Examen 2009–2010 FMEE142 / Lasers

Examen 2009–2010
FMEE142 / Lasers
Deuxième session
• La calculatrice est autorisée
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• Seule la communication avec le surveillant est autorisée
• Les différentes parties peuvent être traitées indépendamment.
Introduction
Nous étudions ici un laser à fibre optique dopée erbium (Er) émettant à la
longueur d’onde λ = 1, 55 µm. Tel que représenté Fig. 1, la cavité laser
est constituée d’une fibre optique monomode dans laquelle deux miroirs
de Bragg réfléchissant autour de 1550 nm et séparés d’une distance d sont
photo-inscrits dans la fibre. Une fibre optique amplificatrice dopée Er est
soudée entre les deux miroirs. Cette fibre est pompée optiquement à 980 nm
grâce à une diode de pompe reliée à la cavité laser par un multiplexeur à
fibre optique.
Pompe optique
(980 nm)
980 nm
980 nm &
1550 nm
1550 nm
Multiplexeur
Figure 1: Schéma de la cavité.
1
d
Fibre Er
Miroirs
de Bragg
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Cavité passive
Du fait de la propagation dans la fibre optique monomode, il n’existe qu’un
seul mode tranverse. Nous notons r (R) le coefficient de réflexion en champ
(intensité) et t (T) le coefficient de transmission en champ (intensité) des
deux miroirs photo-inscrits du laser. Nous étudions la transmission par
la cavité d’un signal incident se propageant selon z et dont le champ électrique est exprimé sous la forme d’une onde plane :
E = E0 exp {i (k z − 2 π ν t)} ,
où k = 2 π n/λ est la constante de propagation dans le milieu d’indice n,
ν = c/λ la fréquence de l’onde, et c la vitesse de la lumière dans le vide.
1.1.- Déterminez la différence de marche entre deux ondes transmises
successivement à la sortie du Fabry-Perot en fonction de l’indice optique n
et de la longueur de cavité d.
1.2.- Déduire le déphasage φ entre deux ondes transmises successivement à la sortie de la cavité en fonction de l’indice optique n, de la longueur
de cavité d, et de la longueur d’onde λ.
1.3.- Déterminez le champ total transmis en sortie de la cavité. Montrez
que le champ transmis peut s’exprimer sous la forme :
E = E0 t2 exp(i φ/2)/ 1 − r2 exp(i φ) exp(−i 2 π ν t).
1.4.- Montrez que la transmission en intensité de la cavité peut s’exprimer
sous la forme d’une fonction d’Airy :
TFP =
(1 − R )2
.
(1 − R)2 + 4 R sin2 (φ/2)
(1)
1.5.- Quelles sont les fréquences résonantes dans la cavité ?
Quelle est l’expression de l’intervalle spectral libre (ISL), différence de fréquence
entre deux fréquences résonantes successives ?
Donnez la valeur numérique de l’ISL pour n = 1, 45 et d = 1 m.
Donnez la valeur numérique de l’ISL pour n = 1, 45 et d = 0, 01 m.
1.6.- Les miroirs photo-inscrits sont typiquement des réseaux de Bragg.
Ces miroirs réfléchissent seulement dans une bande spectrale déterminée
(autour de la longueur d’onde de Bragg). Pour une largeur spectrale ∆λ =
0, 15 nm, déterminez combien de modes longitudinaux (environ) peuvent
exister pour les cavités de longueur 1 m et 0,01 m.
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Milieu amplificateur
Pour un pompage optique des ions erbium à 980 nm, le milieu amplificateur peut être assimilé à un système à trois niveaux d’énergie tels que
représentés Fig. 2.
Énergie
γ3
WP
3
2
γlaser
1
Figure 2: Système à 3 niveaux.
Les transitions ici considérées sont les suivantes :
• Les électrons sont pompés du niveau fondamental (1) vers le niveau
3 à un taux de transition WP (s−1 ),
• La durée de vie du niveau 3 est faible, et les électrons se désexcitent
rapidement vers le niveau 2 à un taux γ3 = 1/τ3 (s−1 ),
• La transition laser correspond à la désexcitation du niveau 2 vers
le niveau 1 dont le taux de transition relativement lent est γlaser =
1/τlaser (s−1 ).
2.1.- Population électronique au niveau 3
2.1a.- Donner l’équation différentielle décrivant l’évolution temporelle
de la population électronique N3 au niveau 3.
2.1b.- Déterminer la population électronique N3 en régime stationnaire
en fonction de Wp , N1 , τ3 .
2.1c.- Sachant que WP τ3 1, montrer que la population N3 en régime
stationnaire peut s’exprimer sous la forme :
N3 ≈ Wp τ3 N1 .
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2.2.- Populations électroniques aux niveaux 1 et 2
2.2a.- Donner les équations différentielles décrivant l’évolution temporelle des populations électroniques N1 et N2 aux niveaux 1 et 2 (respectivement).
2.2b.- En étudiant l’équation sur la population N2 en régime stationnaire, exprimer la population électronique N3 en fonction de τlaser , τ3 , N2 .
2.3c.- En étudiant l’équation sur la population N1 en régime stationnaire, déterminer la population électronique N2 en fonction de τlaser , τ3 ,
WP , N1 . Sachant que WP τ3 1, montrer :
N2 ≈ WP τlaser N1 .
2.3.- Inversion de population
2.3a.- Exprimez la population électronique totale N en fonction de N2 ,
WP , τ3 , τlaser .
2.3b.- Exprimez l’inversion de population ∆N pour la transition laser,
i.e., la différence N2 − N1 , en fonction de N2 , WP , τlaser .
2.3c.- Montrer que l’inversion de population normalisée ∆N/N peut
s’exprimer sous la forme suivante :
∆N
τ
W −1
≈ laser P
.
N
τlaser WP + 1
2.3d.- À quelle condition obtenons-nous du gain ?
2.3e.- Tracez l’évolution de cette inversion de population en fonction du
taux de pompage WP et commentez.
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Cavité active
Nous étudions ici une cavité courte fonctionnant sur un seul mode longitudinal, et prendrons par la suite d = 0, 01 m. Soient L les pertes linéiques
équivalentes cumulées sur un aller-retour dans la cavité laser (pertes des
miroirs et pertes de propagation). Nous rappelons l’expression en intensité
du gain linéique :
G0
G=
,
(1 + Y )
où G0 est le gain petit signal et Y l’intensité laser normalisée à l’intensité de
saturation. Rappelons que G0 est proportionnel à l’inversion de population
∆N, qui croît avec le taux de pompage WP .
3.1.- Quelle condition sur le gain doit être vérifiée pour obtenir l’effet
laser ?
3.2.- En appliquant cette condition, montrez que l’intensité laser normalisée peut s’exprimer sous la forme :
G0
Y=
−1 .
L
3.3.- Pour quelle valeur du gain petit signal G0 le seuil laser est-il atteint ?
3.4.- Tracez l’allure de l’évolution de la puissance optique avec le taux
de pompage pour deux valeurs de pertes et commentez.
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Transformation par une lentille
Nous nous intéressons ici à la focalisation du faisceau laser en sortie de
fibre optique. Nous plaçons une lentille mince convergente de focale f à la
distance f de la sortie de la fibre optique.
Nous rappelons l’expression de l’évolution du rayon de courbure complexe q des faisceaux Gaussiens en fonction de la distance de propagation
z relative à la position du col (waist) du faisceau :
q(z) = i z R + z,
où z R est la distance de Rayleigh définie par :
z R = π w02 /λ,
et w0 est le rayon de mode au col (waist). Nous rappelons aussi la transformation des rayons de courbure complexes au niveau de la lentille :
1
1 1
= −
0
q
q
f
où q et q0 sont respectivement les rayons de courbure complexes en entrée
et en sortie de la lentille. Nous noterons z R et z0R les distances de Rayleigh
du faisceau Gaussien avant et après transformation par la lentille.
4.1.- Calculez z R sachant que le rayon de mode en sortie de fibre optique
est w0 = 5 µm et commentez.
4.2.- Déterminez le rayon de courbure complexe en entrée de la lentille en
fonction de z R et f . De même, si la lentille est située à une distance −s0
(distance algébrique) du col du faisceau en sortie, exprimez q0 en fonction
de z0R et s0 .
4.3.- En appliquant la relation de conjugaison appliquée aux faisceaux Gaussiens,
déduire des résultats précédents la relation suivante :
s0 − i z0R = (z R − i f ) f /z R .
4.4.- Déduire le facteur de grandissement m des rayons de mode minima
(aux cols) ainsi que la position de l’image en sortie de la lentille.
Quelle différence remarquez-vous avec l’optique géométrique ?
4.5.- Est-il possible de choisir à la fois la distance de travail entre la fibre
optique et la lentille, et le grandissement ?
4.6.- Comment choisir la focale pour avoir une longue distance de collimation du faisceau optique ?
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