DS Physique n°7 PCSI 2015 – 2016 Conseils : • Ce devoir comporte

DS Physique n°7
PCSI
2015 – 2016
Conseils :
• Ce devoir comporte un exercice de cours et 3 problèmes indépendants.
• Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la rédaction de votre copie : justifiez rapidement vos affirmations, donnez la valeur littérale
simplifiée des résultats en fonction des données de l’énoncé, vérifiez l’homogénéité et la
cohérence (tout résultat non homogène sera sanctionné).
Les résultats non encadrés ne seront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correcteur.
• Rédigez les problèmes sur des copies différentes.
• Numérotez vos copies doubles : 1/4, 2/4 .... (si 4 copies). N’oubliez pas de mettre votre
Nom sur chacune des copies.
• L’usage des calculatrices est autorisé.
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DS Physique n°7
I. Q UESTION
PCSI
DE COURS
:
2015 – 2016
PREMIER PRINCIPE
L’air est considéré comme un gaz parfait diatomique de masse molaire moyenne M = 29 g.mol−1 ,
pour lequel le coefficient adiabatique est γ = 1,4.
On prendra R = 8,314 J.mol−1 .K−1 la constante molaire des gaz parfaits. On note p, V, T les
grandeurs d’état pression, volume, température d’un gaz. On note Cp,m et CV,m les capacités therp,m
miques molaires à pression et à volume constant et γ le rapport γ = CCV,m
. Ces trois grandeurs
seront considérées comme étant constantes vis-à-vis de la température et de la pression.
Q1
1. Rappeler l’équation d’état d’un gaz parfait. On désigne par n le nombre de moles.
Q2
2. Rappeler la relation qui lie la fonction d’état enthalpie H à la fonction d’état énergie interne
U.
Q3
3. (a) Rappeler les définitions de CV,m et Cp,m. Que devient la formule pour un gaz parfait ?
Q4
Q5
Q6
(b) Montrer que pour un gaz parfait : Cp,m − CV,m = R (relation de Mayer).
(c) Exprimer CV,m et Cp,m en fonction de R et γ.
(d) Calculer cp et cV les capacités thermiques massiques de l’air à pression constante et à
volume constant.
4. Une masse d’air m = 100 g passe de l’état T1 = 300 K, P1 = 1 bar à l’état T2 = 450 K,
P2 = 10 bar.
Q7
Q8
(a) Exprimer la variation d’enthalpie H2 − H1 en faisant apparaître la masse m.
(b) Faire l’application numérique.
5. Cette même masse d’air dans l’état 2 subit une détente isotherme quasi-statique de P2 à P1 .
Q9
(a) Exprimer le travail élementaire des forces de pression.
Q10
(b) Exprimer le travail des forces de pression en fonction de P2 , P1 , m, R et T2 .
Q11
(c) Faire l’application numérique.
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DS Physique n°7
II. V ITESSE
PCSI
2015 – 2016
DE LIBÉRATION D ’ UN VAISSEAU SPATIAL
Un vaisseau spatial de masse m est initialement sur une orbite circulaire de rayon r0 décrite à
la vitesse v0 , autour d’une planète de masse M et de rayon R.
Q12
Q13
1. (a) Déterminer la vitesse v0 en fonction de G, M et r0 .
(b) On allume le moteur pendant un temps court, de sorte que la vitesse varie mais pas
la distance au centre de l’astre. Évaluer la nouvelle vitesse v1 du vaisseau pour qu’il
échappe au champ gravitationnel de l’astre en fonction de v0 .
Le commandant de bord dispose en fait d’un « budget de vitesse » égal à 4v0 : cela signifie
que la quantité de carburant disponible lui permet de faire varier la vitesse du vaisseau, en
une ou plusieurs fois, pourvu que la somme des valeurs absolues des variations de vitesses
n’excède pas 4v0 . Il dispose de deux options.
Q14
2. Option 1 : le commandant utilise tout son budget d’un seul coup en amenant sa vitesse
initiale à 5v0 . Évaluer sa vitesse finale (« à l’infini »), en fonction de v0 .
3. Option 2 : on utilise un huitième du budget pour ralentir le vaisseau de v0 à
très court devant la période, le vecteur vitesse gardant la même direction.
Q15
v0
2
en un temps
(a) Montrer que la nouvelle trajectoire est un état lié. On admet que cette trajectoire est une
ellipse.
Q16
(b) Déterminer le demi-grand axe a. Montrer que les distances rA du centre O à l’apogée et
rP du centre O au périgée sont : rA = r0 et rP = 71 r0 .
Q17
(c) Déterminer les normes des vitesses vA et vP , respectivement à l’apogée et au périgée en
fonction de r0 .
Q18
(d) Quelle condition doit vérifier rP pour que le vaisseau ne s’écrase pas ?
Q19
(e) En déduire qu’on n’aura pas écrasement du vaisseau sur l’astre si vA > v2 = v0
q
2R
.
R+r0
Q20
4. On utilise ensuite le reste du « budget vitesse » au passage au périgée pour augmenter au
maximum la vitesse du vaisseau. Justifier la nature de la nouvelle trajectoire et déterminer
la nouvelle vitesse finale (« à l’infini »), en fonction de v0 .
Q21
5. Comparer les deux options, et commenter.
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PCSI
III. P RESSION
2015 – 2016
DE RADIATION
Remarque : Bien qu’il soit conseillé de traiter le problème dans l’ordre, les dernières questions
de la partie C peuvent en grande partie être traitées même si le reste du problème n’a pas été
abordé en admettant l’expression de la force proposée par l’énoncé.
Dans ce problème, on étudie un moyen « gratuit » (en carburant) de propulsion spatiale : l’utilisation de la pression de radiation lors de la réflexion de la lumière sur un miroir. Il s’agit d’utiliser
la force créée lors de la réflexion des photons sur un miroir afin de mettre en mouvement des
objets.
On notera S la surface de la « voile solaire » considérée. Elle est supposée parfaitement réfléchissante, c’est-à-dire que la voile solaire est un miroir parfait.
Dans une première partie, on étudiera le cas où la voile est immobile dans un référentiel galiléen et où la lumière est en incidence normale. Dans la deuxième partie on étudiera le cas où
l’angle d’incidence est non nul. Finalement dans la troisième partie, on tiendra compte du mouvement du miroir.
On notera λ la longueur d’onde de la lumière incidente et ν sa fréquence.
h
h = représente la constante de Planck et ~ = 2π
la constante de Planck réduite.
grandeur
Données numériques :
symbole
valeur
flux solaire au niveau de l’orbite terrestre
Φ
1,3608 kW/m2
constante gravitationnelle
G
6,67384 × 10−11 m2 ·kg−1 ·s−2
masse du soleil
MS
distance moyenne Terre-soleil
dT S
vitesse de la lumière dans le vide
c
1,9891 × 1030 kg
1 u.a. = 149,60 × 109 m
299 792 458 m/s
A. Cas de l’incidence normale
Dans cette partie, on considère que la lumière arrive sur le miroir en incidence normale, c’est-àdire que la surface du miroir est orthogonale à la direction de propagation. Le miroir étant immobile dans le référentiel de l’étoile considéré comme galiléen, on ne considère pas de changement
de longueur d’onde lors de la réflexion.
On notera ~ex le vecteur unitaire dirigée selon la lumière incidente.
Q22
Q23
Q24
Q25
1. Rappeler les relations de Planck-Einstein pour un photon (impulsion ~p et énergie E0 d’un
photon).
2. Le flux solaire Φ est la puissance surfacique provenant du soleil lorsque la surface considérée est orthogonale à la direction de propagation de la lumière. En déduire la puissance
P arrivant sur le miroir, puis l’énergie correspondant pendant un court intervalle de temps
dt.
3. Compte tenu des questions précédentes, déterminer le nombre de photons δN frappant le
miroir entre t et t + dt.
4. On considère le système fermé {les photons qui vont frapper le miroir entre t et t + dt}.
−
→
−
→
Calculer la variation de quantité de mouvement du système entre t et t+dt : P (t+dt)− P (t).
Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme :
−
→
−
→
ΦS dt
P (t + dt) − P (t) = −2
~ex
c
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PCSI
2015 – 2016
Q26
5. En déduire la force exercée par le miroir sur le système, puis celle exercée par les photons
sur le miroir.
Q27
6. Exprimer alors la pression correspondante pr , appelée pression de radiation, en fonction de
Φ et de c.
Q28
7. Vérifier explicitement l’homogénéité du résultat obtenu à la question précédente.
Q29
8. Application numérique : au niveau de l’orbite terrestre, on considère une voile de surface
S = 100,0 m2 . Calculer la force due à la pression de radiation. Comparer avec la force exercée par le soleil sur un objet de 20,00 kg (toujours au niveau de l’orbite terrestre). Commenter 1 .
Q30
9. Peut-on utiliser ce mode de propulsion pour se rapprocher du soleil ?
B. Cas de l’incidence oblique
~ey
On étudie maintenant le cas où la lumière incidente fait un
angle θ avec la normale au miroir. Compte tenu de la distance au soleil et des angles mis en jeu, on considèrera que
la lumière arrive sur le miroir sous la forme d’un faisceau
de rayons parallèles.
Q31
θ
~ex
1. Le flux solaire Φ étant défini par rapport à une surface normale aux rayons incidents, déterminer la nouvelle puissance arrivant sur la voile solaire P (θ) en fonction de θ, S et Φ (un
schéma indiquant clairement les surfaces en jeu est vivement recommandé). En déduire
l’énergie δE arrivant pendant un intervalle de temps dt.
→
→
2. Étudier la variation de quantité de mouvement −
p (t + dt) − −
p (t) pour un seul photon lors
Q32
0
0
du choc. On exprimera le résultat en fonction des vecteurs ~ex et ~ey . En déduire la variation
de quantité de mouvement du système fermé {les photons qui vont frapper le miroir entre
−
→
−
→
t et t + dt} : P (t + dt) − P (t).
Q33
3. Montrer que la pression exercée dans ce cas sur le miroir est pr = 2 Φc cos2 θ.
C.
Prise en compte du mouvement de la voile
Intuitivement, on peut se douter que si la fréquence de la lumière ne varie pas lors de la réflexion, alors l’énergie mécanique totale du système { photons + miroir } pourrait augmenter sans
raison. Dans cette question, on souhaite modéliser plus précisément la force lorsque le miroir est
en mouvement. Toutefois, pour plus de simplicité et pour ne pas avoir à considérer des effets
relativistes, le raisonnement sera mené sur un cas classique où les photons seront remplacés par
des balles de tennis.
Gaston souhaite vous faire étudier un nouveau mode de propulsion pour sa voiture de masse
M : il projette des balles de tennis de masse mt contre sa voiture à une vitesse ~v0 = v0~ex . On négligera les mouvements selon les autres directions que ~ex , en particulier on ne tiendra pas compte
de la gravité.
On notera n∗ le nombre de balle de tennis par unité de volume, supposé constant et connu. On
notera ~v(t) = vx (t)~ex = ẋ~ex la vitesse de la voiture. On notera S la surface (verticale) de la voiture
contre laquelle cogne les balles de tennis.
1. Remarque : le flux solaire décroit en 1/r2 à cause de la conservation de l’énergie, la force gravitationnelle est
elle aussi en 1/r2 , donc le rapport entre ces deux forces est en fait indépendant de la distance au soleil.
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2015 – 2016
On travaillera parfois dans le référentiel terrestre (galiléen), noté RT , et parfois dans le référentiel lié à la voiture et en translation par rapport à RT , noté RV (non galiléen a priori). Les vitesses
précédemment définies le sont par rapport au référentiel RT .
On donne la loi de composition des vitesses :
~v (M/RT ) = ~v (M/RV ) + ~v(t)
Q34
Ainsi pour obtenir la vitesse d’un objet par rapport à RT , il faut ajouter ~v à la vitesse de cet objet
par rapport à RV et réciproquement, pour obtenir la vitesse d’un objet par rapport à RV , il faut
soustraire ~v à la vitesse de cet objet par rapport à RT .
1. Intuitivement, quelle est la vitesse maximale vm à laquelle Gaston pourra amener sa voiture ? Justifier brièvement.
Dans les questions suivantes, on fera l’hypothèse que vx 6 vm .
Q35
2. On se place dans le référentiel lié à la voiture RV , quelle est la vitesse ~v0′ = v0′ ~ex des balles
de tennis dans ce référentiel ?
Q36
3. En déduire le nombre de balles de tennis frappant la voiture entre t et t + dt en fonction de
v0′ , puis en fonction de v0 et vx .
Q37
4. On considère que les balles rebondissent en repartant à la vitesse −v0′ ~ex dans le référentiel
de la voiture (ce qui revient à supposer que la masse de la voiture est bien supérieure à celle
d’une balle de tennis). En déduire que la vitesse ~v0′′ = v0′′~ex des balles après leur rebond,
dans le référentiel terrestre en vaut
~v0′′ = 2~v − ~v0
Q38
5. En utilisant les questions précédentes, déterminer la variation de quantité de mouvement
dans le référentiel terrestre entre t et t+dt du système fermé S = {les balles qui vont frapper
la voiture entre t et t + dt}.
Q39
6. Montrer alors que la force exercée par les balles de tennis sur la voiture s’exprime
F~t→v = 2n∗ Smt (v0 − vx )2~ex
Q40
7. Vérifier l’homogénéité de la formule précédente.
Q41
8. En déduire l’équation du mouvement sur vx vérifiée par la voiture de masse M.
Q42
9. L’équation précédente étant non linéaire, une résolution analytique n’est pas facile. Pour
obtenir des informations sur les solutions, tracer le portrait de phase (v̇x en fonction de vx )
correspondant sans oublier de l’orienter.
Q43
10. À l’aide du portrait de phase, et en justifiant votre réponse, conclure quant à l’existence
d’une vitesse limite que l’on précisera. Comparer avec votre intuition au début de la partie.
(Remarque : attention, il se peut qu’une partie de la courbe que vous avez tracé à la question
précédente ne soit pas pertinente compte tenu de l’hypothèse vx 6 vm ).
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2015 – 2016
IV. T HÉORÈME D ’A RCHIMÈDE
z
Le but de cet exercice est d’abord de montrer sur quelques
exemples simples que le théorème d’Archimède donne effecti~g = −g~ez
vement la résultante des forces de pressions appliquées sur un
y
objet, puis dans un second temps de montrer que si l’on a l’imair
O
pression que le théorème ne fonctionne pas, c’est qu’il a été mal
eau
appliqué !
On considèrera que l’air peut-être assimilé à un gaz parfait
de masse molaire Ma .
Dans tout le problème la température sera considérée uniforme dans tout l’espace. L’espace est
rapporté à un repère Oxyz avec l’axe Oz ascendant. Ainsi ~g = −g~ez .
Données numériques :
grandeur
symbole
valeur
masse volumique de l’eau à 20°C
µeau
998,29 kg/m3
masse molaire moyenne de l’air
Ma
28,97 g/mol
pression atmosphérique au niveau de la mer
p0
accélération de la pesanteur
1,013 × 105 Pa
g
9,807 m/s2
constante universelle des gaz parfaits
R
Température moyenne dans ce problème
8,31446 J·mol−1 ·K−1
T0
20,00 °C = 293,15 K
A. Introduction
Q44
1. Rappeler la relation fondamentale de la statique des fluides (sous la forme de votre choix).
Q45
2. Définir les termes « compressible » et « dilatable ». Par rapport à ces deux termes, comment
peut-on caractériser l’eau liquide ? Même question pour l’air dans les CNTP (conditions
normales de températures et de pression) ?
Q46
3. Pourquoi est-il important de penser à ces deux termes avant d’intégrer la relation fondamentale de la statique des fluides ?
B. Cube dans l’eau
Q47
On considère un cube de coté a plongé entièrement dans l’eau. En z = 0, l’eau est en contact
avec l’atmosphère à la pression p0 . Le cube est repéré par la position de son centre via les coordonnées cartésiennes x0 , y0, z0 (z0 < 0). Ainsi, les sommets du cube ont pour coordonnées x0 ± a2 ,
y0 ± a2 , et z0 ± a2 .
1. À l’aide du théorème d’Archimède, exprimer la résultante des forces de pressions exercées
−
→
sur le cube Π .
Q48
2. Déterminer le champ de pression p(x,y,z) au sein du fluide.
Q49
3. À partir de la définition des forces de pression et sans utiliser le théorème d’Archimède, calculer la résultante des forces de pression exercées sur le cube F~p (Remarque : par symétrie,
on pourra se contenter de regarder les forces selon z.)
−
→
4. Comparer F~p et Π .
Q50
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DS Physique n°7
C.
PCSI
2015 – 2016
Cube dans l’air
On considère maintenant la partie dans l’air, c’est-à-dire z > 0.
Q51
1. Exprimer la masse volumique µa de l’air en fonction de la pression p ainsi que des constantes
R, T0 et Ma .
Q52
2. En intégrant la relation fondamentale de la statique des fluides, montrer que le champ de
pression p(x,y,z) et celui de masse volumique µa (x,y,z) peuvent se mettre sous la forme
z
p(x,y,z) = p0 e− H
z
µa (x,y,z) = µa,0 e− H
;
H est une longueur caractéristique à déterminer analytiquement et numériquement. µa,0
est la masse volumique de l’air en z = 0, à exprimer en fonction de p0 .
Q53
3. On considère que le centre du cube a pour coordonnées x0 = 0, y0 = 0, z0 = 10 m. Déterminer analytiquement la masse volumique de l’air µ0 en ce point.
Q54
4. Appliquer (naïvement 2 ) le théorème d’Archimède pour exprimer la résultante des forces de
pression en fonction de µ0 , a et g, puis en fonction de p0 , H, z0 et des constantes du problème.
Q55
5. En utilisant le champ de pression déterminé ci-dessus, calculer la résultante des forces de
pression sur le cube en fonction de p0 , H, z0 et a. (Remarque : par symétrie, on pourra se
contenter de regarder les forces selon z.)
Q56
6. Comparer le résultat du calcul précédent et comparer avec celui donné par l’application
naïve de la poussée d’Archimède. Commenter.
Q57
7. Pour calculer correctement la masse de fluide déplacé, il est nécessaire d’intégrer sur l’ensemble du volume du cube les masses élémentaires µa (x,y,z) dV . Ainsi
Md =
ZZZ
V
µa (x,y,z) dV
Calculer analytiquement Md .
Q58
8. Appliquer « correctement » le théorème d’Archimède et comparer avec le calcul direct de la
résultante des forces de pressions. Conclure.
2. C’est-à-dire en faisant comme si la masse volumique de l’air était constante de valeur µ0 à l’échelle du cube.
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DS Physique n°7
PCSI
I. Q UESTION
:
DE COURS
2015 – 2016
PREMIER PRINCIPE
Q1
1. pV = nRT pour n mole de gaz occupant un volume V sous une pression p et à une température T .
Q2
2. H = U + pV
3. (a) Par définition Cp,m =
Q3
Cp,m =
∂Hm
.
∂T
p
Or pour un gaz parfait, Hm ne dépend que de T d’où
dHm
dUm
. De même CV,m =
.
dT
dT
L’énoncé n’était en effet pas super clair sur la simplification attendue. C’est une
difficulté pour le concepteur du sujet et pour vous. Essayez de vous demander à
chaque question « quelle est la réponse attendue de moi ? ». Ici le but était de vous
montrer que l’on se moque des "à p constant" ou "à V constant" pour un GP.
Q4
(b) Exprimons la relation donnant l’enthalpie en grandeurs molaires : H = U + pV = U +
nRT ⇒ Hm = Um + RT . En dérivant par rapport à T , on obtient Cp,m = CV,m + R d’où
le résultat demandé.
m
m
Attention à justifier que pour un GP ∂U
= ∂U
car sinon vous ne pouvez
∂T p
∂T V
pas faire apparaitre CV,m .
Q5
(c) De plus Cp,m = γCV,m d’où CV,m (γ − 1) = R ⇒ CV,m =
R
γ−1
et
Cp,m =
γR
.
γ−1
Même si le calcul est facile, montrez que vous le faites pour pas que l’on pense que
vous l’avez juste recopié de votre calculatrice.
(d) cp =
Q6
Q7
Cp
m
=
nCp,m
m
A.N : cp =
=
Cp,m
M
=
γR
M (γ−1)
1,4 × 8,314
8,314
= 1,0 kJ.K−1 .kg−1 et cV =
= 0,72 kJ.K−1 .kg−1
−3
29.10 × 0,4
29.10−3 × 0,4
4. (a) H2 − H1 = CP (T2 − T1 ) = mcP (T2 − T1 ) pour un GP.
Q8
(b) A.N : H2 − H1 = 0,100 × 1,0.103 × (450 − 300) = 15 kJ
Q9
5. (a) δW = −pdV pour une transformation quasi-statique.
R1
Q10
(b) W =
Q11
(c) A.N : W = −
2
−pdV =
R1
−nRT0 2 dV
V
= −nRT2 ln
V1
V2
p2
m
. Or p1 V1 = p2 V2 d’où : W = − RT2 ln
M
p1
0,100
8,314 × 450 ln (10) = −30 kJ
29.10−3
On vérifie le signe : puisqu’il s’agit d’une détente le signe est négatif. En effet, c’est
le système qui travaille pour repousser le piston ou l’atmosphère et il perd donc de
l’énergie.
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Correction
!
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II. V ITESSE
Q12
2015 – 2016
DE LIBÉRATION D ’ UN VAISSEAU SPATIAL
1. (a) cf cours pour une trajectoire circulaire v0 =
s
GM
r0
(b) Pour échapper au champ gravitationnel de l’astre, le vaisseau aura une vitesse au minimum nulle et une énergie potentielle nulle. Écrivons donc la conservation de l’énergie
mécanique :
Q13
Q14
1
mv12
2
−
GM m
r0
= 0 d’où v1 =
s
√
2GM
= 2v0
r0
2. Dans l’option 1 où l’on utilise tout le budget, on passe de v0 à 5v0 . Utilisons à nouveau la
conservation de l’énergie mécanique entre la fin de l’allumage des moteurs et une position
à l’infini :
1 2
GM
1
= mv∞
+0
Em = m(5v0 )2 −
2
r0
2
et avec
v0 =
s
GM
r0
d’où
v∞ =
√
23v0
Attention à lire correctement l’énoncé : le budget ∆v correspond à la somme des
valeurs absolues des différences de vitesse. Ainsi, si on utilise tout le budget, on
ajoute 4v0 à la vitesse actuelle qui est de v0 : on arrive donc à 5v0 .
Q15
Q16
3. (a) Désormais la vitesse initiale vaut v0 /2 ce qui donne une nouvelle énergie mécanique
= 81 mv02 − mv02 = − 87 mv02 < 0. La trajectoire est donc une ellipse .
Em = 21 m( v20 )2 − GM
r0
q
m
m
d’où 87 mv02 = GM
. Avec v0 = GM
, on
(b) Utilisons la formule générale Em = − GM
2a
2a
r0
4
trouve : a = r0
7
Le périgée et l’apogée sont les seuls endroits de la trajectoire elliptique pour lesquels
le vecteur vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur. L’énoncé précise bien que le
vecteur vitesse garde en r0 la direction qu’il avait pour la trajectoire circulaire. Après
changement de vitesse, le rayon vecteur est donc toujours perpendiculaire au vecteur
vitesse. On a donc soit rA ou rP égal à r0 .
1
Comme rA + rP = 2a = 78 r0 , si l’un est égal à r0 , alors l’autre vaut 71 r0 soit rP = r0 et
7
rA = r0 .
v0
. On a également conservation du moment cinétique
2
7v0
(force centrale), d’où rA vA = rP vP . On en déduit : vP =
2
(c) Comme rA = r0 , alors vA =
Q17
Q18
Q19
Q20
(d) Pour éviter que le vaisseau ne s’écrase, il faut rP > R .
m
m
(e) Cela donne 2a > R + r0 soit Em = − GM
> − GM
d’où vA > v2 = v0
2a
R+r0
s
2R
R + r0
4. Arrivé en rP , on utilise le reste du budget vitesse soit 4v0 − v20 = 7v20 , ce qui s’ajoute à la
vitesse vP = 7v20 soit une vitesse de 7v0 .L’énergie mécanique s’écrit :
Em = 12 m(7v0 )2 − GM
= 21 m(7v0 )2 − 7GM
= 49
mv02 − 7mv02 = 35
mv02 > 0
rP
r0
2
2
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Correction
DS Physique n°7
PCSI
2015 – 2016
On a donc une trajectoire hyperbolique : le vaisseau s’éloigne de l’astre et échappe définitivement à son attraction.
√
2
2
= 35
mv
soit
v
=
35v0
A l’infini, EM ∞ = 21 mv∞
∞
0
2
Q21
5. La seconde option, à budget carburant égal, est donc la meilleure car elle conduit à une
vitesse à l’infini plus importante.
III. P RESSION
DE RADIATION
Attention au nombre de chiffres significatifs dans les applications numériques : l’énoncé
donnait ici les valeurs avec en général un grand nombre de chiffre.
A. Cas de l’incidence normale
Q22
1. E0 = hν et ~p = ~~k = hλ ~u avec ~u un vecteur unitaire selon la direction et le sens de propagation de la lumière.
Q23
2. P = Φ × S par définition puisque le miroir est orthogonal à la direction de propagation.
D’où δE = P dt = ΦS dt .
Q24
3. Compte tenu des questions précédentes, l’énergie arrivant sur le miroir entre t et t + δ peut
s’exprimer sous la forme δN × hν ou ΦS dt. On en déduit que δN =
ΦS dt
hν
.
L’énoncé vous aidait en disant "à l’aide des questions précédentes" : cela vous
indiquait qu’elles étaient utiles. Ainsi il n’était pas pertinent de faire un
raisonnement sur un cylindre de longueur c dt et en utilisant une densité particulaire
qui n’était ici pas un paramètre de l’énoncé.
Q25
4. On considère le système fermé { les photons qui vont frapper le miroir entre t et t + dt}.
Lorsqu’un photon est réfléchi, sa variation de quantité de mouvement est ~p(t + dt) − p~(t) =
h
(−~ex ) − hλ ~ex = −2 λh ~ex .
λ
−
→
−
→
h
ΦS dt h
ΦS dt
P (t + dt) − P (t) = δN × (−2 ~ex ) = −2
~ex = −2
~ex
λ
hν λ
c
Vous avez été trop nombreux à vouloir utiliser ~p = m~v , c’est vrai en mécanique
classique, mais cela ne l’est plus en relativité (c.f. approche documentaire). En
particulier, vous l’avez dit question 1, pour un photon ~p = ~~k. (C’est pour vous aider
que l’on posait la question 1.) Au passage, un photon est une particule de masse nulle.
Q26
5. D’après la question précédente
→
−
→
−
→
−
ΦS
P (t+dt)− P (t)
dP
~
e
=
−2
= −2 ΦS
~e
soit
en
prenant
la
limite
lorsque
dt
→
0
:
x
dt
dt
c x
c
Le référentiel de l’étoile étant galiléen, on applique le principe fondamental de la dynamique au système fermé défini précédemment :
−
→
X
dP
ΦS
=
F~ext = F~miroir→photons ⇔ −2
~ex = F~miroir→photons
dt
c
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PCSI
2015 – 2016
~e .
d’où d’après la troisième loi de Newton F~photons→miroir = 2 ΦS
c x
Q27
6. La pression correspondante, est telle que F~photons→miroir = pr S~ex , soit pr = 2 Φc .
Q28
7. Dimensionnellement une pression peut être vue comme une force surfacique ou une énergie
volumique. Ici nous allons utiliser énergie volumique
h i
Φ
c
=
[P ]L−2
L.T−1
=
[E]T−1 L−2
L.T−1
= [E] L−3 On a donc une énergie volumique des deux cotés du
signe égal, la formule est homogène .
Pensez à conclure pour vos analyse dimensionnelle. Dites que la formule est
homogène (si elle l’est).
Q29
8. Application numérique :
On trouve Fgrav = 0,1186 N et Frad = 9,078 × 10−4 N soit 130,7 fois plus petite. (4 chiffres
significatifs comme la masse ou la surface).
Ainsi, pour pouvoir utiliser la pression de radiation, il faut donc des surfaces de voile gigantesques, mais très légère. L’énergie est « gratuite », mais très très faible.
Q30
9. On ne peut pas utiliser ce mode de propulsion pour se rapprocher du soleil directement car
la force exercée est telle que « les photons repoussent la voile », ce même si l’incidence n’est
pas normale comme ce sera vu dans la partie suivante. Les photons étant émis par le soleil
et se propageant en ligne droite, ils ont tendance à éloigner la voile du soleil.
On peut malgré tout envisager de se rapprocher du soleil par des moyens détourner : utiliser la pression de radiation pour se rapprocher d’une planète massive puis utiliser le principe de la fronde gravitationnelle pour se rapprocher du soleil (en « rentrant »la voile après
passage à proximité de la planète).
B. Cas de l’incidence oblique
~ey
S0 θ
py (t + dt)
θ
px (t + dt) py (t)
~ex
px (t)
Q31
1. La surface S0 sur le schéma reçoit le même nombre de photon que S, et est orthogonale à
la lumière incidente. Ainsi, la puissance arrivant sur S est P (θ) = ΦS0 = ΦS cos θ . On en
déduit δE = ΦS dt cos θ .
2. Lors du choc d’un photon, la composante selon y de ~p est conservée et celle selon x change
de sens (loi de la réflexion pour la lumière, voir schéma ci-dessus à droite).
Ainsi ~p0 (t + dt) − ~p0 (t) = (px (t + dt) − px (t))~ex + 0~ey = −2p0 cos θ~ex
D’où ~p0 (t + dt) − ~p0 (t) = −2 hλ cos θ~ex .
Q32
On en déduit que la variation de quantité de mouvement du système fermé { les photons
−
→
−
→
qui vont frapper le miroir entre t et t + dt} est P (t + dt) − P (t) = δN × (~p0 (t + dt) − ~p0 (t)) =
−
→
−
→
2
h
ΦS dt cos θ
×
−2
cos
θ~
e
. Soit en simplifiant P (t + dt) − P (t) = −2 ΦS dtccos θ × ~ex .
x
hν
λ
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DS Physique n°7
pr S~ex d’où en projettant selon ~ex la pression exercée dans ce cas sur le miroir est pr =
C.
Q35
Q36
Q37
Q38
Q39
2015 – 2016
3. Ainsi, en utilisant le PFD pour le système fermé défini par l’énoncé dans le référentiel galiléen lié à l’étoile :
2θ
dP
= F~miroir→photons = −2 ΦS cos
× ~ex . D’où en utilisant la troisième loi de Newton comme
dt
c
2
précédemment F~photons→miroir = 2 ΦS dtccos θ ×~ex et par définition de la pression : F~photons→miroir =
Q33
Q34
PCSI
2Φ
c
cos2 θ .
Prise en compte du mouvement de la voile
1. Lorsque Gaston envoie des balles, il faut que celles-ci aillent plus vite que la voiture pour
pouvoir entrer en collision avec celle-ci. Autrement dit, si vx > v0 , aucune balle n’atteindra
la voiture et donc aucune force ne pourra être exercée. On s’attend donc à ce que la vitesse
maximale accessible soit v0 .
2. On utilise la relation donnée par l’énoncée : ~v (M/RT ) = ~v (M/RV ) + ~v (t) soit en projetant
selon ~ex : v0 = v0′ + vx d’où v0′ = v0 − vx .
3. On en déduit que les balles de tennis frappant la voiture entre t et t + dt doivent être en
face de S, suffisamment proches pour avoir le temps de heurter la paroi (c’est à dire à une
distance inférieure à la distance parcourue pendant dt, soit v0′ dt). Elles sont donc contenues
dans un cylindre de volume S × v0′ dt et sont donc au nombre de δN = n∗ × S × v0′ dt .
4. On utilise la relation donnée par l’énoncée : ~v (M/RT ) = ~v(M/RV )+~v(t) soit : v0′′~ex = −v0′ ~ex +
vx~ex et en utilisant l’expression de v0′ trouvée précédemment v0′′~ex = −(v0 − vx )~ex + vx~ex =
(2vx − v0 )~ex . Soit aussi ~v0′′ = 2~v − ~v0 .
5. La variation de quantité de mouvement dans le référentiel terrestre est donc
−
→
−
→
P (t + dt) − P (t) = δNmt (~v0′′ − ~v0 ) = n∗ × S × v0′ dt × mt × (2~v − ~v0 − ~v0 ) et en utilisant
−
→
−
→
l’expression de v0′ = v0 − vx P (t + dt) − P (t) = −2n∗ × S dt × mt × (vx − v0 )2 ~ex .
6. Toujours de la même façon en utilisant le PFD puis la troisième loi de Newton
→
−
F~tennis→voiture = − d P = 2n∗ × S × mt × (vx − v0 )2 ~ex .
dt
Il était important de se placer dans le référentiel terrestre pour la quantité de
mouvement car il est galiléen alors que celui lié à la voiture n’est a priori pas galiléen
puisque la voiture accélère lentement mais surement à chaque choc.
7. (a) Pour le membre de gauche [F ] = M.L.T−2
(b) Pour le membre de droite : il y une différence entre deux vitesses, ce qui ne pose pas de
problème d’homogénéité. De plus :
i. [n∗ ] = L−3
ii. [S] = L2
iii. [mt ] = M
iv. [vx ] = L.T−1
Q40
2
d’où le membre de droite est homogène à L−3 .L2 M L.T−1 soit M.L.T−2
Le membre de droite et celui de gauche sont de la même dimension, la formule est donc
homogène.
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Q41
Q42
Q43
PCSI
2015 – 2016
8. On considère le système {voiture } dans le référentiel terrestre galiléen, d’après le PFD,
d~v
= 2n∗ × S × mt × (vx − v0 )2 ~ex soit en projetant
l’équation du mouvement est donc M
dt
dvx
v̇x
selon ~ex M
= 2n∗ × S × mt × (vx − v0 )2 .
dt
9. La courbe est représentée ci-contre à droite.
vx
10. On obtient une parabole qui passe par 0 en v0 . La partie de droite
v0
de la courbe n’est plus une parabole mais une droite horizontale
puisque la force est nulle si vx > v0 .
Le portrait de phase est orientée vers la droite puisque v̇x > 0, ainsi la vitesse de la voiture
augmente jusqu’à atteindre v0 , vitesse à partir de laquelle v̇x = 0 ⇒ vx = cte = v0 .
Ce résultat est cohérent avec la vitesse limite proposée au début de la partie (même si l’on
avait prolongé la parabole par erreur, vx = v0 est un point d’arrêt).
IV. T HÉORÈME D ’A RCHIMÈDE
Attention au nombre de chiffres significatifs dans les applications numériques : l’énoncé
donnait ici les valeurs avec en général un grand nombre de chiffre.
A. Introduction
1. Plusieurs formes sont acceptables pour la relation fondamentale de la statique des fluides :
−−→
~0 = −grad p + µ~g
Q44
;
−
→
dp = µ~g · dr
;
dp = −µg dz
La dernière utilise le fait que l’axe Oz est ascendant.
2. « compressible » : la masse volumique varie lorsque la pression varie (ou le volume varie
lorsque la pression varie, ce qui revient au même.
« dilatable » : la masse volumique (ou le volume) varie lorsque la température varie.
Q45
L’eau liquide est peu compressible et peu dilatable et sera donc considérée comme incompressible et indilatable en général.
L’air est compressible et dilatable (pensez à pV = nRT )
Q46
3. Il faut faire particulièrement attention avant d’intégrer la relation fondamental de la statique des fluides :
• Dans le cas des fluides incompressibles et indilatables, la masse volumique µ peut-être
considérée comme constante et l’intégration est facile.
• Dans le cas des fluides compressibles et/ou dilatables, la masse volumique n’est pas constante
et dépend a priori de la température et de la pression. Ainsi la RFSF devient une équation différentielle.
B. Cube dans l’eau
Q47
1. Le volume de fluide déplacé est a3 , ainsi la masse de fluide déplacée est µeau a3 et donc
−
→
Π = −µeau a3~g = µeau a3 g~ez .
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2015 – 2016
2. Le fluide étant incompressible, on peut intégrer la relation fondamentale de la statique des
fluides en considérant µeau constante : p−p0 = −µeau g(z−0) ⇒ p(x,y,z) = p(z) = p0 − µeau gz .
Q48
Attention à l’orientation de l’axe z.
Il ne faut pas se laisser impressionner par le terme "champ de pression" ni par
"p(x,y,z)". Nous avons vu dans les outils mathématiques que "champ" désigne
simplement une fonction des variables de l’espace. Ainsi la question pouvait être lue
"déterminer la fonction p". De même, ∀x; f (x) = 3 est une fonction mathématique qui
ne vous choque pas. Pourtant il n’y a pas x dans le second membre. De la même façon
p(x,y,z) peut ne pas dépendre de certaines variables.
3. Comme l’énoncé nous l’indique, par symétrie les forces selon ~ex et ~ey se compensent et il
est donc inutile de les calculer.
Il reste donc les forces sur les faces supérieures et inférieures du cube. Ces surfaces sont à z
constant, donc à pression constante : l’intégrale des forces de pressions est donc particulièrement simple à faire :
(a) sur la face du bas : F~0 = a2~ez × p z0 − a
2
(b) sur la face du haut : F~1 = a2 (−~ez ) × p z0 +
La résultante vaut donc F~p = a2~ez × p z0 −
h Q49
a
2
a
2
− p z0 +
a
2
i
4. Il faut simplifier F~p hsi cela n’a pas
pour pouvoir com à la questionprécédente,
i
été fait
a
a
2
parer : F~p = a ~ez × p0 − µeau g × z0 − 2 − p0 + µeau g × z0 + 2 = a2~ez × (µeau ga) d’où
−
→
F~p = µeau a3 g~ez = Π . Ainsi, le théorème d’Archimède permet bien de calculer la résultante
des forces de pression (normal puisqu’il a été démontré ! ).
Q50
C.
Q51
Cube dans l’air
1. Si on considère n moles d’air, de masse m, occupant un volume V , l’équation d’état du gaz
:
parfait donne pV = nRT0 = Mma RT0 . Soit en faisant apparaitre la masse volumique µa = m
V
pMa
µa
p= M
RT0 ⇒ µa =
.
a
RT0
2. On est justement dans le cas où il faut être prudent lors de l’intégration 3 :
a
dp = −µa g dz ⇒ dp = − pM
g dz Deux méthodes s’offrent à vous :
RT0
3. Les équations selon x et y indique que p(x,y,z) = p(z).
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PCSI
On a donc à résoudre l’équation différentielle homogène :
2015 – 2016
Par séparation des variables :
Ma
dp
g dz
=−
p
RT0
dp Ma g
+
z=0
dz
RT0
ag
z) où A On intègre entre z = 0 et le z courant
Ce qui conduit à p = A exp(− M
RT0
est une constante à déterminer grâce aux les deux membres de l’équation :
Z z
Z p(z)
conditions aux limites.
Ma
dp
=
−
g
dz ′
En z = 0 l’énoncé dit que p(z) = p0 = A.
RT0 0
p(z=0) p
D’où
p(z)
Ma
Ma g
Ma g
ln
=−
gz ⇒ p(z) = p0 exp −
z
z
p(z) = p0 exp −
p0
RT0
RT0
RT0
Q52
On en déduit que la constante H de l’énoncé est H =
RT0
Ma g
= 8579 m
Attention au nombre de chiffres significatifs.
Pour le champ de masse volumique, on utilise µa =
Ma g
µa (x,y,z) = µa,0 exp −
z
RT0
pMa
RT0
d’où
avec
µa,0 =
p0 Ma
RT0
z0
p0 Ma − zH0
e
RT0
Q53
3. Il suffit d’appliquer la formule précédemment trouvée : mu0 = µa,0 e− H =
Q54
4. L’application naïve utiliser généralement simplement la masse volumique au centre de
masse bien que la masse volumique ne soit pas uniforme.
Le volume de fluide déplacé est a3 et un calcul un peu rapide conduit généralement à pensé
que la masse de fluide déplacée est simplement µ0 a3 d’où d’après le théorème d’Archimède :
z0
−
→
p0 Ma − z0
e H × a3 × g~ez
Π = µa,0 e− H × a3 × g~ez =
RT0
5. Comme l’indique l’énoncé, la résultante des forces de pression selon x et y est nulle par
symétrie. On ne fait donc l’intégration que sur les face z = z0 − a2 et z = z0 + a2 .
s
s
Sur la face du bas : F~1 = S1 p(x,y,z0 − a/2) dS~ez = S1 p(z = z0 − a/2) dx dy~ez . Ni la
pression ni le vecteur ~ez ne dépendent de x et de y qui sont les variables d’intégration : on
peut donc les sortir de l’intégrale :
s
F~1 = p(z = z0 − a/2)
dx dy ~ez = p(z = z0 − a/2)S1~ez avec S1 = a2 .
S1
Q55
De même sur la face du haut : F~2 = p(z = z0 + a/2)a2 (−~ez ) (attention au sens).
La résultante des forces de pression est donc :
F~p = p0 e−
z− a
2
H
a2~ez − p0 e−
z− a
2
H
z
a
a
0
a2~ez ⇒ F~p = p0 a2 e− H e 2H − e− 2H ~ez
z0
6. On remarque dans les deux expressions le terme p0 a2 e− H ~ez , mais il reste des termes :
a ga
dans le calcul naïf et
• MRT
0
a
a
• e 2H − e− 2H dans le calcul des forces de pression
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2015 – 2016
Ces deux termes sont « a priori » différents. Cela a conduit certain à penser que le théorème
d’Archimède donnait une fausse valeur pour les forces de pression. Le théorème a en fait
été mal appliqué.
Remarque : si l’on fait un développement limité de l’expression dans le calcul des forces de
pression :
Q56
e
a
2H
a
− 2H
−e
a
1
a 2 1
a
=1+
+
+
2H 2! 2H
3! 2H
3
!
a
2
a 4
a
+
+O
=
H 3! 2H
2H
3
1
a
a
+
− 1−
2H 2! 2H
2
a
1
−
3! 2H
3 !
+O
RT0
et que l’on remplace H par son expression M
, on constate que les deux expressions sont
ag
identiques à l’ordre 1 et 2, mais pas à l’ordre 3. Par unicité du développement limité, on
a donc démontré que les expressions étaient différentes (et aussi que notre application du
théorème d’Archimède s’identifie ici à un développement limité à l’ordre 2).
7.
Md =
ZZZ
⇒ Md = µa,0 a2
Q57
V
"
µa (x,y,z) dV =
e−z/H
− H1
#z0 + a
ZZZ
V
2
z0 − a2
µa,0 e−z/H dx dy dz = µa,0 a2
z0
a
a
= Hµa,0 a2 e− H e 2H − e− 2H =
⇒ Md =
Z
z0 + a2
z0 − a2
e−z/H dz
a
RT p0 M 2 − z0 a
×
×a e H e 2H − e− 2H
Mg RT
a
p0 a2 − z0 a
e H e 2H − e− 2H
g
8. L’opposé du poids de fluide déplacé est donc
z0 −
→
a
a
⇒ Π = Md g~ez p0 a2 e− H e 2H − e− 2H ~ez
Q58
On a donc bien le même résultat que le calcul direct des forces de pression. Le théorème
d’Archimède étant démontré et ses conditions d’applications ici vérifiées, c’est bien normal !
Attention : dans cet exercice nous avons calculés la résultante des forces de pression
de deux façons pour montrer qu’elles coïncident. Toutefois de façon général il suffit de
faire une seule des deux méthodes. De plus, l’erreur commise en utilisant
l’approximation Md = µ0 × a3 est infime (l’erreur relative est de l’ordre de 10−7).
Remarque : Ce sujet a été écrit en "réponse" à un sujet CCP filière PC 2014 où l’énoncé disait
"Estimer l’erreur commise lorsque l’on applique le théorème d’Archimède à un ballon" : 0 si on
applique correctement le théorème d’Archimède contrairement à ce que suggérait l’énoncé.
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a
2H
4