Problèmes thermodynamique 2015-2016 - PCSI

Problème 1 : Moteur de Stirling (CCP MP 2011)
Dans le moteur étudié ici, un gaz se déplace entre deux chambres, à travers un
régénérateur. Le rôle du régénérateur est primordial pour obtenir une bonne
efficacité. Le gaz chaud pénètre dans la partie chaude du régénérateur et est
progressivement refroidi pour ressortir par l’autre extrémité à une température
voisine de celle de la source froide. Inversement, lorsque le gaz repasse de la chambre
froide à la chambre chaude, il est progressivement réchauffé dans le régénérateur.
Ceci permet d’effectuer une partie des transferts thermiques à l’intérieur même du
moteur.
Ce problème permet de comprendre l’intérêt du régénérateur dans le calcul de
l’efficacité.
Constante du problème
Constante des gaz parfaits :
1 1
8, 314 J mol K
R
− −
=
Données sur le dihydrogène (
2
H
)
On considèrera dans ce problème que le dihydrogène se comporte comme un gaz
parfait.
Masse molaire :
2
3 1
H
2,00 10 kg mol
M
− −
= ×
Rapport des capacités thermiques :
1, 40
p
V
C
C
γ = =
Description du cycle de Stirling

Le cycle associé à un moteur
de Stirling est constitué de 2
isothermes et de 2 isochores. Il
est décrit comme suit :
1 2
→
: compression
isotherme mécaniquement
réversible à
f
313 K
T
=
;
2 3
→
: transformation isochore de la température
f
313 K
T
=
à la température
c
1173 K
T
=
;
3 4
→
: détente isotherme mécaniquement réversible à
c
1173 K
T
=
;
4 1
→
: transformation isochore de la température
c
1173 K
T
=
à la température
f
313 K
T
=
.
Caractéristiques du moteur étudié
Température de la source chaude :
c
1173 K
T
=
Température de la source froide :
f
313 K
T
=
Volume minimum du gaz :
m
1, 0 L
V
=
Volume maximum du gaz :
M
2,0 L
V
=
Masse de dihydrogène contenue dans le moteur :
10 g
m
=

Dans toutes les questions
de ce problème, le
volume du régénérateur
est nul (
r
0
V
=
) comme indiqué sur la figure 2.
Dans un premier temps, on ne prend pas en compte le régénérateur.
1. Déterminer la quantité
n
de gaz et les pressions
1
p
,
2
p
,
3
p
et
4
p
.
2. Représenter le cycle moteur de Stirling sur un diagramme
(
)
p V
.
3. Exprimer algébriquement la variation d’énergie interne
ab
U
∆
et les transferts
énergétiques,
ab
W
et
ab
Q
, entre un état
a
et un état
b
pour une transformation
isotherme mécaniquement réversible.
4. Exprimer algébriquement la variation d’énergie interne
cd
U
∆
et les transferts
énergétiques,
cd
W
et
cd
Q
, entre un état
c
et un état
d
pour une transformation
isochore.
5. Calculer numériquement les travaux
1 2
W
→
,
2 3
W
→
,
3 4
W
→
et
4 1
W
→
.
6. Calculer numériquement les transferts thermiques
1 2
Q
→
,
2 3
Q
→
,
3 4
Q
→
et
4 1
Q
→
.
7. Que valent les transferts thermiques
c
Q
et
f
Q
provenant des thermostats chaud et
froid si aucun dispositif supplémentaire n’intervient (pas de régénérateur) en fonction
des transferts thermiques
1 2
Q
→
,
2 3
Q
→
,
3 4
Q
→
et
4 1
Q
→
? Effectuer l’application
numérique.
8. Que vaut le travail
W
sur le cycle ? Effectuer l’application numérique.

9. En déduire numériquement l’efficacité sans régénérateur (
sr
e
).
On prend maintenant en compte la présence du régénérateur, que l’on supposera
parfait (volume négligeable, transfert parfait). Les transferts thermiques
2 3
Q
→
et
4 1
Q
→
sont alors internes.
10. Vérifier que les transferts thermiques
2 3
Q
→
et
4 1
Q
→
se compensent.
L’efficacité est alors calculée à partir de
1 2 3 4
3 4
W W
eQ
→ →
→
+
= −
.
11. Justifier cette expression.
12. Exprimer l’efficacité (
e
) en fonction de
c
T
et
f
T
. Effectuer l’application
numérique.
13. Comparer l’efficacité (
e
) à l’efficacité de Carnot (
C
e
).
Problème 2 : Modèle d'atmosphère (CCP PSI 2015)
On s’intéresse à l’équilibre de l’air dans l’atmosphère terrestre. Les valeurs de
référence pour la température et la pression seront celles relevées à la surface de la
Terre, à savoir P
0
= 1,0 10
5
Pa et T
0
= 300 K. L’air sera assimilé à un gaz parfait.
On repère ici l’espace par le trièdre (O, x, y, z). L’axe des z vertical est dirigé vers le
haut et son origine O coïncide avec la surface de la Terre.
A.l - Equilibre isotherme de l’atmosphère
On suppose ici que la température de l’atmosphère est uniforme et vaut T0 pour tout

z. On note p
air
(z) la masse volumique de l’air à l’altitude z.
1°) On note M
air
la masse molaire de l’air. Quels sont les deux principaux
constituants physicochimiques de l’air ? En quelles proportions molaires y sont-ils
présents ? En ne considérant que ces deux principaux constituants de l’air,
déterminer la valeur numérique de Mair.
2°) En écrivant une condition d’équilibre mécanique sur un élément infinitésimal
d’atmosphère situé entre les altitudes z et z + dz, montrer que :
air
dP
g
dz
ρ = −
3°) Déterminer l’expression de la pression P(z) de l’air en fonction de l’altitude z.
4°) En déduire un ordre de grandeur de l’épaisseur caractéristique de l’atmosphère.
A.2 - Equilibre de l’atmosphère caractérisée par un gradient de température et
formation de la base du nuage.
La température dans les basses couches de l’atmosphère n’est pas uniforme mais
décroît avec l’altitude. Dans cette partie, on admettra que cette température suit une
décroissance affine de la forme :
T(z) = T
0
-λz
avec T
0
= 300 K et λ = 0,007 K.m
-1
.
5°) a) a) A partir de la condition d’équilibre mécanique d’un élément infinitésimal
d’atmosphère, déterminer l’expression littérale de P(z).
b) Les applications numériques donnent :
Altitude (km)
0,5
2
5
8
11
14
Pression (Pa)
94 500
79 300
54 800
36 700
23 700
l4 600
Jusqu’à quelle altitude et avec quelle précision, le modèle de l’atmosphère