L`algorithme de Thurston

Aspects algorithmiques de
la génération de pavages
Sébastien Desreux
Laboratoire d’Informatique Algorithmique: Fondements et Applications
17 juillet 2003
– p.1/22
Plan de l’exposé
Quelques exemples
Motivation de l’étude
Revue des outils
Exposé en quatre actes
Conclusion
Qu’est-ce qu’un pavage ?
– p.2/22
Qu’est-ce qu’un pavage ?
Pavage par des dominos
La grille carrée
Introduction
– p.3/22
Qu’est-ce qu’un pavage ?
Pavage par des dominos
La grille carrée
Un domaine à paver
Introduction
– p.3/22
Qu’est-ce qu’un pavage ?
Pavage par des dominos
La grille carrée
Un domaine à paver
Un pavage
Losanges
Introduction
– p.3/22
Qu’est-ce qu’un pavage ?
Pavage par des losanges
La grille triangulaire
Introduction
– p.3/22
Qu’est-ce qu’un pavage ?
Pavage par des losanges
La grille triangulaire
Un domaine à paver
Introduction
– p.3/22
Qu’est-ce qu’un pavage ?
Pavage par des losanges
La grille triangulaire
Un domaine à paver
Un pavage...
Introduction
– p.3/22
Qu’est-ce qu’un pavage ?
Pavage par des losanges
La grille triangulaire
Un domaine à paver
Un pavage...
...et des couleurs
Pourquoi étudier les pavages ?
Introduction
– p.3/22
Pourquoi étudier les pavages ?
Introduction
– p.4/22
Pourquoi étudier les pavages ?
Système dynamique discret
Introduction
– p.4/22
Pourquoi étudier les pavages ?
Système dynamique discret
Modèle d’Ising
Introduction
– p.4/22
Pourquoi étudier les pavages ?
Système dynamique discret
Modèle d’Ising
Pavage du plan par des tuiles arbitraires : indécidable
Introduction
– p.4/22
Pourquoi étudier les pavages ?
Système dynamique discret
Modèle d’Ising
Pavage du plan par des tuiles arbitraires : indécidable
Pavage d’une région du plan par des tuiles arbitraires :
NP-complet
Introduction
– p.4/22
Pourquoi étudier les pavages ?
Système dynamique discret
Modèle d’Ising
Pavage du plan par des tuiles arbitraires : indécidable
Pavage d’une région du plan par des tuiles arbitraires :
NP-complet
Modélise le sac à dos
Introduction
– p.4/22
Pourquoi étudier les pavages ?
Système dynamique discret
Modèle d’Ising
Pavage du plan par des tuiles arbitraires : indécidable
Pavage d’une région du plan par des tuiles arbitraires :
NP-complet
Modélise le sac à dos
les partitions
Introduction
– p.4/22
Pourquoi étudier les pavages ?
Système dynamique discret
Modèle d’Ising
Pavage du plan par des tuiles arbitraires : indécidable
Pavage d’une région du plan par des tuiles arbitraires :
NP-complet
Modélise le sac à dos
les partitions
les partitions planes
Introduction
– p.4/22
Pourquoi étudier les pavages ?
Système dynamique discret
Modèle d’Ising
Pavage du plan par des tuiles arbitraires : indécidable
Pavage d’une région du plan par des tuiles arbitraires :
NP-complet
Modélise le sac à dos
les partitions
les partitions planes
les partitions solides
Introduction
– p.4/22
Pourquoi étudier les pavages ?
Système dynamique discret
Modèle d’Ising
Pavage du plan par des tuiles arbitraires : indécidable
Pavage d’une région du plan par des tuiles arbitraires :
NP-complet
Modélise le sac à dos
les partitions
les partitions planes
les partitions solides
Les apparences sont trompeuses
Situation en 2000
Introduction
– p.4/22
La situation en 2000
−1
b
c −1
b
b
a −1
c −1
a −1
c
b
a
−1
a
c
Groupes de pavage
(Conway et Lagarias)
1990
Introduction
– p.5/22
La situation en 2000
1
Groupes de pavage
(Conway et Lagarias)
1990
Fonctions de hauteur
+1
(Thurston) −1
1990
2
3
3
2
2
v0
0
1
3
2
4
5
1
2
2 3
3
0
1
0
1
−1
2
−1
2
4
1
1
1
0
2
1
+1
1
0
−1
1
+1
+1
−1
1
0
+1
Introduction
– p.5/22
La situation en 2000
Groupes de pavage
(Conway et Lagarias)
1990
Exemple de treillis
une
Cet ordre induit sur
structure de treillis distributif.
Structure de treillis
distributif
(Rémila)
1999
L’ensemble
des fonctions de
hauteur des pavages d’un domaine est muni de l’ordre point
par point.
Fonctions de hauteur
(Thurston)
1990
Introduction
– p.5/22
Exemple de treillis de pavages
Introduction
– p.6/22
Exemple de treillis de pavages
1
1
2
1
0
2
2
flip montant
2
1
flip descendant
1
3
2
1
2
Introduction
– p.6/22
Exemple de treillis de pavages
1
0
3
2
1
1
2
1
0
3
0
1
1
1
0
3
2
0
1
0
2
1
0
1
0
0
1
1
2
−1
1
0
1
2
2
1
1
1
0
0
0
2
−1
1
1
2
−1
1
0
1
0
−1
2
1
3
0
1
2
1
0
1
1
2
−1
2
1
0
1
1
0
flip montant
2
flip descendant
2
0
1
1
1
0
1
2
3
0
1
1
2
1
−1
0
−2
1
−1
0
2
1
Introduction
– p.6/22
Exemple de treillis de pavages
Axes de la présentation
Introduction
– p.6/22
Les axes de la présentation
Que nous apprend la structure de treillis
pour l’étude des pavages ?
– p.7/22
Les axes de la présentation
Découpage des domaines à paver et treillis produit
– p.7/22
Les axes de la présentation
Découpage des domaines à paver et treillis produit
Structure récursive du treillis
– p.7/22
Les axes de la présentation
Découpage des domaines à paver et treillis produit
Structure récursive du treillis
Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.7/22
Les axes de la présentation
Découpage des domaines à paver et treillis produit
Structure récursive du treillis
Généralisation de l’algorithme de Thurston
Algorithmes
Découpage
– p.7/22
Première partie
Découpage des domaines
– p.8/22
Domaines non connexes
I. Découpage du domaine
– p.9/22
Domaines non connexes
Treillis
Treillis
Treillis
Treillis
Treillis
Le treillis des pavages
d’un domaine non
connexe est le produit
des treillis des pavages
des sous-domaines
connexes.
I. Découpage du domaine
– p.9/22
Treillis
Treillis
Treillis
Treillis
Treillis
Domaines non connexes
Conséquence
Pour connaître les pavages d’un domaine
non connexe, il suffit de connaître les pavages des sous-domaines connexes.
Lignes de fracture
I. Découpage du domaine
– p.9/22
Lignes de fracture
Peut-on découper un domaine
connexe en sous-domaines
indépendants, comme si le
domaine n’était pas connexe ?
I. Découpage du domaine
– p.10/22
Lignes de fracture
Thurston
I. Découpage du domaine
– p.10/22
Lignes de fracture
Dual
Thurston
I. Découpage du domaine
– p.10/22
Lignes de fracture
Thurston
I. Découpage du domaine
– p.10/22
Lignes de fracture
Thurston
Fracture
I. Découpage du domaine
– p.10/22
Lignes de fracture
Zones
fertiles
Thurston
Fracture
I. Découpage du domaine
– p.10/22
Lignes de fracture
Treillis
produit
Thurston
Fracture
I. Découpage du domaine
– p.10/22
Lignes de fracture
Théorème
Il n’existe aucun
découpage plus fin
qui permette
d’obtenir le treillis
comme produit.
Thurston
Fracture
I. Découpage du domaine
– p.10/22
Lignes de fracture
Idée de preuve
L’ordre des
sup-irréductibles du
treillis des pavages
d’une zone fertile est
connexe.
Thurston
Fracture
I. Découpage du domaine
– p.10/22
Lignes de fracture
Conséquence
Il suffit d’étudier les
pavages des zones
fertiles.
Thurston
Pavages principaux
Fracture
I. Découpage du domaine
– p.10/22
Deuxième Partie
Structure récursive du treillis
des pavages d’une zone fertile
– p.11/22
Pavages principaux
Comment s’organisent
les pavages d’une zone
fertile ?
II. Structure récursive du treillis
– p.12/22
Le pavage minimal
contient quatre
graines.
!
Pavages principaux
Le premier étage
du treillis
contient quatre
sup-irréductibles.
II. Structure récursive du treillis
– p.12/22
"
"
"
"
Pavages principaux
Dans chaque cas, on fige toutes les graines, sauf une,
et on effectue tous les flips possibles.
II. Structure récursive du treillis
– p.12/22
On prend le
supremum.
!
Pavages principaux
II. Structure récursive du treillis
– p.12/22
#
Pavages principaux
Le pavage d’ordre 0
(Pavage minimal)
II. Structure récursive du treillis
– p.12/22
#
$
Pavages principaux
Le pavage d’ordre 1
II. Structure récursive du treillis
– p.12/22
$
#
$
Pavages principaux
Le pavage d’ordre 2
II. Structure récursive du treillis
– p.12/22
$
$
#
$
Pavages principaux
Le pavage d’ordre 3
(Pavage maximal)
Construction récursive
II. Structure récursive du treillis
– p.12/22
Construction récursive du treillis
%&
(D)−1
('
d
est le pavage minimal ;
est le pavage maximal.
%
3
)
#
%&
(D)
%
2
Ce sont les pavages
constructibles avec
l’algorithme de Thurston.
%
1
%
0
II. Structure récursive du treillis
– p.13/22
Construction récursive du treillis
('
d
est le pavage minimal ;
*+
(D)−1
*
3
)
#
*+
(D)
est le pavage maximal.
Ce sont les pavages
constructibles avec
l’algorithme de Thurston.
*
2
,
Les pavages principaux
interpolent entre ces pavages.
*
1
*
0
II. Structure récursive du treillis
– p.13/22
Construction récursive du treillis
-.
(D)
,
Les pavages principaux
interpolent entre ces pavages.
-.
(D)−1
0 -
2
,1
,
/
Les intervalles
forment une chaîne
maximale.
2
-
3
-
1
-
0
II. Structure récursive du treillis
– p.13/22
Construction récursive du treillis
34
(D)
Les intervalles
forment une chaîne
maximale.
3
3
,1
,
0 /
34
(D)−1
2
,
Les pavages principaux
interpolent entre ces pavages.
3
2
Théorème
,1
,
0 /
.
on
2
0 ,1
#
/
, 2
0 #
/
De
et
peut déduire
2
3
1
3
0
Algorithme de Thurston
II. Structure récursive du treillis
– p.13/22
Troisième partie
Généralisation de
l’algorithme de Thurston
– p.14/22
L’algorithme de Thurston
Comment déterminer si un domaine est pavable ?
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.15/22
L’algorithme de Thurston
Comment déterminer si un domaine est pavable ?
Idée : chercher un pavage dans lequel les
maxima locaux de la fonction de hauteur
se trouvent sur la frontière.
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.15/22
5
L’algorithme de Thurston
0 −1 0 −1
0
1
0
1
1
0
1
0 −1 0 −1
0
On place les hauteurs sur la frontière.
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.15/22
L’algorithme de Thurston
0
0 −1 0 −1
1
0
1
1
0
1
1 −2
−2 1
0
0
−1 −1
1 −2
−2 1
0 −1 0 −1
0
5
0 −1 0 −1
0 −1 0 −1
0
0
On recouvre chaque sommet de hauteur
maximale de l’unique manière qui ne
crée pas un maximum local.
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.15/22
L’algorithme de Thurston
0
1 −2
−2 1
0
0
−1 −1
1 −2
−2 1
0 −1 0 −1
0
5
0 −1 0 −1
0 −1 0 −1
−3
1 −2
−2
0
−1 −1
1 −2
−2
−3
0 −1 0 −1
0
1
0
1
0
On continue sur le domaine restant...
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.15/22
L’algorithme de Thurston
0
1
0
1
0
5
0 −1 0 −1
−3
1 −2
−2
0
−1 −1
1 −2
−2
−3
0 −1 0 −1
0 −1 0 −1
−3
1 −2
−2
−1 −1
0
−4
1 −2
−2
−3
0 −1 0 −1
0
1
0
1
0
...jusqu’à ce que tout le domaine soit recouvert.
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.15/22
L’algorithme de Thurston
0 −1 0 −1 0
−3
1 −2
−2 1
−1
−1
−4
0
0
1 −2 −3 −2 1
0 −1 0 −1
Idée
Les maxima locaux de la
fonction de hauteur se
trouvent sur la frontière.
0
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.15/22
L’algorithme de Thurston
0 −1 0 −1 0
−3
1 −2
−2 1
−1
−1
−4
0
0
1 −2 −3 −2 1
0 −1 0 −1
0
Idée
Les maxima locaux de la
fonction de hauteur se
trouvent sur la frontière.
Réinterprétation
C’est l’élément minimal du
treillis.
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.15/22
L’algorithme de Thurston
0 −1 0 −1 0
−3
1 −2
−2 1
−1
−1
−4
0
0
1 −2 −3 −2 1
0 −1 0 −1
Thurston généralisé
0
Réinterprétation
C’est l’élément minimal du
treillis.
Conclusion
L’algorithme de Thurston
construit l’idéal vide de
l’ordre des sup-irréductibles
du treillis.
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.15/22
Généralisation de Thurston
Peut-on adapter l’algorithme de Thurston
pour constuire n’importe quel idéal de
l’ordre des sup-irréductibles du treillis ?
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Généralisation de Thurston
Définition
Un sup-irréductible du treillis
est un pavage qui n’admet
qu’un seul antécédent.
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Généralisation de Thurston
Définition
Un sup-irréductible du treillis
est un pavage qui n’admet
qu’un seul antécédent.
Caractérisation
Sa fonction de hauteur admet
un unique maximum local.
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Généralisation de Thurston
Définition
Un sup-irréductible du treillis
est un pavage qui n’admet
qu’un seul antécédent.
Caractérisation
Sa fonction de hauteur admet
un unique maximum local.
Conclusion
C’est un cône.
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Généralisation de Thurston
7
6
Superposition de sup-irréductibles
Peut-on obtenir n’importe
quel pavage de cette
manière ?
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Généralisation de Thurston
7
6
Superposition de sup-irréductibles
Théorème de Birkhoff
Tout treillis distributif fini
est isomorphe au treillis
des idéaux de l’ordre de
ses sup-irréductibles.
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Généralisation de Thurston
7
6
Superposition de sup-irréductibles
Théorème de Birkhoff
Conclusion
Tout treillis distributif fini
est isomorphe au treillis
des idéaux de l’ordre de
ses sup-irréductibles.
Tout pavage peut s’obtenir
comme superposition de
cônes.
Exemple
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Généralisation de Thurston
Mise en œuvre
On impose des valeurs en un
nombre arbitraire de sommets.
2
1
2
1
2
1
3
3
5
2
2
3
2
2
3
1
2
1
2
1
2
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Généralisation de Thurston
On procède par ligne de niveau...
2
1
2
1
2
1
3
5
2
3
1
2
1
2
1
2
3
3
2
2
3
3
2
2
1
2
3
1
2
4
3
2 5
3
1
2
1
3
2
1
2
3
3
4
2
2
1
2
8
2
2
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Généralisation de Thurston
...en couvrant les maxima rencontrés de
l’unique manière qui ne crée pas de maximum local...
1
3
3
1
2
4
3
3
1
2
1
3
2 5
2
2
2
2
3
4
1
2
1
2
2
1
2
3
3
3
2
2
2
3
3
3
2
2
1
1
2
4
5
4
2
1
2
1
2
3
3
2
2
3
3
1
2
8
2
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Généralisation de Thurston
...jusqu’à ce que tout le domaine soit recouvert.
1
2
3
3
2
2
3
3
2
1
1
2
4
5
4
2
1
2
1
2
2
3
3
3
2
2
2
3
3
3
2
2
1
2
1
3
2
3
1
1
2
4
5
4
2
1
2
1
2
3
2
3
3
3
2
1
2
8
2
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Généralisation de Thurston
L’algorithme de Thurston généralisé :
permet de construire n’importe quel pavage ;
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Généralisation de Thurston
L’algorithme de Thurston généralisé :
permet de construire n’importe quel pavage ;
est linéaire en le nombre de cellules ;
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Généralisation de Thurston
L’algorithme de Thurston généralisé :
permet de construire n’importe quel pavage ;
est linéaire en le nombre de cellules ;
s’exécute en l’espace mémoire nécessaire pour stocker
un pavage.
Algorithmes
III. Généralisation de l’algorithme de Thurston
– p.16/22
Quatrième partie
Algorithmes
– p.17/22
Génération exhaustive
Comment engendrer tous les pavages d’un domaine ?
IV. Algorithmes
– p.18/22
Génération exhaustive
16
9
5
11
12
3
8
17
13
10
14
4
15
2
Imposons une numérotation
arbitraire des sommets.
7
1
19
6
18
IV. Algorithmes
– p.18/22
Génération exhaustive
16
11
12
3
Imposons une numérotation
arbitraire des sommets.
9
5
8
17
13
10
14
4
15
2
7
1
Notons pour chaque sommet
sa hauteur normalisée.
19
6
18
3
∆h
λ
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
sommet
IV. Algorithmes
– p.18/22
Génération exhaustive
∆h
λ
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
sommet
En lisant la hauteur normalisée sommet
par sommet, on code le pavage par un mot :
Successeur
1
0
1 1
1
2
3
4
0 1
1
1 0
6
7
8
5
9
1 0
0 1
10 11 12
2 1
13 14
1
1
15 16 17
0 1
18
19
IV. Algorithmes
– p.18/22
Génération exhaustive
1
0
1 1
1
2
3
4
0 1
1
1
0
1 0
6
7
8
9
10 11 12
5
0 1
2 1
13 14
1
1
15 16 17
0 1
18
19
Pour trouver le successeur lexicographique d’un mot codant
un pavage :
#
9
trouver le sommet de plus grand numéro ( ) qui
correspond à un maximum local de la fonction de
hauteur ;
augmenter sa hauteur normalisée de 1 ;
9
#
:9
:
calculer avec l’algorithme de Thurston généralisé le
plus petit pavage ayant les mêmes hauteurs
.
normalisées pour
IV. Algorithmes
– p.18/22
Génération exhaustive
Algorithme de génération exhaustive des pavages
Construire le pavage minimal avec l’algorithme de
Thurston ;
appeler récursivement la fonction successeur.
IV. Algorithmes
– p.18/22
Génération exhaustive
Algorithme de génération exhaustive des pavages
Construire le pavage minimal avec l’algorithme de
Thurston ;
appeler récursivement la fonction successeur.
Complexité
temps : nombre de pavages
nombre de cellules ;
espace : celui pour stocker un pavage.
IV. Algorithmes
– p.18/22
Génération exhaustive
Algorithme de génération exhaustive des pavages
Construire le pavage minimal avec l’algorithme de
Thurston ;
appeler récursivement la fonction successeur.
Complexité
temps : nombre de pavages
nombre de cellules ;
espace : celui pour stocker un pavage.
Conclusion
L’algorithme est optimal en temps et en espace.
Algorithmes reliés
IV. Algorithmes
– p.18/22
Algorithmes reliés
Génération des intervalles
#
9
Adapter le choix de
;
insérer un infimum.
IV. Algorithmes
– p.19/22
Algorithmes reliés
Génération des intervalles
#
9
Adapter le choix de
;
insérer un infimum.
Génération des sup-irréductibles
Calculer les pavages minimal et maximal du domaine ;
en déduire la gamme des hauteurs normalisées de
chaque sommet ;
pour chaque sommet et chacune de ses hauteurs
normalisées non nulles, calculer au moyen de
l’algorithme de Thurston généralisé l’infimum des
pavages dans lesquels le sommet porte cette hauteur.
IV. Algorithmes
– p.19/22
Algorithmes reliés
Méthode « pavages
;
Génération des arcs du treillis
flips »
Calculer les pavages comme précédemment ;
pour chaque pavage, déterminer les sommets en
lesquels la fonction de hauteur atteint un minimum
local ;
pour chacun de ces sommets, effectuer un flip et
ajouter au treillis l’arête ainsi déterminée.
IV. Algorithmes
– p.19/22
Algorithmes reliés
Génération des arcs du treillis
Méthode par les sup-irréductibles
Calculer les sup-irréductibles comme précédemment ;
calculer leur ordre de la manière suivante :
pour chaque sup-irréductible, déterminer les sommets en
lesquels la fonction de hauteur atteint un minimum local ;
tout voisin d’un sommet minimal non relié à celui-ci donne un
sup-irréductible immédiatement supérieur en ajoutant 1 à sa
hauteur normalisée puis en appliquant l’algorithme de Thurston
généralisé ;
utiliser un algorithme générique pour engendrer les
idéaux de cet ordre.
IV. Algorithmes
– p.19/22
Conclusion
– p.20/22
Conclusion
La structure de treillis a permis de mettre en
perspective les résultats classiques.
– p.21/22
Conclusion
La structure de treillis a permis de mettre en
perspective les résultats classiques.
On peut ramener l’étude à des zones élémentaires du
domaine, les zones fertiles.
– p.21/22
Conclusion
La structure de treillis a permis de mettre en
perspective les résultats classiques.
On peut ramener l’étude à des zones élémentaires du
domaine, les zones fertiles.
Le treillis de leurs pavages a une structure récursive.
– p.21/22
Conclusion
La structure de treillis a permis de mettre en
perspective les résultats classiques.
On peut ramener l’étude à des zones élémentaires du
domaine, les zones fertiles.
Le treillis de leurs pavages a une structure récursive.
Ce découpage est le plus fin possible pour le produit.
– p.21/22
Conclusion
La structure de treillis a permis de mettre en
perspective les résultats classiques.
On peut ramener l’étude à des zones élémentaires du
domaine, les zones fertiles.
Le treillis de leurs pavages a une structure récursive.
Ce découpage est le plus fin possible pour le produit.
L’algorithme de Thurston est vu comme cas particulier.
– p.21/22
Conclusion
La structure de treillis a permis de mettre en
perspective les résultats classiques.
On peut ramener l’étude à des zones élémentaires du
domaine, les zones fertiles.
Le treillis de leurs pavages a une structure récursive.
Ce découpage est le plus fin possible pour le produit.
L’algorithme de Thurston est vu comme cas particulier.
Le théorème de Birkhoff donne un cadre à l’idée
intuitive de cône.
– p.21/22
Conclusion
La structure de treillis a permis de mettre en
perspective les résultats classiques.
On peut ramener l’étude à des zones élémentaires du
domaine, les zones fertiles.
Le treillis de leurs pavages a une structure récursive.
Ce découpage est le plus fin possible pour le produit.
L’algorithme de Thurston est vu comme cas particulier.
Le théorème de Birkhoff donne un cadre à l’idée
intuitive de cône.
On construit un algorithme optimal en temps et en
espace pour générer les pavages d’un domaine.
– p.21/22
Conclusion
La structure de treillis a permis de mettre en
perspective les résultats classiques.
On peut ramener l’étude à des zones élémentaires du
domaine, les zones fertiles.
Le treillis de leurs pavages a une structure récursive.
Ce découpage est le plus fin possible pour le produit.
L’algorithme de Thurston est vu comme cas particulier.
Le théorème de Birkhoff donne un cadre à l’idée
intuitive de cône.
On construit un algorithme optimal en temps et en
espace pour générer les pavages d’un domaine.
On en déduit plusieurs autres algorithmes.
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>
=
<
=
<
Pavages d’un hexagone
– p.22/22