1 Les lois de l`électricité à connaître en Terminale S Lors des 3

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Les lois de l’électricité à connaître en Terminale S
Lors des 3 chapitres relatifs à l’électricité, il est souvent demandé d’établir
des équations différentielles. Ces équations s’établissent facilement en
appliquant rigoureusement les lois citées ci-dessous :
I/ Lois vérifiées par les intensités :
A/ Loi d’unicité de l’intensité dans une branche :
L’intensité du courant électrique est la même en tous les points d’une même
branche quelque soit l’ordre et la nature des dipôles.
Remarque : l’ordre des dipôles sur une même branche n’a AUCUNE
importance.
B/ Loi des nœuds :
La somme des intensités qui arrivent à un nœud est égale à la somme des
intensités qui en repartent.
II/ Lois vérifiées par les tensions :
A/ Représentation d’une tension :
La tension u
AB
entre 2 points A et B d’un
circuit se représente par une flèche allant
de B vers A (toujours de la 2
ème
lettre du
nom de la tension vers la 1
ère
).
Exemple sur le schéma ci-contre.
B/ Valeurs de tensions à connaître :
 Tension aux bornes d’un fil de connexion : u
fil
= 0 V.
 Tension aux bornes d’un interrupteur FERME : u
Kfermé
= 0V
 Tension aux bornes d’un interrupteur OUVERT : | u
Kouvert
| = E avec E la
fem (Force ElectroMotrice) du générateur du circuit.
C/ u
AB
et u
BA
:
u
AB
= - u
BA
D/ Loi d’additivité des tensions :
Une tension u
AB
quelconque peut s’écrire sous la forme d’une somme de
plusieurs tensions telles que :
On remarque une relation qui s’apparente à la relation de Chasles pour les
vecteurs. On peut écrire la somme avec un nombre quelconque de tensions.
III/ Convention générateur et convention récepteur :
Soit un dipôle D quelconque. Pour l’étudier, on peut adopter une des 2
conventions suivantes : la convention « récepteur » ou la convention
« générateur ».
Convention « récepteur »
La flèche de la tension du dipôle et
celle de l’intensité sont en sens
contraire.
Convention « générateur »
La flèche de la tension du dipôle et
celle de l’intensité sont dans le même
sens
Si ces conventions sont appliquées rigoureusement (voir par la suite), vous ne
vous tromperez jamais...
u
AB
= u
AC
+ u
CD
+ u
D...
+ u
...E
+ u
EF
+ u
FB

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IV/ Relations liant tension et intensité pour certains dipôles :
Remarque : les conducteurs ohmiques seront appelés « résistances » (Je sais, je
sais...).
A/ La résistance :
Loi d’ohm : la tension u
R
aux bornes d’une résistance R est proportionnelle à
l’intensité i qui la traverse. Le coefficient de proportionnalité est R.
L’expression mathématique de cette loi dépend de la convention adoptée :
Convention « récepteur »
u
AB
= R.i
Convention « générateur »
u
BA
= - R.i
Vous remarquez qu’on retrouve u
AB
= - u
BA
B/ Le condensateur :
La charge électrique q et la tension u
C
aux bornes du condensateur sont
reliées par la relation suivante : q = C.u
C
avec C la capacité du condensateur.
L’intensité i de la branche contenant le condensateur et la charge q sont
reliées par une relation qui dépend de la convention adoptée :(u
C
= u
AB)
Convention « récepteur »
On a :
dq
i
dt
= +
On en déduit alors :
C
du
i C
dt
= +
Convention « générateur »
On a :
dq
i
dt
= −
On en déduit alors :
C
du
i C
dt
= −
C/ La bobine :
Une bobine est un enroulement de fils qui possède donc une résistance r. Pour
que ce soit plus clair, on fera apparaître cette résistance dans le symbole de la
bobine :
Convention « récepteur »
AB
di
u L ri
dt
= +
Convention « générateur »
AB
di
u L ri
dt
= − −

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V/ Un exemple d’application de ces lois :
Afin d’utiliser l’ensemble des lois présentées
précédemment, on va étudier la décharge d’un
condensateur (initialement chargé) dans une
bobine et une résistance. Voir schéma ci-contre.
Question : Etablir l’équation différentielle
vérifiée par u
C
, la tension aux bornes du
condensateur.
Réponse :
1. Pour commencer, on repère u
C
: u
C
= u
BA
d’après la flèche de
représentation.
Ensuite on va écrire la loi d’additivité des tensions
(« ça commence toujours
comme ça... »)
:
On écrit cette loi rigoureusement : u
C
= u
BA
= u
BD
+ u
DE
+ u
EF
+ u
FG
+ u
GA
Comme les portions (DE) et (AG) sont des fils de connexion, u
DE
et u
AG
sont
nulles doù : u
C
= u
BD
+ u
EF
+ u
FG
2. Comment fait-on pour exprimer les tensions alors
qu’il n’y a pas d’intensité représentée. Aucun
problème, on choisit le sens de l’intensité
arbitrairement ; en clair, vous la choisissez comme
vous voulez !
Ici, elle a été choisie dans le sens des aiguilles d’une
montre. (Voir ci-contre)
On peut alors écrire, d’après les conventions « récepteur » et « générateur » :
u
BD
= R.i (convention récepteur)
u
EF
= r.i (convention récepteur)
FG
di
u L
dt
= + (convention récepteur)
On en déduit : u
C
= R.i + r.i +
di
L
dt
=(R+r).i +
di
L
dt
équation 1
Le problème est qu’on n’a pas uniquement la fonction u
C
dans cette équation ;
on a aussi i(t)...
Comment faire ? On utilise la relation aux bornes d’un condensateur !
Comme une convention générateur a été adoptée pour le condensateur, on a :
dq
i
dt
= −
On en déduit donc :
C
du
i C
dt
= −
Il suffit de remplacer cette expression de i dans l’équation 1 :
2
C C
C
2
du d u
u (R r)( C ) LC
dt dt
= + − −
On ramène tous les membres de cette équation à gauche du signe « = » :
2
C C C
2
d u du
LC (R r).C. u 0
dt dt
+ + + =
On divise tous les membres par LC :
2
C C C
2
d u du
(R r) 1
u 0
dt L dt LC
+
+ + =
Voilà l’équation différentielle vérifiée par la tension u
C
(t) aux bornes d’un
condensateur lors de sa décharge dans une bobine et une résistance.
Commentaires :
 La résolution de cette équation et l’écriture de ses solutions ne sont pas au
programme.
 On remarque que si les résistances sont négligées, on se retrouve avec :
2
CC
2
d u 1
u 0
dt LC
+ =
équation 2
Vous devez alors savoir répondre à la question suivante :
- Montrer que
C 0
u A.sin( t B)
ω
= +
si ( et seulement si même )
0
1
LC
ω =.
Donner les valeurs de A et B avec les conditions initiales.