Electricité II

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Electricité II
(SP2 09-10)
TD Electricité II (SP2 09-10) 2/15
Sommaire
Sommaire ................................................................................................................................... 2
TD 1. : Electrostatique: force, champ, potentiel et énergie électrostatique (3h)........................ 3
Exercice 1.1. : Champ, potentiel, capacité et énergie électrostatique: coaxial (1h30)........... 3
Exercice 1.2. : Champ, potentiel et capacité d'une sphère conductrice (0h30)...................... 3
Exercice 1.3. : Force électrostatique: principe de l'oscilloscope (1h00) ................................ 4
TD 2. : Magnétostatique: force, champ et travail magnétostatique (5h00)................................ 5
Exercice 2.1. : Champ magnétique et inductance: coaxial (1h30) ......................................... 5
Exercice 2.2. : Champ magnétique et force de Laplace: fil parcouru par 1A (1h)................. 6
Exercice 2.3. : Force magnétique: spectromètre de masse (1h)............................................. 7
Exercice 2.4. : Circuit magnétique: hystérésis et aimantation (1h30).................................... 8
TD 3. : Forces, induction et onde électromagnétique (2h30)................................................... 11
Exercice 3.1. : Induction d'une ligne haute tension (0h30) .................................................. 11
Exercice 3.2. : Induction et force électromagnétiques: principe d'un alternateur (0h30)..... 11
Exercice 3.3. : Energie d'un champ d'induction magnétique: cas du tore (0h30) ................ 12
Exercice 3.4. : Plaque à induction: courants de Foucault (1h)............................................. 12
TD 4. : Electrotechnique: réseau triphasé et transformateur (1h) ............................................ 14
Exercice 4.1. : Etude d'un réseau triphasé (0h45) ................................................................ 14
Exercice 4.2. : Transformateur idéal (0h15) ........................................................................ 15

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TD 1. : Electrostatique: force, champ, potentiel et énergie électrostatique (3h)
Exercice 1.1. : Champ, potentiel, capacité et énergie électrostatique: coaxial (1h30)
On souhaite calculer la capacité linéique d'un câble coaxiale constitué d'un conducteur
cylindrique central de rayon R1 soumis à un potentiel Va I. Il est entouré d'un isolant
cylindrique de rayon extérieur R2 et de perméabilité μr=1. L'autre conducteur cylindrique de
rayon intérieur R2 et de rayon extérieur R3 est placé au potentiel Vb. La densité surfacique de
charge est uniforme à la surface des deux conducteurs.
a
b
a
b
1. A quelle condition peut on considérer que les conducteurs a et b soient en influence totale.
2. On applique dans ces conditions une tension Va-Vb>0, écrire la relation entre les densités
de charge linéiques λa et λb condensées aux électrodes et préciser la polarité de λa.
3. A l'aide du théorème de Gauss, donner l'expression du champ créé en M, situé dans l'espace
inter électrode, en considérant le coaxial infini.
4. Retrouver ce résultat à la surface du conducteur, par le théorème de coulomb.
5. Déduire, l'expression du potentiel VM par rapport à Va et déduire Va-Vb.
6. Déduire, l'expression de la capacité électrique d'un coaxial de longueur l.
7. Que devient la capacité si l'on comble le vide inter électrode par une substance diélectrique
de permittivité εr=2.
8. Que se passe t'il si l'on plonge ce coaxial dans un champ électrique extérieur (type
perturbation de téléphone portable) ?
9. Donner l'expression de Ep, l'énergie électrostatique stockée en fonction de la ddp U
appliquée et de la charge condensée Qa.
10. Calculer les valeurs numérique de C, Qa et Ep (l'énergie électrostatique stockée) si l'on
applique une ddp de1V sur un coaxiale de 1m de petit rayon R1=1mm et grand rayon
R2=5mm?
Exercice 1.2. : Champ, potentiel et capacité d'une sphère conductrice (0h30)
On souhaite calculer la capacité d'une sphère conductrice de rayon R1
oz
oy
ox
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Qa
ox
oz oy
R
1
VaVb ∞
Qa
ox
oz oy
R
1
VaVb ∞
1. A l'aide du théorème de Gauss, donner l'expression du champ créé à l'extérieur de la sphère
en fonction du rayon R1 et de la charge Qa portée par la sphère.
2. Déduire, l'expression du potentiel électrique créé à la surface de la sphère.
Exercice 1.3. : Force électrostatique: principe de l'oscilloscope (1h00)
Le champ électrique entre les plaques d’un oscilloscope cathodique est de 1.2*104
[V/m]. On souhaite calculer le déflection que subira un électron s’il entre à angle droit par
rapport au champ électrique avec une énergie cinétique de 2000 [eV] ? La longueur des
plaques est de x1=1.5 [cm].
x
y
xx
y
1. Donner l'expression de la force électrostatique que subit l'électron en fonction de E.
2. Ecrire la deuxième loi de Newton appliquée à l'électron dont on négligera le poids et non la
masse.
3. Exprimer l'accélération a de l'électron en fonction de q, E et m, puis calculer sa valeur
numérique (AN: q=1.6.10-19[C]; m=9.1.10-31[kg]).
4. Convertir en [J], l'énergie cinétique de l'électron entrant (AN: 1[eV]=1.6.10-19[J]).
5. Donner l'expression de l'énergie cinétique Ec de l'électron entrant en fonction de m et v.
6. Exprimer la vitesse v de l'électron entrant en fonction de Ec et m, puis calculer sa valeur
numérique.
7. Exprimer le temps t qu'il faut à l'électron pour sortir de l'influence des plaques en fonction
de v et x1, puis calculer sa valeur numérique.
8. Exprimer le déplacement verticale γ subit par l'électron à la sortie des plaques en fonction
de a et t, puis calculer sa valeur numérique.

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TD 2. : Magnétostatique: force, champ et travail magnétostatique (5h00)
Exercice 2.1. : Champ magnétique et inductance: coaxial (1h30)
On souhaite calculer l'inductance linéique d'un câble coaxiale constitué d'un
conducteur cylindrique central de rayon R1 parcouru par un courant d'intensité I (orienté
suivant oz). Il est entouré d'un isolant cylindrique de rayon extérieur R2 et de perméabilité
μr=1. Le retour du courant se fait par un conducteur cylindrique de rayon intérieur R2 et de
rayon extérieur R3. La densité volumique de courant est uniforme dans les conducteurs ; la
longueur est bien supérieure aux rayons.
a
b
a
b
1. Déterminer le sens et la direction du champ d'excitation magnétique H à l'aide du principe
de symétrie de Curie.
2. A l'aide du théorème d'Ampère, donner l'expression du champ créé en tout point M12 situé
dans l'espace interélectrode.
3. A l'aide du théorème d'Ampère, donner l'expression du champ créé en tout point M3 situé à
l'extérieur du coax et donc au delà de: "b".
4. A l'aide du théorème d'Ampère, donner l'expression du champ créé en tout point M1 situé
dans l'électrode intérieur: "a".
5. Compléter le graphe ci-dessous en traçant l'évolution qualitative du champ H(r).
H(r)H(r)
H(R1)
H(R2)
H(R3)
6. Déduire des calculs précédents, l'expression du flux d'induction magnétique créé en
M12.pour une longueur l du coaxial.
7. Déduire, l'expression de l'inductance d'un coaxial de longueur l.
8. Que devient l'inductance si l'isolant interélectrode possède une perméabilité μr=2.
On rappel par le schéma suivant qu'en présence de matière le champ peut être dévié de
sa trajectoire normale:
oz
oy
ox
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9. Que se passe t'il si l'on plonge ce coaxial dans un champ magnétique extérieur constant en
considérant dans le premier cas que le conducteur est fait de fer (ferromagnétique) et dans le
deuxième cas fait de cuivre (diamagnétique): tracer les lignes de champs.
a
b
a
b
a
b
a
b
Figure 1: (g) Conducteur en Fer (d) Conducteur en Cuivre
10. Rappeler les expressions de M et de B=f(H et M).
11. Un coax de petit rayon R1=1mm et grand rayon R2=5mm et de longueur l=1m est
traversé par un courant I=1A. Calculer les valeurs numériques de H(R1), M(R1), B(R1) et de
L pour une perméabilité relative de l'espace interélectrode μr=1.
Exercice 2.2. : Champ magnétique et force de Laplace: fil parcouru par 1A (1h)
Soit un segment (S1S2) considéré comme le tronçon d’un circuit filiforme parcouru par
une intensité I. On souhaite calculer le champ magnétostatique créé en M , point situé à la
distance r du tronçon, le tronçon étant vu depuis M sous les angles αa etαb.
h
a
b
I
or
θ o
oz
r
ozdzdl .=
θ odBdB .=
α
M
O
u
1. Exprimer le vecteur u en fonction des vecteurs cylindriques ozetor .
2. Calculer le produit vectoriel udl ∧ et justifier ainsi que
θ odBdB .=
3. Exprimer OM2=f(cos2(α), r2)

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4. Exprimer la dérivée de tan(α)=f(z, h, r) et déduire dz=f(cos2(α), r, dα)
5. Déduire des trois dernières questions l'expression du champ B
6. Traiter le cas du fil infini.
7. A l'aide de la loi de Laplace, déterminer l'expression de la force linéique qui s'exerce entre
deux fils rectilignes infiniment longs, distants de 1m et parcourus par un courant continu I.
8. L’ampère est l’intensité d’un courant continu qui, maintenu dans deux fils distants de un
mètre, produit entre eux une force linéique de 2.10-7 [N/m]. Montrer que cette définition
conduit à poser μ0 = 4 π10-7 [H/m].
Exercice 2.3. : Force magnétique: spectromètre de masse (1h)
La spectrométrie de masse est une technique physique d'analyse permettant de détecter
et d'identifier des molécules d’intérêt par mesure de leur masse mono-isotopique. De plus, la
spectrométrie de masse permet de caractériser la structure chimique des molécules en les
fragmentant. Son principe réside dans la séparation en phase gazeuse de molécules chargées
(ions) en fonction de leur rapport masse/charge (m/z). Lorsque les différents isotopes d'un
même élément sont introduits dans un spectromètre de masse, ils suivent différentes
trajectoires en fonction de leur masse, ce qui permet de les collecter séparément. La
spectrométrie de masse est utilisée dans pratiquement tous les domaines scientifiques :
physique, astrophysique, chimie en phase gazeuse, chimie organique, dosages, biologie,
médecine...
Figure 2: Schéma de la structure d’un spectromètre de masse : exemple d'un spectromètre de masse à
secteur magnétique associé à une source d'ionisation d'impact électronique
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Un ion positif de masse m et de charge q+ est accéléré sous une différence de potentiel
U=Va+-Vk->0 entre les électrodes fendues A et K. Nous allons dans un premier temps
déterminer la vitesse vk de l'ion lorsqu'il arrive à l'électrode K sachant qu'il rentre par
l'électrode A à une vitesse proche de 0.
Ion q+
Va+ Vk-
τ .
kk vv =
Ion q+
ox
oy
oz
oxvv aa .=
1. Exprimer la variation d'énergie potentielle ΔEp de l'ion lorsqu il passe de A à K.
2. Exprimer la variation d'énergie cinétique ΔEc de l'ion lorsqu il passe de A à K.
3. En appliquant le principe fondamental de la thermodynamique, exprimer la vitesse vk de
l'ion en fonction de m, et U sachant qu'il n'y a aucun échange de travaux et de chaleur et que
l'énergie interne est inchangée.
4. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l'ion animé d'une vitesse vk et pourvu
d'une charge q lorsqu'il passe sous influence du secteur magnétique B.
Vk-
τ .
kk vv =
ozBB .=
Ion q+
ox
oy
oz
r
5. Récrire le principe en exprimant les vecteurs dans le repère intrinsèque (dit de Frenet) et
déduire que la courbure de la trajectoire est telle que son rayon de courbure r=(m.vk)/(q.B) et
conclure sur l'énergie cinétique d'un force magnétique.
6. En combinant l'expression du rayon de courbure r et de la vitesse vk, exprimer à présent le
rayon de courbure r2 en fonction de m, q, B et U.
7. Calculer U tel que le rayon de courbure de l'He+ (masse=4,002 602 x 1,66054.10-27 kg -
9,109 382 6.10-31 kg masse électron), q+=1.6.10-19C) soit de 4 cm sous un champ B=1T.
Inversement calculer les rayons de courbures de He+ pour une ddp U telle que Ec=19.3keV
(En physique, l'électron-volt est une unité de mesure d'énergie. Sa valeur est définie comme
étant l'énergie cinétique d'un électron accéléré depuis le repos par une différence de potentiel
d'un volt. 1 [éV] est donc égal à environ 1,602 176 53.10-19 [J]. C'est une unité en dehors du
système international (SI)).
Exercice 2.4. : Circuit magnétique: hystérésis et aimantation (1h30)
On souhaite visualiser le cycle d'hystérésis d'un matériau dur. Pour cela on place le
matériau (R1) dans un circuit magnétique à faible réluctance (R1) et dont le niveau de
saturation ne sera pas atteint. On dispose d'une sonde exploratrice et d'un circuit intégrateur

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permettant de mesurer le champ magnétique B passant par le tronçon en vertu d'un principe
d'induction tel que: )(.
.
)(
2
tV
Sn
tB
τ
−
=.
R
1
R
2
H
1
H
2
l
2
l
1
S
1
S
2
Ф
i(t)
1. Représenter le circuit magnétique équivalent (Opkinson) traversé par un flux Ф. Faire
apparaître NI ainsi que les relations entre H2l2 et R2Ф ainsi que H1l1 et R1Ф
2. Exprimer H2=f(N,I,R1,R2,l2)
3. Déduire l'expression de H2=f(N,I, μ 1, μ 2, l1,l2) avec S1=S2=S
4. Montrer que l'on peut simplifier l'écriture de H2=f(N,I,l2).
5. Dans ces conditions redessiner le circuit magnétique équivalent
Le relevé du courant image de H et de la tension image de B obtenu à partir d'un
oscilloscope en mode XY, est le suivant:
I (0.5A/Div)
-V (0.2V/div)
B (500mT/Div)
H (15kA.m
-1
/Div)
Alnico
Br = 1,15T
Hc = 5kA/m
Ha = 22kA/m
Ba = 1,10T
I (0.5A/Div)
-V (0.2V/div)
B (500mT/Div)
H (15kA.m
-1
/Div)
Alnico
Br = 1,15T
Hc = 5kA/m
Ha = 22kA/m
Ba = 1,10T
6. Convertir l'échelle des tension et courant en T et en A/m sachant que N=500spires, l2=3cm,
τ=0,1s, n=500, S2=0,8cm2.
7. Calculer l'énergie consommée par le cycle d'hystérésis et donner les pertes correspondantes
(ie. puissance) sachant que le cycle est décrit à f=50Hz.
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8. Au bout d'un certain nombre de cycle on coupe le courant à l'instant Hmax Bmax. Quelle
est la valeur de B dans le circuit ? Comment s'appel ce champ ?
On souhaite à présent exploiter ce tronçon de fer dur aimanté. On le place dans un
circuit magnétique dont le niveau de saturation ne sera pas atteint et l'on souhaite connaître le
champ circulant dans l'entrefer d'épaisseur Le (1.10-3m) du circuit de longueur L1+L2 (avec
Le<<L1+L2). Les réluctances R1 et R2 sont négligeables devant Re.
L
e
R
1
R
e
H
1
H
e
S
a
Ф
H
2
L
2
L
1
L
a
H
a
R
2
B
a
fer doux
fer dur
9. Représenter dans ces conditions le circuit magnétique équivalent (Opkinson).
10. Quel est le champ d'induction Ba et d'excitation Ha ?
11. Déduire le champ d'excitation He dans l’entrefer.