DS Physique n°7 PCSI 2015 – 2016 Conseils : • Ce devoir comporte

DS Physique n°7 PCSI 2015 – 2016
Conseils :
• Ce devoir comporte un exercice de cours et 3 problèmes indépendants.
• Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la ré-
daction de votre copie : justifiez rapidement vos affirmations, donnez la valeur littérale
simplifiée des résultats en fonction des données de l’énoncé, vérifiez l’homogénéité et la
cohérence (tout résultat non homogène sera sanctionné).
Les résultats non encadrés ne seront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correc-
teur.
• Rédigez les problèmes sur des copies différentes.
•Numérotez vos copies doubles : 1/4, 2/4 .... (si 4 copies). N’oubliez pas de mettre votre
Nom sur chacune des copies.
• L’usage des calculatrices est autorisé.
Lycée Poincaré – Nancy Page 1/8 4 mai 2016, durée 4h00

DS Physique n°7 PCSI 2015 – 2016
I. QUESTION DE COURS :PREMIER PRINCIPE
L’air est considéré comme un gaz parfait diatomique de masse molaire moyenne M= 29 g.mol−1,
pour lequel le coefficient adiabatique est γ= 1,4.
On prendra R= 8,314 J.mol−1.K−1la constante molaire des gaz parfaits. On note p, V, T les
grandeurs d’état pression, volume, température d’un gaz. On note Cp,m et CV,m les capacités ther-
miques molaires à pression et à volume constant et γle rapport γ=Cp,m
CV,m . Ces trois grandeurs
seront considérées comme étant constantes vis-à-vis de la température et de la pression.
1. Rappeler l’équation d’état d’un gaz parfait. On désigne par nle nombre de moles.Q1
2. Rappeler la relation qui lie la fonction d’état enthalpie Hà la fonction d’état énergie interne
U.Q2
3. (a) Rappeler les définitions de CV,m et Cp,m. Que devient la formule pour un gaz parfait ?Q3
(b) Montrer que pour un gaz parfait : Cp,m −CV,m =R(relation de Mayer).Q4
(c) Exprimer CV,m et Cp,m en fonction de Ret γ.Q5
(d) Calculer cpet cVles capacités thermiques massiques de l’air à pression constante et à
volume constant.Q6
4. Une masse d’air m= 100 g passe de l’état T1= 300 K, P1= 1 bar à l’état T2= 450 K,
P2= 10 bar.
(a) Exprimer la variation d’enthalpie H2−H1en faisant apparaître la masse m.Q7
(b) Faire l’application numérique.Q8
5. Cette même masse d’air dans l’état 2subit une détente isotherme quasi-statique de P2àP1.
(a) Exprimer le travail élementaire des forces de pression.Q9
(b) Exprimer le travail des forces de pression en fonction de P2,P1,m,Ret T2.Q10
(c) Faire l’application numérique.Q11
Lycée Poincaré – Nancy Page 2/8 4 mai 2016, durée 4h00

DS Physique n°7 PCSI 2015 – 2016
II. VITESSE DE LIBÉRATION D’UN VAISSEAU SPATIAL
Un vaisseau spatial de masse mest initialement sur une orbite circulaire de rayon r0décrite à
la vitesse v0, autour d’une planète de masse Met de rayon R.
1. (a) Déterminer la vitesse v0en fonction de G,Met r0.Q12
(b) On allume le moteur pendant un temps court, de sorte que la vitesse varie mais pas
la distance au centre de l’astre. Évaluer la nouvelle vitesse v1du vaisseau pour qu’il
échappe au champ gravitationnel de l’astre en fonction de v0.Q13
Le commandant de bord dispose en fait d’un « budget de vitesse » égal à 4v0: cela signifie
que la quantité de carburant disponible lui permet de faire varier la vitesse du vaisseau, en
une ou plusieurs fois, pourvu que la somme des valeurs absolues des variations de vitesses
n’excède pas 4v0. Il dispose de deux options.
2. Option 1 : le commandant utilise tout son budget d’un seul coup en amenant sa vitesse
initiale à 5v0. Évaluer sa vitesse finale (« à l’infini »), en fonction de v0.Q14
3. Option 2 : on utilise un huitième du budget pour ralentir le vaisseau de v0àv0
2en un temps
très court devant la période, le vecteur vitesse gardant la même direction.
(a) Montrer que la nouvelle trajectoire est un état lié. On admet que cette trajectoire est une
ellipse.Q15
(b) Déterminer le demi-grand axe a. Montrer que les distances rAdu centre Oà l’apogée etQ16
rPdu centre Oau périgée sont : rA=r0et rP=1
7r0.
(c) Déterminer les normes des vitesses vAet vP, respectivement à l’apogée et au périgée enQ17
fonction de r0.
(d) Quelle condition doit vérifier rPpour que le vaisseau ne s’écrase pas ?Q18
(e) En déduire qu’on n’aura pas écrasement du vaisseau sur l’astre si vA> v2=v0q2R
R+r0.Q19
4. On utilise ensuite le reste du « budget vitesse » au passage au périgée pour augmenter au
maximum la vitesse du vaisseau. Justifier la nature de la nouvelle trajectoire et déterminerQ20
la nouvelle vitesse finale (« à l’infini »), en fonction de v0.
5. Comparer les deux options, et commenter.Q21
Lycée Poincaré – Nancy Page 3/8 4 mai 2016, durée 4h00

DS Physique n°7 PCSI 2015 – 2016
III. PRESSION DE RADIATION
Remarque : Bien qu’il soit conseillé de traiter le problème dans l’ordre, les dernières questions
de la partie Cpeuvent en grande partie être traitées même si le reste du problème n’a pas été
abordé en admettant l’expression de la force proposée par l’énoncé.
Dans ce problème, on étudie un moyen « gratuit » (en carburant) de propulsion spatiale : l’utili-
sation de la pression de radiation lors de la réflexion de la lumière sur un miroir. Il s’agit d’utiliser
la force créée lors de la réflexion des photons sur un miroir afin de mettre en mouvement des
objets.
On notera Sla surface de la « voile solaire » considérée. Elle est supposée parfaitement réflé-
chissante, c’est-à-dire que la voile solaire est un miroir parfait.
Dans une première partie, on étudiera le cas où la voile est immobile dans un référentiel ga-
liléen et où la lumière est en incidence normale. Dans la deuxième partie on étudiera le cas où
l’angle d’incidence est non nul. Finalement dans la troisième partie, on tiendra compte du mou-
vement du miroir.
On notera λla longueur d’onde de la lumière incidente et νsa fréquence.
h=représente la constante de Planck et ~=h
2πla constante de Planck réduite.
Données numériques :
grandeur symbole valeur
flux solaire au niveau de l’orbite terrestre Φ 1,3608 kW/m2
constante gravitationnelle G6,67384 ×10−11 m2·kg−1·s−2
masse du soleil MS1,9891 ×1030 kg
distance moyenne Terre-soleil dT S 1 u.a. = 149,60 ×109m
vitesse de la lumière dans le vide c299 792 458 m/s
A. Cas de l’incidence normale
Dans cette partie, on considère que la lumière arrive sur le miroir en incidence normale, c’est-à-
dire que la surface du miroir est orthogonale à la direction de propagation. Le miroir étant immo-
bile dans le référentiel de l’étoile considéré comme galiléen, on ne considère pas de changement
de longueur d’onde lors de la réflexion.
On notera ~exle vecteur unitaire dirigée selon la lumière incidente.
1. Rappeler les relations de Planck-Einstein pour un photon (impulsion ~p et énergie E0d’unQ22
photon).
2. Le flux solaire Φest la puissance surfacique provenant du soleil lorsque la surface consi-
dérée est orthogonale à la direction de propagation de la lumière. En déduire la puissanceQ23
Parrivant sur le miroir, puis l’énergie correspondant pendant un court intervalle de temps
dt.
3. Compte tenu des questions précédentes, déterminer le nombre de photons δN frappant leQ24
miroir entre tet t+ dt.
4. On considère le système fermé {les photons qui vont frapper le miroir entre tet t+ dt}.Q25
Calculer la variation de quantité de mouvement du système entre tet t+dt:−→ P(t+dt)−−→ P(t).
Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme :
−→
P(t+ dt)−−→ P(t) = −2ΦSdt
c~ex
Lycée Poincaré – Nancy Page 4/8 4 mai 2016, durée 4h00

DS Physique n°7 PCSI 2015 – 2016
5. En déduire la force exercée par le miroir sur le système, puis celle exercée par les photonsQ26
sur le miroir.
6. Exprimer alors la pression correspondante pr, appelée pression de radiation, en fonction deQ27
Φet de c.
7. Vérifier explicitement l’homogénéité du résultat obtenu à la question précédente.Q28
8. Application numérique : au niveau de l’orbite terrestre, on considère une voile de surfaceQ29
S= 100,0m2. Calculer la force due à la pression de radiation. Comparer avec la force exer-
cée par le soleil sur un objet de 20,00 kg (toujours au niveau de l’orbite terrestre). Commen-
ter 1.
9. Peut-on utiliser ce mode de propulsion pour se rapprocher du soleil ?Q30
B. Cas de l’incidence oblique
On étudie maintenant le cas où la lumière incidente fait un
angle θavec la normale au miroir. Compte tenu de la dis-
tance au soleil et des angles mis en jeu, on considèrera que
la lumière arrive sur le miroir sous la forme d’un faisceau
de rayons parallèles.
~ex
~ey
θ
1. Le flux solaire Φétant défini par rapport à une surface normale aux rayons incidents, dé-Q31
terminer la nouvelle puissance arrivant sur la voile solaire P(θ)en fonction de θ,Set Φ(un
schéma indiquant clairement les surfaces en jeu est vivement recommandé). En déduire
l’énergie δE arrivant pendant un intervalle de temps dt.
2. Étudier la variation de quantité de mouvement −→ p0(t+ dt)−−→ p0(t)pour un seul photon lorsQ32
du choc. On exprimera le résultat en fonction des vecteurs ~exet ~ey. En déduire la variation
de quantité de mouvement du système fermé {les photons qui vont frapper le miroir entre
tet t+ dt}:−→ P(t+ dt)−−→ P(t).
3. Montrer que la pression exercée dans ce cas sur le miroir est pr= 2Φ
ccos2θ.Q33
C. Prise en compte du mouvement de la voile
Intuitivement, on peut se douter que si la fréquence de la lumière ne varie pas lors de la ré-
flexion, alors l’énergie mécanique totale du système {photons + miroir }pourrait augmenter sans
raison. Dans cette question, on souhaite modéliser plus précisément la force lorsque le miroir est
en mouvement. Toutefois, pour plus de simplicité et pour ne pas avoir à considérer des effets
relativistes, le raisonnement sera mené sur un cas classique où les photons seront remplacés par
des balles de tennis.
Gaston souhaite vous faire étudier un nouveau mode de propulsion pour sa voiture de masse
M: il projette des balles de tennis de masse mtcontre sa voiture à une vitesse ~v0=v0~ex. On négli-
gera les mouvements selon les autres directions que ~ex, en particulier on ne tiendra pas compte
de la gravité.
On notera n∗le nombre de balle de tennis par unité de volume, supposé constant et connu. On
notera ~v(t) = vx(t)~ex= ˙x~exla vitesse de la voiture. On notera Sla surface (verticale) de la voiture
contre laquelle cogne les balles de tennis.
1. Remarque : le flux solaire décroit en 1/r2à cause de la conservation de l’énergie, la force gravitationnelle est
elle aussi en 1/r2, donc le rapport entre ces deux forces est en fait indépendant de la distance au soleil.
Lycée Poincaré – Nancy Page 5/8 4 mai 2016, durée 4h00