Chap.6 – Oscillateur harmonique amorti en régime sinusoïdal

Chap.6 – Oscillateur harmonique amorti en régime sinusoïdal
1.
2.
3.
4.
Oscillateur harmonique amorti soumis à une excitation sinusoïdale
1.1.
Etude d’un dispositif simplifié : établissement de l’équation différentielle
1.2.
Régime transitoire - Régime permanent
1.3.
Analogies entre grandeurs électriques et mécaniques (rappels)
Solution en régime permanent (régime sinusoïdal forcé)
2.1.
Objectifs du calcul
2.2.
Introduction de la notation complexe
2.3.
Résonance en vitesse
2.4.
Résonance en élongation
Aspects énergétiques
3.1.
Bilan de puissance instantanée
3.2.
Résonance en puissance
Retour sur les analogies entre grandeurs électriques et mécaniques
Intro :
Ce chapitre fait suite à l’étude du régime libre de l’oscillateur harmonique amorti. On rappelle que l’on restreint
l’étude de l’OH aux problèmes à un degré de liberté.
Ce chapitre se situe aussi dans la continuité des derniers chapitres d’électrocinétique, puisque l’on étudie ici l’OH
amorti en régime sinusoïdal forcé. Comme en électrocinétique, on introduit la notation complexe afin de
transformer une équation différentielle en équation algébrique, facilitant ainsi la résolution du problème.
La présente étude est donc similaire à celle du chapitre 4 d’électrocinétique, dans lequel on avait étudié le circuit
RLC série en régime sinusoïdal. On reviendra à cette occasion sur les analogies entre grandeurs électriques et
mécaniques.
L’objectif de cette leçon est d’étudier les résonances en vitesse, en élongation, et en puissance de l’OH amorti.
1. Oscillateur harmonique amorti soumis à une excitation sinusoïdale
 Quel est l’intérêt de l’étude des systèmes mécaniques soumis à une excitation sinusoïdale ?
 Proposer quelques exemples d’application concrète.
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1.1. Etude d’un dispositif simplifié : établissement de l’équation différentielle
On étudie le mouvement d’un point matériel M de masse m attaché à l’extrémité d’un ressort (k, l0). L’ensemble
repose sur un plan horizontal et ne peut se déplacer que selon une direction de l’espace. L’autre extrémité du
ressort est attachée à un support en mouvement sinusoïdal autour d’un point
fixe dans le référentiel terrestre.
Ce point est aussi la position d’EQ du support.
On néglige les frottements solides du point M sur le support, et l’on suppose que le point M est soumis à une force
de frottement fluide, de coefficient de frottements h.
 Définir le système étudié. Définir un repère (origine en ), et préciser le référentiel d’étude.
 Etablir l’équation différentielle vérifiée par la position du point M.
 Le dispositif réalise un OH amorti soumis à une excitation sinusoïdale. Justifier cette appellation.
1.2. Régime transitoire - Régime permanent
 Quelle est la forme générale de la solution ? (on ne fera aucun calcul)
 Interpréter physiquement les deux termes de la solution.
Par la suite, on ne s’intéressera plus qu’au régime permanent, sans se préoccuper du régime transitoire.
On étudie alors le système en régime sinusoïdal forcé.
1.3. Analogies entre grandeurs électriques et mécaniques (rappels)
On rappelle que ces analogies ne tiennent pas compte des signes éventuels, ni du caractère vectoriel des grandeurs
mécaniques.
Grandeurs électriques
R
i(t)
q(t)
P(t) = u(t).i(t)
u(t)
C
L
Grandeurs mécaniques
2. Solution en régime permanent (régime sinusoïdal forcé)
2.1. Objectifs du calcul
Le régime permanent étant établi, on cherche à déterminer la réponse du système mécanique en vitesse, et en
position (on dit aussi « en élongation »). On va démontrer l’existence (sous certaines conditions) d’un phénomène
de résonance.
 Que va-t-on chercher à calculer concrètement ? Introduire alors les notations nécessaires à l’étude.
 Définir ce que l’on appelle résonance en vitesse, et résonance en élongation.
 Par analogie avec l’étude du circuit RLC série, quelles sont les caractéristiques attendues de la réponse en
vitesse, et en élongation ? On donnera en particulier les expressions du facteur de qualité et de la
pulsation propre de l’oscillateur.
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2.2. Introduction de la notation complexe
Par analogie avec la notation complexe définie en électrocinétique :
 Expliquer l’intérêt de la notation complexe
 Introduire les notations complexes nécessaires à l’étude
2.3. Résonance en vitesse
 Etablir l’expression de l’amplitude complexe de la vitesse.
 La mettre sous forme canonique
 Etablir l’expression de l’amplitude et du déphasage de la vitesse en fonction de la pulsation de l’excitation
 Démontrer l’existence d’un phénomène de résonance.
 En considérant le système comme un filtre en vitesse, déterminer la bande passante.
 Exprimer la largeur de la bande passante en fonction du facteur de qualité.
On retiendra les résultats suivants :
o
o
o
o
Quelque soient les paramètres du système mécanique, il y a toujours résonance en vitesse
La pulsation de résonance est égale à la pulsation propre
L’amplitude à la résonance est d’autant plus grande que les frottements sont faibles (Q grand)
La résonance est d’autant plus aiguë que les frottements sont faibles.
Plus l’oscillateur est amorti, plus la résonance est « floue »
o
o
o
Le déphasage varie de Pi/2 à -Pi/2 quand la fréquence augmente
L’évolution du déphasage se fait d’autant plus brusquement que les frottements sont faibles (Q grand)
Le déphasage est nul à la résonance
2.4. Résonance en élongation
 Déterminer l’amplitude complexe de l’élongation à partir de l’amplitude complexe de la vitesse.
 Démontrer l’existence d’un phénomène de résonance sous certaines conditions que l’on précisera.
On retiendra les résultats suivants :
o
Si les frottements sont trop grands, il n’y a pas résonance : il n’y a pas toujours résonance en élongation
o
Condition de résonance : Q 
1
2
o
La pulsation de résonance est toujours inférieure à la pulsation propre.
Plus les frottements diminuent, plus elle s’en approche
o Quand elle existe, l’amplitude à la résonance est d’autant plus grande que les frottements sont faibles
o Quand elle existe, la résonance est d’autant plus aiguë que les frottements sont faibles
o
o
Le déphasage varie de 0 à -Pi quand la fréquence augmente
L’évolution du déphasage en élongation est strictement identique à celle du déphasage en vitesse, la
courbe est simplement translatée verticalement de -Pi/2
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3. Aspects énergétiques
Pour l’étude des aspects énergétiques, on considère que la 2 ème extrémité du ressort est fixe, et que le système est
soumis à une force extérieure sinusoïdale (on ne précise pas l’origine physique de cette force excitatrice).
3.1. Bilan de puissance instantanée
 Etablir l’équation différentielle, puis en déduire un bilan de puissance instantanée.
 Interpréter physiquement les différents termes.
 Effectuer un bilan de puissance moyenne. Interpréter physiquement le résultat.
On retiendra le résultat suivant :
En moyenne, l’énergie mécanique du système est constante.
La puissance fournie par l’excitation est entièrement dissipée par les forces de frottements.
3.2. Résonance en puissance
On considère la puissance moyenne fournie par l’excitation et reçue par le système.
 Exprimer cette puissance moyenne en fonction de l’amplitude de la vitesse.
 Quelle est la valeur maximale de cette puissance moyenne ? Pour quelle pulsation est-elle atteinte ?
 Calculer la valeur de cette puissance moyenne pour les pulsations de coupure déterminées précédemment.
Remarque :
Par analogie avec l’électrocinétique, on peut définir une impédance mécanique. Proposer une définition.
La notion d’impédance est aussi définie dans l’étude de la propagation des ondes (mécaniques, sonores,
électromagnétique). Dans ce dernier cas, on peut même définir l’impédance du vide…
4. Retour sur les analogies entre grandeurs électriques et mécaniques
Comme mentionné au chapitre 5 de mécanique, on remarque clairement une analogie formelle entre les grandeurs
électriques et mécaniques. Un même formalisme permet de décrire des situations physiques a priori très
différentes.
Ces analogies ne signifient pas que les grandeurs électriques et mécaniques mises en parallèle « représentent la
même chose ». Cela permet de prendre un peu de recul et de mémoriser plus simplement les relations établies
dans ces deux parties du cours de physique.
Dans le tableau suivant, les analogies ne tiennent pas compte des signes éventuels, ni du caractère vectoriel des
grandeurs mécaniques.
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Tableau d’analogies entre l’oscillateur harmonique amorti et le circuit RLC série :
Grandeurs mécaniques Grandeurs électriques
Commentaires
R
frottements  résistance : amortissement
i
« déplacement des e- »
penser à i 
u
penser à P = u.i
q
C
di
penser à u  L
dt
penser à u 
C
L
1 2
Li
2
1 q2

2 C
E bob 
E cond
dq
dt
q
énergie emmagasinée
une autre forme d’énergie emmagasinée
Etot = Ebob + Econd
énergie totale emmagasinée
PJ  Ri 2
dissipation d’énergie
u  Ri
résistance / frottement
Notions clefs
Savoirs :
 Analogies entre grandeurs électriques et mécaniques
 Résultats qualitatifs concernant les résonances en vitesse, en élongation et en puissance
 Allure des courbes de résonance
Savoirs faire :
 Etablir l’amplitude complexe d’une grandeur mécanique à partir de l’équation différentielle
 En déduire les évolutions de l’amplitude et du déphasage avec la pulsation de l’excitation
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