Pesanteur et géoide

Chapitre 2
Pesanteur et géoïde
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CHAPITRE 2. PESANTEUR ET GÉOÏDE
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Table des matières
2 Pesanteur et géoïde 1
2.1 Introduction.............................. 4
2.2 La pesanteur terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Attraction gravitationnelle d’une Terre sphérique . . . . . 4
2.2.2 Altération pour une Terre applatie aux pôles . . . . . . . 6
2.2.3 Altération pour une Terre en rotation . . . . . . . . . . . 8
2.3 Le potentiel de pesanteur et le géoïde . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Potentiel du champ normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Ellipsoïde de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 Pesanteur sur l’ellipsoïde de référence . . . . . . . . . . . 11
2.3.4 Lesaltitudes ......................... 12
2.4 Les anomalies de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Calcul des anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Réduction des mesures de la pesanteur . . . . . . . . . . . 19
2.4.3 Les anomalies de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.4 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Le géoïde à l’isostasie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.1 Moment de la distribution de densité . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2 Les forces qui maintiennent la topographie . . . . . . . . . 24
2.6 Mesure du champ de pesanteur terrestre . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.1 Pendule ............................ 25
2.6.2 Déviation de la verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.3 Mesures relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.4 Gravimètres absolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.5 Précision des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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TABLE DES MATIÈRES
2.6.6 Gravimétrie spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1 Introduction
Toute masse à la surface où à l’intérieur de la Terre subit une force dont l’origine
est l’attraction gravitationnelle de la Terre (et des autres corps proches ou très
massifs : la lune et le soleil) et une force dont l’origine est la rotation de la terre.
La somme de ces deux forces est appelée “pesanteur”. En anglais, pesanteur se
traduit par gravity.
2.2 La pesanteur terrestre
2.2.1 Attraction gravitationnelle d’une Terre sphérique
Nous cherchons à déterminer l’attraction gravitationnelle à la surface d’une
Terre sphérique immobile.
TS 5.1 La loi de la gravitation de Newton nous permet d’écrire la force gravitationnelle
exercée sur une masse msituée au point P, à l’extérieur de la Terre, par un
petit élément de masse dm :
dfm=Gm dm
b2(2.1)
où Gest la constante de gravitation universelle (6.673×10−11 m3kg−1s−2) et b
la distance entre met dm.
Le principe fondamental de la dynamique nous permet aussi d’écrire que la
force exercée en Pde masse mpar l’élément de masse dm est liée à l’attraction
gravitationnelle de dm, que nous appellerons dgm, par :
dfm=m dgm(2.2)
En l’absence de toute autre force que celle liée à l’attraction gravitationnelle
causée par dm, les deux équations précédentes donnent :
dgm=Gdm
b2(2.3)
Supposons que la totalité de la masse de la Terre M, sphérique et de rayon
rsoit concentrée en son centre. L’équation 2.3 permet d’écrire l’accélération
gravitationnelle à la surface de la Terre gm:
gm=GM
r2(2.4)
Pour une Terre plus réaliste, et si la distribution des masses dm était parfaite-
ment connue, il suffirait d’utiliser l’équation 2.3 et d’intégrer dm sur l’ensemble
de cette distribution pour trouver gm. Dans la réalité, cette information n’est pas
connue. On commence donc par chercher a valeur de gmpour des cas simples.
2.1. INTRODUCTION 4

TABLE DES MATIÈRES
TS 5.2
Cherchons maintenant à déterminer l’attraction gravitationelle exercée par une
Terre sphérique de rayon aen un point Psitué à l’extérieur de cette masse
à une distance rde son centre O. On fait l’hypothèse que la distribution de
densité y dépent uniquement de la distance r0à son centre. Le point Pest tel
que la droite OP est colinéaire avec l’axe de rotation de la Terre. Ceci simplifie
la démonstration mais n’enlève aucune généralité au résultat.
On considère un petit élément de masse cubique dm dont les coordonnées sphé-
riques sont r0,θ0,ψ0et situé à une distance bde P. Il exerce, en P, une attraction
gravitationnelle dgmdirigée vers dm dont la composante selon OP est :
dgmcos α=G dm
b2cos α(2.5)
L’attraction gravitationnelle de la planète est la somme de celle exercée par ces
éléments de masse, soit :
gm=Gˆcos α
b2dm (2.6)
Les longueurs des côtés de l’élément de masse dm, en coordonnées sphériques,
sont :
radial : dr0(2.7)
latitudinal : r0dθ0(2.8)
longitudinal : r0sin θ0dψ0(2.9)
On peut donc écrire l’intégrale précédente de manière explicite maintenant :
gm=Gˆa
0ˆπ 0ˆ2π 0
ρ(r0)r02sin θ0cos α
b2dψ0dθ0dr0(2.10)
L’intégration sur ψ0est 2πpuisque l’expression intégrée ne dépend pas de ψ0.
Donc :
gm= 2πG ˆa
0ˆπ 0
ρ(r0)r02sin θ0cos α
b2dθ0dr0(2.11)
Il faut maintenant s’occuper du terme cos α. La loi des cosinus donne :
cos α=b2+r2−r02
2rb (2.12)
On voit que cette expression est une fonction de b, il sera donc plus simple
d’intégrer l’équation 2.11 en fonction de b. On fait donc un changement de
variable d’intégration. La loi des cosinus permet aussi d’écrire :
cos θ0=r02+r2−b2
2rr0(2.13)
La dérivée de cette expression pour ret r0constants donne :
sin θ0dθ0=b
rr0db (2.14)
5 2.2. LA PESANTEUR TERRESTRE