Recherche d`une forme parfaite Le nombre de Reynold La

Recherche d’une forme parfaite
1. Le nombre de Reynold
La résistance qui s’applique à un avion est caractérisée par l’écoulement, selon la forme
d’écoulement elle est plus ou moins grande. Ainsi il existe les écoulements laminaires et turbulents.
On peut savoir quel est l’écoulement d’un fluide sur un solide grâce au nombre de Reynold. Lorsque
celui-ci est inférieur à 1000 il s’agit d’un écoulement laminaire et lorsque celui-ci est supérieur à 1000
il s’agit d’un écoulement turbulent. Mais ce nombre est un nombre caractéristique, c'est-à-dire qu’il
ne donne qu’une image assez approximative de ce qu’est la trainée, ainsi la trainée ne deviens pas
soudainement turbulente si le nombre passe de 999 à 1000, ce sera un mélange des deux trainée
autour de 1000
On le calcule grâce à la formule :
V est la vitesse caractéristique du fluide en m par seconde, dans le cas de notre étude le fluide est
l’air, cette vitesse est de 330m/secondes, c’est la vitesse de propagation des ondes sonores dans
l’air, qui est en fait la vitesse que mettent les molécules formant l’air a se transmettre un choc, c’est-
à-dire une onde.
L est la dimension caractéristique en m, dans le cas d’un avion on prend généralement sa longueur
d’envergure, ce chiffre est dans la formule uniquement pour ne pas donner d’unité au nombre de
Reynold, donc pour chaque objet étudié on prend une longueur qui le représente de façon
proportionnelle par rapport aux autres.
v est la viscosité cinématique du fluide dont la formule est :
ρ est la masse volumique du fluide en kg par m3
μ est la viscosité dynamique du fluide, c'est-à-dire la résistance qu’il exerce par simple frottement
latéral sur un objet.
Ou ρ est la masse volumique du fluide dans lequel se déplace l’objet, S est la surface de référence
en m2, V est la vitesse et Cx est le coefficient de trainée qui dépend de la forme en général et de la
résistance qu’exerce un matériau par frottement latéral
2. Etude du nombre de Reynold
a. la vitesse caractéristique, dans le cas d’un avion, il s’agira de 330m/s soit celle de
l’air. Cette vitesse est inferieur en haute altitude .

b. La viscosité cinématique dans l’air est de 1.461×10-5 a 0m pour 15°C ; pour une
altitude de 30 000m et de -47°C elle est de 80,134×10-5
c. La dimension caractéristique dépend de la taille de l’avion.
- Peux-t-on faire alors voler les avions plus haut pour qu’un avion ayant une dimension
caractéristique plus grande puisse avoir un écoulement laminaire ?
On peut tout d’abord penser qu’il suffit de faire voler les avions en haute altitude pour
réduire tous ces facteurs et ainsi avoir un écoulement laminaire. L’altitude maximale d’un
avion est de 100 000m d’altitude, au-delà on sort de l’atmosphère, mais la plupart des avions
de ligne volent à 10 000m, et les avions de chasse volent entre 15 000m et 30 000m.
Dans le cadre d’un avion un peu exceptionnel on peut donc s’orienter vers des altitudes
d’environ 30 000m au-dessus la pression est trop faible.
Ainsi à 30 000m la vitesse caractéristique est de et la viscosité cinématique est de
80,134×10-5 m/s2
Mais dans ce cas on voit que la dimension caractéristique est ridicule si Re est inferieur a
1000 :
Il est donc impossible d’avoir une trainée laminaire pour un objet quelconque de taille
supérieure a volant dans l’air, même a des altitudes optimales !
3. La trainée pour Re supérieur à 1000.
Sa formule est : Rx = ρSCxV2
Ou ρ est la masse volumique du fluide dans lequel se déplace l’objet, S est la surface de référence
en m2 c'est-à-dire le section de perpendiculaire au sens de déplacement, V est la vitesse et Cx est le
coefficient de trainée qui dépend de la forme en général et de la résistance qu’exerce un matériau
par frottement latéral.
On a la tous les facteurs dont dépend la trainée de l’avion, et 2 en particulier sont intéressant pour
une optimisation de celle-ci : la surface de référence et le coefficient de trainée Cx.
4. Quelle est alors la forme parfaite ?
- On voit ainsi que la trainée depend de deux facteurs different sur la forme,
premierement la surface de référence, quelle est alors la forme la plus interressante, le
rond, le losange, le carré ??
Sens de déplacement
Surface de reference ( en bleu clair)

C’est le rond, et l’explication est tres logique, il s’agit de la surface la plus petite pour un
diametre le plus grand ! Le carré ou toute autre forme quelconque auront une surface
boucoup plus grande pour la meme largeur.
Calcul : Pour un diametre ou une largeur x
- Surface du cercle : π(x)2 ≈ 0.78x2
- Surface du carré : x2
- Surface d’un
5. Quelles sont les formes ayant le plus petite Cx ? Le calcul de Cx pour une forme composée
d’une matière donnée se fait en soufflerie, en effet il est impossible de le déterminer par le
calcul. Est-ce le cylindre, la sphère, le cube ?
Voici la mesure des coefficients de trainées de différentes formes basique ( on omet de
prendre en compte la partie du Cx qui dépend du matériaux dont l’objet est composé car
seule la forme nous intéresse ici !)
On voit ainsi que la forme en « goutte d’eau » est la plus aer
6. Quelle formes s’en approchant peuvent alors voler ?
- Passage sur la portance ?
- Une goutte d’eau avec des ailes
- Une goutte d’eau aplatie = Falcon htv-2
7. Conclusion
Bonus : La Portance/ Finesse
Formule de la portance :
La formule de la portance Px = ρSZxV2 dont nous avons expliqué le principe a dans l’introduction
Les facteurs sont tous les mêmes que pour la trainée, sauf le coefficient de portance, qui dépend
Pour une optimisation de la trainée il faut absolument prendre en compte la portance, en effet
portance et trainée sont liées par la finesse.

La finesse est le rapport entre la trainée et la portance, c’est le quotient de la trainée par la portance,
il faut chercher alors a avoir le meilleur rapport possible pour une trainée minimale et une portance
maximale ! la courbe donnée par la finesse s’appelle la polaire.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Reynolds
http://pierre.garde.free.fr/Pages%20HTML/aerodynamique.htm
http://www.chimix.com/an7/prem/train1.ht
http://www.engineeringtoolbox.com/international-standard-atmosphere-d_985.html