INSA de TOULOUSE - DEPARTEMENT DE STPI

INSA de TOULOUSE - DEPARTEMENT DE STPI- 1ère ANNEE
ELECTROSTATIQUE- Durée 2 heures sans documents
Première partie : Le dipôle électrostatique (10 points)
2 charges ponctuelles fixes q et –q distantes de a sont alignées le long de l’axe z et forment un dipôle
électrostatique. La charge –q est placée en z=– a/2 et la charge +q en z=+a/2.
1°) Déduire simplement par des considérations de symétrie l’orientation du champ électrique en tout point
situé sur l’axe Oy, à une abscisse y.
2°) Calculer le champ électrique produit par le dipôle, en ce point de l’axe Oy en fonction de q,a et y.
3°) Donner l’expression de ce champ électrique lorsque y>>>a, c’est à dire loin du centre du dipôle.
4°) Calculer le champ électrique produit par le dipôle en tout point situé sur l’axe Oz, à une abscisse z
positive en fonction de q,a et z.
5°) Donner l’expression de ce champ électrique lorsque z>>>a, c’est à dire loin du centre du dipôle.
6°) Lorsqu’on se place en coordonnées sphériques, le calcul du champ électrique produit par le dipôle en un
point quelconque de l’espace M éloigné de O (r>>>a) donne le résultat suivant :
!
2qa cos!
# Er =
4"# 0 r 3
#
#
!
qasin !
E = # E! =
4"# 0 r 3
#
#
E! = 0
#
#
"
$
&
&
&
&
&
&
&
&
%
Exprimez les trois composantes Ex, Ey et Ez du champ électrique en coordonnées cartésiennes en fonction de
q,a,r,θ et ϕ.
7°) En déduire l’expression de ces composantes en tout point situé sur l’axe Oy à une abscisse y en fonction
de q,a et y. Le résultat est il identique à celui obtenu au 3°) ?
8°) Donner l’expression des composantes Ex, Ey et Ez du champ électrique en tout point situé sur l’axe Oz à
une abscisse z en fonction de q,a et z. Le résultat est il identique à celui obtenu au 5°) ?
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Deuxième partie : Des électrons aussi rapides que la lumière (10 points)
Dans un microscope électronique l’image d’un échantillon est obtenue en utilisant un faisceau d’électrons qui
joue le même rôle que le faisceau de lumière utilisé dans les microscopes optiques traditionnels. Cette innovation
mise au point dans les années 1950 a permis l’observation de la matière à l’échelle atomique. Dans ces
microscopes, la source qui émet les électrons du faisceau est appelée un canon à électrons. Dans les microscopes
modernes ce canon est constitué d’une pointe métallique très fine (la cathode), positionnée en face d’une plaque
métallique percée d’un orifice circulaire appelée anode. La figure présente l’image (obtenue au microscope
électronique) de la pointe d’une telle cathode ainsi que le schéma du canon à électrons avec la pointe alignée en
face de l’anode. Sous vide poussé (à l’intérieur du microscope) lorsqu’on polarise électriquement l’anode par
rapport à la cathode, un champ électrique intense est généré au niveau de la cathode. Les électrons appartenant
aux atomes de la pointe sont soumis à une telle force électrostatique qu’ils sont arrachés à la pointe métallique.
Le champ électrique les accélère vers l’anode d’où ils ressortent par le petit trou circulaire central à très grande
vitesse. Un faisceau d’électrons très intense est alors produit qui sert de source au microscope électronique. Le
but de ce problème est de réfléchir à cet instrument et de calculer la vitesse de déplacement des électrons à la
sortie du canon.
Nous souhaitons donc modéliser l’action électrostatique de l’anode sur les électrons arrachés à la pointe. Il
s’agira donc de calculer le champ électrique produit par un plan supposé infini chargé positivement en surface et
percé d’un trou circulaire de rayon R, en tout point de l’axe z perpendiculaire à ce plan et centré sur le trou.
Nous modéliserons tout d’abord un plan infini, puis un disque circulaire. Nous déduirons le champ électrique
produit par l’anode en utilisant le principe de superposition.
1°) Exprimer en quelques phrases pourquoi dans ce système on utilise une cathode ayant la forme d’une pointe
très acérée.
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2°) On souhaite calculer le champ électrique produit par un plan infini simple (non percé) et chargé avec une
densité superficielle de charge +σ (positive). Effectuer l’analyse des invariances et des symétries du système
(plan inifini, non troué), puis calculer la valeur du champ électrique produit par ce plan infini en tout point M de
l’espace situé à une abscisse z au dessus de ce plan en utilisant la méthode de votre choix.
3°) On considère désormais un disque de rayon R chargé avec une densité superficielle de charge -σ (négative).
Calculer le champ électrique produit par ce disque chargé en tout point situé sur l’axe z à une abscisse z au
dessus du centre du disque par la méthode directe. Son orientation sera clairement précisée.
4°) En utilisant le principe de superposition expliquer comment vous en déduisez le champ électrique produit par
un plan infini percé d’un trou circulaire en tout point de l’axe z perpendiculaire à ce plan et à une abscisse z au
dessus du centre de ce trou. Donnez l’expression de ce champ électrique en fonction de σ, z et R.
5°) En considérant que la pointe émettrice est située à une hauteur z=10R au dessus de l’anode, donner
l’expression de la force électrostatique ressentie par un électron émis par cette pointe en fonction de e, la charge
élémentaire, σ, z et R. L’orientation de cette force sera clairement précisée.
6°) Déterminer le travail de la force électrostatique lorsque l’électron émis par la pointe, se déplace depuis son
lieu d’émission (z=10R), jusqu’à l’abscisse z=0 correspondant à la sortie de l’anode. Pour cela on calculera la
circulation de la force électrostatique de z=10R à z=0. Cette circulation représente l’énergie acquise par cet
électron lors de son accélération par le champ électrique produit par l’anode. Exprimer cette circulation en
fonction de σ, e et R.
7°) Calculer la valeur numérique de cette énergie sachant que ε0=8,85x10-12 F/m, R=88,5 µm, e=1,6x10-19C et
σ= 2,5x10-3 C/m2. Précisez en quelle unité elle est exprimée.
8°) Cette énergie électrostatique est convertie complétement par l’électron en énergie cinétique : Ec=1/2 mv2 (m
masse de l’électron égale à 9x10-31 kg, et v vitesse de l’électron), car l’accélération électrostatique a lieu sous
vide poussé et l’électron au cours de son déplacement ne subit donc aucune collision avec des molécules.
Calculer la valeur numérique de la vitesse des électrons à la sortie de l’anode accélératrice et comparer cette
valeur avec la vitesse de la lumière égale à 300 000 km/s.
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