Modélisation des phénomènes électromagnétiques d`une micro

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA
Faculté des Sciences Appliquées
Département de Génie Electrique
Mémoire
MASTER ACADEMIQUE
Domaine : Sciences et technologies
Filière : Génie électrique
Spécialité : Matériaux électrotechnique
Présenté par :
Amoumene Manel Naima
Benras Imane
Thème:
Modélisation des phénomènes
électromagnétiques d’une micro pompe
magnétohydrodynamique à conduction
à conduction (MHD)
Le : 02/06/2016
Devant le jury :
MrAyad Ahmed nour el islam
MA (A)
Président
UKM Ouargla
Mme Bouali Khadidja
MC (B)
Encadreur/rapporteur
UKM Ouargla
MrBen Alia Khaled
MC (B)
Examinateur
UKM Ouargla
Année universitaire 2015/2016
Dédicace
En ce jour solennel qui vient couronner mes efforts je profiter
l'occasion pour exprimer tous mes gratitude en vers ma famille,
pour les deux êtres, qui m'ont vu grandir, qui m'onttransmis tout le
savoir et qui étaient pour moi uncœurveillant pendant toute ma vie, les
deux que je nepourrais jamais assez remercier,
A ma mère Noura et mon père Belkhire
Ames très cher frère AbdeldjaliletSidahmed , et ma chère
Hanaae t son marie Raid , Sans oublier ma chéri Madjid
A toutes la famille Amoumene et Bey
Pour celles et ceux qui ont partagé mes joies et mespeines, qui
m'ont tant aidé et soutenu,
 toutes mes tantes et mes oncles et à toute ma grandefamille je
dédie ce travail
Pour
mon binômeImane,et mes amis de toujours :
Sana , Radia , Narimane , Mouhieddine
Manel
II
Dédicace
Avant tout l’éloge a dieu tout puissant pour tout ce qu’il madonné et
Accorder la force, le courage et la santé à fin de pouvoir accomplir ce
travail.
Je dédie ce mémoire à :
À la plus belle créature que Dieu a créée sur terre, À cette source de
tendresse, de patience et de générosité, À ma mère !Pour son amour est
inestimable, la confiance et le soutien, et les sacrifices, et toutes les
valeurs inculquées en moi.
A ma très chère sœur, pour ses encouragements et mon frère.
A mon fiancéM.lakhdar.
A mes tantes et à mes oncles.
A chaque cousins et cousines.
A tous la famille.
A tous les amis et collègues.
En fin je dédie cette mémoire à mes collègues de promotion et tousceux
qui me sont chers
Imane
III
Tout d’abord, nous tenons à remercierAllah, le tout puissant pour de nous avoir donné la
force et la volonté d’accomplir ce modeste travail. Nous remercions également nos familles
pour les sacrifices qu’elles ont faites pour que nous terminions nos études
J’adresse mes sincères remerciements à Mme vertueuse
BOUALI KHADIDJA maître de
conférences à l’université d’Ouargla, pour son encadrement , pour sa contribution, sa
patience et son aide tout au long de ce travail. Ainsi que pour les orientations et les
conseils qu’elle a su nous prodiguer durant l’évolution de notre projet.
Nous tenons à exprimer notre gratitude envers l’ensemble des membres de jury qui ont
accepté de lire et juger notre travail :
Mr.Ayad Ahmed nourel islam, maitre assistante à l’université KasdiMerbah d’Ouargla, pour
avoir accepté de présider le jury.
Mr. BEN Alia Khaled
, docteure l’université Kasdi Merbah d’Ouargla, pour nous avoir honorés
par sa présence.
Nous exprimons toutes nos profondes reconnaissances à tous ceux etcelles qui de près ou de
loin pour l’aide et l’encouragement qu’ils nousont apporté. Qu’ils trouvent ici l’expression de
notre profondegratitude.
IV
Notation et symboles
Symbole
Unité
Description
𝐴⃗
A/m
Potentiel magnétique vecteur
⃗B⃗
Tesla
Induction magnétique
⃗D⃗
C/𝑚2
Induction électrique (Déplacement électrique)
⃗⃗
E
V/m
Champ électrique
⃗⃗⃗⃗⃗
Fele
N/𝑚3
Force volumique Lorenz
⃗H
⃗⃗
A/m
Intensité du champ magnétique
I
A
V
m/s
Vitesse d’écoulement
Vz
m/s
La composante de la vitesse suivant (OZ)
U
V
Potentiel scalaire électrique
⃗ji
A/𝑚2
Densité des courants induits
⃗ja
A/𝑚2
Densité des courants d’électrodes (source)
ε0
F/m
Ρ
Kg/𝑚3
𝜇𝑟
-
Perméabilité relative
𝜎
S/m
Conductivité électrique
Courant électrique
Permittivité électrique du vide
Densité volumique
V
Nomenclature
Abréviation
MHD
DC
Description
Magnétohydrodynamique
Courant continu
MEF
Méthode des éléments finis
MIF
Méthode des intégrales de frontière
MDF
Méthode des différences finies
MVF
Méthodes des volumes finis
2D
Bidimensionnel
3D
Trois dimension
VI
Liste Des Figures
N°
Titre de figure
Page
(1.1)
Barre mobile sur deux rails.
7
(1.2)
Générateur MHD à gaz ionisé.
9
(1.3)
Pompe électromagnétique à conduction à courant continu.
11
(1.4)
Schéma d’une pompe MHD AC.
12
(1.5)
Courant induits dans un inducteur de section rectangulaire.
13
(1.6)
Pompe magnétohydrodynamique annulaire.
14
(1.7)
Générateur MHD à Conduction (tuyère linéaire)
16
(1.8)
Générateurs à induction
17
(1.9)
Le yamato1 dans la baie de KÖBE
19
(1.10) Micro pompe à conduction (à aimant permanent).
21
(2.1)
Configuration proposée de pompe MHD à conduction.
25
(3.1)
Maillage du domaine d’étude.
39
(3. 2) Discrétisation avec la méthode des volumes finis.
39
(4.1)
Configuration proposée de pompe MHD à conduction
44
(4.2)
Géométrie de la pompe MHD à conduction.
45
(4.3)
Algorithme du modèle électromagnétique par la méthode des
volumes finis.
46
VII
(4.4a) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD.
47
(4.4b) Distribution du potentiel magnétique dans la pompe.
48
(4.5a) Induction magnétique dans la pompe MHD .
48
(4.5b) Induction magnétique dans la pompe MHD.
49
(4.6)
Force électromagnétique dans le canal de la pompe MHD.
49
(4.7)
Géométrie de la pompe MHD avec noyau ferromagnétique.
50
(4.8a) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD avec noyau
ferromagnétique.
51
(4.8b) Potentiel vecteur magnétique dans la pompe MHD avec noyau
ferromagnétique.
51
(4.9)
Induction magnétique dans la pompe avec noyau
ferromagnétique.
52
(4.10) la force électromagnétique avec noyau ferromagnétique.
53
VIII
Sommaire
Sommaire
Sommaire
Notation et symboles
V
Nomenclature
VI
Liste de fugure
VII
Introduction générale
Introduction ……………………………………………………………………….
04
Problématique …………………………………………………………………..
05
Objectif ………………………………………………………………………....
05
Présentation du mémoire ………………………………………………………
05
Chapitre un
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
1-1 Introduction …………………………………………………………………...
06
1-2 Les origines de la magnétohydrodynamique …………………………………
06
1-3 Définition de la MHD ………………………………………………………...
07
1-4 Principe de la propulsion MHD ……………………………………………...
07
1-5 Principe de pompage de la pompe MHD …………………………………….
08
1-6 Les convertisseurs MHD ……………..………………………………………
08
1-6-1 Les convertisseurs MHD linéaires …………………………………………
09
1-6-2 Les convertisseurs MHD linéaires à conduction …………………………..
10
a. Pompes à conduction………………………………………………………
10
a-1 Pompe à courant continu ………………………………………………...
11
a-2 Pompe à conduction à courant alternatif ………………………………..
11
b- Pompe à induction ………………………………………………………...
12
b-1 Pompes plates ……………………………………………………………
13
b-2 Pompes à induction annulaires …………………………………………..
13
1-7 Applications de la magnétohydrodynamique …………………………...........
15
1-7-1 Génération de l’électricité par la MHD………………………………..
15
1-7-1 -1 Générateurs à conduction …………………………………………….
16
-1-
Sommaire
1-7-1 -2 Générateurs à induction ………………………………………………
17
1-7-2 Propulseurs MHD……………………………………………………...
18
1-7-2-1 Propulseurs à plasma …………………………………………………
18
1-7-2-2 Canon électromagnétique …………………………………………......
18
1-7-2-3 La Propulsion navale ………………………………………………..
18
1-8 Applications de la magnétohydrodynamique à la métallurgie………………..
20
1-8-1 Brassage électromagnétique……………………………………………...
20
1-8-2 Lévitation………………………………………………………………...
20
1-8-3 Formage………………………………………………………………….
20
1-8-4 Pulvérisation……………………………………………………………..
21
1-9 Application biomédical………………………………………………………..
21
1-10 Conclusion …………………………………………………………………..
22
Chapitre deux
Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques
2-1 Introduction …………………………………………………………………...
24
2-2 Analyse des phénomènes électromagnétiques ………………………………..
24
2-2-1Phénomènes électromagnétiques…………………………………………….
24
2-3 Equations générales de Maxwell …………………………………………….
24
2-3-1 Equation de Maxwell-Gauss ……………………………………………
25
2-3-2 Equation de Maxwell-Faraday …………………………………………..
26
2-3-3Equation de conservation du flux magnétique …………………………...
26
2-4 Hypotheses simplificatrices …………………………………………………..
28
2-5 Formulation des équations électromagnétiques ………………………………
28
a. Le Modèle électrostatique ……………………………………………..…….
28
b. Le Modèle électrocinétique …………………………………………………
29
c. Modèle magnétostatique ……………………………………………………
29
d. Modèle magnétodynamique …………………………………………………
29
2-6 Formulation en termes de potentiel vecteur …………………………………..
30
2-7 Formulation en coordonnées cylindriques axisymétriques …………………...
32
2-8 Conclusion ……………………………………………………………………
33
-2-
Sommaire
Chapitre Trois
Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par La Méthode
Des Volumes Finis
3-1 Introduction …………………………………………………………………...
35
3-2 Méthodes numériques ………………………………………………………...
35
3-2-1 Méthodes des différences finies (MDF) ………………………………... 35
3-2-2 Méthode des éléments finis (MEF) ……………………………………... 36
3-2-3 Méthode des intégrales de frontières (MIF) …………………………….. 36
3-2-4 Méthode desvolumes finis (MVF) ………………………………………
36
3-3 Conditions aux limites et conditions d’interfaces …………………………….
37
3-3-1 Conditions aux limites ………………………………………………......
37
3-3-2 Conditions d’interfaces ………………………………………………….
38
3-4 Mise en œuvre de la méthode des volumes finis ……………………………..
39
3-5 Etude du modèle électromagnétique par volume finis ……………………….. 40
3-6 Conclusion ……………………………………………………………………
42
Chapitre Quatre
Application et résultats de la simulation numérique
4-1 Introduction …………………………………………………………………...
44
4-2 Description du prototype MHD à conduction ……………………………….. 44
4-3 Application et résultats de la modélisation numérique (volumes finis) ……… 46
4-3-1 Potentiel vecteur magnétique…………………………………………...
47
4.3.2 Présentation de l’induction magnétique ………………………………… 48
4-3-3 Distribution de la force électromagnétique …………………………...
49
4-4 Introduction d’un noyau ferromagnétique à l’intérieur du canal …………….
50
4-4-1 Distribution du potentiel vecteur ……………………………………… 51
4-4-2 Présentation de l’induction magnétique ……………………………..
52
4-4-3 Distribution de la force électromagnétique……………………………
53
4-5 Conclusion ……………………………………………………………………
53
-3-
Sommaire
Conclusion générale ………………………………………………………………
55
Références bibliographiques ……………………………………………………...
57
Résumé ……………………………………………………………………………
-4-
Introduction Générale
IntroductionGénérale
Introduction Générale
La magnétohydrodynamique (MHD) est l’étude de l’interaction des champs
magnétiques et des écoulements de fluide conducteurs. Cette discipline s’attache à des
phénomènes très variés de l’échelle du laboratoire (pour les métaux liquides et les gaz
ionisés) à l’échelle planétaire (champ magnétique terrestre). La conversion MHD est
l’une des applications de cette discipline. Elle concerne la conversion de l’énergie
mécanique du mouvement d’un fluide en énergie électrique. Ce mécanisme permet de
transformer directement le mouvement d’un fluide en électricité sans passer par des
turbines comme dans les centrales classiques. Ceci est un avantage par rapport aux
machines classique connues. La conversion peut également s’effectuer en sens inverse ;
on utilise l’énergie électrique pour mettre un fluide en mouvement, on obtient ainsi des
pompes électromagnétiques [1].
Ces pompes sont conçues dans le but de n’avoir aucune partie mobile et sont ainsi
débarrassées de problèmes d’usure et de fatigue provoqués par la basse pression à
travers les pièces mécaniques. Comparées à d’autres types de pompes non mécaniques,
les pompes magnétohydrodynamiques montrent plusieurs avantages ; à savoir la
simplicité de fabrication et des forces continues de pompage [2], [3].
L’application première des pompes électromagnétiques a été le pompage du sodium
pour le refroidissement des réacteurs nucléaires. Dès les années 1970, ces pompes ont
été utilisées pour le pompage des métaux liquides à haute température comme le zinc et
l’aluminium. Aujourd’hui elles sont utilisées dans d’autres domaines comme le domaine
médical ou la microélectronique (électrolytes, plasmas) (Baker et Tessier 1987). Elles
sont l’une des applications de la magnétohydrodynamique (MHD) qui est à la frontière
de deux sciences, la mécanique des fluides et l’électromagnétisme [4].
Les applications de la magnétohydrodynamique sont très larges et dans des échelles très
variées, dans l’industrie métallurgique, le transport ou le pompage des métaux liquides
enfusion par des pompes électromagnétiques. Il existe aussi des vannes et des
débitmètres électromagnétiques.
-4-
IntroductionGénérale
L’élaboration d’un système passe en premier lieu par la connaissance de son
comportement, c’est la phase d’analyse. Celle-ci doit déboucher sur une description
mathématique des phénomènes physiques qui régissent le comportement des éléments
du système, c’est la phase de modélisation. Cette dernière sert de support à la
conception car elle permet de prédire les performances du système en fonction de ses
caractéristiques [5].
Problématique :
Nous sommes donc confrontés à un problème de conception d'une nouvelle structure
de pompe MHD à conduction
alimentée par un courant continu. Il est donc
indispensable d'effectuer sa modélisation.
Objectif
L’objectif essentiel de ce travail, est la modélisation numérique du modèle
électromagnétique de la pompe sous environnement MATLAB. Différentes
caractéristiques telles que le potentiel vecteur magnétique, l’induction magnétique, let la
force électromagnétique sont déterminées.
Présentation du mémoire
Le travail exposé dans ce mémoire s’articule autour de quatre principaux chapitres :
 Dans le premier chapitre, nous intéressons à la présentation des généralités sur les
pompes magnétohydrodynamiqueune description générale des convertisseurs MHD
ainsi que leurs principes defonctionnement.
 Le deuxième chapitre est consacré à la formulation mathématique des phénomènes
électromagnétiques présents dans les dispositifs électrotechniques.
 La description des différentes méthodes numériques et le choix de la méthode des
volumes finis pour la modélisation numérique des phénomènes électromagnétiques
fera l’objet du troisième chapitre.
 Le quatrième chapitre, est consacré à la présentation du code du calcul développé sous
environnement
MATLAB.
Des
résultats
électromagnétiques sont présentés.
Le mémoire est clôturé par une conclusion générale
-5-
de
modélisation
des
phénomènes
Chapitre I
Généralité sur les pompes
magnétohydrodynamique(MHD)
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
1-1 Introduction
La magnétohydrodynamique (MHD) est à la frontière de deux sciences, la
mécanique desfluides et l’électromagnétisme. Elle consiste en l’étude de l’interaction
entre un écoulement de fluide conducteur et des champs magnétiques. Sa naissance
remontre au 19éme siècle, lorsque Faraday écrivit les lois de l’induction magnétique
(1831). Elles montrent l’existence d’une force électromotrice induite dans un
écoulement soumis à un champ magnétique. Cette force est susceptible de créer des
courants qui peuvent agir avec le champ magnétique pour donner naissance à des forces
0de Laplace [3].
1-2 Les origines de la magnétohydrodynamique
La magnétohydrodynamique (MHD) est un domaine vaste de la physique lié à
l’interaction entre un champ magnétique et un fluide conducteur d’électricité. La notion
de la conversion MHD remonte à l’époque de Faraday qui en plaçant des électrodes
dans une rivière d’eau, convenablement orientées par rapport au champ magnétique
terrestre, recueillit un faible courant électrique induit [6].
Le phénomène de MHD a été observé par W. Richie en 1833. Les premières
expériences sur les effets du champ magnétique sur les systèmes électrochimiques
remontent il ya plus d’un siècle et ont été crédités à M. Faraday. Cependant, le
développement de la MHD comme une discipline scientifique indépendante commencé
lors de la première moitié du 20ème siècle, lorsque les astrophysiciens ont réalisé
comment les champs magnétiques et les plasmas sont omniprésents dans tout l'univers.
En 1940, H. Alfvén a formulé les grands principes de la MHD, et en 1970 a reçu le prix
Nobel pour son travail de pionnier dans MHD. Les scientifiques dans plusieurs
domaines sont intéressés à la MHD, à savoir pour la physique des plasmas, de la
géophysique, et l'écoulement de métal [7].
-6-
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
1-3 Définition de la MHD
La Magnétohydrodynamique (MHD) est l'étude du mouvement des fluides
conducteurs de l'électricité à la présence des champs magnétiques. Effets de telles
interactions peuvent être observés dans les liquides et les gaz. Un certain nombre de
recherches ont étudié l'écoulement d'un fluide conducteur de l'électricité à travers des
canaux en raison de ses applications importantes dans des générateurs MHD, des
pompes, des accélérateurs, des débitmètres et des mesures de la circulation sanguine.
Le pompage du métal liquide peut avoir recours à un dispositif électromagnétique, ce
qui induit des courants de Foucault dans le métal. Ces courants induits et leur champ
magnétique associé génèrent la force de Laplace dont l'effet peut être effectivement le
pompage du métal liquide [8].
1-4 Principe de la propulsion MHD
Une expérience simple à réaliser, une petite barre mobile et un aimant en U nous
⃗⃗»(dite de Laplace) à
permet de comprendre le phénomène. On peut générer une force « F
⃗⃗» perpendiculaire àcelle- ci ainsi qu’un courant
l’aide d’un champ magnétique «B
⃗⃗»et «B
⃗⃗». (figure
d’intensité « I » lui aussi perpendiculaire auxdeux autres vecteurs «F
1 .1)Si on inverse le sens du vecteur⃗⃗⃗⃗
B, la force ⃗F⃗ s’inverse aussi [9].
Figure (1.1) : Barre mobile sur deux rails [10].
-7-
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
1-5 Principe de pompage de la pompe MHD
Ce type de pompe repose sur le principe de la loi de Laplace(un conducteur parcouru
par un courant électrique et plongé dans un champ magnétique est le siège d’une force
électromagnétique motrice dite force de Laplace suivant la règle des trois doits). Si ce
conducteur est un fluide (liquide ou gaz) placé dans les mêmes conditions, c à d
parcouru par un courant électrique et plongé dans un champ magnétique, alors une force
motrice agis sur ce fluide et provoque son déplacement sans qu’il y est un contact
physique, le déplacement d’un fluide sous l’effet d’une force électromagnétique
s’appelle la MHD (Magnétohydrodynamique) [10].
1-6 Les convertisseurs MHD
Le convertisseur MHD assure la conversion de l’énergie mécanique du mouvement
d’un fluide conducteur en énergie électrique. Ce mécanisme permet de transformer
directement le mouvement de fluide en électricité sans passer par des turbines comme
dans le cas des centrales classiques. Elle peut également s’effectuer en sens inverse,
c’est à dire qu’il est possible d’utiliser l’énergie électrique pour mettre un fluide
conducteur en mouvement. On réalise ainsi des pompes magnétohydrodynamiques [3].
Un convertisseur MHD est réversible comme toute machine électromagnétique, il
permet de :
- Convertir l’énergie mécanique présente dans le mouvement d’un fluide en énergie
électrique, c’est le cas d’un générateur MHD.
- Convertir l’énergie électrique en énergie mécanique par la mise en mouvement
d’un fluide conducteur dans un champ magnétique, c’est le cas d’un accélérateur MHD
[1], [6], [10].
-8-
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
Figure (1.2) : Générateur MHD à gaz ionisé [10].
1-6-1 Les convertisseurs MHD linéaires
Le système le plus simple est celui du convertisseur à induction. Il est constitué d’un
canal dans lequel s’écoule un fluide électriquement conducteur à la vitesse⃗⃗⃗⃗
V, le fluide
⃗⃗ qui induit un courant ⃗J collecté par des électrodes en
traverse un champ magnétique B
contact avec le fluide.
La première expérience de la conversion MHD avec un liquide comme fluide a été
réalisée par Arago qui eut l’idée d’utiliser les propriétés conductrices d’un fluide en
mouvement dans un champ d’induction magnétique, après la découverte par Faraday
des lois de l’induction. Ce n’est qu’en 1955 qu’une application industrielle a été
envisagée mais dans laquelle le liquide fut remplacé par un gaz conducteur. L’étude fut
alors qualifiée de magnétohydrodynamique ce qui parut de prime abord surprenant.
Mais le paradoxe n’est qu’apparent, cette appellation était légitime puisque les
recherches menées au début sur ces milieux (plasma) faisant intervenir des équations
semblables à celles de l’hydrodynamique [11].
La magnétohydrodynamique des plasmas a fait l’objet de travaux conséquents, mais
cela n’empêche pas d’évoquer la MHD des métaux liquides dont les avantages ne sont
pas négligeables. En effet, à cause des problèmes associés à la température élevée des
plasmas, plusieurs approches sont apparues utilisant le métal liquide comme fluide
conducteur. Les systèmes à métaux liquides semblent être particulièrement très
demandés et beaucoup de travaux ont été élaborés aux USA et en URSS et un grand
programme est établi en France [1], [11].
-9-
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
Les convertisseurs MHD sont principalement utilisés dans l’industrie sous forme de
pompes électromagnétiques, dans les aspects propulsifs de véhicules de haute
technologie ainsi que pour certains types d’armes militaires.
En général, il existe deux catégories de machines MHD linéaires :
 Convertisseurs MHD linéaires à conduction.
 Convertisseurs MHD linéaires à induction.
1-6-2 Les convertisseurs MHD linéaires à conduction
Lesconvertisseurs MHD linéaires à conduction peuvent fonctionnent principalement
comme moteur (pompe). Dans ce type de pompe, le courant électrique est fourni par
une source extérieure et le champ magnétique est imposé. Une limitation essentielle est
le manque d’adhérence du métal sur les parois, ce qui augmente les pertes [11].
Il existe plusieurs formes de pompes à conduction, parmi lesquelles on peut citer :
 Les pompes à conduction à courant continu .
 Les pompes à conduction à courant alternatif.
a. Pompes à conduction
Les pompes liquides à conduction en métal, ou les pompes de "Faraday", se
composent d'un canal rectangulaire dans d'un aimant ( ou électroaimant) où un courant
électrique est translaté par le liquide passe de manière perpendiculaire aux lignes de
⃗⃗ conduit à l'écoulement.
champ. La force résultante de Laplace ⃗J∧B
Il existe plusieurs formes de pompes à conduction, parmi lesquelles on peut citer.
 Les pompes à conduction à alimentation continue (figure 1.3)
 Les pompes à conduction à courant alternatif.
La différence entre ces deux types de pompes se situe au niveau de l’alimentation du
bobinage qui peut être soit en courant continu soit encourant alternatif [3].
- 10 -
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
a-1 Pompe à courant continu
Dans ce type de pompe, le courant électrique est fourni par une source extérieure
(figure1.3). On impose des champs magnétiques, pour des gains de pression de
plusieurs atmosphères et des débits de quelques dizaines de m3/h [3].
Figure (1.3) : Pompe électromagnétique à conduction à courant continu [3].
Une limitation essentielle est le manque d’adhérence du métal sur les parois, qui
augmente la résistance interne et par suite les pertes [3].
a-2 Pompe à conduction à courant alternatif
Au lieu d’alimenter le bobinage en courant continu, on peut leur appliquer un courant
alternatif (monophasé), sinusoïdal dans le cas le plus simple.
Posons donc pour le courant :
I (t)=I0sin wt
(1.1)
et pour le champ :
B(t) = B0 sin (wt+ϕ0)
(1.2)
On établit facilement l’expression de la force de Laplace moyenne par unité de
longueur.
- 11 -
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
Si ce mode de fonctionnement a l’avantage d’être moins coûteux, il présente les
inconvénients suivants :
 Création de tourbillons dans l’écoulement par turbulence, d’où dissipation
visqueuse.
 Création des courants de Foucault dans les parois, d’où dissipation résistive
(effet Joule).
 Risque de cavitation si la pression d’entrée est inférieure à 1.
 Vibrations produites par l’emploi d’une phase unique.
Ce dernier inconvénient disparaîtra dans le cas des pompes à induction, puisque alors
trois phases sont utilisées, [3].
Figure (1.4) : Schéma d’une pompe MHD AC [11].
b- Pompe à induction
Une alternative de la pompe à conduction est la pompe à induction, où les courants
électriques sont induits dans le métal liquide au moyen d'un champ magnétique,
⃗⃗ avec le champ instantané pour assurer l'écoulement. Plusieurs
produisant une force 𝐽⃗∧𝐵
types de pompes à induction sont possibles. Ici on s’intéresse à la pompe linéaire plate à
induction et la pompe annulaire à induction[3].
- 12 -
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
Les inconvénients typiques sont les pertes de puissance et le besoin d’isolations
électriques hautes températures.
b-1 Pompes plates
Le principe est celui du générateur à induction, utilisé en moteur. Des enroulements
polyphasés créent un champ glissant
B(x, t) = 𝐵0 sin ( wt – kx)
(1.3)
Qui accélère le fluide par le couplage avec les courants électriques induits. Les
inconvénients propres à ce type de pompe sont la mauvaise étanchéité des raccords
entre section circulaires (tuyauterie) et rectangulaires (pompe).
Le type annulaire est plus performant que le type rectangulaire car les courants
induits sont toujours perpendiculaires à la direction de l’écoulement. Ainsi, la force a
partout la même direction que celle de l’écoulement. Par contre, dans le cas à une
machine de section rectangulaire, les courants induit se reforment de manière moins
favorable aux échanges d’énergie mécanique à énergie électrique et provoquent
d’avantage des pertes joule. La forme approximative des lignes de courant induit est
dessinée sur la figure (1.5) [3].
Figure (1.5) : Courant induits dans un inducteur de section rectangulaire [3].
b-2 Pompes à induction annulaires
La conception de ces pompes remonte à 1929 (Einstein et Szilard). Le conduit est
annulaire entre deux tubes coaxiaux dont l’intérieur contient un noyau de fer doux,et
- 13 -
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
l’extérieur est couvert de bobines triphasées( figure (1.6)). On atteint des pressions de
quelques atmosphères, des débits de l’ordre de 102𝑚3 /h.
Il existe un modèle analytique d’écoulement dans un tube cylindrique soumis à
champ radial glissant .Il considère un fluide incompressible, visqueux, un écoulement
non turbulent et à symétrie de révolution. En outre, le nombre de Reynolds magnétique
ordinaire est supposé petit [3].
Figure (1.6) : Pompe magnétohydrodynamique annulaire [11].
Les avantages de ces pompes sont les suivants [10] :
 Les courants électriques se referment dans la masse du fluide, ce qui rend
inutile l’adhérence de celui- ci sur la paroi ;
 La forme est simple et l’encombrement est économique ;
 Le démontage est facile.
Le courant des enroulements primaires produit un champ magnétique dedéplacement
qui produit un courant induit dans le métal liquide.
Les équations décrivant le processus de pompe dans le canal sont les équations
deMaxwell, la loi de l'Ohm et l'équation de conservation pour des écoulements
incompressibles laminaires [3].
- 14 -
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
 Conservation du flux magnétique :
⃗⃗ =0
𝑑𝑖𝑣𝐵
(1)
⃗⃗ = ∇
⃗⃗˄ 𝐴⃗
Avec :𝐵
(2)
 Qui donnent le champ magnétique, et loi d’Ohm :
⃗
𝜕𝐴
⃗⃗ )
𝐽⃗ = 𝜎 (− 𝜕𝑡 + 𝜗⃗˄𝐵
(3)
Le vecteur de densité de courant𝐽se compose à deux composantes :𝐽⃗ = 𝐽⃗0 + 𝐽⃗𝑖
Où
𝑗⃗𝑖 : densité de courant induit de le flux.
𝑗⃗𝑜 : densité de courant d’excitation des les enroulements.
1-7 Applications de la magnétohydrodynamique
La MHD offre un potentiel d’applications industrielles et de recherches
considérables.
1-7-1 Génération de l’électricité par la MHD
Les recherches approfondies de génération d'électricité par MHD ont débuté au XXe
siècle, tout d'abord avec le physicien BelaKarlovitz pour le compte de la société
Westinghouse de 1938 à 1944. Ce générateur MHD était de type "Hall annulaire" et
utilisait un plasma issu de la combustion du gaz naturel ionisé par faisceaux d'électrons.
Cette expérience ne fut pas convaincante car la conductivité électrique du gaz était aussi
limitée que les connaissances de l'époque en physique des plasmas. Une seconde
expérience menée en 1961 au même laboratoire, utilisant un liquide composé d'un
combustible fossile enrichi en potassium, excédent 10 kW. La même année, une
puissance identique fut générée aux laboratoires Avco Everett par ledocteur Richard
Rosa, en utilisant de l'argon enrichi par pulvérisation d'une poudre de carbonate de
potassium (substance donnant facilement des électrons libres, ce qui augmente la
conductivité électrique du plasma) et ionisé par arcs électriques à 3000°K [11].
- 15 -
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
Les années 1960 virent un effort international très important en vue de créer les
premières centrales MHD électriques industrielles, avec un gaz ionisé à très haute
vitesse comme fluide conducteur.
En 2007, un ensemble d'expériences concluantes réalisées aux États-Unis pour le
compte de l'armée américaine, avec un fluide simulant une sortie de tuyère d'un avion
hypersonique a permis d'obtenir une puissance générée supérieure à 1 MW. Ce type
d'expérience est susceptible de relancer l'intérêt (notamment militaire) de la MHD, après
une "mise en sommeil" de cette technique pendant de nombreuses années.
1-7-1 -1 Générateurs à conduction
Un générateur MHD (magnétohydrodynamique) est un convertisseur MHD qui
transforme l'énergie cinétique d'un fluide conducteur directement en électricité. Le
principe de base est fondamentalement le même que pour n'importe quel générateur
électrique. Les deux types de générateurs utilisent un inducteur (électroaimant ou
aimant permanent) générant un champ magnétique dans un induit ou canal.

Dans le cas d'un générateur conventionnel, cet induit est solide : c'est une pièce
métallique portant des bobines en cuivre.

Dans le cas d'un générateur MHD, cet induit est fluide : liquide conducteur (eau
salée, métal liquide) ou gaz ionisé (plasma). Les générateurs MHD n'utilisent donc pas
de pièce mécanique mobile, contrairement aux générateurs traditionnels. Le fluide est
mis en mouvement dans le champ magnétique, ce qui génère un courant électrique,
recueilli aux bornes d'électrodes immergées et connectées à une charge [11].
Figure (1.7) : Générateur MHD à Conduction (tuyère linéaire) [11].
- 16 -
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
1-7-1 -2 Générateurs à induction
Le générateur à induction ne comporte pas d’électrodes car le courant est produit par
un champ magnétique induit par le couplage champ- vitesse. C’est un premier avantage.
De plus, le courant produit est alternatif, ce qui élimine le besoin d’un convertisseur
comme dans le cas des générateurs à conduction [11].
Ce générateur MHD fonctionne sans électrodes avec des champs magnétiques
variables. Classiquement, une "onde magnétique" se déplace dans le fluide, émise par
des courants électriques alternatifs circulant dans plusieurs électroaimants successifs,
avec la même amplitude mais en déphasage. La variation du champ magnétique génère
des courants induits dans le gaz, qui eux-mêmes génèrent des champs magnétiques
induits dont les lignes de champ coupent les enroulements en spires des bobines. Si la
vitesse du gaz est supérieure à la vitesse de déplacement de l'onde magnétique, les
courants induits seront tels que les forces de Lorentz générées auront tendance à ralentir
l'écoulement et à générer par induction un courant dans les bobinages triphasés
analogue à celui des moteurs asynchrones ou linéaires. Figure (1.8)
Figure (1.8) : Générateurs à induction [11]
- 17 -
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
1-7-2 Propulseurs MHD
1-7-2-1 Propulseurs à plasma
Ces dispositifs également appelés MPD (Magneto Plasma Dynamique) utilisent des
gaz tels que Argon comme propergol. Pour des puissances développées de 4 à 10 MW,
les rendements de ces appareils sont de l’ordre de 30% à 40%. Ce type de propulseur,
bien adapté aux changements d’orbites, offre l’avantage chimique de consommer 3 à 10
fois moins de propergol qu’un propulseur chimique habituel [2],[11].
L’inconvénient majeur est du à l’érosion des surfaces isolantes par le fluide chaud,
comme pour le générateur MHD. Il en résulte une perte de masse qui limite la durée de
vie du matériel. Leur principe de fonctionnement est le suivant : le propergol est injecté
entre les électrodes et traversé par un courant électrique. Celui-ci induit dans le plasma
un champ magnétique qui par couplage avec le courant électrique produit une force de
Laplace qui accélère le plasma [11].
1-7-2-2 Canon électromagnétique
Le canon électromagnétique est tout à fait analogue à un moteur linéaire à courant
continu, le plasma joue le rôle de l’armature et les rails celui d’enroulement. Il a comme
caractéristique principale de garder une pression à peu près constante pendant
l’accélération du projectile. Ce dispositif inventé par le géophysicien K. Birkeland a
des applications variées [11].

Lancement de charges spatiales ; déchets nucléaires.

Armes militaires ; destruction de missiles en vol.

Fusion nucléaire ; initiation des réactions par impact (150 Km/s).
1-7-2-3 La Propulsion navale
Ces dernières années la MHD a connu un regain d’intérêt dans le domaine de la
propulsion des bateaux dont le fluide conducteur (eau de mer) utilisé est de conductivité
électrique basse. Ceci est du à l’avènement des supraconducteurs qui a engendré le
renouveau des recherches sur cette technique. Et avec l’augmentation des inductions
- 18 -
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
magnétiques au environ de 10 Teslas, les rendements ont nettement augmenté en
passant de 8% à 60%. Des systèmes à induction et à conduction sont à envisager [2].
Le principe de base de la propulsion MHD navale est simple. Il consiste à utiliser
des forces électromagnétiques pour propulser des navires. Ces forces de Laplace sont
issues de l’interaction entre un champ magnétique, crée par des bobines
supraconductrices et des courants électriques circulant dans l’eau de mer. Ainsi,
l’énergie électrique, fournie par des groupes électrogènes embarqués à bord, est
directement transformée en énergie mécanique [11].
La magnétohydrodynamique (MHD) permet une propulsion directe des navires par
réaction en supprimant l’hélice et toute pièce mécanique mobile d’entraînement.
L’action combinée dans l’eau de mer, d’un champ magnétique et d’un champ électrique
développe un champ de forces électromagnétiques volumiques que l’on appellera force
MHD. Le Yamato 1 est un démonstrateur technologique civil japonais de navire à
propulsion électromagnétique (utilisant les principes de la magnétohydrodynamique)
conçu à partir de 1985 et réalisé au début des années 1990. Il se déplace silencieusement
jusqu'à une vitesse de 8 nœuds (15 Km/h) par réaction et sans hélice, grâce à un
accélérateur MHD aspirant à l'avant l'eau de mer, naturellement conductrice de
l'électricité, et la rejetant à l'arrière Figure (1.9) [11].
Figure (1.9) : Le yamato1 dans la baie de KÖBE [11]
- 19 -
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
1-8 Applications de la magnétohydrodynamique à la métallurgie
Dans ce cas, les forces magnétiques doivent être suffisantes (proportionnelles à la
conductivité) pour mettre le métal liquide en mouvement (brassage), le maintenir en
sustentation (lévitation), le façonner (formage), le pulvériser (pulvérisation).
Le champ magnétique fluctuant agit sur le fluide par l’intermédiaire de la force de
⃗⃗en fonction de l’application désirée [12], [11].
Laplace 𝐽⃗𝐵
1-8-1 Brassage électromagnétique
Les brasseurs électromagnétiques, tout comme les pompes électromagnétiques, ont la
particularité de ne pas posséder de parties mobiles. Par brassage, ils entraînent
l’élimination de bulle, d’impuretés et aussi l’accélération du mélange (par turbulence)
lors de réactions métallurgiques (fabrication d’alliages).
1-8-2 Lévitation
Les procédés de lévitation utilisés par la MHD permettent de résoudre trois
problèmes à la fois
1) L’absence de contact entre la charge et le creuset évite la contamination du métal
par la paroi
2) L’échauffement de la charge par effet Joule peut en causer la fusion
3) Le brassage interne du fluide formé produit un mélange efficace des constituants
(alliages) [10].
1-8-3 Formage
Le formage électromagnétique consiste à façonner des masses métalliques en
lévitationmagnétique par l’action de champs magnétiques qui modèlent la surface libre
désirée. Cette technique a l’avantage d’éviter le chauffage et le reformage après
solidification.
- 20 -
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
1-8-4 Pulvérisation
La technique électromagnétique permet la fabrication de poudres de tailles
moyennes (≈100m) avec un débit massique élevé. De plus, l’ajustement de la
granulométrie est facile et automatique.
Le freinage des métaux peut être aussi assurée par des convertisseurs linéaires à
induction appelés vannes électromagnétiques ou robinets électromagnétiques. Il en est
de même pour lamesure des vitesses d’écoulement qui peut être effectuée à l’aide des
débitmètres électromagnétiques [10].
1-9 Application biomédical
La MHD a permet de développer une technique nouvelle permettant de bouger des
espèces ioniques en présence à la fois de champs magnétique et électrique.
Les micros pompes MHD contrôlent le flux à l’intérieur du système micro fluidique
en générant une différence de pression le long du micro canal, proportionnelle à
l’intensité du courant électrique et au champ magnétique. Pomper des solutions
électrolytiques avec la MHD implique la génération de courants continu (DC) dans tels
environnements [9].
Figure (1.10) : Micro pompe à conduction(à aimant permanent) [10].
- 21 -
Chapitre I
Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD)
1-10 Conclusion
Une description générale des convertisseurs MHD ainsi que leurs principes
defonctionnement ont été donnés dans ce chapitre. Les phénomènes électromagnétiques
et leur formulation fera l’objet du deuxième chapitre.
- 22 -
Chapitre II
Formulations Mathématiques Des
Phénomènes Electromagnétiques
Chapitre II
Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques
2-1 Introduction
Les phénomènes électromagnétiques étudiés au sein des dispositifs électrotechniques
sont régis par les équations de Maxwell et les équations caractéristiques du milieu.
La connaissance du champ électromagnétique permet d’avoir accès au calcul des
performances globales et au détail des conditions de fonctionnement de tout appareil
électromagnétique que ce soit en régime permanent ou transitoire[1].
Les équations de la physique fondamentale qui régissent un tel domaine sont
appelées équations de Maxwell. Elles sont constituées par un ensemble des équations
différentielles linéaires, appliqués à un certain nombre de grandeurs physiques appelées
électromagnétiques [3].
2-2 Analyse des phénomènes électromagnétiques
2-2-1 Phénomènes électromagnétiques
L’effet du champ électrique ou magnétique (ou de leur combinaison) détermine le
fonctionnement des machines tournantes, des pompes et des transformateurs.
En effet, on peut déduire du champ magnétique les valeurs des flux, des forces
électromotrices (dans les générateurs), des couples d’entrainement (dans les moteurs) et
des forces d’évacuation du fluide dans les pompes[11].
2-3 Equations générales de Maxwell
Les quatre équations de Maxwell sont à la base de tout phénomène électrique et
magnétique. Elles sont aussi fondamentales en électromagnétismes que les lois de
Newton en mécanique[1].
Quatre grandeurs vectorielles caractérisent le champ électromagnétique. Ces
grandeurs, qui dépendent de l’espace et du temps sont le champ électrique⃗⃗⃗⃗
E, le champ
⃗⃗ et l’induction électriqueD
⃗⃗.
magnétique⃗⃗⃗⃗
H, l’induction magnétiqueB
- 24 -
Chapitre II
Afin
Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques
d’expliquer
le
principe
opérationnel
de
base
des
pompes
magnétohydrodynamique, la structure schématique de la pompe proposée est montrée
dans (figure (2.1)).
Elle est constituée d’un circuit magnétique sous forme de tore, deux bobines, deux
électrodes et un canal où circule un fluide supposé incompressible.
Dans la pompe les forces de pompage proviennent des forces de Laplace induites par
l’intermédiaire entre un champ magnétique appliqué et des courants électriques [7].
Figure (2.1) : Configuration proposée de pompe MHD à conduction [9].
Dans le domaine des machines électriques, les équations de Maxwell ont été
intégrées de manière très simplifiée. Sous forme différentielle elles peuvent être décrites
comme suit[9]:
2-3-1 Equation de Maxwell-Gauss
div ⃗D⃗ = ρ
(2.1)
Une charge électrique est source d’un champ électrique ; autrement dit, les lignes de
champs électriques commencent et se terminent autour des charges électriques [9].
- 25 -
Chapitre II
Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques
2-3-2 Equation de Maxwell-Faraday
⃗⃗⃗
∂B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
rot⃗E = − ∂t
(2.2)
Cette équation exprime le couplage électrique et magnétique en régime dynamique
et où la variation temporelle de ⃗B⃗ détermine le⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
rot⃗⃗⃗⃗⃗
E, mais ceci ne suffit pas pour
déterminer complètement⃗⃗⃗⃗
E[9].
2-3-3 Equation de conservation du flux magnétique
⃗⃗ = 0
divB
(2.3)
Cette relation traduit mathématiquement le fait que les seules sources de champ
magnétique sont les courants électriques, et il n’existe pas de charge magnétique ; c’est
pourquoi les lignes du champ sont toujours fermées sur elles-mêmes. Elles forment des
boucles. Ces boucles n’ont ni point de départ, ni point d’arrivée, ni point de
convergence, d’où la nomination d’induction conservative (champ conservatif) [9].
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ = ⃗JC + ∂D
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗H
rot
∂t
(2.4)
Où :
⃗D⃗ :Vecteur induction électrique (déplacement électrique) [C/m2],
⃗ : Vecteur champ électrique [V/m].
E
⃗B⃗: Induction magnétique [T].
⃗H
⃗⃗ : Vecteur champ magnétique [A/m].
⃗JC : Densité de courant de conduction électrique [A/𝑚2 ].
⃗⃗⃗
∂D
Le terme ∂t exprime la densité de courant de déplacement négligeable [A/𝑚2 ]. Pour
définir complètement les phénomènes électromagnétiques à l’intérieur d’un milieu, on
rajoute les lois de comportement des milieux ainsi que la loi d’ohm généralisée: [3] .
- 26 -
Chapitre II
Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques
⃗⃗ = μH
⃗⃗⃗
B
(2.5)
⃗⃗⃗ = εE
⃗⃗
D
(2.6)
⃗⃗
⃗ji = σE
(2.7)
σ : Conductivité électrique [(Ω.m) −1].
Ji : Densité des courants induits [A/𝑚2 ].
ε : Permittivité électrique [F/m]. (ε = εo. εr).
μ : Perméabilité magnétique [H/m], (μ = μo. μr).
A ces équations, doit être associée la loi d’Ohm généralisée :
⃗Jc = ⃗Jex + σE
⃗⃗ + σ(v
⃗⃗)
⃗⃗˄B
(2.8)
⃗⃗ : Vecteur vitesse du fluide [m/s].
v
⃗Jex : densité surfacique éventuelle de courant
⃗⃗) : Densité des courants induits par mouvement [A/𝑚2 ].
σ(v
⃗⃗˄B
La loi d’ohm généralisée régit la densité du courant électrique dans un milieu en
mouvement soumis à un champ électromagnétique.
D’après les équations de Maxwell et la loi d’Ohm généralisée, il apparaît que le champ
⃗⃗ est une grandeur électromagnétique fondamentale, puisque les autres
magnétique Β
⃗⃗etJ⃗ s’en déduisent simplement.
grandeurs comme Ε
Il est possible d’exprimer avec une seule équation, l’évolution du champ magnétique en
prenant en compte le champ électrique et la densité du courant [3].
- 27 -
Chapitre II
Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques
2-4 Hypotheses simplificatrices
Pour
déterminer
le
modèle
mathématique
qui
régit
les
phénomènes
électromagnétiques dans la pompe MHD à conduction, certaines hypothèses
simplificatrices sont à proposer :
 Les matériaux à utiliser sont à propriétés isotropes donc ⃗D⃗ est lié à⃗⃗⃗⃗
E, ⃗Β⃗ est lié
⃗⃗ et la source de courant ⃗J est liée à ⃗E⃗ avec la direction du champ dans
à ⃗H
chaque paire est aligné.
 Les courants de déplacement
⃗⃗
𝜕𝐷
𝜕𝑡
⃗⃗⃗ dans le cadre
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗H
sont négligés devant⃗⃗⃗Jc et rot
de l’approximation quasi-statique.
 La densité volumique de charge est considérée nulle [3].
2-5 Formulation des équations électromagnétiques
Les
équations
de Maxwell
décrivent
globalement
tous
les
phénomènes
électromagnétiques, mais, suivant les dispositifs que l’on étudie, on peut avoir plusieurs
modèles.
a.
Le Modèle électrostatique
⃗⃗est produit par des charges stationnaires qui ne varient
Dans ce modèle, le champ E
pas en termes de répartition. Ce modèle est régit par les équations suivantes [3]
⃗⃗) = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗(E
rot
{div(D
⃗⃗⃗) = ρ
(2.9)
⃗D
⃗⃗ = εE
⃗⃗
Car :
⃗⃗⃗
∂B
∂t
=0
⃗⃗) = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗(E
La relation : rot
permet de définir une fonction auxiliaire U appelée
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U
potentiel scalaire électrique, tel que: ⃗E⃗ = −grad
Ce modèle se ramène alors à l’équation suivante :
- 28 -
Chapitre II
Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ U) + ρ = 0
div(ε grad
b.
(2.10)
Le Modèle électrocinétique
Ce modèle est utilisé dans l’étude de la répartition du courant électrique de
conduction dans des conducteurs isolés soumis à des différences de potentiel continues.
Il est régit par les équations[3].
⃗⃗) = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗(E
rot
{div (J⃗) = 0
(2.11)
⃗J = σ E
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
La relation: rot
E = 0 montre qu’il existe encore un potentiel électrique scalaire U
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U
⃗⃗ = −grad
(tension électrique), tel que : E
Le modèle se ramène alors à [9]
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(U)) = 0
div(σgrad
c.
(2.12)
Modèle magnétostatique
Dans ce modèle, le terme
𝜕𝐵
𝜕𝑡
est nul. Ceci s’explique par le fait que le champ
magnétique est produit par des sources indépendantes du temps, [3].
d.
Modèle magnétodynamique
Ce modèle s’applique aux dispositifs électromagnétiques dans lesquels les sources de
courant ou de tension varient dans le temps. C’est à dire que le terme
⃗⃗⃗
∂B
∂t
n’est pas nul,
les champs électriques et magnétiques sont alors couplés par la présence des courants
induits[3], [11].
Pour représenter l’état électromagnétique en un point, on doit alors faire recourt au
⃗⃗ = 0 ; les avantages présentés par ce type de formulation
potentiel vecteur⃗⃗⃗⃗
A car div B
sont nombreux :
- 29 -
Chapitre II
Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques

C’est la plus utilisée et elle réduit le nombre d’inconnues

Elle permet d’imposer des sources électriques par les bobines
La connaissance de toute autre grandeur physique peut être déduite [3,11].
⃗⃗ est un champ
La première équation indique que l’induction magnétique B
rotationnel. Ceci implique qu’il existe un potentiel vecteur magnétique⃗⃗⃗⃗
A tel que [11] :
B = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
rot⃗⃗⃗⃗
A
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
{ rotH = ⃗J
⃗⃗⃗
⃗ = − ∂B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗E
rot
(2.13)
∂t
A ces équations, nous ajoutons
les lois caractéristiques par le milieules équation
(2.5) et (2.6)
C’est à partir de ces équation de base de ce modèle que nous pouvons déterminer
l’équation décrivant l’évolution des prénomment électromagnétique. L’utilisation de
ce modèle est très répondue dans l’étude des machines électriques, des transformateurs,
etc.……. [3].
2-6 Formulation en termes de potentiel vecteur magnétique
A partir de l’équation du flux magnétique, on définit le potentiel vecteur magnétique
⃗A⃗par l’équation suivante [3].
⃗⃗.
⃗⃗⃗⃗ = rot
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A
B
En effet, puisque le rotationnel du gradient de toute fonction scalaire U est nul, donc,
⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A⃗ , d’où la nécessité d’imposer
tout vecteur (A
grad U) satisfait la relation⃗⃗⃗⃗
B = rot
une condition de Jauge afin d’assurer l’unicité de la solution. Nous proposons d’utiliser
⃗⃗ = 0.
la Jauge de Coulombdiv A
Dans le cas général, il existe une infinité de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
A pouvant satisfaire la relation
⃗⃗.
⃗⃗ = rot
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A
B
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
∂B
∂(rotA)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (∂A)
rot⃗E⃗ = − ∂t = − ∂t = −rot
∂t
(2.14)
- 30 -
Chapitre II
Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques
Ce qui implique que :
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗ + ∂A) = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗E⃗ + rot
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∂A = 0 rot
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (E
rot
∂t
∂t
⃗⃗⃗
⃗⃗ + ∂A)
Le champ (E
∂t
(2.15)
de l’équation (2.15) est conservatif, donc a partir de cette
relation, on peut définir un potentiel scalaire U tel que:
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U
⃗⃗ + ∂A = −grad
E
∂t
(2.16)
On a aussi :
⃗⃗⃗
∂A
⃗J = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ Donc σE
⃗⃗ = ⃗J − ⃗⃗⃗⃗⃗
Jex + σE
Jex = −σ( ∂t + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
grad U)
(2.17)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D’autre part, on a : rot
H = ⃗J
⃗⃗⁄μ ) = ⃗J = 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗(B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A⃗)
Mais⃗⃗⃗⃗
H = ⃗B⃗⁄μ rot
rot (rot
μ
(2.18)
⃗⃗⃗
∂A
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U) + σ(V
⃗⃗) = ⃗Jex − σ( + grad
⃗⃗˄B
⃗⃗)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗(rot
⃗⃗⃗⃗⃗⃗A
Donc :μ rot
∂t
(2.19)
⃗⃗⃗
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U
⃗⃗˄B
⃗⃗) = ⃗Jex − σgrad
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A⃗) + σ ∂A − σ(V
μ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
rot(rot
∂t
(2.20)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ + σ(V
⃗⃗˄ B
⃗⃗)J⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
Jind = σE
Jex + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Jind
(2.21)
⃗⃗⃗
∂A
⃗⃗˄B
⃗⃗) représentent les densités des courants induits. Ils
Les termes σ ( ∂t ) et σ(V
traduisent le caractère dynamique dans le temps et dans l’espace des phénomènes
électromagnétiques; pour la pompe MHD à conduction proposée, le champ magnétique
imposé est constant ; donc le premier terme ’annule.
⃗⃗⃗
∂A
∂t
= 0 Puisque la pompe est
alimente avec courant continu [11].
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U) = ⃗⃗⃗
Le terme −σ(grad
Ja décrit la densité du courant imposée à travers les
électrodes. U représente le potentiel scalaire électrique en Volts [11].
- 31 -
Chapitre II
Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques
Pour pouvoir résoudre l’équation (2.20), on ajoute une autre équation pour que la
⃗⃗ (jauge de Coulomb) :
solution soit unique. On fixe la divergence de A
div ⃗A⃗ = 0
(2.22)
Le modèle électromagnétique de la pompe sera comme suit :
{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U − σ(V
⃗⃗) + σgrad
⃗⃗˄B
⃗⃗) = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1 rot
⃗⃗⃗⃗⃗⃗A
rot
Jex
μ
(2.23)
div ⃗A⃗ = 0
2-7 Formulation en coordonnées cylindriques
Une grande partie des problèmes magnétiques peut être traitée en bidimensionnel, ce
qui est le cas pour notre problème, l’existence des deux types de systèmes
bidimensionnels : ceux infiniment longs alimentés suivant une direction (oz), ceux à
symétrie de révolution alimentés selon la direction (oφ).
Dans une configuration axisymétrique (coordonnées cylindriques (r, φ, z)), la
formulation utilisant le potentiel vecteur offre l’intérêt suivant: Lorsque le courant
d’excitation est orienté suivant la direction φ, le système présente une seule inconnue, la
composante ortho radiale (𝐴𝜑 ) du vecteur⃗⃗⃗⃗
𝐴.
Dans une telle configuration, les courants sont perpendiculaires au plan d’étude [11]
Les composantes des différentes grandeurs électriques et magnétique sart :
0
0
0
Br
Hr
⃗J [Jφ ] ; ⃗E⃗ [Eφ ] ; ⃗A⃗ [Aφ ] ; B
⃗⃗ [ 0 ] ; ⃗H
⃗⃗ [ 0 ] ;
Bz
Hz
0
0
0
(2.24)
Sachant qu’en coordonnées cylindriques, les coordonnées de⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑜𝑡 𝐴⃗ sont :
−
⃗⃗ = {
⃗⃗⃗⃗⃗⃗A
rot
∂Aφ
∂z
0
(2.25)
1 ∂(rAφ )
r
∂r
- 32 -
Chapitre II
Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques
Après développements en coordonnées cylindriques, l’équation (2.23) devient :
1
− [
∂ ∂Aφ
μ ∂z ∂z
+
∂
(
1 ∂(rAφ )
∂r r
∂r
σ
∂(rAφ )
r
∂z
)] + vz
= 𝑗𝑒𝑥 + j𝑎
(2.26)
En introduisant la transformation 𝐴 = 𝑟𝐴𝜑 , on obtient :
1
[
∂ 1 ∂A
μ ∂z r ∂z
+
∂
(
1 ∂A
∂r r ∂r
σ
∂A
r
∂x
)] − vz
= −𝑗𝑒𝑥 − j𝑎
(2.27)
C’est une équation aux dérivées partielles, décrivant le comportement d’un dispositif
cylindrique axisymétrique. Sous l’hypothèse que les matériaux sont linéaires et que les
sources d’alimentation sont constantes [11].
2-8 Conclusion
Ce chapitre a été consacré aux formulations mathématiques des phénomènes
électromagnétiques présents dans les dispositifs électrotechniques. Des modèles
mathématiques ont été établis dans leurs formes générales.
Dans notre travail, nous avons opté pour le modèle électromagnétique avec la
formulation en potentiel vecteur magnétique ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴 pour des raisons cité précédemment.
Dans le chapitre suivant on présentera la modélisation de la pompe à conduction par
la modélisation des volumes finis.
- 33 -
Chapitre III
Modélisation Numérique De La
Pompe à Conduction Par La
Méthode Des Volumes Finis
Chapitre III
Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par
La Méthode Des Volumes Finis
3-1 Introduction
Dans le chapitre précédant, nous avons établi les équations aux dérivées partielles
décrivant les systèmes électromagnétiques. La résolution de ces équations par les
méthodes analytiques est impossible dans le cas général où la géométrie des dispositifs
étudiés est complexe, et où les matériaux ont des propriétés magnétiques non linéaires.
Seules des méthodes numériques sont possible. Parmi ces méthodes on peut citer : La
méthode des différences finies MDF, la méthode des éléments finis MEF et la méthode
des volumes finis MVF. Dans ce cas, au lieu de résoudre l’équation de façon continue,
on discrétise le potentiel vecteur en un nombre fini de points dans le domaine d’étude.
L’objectif de ce chapitre est la modélisation de la pompe à conduction par la méthode
des volumes finis.
3-2 Méthodes numériques
Les méthodes numériques sont utilisées avec succès dans la plupart des problèmes de
la physique. Néanmoins chacune d’elles a son domaine d’application privilégié.
Une description rapide de ces méthodes numériques va nous permettre de déterminer
les liens qui existent entre les caractéristiques de ces dernières. C’est sur cette base que
s’est effectué notre choix des méthodes numériques pour la modélisation des
phénomènes électromagnétique de la pompe MHD [11].
3-2-1 Méthodes des différences finies (MDF)
La MDF est basée sur la discrétisation du domaine d’étude et le développement
limitéen série de Taylor de la fonction à déterminer en chacun des nœuds du maillage.
Ainsi,l’équation différentielle est transformée en équation algébrique en chacun des
nœuds. L’écriture de cette transformation pour tous les nœuds du maillage conduit à un
système algébrique dont la solution permet d’obtenir la distribution de l’inconnue dans
le domaine d’étude.
Cette méthode s’adapte mal aux objets de géométries complexes à cause de la
rigidité du maillage. D’autre part, la mise en compte des conditions de symétrie, de
- 35 -
Chapitre III
Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par
La Méthode Des Volumes Finis
passage d’un milieu physique à un autre (fer, air, etc.,..) et des non linéarités (saturation)
nécessite un traitement spécifique [14,15,16].
3-2-2 Méthode des éléments finis (MEF)
La méthode des éléments finis (MEF) est utilisée pour la résolution des
équationsdifférentielles dans le domaine des sciences des ingénieurs.Le principe de la
méthode consiste à subdiviser le domaine d’étude en régions élémentaires (éléments
finis) et à représenter l’inconnue par une approximation polynomiale dans chacune de
ces régions, ensuite, l’erreur due à l’approximation doit être minimisée. La MEF est une
méthode très puissante pour la résolution des équations différentielles surtout dans les
géométries complexes. Sa mise en œuvre par contre, est assez compliquée et demande
une place mémoire assez importante [17,18 ,19].
3-2-3 Méthode des intégrales de frontières (MIF)
Lorsqu’on utilise la MDF ou la MEF, on calcule les variables inconnues dans tout le
domaine. La MIF permet de ramener le maillage à la frontière du domaine. Ainsi, le
calcul des valeurs de l’inconnue sur les frontières du domaine suffit pour obtenir la
solution en tout point du domaine. Pour ramener le problème sur les frontières, la MIF
utilise le théorème d’Ostrogorski - Green. Cette méthode peut être intéressante pour
l’étude de structure en 3D ou lorsque l’air ou les milieux passifs occupent une grande
partie du domaine d’étude.
Cependant, cette méthode a l’inconvénient de conduire à un système algébrique
àmatrice pleine (pas de termes nuls). Ceci augmente le temps utilisateur [20, 21, 22].
3-2-4 Méthode des volumes finis (MVF)
La méthode des volumes finis (MVF) est très appliquée pour les problèmes de la
mécanique des fluides. La discrétisation des équations aux dérivées partielles s’opère à
partir d’une forme conservative pour chaque volume de contrôle par une technique qui
ressemble à la méthode des différences finies. Donc le principe de conservation est
imposé au niveau de chaque volume de contrôle contrairement à la méthode des
éléments finis où les principes de conservation sont vérifiés uniquement de manière
- 36 -
Chapitre III
Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par
La Méthode Des Volumes Finis
globale. Cette méthode est simple à développer et moins coûteuse que la méthode des
éléments finis [23].
Le domaine d’étude dans cette méthode est subdivisé en volumes élémentaires de
telle manière que chaque volume entoure un nœud du maillage. L’équation est intégrée
sur chacun des volumes élémentaires. Pour calculer l’intégrale dans ce volume
élémentaire, la fonction inconnue est représentée à l’aide d’une fonction
d’approximation entre deux nœuds consécutifs. Ensuite, la forme intégrale est
discrétisée dans le domaine d’étude. Cela conduit à une solution plus précise que la
méthode des différences finis (MDF). Ces méthodes sont particulièrement bien adaptées
à la discrétisation spatiale des lois de conservation [23, 24].
3-3 Conditions aux limites et conditions d’interfaces
Pour que le problème soit complètement défini, il faut déterminer les conditions aux
limites sur les frontières du domaine, ainsi que les conditions de passage entre les
différents milieux constituant ce domaine.
3-3-1 Conditions aux limites
On distingue essentiellement deux types de conditions aux limités, dans les
problèmes de champs électromagnétiques formulés en termes de vecteur potentiel:
 Conditions aux limites de Dirichlet (A=A0) : dans ce cas, le vecteur potentiel

magnétique A est constant sur la frontière, ce qui veut dire que l’induction magnétique
est parallèle à ce contour qui présente alors une équipotentielle. Cette condition
auxlimites peut se présenter aussi sur les plans ou les axes polaires(dans ce cas on se
limite à mailler une partie du domaine).
 Elle est utilisée dans le cas où le système à étudier présente des plans de
symétrie. La condition de Neumann homogène (∂A/∂n=0) : on la trouve sur les plans où
les axes de symétrie magnétique (axes inter polaires par exemple). Sur cette frontière,
les lignes de l’induction magnétique sont normales. De même, lorsque ce type de
conditions aux limites apparait sur des axes d’antisymétrie, le maillage est limité à une
portion du domaine.
- 37 -
Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par
La Méthode Des Volumes Finis
Chapitre III
3-3-2 Conditions d’interfaces
Dans le cas général, un dispositif électrotechnique comporte des milieux différents
(fer, air, cuivre, …etc.). Alors, avant d’aborder la résolution du problème, il est
nécessaire de connaitre le comportement des champs électromagnétiques à travers
l’interface entre les différents milieux. Les conditions de passage aux frontières de
l’interface 12 entre deux milieux de propriétés physiques différentes d’indices 1 et 2
portent sur les continuités et discontinuités des différentes composantes normales et
tangentielles des grandeurs électromagnétiques :
Conservation de la composante tangentielle du champ électrique :



( E2  E1 )  n  0
(3.1)
Conservation de la composante normale de l’induction magnétique :



( B2  B1 ). n  0
(3.2)
Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique due aux
courants surfaciques s’ils existent :




( H 2  H1 )  n  J ex
(3.3)
Discontinuité de la composante normale de l’induction électrique due aux
charges surfaciques si elles existent :



( D2  D1 ). n   s
(3.4)
avec

n : normale à la surface;

J ex : densité surfacique éventuelle de courant;
 s : densité de charge surfacique à l’interface.
- 38 -
Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par
La Méthode Des Volumes Finis
Chapitre III
3-4 Mise en œuvre de la méthode des volumes finis
La méthode des volumes finis a été choisie pour la résolution des équations
électromagnétiques. Le domaine d’étude est divisé en un nombre d’éléments figure
(3.1).Chaque élément contient quatre nœuds du maillage. Un volume fini entoure
chaque nœud du maillage. Dans cette méthode, chaque nœud principal ‘P’( le centre du
volume de contrôle) est entouré par quatre nœuds N,S,E, et W qui sont les centres des
volumes de contrôles adjacents situés respectivement au Nord, Sud, East et Ouest de
celui contenant ‘P’, [23].
Figure (3.1) : Maillage du domaine d’étude [11]
L’équation différentielle est intégrée sur chaque volume. Un profil choisi exprimant
la variante ⃗A⃗ entre les nœuds est utilisé pour évaluer l’intégrale. Le résultat de
⃗⃗d’un ensemble de nœuds.
discrétisation est une équation qui lie les valeurs deA
L’équation discrétisée de cette façon exprime le principe de conservation pour ⃗A⃗ dans
l’élément de volume. La solution obtenue est constituée uniquement par les valeurs
nodales, figure (3.2).
Figure (3.2) : Discrétisation avec la méthode des volumes finis [11]
- 39 -
Chapitre III
Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par
La Méthode Des Volumes Finis
La méthode des volumes finis consiste donc à :
Décomposer la géométrie en mailles élémentaires (élaborer un maillage) .
⃗⃗ sur le domaine de calcul.
Initialiser la grandeur A
Lancer le processus d’intégration temporelle jusqu’à la convergence.
3-5 Etude du modèle électromagnétique par la mèthode des volume
finis
Pour discrétiser l’équation (2.27), le domaine d’étude est subdivisé en un nombre fini
de nœuds. Ce domaine est ensuite divisé en mailles rectangulaires dont chacune contient
un nœud, comme il est indiqué sur la figure (3.2).
La projection de l’équation (2.26) sur une base de fonction de projection βi et son
intégration sur le volume fini, correspondant au nœud P, donne

z r
i
 A
1  1 A
 1 A
[ (
) (
)]rdrdz     i [ ( z
)]rdrdz     i ( J ex  J a )rdrdz
r r r
r z
z r
z r
 z r z
(3.5)
1
βi est la fonction de projection choisie égale à . Après substitution de
r
l’expressionde β i , l’équation (3.5) se présente sous la forme suivante :
1  1 A
 z A
 1 A
   [ z ( r z )  r ( r r )]drdz    [ ( r
z r
z r
z
)]drdz    ( J ex  J a )drdz
(3.6)
z r
L’intégrale de l’équation (3.5) sur le volume fini, délimité par les frontières(e, w, n et s)
est
1  1 A
 1 A

 A
[(
) (
)]drdz   [ ( z )]drdz   ( J ex  J a )drdz

 z r z r r r
r
r z
s w
s w
s w
n e
n e
n e
(3.7)
Après intégration, et on prenant un profil linéaire, l’équation algébrique finale est de
la forme :
a P AP  a E AE  aW AW  a N AN  a s AS  (a N' AN  a S' AS )  d 0
- 40 -
(3.8)
Chapitre III
Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par
La Méthode Des Volumes Finis
z

a E   r ( )
E
r E

z

aW   r ( )

W
r W
Avec : 
r
a 
N

 z N ( z ) N

r
a 
S

 z S ( z ) S
(3.9)
aP  aE  aW  aN  aS
(3.10)
d 0  ( J ex  J a )rz
(3.11)
L’équation obtenue est une équation algébrique reliant l’inconnue au nœud principal
‘P’ aux inconnues aux nœuds voisins «W», «E», «S», «N». Si le problème est linéaire,
le système d’équations peut être résolu par une méthode itérative. La forme matricielle
de ce système d’équation s’écrit sous la forme :
M  LA  F
(3.12)
Où :
M   L: Matrice coefficients,
A: Vecteur inconnu,
F : Vecteur source.
L’écoulement d’un fluide est influencé par les phénomènes électromagnétiques via
les forces de Laplace. Ces dernières expriment l’interaction entre les champs
magnétiques et les courants électriques [25]:
  
 F  J in  B




 J in  J a   (V  B )
(3.13)
En tenant compte des conditions aux limites dont les plus courantes sont les
conditions de Dirichlet et de Neumann données sur les frontières du domaine à étudier.
Pour le problème traité, l’équation électromagnétique est résolue en posant A = 0 sur les
frontières du domaine de résolution et celle de Neumann.
- 41 -
Chapitre III
Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par
La Méthode Des Volumes Finis
3-6 Conclusion
Le présent chapitre a été consacré à la présentation de quelques méthodes
numériques d’approximation pour la résolution des problèmes électromagnétiques en
tenant compte du type de problème.
Dans le cadre de notre travail, la méthode numérique retenue est celle des volumes
finis et cela pour deux raisons : la première est qu’elle est facile à concevoir
contrairement à la MEF et la deuxième est qu’elle peut être appliquée à des géométries
complexes contrairement à la MDF.
- 42 -
Chapitre IV
Application et résultats
de la simulation numérique
Chapitre IV
Application et résultats de la simulation numérique
4-1 Introduction
Après
avoir
exposé
les
formulations
mathématiques
des
problèmes
électromagnétiques dans les pompes MHD, on présente dans ce qui va suivre les
résultats de simulation du modèle électromagnétique à partir d’un code de calcul
bidimensionnel (2D). Le code en question permet d’étudier les phénomènes
électromagnétiques dans la pompe magnétohydrodynamique (MHD) par l’application
de la méthode des volumes finis.
4-2 Description du prototype MHD à conduction
Afin
d’expliquer
le
principe
opérationnel
de
base
des
pompes
magnétohydrodynamiques, la structure schématique de la pompe proposée est montrée
dans les figures (4.1) et (4.2).
Elle est constituée d’un circuit magnétique sous forme de tore, deux bobines, deux
électrodes et un canal où circule un fluide supposé incompressible. Dans la pompe les
forces de pompage sont les forces de Laplace induites par l’intermédiaire d’un champ
magnétique appliqué et des courants électriques. En raison de la symétrie géométrique,
seulement le quart du domaine a été pris en compte pour le calcul numérique.
Le principe de fonctionnement est basé sur l’application d’un champ magnétique
permanent et constant, (produit par un enroulement inducteur), et croisé par un courant
continu qui est amené dans le fluide par des électrodes pour créer une force de La place
qui assure le pompage et le déplacement du fluide.
Figure (4.1) : Configuration proposée de pompe MHD à conduction
- 44 -
Chapitre IV
Application et résultats de la simulation numérique
0.18
0.16
A=0
0.14
0.12
⃗⃗
𝛛𝐀
=𝟎
𝛛𝐧
Electrode
0.1
Circuit magnétique
0.08
A=0
0.06
Canal
0.04
Bobines
A=0
0.02
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
[cm]
Figure (4.2) : Géométrie de la pompe MHD à conduction

la longueur du canal 0.18 m

le rayon du canal 0.03m

la largeur de l’électrode 0.01m

la longueur du l’inducteur 0.1m

la largeur du l’inducteur 0.07m

la longueur de la bobine 0.03m

la largeur de la bobine 0.03m

le nombre d’électrodes : 2

le nombre de bobines : 2

la densité du courant d’excitation Jex= 4.106 A/ 𝑚2

la densité du courant injectée par les électrodes Ja = 4.106 A/ 𝑚2
Les paramètres caractéristiques du mercure sont :
1- Conductivité σ = 1.07.106 (Ω. 𝑚)−1
2- Perméabilité relative 𝜇𝑟 = 1.55
- 45 -
Chapitre IV
Application et résultats de la simulation numérique
4-3 Application et résultats de la modélisation numérique (volumes finis)
Un code de calcul à base des volumes finis 2D est établi pour simuler le
comportementd’une pompe magnétohydrodynamique à conduction.
La figure (4.3) donne l’organigramme de la méthode des volumes finis.
Données physiques
Données numériques
•Pas de discrétisation
•Nombres de nœuds
Résolution de l’équation électromagnétique
Par la méthode des volumes finis
Test de
non
Convergence
Oui
Calcul de :
 Potentiel vecteur magnétique
 Induction magnétique
 Force électromagnétique
Fin
Figure (4.3) : Algorithme du modèle électromagnétique par la méthode des
volumes finis
- 46 -
Chapitre IV
Application et résultats de la simulation numérique
4-3-1 Potentiel vecteur magnétique
L’étude électromagnétique est consacrée à des simulations qui nous permettent de
donner une appréciation sur les grandeurs électromagnétiques précédemment décrites à
partir du modèle en potentiel vecteur magnétique développé au cours de ce chapitre.
Les figures (4.4a), (4.4b) représentent respectivement les lignes équipotentielles (la
distribution des lignes de champ) et le potentiel vecteur dans la pompe MHD. Sur
chacune de ces figures, on voit clairement que les valeurs maximales se trouvent aux
voisinages des deux bobines (sources d’excitations) ; le potentiel vecteur est moins
significatif à l’entrée de l’électrode qu’à la sortie. Cela s’explique par les
équipotentielles qui se concentrent à la sortie de l’électrode ; c’est à dire pour la bobine
d’entrée, les lignes de champs créées par l’électrode et cette dernière se retranchent par
contre les lignes de champs créées par l’électrode et la bobine de sortie s’additionnent.
Figure (4.4a) : Lignes équipotentielles dans la pompe MHD
- 47 -
Chapitre IV
Application et résultats de la simulation numérique
Figure (4.4b) : Distribution du potentiel magnétique dans la pompe
4.3.2 Présentation de l’induction magnétique
Les figures (4.5a) et (4.5b) représentent respectivement l’induction magnétique dans la
pompe en 3D et 2D. Elle présente des pics aux lieux de disposition des bobines.
Figure (4.5a) : Induction magnétique dans la pompe MHD
- 48 -
Chapitre IV
Application et résultats de la simulation numérique
Induction magnétique B[T]
1.5
1
0.5
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Z[m]
Figure (4.5b) : Induction magnétique dans la pompe MHD
4-3-3 Distribution de la force électromagnétique
La figure (4.6) montre la distribution de la force électromagnétique dans la pompe
MHD
5
7
x 10
3
Force électromagnétique [N/m ]
6
5
4
3
2
1
0
-1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Z[m]
Figure (4.6) : Force électromagnétique dans le canal de la pompe MHD
- 49 -
Chapitre IV
Application et résultats de la simulation numérique
4-4 Introduction d’un noyau ferromagnétique à l’intérieur du canal
Dans le but d’améliorer les performances de la pompe MHD, on a introduit un noyau
ferromagnétique à l’intérieur du canal. Une étude électromagnétique a été effectuée et
les résultats des simulations obtenus sont présentés : La figure (4.7) représente la
géométrie avec un noyau ferromagnétique.
0.18
0.16
A=0
0.14
Electrode
0.12
0.1
Circuit magnétique
𝜕𝐴
=0
𝜕𝑛
A=0
0.08
0.06
Canal
0.04
A=0
Bobines
0.02
Noyau ferromagnétique
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
[cm]
Figure (4.7) : Géométrie de la pompe MHD avec noyau ferromagnétique
- 50 -
0.18
Chapitre IV
Application et résultats de la simulation numérique
4-4-1Distribution du potentiel vecteur magnetique
Les figures (4.8a) et (4.8b) représentent les lignes équipotentielles et la répartition du
potentiel vecteur dans la pompe en présence d’un noyau ferromagnétique.
0.18
0.16
0.14
z[m]
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
r[m]
Figure (4.8a) : Lignes équipotentielles dans la pompe MHD avec noyau
ferromagnétique
Figure (4.8b) : Potentiel vecteur magnétique dans la pompe MHD avec noyau
ferromagnétique
- 51 -
Chapitre IV
Application et résultats de la simulation numérique
4-4-2 Présentation de l’induction magnétique
La figure (4.9) représente l’induction magnétique dans la pompe MHD avec noyau
ferromagnétique. On constate une augmentation de l’induction électromagnétique dans
la pompe avce noyau ferromagnétique.
Figure (4.9) : Induction magnétique dans la pompe avec noyau ferromagnétique
- 52 -
Chapitre IV
Application et résultats de la simulation numérique
4-4-3 Distribution de la force électromagnétique
La figure (4.10) représente la force électromagnétique avec noyau ferromagnétique
Figure (4.10) : la force électromagnétique avec noyau ferromagnétique
4-5 Conclusion
Ce chapitre a été consacré à la présentation du code du calcul développé sous
environnement
MATLAB.
Des
résultats
de
modélisation
des
phénomènes
électromagnétiques sont présentés.
Une étude des performances de la pompe, a été faiteétudiée en introduisant un noyau
ferromagnétique à l’intérieur du canal. Les résultats obtenus montrent une amélioration
des performances de la pompe.
- 53 -
Conclusion générales
Conclusion générales
Conclusion générales
La magnétohydrodynamique (MHD) est une discipline scientifique qui décrit le
comportement d'un fluide conducteur du courant électrique (liquide ou gaz ionisé appelé
plasma) en présence de champs électromagnétiques. C'est une généralisation de
l'hydrodynamique (appelée plus communément mécanique des fluides, définie par les
équations de Navier-Stokes) couplée à l'électromagnétisme (équations de Maxwell).
Entre la mécanique des fluides « classique » et la magnétohydrodynamique, se situe
l'électro hydrodynamique ou mécanique des fluides ionisés en présence de champs
électriques (électrostatique), mais sans champ magnétique.
Dans ce travail on va étudie les phénomènes électromagnétique en 2D dans une
micro pompe MHD à conduction. Différentes caractéristiques telles que le potentiel
vecteur magnétique, l’induction magnétique la densité de courant, force magnétique
sant présenté
Une étude des performances de la pompe, a été étudiée en introduisant un noyau
ferromagnétique à l’intérieur du canal. Les résultats obtenus montrent une amélioration
des performances de la pompe.
Les perspectives :
Faire le modèle thermique et magnétohydrodynamique par volume finis et élément finis
-55-
Références bibliographiques
Références bibliographiques
[1]
L. Leboucher,
« Optimisation des Convertisseurs MHD à Induction : Problème Inverse en
Electromagnétisme », Thèse de Doctorat, Université de Grenoble, 1992.
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Université de BATNA .2006.
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Application Aux Systèmes d'Entrainement à Haute Vitesse », Thèse de
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S. Naceur, F. Z. Kadid, R. Abdessemed,
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volume method», article Serbian journal of electrical engineering.2015
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l’optimisation
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Convertisseurs
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Spectral
(MHD)
ElementMethod
Equations»,
for
AppliedNumerical
Résume :
Le travail présenté dans ce mémoire, consiste en une étude électromagnétique d’une
micro pompe magnétohydrodynamique à conduction .L’objectif essentiel de ce
travail, est la modélisation numérique du modèle électromagnétique de la pompe par
la méthode des volumes finis sous logiciel de simulation MATLAB. Les Différentes
caractéristiques électromagnétique sont presentées.
Mots-clés: Canal, Electrode, Magnétohydrodynamique (MHD), Méthode des
volumes finis (MVF), MATLAB.
Abstract :
The workpresented in thismemory, is an electromagneticstudy of a micro pump MHD
conduction. The essential objective of thisworkis the numericalmodeling of
electromagnetic model of the pump by the finite volume methods in MATLAB
simulation software. Variousfeaturessuch healthpresented.
Keywords:Canal, Electrode, MHD (MHD), finite volume method (FVM), MATLAB.
: ‫الملخص‬
MHD ‫العمل المقدم في ھذه األطروحة یتكون منالدراسة الكهرومغناطيسي لمضخة صغيرة التوصيل‬
‫لنموذج‬
‫الرقمية‬
‫العمل ھو النمذجة‬
‫لمختلف‬, MATLAB
‫ الهدف الرئيسي من ھذا‬.magnétohydrodynamique
‫باستخدام برنامج المحاكاة‬
‫كهرومغناطيسي للمضخة بطریقة الحجم المحدود‬
. ‫وأخيرا القوة الكهرومغناطيسية‬, ‫ التحریض المغناطيسي‬,‫الخصائص مثل ناقالت المغناطيسي‬
,(MVF(‫ طریقة الحجم المحدود‬,‫ قطب الكهربائي‬,‫ قناة‬,)MHD( ‫كهرودیناميكية‬: ‫الكلمات المفتاحية‬
.MATLAB
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