Leçon n°3 : Milieux diélectriques Condensateurs

ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 1/11 Leçon n°3 : Milieux diélectriques ­ Condensateurs 1. Les diélectriques 1.1. Définition Un diélectrique est un ensemble d’atomes ou de molécules constitués d’électrons (négatifs) et de noyaux (positifs), l’ensemble est électriquement neutre. C'est un milieu qui ne peut pas conduire le courant électrique. A ce titre, on l'appelle parfois isolant électrique. On compte parmi ces milieux le verre et de nombreux plastiques. Malgré l'impossibilité des milieux diélectriques à conduire le courant, ils présentent de nombreuses caractéristiques électriques. En effet, et sous l’effet d’un champ électrique extérieur, il se produit un très faible déplacement des charges négatives et positives. Les électrons présents dans un milieu diélectriques ne peuvent pas, par définition, se déplacer sur des grandes distances. Ils peuvent par contre présenter des mouvements d'amplitude très petite à l’échelle macroscopique, mais qui peuvent être à l'origine de nombreux phénomènes. Ces mouvements sont souvent des mouvements d'oscillation autour du noyau : le nuage électronique peut être déformé et ainsi créer un dipôle électrostatique. Il en va de même pour le déplacement global des atomes au sein du matériau (ils créent également des dipôles). 1.2. La polarisation En soumettant le matériau à un champ électrique de tels dipôles peuvent être créés. S'ils existaient déjà, le champ peut avoir comme effet de les aligner tous dans le même sens. D'un point de vue microscopique, on peut relier l'amplitude de l'onde au dipôle créé via la notion de polarisabilité a , qui est une caractéristique propre à chaque atome. Il est cependant impossible de mesurer de telles grandeurs microscopiques. On préfère utiliser r une grandeur macroscopique : la polarisation P . r Soit N le nombre d’atomes ou de molécules par unité de volume et p le vecteur moment r dipolaire (une grandeur microscopique), la polarisation P est définie par la relation : r
r P=N p
[3. 1] L’unité de la polarisation est le Coulomb. m ­2 . Il existe différents mécanismes de polarisation (Figure. 1) :
Leçon n°3: Milieux diélectriques ­ Condensateurs _______________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN 2/11 ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique Figur e. 1 : Représentation schématique de trois types de polarisation : (a) électronique (b) atomique (c) d’orientation 1.2.1. La polarisation électronique Sous l’action d’un champ électrique constant, le nuage électronique de chaque atome se déplace immédiatement par rapport au noyau créant ainsi une polarisation ayant pour valeur :
r
r Pe = N a e Ei [3. 2] Où N est le nombre d’atomes ou de molécules par unité de volume, a e la polarisabilité r électronique et E i le champ électronique interne. 1.2.2. La polarisation atomique Lorsque différents atomes sont présents dans une molécule (cas des polymères par exemple), les électrons participant aux liaisons covalentes se déplacent préférentiellement vers l’atone le plus électronégatif créant ainsi sous contrainte un moment de liaison. Si on superpose un champ électrique, les atomes se déplacent les uns par rapport aux autres donnant naissance à une polarisation atomique exprimée par la relation :
r
r Pa = N a a Ei [3. 3] a a étant la polarisabilité atomique. Pour les composés organiques, Pa est de l’ordre de 5 à 10% de Pe. Le tableau 1 donne quelques valeurs de polarisabilité atomique a . Tableau 1 : Polarisabilité atomique en 10 ­40 C. m 2 . V ­1 Elément a H He Li Be C Ne Na A
0,73 0,23 13 10 1,7 0,49 30 1,8
Leçon n°3: Milieux diélectriques ­ Condensateurs _______________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN 3/11 ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 1.2.3. La polarisation par orientation Dans le cas des molécules dissymétriques, comme l’eau par exemple, il y’a existence d’un moment dipolaire permanent. Si on superpose un champ électrique constant, chaque dipole est soumis à un couple créant une polarisation résultante dans le sens du champ. La valeur de la polarisation d’orientation est donnée par la relation : r
p 2 r PO = N
E i 3 K T [3. 3] p étant le vecteur moment dipolaire, K la constante de Boltzmann, T la température (en Kelvin) r et E i le champ électronique interne La polarisation est souvent proportionnelle au champ électrique qui l'a créée (ce cas est dit linéaire) : r
r P = e 0 c e E
[3. 4] Avec : r E : champ électrique macroscopique c e : nombre sans dimension appelé susceptibilité électrique du diélectrique (dans le cas d'un diélectrique anisotrope, c est un tenseur de rang 2) e 0 : permittivité du vide 1.3. La constante diélectrique La constante diélectrique ou constante électrique, également nommée permittivité du vide ou encore permittivité diélectrique du vide, est une constante physique notée ε0 tel que : 1 e0 = 2 µ0 c
[3. 5] où : ­ μ0 est la constante magnétique ­ c est la vitesse de la lumière dans le vide. Dans le système d'unité (SI) ε0 = 8,854187817...×10 −12 F∙m ­1 . Il ne s'agit pas à proprement parler d'une valeur approchée : les valeurs de μ0 et c étant parfaitement déterminées, il est possible de connaître celle de ε0 avec autant de chiffres significatifs que désiré.
Leçon n°3: Milieux diélectriques ­ Condensateurs _______________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN 4/11 ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 1.4. Le vecteur déplacement r Le vecteur déplacement D est défini par la relation : r
r r D = e 0 E + P éëC .m
-2 ùû
[3. 6] r
r r
r
r
r r
r Comme P = e 0 c e E , on a alors : D = e 0 E + P = e 0 E + e 0 c e E = e 0 (1 + c e ) E
Définissons la constante e r = (1 + c e ) qu’on appellera permittivité relative du matériau, on a donc : r
r
r D = e 0 e r E = e E
[3. 7]
e est la permittivité diélectrique d’un matériau donné. Remarque e r ne possède pas d'unité et sa valeur est toujours supérieure à 1. A titre indicatif, sont reportées, sur le tableau 2, les valeurs de la constante diélectrique relative e r de quelques matériaux. Tableau 2 : Constante diélectrique relative de quelques matériaux Matériau Air sec Polystyrène (Styroflex) Polytétrafluorétylène (PTFE, Teflon) Polymonochlorotrifluorétylène (PCFTE) Constante diélectrique r elative e r
1 2,3 2 2,3 à 2,8 Polytér éphtalate d'éthylène (Polyester, Mylar) 3,1 Papier spécial pour condensateur (KRAFT) 4,5 Mica Titanates et Zirconates de Baryum 5 à 6 500 à 15 000
Leçon n°3: Milieux diélectriques ­ Condensateurs _______________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 5/11 2. Influence électrique totale 2.1. Influence électrique totale entre deux conducteurs Soit une sphère A chargée positivement +Q et placée dans le vide. Approchons, sans les faire toucher de la sphère, deux hémisphères conducteurs initialement non chargés (Figure. 2). Figur e. 2 : illustration de l’influence électrique totale entre deux conducteurs Au fur et à mesure que l'on s'approche de la sphère chargée, il apparaît, sur la face interne des hémisphères, des charges négatives dues au phénomène d'influence électrostatique. Si, finalement, on entoure complètement, sans la toucher, la sphère A (Figure. 2), on montre qu'il est apparu, sur la face interne des hémisphères (qui maintenant constituent une sphère B) une charge négative -Q. On dit que les sphères A et B sont en influence totale. On peut remarquer qu'il apparaît la charge +Q sur la face externe de B par suite du principe de conservation de la charge électrique d'un système isolé. Dans la suite, nous ne nous préoccuperons pas de ces charges externes. 2.2. Origine des charges créées par influence Un morceau de métal conducteur, en l’absence de toute influence extérieure, contient des électrons libres de se mouvoir entre les mailles d’un réseau d’ions positifs fixes. L’ensemble est électriquement neutre (Figure 3a). Figur e 3a
Leçon n°3: Milieux diélectriques ­ Condensateurs _______________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN 6/11 ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique Le phénomène d’influence n’introduit pas de charges supplémentaires. Il sépare simplement les deux types de charge qui existe dans tout conducteur : les électrons libres (négatifs) et les ions fixes (positifs). r Si ce morceau de métal est placé dans un champ électrique E , la force de Coulomb tendra à accumuler les électrons sur une face, comme l’indique la Figure. 3.b. Sur cette face il apparaitra la charge négative –Q, correspondant à cet excès d’électrons. Sur la face opposée, apparaîtra la charge +Q. r E + Q ­ Q Figur e. 3b Finalement on peut dire que l’origine du phénomène est la force de Coulomb exercée sur les r charges Q du conducteur influencé B par le champ électrique E A (qui peut être celui du corps « influençant » A ou un champ électrique extérieur. 3. Les condensateurs 3.1. Définition d'un condensateur Cette définition fait appel au phénomène d'influence électrostatique totale décrit précédemment. En effet, on appelle condensateur, un système de deux conducteurs tels que l'un entoure complètement l'autre. Les conducteurs sont sans contact entre eux et ils sont séparés soit par le vide, soit par un matériau isolant diélectrique. Figur e. 4 On donne le nom d'armatures aux deux conducteurs (Figure. 4). Si on établit une différence de potentiel VA ­ VB entre les deux armatures, nous faisons apparaître sur les faces en regard les charges +Q et -Q. La capacité C (Farad) d’un condensateur est égale au rapport entre la charge Q (Coulomb) portée par l’une ou l’autre des armatures et la différence de potentiel VA - VB (Volt) :
Leçon n°3: Milieux diélectriques ­ Condensateurs _______________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN 7/11 ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique C
= Q V A - V B [3. 8] C'est une grandeur toujours positive qui dépend de la géométrie du condensateur et du matériau isolant entre ses armatures. Le Farad est une unité considérable. En pratique la plupart des condensateurs ont des capacités plus faibles. On utilise le µF et le pF. Il existe différentes géométries de condensateurs (Figure. 5), la plus fréquemment utilisée est le condensateur plan. La géométrie sphérique sert surtout à montrer la méthode de calcul d’une capacité. La géométrie cylindrique est utile pour calculer la capacité d’un câble coaxial par exemple. Désignation Capacité C = e 0 e r Condensateur plan Condensateur cylindrique C = 2 p e 0 e r Repr ésentation A d
l R Ln 2 R1 -1 Condensateur sphérique æ 1 1 ö
C = 4 p e 0 e r ç - ÷
è R1 R2 ø Figur e. 5 : Les différentes géométries des condensateurs On peut se demander si, dans le cas du condensateur plan, les deux conducteurs sont bien en influence totale ? Pour s'en convaincre, il suffit d'imaginer que le condensateur plan est le cas limite d'un condensateur sphérique de très grand rayon.
Leçon n°3: Milieux diélectriques ­ Condensateurs _______________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN 8/11 ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique Compte tenu de l'importance du condensateur plan dans ce qui suit, nous nous préoccupons uniquement de ce type de composant. D'autre part, nous considérons toujours les armatures de surface infinie, c'est­à­dire, que nous négligeons tout effet de bord. 3.2. Champ électrique entre les ar matur es d’un condensateur plan Supposons d'abord que les surfaces planes des armatures aient des dimensions infinies. Il est évident, pour des raisons de symétrie, que le champ électrique aurait une direction perpendiculaire à ces surfaces. En outre, la densité superficielle de charge s aurait la même valeur en tous les points de la surface d'une armature. Dans le cas réel, si la distance entre les armatures est petite relativement à leurs dimensions, le champ électrique et la densité de charge ne seront changés que sur les bords. Nous négligerons ces "effets de bords" en supposant que: ­ le champ électrique est partout perpendiculaire aux surfaces planes des armatures. Les lignes de champ sont donc des segments rectilignes perpendiculaires à ces surfaces ; ­ la densité superficielle de charge s est constante sur la face plane de chaque armature. Nous avons représenté ci­après la coupe transverse d'un condensateur plan montrant les lignes de champ qui partent de la face plane de l'armature A chargée positivement et arrivent sur la face plane de l'armature B chargée négativement. Fig. 6 : repr ésentation schématique d’un condensateur plan Le champ électrique entre les armatures est uniforme, son intensité vaut E =
s
e 0 Démonstration Soit dQ une quantité de charge sur un élément de surface dS d’une armature. On a donc : dQ = s dS
s dS s S Le flux du champ électrique vaut donc : F = ò dF = ò =
e0
e0 uur r D’autre part, le vecteur élément de surface dS et le champ électrique E ont même direction et r uur
même sens. Par conséquent : F = ò E.dS = E.S
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= E. S Þ E =
e0
e 0 3.3. Groupements de condensateurs 3.3.1. Groupement en parallèle Soit un ensemble de n condensateurs de capacité C1, C2, ….Cn reliés en parallèles comme l’indique la Figure. 7. Figur e. 7 : Ensemble de n condensateurs de capacité C 1, C 2, ….C n reliés en parallèles La ddp DV aux bornes des condensateurs est la même, ainsi la charge de chaque condensateur est :
Q1 = C1 ´ D V Q2 = C2 ´ D V . . Qn = Cn ´ D V -------
å
n
i =1
Qi =
( å n ) Ci ´ D V
i =1 Ainsi on peut remplacer cette série de condensateurs par un seul dont la capacité équivalente Ceq est telle que : n Ceq = å i =1 Ci [3. 9]
Leçon n°3: Milieux diélectriques ­ Condensateurs _______________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN 10/11 ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique 3.3.2. Groupement en série Soit un ensemble de n condensateurs de capacité C1, C2, ….Cn reliés en série comme l’indique la Figure. 8. Figur e. 8 : Ensemble de n condensateurs de capacité C 1, C 2, ….C n reliés en série La charge Q de chaque armature est la même. La ddp totale DVtot aux bornes de l’ensemble est égale à la somme des ddp aux bornes de chaque condensateur. DVtot = DV1 + DV2 + ... + DVn Û DVtot =
Q Q
Q +
+ ... + C1 C2 Cn D’où : n DVtot = å i =1 1 Ci Q Ainsi on peut remplacer cet ensemble de condensateurs en série par un seul dont la capacité équivalente est : 1
Ceq
n = å i =1 1 Ci [3.10] 4. Energie électrostatique 4.1. Décharge d'un condensateur Une expérience simple décrite sur la Figure. 9 permet de mettre en évidence l’énergie électrostatique que contient un condensateur chargé. Figur e. 9 : Mise en évidence l’énergie électrostatique que contient un condensateur chargé
Leçon n°3: Milieux diélectriques ­ Condensateurs _______________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN 11/11 ELECTROMAGNETISME ­ Electr ostatique Pour bien comprendre l’importance de ce phénomène revenons au cas de l’énergie électrostatique d’un condensateur unique isolé. a) On met en contact les armatures (fils) d’un condensateur (10 000µF) avec les bornes d’une pile dont la fem est de 4.5 Volts. b) On approche ensuite lentement les deux extrémités des fils du condensateur et on observe une étincelle, donc un courant électrique, donc de l’énergie électrique. 4.2. Energie électrostatique d' un condensateur char gé On montre que l'expression de l'énergie U que nous venons de justifier par une expérience est liée à la capacité C du condensateur et à la différence de potentiel VA - VB entre les armatures par la relation :
1 2 E = C (VA - VB ) 2 [3.11] 5. Condensateurs et circuits intégrés : La technologie Métal – Oxyde – Semi Conducteur (MOS) Comme son nom l’indique, il s’agit d’un condensateur dont les armatures constituées d’un métal et d’un semi­conducteur. L’espace entre les armatures est un oxyde isolant (oxyde de silicium par exemple). Un tel condensateur est schématisé sur la Figure. 10. Sa fabrication nécessite une technologie sophistiquée. Figur e. 10 : Schéma d’un condensateur réalisé en technologie MOS L’épaisseur typique de l’oxyde isolante entre les armatures est d = 550 A , sa permittivité relative est de 4.5. En appliquant la formule de la capacité d’un condensateur plan, on en déduit qu’un condensateur de 3 pF occupera une surface de 3.8 103 µm 2 , ce qui est beaucoup pour un seul composant en circuit intégré. Pour les concepteurs de circuit intégrés la réalisation de forte capacité pose un énorme problème d’encombrement à cause de la proportionnalité entre C et la surface occupée.
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