus, for each i we decide to route the path from input i to output (i) through the lower subnetwork if the edge udi=2e vd(i)=2e ] has color 1 and through the upper subnetwork if it has color 2. In case of n odd, another constraint is that the path connecting input n to output (n) must use the lower subnetwork. However, the edge up vd(n)=2 e] has necessarily color 1, due to a parity argument. In this manner, all paths are assigned the upper or lower subnetworks without conict, i.e. we can set the switches at the rst and last levels of the AS-Waksman network so that both ends of every path are connected to the same subnetwork. The remainder of the path routing and switch setting is handled by induction in the subnetworks. Hence, we have established the inductive hypothesis, thereby proving the theorem. 2 As an example, we illustrate the routing algorithm in Figure 5 for the mapping = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 9 1 4 3 2 5 ! in a 9 9 AS-Waksman network. The associated bipartite multigraph G is drawn on the left and the edge coloring induces the subnetwork assignment for each connection between i and (i). The routing inside each subnetwork can be obtained recursively by the same procedure. u1 v1 1 2 1 2 u2 v2 3 4 3 4 u3 v3 5 6 5 6 u4 v4 7 8 7 8 u5 v5 9 9 Figure 5: Routing a permutation in a 9 9 AS-Waksman by bipartite edge coloring. 184 7 On Arbitrary Waksman Networks and their Vulnerability 4 Switch Count In this section, we compute the number of binary switches used for a n n AS-Waksman network, that we denote by S (n). Theorem 2 For any n 1, the number of binary switches used for the rearrangeable n n P AS-Waksman permutation network is S (n) = ni=1 dlog2 (i)e. Proof. The proof is by induction on n. As S (1) = 0, the result is true for n = 1. From the recursive construction given in the previous section, we have for any n 2, S (n) = S n + S j n k + n ; 1 2 2 l m Note that for any two positive integers i and r, if 2r;1 < i 2r then 2r < 2i ; 1 < 2i 2r+1 , hence dlog2 (2i ; 1)e = dlog2 (2i)e = dlog2 (i)e + 1. Thus, recalling that log2 (1) = 0, we have : S (n) = = = dX n=2e i=1 dX n=2e i=2 dX n=2e i=2 dlog2 (i)e + bX n=2c i=1 dlog2 (i)e + n ; 1 (dlog2 (i)e + 1) + dlog2 (2i ; 1)e + bX n=2c i=1 bX n=2c i=1 (dlog2 (i)e + 1) dlog2 (2i)e = The inductive hypothesis being satised, the proposition holds. n X j =1 dlog2 (j )e 2 Corollary 3 For any n 1, S (n) n log2 n ; 0:91n + 1. Indeed, a dierent computation approach can give a more expressive value : S (n) = n log2 n ; n(2 ; ) + 1, where = dlog2 (n)e ; log2 n. This allows to estimate the worst case obtained for = ; log2 (log2 e) 0:53. Note that when n is a power of two, it can be computed by induction that S (n) = n log2 n ; n + 1. 5 Fault-Tolerance Issue Now we consider the possibility for switches to lock and remain denitively in the same state. A switching network with n inputs/outputs is said to be a k-tolerant permutation network if, for any one-to-one mapping of the inputs on the outputs and for any k switches blocked each in any state, there is a set of edge-disjoint paths connecting the input i to the output (i), for each 1 i n. We denote by N (n k) the minimum number of switches for such a network. In this paper we restrict ourselves to 1-tolerant permutation networks. 185 8 Beauquier & Darrot Theorem 4 For any n 1, N (2n 1) 2N (n 1) + 2n. Proof. The proof is based on the construction illustrated in Figure 6. Both the 2n inputs and the 2n outputs are connected two by two to 2n switches and each switch is connected to two 1-tolerant permutation networks of size n. We claim that this 2n 2n network, made of two n n 1-tolerant networks using each N (n 1) switches, is a 1-tolerant permutation network. Actually we have a stronger result : any permutation can be realized despite one faulty switch in each subnetwork, plus one faulty switch at the rst or last level. Indeed, in this case each subnetwork can still handle by assumption any mapping of its n inputs to its n outputs. Moreover, one switch locking at the rst or last level corresponds to have the two associated inputs or outputs directly connected to the two subnetworks, similarly to the construction of even AS-Waksman networks. Thus, the arguments used in the proof of Theorem 1 can be easily adapted to decide through which subnetwork each path is to be routed, thereby proving our claim. 2 1 1 2 3 4 2n-3 2n-2 2 nXn 1-tolerant nXn 1-tolerant 3 4 2n-3 2n-2 2n-1 2n-1 2n 2n Figure 6: Construction of even 1-tolerant permutation networks. Unfortunately, no similar good construction is known for the odd case. The last result is thus interesting only to build a twice larger 1-tolerant permutation network when a good one is already known. For this purpose we present now in Figure 7 some 1-tolerant networks obtained by hand for n = 3 4 5 6. For space reasons proofs are omitted but can be done by restricted case analysis. These constructions together with the proof of Theorem 4 give rise to the summary of results presented in Table 2. Size Switches 2 3 4 5 6 8 10 12 16 2 5 7 11 14 22 32 40 50 Table 2: Number of switches for 1-tolerant permutation networks. 186 9 On Arbitrary Waksman Networks and their Vulnerability (a) (c) (b) (d) Figure 7: 1-tolerant permutation networks for n = 3 (a), n = 4 (b), n = 5 (c) and n = 6 (d). 6 Conclusion This paper has provided a simple way for building rearrangeable permutation networks of P arbitrary size n using ni=1 dlog2 (i)e binary switches. An ecient algorithm for routing any permutation in such networks has been given. The fault-tolerance issue has also been tackled in the case of one locked switch. It is worth pointing out that all these results can easily be adapted for rearrangeable networks using p-ary switching elements. In a forthcoming paper 1], the fault-tolerance results will be extended by presenting constructive ways for building k-tolerant permutation networks, for any number k of switch faults. References 1] B. Beauquier and E. Darrot, Rearrangeable switching networks tolerant to switch locks, Manuscript (title may change). 2] V. Bene+, Permutation groups, complexes, and rearrangeable multistage connecting networks, Bell Sys. Tech. Journal 43 (1964) 16191640. 3] V. Bene+, Mathematical Theory of Connecting Networks and Telephone Tra c, Academic Press, New York (1965). 4] V. Bene+, Applications of group theory to connecting networks, Bell Sys. Tech. Journal 54 (1975) 407420. 5] C. Berge, Graphs, North-Holland (1985). 6] J-C. Bermond, E. Darrot and O. Delmas, Design of fault-tolerant on-board networks in satellites, Manuscript. 187 10 Beauquier & Darrot 7] C. Chang and R. Melhem, Arbitrary size Bene+ networks, Parallel Processing Letters 7 (No. 3, Sep. 1997) 279284. 8] C. Clos, A study of non-blocking switching networks, Bell Sys. Tech. Journal 32 (1953) 406424. 9] L. Goldstein and S. Leibholz, On the synthesis of signal switching networks with transient blocking, IEEE Transactions on Electronic Computers 16 (1967) 637641. 10] A. Joel, On permutation switching networks, Bell Sys. Tech. Journal 47 (1968) 813822. 11] W. Kautz, K. Levitt and A. Waksman, Cellular interconnection arrays, IEEE Transactions on Computers 17 (No.5, May 1968) 443451. 12] S. Prennes and D. T,th, Design of fault-tolerant ow networks, Manuscript. 13] A. Waksman, A permutation network, Journal of the ACM 15 (1969) 159163. 188 Rsum Les rsultats obtenus dans cette thse portent principalement sur l'tude des communications dans les rseaux optiques par multiplexage en longueur d'onde. Ils s'inscrivent dans une thmatique d'allocation des ressources en vue de raliser des communications dans un rseau. La problmatique gnrale que nous avons considre peut se rsumer de la manire suivante. Il s'agit de satisfaire dans un rseau optique une famille de requtes de connexion, appele instance de communication et forme de couples de n uds (source, destination). La satisfaction d'une requte passe par l'attribution d'un chemin dans le rseau et d'une longueur d'onde sur les liens utiliss, avec la contrainte que deux requtes ne peuvent pas utiliser le mme lien avec la mme longueur d'onde. L'objectif dans ce cadre est de minimiser l'utilisation des ressources optiques, c'est--dire le nombre total de longueurs d'onde permettant de satisfaire l'instance donne. Dans le chapitre 1, nous prsentons la technologie optique pour les tlcommunications, an de prciser le cadre technique de notre recherche et d'aider le lecteur informaticien la comprhension des contraintes physiques sous-jacentes la modlisation thorique. Dans le chapitre 2, nous posons la problmatique tudie au cours de la thse et nous donnons la modlisation qui a servi de base nos recherches. Le chapitre 3 est une synthse des rsultats obtenus dans la littrature concernant principalement le problme du routage optique. Le reste de la thse est constitue des annexes qui rassemblent les articles publis, dans le format des rapports de recherche. Mots cls : Communications, Rseaux optiques, Multiplexage en longueur d'onde (WDM), Routage, Coloration, Thorie des graphes, Mathmatiques discrtes, Algorithmique, Flots, Multicast, change total. Abstract This thesis is mainly devoted to the study of communication in wavelength multiplexed optical networks, from which arise algorithmic and graph theoretic problems. The main issue in WDM (Wavelength Division Multiplexed) all-optical communication networks can be stated as follows. Connection requests between pairs of sourcedestination network nodes are to be established, by assigning each of them a colored path, so that no two paths use the same link with the same color. The goal is then to minimize the total number of colors (i.e. wavelength) used. The rst part made of three chapters is written in french, while the second part contains six articles given in annex. The rst chapter contains an exposition of the basic physical and engineering principles on which modern optical networks are based. In the second chapter are presented the formulations of the basic problems in the area, their formalization as algorithmic and graph theoretic problems, and the relations between them. The third chapter contains a survey of the most relevant work in the area. Keywords: Communication, Optical networks, Wavelength Division Multiplexing (WDM), Routing, Coloring, Graph theory, Discrete mathematics, Algorithmic, Flows, Multicast, Total exchange.