optique : travaux diriges n°1

A - OPTIQUE
• Chapitre I : Lois générales de l’optique géométrique
• Chapitre II : Miroirs et lentilles sphériques dans l’approximation
de Gauss
L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
Chapitre I : Lois générales de l'optique géométrique
I – historique
I-1) Modèle Géométrique
I-2) Modèle Ondulatoire
I-3) Modèle Corpusculaire
II – Le rayon lumineux
II-1) Faisceau lumineux, notion de rayon lumineux
II-2) L’approximation de l’optique géométrique
II-2-1) L’onde électromagnétique
II-2-2) Longueur d’onde de la lumière
II-2-3) L’approximation de l’optique géométrique
II-3) Propagation de la lumière dans les milieux matériels
II-3-1) Absorption et dispersion
II-3-2) Propagation en milieu homogène et non homogène
II-3-3) Indépendance des rayons lumineux
III – Les Lois de Descartes
III-1) Réflexion et réfraction d’un milieu lumineux
III-2) Lois de Descartes
III-3) Réfraction
III-4) Principe de retour inverse de la lumière
IV – Construction géométrique de Huygens
IV-1) Le rayon réfléchi
IV-2) Le rayon réfracté
V – Réflexion totale
V-1) Réfraction limite (n1<n2)
V-2) Réflexion totale (n1>n2)
V-3) Applications
Chapitre I : Lois générales de l'optique géométrique
L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
Introduction
L'optique est principalement l'ensemble des phénomènes perçus par l’œil. La cause de ces
phénomènes, la lumière, a été étudiée très tôt dans l'histoire des sciences, au point que tous les
principes peuvent sur lesquels reposent l’optique géométrique et l'optique ondulatoire sont connues
depuis le XIXème siècle.
Le but de ce chapitre va être dans un premier temps de voir sous quelles conditions les lois de
l'optique géométrique sont valables, ensuite nous poserons ces lois.
Mais dans un premier temps jetons un coup d’œil rapide sur l'historique de l'optique.
I – historique
I-1) Modèle Géométrique
Avant le XVIIème siècle, la nature de la lumière et sa propagation ne sont pas des questions
essentielles. Cependant des notions de rayons lumineux et de retour inverse de la lumière permette à
Euclide (300 ans av. J.-C.) de poser les bases de l'optique géométrique.
Il faut attendre le XIème siècle pour qu'Alhazen, physicien arabe attribue à la lumière une origine
extérieure à l’œil, définisse la notion d'images et interprète la formation des images dans l’œil.
Au XVIIème siècle, Descartes, Fermat et Newton donnent à l'optique géométrique sa véritable
grandeur ainsi Descartes énonce ces fameuses lois et propose un modèle corpusculaire, Fermat
propose une optique basée sur un principe de moindre action et Newton publie en 1704 « optics » où
ils présentent les lentilles, prismes et miroirs que nous verrons tout au long de ce cours.
I-2) Modèle Ondulatoire
Dès la fin du XVIIème siècle, Huygens suggéra une théorie ondulatoire de la lumière permettant
de retrouver les résultats de l'optique géométrique compatibles avec une vitesse de la lumière plus
grande dans l’air que dans les milieux matériels. La découverte, les siècles suivant des phénomènes
d'interférence de diffraction imposent cette théorie, suite aux travaux de Fresnel.
I-3) Modèle Corpusculaire
En 1906, Planck et Einsstein reviennent à un modèle corpusculaire en introduisant des quantas
d’énergie appelées photons : particules sans masse et d’énergie ε=hν déplaçant à la célérité de la
lumière.
Les deux modèles ondulatoires et corpusculaires, sont assez cohérents et se complètent.
Cette Dualité onde-corpuscule pour la lumière est alors généralisée aux particules dans la
théorie de la mécanique quantique par : De Broglie, Bohr, Heisenberg et Schrödinger.
Les quelques contradictions entre les deux modèles ont pu être levé par l’électrodynamique
quantique de Feynman, Schwinger et Tomonaga dans les années 50.
II – Le rayon lumineux
II-1) Faisceau lumineux, notion de rayon lumineux
Considérons une source lumineuse S de petites dimensions (par exemple un trou dans un
diaphragme éclairé par une lampe quartz-iode ; par définition la lumière issue de cette source
ponctuelle forme un faisceau lumineux.
Plaçons alors sur le trajet de ce faisceau un objet plan, l’ombre portée sur l’écran E et
homothétique de
l’objet, quelquesoit la distance
de celui-ci à
l’écran.
⇒
Le
faisceau lumineux issu de S
est constitué de
rayons lumineux rectilignes.
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Un laser fourni pratiquement en rayon lumineux : si l’on fait fonctionner laser dans l’obscurité,
on peut visualiser et le rayon lumineux. En fait si ce rayon évoque une droite, il a malgré tout de Dinant
une dimension transversale finit. On peut alors se demander s’il est aussi d’isoler rayon lumineux.
Pour se faire plaçons un diaphragme réglable à la sortie du laser ; si l’on retrécit trop l’ouverture
du diaphragme, la trace du faisceau sur un écran E donne une tâche qui s’élargit à la mesure que l’on
diminue a : ce phénomène porte le nom de diffraction. L’élargissement du faisceau laser, dans les
conditions que nous venons d’évoquer, se caractérise par un étalement angulaire ε dont l’expérience
permet d’écrire : ε=λ/a où λ est une longueur caractéristique du rayon lumineux c’est à dire la longueur
d’onde.
⇒ on ne peut donc pas isoler un rayon lumineux. On peut cependant considérer qu’un faisceau
de lumière est formée de rayons lumineux, l’étude de la marche de ses rayons constituant le but de
l’optique géométrique.
⇒Le rayon lumineux est un modèle
II-2) L’approximation de l’optique géométrique
II-2-1) L’onde électromagnétique
Maxwell en 1873 a formulé les équations qui décrivent les ondes électromagnétiques…ainsi les
ondes électromagnétiques présente des similitudes avec les propagations des vibrations lors de la
chute d’un objet dans un liquide, vagues artificielles…
Les ondes électromagnétiques se propagent dans tout l’espace, même en l’absence de milieu
matériel avec une vitesse de propagation v et une fréquence f tel que :
λ=vT=v/f où λ est appelé longueur d’onde.
• λ = la période spatiale de l’onde (unité : mètre)
• T = la période temporelle de l’onde (unité : seconde)
II-2-2) Longueur d’onde de la lumière
• La longueur d’onde de la lumière est définie par : λ=vT=v/ν
célérité dans le milieu considéré.
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où ν est la fréquence et v la
Dans le vide : c = 299 792 458 ms-1.
• Le domaine visible de l’œil humain s’étend de 400nm (violet) à 750nm (rouge) avec une
sensibilité maximale dans le jaune vert à 560nm.
II-2-3) L’approximation de l’optique géométrique
L’approche géométrique constitue l'une bonne approximation des solutions des équations de
Maxwell tant que les caractéristiques géométriques du milieu varient peu à l'échelle de la longueur
d'onde. Dans le domaine visible, les dimensions étudiées sont bien supérieures à la longueur d'onde
du milieu ainsi l'optique géométrique est largement suffisante.
« L’étude vertu de l'optique géométrique suppose que les grandeurs caractéristiques du milieu
qui limitent les faisceaux ont des dimensions très supérieures à la longueur d'onde λ. »
II-3) Propagation de la lumière dans les milieux matériels
II-3-1) Absorption et dispersion
• Dans les milieux transparents la lumière se propage à la vitesse v=c/n où n est l’indice optique
du milieu qui dépend de la longueur d'onde, c’est la dispersion que l’on observera dans le prisme.
Pour les « verres » on peut utiliser la modélisation de Cauchy : n=A+B/λ2
• L'intensité lumineuse décroît lors de la propagation de la lumière dans le milieu matériel. La loi
de décroissance est en général une fonction exponentielle de la distance parcourue et dépend de la
fréquence, donc de la longueur d'onde : c'est le phénomène d’absorption.
II-3-2) Propagation en milieu homogène et non homogène
• Dans un milieu homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite : les rayons
lumineux sont des droites.
• Par contre dans les milieux non homogènes c'est-à-dire présentant un indice variable, la
propagation de rayons lumineux n'est pas rectiligne.
• L'indice de la solution est une fonction croissante de la concentration en sucre dissout : cet
indice est donc plus important aux fond de la cuve. Il existe donc un gradient d’indice dirigé vers le bas
de la cuve. Nous observons une courbure des rayons lumineux dont la concavité, donc dans le sens
des indices croissants.
II-3-3) Indépendance des rayons lumineux
Nous supposerons dans la suite que le cheminement des différents rayons lumineux traversant
un instrument d'optique sont indépendants : c’est l’hypothèse de l'indépendance des rayons lumineux.
III – Les Lois de Descartes
III-1) Réflexion et réfraction d’un milieu lumineux
• Le plan défini par la normale et le rayon incident est par définition le plan d’incidence
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• Dans le cas où la surface de séparation est un miroir il y a réflexion.
• Dans le cas où la surface de séparation est un dioptre, il y a en général un rayon réfléchi et un
rayon réfracté.
III-2) Lois de Descartes
1°) Les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d’incidence
2°) L’angle de réflexion est égale à l’angle d’incidence : i = r
3°) L’angle de réfraction t est lié a i par : n1 sin i = n2 sin t
III-3) Réfraction
• Si le milieu 2 est plus réfringent (n2>n1) le rayon s’approche de la normale.
• Si le milieu 2 est moins réfringent (n1>n2) le rayon s’éloigne de la normale.
III-4) Principe de retour inverse de la lumière
Les lois de Descartes obéissent au principe de retour inverse de la lumière : tout trajet suivi par
la lumière dans un sens peut l’être en sens opposé.
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IV – Construction géométrique de Huygens
IV-1) Le rayon réfléchi
Soit P le point d’intersection entre le rayon incident et cercle de rayon unité. Le rayon réfléchi
passe par le point d’intersection O du cercle avec la normale au miroir passant par P.
IV-2) Le rayon réfracté
Traçons deux cercles de ryon n1 et n2. Soit P le point d’intersection entre le cercle de rayon n1 et
le rayon incident. Soit Q le point d’intersection entre le cercle de rayon n2 et la normale au plan
passant par P. Le rayon réfracté passe par Q car :
OH = n1 sin i = n2 sin t
V – Réflexion totale
V-1) Réfraction limite (n1<n2)
Le faisceau va se rapprocher donc i peut varier de 0 à π/2.
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Soit n1 sin i = n2 sin t ⇔ sin i = n2/n1
sin t
Or 0 ≤ i ≤ π/2 ⇒ 0≤ sin i ≤ 1 ⇒ 0 ≤
sin t ≤ n1/n2
⇒0 ≤ t ≤ Arcsin (n1/n2) = tlim : angle
de refraction limite.
⇒ Les rayons réfractés sont tous
situés à l’intérieur d’un cône de réfraction de demi-angle au sommet tm.
V-2) Réflexion totale (n1>n2)
Le faisceau va s’éloigner donc t peut varier de 0 à π/2.
Soit n1 sin i = n2 sin t ⇔ sin i = n2/n1 sin t
Or 0 ≤ t ≤ π/2 ⇒ 0≤ sin t ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin i ≤ n2/n1
⇒ 0 ≤ i ≤ Arcsin (n2/n1) = ilim : angle de refraction limite.
• Donc tout rayon incident tel que i > ilim ne peut-être réfracté
et subit donc une réfraction totale
V-3) Applications
La réflexion totale sert à canaliser la lumière :
- tube en matière souple : endoscope
- fibres optiques
- lampes décoratives…
Chapitre II : Miroirs et lentilles sphériques dans l’approximation de Gauss
I – Le stigmatisme
I-1) Objet
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I-1-1) définition
I-1-2) Objet primaire ou secondaire
I-1-3) Objet ponctuel ou étendu
I-1-4) Objet réel ou virtuel
I-2) image
I-2-1) Définition
I-2-2) Image virtuelle ou réelle
I-3) Stigmatisme rigoureux
I-3-1) Définition
I-3-2) Le miroir plan
I-3-3) Autres surfaces rigoureusement stigmatiques
I-4) Stigmatisme approché
II – L’Aplanétisme
II-1) Système centré
II-2) Aplanétisme
III – Systèmes centrés dans l’approximation de Gauss
III-1) Approximation de Gauss
III-2) Foyer image et plan focal image
III-3) Foyer objet et plan focal objet
III-4) Système afocal
IV – Les miroirs sphériques
IV-1) Présentation
IV-2) Stigmatise rigoureux en C et S
IV-3) Stigmatise et aplanétisme approchés sur l’axe
IV-3–1) Formule de conjugaison
IV-3–2) Aplanétisme approché
IV-4) Caractéristiques des miroirs sphériques
IV-4-1) Modélisation de Newton
IV-4-2) Le foyer
IV-4-3) Construction d’une image
IV-5) Relations de conjugaison
IV-6) Grandissement
V – Lentilles sphériques
V-1) Présentation
V-1-1) Définition
V-1-2) Lentille mince
V-1-3) Lentilles à bords épais ou minces
V-1-4) Sitgmatisme et aplanétisme
V-2) Caractéristiques des lentilles
V-2-1 Centre de la lentille
V-2-2 Foyers principaux
V-2-3 Lentilles accolées
V-3) Construction d’une image
V-4) Formules de conjugaison et grandissement
V-4-1 Origine au foyer (Formules de Newton)
V-4-2) Origine au centre (formules de Descartes)
Chapitre II : Miroirs et lentilles sphériques dans l’approximation de Gauss
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Introduction
Le but de ce cours est de préciser les conditions de stigmatisme et d’aplanétisme dans un
premier temps puis de s’intéresser plus précisément aux miroirs et lentilles sphériques.
On verra ainsi les conditions de gauss qui seront nos conditions de travail puis les relations de
conjugaison.
I – Le stigmatisme
I-1) Objet
I-1-1) définition
• Un objet définit un ensemble de rayon lumineux entrant dans le système optique
I-1-2) Objet primaire ou secondaire
• Un objet primaire émet spontanément de la lumière (flamme, lampe à décharge…) alors qu’un
objet secondaire diffuse la lumière (livre, trousse…)
I-1-3) Objet ponctuel ou étendu
• Un objet est ponctuel si ces dimensions sont infiniment petites par rapport à sa distance
d’observation (étoile, objet trou…).
• Un objet est étendu si ces dimensions sont finies (une fleur, la terre vu de la lune…) et on le
traite alors comme un ensemble d’objets indépendants.
I-1-4) Objet réel ou virtuel
• Un objet est réel s’il est placé avant la face d’entrée du système optique et si les rayons
lumineux issus de lui se dirigent vers le système optique.
• Un objet est virtuel si c’est les prolongements des rayons incidents qui se cheminent vers lui.
Un tel objet ne peut-être vu sur un écran
I-2) image
I-2-1) Définition
• Un point image correspond à l’intersection de rayons lumineux émergents du système
optique…
I-2-2) Image virtuelle ou réelle
• Elle est dite réelle, si elle est située après la face de sortie du système optique comme
intersection des rayons émergents. Cette image peut-être vue sur un écran.
• Elle est dite virtuelle, si elle est située avant la face de sortie du système comme intersection
des prolongements des rayons émergents. Cette image ne peut-être vue sur un écran.
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I-3) Stigmatisme rigoureux
I-3-1) Définition
• Il y a stigmatisme rigoureux lorsque tout rayon passant par un
point objet A, réel ou virtuel, passe après traversé du système optique par
un point image A’ réel ou virtuel.
• A’ est l’image de A par le système optique, on dit que A et A’ sont
deux points conjugués.
A→A’ , où → représente le lien de conjugaison
I-3-2) Le miroir plan
• Dès qu’un système optique est stigmatique, l’image A’ d’un objet
ponctuel est unique. Une relation mathématique, appelée relation de
conjugaison existe donc entre les points A et A’.
I-3-3) Autres surfaces rigoureusement stigmatiques
• Il existe peu de surfaces rigousements stigmatiques par réflexion
ou réfraction parmi celles-ci il y a :
- Le miroir plan pour tout point.
- Les miroirs paraboliques dans le cas où l’objet est à l’infini.
I-4) Stigmatisme approché
Les cas de stigmatisme rigoureux sont trop rares pour couvrir les besoins de l’imagerie. On va
donc utiliser des systèmes optiques qui présentent un stigmatisme approché.
Un système optique (S) présente un stigmatisme approché pour un couple de points A et A’ si
tout rayon passant par A passe au voisnage de A’ après traversé de S.
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II – L’Aplanétisme
II-1) Système centré
Un système centré est un système optique présentant la symétrie de révolution autour d’un axe
appelé axe optique.
II-2) Aplanétisme
Un système est dit aplanétique si le stigmatisme pour tout couple (A,A’) de l’axe optique se
conserve pour tout couple de (B,B’) dans des plans normaux à l’axe.
Les plans P et P’ sont conjugués…Dans l’appareil photographique P’ est le plan de la pellicule
et P le plan de mise au point.
III – Systèmes centrés dans l’approximation de Gauss
III-1) Approximation de Gauss
Un système centré est utilisé dans les conditions de Gauss si tous les rayons lumineux qui le
traversent sont paraxiaux :
- Rayons peu inclinés par rapport à l’axe
- Rayons proches de l’axe
Dans les conditions de Gauss les systèmes centrés sont stigmatiques et aplanétiques
approchés.
III-2) Foyer image et plan focal image
• Le foyer image F’ est l’image d’un point objet à l’infini situé sur l’axe. A∞ (sur l’axe) → F’
• Soit un point objet réel B situé à l’infini en dehors de l’axe. Le système étant aplanétique, son
image sera alors dans le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par F’ : ce plan est dit plan focal
image et tout point de ce plan foyer image secondaire.
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III-3) Foyer objet et plan focal objet
• Le foyer objet est le point de l’axe optique dont l’image est à l’infini sur l’axe : F→B∞ sur l’axe
• Le plan focal objet est le plan perpendiculaire à l’axe optique, contenant F. Tout point B de ce
plan a son image à l’infini.
III-4) Système afocal
Dans le cas ou le foyer F’ se trouve à l’infini le système est dit afocal.
IV – Les miroirs sphériques
IV-1) Présentation
Un miroir sphérique est constitué d’une surface sphérique
réfléchissante de centre C. Il existe deux types de miroirs
sphériques :
- Les miroirs concaves R= SC < 0.
- Les miroirs convexes R= SC > 0.
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IV-2) Stigmatise rigoureux en C et S
• Tout rayon incident passant par C arrive selon la normale au
miroir sphérique et repasse par C après réflexion. C→C
• Tout rayon incident en S sur le miroir est réfléchi
symétriquement par rapport à l’axe optique et semble provenir de
S.S→S
IV-3) Stigmatise et aplanétisme approchés sur l’axe
IV-3–1) Formule de conjugaison
On trace les rayons suivant les lois de Descartes. On se place dans les conditions de Gauss
d’où :
- les angles α, β, α’, i et i’ sont petits et sont assimilables à leurs tangentes
- et S est confondu avec H.
Dans le triangle AIC : π =α +i+π -β ⇒ α = β − i
Dans le triangle A'IC : π =π − α '+ β + i ⇒ α ' = β + i
D'où α+α'=2β
Soit tan α =
Donc
IS
IS
IS
α , tan α ' =
α ', tan β =
β
SA
SA '
SC
1
1
2
+
=
SA SA ' SC
IV-3–2) Aplanétisme approché
Le stigmatisme approché se conserve pour des points peu éloignés de l’axe ⇒ la condition
d’aplanétisme approché est vérifiée.
D’où pour un objet vertical AB on aura aussi B→B’ avec x(B’)=x(A’).
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IV-4) Caractéristiques des miroirs sphériques
IV-4-1) Modélisation de Newton
Comme nous travaillons dans les conditions de Gauss, un miroir sphérique sera représenté par
son plan tangent en S.
IV-4-2) Le foyer
1
2
=
SF' SC
1
2
=
Si SA' → ∞ alors
SF SC
Si SA → ∞ alors
D ' où F=F' tel que SF=
SC
= R / 2 = f ' focale du miroir.
2
IV-4-3) Construction d’une image
a) Miroir concave
b) Miroir Convexe
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IV-5) Relations de conjugaison
• Origine au sommet :
•
1
1
2
+
=
SA SA ' SC
Origine au foyer (formule de newton)
En multipliant (1) et (2) on obtient
A ' B ' AB
SJ SI
=
⇒ F'A' FA = FS F'S' = f'2
AF A ' F ' SF SF '
* Origine au centre
Soit FA' = FC + CA' et FA= FC + CA
D ' où : CA.CA ' + FC.FC + CA '.FC + CA.FC = f '2
⇔ CA.CA ' = (CA + CA ').
CS
2
1
1 1
1
= (
+
)
CS 2 CA ' CA
1
1
2
1
⇔
+
=
=
CA ' CA CS CF
⇔
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IV-6) Grandissement
Il est défini par γ =
A' B '
, si γ>0 l’image est droite, sinon elle est inversée.
AB
D’après les schémas :
AB SJ
A ' B ' SI
FS FA '
• Origine au foyer :
=
=
et
=
⇒γ =
AF SF
A ' F ' SF
FA FS
CA '
γ
=
• Origine au centre :
CA
• Origine au sommet : γ = −
SA '
SA
V – Lentilles sphériques
V-1) Présentation
V-1-1) Définition
Une lentille sphérique est un système centré résultant de l’association de deux dioptres
sphériques repérés par leurs centres et sommets respectifs.
V-1-2) Lentille mince
Une lentille est dite mince si son épaisseur e=S1S2 est petite par rapport à C1C2, S1C2 et S2C1.
V-1-3) Lentilles à bords épais ou minces
Les lentilles à bords minces sont convergentes, les lentilles à bords épais sont divergentes.
V-1-4) Sitgmatisme et aplanétisme
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Au vue des expériences, on admettra que les propriétés d’aplanétisme et de stigmatisme
approchés sont vérifiées pour les lentilles sphériques.
V-2) Caractéristiques des lentilles
V-2-1 Centre de la lentille
Tout rayon passant par le centre de la lentille n’est pas dévié.
V-2-2 Foyers principaux
Une lentille possède deux foyers symétriques par rapport à O : F et F’ et l’on obtient une des
configurations suivantes :
V-2-3 Lentilles accolées
Deux lentilles minces accolées de focales f’1 et f’2 agissent comme une lentille unique de même
1
1
1
=
+
centre O et de focale f’ :
f ' f '1 f '2
V-3) Construction d’une image
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• 3 rayons fondamentaux :
- le rayon passant par le
centre de la lentille n’est
pas dévié
- le rayon incident parallèle à
l’axe optique passe par F’
- le rayon incident passant
par F ressort parallèle à
l’axe
V-4) Formules de conjugaison et grandissement
V-4-1 Origine au foyer (Formules de Newton)
A ' B ' OI
AB OJ
et
=
=
A ' F ' OF '
AF OF
Or OJ=A'B' et OI = AB
Soit
d ' où
A ' B ' A ' F ' OF
=
=
AB
OF ' AF
FA.F ' A ' = − f '2
⇒
et γ =
A ' F ' OF
=
OF ' AF
V-4-2) Origine au centre (formules de Descartes)
Soit FA=FO+OA=OF'+OA et F'A'=F'O+OA'=-OF'+OA'
d ' où en remplaçant dans la formule de Newton :
OA.OA'-OF'.OF'-OF'.OA+OF'.OA'=-f'2
⇔ OA.OA' = OF'.OA-OF'.OA'
⇔
1
1
1
OA'
=
−
et γ =
OF' OA' OA
OA
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