document - Université de Rennes 1

Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
L’Imagerie par Résonance Magnétique
nucléaire
Problèmes mathématiques et numériques
G. Caloz, P. Boissoles 1
S. Balac 2
1 IRMAR, UMR 6625
Université de Rennes 1
2 Centre
de Mathématiques
INSA de Lyon
23 juin 2005 / Séminaire d’analyse numérique, Nantes
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Plan de l’exposé
1
Introduction
Présentation générale
Pour la petite histoire
2
Le principe de l’IRM
La RMN
La localisation du signal - les gradients
3
Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Présentation générale
Pour la petite histoire
Collaboration
C’est une collaboration avec le LRMBM (Laboratoire de
Résonance Magnétique en Biologie et Médecine) de
l’Université de Rennes 1 : J.D. De Certaines, G. Cathelineau,
H. Boukhil,...
Comment interpréter les images obtenues par les imageurs ?
Modélisation du processus de construction des images
Algorithmes de construction
Construction numérique des images pour y insérer de
l’information
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Présentation générale
Pour la petite histoire
Un premier problème
F IG .: Une sphère : image expérimentale (gauche) et image calculée
(droite)
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Présentation générale
Pour la petite histoire
Des champs magnétiques à étudier !
F IG .: Imageur
Problèmes issus de l’IRM
I.
Motivation
Introduction
I.
Motivation
Présentation générale
Le principe de l’IRM
L’appareil d’Imagerie
par Résonance
Magnétique
Pour la petite histoire
applications
L’appareil Quelques
d’Imagerie
par Résonance Magnétique
L’Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) utilise différents
Plus !!champs
précisément
!
L’Imagerie par Résonance
Magnétique (IRM) utilise différents
électro-magnétiques afin d’obtenir, de façon non-invasive, des
champs de
électro-magnétiques
d’obtenir, de façon non-invasive, des
images
l’intérieur du corpsafin
humain.
images de l’intérieur du corps humain.
! Il existe trois types de champs magnétiques :
! Il existe trois types de champs magnétiques :
dB/dt, dB/dx
−
→
B0
différents
dessins
été
réalisés
à l’aide
du
logiciel
fig4tex.
Les
différents
dessins
été
réalisés
à du
l’aide
du logiciel
fig4tex.
LesLes
différents
dessins
ontont
étéont
réalisés
à l’aide
logiciel
fig4tex.
x, t
et al.,
2002
[1] Giovannetti
G. Giovannetti
et
al.,
2002
[1] [1]
G. G.
Giovannetti
et al.,
2002
=
J.
1997
[2]Jin,
J.
Jin,
1997
[2] [2]
J. Jin,
1997
Leifer,
1997
[3]
M. Leifer,
1997
[3] [3]
M. M.
Leifer,
1997
aimant
Gradients de champs
+
+
bobines
Champ
Champ
Champ
magnétique
statique
statique
statique
magnétique
magnétique
Hayes
et al.,
1985
C. et
Hayes
et
al.,
1985
C. C.
Hayes
al.,
1985
Gdt Ker-Lann
Gdt ème
Ker-Lann
3
atelier Mélina
antenne
Gradients
de de
Champ
Gradients
Champ
champs
magnétique
champs
magnétique
magnétiques
magnétiques rédiofréquence
radiofréquence
19 janvier 2005
19 janvier 2005
16 mai 2005
F IG .: Schéma de principe
Problèmes issus de l’IRM
2
2
2
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
La RMN
La localisation du signal - les gradients
Champ B0 statique
Les noyaux atomiques placés dans un champ magnétique B ,
stimulés par une impulsion radio fréquence (RF pulse) B ,
ré-émettent une partie de l’énergie absorbée sous forme d’un
signal radio. C’est la Résonance Magnétique Nucléaire
(RMN). Le signal émis est le signal RMN.
F IG .: Échantillon placé dans un champ B (' 1 Tesla) ; magnétisation
macroscopique M
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
La RMN
La localisation du signal - les gradients
F IG .: Dipôle soumis à un champ radio-fréquence B (42.6Mhz)
La fréquence des impulsions est donnée par la relation de
Larmor (les noyaux résonent)
γ
νL =
B,
(1)
2π
où
B est le module du champ magnétique appliqué,
γ est le rapport gyromagnétique, qui est caractéristique de
l’espèce étudiée.
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
ON
N
La RMN
La localisation du signal - les gradients
63
63
Champ radio-fréquence
l’axe
l’antenne.
axe
de de
l’antenne.
4.3. ROTATION
63
orthogonal à l’axe de l’antenne.
150
150
155
155
150
100
100
155
154
50
50
50
153
152
200
−100
150
100
−150
−150
−200
50
150
50
−50
0
−150
−100
100
−200
−150
50
Vue 3d0
−50
−100
0 −100
−200
−150 −150
−150
−100
150
150
−100
−50
100
−50
−100
−50
0
100
150
200
0
1
2
Plan xy
−150
−200
−100
−150
−150 −200
−100
3
4
5
6
Norme
152
152
151.5
151.5
151
151
−150
−50
−100 0
−5050
0100
50
150
PlanPlan
xy xy
−50
152.5
152.5
151
50
50
0
153
153
151.5
−50
−150
200
200
0
100
153.5
153.5
152.5
0
0
154
154
153.5
0
−50
−100
154.5
154.5
0
−50
154.5
100
100
200
150
200
0
−100 22 – Figures
Fpour
IG .:(x,Champ
radio-fréquence
Fig.
y, z) = (R/4,
0, 0)
1
0
−200
150
100
−50
154.2
154
Fig.
22 22
– Figures
pour
(x, y,
0, 0)0, 0)
Fig.
– Figures
pour
(x,z)y,=z)(R/4,
= (R/4,
Problèmes issus de l’IRM
50
0
153.8
153.6
−50
153.4
−100
200
−100
1
3
2
4
3
5
4
Norme
à R/4Norme
−150
Vue
3d 3d
Vue
0
2
6
5
6
−150
−150
−100
Vue 3d
150
100
154.5
154
50
153.5
0
−50
153
Champ
Fig. 22
–radio-fréquence
Figures pour (x, y, z) = (R/4, 0, 0)
Fig. 22 – Figures pour (x, y, z) = (R/4, 0, 0)
152.5
−50
−100
152
200
−100
150
100
−150
150
La RMN
La localisation du signal - les gradients
155
Vue 3d
0
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
−200
−150
151.5
−150
−200
151
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
0
50
1
2
3
4
5
6
0
100
50
Plan xy
−50
0
−100
−50
Norme
−150
−100
−150
−200
Vue 3d
Fig. 22 – Figures pour (x, y, z) = (R/4, 0, 0)
154.2
150
154.2
150
154.2
150
100
100
100
154
154
153.8
153.8
153.6
153.6
154
0
50
153.8
50
0
−50
50153.6
−50
153.4
−100
200
−100
0
0
150
100
−150
153.2
−150
−200
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
50
150
153
0
100
50
−50
200
−100
−50
−150
−100
−150
1
2
Plan xy200
−50
0
0
−200
100
Vue 3d
50
−50
−50
−100
−100
−200
−150
−150
−150
7
153.4
153.4
153.2
100
−150
−200
−150
50
−200
−150
−150
−100
−100
−50
−50
0
0
50
100
50
150
100
150
200
153
200
153
0
Plan xy
150
158
100
157.5
157
50
156.5
0
156
155.5
−50
−100
200
155
−100
Fig. 23 – Figures pour (x, y, z) = (R/2, 0, 0)
154.5
150
100
154
−150
−200
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
0
1
2
3
4
5
6
Fig. 23 – Figures pour
= (R/2,
0, 0)
Plan xy (x, y, z)
Norme
Problèmes issus de l’IRM
50
0
100
50
−50
0
−100
−50
−100
−150
−200
1
2
2
3
3
4
4
5
Norme
Plan
xy
F IG .: Champ
radio-fréquence
à R/2 Norme
−100
−150
Vue 3d
−150
0
1
−200
−50
150
6
0
Vue 3d
0
5
153.2
0 – Figures pour (x, y, z) = (R/2, 0, 0)
Fig. 23
−50
0
4
Norme
−100
150 −100
150
3
−50
5
6
6
7
7
−150
Vue 3d
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
0
Vue 3d
100
154
50
153.8
0
−50
La RMN
La localisation du signal - les gradients
153.6
−50
−100
153.4
200
−100
Fig. 23 – Figures pour (x, y, z) = (R/2, 0, 0)
150
150
153.2
100
−150
−150
−200
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
Champ
Fig. 23 –radio-fréquence
Figures pour Plan
(x, xyy, z) = (R/2,
Norme 0, 0)
50
100
153
0
1
2
3
4
5
6
7
0
50
−50
0
−100
−50
−150
−100
−200
−150
Vue 3d
Fig. 23 – Figures pour (x, y, z) = (R/2, 0, 0)
150
158
150
158
150
100
157.5
157.5
157
157
50
50
157
156.5
50
0
−50
157.5
158
100
100
0
156.5
156
156.5
0
−50
155.5
156
0
−100
200
155
100
154.5
−150
−200
−50
−150
−50
−100
−50
50
100
150
200
200 200
150 150
0
100
50
−50
0
−100
−50
−150
−100
100 100
−200
−150
0
1
2
3
4
5
6
−50−50
0
−100
Plan xy
Norme
−150
−200
−200
−150
154.5
154.5
154
154
−150
−150
−100
−100
−50
0 −50
50
0
100
50 150
100 200
150
Plan
xy xy
Plan
Fpour
IG .:(x,
Champ
radio-fréquence
Fig. 24 – Figures
y, z) = (3R/4,
0, 0)
−100
−100
155
155
−100
50 50
Vue 3d
0
155.5
155.5
154
0
50
150
156
−100
150
−150
200
0
1
0
−150
−200
−150
1
3
2
4
3
5
4
Norme
à 3R/4Norme
−150
−150
2
−200
Vue
Vue3d
3d
Fig.
(x,(x,
y, z)
0,
0)0,l’IRM
issus de
Fig.24
24––Figures
Figurespour
pour
y, =
z) (3R/4,
=Problèmes
(3R/4,
0)
6
5
6
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
La RMN
La localisation du signal - les gradients
ITRE 4. ÉTUDE DU CHAMP MAGNÉTIQUE RADIOFRÉQUENCE
CHAPITRE
ÉTUDE DU CHAMP MAGNÉTIQUE RADIOFRÉQUENCE
Champ 4.radio-fréquence
CHAPITRE 4. ÉTUDE DU CHAMP MAGNÉTIQUE RADIOFRÉQUENCE
230
200
100
220
220
220
150
150
150
210
0
210
210
200
200
190
190
100
100
100
200
50
−100
0
50
50
0
0
−50
−50
190
180
−50
−200
170
−100
−150
−300
300
−300
−100
−100
−200
−100
0
100
200
−200
−300
200
100
Vue 3d
100
0
−100
−100
−200
−200
−200
−300
0
−100
300
300
−200
−100
1
200
−200
2
3
4
Plan xy
−300
−300
−200
−200
−100
−100
0
0
100
Norme
100
200
200
6
7
160
150
150
300
300
140
140
100
0
5
160
−200
−100
0
0
−150
−150
0
100
170
170
300
140
100
200
180
150
200
−400
180
160
−200
−200
230
230
200
200
PlanPlan
xy xy
IG .: (x,
Champ
radio-fréquence
Fig. 25 – FiguresFpour
y, z) = (0,
0, 9R/10)
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
Norme
à 9R/10Norme
−300
Vue 3d dans le plan y = 0
Trajectoires
Vue
3d
Fig. sait
25que
– Figures
pour (x,
y,mouvement
z) = (0,de0,rotation
9R/10)
Maintenant que
le champ magnétique
a un
Fig. 25l’on
– Figures
pour (x, y, z)
= (0, 0, 9R/10)
ue les caractéristiques de celui-ci sont gouvernées par la partie réelle et la partie
−→
inaire du champ B k , on va étudier plus précisément ce dernier
dans
le de
plan
Problèmes
issus
l’IRM
6
7
7
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
La RMN
La localisation du signal - les gradients
Commentaires
La relation de Larmor (1) donne aussi la fréquence du
signal RMN émis.
Pour des raisons de sensibilité, l’IRM concerne l’étude des
noyaux d’hydrogène.
Nous obtenons des informations concernant la densité de
noyaux et la composition chimique.
Difficulté : Le signal provient de tout l’échantillon !
Il faut localiser par une technique de codage spatial ⇒
IRM.
Utilisation de gradients de champs magnétiques. La
relation de Larmor est de la forme
γ
νL =
(B + ∆B).
2π
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
La RMN
La localisation du signal - les gradients
Les gradients de champ
Un gradient est un champ magnétique appliqué dans la même
direction que le champ statique B mais avec un module qui
dépend linéairement de la position.
Le gradient est beaucoup plus faible que B , environ 104 fois.
Nous représentons le gradient sous la forme
G(P) = g(r · n)z ,
g représente l’intensité du gradient,
n sa direction,
r = OP ,
z est la direction de B .
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
La RMN
La localisation du signal - les gradients
Sélection du plan de coupe
Pour l’image d’un plan Πs à travers l’échantillon : ns le vecteur
normal unité au plan et C le point appartenant à Πs tel que
OC = c ns .
F IG .: Sélection d’une coupe de l’échantillon.
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
La RMN
La localisation du signal - les gradients
Plan de coupe
Un gradient Gs appelé gradient de sélection de coupe est
appliqué simultanément à l’impulsion RF B . Nous avons
Gs (P) = gs (OP · ns )z = gs ((OC + CP ) · ns ) z = gs c z .
Tous les noyaux d’une espèce donnée (hydrogène) dans le
plan Πs ont la même fréquence de résonance donnée par
νs =
γ
γ
|B + Gs | =
(B0 + gs c).
2π
2π
Hors du plan Πs les noyaux ont une fréquence de Larmor qui
diffère de νs .
Lorsque qu’une impulsion RF B est appliquée à la fréquence
ν1 = νs , seuls les noyaux de Πs résonent.
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
La RMN
La localisation du signal - les gradients
Codage dans le plan de coupe
Gradient de lecture (read-out)
Deux autres gradients sont appliqués pour localiser à l’intérieur
du plan Πs .
Le Gradient de lecture(read-out) Gr est appliqué pendant la
réception du signal RMN.
Gr (P) = gr (OP · nr )z = gr (CP · nr )z = gr xr z .
La fréquence du signal RMN est alors donnée par
ν=
γ
γ
|B + Gr | =
(B0 + gr xr ).
2π
2π
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
La RMN
La localisation du signal - les gradients
Gradient de phase (phase-encoding)
Le gradient Gp est appliqué pendant une brève période Tp
avant la réception du signal.
Gp (P) = gp (OP · np )z = gp (CP · np )z = gp xp z .
La phase du signal est alors donnée par
φ = 2πνL (P)Tp = γ|B + Gp |Tp = γ(B0 + gp xp )Tp .
Ce codage spatial en fréquence et en phase permet, via une
transformation de Fourier du signal, d’obtenir une image de la
coupe Πs .
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
La RMN
La localisation du signal - les gradients
Densité des noyaux d’hydrogène
On néglige la relaxation : le signal admet la représentation
Z
S(tr , gp ) =
ρ(xr , xp ) exp i γ(gr xr tr + gp xp Tp ) dxr dxp ,
(2)
R2
où la fonction ρ est la densité de noyaux dans la coupe Πs .
Nous effectuons la transformée de Fourier du signal, appelée
2D-FT en IRM. Soit le changement de variables
γ
γ
ψ(xr , xp ) ≡ (τ1 , τ2 ) = (− gr xr , − Tp xp ).
2π
2π
2
−1
Soit J le jacobien de l’inverse, J = (γ- Tp gr ) , γ- = γ/2π. Alors
Z
S(tr , gp ) =
A(τ1 , τ2 ) exp(−2πi(τ1 tr + τ2 gp )) dτ1 dτ2 ,
R2
avec A(τ1 , τ2 ) = ρ(ψ −1 (τ1 , τ2 ))J. C’est la transformée de
Fourier inverse de A.
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
La RMN
La localisation du signal - les gradients
Soit I(τ1 , τ2 ) l’intensité au point (τ1 , τ2 ) de l’image (pixel de
l’image). Nous prenons la transformée de Fourier
I(τ1 , τ2 ) = F[S(tr , gp )] = A(τ1 , τ2 ) =
1
γ- 2 Tp gr
ρ(−
τ1
τ2
,−
).
γ- gr γ- Tp
La transformée du signal collecté conduit à la représentation de
la densité ρ dans le plan Πs .
Note : En pratique pour le codage en phase des intervalles de
temps constants Tp sont utilisés. Un gradient de phase gp est
utilisé pour le codage. Le signal ne peut être obtenu que pour
une nombre fini de valeurs de gp . Une transformée de Fourier
discrète est faite pour obtenir l’image.
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Champ magnétique additionnel
Question : Comment des inhomogénéités induisent-elles
des distorsions ?
On rajoute un champ perturbateur. Le champ magnétique total
est alors donné par
B (P) = B + Gs (P) + B 0 (P).
Hypothèse : Les inhomogénéités sont du même ordre que les
gradients et beaucoup plus faibles que le champ B .
Il est raisonnable de faire l’approximation
B(P) ≈ B0 + Gs (P) + B0z (P),
où B0z représente la composante de l’inhomogénéité le long de
la direction z.
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Sélection de la coupe
La fréquence de Larmor νL donnée par (1) est approchée par
νL (P) =
γ
(B0 + Gs (P) + B0z (P)).
2π
Pour choisir la coupe Πs l’impulsion RF B est appliquée à la
fréquence ν1 donnée par
ν1 =
γ
(B0 + gs c).
2π
Les noyaux résonants sont ceux pour lesquels la fréquence de
Larmor νL est égale à la fréquence ν1 .
Ils ne sont plus sur le plan Πs , mais sur l’ensemble des points P
tels que
Gs (P) + B0z (P) = gs c.
(3)
Problèmes issus de l’IRM
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Nous notons (x, y, z) les coordonnées de P dans le système du
laboratoire et par (n1 , n2 , n3 ) les composantes du vecteur ns .
Soit c0 (P) = OP · ns = n1 x + n2 y + n3 z. Alors nous avons
Gs (P) = gs c0 (P) = gs (n1 x + n2 y + n3 z).
L’équation (3) prend la forme
n1 x + n2 y + n3 z +
B0 z (x, y, z)
= c.
gs
(4)
On peut écrire l’équation (4) dans le système de coordonnées
Rc = (C, nr , np , ns ). Nous avons
xs +
B0 z (xr , xp , xs )
= 0,
gs
où (xr , xp , xs ) sont les coordonnées de P dans Rc .
Problèmes issus de l’IRM
(5)
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Exemple sur la sphère :
Le plan de coupe est en fait la surface d’équation (4).
F IG .: Coupe à imager.
Nous considérons le cas particulier d’une sphère métallique
(l’implant) plongée dans une substance diamagnétique (les
tissus biologiques) et soumise à un champ statique B .
Problèmes issus de l’IRM
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Le principe de l’IRM
Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
rayon de la sphère = 1 cm
susceptibilité magnétique =χm = 10−3 .
intensité de la densité de flux = B0 = 1 Tesla
l’intensité du gradient de coupe = g = 10−2 Tesla par
mètre.
inhomogénéités de champ magnétique sont dues au
champ B 0 induit par la sphère.
La coupe est représentée en 3cm x 3cm.
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Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
F IG .: (a) Distorsion de la coupe à imager (en mètre) et (b) distorsion
géométrique.
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Quelques applications
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Codage dans le plan de coupe
Par la relation de Larmor (1) nous avons
ν=
γ
γ
B(P) =
(B0 + gr xr + B0z (xr , xp , xs )).
2π
2π
De façon analogue la phase du signal RMN prend la forme
φ(P) = 2πνL (P)Tp = γB(P)Tp = γ(B0 + gp xp + B0z (xr , xp , xs ))Tp .
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Quelques applications
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Nota Bene :
L’effet du shift de la phase dépend de la séquence IRM
choisie. Pour la séquence Spin-Echo, le shift de la phase dû
aux inhomogénéités est compensé lors de la réception du
signal. Au contraire pour la séquence Gradient-Echo, le shift
est conservé.
C’est pourquoi nous introduisons le paramètre kd valant 0 ou 1.
Nous devons prendre en compte que la perturbation existe non
seulement pendant le codage en phase Tp mais encore
pendant le temps de réception du signal TE . La phase du signal
est donc de la forme
φ(P) = γ(B0 + gp xp Tp + kd B0z (xr , xp , xs )TE ).
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Quelques applications
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Transformée de Fourier du signal perturbé
En présence d’un champ perturbateur B 0 , le signal IRM admet
la représentation
Z
S(tr , gp ) =
ρ(xr , xp , xs (xr , xp ))
R2
× exp i γ(gr xr + B0z (xr , xp , xs (xr , xp )))tr
× exp i γ(gp xp Tp + kd B0z (xr , xp , xs (xr , xp ))TE ) dxr dxp ,
où xs est une solution de l’équation non linéaire
xs +
B0 z (xr , xp , xs )
= 0.
gs
Nous prenons la transformée de Fourier de S pour obtenir
l’intensité.
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Ainsi l’intensité au pixel (τ1 , τ2 ) de l’image est donnée par
X
ρ(xr , xp , xs ) exp i γkd B0z (xr , xp , xs )TE
I(τ1 , τ2 ) =
(xr ,xp ,xs )
solution de (7)
×
1
,
1 ∂ 0
Bz (xr , xp , xs )|
|1 +
gr ∂xr
où



xr +




xp





 xs +
B0z (xr , xp , xs )
gr
= τ1 ,
= τ2 ,
B0z (xr , xp , xs )
gs
(6)
=
(7)
0.
Dans (6) nous avons inclus le cas où (7) a plusieurs solutions.
Nous avons omis un coefficient d’échelle.
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Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Largeur de coupe
Nous avons supposé que l’impulsion RF B est émise à la
fréquence unique ν1 .
En pratique l’impulsion est émise avec une largeur de bande de
la forme ν1 ± 21 ∆ν1 . Le plan de coupe est transformé en une
coupe d’épaisseur donnée. Par conséquent une couche
d’épaisseur es autour de Πs est imagée. On vérifie que
es =
2π ∆ν1
.
γ gs
Pour prendre en compte l’épaisseur, nous rajoutons un terme
de sommation sur l’épaisseur de la couche es .
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Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Le signal est alors de la forme
Z
S(tl , gp ) =
1
e
2 s
− 21 es
Z
ρ(xr , xp , xs (xr , xp , ζ))
R2
× exp i γ(gr xr + B0z (xr , xp , xs (xr , xp , ζ)))tr
× exp i γ(gp xp Tp + kd B0z (xr , xp , xs (xr , xp , ζ))TE ) dxr dxp dζ
où xs satisfait
xs +
B0 z (xr , xp , xs )
=ζ
gs
with ζ ∈ [− 12 es , 12 es ].
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Notre développement pour la transformée de Fourier du signal
est analogue dans ce cas. Les expressions (6) et (7)
deviennent
Z 1 es
X
2
ρ(xr , xp , xs ) exp i γkd B0z (xr , xp , xs )TE
I(τ1 , τ2 ) =
− 12 es
(xr ,xp ,xs )
solution of (9)
1
×
|1 +
1 ∂ 0
B (xr , xp , xs )|
gr ∂xr z
où



xr +




xp





 xs +
dζ,
B0z (xr , xp , xs )
gr
(8)
= τ1 ,
= τ2 ,
B0z (xr , xp , xs )
gs
=
ζ.
Problèmes issus de l’IRM
(9)
Introduction
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Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Algorithmes
Nous voulons calculer l’intensité de l’image I dans (8) pour le
pixel (τ1 , τ2 ) donné. L’intégrale est calculée avec une formule
de quadrature de Gauss. Nous avons
Z
I(τ1 , τ2 ) =
1
e
2 s
− 12 es
A(τ1 , τ2 , ζ) dζ ≈
µd
es X
ωk A(τ1 , τ2 , uk ),
2
k=1
avec ωk ∈ R les poids et uk ∈ [−1, 1] les nœuds.
La principale difficulté est de déterminer le(s) point(s) (xr , xp , xc )
dans l’échantillon qui sont représentés dans le pixel (τ1 , τ2 ). Il
faut résoudre le système (9).
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
En combinant les première et troisième équations, le système
peut être écrit sous la forme

gs

xr +
(ζ − xs ) = τ1 ,


gr


xp
= τ2 ,
(10)

0

B
(x
,
x
,
x
)

z r p s

 xs +
= ζ, où ζ ∈ [− 21 es , 12 es ].
gs
Ainsi nous avons à résoudre le problème non linéaire : trouver
xs ∈ R solution de
B0 (xr , xp , xs )
= ζ,
xs + z
gs
où

gs

x = τ1 + (xs − ζ),

 r
gr
xp = τ2 ,



ζ ∈ [− 21 es , 21 es ].
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Soit F : R −→ R définie par
xs 7−→ F(xs ) = (xs − ζ) +
1 0
gs
Bz (τ1 + (xs − ζ), τ2 , xs ),
gs
gr
où les paramètres gs , gr , gp , τ1 , τ2 et ζ sont fixés.
Alors résoudre le système (9) revient à trouver les zéros F.
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Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Algorithme 1
For each pixel (τ1 , τ2 ) do
For k = 1, . . . , µd do
For each xs solution of F(xs ) = 0 do
Set xr = τ1 + ggsr (xs − ζ) and xp = τ2
Compute ρ(xr , xp , xs ), B0z (xr , xp , xs ) and
∂ 0
B (xr , xp , xs )
∂xr z
Set
I(τ1 , τ2 ) = I(τ1 , τ2 ) + ρ(xr , xp , xs )
exp i γkd B0z (xr , xp , xs )TE
|1 +
1 ∂
0
gr ∂xr Bz (xr , xp , xs )|
End do
End do
End do
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Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Nous avons mis en œuvre l’algorithme 1 dans le cas de la
sphère où une expression analytique pour F est connue.
Nous remarquons que la fonction F n’est pas
nécessairement continue (ceci est dû au saut de B 0 à
l’interface) et le nombre des zéros dépend des valeurs de
τ1 , τ2 et ζ.
F IG .: Graphe de la fonction F dans le cas de la sphère. Les
paramètres τ1 , τ2 et ζ correspondent à un point éloigné (gauche),
proche (centre) et intérieur (droite).
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Commentaires
Le nombre de zéros varie de 0 à 3.
Le comportement de F va donc fortement changer en
fonction des paramètres gs , gr , gp , τ1 , τ2 et ζ. En pratique
nous n’avons pas d’expressions analytiques pour B 0 et
donc F ne peut être calculé que ponctuellement.
Aucun code numérique basé sur l’algorithme 1 n’est
possible.
L’idée est de parcourir l’échantillon et de tester pour savoir
si les noyaux d’un point donné (xr , xp , xs ) résonent ou non.
Nous calculons le pixel de l’image où ce point est envoyé
et nous ajoutons l’intensité correspondante.
Nous sommes conduits à l’algorithme suivant.
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Algorithme 2
For (xr , xp , xs ) ∈ R3 do :
Compute (τ1 , τ2 , ζ) such that

Bz0 (xr , xp , xs )



τ
=
x
+
r
1


gr

τ 2 = xp



Bz0 (xr , xp , xs )


 ζ = xs +
gs
If ζ ∈ [− 21 es , 12 es ] and (τ1 , τ2 ) belongs to the image then
I(τ1 , τ2 ) = I(τ1 , τ2 ) + ρ(xr , xp , xs )
exp (i γkd Bz0 (xr , xp , xs )TE )
|1 + g1r ∂x∂ r Bz0 (xr , xp , xs )|
End if
End do
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Remarques :
En pratique un volume entourant l’objet est choisi. Ce
volume est subdivisé en petits cubes.
À l’intérieur de chaque cube un point (xr , xp , xs ) est choisi.
Le principal désavantage de cette approche est la
nécessité de parcourir beaucoup de points qui ne sont pas
sur l’image.
Toutefois nous pouvons nous limiter à un voisinage autour
de l’objet à imager.
L’algorithme 2 a été mis en œuvre pour nos calculs.
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Résultats numériques
Nous avons fait des calculs sur un implant dentaire.
F IG .: Implant dentaire et maillage
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Résultats numériques
F IG .: Lignes de niveau de Bz0 , images simulée et expérimentale
obtenues par séquence Spin-Echo (SE 490/25). Le côté de la figure
correspond à une longueur de 5 cm
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Données
Implant : susceptibilité magnétique de 10−3 usi
B : 0.5 Tesla.
Le maillage a 1328 triangles.
Coupe de 5 cm de large, parallèle au champ B .
Les gradients valent 10−2 T/m.
L’épaisseur de coupe est de 3 mm.
Pour obtenir l’image expérimentale correspondante, l’implant a
été placé au centre d’une boîte contenant une substance
diamagnétique, (CuSO4 à la concentration de 0.6 g/l). La coupe
a été enregistrée en utilisant une séquence de Spin-Echo avec
un temps de répétition de 490 ms et un temps d’écho de 25 ms.
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Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Calcul du champ perturbateur
Comment calculer le champ magnétique induit par l’implant
métallique ? Ω est un ouvert borné de l’espace, de frontière Σ.
L’implant Ω est plongé dans un champ magnétique B .
Soit B 0 = B − B alors le problème à résoudre est : trouver
B 0 ∈ L2 (R3 )3 tel que

div B 0 = 0 dans R3 ,

(11)
rot B0 = 0 dans Ω et Ω0 ,
 0
B ∧ n = µ0 (M ∧ n) à l’interface Σ,
avec
n normale unité extérieure à Σ,
· le saut au travers de Σ.
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Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
F IG .: Le problème de la magnétostatique

div µH




div H




 µH  · n
Ω
rot
H




rotH



 H ∧ n
Ωs
=
=
=
=
=
=
0
0 
H
·n
{Ω
j
 
H
∧n
{Ωs
dans Ω,
dans {Ω,
sur Σ,
dans Ωs ,
dans {Ωs ,
sur Σs ,
Problèmes issus de l’IRM
(12)
Introduction
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Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Ici
n est la normale unité extérieure à Σ ou Σs




H  (resp. H  , H  , H 
Ω
{Ω
Ωs
) dénote la restriction de H
{Ωs
au domaine Ω (resp. {Ω, Ωs , {Ωs ).
N.B. Comme H n’est pas à rotationnel nul dans Ωs , on ne peut
pas introduire un potentiel scalaire comme inconnue dans tout
l’espace.
Il est connu que pour résoudre le problème (12) avec un
potentiel scalaire, on peut décomposer le problème : calcul du
champ source et du champ induit H = Hs + Hm , voir Simkin Trowbridge (1979).
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Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Hs est solution de









div Hs
rot Hs
rot
 Hs
Hs  ∧ n
Ωs
=
=
=
=
0
j
 
Hs 
{Ωs
∧n
dans R3 ,
dans Ωs ,
dans {Ωs ,
sur Σs ,
(13)
Hm dû au matériau magnétique est solution de


rot Hm
div Hm 
 µH 
 · n − Hm 
m
Ω
{Ω
= 
= 0
· n = (1 − µ) Hs · n
Problèmes issus de l’IRM
dans R3 ,
dans Ω et {Ω,
sur Σ.
(14)
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Hs est calculé par la formule de Biot Savart
1
Hs (x) =
4π
Z
Ωs
x −y
j (y ) ∧
|x − y |3
dy
∀x ∈ {Ωs .
(15)
On introduit le potentiel magnétique scalaire (RSP) φ comme
inconnue pour résoudre le problème (14). En effet Hm est
irrotationnel dans tout l’espace. On réduit le problème à une
inconnue scalaire φ

∆φ = 0
dans Ω et {Ω,


φ continu sur Σ,
(16)


 µ ∂φ 
 − ∂φ  = (µ − 1) g sur Σ,
∂n Ω ∂n {Ω
avec g = Hs · n donné.
Problèmes issus de l’IRM
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Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Le problème (16) est un problème classique de Laplace
sur tout l’espace avec condition d’interface.
A priori, on peut le résoudre avec plusieurs méthodes.
Pour obtenir H , on somme Hm et Hs .
Difficulté : en général, on a des mauvais résultats !
TAB .: H dans Ω calculé par addition de Hs et Hm puis calculé
analytiquement pour des valeurs de µ.
µ
2
10
102
103
104
kHs k2
0.795 106
0.795 106
0.795 106
0.795 106
0.795 106
kHm k2
0.1929 106
0.5937 106
0.7493 106
0.7695 106
0.7716 106
kHs + Hm k2
0.6021 106
0.2013 106
0.4568 105
0.2551 105
0.2343 105
kHk2 exact error (%)
0.5962 106
0.97
0.1835 106
9.2
0.2316 105
65
0.2378 104
166
0.2384 103
190
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Quelques applications
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Formule pour le potentiel
Soit G la fonction de Green donnée par
G(x, y ) =
1
4π|x − y |
pour x, y ∈ R3 , x 6= y ,
et Gn (x, y ) = ∇x G(x, y ).n, x ∈ Σ, y ∈ R3 sa dérivée normale
sur Σ.
On a la représentation suivante pour φ en y ∈ Ω,
Z
Z
µ−1
µ−1
φ(y ) =
g(x) G(x, y ) dσx −
φ(x) Gn (x, y ) dσx .
µ
µ
Σ
Σ
(17)
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Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Formule pour le champ
Alors pour y ∈ Ω le champ Hm (y ) = −∇φ(y ) est donné par
Z
Z
µ−1
µ−1
g(x) ∇y G(x, y ) dσx +
φ(x)∇y Gn (x, y ) dσx .
−
µ
µ
Σ
Σ
(18)
De même pour y ∈ {Ω le champ Hm est donné par
Z
Z
−(µ−1) g(x) ∇y G(x, y ) dσx +(µ−1) φ(x) ∇y Gn (x, y ) dσx .
Σ
Σ
Problèmes issus de l’IRM
(19)
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
On décompose le problème sur le domaine intérieur et
extérieur : trouver φi ∈ H1 (Ω) et φe ∈ W10 ({Ω) tels que


∆φi = 0
in Ω,




e

in {Ω,

 ∆φ = 0
φe = φi





1 ∂φe
∂φi
1


−
= ( − 1)g

µ ∂n
∂n
µ
on Σ,
(20)
on Σ.
On recherche φi et φe de la forme
φi =
+∞
X
1 i
φ
µk k
k =0
et
φe =
+∞
X
1 e
φ .
µk k
k =0
Problèmes issus de l’IRM
(21)
Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Nouvelle formule pour le champ
Pour µ dans [102 , 104 ], on vérifie que H peut être approché par
Z
1
1
H (y ) ≈
Hs (y ) +
φi (x) ∇y Gn (x, y ) dσx
µ
µ Σ 1
Z 1
φi2 (x) − φi1 (x) ∇y Gn (x, y ) dσx . (22)
+ 2
µ
Σ
Cela donne un moyen pour approcher H dès que φi1 et φi2 sont
connus.
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Quelques applications
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Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
TAB .: Quelques comparaisons fonction de µ
µ
10
102
103
104
kHk2 exact kHk2 1 terme err (%)
0.1835 106
0.2157 106
16.2
0.2316 105
0.2349 105
1.4
0.2378 104
0.2370 104
0.32
0.2384 103
0.2372 103
0.50
kHk2 2 termes err (%)
0.2107 106
13.8
0.2343 105
1.2
0.2370 104
0.32
0.2372 103
0.50
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Introduction
Le principe de l’IRM
Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
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Quelques applications
Effet d’un champ magnétique additionnel
Problèmes de la magnétostatique
Phénomènes d’échauffement
Premiers résulats
Cas 3D : simulations numériques
Cas 3D : simulations numériques
Cas 3D : simulations numériques
Cas 3D : simulations numériques
Cas 3D : simulations numériques
Cas 3D : simulations numériques
Maillage
Maillage
Maillage
Champ magnétique
!
Caractérisitiques du maillage :
! Caractérisitiques
du maillage :
! Caractérisitiques du maillage :
♦
d’éléments : 131 220,
♦ Nombre
Nombre d’éléments : 131 220,
♦
Type
d’éléments
Nombre
d’éléments
: 131 220,(TE01),
♦ Type d’éléments :: tétraèdres
tétraèdres
(TE01),
♦
: Lagrange
P1, (TE01),
Type
d’éléments
: tétraèdres
♦ Interpolation
Interpolation
: Lagrange
P1,
♦
de degrés
de liberté
996 d.l.
Interpolation
: Lagrange
P1, :: 23
♦ Nombre
Nombre de degrés
de liberté
23 996 d.l.
♦ Nombre de degrés de liberté : 23 996 d.l.
Temps de calcul : 39.830u 0.600s 0 :40.69 99.3
Cas 3D : simulations numériques
Champ magnétique
3ème
atelier Mélina
3ème atelier Mélina
3ème
atelier Mélina
3ème atelier Mélina
16 mai 2005
16 mai 2005
16 mai 2005
16 mai 2005
7
7
7
11
Temps de calcul : 39.830u 0.600s 0 :40.69 99.3%
3ème atelier Mélina
3ème atelier Mélina
16 mai 2005
16 mai 2005
8
12
F IG .: Calcul du champ à l’intérieur d’une antenne cage d’oiseau
3ème atelier Mélina
16 mai 2005
Problèmes issus de l’IRM
8