Optique - Étienne Thibierge

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Devoir en classe no3 Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Optique
Durée de l’épreuve : 3 heures
L’usage de la calculatrice et de tout autre appareil électronique est interdit.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition
en précisant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, et sauf si la question le demande
explicitement, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les
résultats de leurs calculs et à écrire le numéro des questions en entier et à le mettre en évidence : préférer II.2.c à
simplement c.
Le sujet se compose de quatre parties indépendantes les unes des autres, que le candidat est libre d’aborder dans
l’ordre de son choix.
La partie I, comptant pour 9 % du barème, traite de la formation d’une image par une lentille convergente.
La partie II, comptant pour 12 % du barème, s’intéresse à la mesure d’une distance focale par la méthode de Bessel.
La partie III, extraite du concours banque PT et comptant pour 53 % du barème, aborde les phénomènes associés
à la propagation de lumière dans une fibre optique.
La partie IV, extraite du concours CCP et comptant pour 26 % du barème, propose une modélisation de la
presbytie.
Le sujet est volontairement long pour laisser au candidat le choix des parties sur lesquelles il souhaite se concentrer
en priorité. Pour faire ce choix en connaissance de cause, il est recommandé de lire en entier le sujet avant d’entamer
la composition. L’ordre des parties ne préjuge en rien de leur difficulté.
Les candidats doivent vérifier que le sujet comporte bien 8 pages, numérotées de 1/8 à 8/8.
1/8 Étienne Thibierge, 5 novembre 2015, www.etienne-thibierge.fr

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Les relations de conjugaison et de grandissement pour une lentille mince (L)sont données ci-dessous. Le centre
optique de la lentille est noté O, son foyer principal objet est noté Fet son foyer principal image F0. La lentille a
une distance focale image f0et une distance focale objet f=−f0.Aest un point de l’axe optique et A0son image
par (L). Les distances sont comptées algébriquement.
1
OA0−1 OA =1
f0et F A ×F0A0=−f02
γ=OA0
OA et γ=−F0A0
f0=−f
F A
I - Image par une lentille convergente
Cet exercice concerne une lentille convergente de focale 12 cm. Un objet AB de hauteur 1,0 cm est placé 8,0 cm
avant la lentille.
I.1 - Sur le document réponse page 8, construire l’image A0B0de l’objet AB en laissant apparents les rayons
permettant la construction. Attention, l’échelle n’est pas la même dans la direction horizontale et dans la direction
verticale.
I.2 - L’objet est-il réel ou virtuel ? Même question pour l’image.
I.3 - Déterminer par le calcul la position de l’image A0B0.
I.4 - Déterminer par le calcul la taille de l’image A0B0.
I.5 - Le point C, situé sur l’objet AB, est tel que AC =2
3AB. Donner sans calcul ni construction la position
(horizontale et verticale) du point C0, image de Cpar la lentille. La qualité et la précision (ce qui ne veut pas dire
la longueur) de l’argumentation sont les critères principaux sur lesquels sont attribués les points de cette question.
II - Mesure de distance focale par la méthode de Bessel
On cherche à mesurer la distance focale d’une lentille convergente. Pour cela on place sur un banc optique un
objet et un écran qui en est éloigné de D= 100,0 cm. On place ensuite la lentille entre l’objet et l’écran, et on la
déplace afin de former une image nette de l’objet sur l’écran.
II.1 - Montrer qu’il existe deux positions possibles pour la lentille, à condition que la distance Dsoit supérieure à
une certaine valeur à préciser.
II.2 - Notons dla distance entre ces deux positions. Exprimer la focale f0en fonction de Det dseulement.
II.3 - On mesure d= 60,0 cm. En déduire la focale f0.
II.4 - Comment modifier l’expérience pour améliorer la précision du résultat ?
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III - Propagation dans une fibre optique [extrait banque PT 2013]
Les signaux optiques peuvent être utilisés pour transporter une grande quantité d’information sur d’importantes
distances. L’épreuve complète s’intéresse à quelques caractéristiques d’une ligne de transmission optique, dont le
synoptique est représenté ci-dessous, figure 1. L’extrait présenté ici traite de la propagation guidée dans une fibre
optique et des problèmes associés qui altèrent la qualité de la transmission et qui limitent le débit.
Quelques questions demandent des calculs un peu complexes. Des indications complémentaires au sujet
original sont alors parfois données et présentées de cette façon.
Fig. 1 –Synoptique d’une ligne de transmission optique.
III.A - Lois de Descartes
On considère un dioptre plan séparant deux milieux transparents et homogènes : le milieu (1) d’indice n1et le
milieu (2) d’indice n2, voir figure 2. De la lumière se propage du milieu (1) vers le milieu (2). On isole un rayon
frappant le dioptre en I, et formant un angle i1avec (N), normale au dioptre en I. On observe l’existence d’un rayon
réfléchi dans le milieu (1) formant un angle i0avec (N)et éventuellement d’un rayon réfracté formant un angle i2
avec (N). Les angles sont non-orientés.
Milieu (1)
indice n1
Milieu (2)
indice n2
(N)
i2
i1i0
I
Fig. 2 –Lois de Descartes.
III.A.1 - À quelle condition peut-on considérer que la lumière est constituée de rayons lumineux indépendants ?
III.A.2 - Énoncer les lois de Descartes relatives à la réfraction et à la réflexion.
III.A.3 - Décrire le phénomène de réflexion totale : on précisera notamment la condition sur les indices et la condition
sur l’angle i1.
III.B - Fibre optique à saut d’indice
Une fibre optique est un fin cylindre de verre, capable de guider la lumière sur de longues distances, voir figure 3.
Un rayon lumineux entrant à une extrémité de la fibre reste piégé à l’intérieur par réflexion totale interne. Une fibre
optique à saut d’indice est constituée d’un cœur cylindrique d’indice n1d’un diamètre d’environ 50 µm entouré par
une gaine d’indice n2< n1.
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z
gaine
indice n2
cœur
indice n1
z
θ0
θ
i
n1
n2
Fig. 3 –Schéma d’une fibre optique. Vue en perspective, à gauche, et vue en coupe dans le plan méridien, à droite.
III.B.1 - Montrer que tout rayon situé dans un plan contenant l’axe de la fibre et formant dans la fibre un angle θ
avec l’axe peut se propager dans le cœur en restant dans ce plan si θ < θc, avec θc= arccos(n2/n1).
III.B.2 - Que risque-t-il de se passer si la fibre est trop courbée ? On pourra illustrer au moyen d’un schéma.
III.B.3 - L’ouverture numérique ON de la fibre est définie par ON =n1sin θc.
III.B.3.a - Montrer que ON =pn2
1−n2 2.
Indication : On peut commencer par calculer ON 2puis faire apparaître cos2θc.
III.B.3.b - On pose n1=n2+δn, avec δn petit. Établir une expression approchée de ON.
Indication : Pour |ε|  1et αquelconque, on donne le développement limité
(1 + ε)α'1 + αε .
Le résultat à trouver est ON '√2n2δn
III.B.3.c - Évaluer ON pour n1= 1,53 et n2'1,50 avec un chiffre significatif.
III.B.4 - On considère que l’indice de l’air à l’extérieur de la fibre est égal à 1,00. Soit Ole point de l’axe de la fibre
situé sur le dioptre air-cœur. On note θ0l’angle d’incidence du rayon lumineux entrant dans la fibre en O. À quelle
condition sur θ0le rayon se propage-t-il dans la fibre?
III.C - Absorption dans une fibre optique
Pendant longtemps, les pertes ont été un problème majeur de la transmission le long des fibres optiques. Au début,
la puissance injectée à l’entrée de la fibre était divisée par 1000 après seulement 1 km de parcours ! Aujourd’hui, les
fibres optiques présentent des pertes bien moindres que les autres câbles. De plus, il est possible de placer à espace
régulier le long de la fibre des amplificateurs de signal.
On définit le coefficient d’atténuation A(en décibel par kilomètre, dB ·km−1) par
A= 10 log Pe
P0
s
où log est la fonction logarithme décimal (log x= ln x/ ln 10), Pela puissance optique du signal en entrée de la fibre
et P0
sla puissance optique du signal récupéré au bout de 1 km de fibre.
III.C.1 - Le coefficient Adépend de la longueur d’onde λ, et présente un minimum pour une longueur d’onde λ0=
1,6µm. À quelle partie du spectre électromagnétique appartient λ0?
On considère un tronçon de fibre d’axe (Oz)compris entre les cotes z= 0 et z=L. On note P(z)la puissance du
signal récupéré en z. L’évolution de P(z)est régie par la loi de Beer-Lambert, c’est-à-dire par l’équation différentielle
dP
dz=−αP(z),
où αest une constante positive. On admet 1que cette équation différentielle a pour solution
P(z) = Pee−αz ,
où Pedésigne toujours la puissance optique du signal en entrée de la fibre et el’exponentielle.
III.C.2 - Quelle est la dimension de la constante α?
III.C.3 - Vérifier que la fonction donnée est bien solution de l’équation différentielle.
III.C.4 - Exprimer la puissance Psrécupérée en sortie de la fibre de longueur Len fonction de Pe,αet L.
III.C.5 - Pour λ0= 1,6µm,A= 0,20 dB ·km−1. Déterminer avec deux chiffres significatifs la valeur numérique de α
1. Le sujet original demande bien sûr une démonstration, qui se fait par exemple par séparation des variables.
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pour cette longueur d’onde. On donne ln 10 '2,3.
III.C.6 - Exprimer en fonction de αet Lla perte relative
∆P
P=Pe− Ps Pe
.
III.C.7 - Exprimer les pertes relatives ∆P/Ppour L= 10 m et L= 1 km. Commenter.
Indication : On donne le développement limité eε'1 + ε, valable pour |ε|  1.
III.D - Dispersion intermodale
Une fibre optique multimode transporte la lumière le long de plusieurs rayons. Les rayons lumineux d’inclinaisons
différentes n’ont pas le même chemin à parcourir dans la fibre, donc leur temps de parcours est variable. Il en résulte
un étalement temporel du signal. Ce phénomène est la dispersion intermodale ou dispersion de mode.
III.D.1 - Soit ∆tmla différence de temps de parcours entre deux rayons lumineux se propageant dans une fibre
optique à saut d’indice (cœur d’indice n1, gaine d’indice n2) de longueur L, l’un sur l’axe de la fibre et l’autre incliné
de θc= arccos(n2/n1)par rapport à celui-ci.
III.D.1.a - Exprimer la longueur parcourue par le rayon non parallèle à l’axe en fonction de Let θc.
III.D.1.b - En déduire ∆tmen fonction de n1,n2,Let c.
Une série d’impulsions lumineuses ultra-courtes servant de bits est envoyée dans la fibre. On note Tl’intervalle
de temps séparant deux impulsions successives, voir figure 4.
signal
d’entrée
t
T
Fig. 4 –Signal en entrée de la fibre optique.
III.D.2 - Représenter l’allure du signal récupéré à la sortie de la fibre dans le cas où ∆tm< T et dans le cas
où ∆tm> T . Commenter.
III.D.3 - On note BPmla bande-passante de la fibre associée à la dispersion intermodale : BPmreprésente la
fréquence maximale des signaux pouvant transiter dans la fibre. Exprimer BPmen fonction de n1,n2,Let c.
III.D.4 - On considère n1= 1,53 et n2= 1,50. Évaluer numériquement BPmavec un chiffre significatif pour L= 10 m
et L= 1 km. Commenter.
III.D.5 - Les fournisseurs d’accès internet proposent des offres « fibre optique » avec des débits allant jusqu’à 1
Gbit/s. Proposer une solution technologique permettant d’atteindre un tel débit.
III.D.6 - Pour limiter la dispersion intermodale, on peut aussi utiliser une fibre à gradient indice : c’est une fibre
dont l’indice n1du cœur dépend de la distance rà l’axe. Quel doit être le sens de variation de n1(r)? Représenter
qualitativement la trajectoire d’un rayon arrivant dans la fibre en formant un angle θavec l’axe.
III.E - Dispersion chromatique
III.E.1 - La lumière utilisée, même si elle est issue d’un laser, n’est pas parfaitement monochromatique. Or l’indice
du cœur n1dépend de la longueur d’onde. Expliquer en quoi cela limite le débit d’informations transitant dans la
fibre.
Pour un signal quasi-monochromatique de longueur d’onde centrale λ0et de largeur spectrale ∆λ, on caractérise
la dépendance du temps de propagation τde l’information par unité de longueur de fibre en fonction de la longueur
d’onde par la dispersion D(λ0)définie par
D(λ0) = ∆τ
∆λ,
où ∆τest la différence de temps de propagation par unité de longueur τentre les deux extrémités du spectre.
III.E.2 - On se place à λ0= 1,6µm. Pour cette longueur d’onde, Dest de l’ordre de 10 ps ·nm−1·km−1. On
note ∆tcla différence maximale de temps de parcours entre les différentes composantes monochromatiques. Sachant
5/8 Étienne Thibierge, 5 novembre 2015, www.etienne-thibierge.fr