Transformateur monophasé

Chapitre B.2.1.Transformateur monophasé
1°) Transformateur monophasé
1.1) Définition
Un transformateur est un quadripôle formé de deux enroulements enlaçant un circuit
magnétique commun. C’est une machine statique permettant, en alternatif, la modification de certaines
grandeurs ( tension, courant)sans changer leur fréquence.
1.2) Constitution
Circuit magnétique: Il est traversé par un champ magnétique variable
et est le siège de pertes magnétiques ( pertes par courants de Foucault et par
hystérésis). On limite ces pertes, pour les premières en utilisant un circuit feuilleté
et pour les secondes en utilisant un acier au silicium.
Enroulements: Ils sont placés de manière à limiter les fuites
magnétiques.
1.3) Représentation - Convention
Symbole:
i1
i2
*
*
u1
u2
Convention récepteur pour le primaire indicé 1. Le
primaire reçoit de la puissance du réseau.
Convention générateur pour le secondaire indicé 2.
Le secondaire fournit de la puissance à la charge.
Bornes homologues: Les bornes marquées d’une
étoile sont dites homologues, si des courants entrant
au même instant par ces bornes donnent des flux de
même sens ( ligne de champ de même sens).
2°) Le transformateur parfait en régime sinusoïdal
Pour un transformateur parfait, il faut négliger:
- Les pertes par effet Joule dans les enroulements. On considère R1 = R2 = 0Ω.
- Les pertes magnétiques i.e. les pertes par courants de Foucault et les pertes par hystérésis.
On considère qu’il n’y a pas de saturation du milieu ferromagnétique.
b, φ
h, i
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- Les fuites magnétiques. Le flux à travers chaque spire du primaire est le même que celui
traversant chaque spire du secondaire. φ1 = φ2 = φ.
2.1) Modèle électrique équivalent
φ
i1
i1
u2
u1
*
N1
N2
*
i2
u1
i2
*
e2
u2
e1
*
S
La f.e.m induite est positive, si en étant la seule source de tension, elle tend à faire circuler un
courant positif. A chaque instant, chaque spire d’enroulement est traversée par le même flux magnétique φ.
et
Circuit primaire: Appliquons la loi des mailles
Cette formule est appelée formule de Boucherot. Pour un transformateur parfait, le champ
magnétique b est imposé par u1.
Circuit secondaire:

u2 = e2 ⇒ U 2 = E2 = 4,44 N 2 BS
2.2) Relation entre les tensions
u2
e2
N2
=− =−
u1
e1
N1
rapport de transformation : m =
N2
.
N1
Les tensions u1 et u2 sont en opposition de phase.
U2
E2
=−
= −m On peut donc déterminer les bornes homologues à l’aide d’un
U1
E1
oscilloscope.
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2.3) Relation entre les intensités
D’après la formule de Boucherot, le champ magnétique b est imposé par u1, sans tenir
compte ni de i1, ni de i2. D’après le théorème d’Ampère Hl = f.m.m.
Avec f .m.m = N1 × i1 + N 2 × i2 = N1 × i10
en charge
à vide
i2
i1
i2 = 0 A
i10
A vide
En charge
N 1 × i 1 = N 1 × i 10 − N 2 × i 2
N2
× i = i − mi2
N1 2 10
Lorsque l’on passe d’un fonctionnement à vide à un fonctionnement en charge, le primaire appelle
le courant supplémentaire -mi2. Ce courant dit de travail, circule dans les N1 spires du primaire et crée une
f.m.m qui annule exactement la f.m.m du secondaire.
⇔ i1 = i10 −
Seule la f.m.m N1 i10 donne naissance au vecteur excitation magnétique. Le courant à vide est appelé
courant magnétisant. Par la suite le courant magnétisant correspondra à la partie réactive du courant à vide.
En charge le courant i1 absorbé au primaire, est la somme de deux composantes:
- Le courant magnétisant i10 , qui crée le champ magnétique.
- Le courant de travail -mi2 proportionnel au courant débité dans la charge.
Par la suite, on pourra négliger i10 devant i1.
i1
Par conséquent on obtient, = −m .
i2
I1
= −m .
Si en plus la charge est linéaire alors
I2
2.4) Diagramme de Fresnel
Un transformateur parfait de rapport de transformation m, est soumis à une tension u1
connue et débite dans un récepteur linéaire connu (ϕi2/u2).
I2
E2 = U2
Origine des
phases
E1
ϕ
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u2 = -m u1.
i1 = -m i2.
U1
ϕi2/u2
I1
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2.5) Puissances
apparentes
actives
réactives
rendement
S1 = U1 I1
P1 = U1 I1 cosϕ1
Q1 = U1 I1 sinϕ1
η= P2 / P1 = 1
S2 = U2 I2
P2 = U2 I2 cosϕ2
Q2 = U2 I2 sinϕ2
S1 = S2 .
3°) Modèle électrique équivalent
La source de tension u1 impose la tension u2, mais c’est la charge qui impose le courant i2 et par
conséquent i1.
3.1) Impédance ramenée au primaire
i1
i2
*
I1
⇔
Zc
u2
u1
U1
Zp
*
3.2) M.E.T ramené au secondaire
I1
I2
I2
*
Z
E
U2
U1
Zc
⇔
U2
Zc
*
4°) Le transformateur réel
4.1) La plaque signalétique
- Valeur de la puissance apparente, qui sert de base à la construction du transformateur.
- Tension primaire nominale U1N.
- Tension secondaire sous U1N à vide : U2v.
- Fréquence d’utilisation.
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4.2) Bilan énergétique
La puissance utile d’un transformateur : P2.
La puissance absorbée au primaire : P1.
Rendement η=P2/P1.
4.2.1) Pertes par effet Joule ou pertes dans le cuivre
Elles sont dues aux résistances R1 et R2 des enroulements.
PJ = PC = R1 I 12 + R2 I 22
4.2.2) Pertes magnétiques ou pertes dans le fer
-Pertes par hystérésis:
b,ϕ
L’aimantation du matériau absorbe de l’énergie. Le phénomène
n’étant pas réversible, le matériau ne restitue pas toute l’énergie
reçue. Pendant la désaimantation, une partie se dissipe sous forme
de chaleur. Ces pertes sont proportionnelles à l’aire du cycle
d’hystérésis.
h,i
- Pertes par courants de Foucault
Le courant alternatif parcourant la bobine engendre un flux alternatif dans le
matériau. Ce flux variable crée, dans la matière, des courants induits, appelés courants de Foucault, qui
provoquent l’échauffement du matériau.
Les pertes dans le fer dépendent du champ magnétique maximal et de la fréquence. Si u1 est
constant, elles sont indépendantes de la charge.
4.2.3) Fuites magnétiques
ϕ
i1
u1
Le flux ϕt engendré par la bobine peut-être considéré comme la
somme du flux ϕ ( seul considéré pour l’instant ) et d’un flux de
fuite ϕf correspondant à des lignes de champ, qui se referment dans
l’air.
ϕf
ϕt = ϕ + ϕ f .
Le flux de fuite ϕf est proportionnel à i1, car les lignes
de champ se referment dans l’air. Il n’y a pas de saturation.
ϕf
b
S
H0 × l = N 1 × i1 ⇔
× l = N 1 × i1 ⇔
× l = N 1 × i1
µ0
µ0
µ 0 N1 S
× i1 = l f × i1
l
Avec lf inductance de fuite.
ϕf =
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Remarque: A cause des résistances des enroulements et des fuites magnétiques, u2 en charge
est différent de u2v. Il existe donc une chute de tension secondaire en charge.
∆U 2 = U 2 v − U 2
4.2.4) Obtention de la mesure de ces pertes
- Mesure directe de P1 et P2. La détermination des pertes est alors imprécise.
- Mesure indirecte: Méthode des pertes séparées, elle permet aussi la détermination du
rendement au point de fonctionnement nominal, sans qu’il soit nécessaire de lui fournir sa puissance
nominale.
Essai à vide:
Le courant i1v n’étant pas sinusoïdal, il faut
i1v
un ampèremètre ferromagnétique ou
A1
W
R.M.S vrai. On utilise un montage longue
dérivation car I1v est faible devant U1N,
donc Z1 est grande. L’impédance du
V2
u2v
u 1N V 1
voltmètre V2 (Zv2) est grande, donc
l’impédance ramenée au primaire le sera
d’autant (Zp= Zv2/m2). I1v est négligeable
devant I1N, mais les pertes par hystérésis
qui dépendent du champ magnétique maximal, qui dépendent de U1N ne le sont pas.
P1v = PF + R1 × I 12v ⇒ P1 v ≅ PF .
L’essai à vide sous tension nominale U1N permet de déterminer les pertes dans le fer. On admet qu’elles
sont proportionnelles à U21V.
Essai en court-circuit:
i1cc
A1
i2cc=i2N
W
u 1cc
V1
On règle U1cc << U1N, afin d’avoir I2cc =
I2N. On aura ainsi I1cc = I1N.
Ne pas brancher d’ampèremètre au
secondaire cela ramènerait la résistance
de l’ampèremètre au primaire.
P1 cc = PF + R1 × I 12cc + R2 × I 22cc ≅ R1 × I 12cc + R2 × I 22cc .
L’essai en court-circuit permet de déterminer les pertes par effet Joule, pour un régime de
fonctionnement fixé, pour un courant I2 fixé.
Rendement:
η=
P2
.
P2 + PF + PC
5°) Modèle linéaire du transformateur réel
Un transformateur réel comporte :
- Des enroulements de résistances R1 et R2 non nulles.
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- Un circuit magnétique, dont la magnétisation nécessite une f.m.m non nulle. De plus ce
circuit présente de l’hystérésis et fonctionne toujours à la limite de la saturation. Son fonctionnement n’est
pas linéaire.
La tension u1 est sinusoïdale donc ϕ et b aussi. L’intensité i1 ne
l’est pas par contre, donc h non plus.
Elle est périodique de même période que la tension.
b,ϕ
u1
h,i
i1
5.1) Modèle simplifié
Premier modèle simplifié:
b, φ
h, i
Si on n’atteint pas la saturation du matériau
ferromagnétique, le cycle d’hystérésis devient.
Il faut pour se faire choisir une amplitude de u1 pas
trop grande et négliger les harmoniques devant le
fondamental du courant. Ainsi u1, ϕ, b, i et h sont
sinusoïdaux.
L’intensité i1 est en retard sur la tension u1, donc le
primaire consomme de la puissance réactive comme
une inductance pure L1 et de la puissance active
( pertes dans le fer ) comme une résistance RF.
u1
i1
Les fuites magnétiques: ϕf1 est proportionnel à i1
( absence de saturation car les lignes de champ se
trouve dans l’air). ϕf1 = lf1 i1.
i1
R1
lf1
RF
e2 = m e 1
LF
*
e1
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lf2
*
i10
u1
R2
-m i2
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i2
u2
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Remarques:
- A vide:
Si I10 est faible ou si R1 I10 + j lf1 ω I10 << E1, alors
U20 =
transformateur parfait.
U1 =
et U20 =
.
Le transformateur réel se comporte pour les tensions comme un
- En charge: Si on néglige I10 devant I1 et I2, alors le transformateur réel se comporte
pour les courants comme un transformateur parfait. I1 =
.
5.2) Modèle dit de Kapp
Le circuit magnétique est « linéarisé », en plus
on le considère comme parfait. En fait, on néglige le
phénomène d’hystérésis et les courants de Foucault. Cela
revient à négliger i10 ( ce que l’on peut faire pour un
fonctionnement nominal).
b, φ
h, i
i1
R1
lf1
R2
-m i2
lf2
*
e2 = m e 1
u1
i2
u2
e1
*
5.3) Modèle équivalent de Thévenin vue de la charge avec l’hypothèse de Kapp
Zs
I2
U2 = Es − Zs × I s
Z s = Rs + jX s
Es
U2
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Cherchons à exprimer ces différents termes en fonction des
paramètres du modèle de Kapp.
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I1 = −mI 2
E2 = mE1
E1 = R1 × I1 + jl f 1ω I1 − U1
E2 = R2 × I 2 + jl f 2ω I 2 + U 2
Identifions termes à termes, avec l’équation due au M.E.T
Es =
,
Rs =
,
Xs = Lsω avec Ls =
.




Diagramme de Kapp: U2 = Es - Zs I2 ⇔ U 2 = E s − Rs I 2 − U L s avec U Ls = jLs ω I 2
Grandeur courant i2 prise comme référence de phase.
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