Electricité II

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Sommaire
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Sommaire ................................................................................................................................... 2
TD 1. : Electrostatique: force, champ, potentiel et énergie électrostatique (3h)........................ 3
Exercice 1.1. : Champ, potentiel, capacité et énergie électrostatique: coaxial (1h30)........... 3
Exercice 1.2. : Champ, potentiel et capacité d'une sphère conductrice (0h30) ...................... 3
Exercice 1.3. : Force électrostatique: principe de l'oscilloscope (1h00) ................................ 4
TD 2. : Magnétostatique: force, champ et travail magnétostatique (5h00)................................ 5
Exercice 2.1. : Champ magnétique et inductance: coaxial (1h30) ......................................... 5
Exercice 2.2. : Champ magnétique et force de Laplace: fil parcouru par 1A (1h)................. 6
Exercice 2.3. : Force magnétique: spectromètre de masse (1h) ............................................. 7
Exercice 2.4. : Circuit magnétique: hystérésis et aimantation (1h30).................................... 8
TD 3. : Forces, induction et onde électromagnétique (2h30)................................................... 11
Exercice 3.1. : Induction d'une ligne haute tension (0h30) .................................................. 11
Exercice 3.2. : Induction et force électromagnétiques: principe d'un alternateur (0h30)..... 11
Exercice 3.3. : Energie d'un champ d'induction magnétique: cas du tore (0h30) ................ 12
Exercice 3.4. : Plaque à induction: courants de Foucault (1h)............................................. 12
TD 4. : Electrotechnique: réseau triphasé et transformateur (1h) ............................................ 14
Exercice 4.1. : Etude d'un réseau triphasé (0h45) ................................................................ 14
Exercice 4.2. : Transformateur idéal (0h15) ........................................................................ 15
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TD 1. : Electrostatique: force, champ, potentiel et énergie électrostatique (3h)
Exercice 1.1. : Champ, potentiel, capacité et énergie électrostatique: coaxial (1h30)
Qa
On souhaite calculer la capacité linéique d'un câble coaxiale constitué d'un conducteur
cylindrique central de rayon R1 soumis à un potentiel Va I. Il est entouré d'un isolant
cylindrique de rayon extérieur R2 et de perméabilité μr=1. L'autre conducteur cylindrique de
rayon intérieur R2 et de rayon extérieur R3 est placé au potentiel Vb. La densité surfacique de
charge est uniforme à la surface des deux conducteurs.
b
a
oz oy
ox
Vb ∞
Va
R1
1. A l'aide du théorème de Gauss, donner l'expression du champ créé à l'extérieur de la sphère
en fonction du rayon R1 et de la charge Qa portée par la sphère.
oy
ox
oz
2. Déduire, l'expression du potentiel électrique créé à la surface de la sphère.
Exercice 1.3. : Force électrostatique: principe de l'oscilloscope (1h00)
1. A quelle condition peut on considérer que les conducteurs a et b soient en influence totale.
2. On applique dans ces conditions une tension Va-Vb>0, écrire la relation entre les densités
de charge linéiques λa et λb condensées aux électrodes et préciser la polarité de λa.
3. A l'aide du théorème de Gauss, donner l'expression du champ créé en M, situé dans l'espace
inter électrode, en considérant le coaxial infini.
Le champ électrique entre les plaques d’un oscilloscope cathodique est de 1.2*104
[V/m]. On souhaite calculer le déflection que subira un électron s’il entre à angle droit par
rapport au champ électrique avec une énergie cinétique de 2000 [eV] ? La longueur des
plaques est de x1=1.5 [cm].
y
x
4. Retrouver ce résultat à la surface du conducteur, par le théorème de coulomb.
5. Déduire, l'expression du potentiel VM par rapport à Va et déduire Va-Vb.
6. Déduire, l'expression de la capacité électrique d'un coaxial de longueur l.
1. Donner l'expression de la force électrostatique que subit l'électron en fonction de E.
7. Que devient la capacité si l'on comble le vide inter électrode par une substance diélectrique
de permittivité εr=2.
2. Ecrire la deuxième loi de Newton appliquée à l'électron dont on négligera le poids et non la
masse.
8. Que se passe t'il si l'on plonge ce coaxial dans un champ électrique extérieur (type
perturbation de téléphone portable) ?
3. Exprimer l'accélération a de l'électron en fonction de q, E et m, puis calculer sa valeur
numérique (AN: q=1.6.10-19[C]; m=9.1.10-31[kg]).
9. Donner l'expression de Ep, l'énergie électrostatique stockée en fonction de la ddp U
appliquée et de la charge condensée Qa.
4. Convertir en [J], l'énergie cinétique de l'électron entrant (AN: 1[eV]=1.6.10-19[J]).
5. Donner l'expression de l'énergie cinétique Ec de l'électron entrant en fonction de m et v.
10. Calculer les valeurs numérique de C, Qa et Ep (l'énergie électrostatique stockée) si l'on
applique une ddp de1V sur un coaxiale de 1m de petit rayon R1=1mm et grand rayon
R2=5mm?
6. Exprimer la vitesse v de l'électron entrant en fonction de Ec et m, puis calculer sa valeur
numérique.
Exercice 1.2. : Champ, potentiel et capacité d'une sphère conductrice (0h30)
7. Exprimer le temps t qu'il faut à l'électron pour sortir de l'influence des plaques en fonction
de v et x1, puis calculer sa valeur numérique.
On souhaite calculer la capacité d'une sphère conductrice de rayon R1
8. Exprimer le déplacement verticale γ subit par l'électron à la sortie des plaques en fonction
de a et t, puis calculer sa valeur numérique.
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TD 2. : Magnétostatique: force, champ et travail magnétostatique (5h00)
Exercice 2.1. : Champ magnétique et inductance: coaxial (1h30)
On souhaite calculer l'inductance linéique d'un câble coaxiale constitué d'un
conducteur cylindrique central de rayon R1 parcouru par un courant d'intensité I (orienté
suivant oz). Il est entouré d'un isolant cylindrique de rayon extérieur R2 et de perméabilité
μr=1. Le retour du courant se fait par un conducteur cylindrique de rayon intérieur R2 et de
rayon extérieur R3. La densité volumique de courant est uniforme dans les conducteurs ; la
longueur est bien supérieure aux rayons.
b
a
9. Que se passe t'il si l'on plonge ce coaxial dans un champ magnétique extérieur constant en
considérant dans le premier cas que le conducteur est fait de fer (ferromagnétique) et dans le
deuxième cas fait de cuivre (diamagnétique): tracer les lignes de champs.
b
oy
b
ox
a
oz
1. Déterminer le sens et la direction du champ d'excitation magnétique H à l'aide du principe
de symétrie de Curie.
a
Figure 1: (g) Conducteur en Fer (d) Conducteur en Cuivre
2. A l'aide du théorème d'Ampère, donner l'expression du champ créé en tout point M12 situé
dans l'espace interélectrode.
10. Rappeler les expressions de M et de B=f(H et M).
3. A l'aide du théorème d'Ampère, donner l'expression du champ créé en tout point M3 situé à
l'extérieur du coax et donc au delà de: "b".
11. Un coax de petit rayon R1=1mm et grand rayon R2=5mm et de longueur l=1m est
traversé par un courant I=1A. Calculer les valeurs numériques de H(R1), M(R1), B(R1) et de
L pour une perméabilité relative de l'espace interélectrode μr=1.
4. A l'aide du théorème d'Ampère, donner l'expression du champ créé en tout point M1 situé
dans l'électrode intérieur: "a".
Exercice 2.2. : Champ magnétique et force de Laplace: fil parcouru par 1A (1h)
5. Compléter le graphe ci-dessous en traçant l'évolution qualitative du champ H(r).
H(r)
Soit un segment (S1S2) considéré comme le tronçon d’un circuit filiforme parcouru par
une intensité I. On souhaite calculer le champ magnétostatique créé en M , point situé à la
distance r du tronçon, le tronçon étant vu depuis M sous les angles αa etαb.
b
H(R1)
I
H(R2)
H(R3)
oz
r
α
h
O
dl = dz.oz
6. Déduire des calculs précédents, l'expression du flux d'induction magnétique créé en
M12.pour une longueur l du coaxial.
7. Déduire, l'expression de l'inductance d'un coaxial de longueur l.
8. Que devient l'inductance si l'isolant interélectrode possède une perméabilité μr=2.
On rappel par le schéma suivant qu'en présence de matière le champ peut être dévié de
sa trajectoire normale:
M
oθ
or
dB = dB.oθ
u
a
1. Exprimer le vecteur u en fonction des vecteurs cylindriques or et oz .
2. Calculer le produit vectoriel dl ∧ u et justifier ainsi que dB = dB.oθ
3. Exprimer OM2=f(cos2(α), r2)
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4. Exprimer la dérivée de tan(α)=f(z, h, r) et déduire dz=f(cos2(α), r, dα)
5. Déduire des trois dernières questions l'expression du champ B
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Un ion positif de masse m et de charge q+ est accéléré sous une différence de potentiel
U=Va+-Vk->0 entre les électrodes fendues A et K. Nous allons dans un premier temps
déterminer la vitesse vk de l'ion lorsqu'il arrive à l'électrode K sachant qu'il rentre par
l'électrode A à une vitesse proche de 0.
6. Traiter le cas du fil infini.
7. A l'aide de la loi de Laplace, déterminer l'expression de la force linéique qui s'exerce entre
deux fils rectilignes infiniment longs, distants de 1m et parcourus par un courant continu I.
Va+
Vk-
Ion q+
oy
Ion q+
va = va .ox
oz
vk = vk .τ
ox
1. Exprimer la variation d'énergie potentielle ΔEp de l'ion lorsqu il passe de A à K.
2. Exprimer la variation d'énergie cinétique ΔEc de l'ion lorsqu il passe de A à K.
3. En appliquant le principe fondamental de la thermodynamique, exprimer la vitesse vk de
l'ion en fonction de m, et U sachant qu'il n'y a aucun échange de travaux et de chaleur et que
l'énergie interne est inchangée.
8. L’ampère est l’intensité d’un courant continu qui, maintenu dans deux fils distants de un
mètre, produit entre eux une force linéique de 2.10-7 [N/m]. Montrer que cette définition
conduit à poser μ0 = 4 π10-7 [H/m].
Exercice 2.3. : Force magnétique: spectromètre de masse (1h)
La spectrométrie de masse est une technique physique d'analyse permettant de détecter
et d'identifier des molécules d’intérêt par mesure de leur masse mono-isotopique. De plus, la
spectrométrie de masse permet de caractériser la structure chimique des molécules en les
fragmentant. Son principe réside dans la séparation en phase gazeuse de molécules chargées
(ions) en fonction de leur rapport masse/charge (m/z). Lorsque les différents isotopes d'un
même élément sont introduits dans un spectromètre de masse, ils suivent différentes
trajectoires en fonction de leur masse, ce qui permet de les collecter séparément. La
spectrométrie de masse est utilisée dans pratiquement tous les domaines scientifiques :
physique, astrophysique, chimie en phase gazeuse, chimie organique, dosages, biologie,
médecine...
4. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l'ion animé d'une vitesse vk et pourvu
d'une charge q lorsqu'il passe sous influence du secteur magnétique B.
Vk-
B = B.oz
Ion q+
r
vk = vk .τ
oy
oz
ox
5. Récrire le principe en exprimant les vecteurs dans le repère intrinsèque (dit de Frenet) et
déduire que la courbure de la trajectoire est telle que son rayon de courbure r=(m.vk)/(q.B) et
conclure sur l'énergie cinétique d'un force magnétique.
6. En combinant l'expression du rayon de courbure r et de la vitesse vk, exprimer à présent le
rayon de courbure r2 en fonction de m, q, B et U.
7. Calculer U tel que le rayon de courbure de l'He+ (masse=4,002 602 x 1,66054.10-27 kg 9,109 382 6.10-31 kg masse électron), q+=1.6.10-19C) soit de 4 cm sous un champ B=1T.
Inversement calculer les rayons de courbures de He+ pour une ddp U telle que Ec=19.3keV
(En physique, l'électron-volt est une unité de mesure d'énergie. Sa valeur est définie comme
étant l'énergie cinétique d'un électron accéléré depuis le repos par une différence de potentiel
d'un volt. 1 [éV] est donc égal à environ 1,602 176 53.10-19 [J]. C'est une unité en dehors du
système international (SI)).
Exercice 2.4. : Circuit magnétique: hystérésis et aimantation (1h30)
Figure 2: Schéma de la structure d’un spectromètre de masse : exemple d'un spectromètre de masse à
secteur magnétique associé à une source d'ionisation d'impact électronique
On souhaite visualiser le cycle d'hystérésis d'un matériau dur. Pour cela on place le
matériau (R1) dans un circuit magnétique à faible réluctance (R1) et dont le niveau de
saturation ne sera pas atteint. On dispose d'une sonde exploratrice et d'un circuit intégrateur
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permettant de mesurer le champ magnétique B passant par le tronçon en vertu d'un principe
−τ
.V (t ) .
d'induction tel que: B(t ) =
n.S 2
l2
H2
R2
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8. Au bout d'un certain nombre de cycle on coupe le courant à l'instant Hmax Bmax. Quelle
est la valeur de B dans le circuit ? Comment s'appel ce champ ?
On souhaite à présent exploiter ce tronçon de fer dur aimanté. On le place dans un
circuit magnétique dont le niveau de saturation ne sera pas atteint et l'on souhaite connaître le
champ circulant dans l'entrefer d'épaisseur Le (1.10-3m) du circuit de longueur L1+L2 (avec
Le<<L1+L2). Les réluctances R1 et R2 sont négligeables devant Re.
Le
i(t)
R1
S2
Re
Ф
L2
S1
H2
R1
R2
H1 L1
Sa
l1
Ф
1. Représenter le circuit magnétique équivalent (Opkinson) traversé par un flux Ф. Faire
apparaître NI ainsi que les relations entre H2l2 et R2Ф ainsi que H1l1 et R1Ф
2. Exprimer H2=f(N,I,R1,R2,l2)
3. Déduire l'expression de H2=f(N,I, μ 1, μ 2, l1,l2) avec S1=S2=S
4. Montrer que l'on peut simplifier l'écriture de H2=f(N,I,l2).
5. Dans ces conditions redessiner le circuit magnétique équivalent
Le relevé du courant image de H et de la tension image de B obtenu à partir d'un
oscilloscope en mode XY, est le suivant:
B (500mT/Div)
-V (0.2V/div)
Alnico
Br = 1,15T
Ba = 1,10T
Ha = 22kA/m
fer doux
He
H1
Hc = 5kA/m
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I (0.5A/Div)
H (15kA.m-1/Div)
6. Convertir l'échelle des tension et courant en T et en A/m sachant que N=500spires, l2=3cm,
τ=0,1s, n=500, S2=0,8cm2.
7. Calculer l'énergie consommée par le cycle d'hystérésis et donner les pertes correspondantes
(ie. puissance) sachant que le cycle est décrit à f=50Hz.
Ha Ba
fer dur
La
9. Représenter dans ces conditions le circuit magnétique équivalent (Opkinson).
10. Quel est le champ d'induction Ba et d'excitation Ha ?
11. Déduire le champ d'excitation He dans l’entrefer.
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TD 3. : Forces, induction et onde électromagnétique (2h30)
Exercice 3.1. : Induction d'une ligne haute tension (0h30)
Une ligne haute tension transporte un courant sinusoïdale de fréquence 50Hz et de
valeur efficace I=1kA. On approche suivant le plan normal à la ligne et à une distance d=2cm,
une bobine carrée plate de coté a=30cm et comportant N spires. Cette bobine d'inductance et
de résistance négligeables, est fermée sur une ampoule qui s'éclaire si la tension efficace à ses
bornes est supérieure à 1,5V. On souhaite déterminer le nombre de spires nécessaires pour
que la lampe s'allume…
B
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2. Déduire la fém induite par le mouvement de la bobine et calculer sa valeur max sachant que
N=300 spires, S=20cm2, ω=100rad/s et Bext=0.2T.
3. Déduire le courant induit dans la bobine et calculer sa valeur max sachant que R=1Ω.
4. Déterminer le moment C suivant l'axe oz qu'il faut exercer pour maintenir la rotation et
calculer sa valeur max.
Exercice 3.3. : Energie d'un champ d'induction magnétique: cas du tore (0h30)
Soit une bobine torique circulaire comportant N spires alimentées par un courant I. On
désigne par R le rayon moyen du tore, par r le rayon de la section circulaire S (avec r<<R
pour que le champ B soit le même en tous points à l'intérieur de la bobine).
z
I
r
y
R
1. Déterminer l'expression du champ B créé par la ligne
2. Déduire l'expression du flux magnétique embrassé par le cadre bobiné (N spires)
3. Déduire l'expression de la fém efficace susceptible d'apparaître dans le cadre bobiné
4. Exprimer enfin le nombre de spires nécessaires à l'allumage de l'ampoule.
Exercice 3.2. : Induction et force électromagnétiques: principe d'un alternateur (0h30)
Une bobine plate de N spires de section S tourne avec une vitesse angulaire constante
ω dans une région de l'espace où règne un champ magnétique Bext homogène uniforme et
normal à l'axe de rotation. Le champ créé par la bobine de résistance R est négligeable devant
Bext.
B
ω
B
1. Donner l'expression du champ créé en tout point de l’espace. On notera que le résultat est
valable pour toute bobine torique, indépendamment de la forme de sa section (circulaire,
carrée...).
2. Donner l'expression du flux magnétique vu par les bobines du tore.
3. Donner l'expression de l'inductance du tore et calculer L sachant que N=1000spires ;
R=12.7 cm ; S =36 cm².
4. Donner l'expression de l'énergie magnétique maximum stockée dans le tore (ie. en tout
point ou règne un champ magnétique) sachant que le courant I=I0.cos(ωt) et calculer Epmax
sachant que N=1000spires ; R=12.7 cm ; S =36 cm², I0=0.5A:
Exercice 3.4. : Plaque à induction: courants de Foucault (1h)
Soit un disque mince, conducteur, d'axe oz de rayon b et d'épaisseur e. Sa région
centrale de rayon a est plongé dans un champ magnétique uniforme B=Bm.co(ωt) orienté
suivant oz et nul en dehors de cette région. On néglige le champ induit B créé par le courant
induit.
i
B
fém
oz
oy
ox
a
1. Exprimer le flux embrassé par les N spires Ф=f(N,S,B, ω,t).
b
1. Dessiner la forme des lignes de courant.
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2. Calculer le vecteur densité de courant j en tout point du disque. Pour cela procéder par
étape: exprimer le flux vu par une boucle de courant, puis exprimer la fém à l'aide de la loi de
Faraday, puis exprimer le résistance R d'une boucle en fonction de la conductivité de r et de e,
puis exprimer le courant élémentaire di,…
3. Déterminer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le disque; Faire le calcul
pour un disque de cuivre avec une conductivité γ=6.107S/m, e=2mm, a=2cm (a=b), Bm=0,1T
et f=50Hz.
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TD 4. : Electrotechnique: réseau triphasé et transformateur (1h)
Exercice 4.1. : Etude d'un réseau triphasé (0h45)
Un réseau triphasé de tensions composées équilibrées U=380V et de fréquence
f=50Hz, alimente un ensemble de charges conformément au schéma ci-dessous. Une scierie
est directement connectée au trois phases, afin d'alimenter un moteur asynchrone; dont le
facteur de puissance Fp=P/S=0.8; le rendement η=Putile/Pelectrique=0.9; et la puissante utile
Putile=7200W. On considère que l'installation électrique des 3 maisons comporte un total de
30 ampoules à incandescences (donc parfaitement résistives) de 100W.
phase1
I1
phase2
I2
phase3
I3
Réseau triphasé 220V/380V
Z3
Z2
Z1
Z=R+jLω
neutre
Transformateur de quartier
Maison 3 Maison 1
Maison 2
Scierie
1. Identifier les différents couplages de ce réseau
2. Exprimer et calculer la tension vue par Z3, Z2 ou Z1 (charge équivalente de chaque
maison) et la tension vue par un enroulement du moteur asynchrone.
3. A quelles conditions les tensions vues par les charges Z1, Z2 et Z3 peuvent être
déséquilibrées ?
4. Comment doivent être réparties les ampoules afin que les courants de lignes I1, I2 et I3 ne
soient pas déséquilibrés ?
On considère pour la suite du problème que toutes les charges sont équilibrées.
5. Exprimer et calculer l'intensité du courant de ligne Il=I1=I2=I3 due aux 3 habitations (la
scierie est déconnectée).
6. Exprimer et calculer l'intensité du courant de ligne Is=I1=I2=I3 due au moteur de la scierie
(les habitations sont déconnectées).
7. Représenter et calculer à l'aide du diagramme de Fresnel, le courant total de ligne I lorsque
les maisons et la scierie sont connectées (on prendra 1cm pour 2A) et en déduire le facteur de
puissance Fp.
8. Faire le bilan des puissances active et réactive transportées par le réseau (on rappelle que
tang(φ)=Q/P).
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9. Exprimer et calculer, par la méthode de Boucherot, les valeurs de S puis I et Fp. Retrouve
t'on les valeurs approchées par le diagramme de Fresnel ?
10. Quelle modification faut il apporter au réseau pour abaisser la tension composée U à
220V ?
11. A puissance transmise égale, montrer que la résistance par branche de triangle notée Rd
doit être trois fois supérieure à la résistance par branche d'étoile notée Ry. Déduire qu'en cas
de couplage triangle cela revient à éteindre un certain nombre de lampe.
Exercice 4.2. : Transformateur idéal (0h15)
On considère un transformateur idéal pour lequel la réluctance du circuit magnétique
et la résistance des bobines sont nulles. Le primaire est formé de N1 spires et le secondaire de
N2 spires.
1. A l'aide du théorème d'Opkinson donner la relation entre i1(t) et i2(t) (avec m=N2/N1)
2. A l'aide de la loi de Faraday donner la relation entre u1(t) et u2(t)
3. On veut transformer une tension 240V au primaire en une tension 12V au secondaire,
calculer le nombre de spires du secondaire sachant que N1=100.
4. On charge le secondaire par une impédance Zs. Exprimer l'impédance équivalente au
primaire Zp=f(Zs,m2) et la tension Up=f(m,Us) et dessiner le modèle équivalent.