Les Topos sans les Monomorphismes

Une Axiomatisation des Topos sans les Monomorphismes
Alain Prout´e1
R´esum´e
Dans un topos, la fl`eche caract´eristique de la diagonale d’un objet est appel´ee “´egalit´e
interne”. On peut se demander si axiomatiser l’´egalit´e interne via un classifiant des diagonales
au lieu d’un classifiant des sous–objets serait suffisant pour avoir un topos. La r´eponse est
non, mais elle devient oui si on ajoute un axiome demandant l’existence d’un “op´erateur de
description”, qui permet d’extraire d’un singleton son unique ´el´ement. Dans une conclusion
“linguistique”, on montre comment ceci ´eclaire le rˆole que jouent des phrases comme “l’unique
xdans Atel que . . .” dans le langage math´ematique ordinaire.
1 Pr´eliminaires.
On rappelle bri`evement quelques faits fondamentaux concernant les topos.
Nos notations pour les objets des cat´egories sont faites de telle fa¸con qu’elles sont non ambigu¨es. Pour
les fl`eches, les notations peuvent ˆetre ambigu¨es, mais deviennent non ambigu¨es d`es qu’une notation de
l’objet source est connue. Si fest une notation pour une fl`eche, et si une notation Ade son objet source,
est n´ecessaire pour rendre fnon ambigu¨e, on pourra ´ecrire f(rel. A), au lieu de f. De mˆeme, si fet g
sont des notations pour deux fl`eches parall`eles (mˆeme source, mˆeme but), on pourra ´ecrire f=g(rel. A),
au lieu de f=g, o`u Arepr´esente l’objet source commun `a fet g. On note 1 : A−→ Ala fl`eche identit´e
de n’importe quel objet, et g◦f:A−→ Cla composition de f:A−→ Bet g:B−→ C.
Rappelons qu’une cat´egorie Cest dite cart´esienne si elle a un objet final 1, et un “foncteur produit”
×:C×C −→ C, adjoint `a droite du foncteur diagonal ∆ : C −→ C×C. L’unique fl`eche d’un objet quelconque
Avers l’objet final 1 est not´ee ∗:A−→ 1. L’´equation ∗◦f=∗est valide pour tout f, et on a 1 = ∗(rel. 1).
On utilise les notations π1:A×B−→ Aet π2:A×B−→ B, pour les projections canoniques du
produit (qui forment la co–unit´e de l’adjonction), et <f, g> :X−→ A×Bpour l’unique fl`eche telle que
π1◦<f, g> =fet π2◦<f, g> =g. La notation f×gest une abbr´eviation pour <f ◦π1, g ◦π2>, et ∆
un nom pour la fl`eche diagonale <1,1>:A−→ A×A. L’´equation <π1, π2>= 1 (rel. A×B) est aussi
valide.
Si de plus, pour tout objet B, le foncteur PB:C −→ C, defini sur les objets par PB(A) = A×B, et sur
les fl`eches f:A−→ A0par PB(f) = f×1 (rel. A×B), a un adjoint `a droite, alors la cat´egorie est dite
cart´esienne ferm´ee. Cet adjoint `a droite est not´e (sur les objets) C7→ CB. La co–unit´e de cette adjonction
est appel´ee “evaluation” et est not´ee ev : CB×B−→ C.` A toute fl`eche f:A×B−→ Ccorrespond par
l’adjonction une fl`eche, appel´ee son “abstraction”, et not´ee ΛB(f) : A−→ CB. C’est la seule fl`eche telle
que ev ◦(ΛB(f)×1) = f. L’´equation ΛB(ev ◦(g×1)) = gest aussi valide.
Un “carr´e” :
1Universit´e Denis Diderot, Paris, FRANCE.

B D
A C
-
k
-
f
?
g
?
h
est dit cart´esien, s’il est commutatif et si pour toutes fl`eches ϕ:X−→ Bet ψ:X−→ C, telles que
k◦ϕ=h◦ψ, il existe une unique fl`eche θ:X−→ A, telle que g◦θ=ϕet f◦θ=ψ.
B D
A C
-
k
-
f
?
g
?
h
X
AAAAAAAAA
AU
ϕ
HHHHHHHHH
Hj
ψ
@@@@
@R
θ
Si f:A−→ Bet ξ:E−→ Bsont deux fl`eches de mˆeme but, un pullback de ξle long de f, est une
fl`eche f∗(ξ), telle qu’on ait le carr´e cart´esien :
A B
P E
-
f
-
?
f∗(ξ)
?
ξ
Un monomorphisme est une fl`eche qui est simplifiable `a gauche pour la composition. Il est facile de
v´erifier qu’un pullback d’un monomorphisme le long d’une fl`eche quelconque est un monomorphisme (dans
toute cat´egorie).
Deux monomorphismes m:S−→ Aet m0:S0−→ Ade but A, sont dits ´equivalents, s’il y a un
isomorphisme ϕ:S−→ S0tel que m0◦ϕ=m. Noter qu’il suffit de demander deux fl`eches ϕ:S−→ S0
et ψ:S0−→ Stelles que m0◦ϕ=met m◦ψ=m0, pour que met m0soient ´equivalents. Un sous–objet
d’un objet A, est une classe d’´equivalence de monomorphismes m:S−→ A. On note Sub(A) l’ensemble
des sous–objets de A.
Un classifiant du foncteur des sous–objets (ou “monomorphisme universel”) est une fl`eche >: 1 −→ Ω,
telle que pour tout objet A, la correspondance f7→ f∗(>) (pullback de >le long de f) est une bijection
entre les fl`eches de Avers Ω, et les sous–objets de A. Noter qu’il n’est pas n´ecessaire de sp´ecifier un pullback
particulier de >, puisque deux pullbacks de >le long de la mˆeme fl`eche, donneront des monomorphismes
´equivalents, donc le mˆeme sous–objet. Le mˆeme genre d’argument montre que la correspondance A7→
Sub(A) est un foncteur, et que la bijection C(A, Ω) −→ Sub(A) d´ecrite ci–dessus est naturelle en A.
2

D´esormais, cette bijection sera not´ee K. L’objet source de K(f) sera not´e KA(f), et K(f) lui–mˆeme sera
not´e J.
S’il y a un monomorphisme universel, alors pour tout monomorphisme m:A−→ B, il existe une
unique fl`eche not´ee χm:B−→ Ω telle que msoit ´equivalent (comme monomorphisme de cible B) au
monomorphisme χ∗
m(>). La fl`eche χmest appel´ee la fl`eche caract´eristique de m.
Un topos est une cat´egorie cart´esienne ferm´ee avec des pullbacks et un classifiant du foncteur des
sous–objets.(2)
Il y a de nombreux exemples de topos, parmi lesquels la cat´egorie des ensembles. Dans cette cat´egorie,
le classifiant du foncteur des sous–objets est juste n’importe quelle application d’un singleton vers un
ensemble `a deux ´el´ements. Plus g´en´eralement, dans un topos quelconque, l’objet Ω doit ˆetre compris
comme “l’ensemble des valeurs de v´erit´e”, et les fl`eches d’un objet Avers Ω doivent ˆetre comprises comme
des “pr´edicats” sur A. Dans un topos arbitraire, Ω peut avoir plus de deux ´elements (i.e. fl`eches de 1 vers
Ω).
Dans une cat´egorie quelconque, il n’est pas vrai qu’un pullback d’un ´epimorphisme (une fl`eche sim-
plifiable `a droite) est un ´epimorphisme. Toutefois, c’est vrai dans un topos. Pour le voir, on peut prou-
ver d’abord que le foncteur de pullback f∗a un adjoint `a droite. Ce fait est une partie du th´eor`eme
dit “Th´eor`eme fondamental des topos ” (voir P. Freyd [1], ou tout livre de r´ef´erence sur les topos).
En cons´equence, f∗commute aux colimites. Mais il est facile de voir qu’une fl`eche A−→ Best un
´epimorphisme si et seulement si Best la colimite du diagramme B←− A−→ B.
L’´egalit´e interne eq : A×A−→ Ω, pour un objet Adans un topos, est la fl`eche caract´eristique de la
fl`eche diagonale ∆ : A−→ A×A. On doit la comprendre comme le pr´edicat sur A×A, qui teste l’´egalit´e
de ses deux arguments.
Il est facile de v´erifier que l’´egalit´e interne est ´equivalente `a l’´egalit´e externe. En d’autres termes,
que deux fl`eches fand gde mˆeme source Aet de mˆeme cible B, sont ´egales si et seulement si la fl`eche
eq ◦<f, g> de Avers Ω est ´egale `a >◦∗.
On d´efinit les fl`eches f∧g,f⇒g,∀B(h) et ∃B(h) (toutes de Avers Ω), pour toutes fl`eches f, g :
A−→ Ω, et h:A×B−→ Ω, par :
•f∧g= eq ◦<<f, g>, <>◦∗,>◦∗>>
•f⇒g= eq ◦<f, f ∧g>
• ∀B(h) = eq ◦<ΛB(h),ΛB(>◦∗)>
• ∃B(h) = ∀Ω((∀B(h◦(π1×1) ⇒π2◦π1)) ⇒π2)
Ces d´efinitions ne sont pas tr`es myst´erieuses, sauf peut–ˆetre la derni`ere. Toutefois, c’est juste la version
intuitionniste de l’´equivalence bien connue en math´ematique classique entre ∃x∈Bh[x] et ¬∀x∈B¬h[x].
Les faits suivants sont des cons´equences imm´ediates des d´efinitions (pour toute fl`eche ϕ:X−→ A) :
•(f∧g)◦ϕ= (f◦ϕ)∧(g◦ϕ)
•(f⇒g)◦ϕ= (f◦ϕ)⇒(g◦ϕ)
• ∀B(h)◦ϕ=∀B(h◦(ϕ×1))
• ∃B(h)◦ϕ=∃B(h◦(ϕ×1))
Nous expliquons maintenant la “s´emantique de Kripke–Joyal” relative aux connecteurs logiques d´efinis
ci–dessus.
Conjonction. Il est clair, d’apr`es les propri´et´es de l’´egalit´e interne, que f∧g=> ◦ ∗ si et seulement
si f=>◦∗and g=>◦∗.
Implication.f⇒gest ´egal `a > ◦ ∗ si et seulement si pour tout ϕ:X−→ A, tel que f◦ϕ=> ◦ ∗,
on a g◦ϕ=>◦∗. En effet, si f⇒g=> ◦ ∗, les fl`eches fet f∧gsont ´egales. Si ϕ:X−→ Aest une
fl`eche telle que f◦ϕ=> ◦ ∗,ona(f∧g)◦ϕ=>◦∗, donc g◦ϕ=>◦∗.
2En fait, il n’est pas n´ecessaire de demander tous les pullbacks. Il suffit de demander tous les pullbacks de >.
3

R´eciproquement, prenons pour ϕ:X−→ Aun pullback de >le long de f. On a f◦ϕ=> ◦ ∗, de telle
sorte que g◦ϕ=>◦∗, et donc (f∧g)◦ϕ=>◦∗. Soit ψ:Y−→ Aun pullback de >le long de f∧g.
On a (f∧g)◦ψ=> ◦ ∗, et a fortiori f◦ψ=>◦∗. Pour prouver que f⇒gest >◦∗, en d’autres termes
que f=f∧g, il suffit de montrer que ϕet ψsont des monomorphismes ´equivalents. Mais la condition
(f∧g)◦ϕ=>◦∗implique que ϕse rel`eve le long de ψ. De mˆeme, la condition f◦ψ=> ◦ ∗ implique
que ψse rel`eve le long de ϕ. Ceci donne l’isomorphisme souhait´e et son inverse.
Quantificateur universel.∀B(h) = >◦∗ (rel. A) est clairement ´equivalent `a h=>◦∗ (rel. A×B).
Quantificateur existentiel.∃B(h) = >◦∗ (rel. A) a lieu si et seulement s’il existe un ´epimorphisme
e:X−→ A, et une fl`eche ϕ:X−→ B, tels que h◦<e, ϕ> => ◦ ∗ (rel. X).
Nous le d´emontrons ci–dessous pour le lecteur int´eress´e, mais nous ne l’utiliserons pas. Voici quelques
explications intuitives.
Un ´enonc´e comme ∃B(h) peut survenir dans un contexte quelconque. Dans notre pr´esentation, le rˆole
du contexte est jou´e par l’objet A. C’est pourquoi notre ´enonc´e est une fl`eche de source A. S’il n’y a pas
de contexte (plus pr´ecis´ement, si le contexte est vide), il aurait ´et´e une fl`eche de source 1. Maintenant, la
notion d’“´el´ement” de X(o`u Xest un objet) d´epend aussi du contexte. Un ´el´ement de Xdans le contexte
Aest une fl`eche de Avers X. Si e:X−→ Yest un ´epimorphisme, les ´el´ements de Ydans le contexte
An’ont pas n´ecessairement d’“ant´ec´edents” dans X, dans le sens o`u une fl`eche A−→ Ypeut ne pas
se relever le long de e, si An’est pas un objet projectif. Pour cette raison, la “surjectivit´e intuitive” des
´epimorphismes ne s’applique pas aux ´el´ements d´efinis ci–dessus, mais `a une sorte d’´el´ements plus abstraits.
Cette nouvelle notion, mˆeme si elle n’est pas d´efinie de fa¸con pr´ecise, aide n´eanmoins `a comprendre notre
interpr´etation du quantificateur existentiel. En effet, selon elle, notre ´enonc´e est vrai si et seulement si on
a le diagramme commutatif suivant :
A×BΩ
X
-
h
?
<e, ϕ>
@@@@
@R
>◦∗
On le comprend intuitivement comme suit (o`u les “´el´ements” sont hautement abstraits). Pour toute valeur
que peuvent prendre les variables du contexte, i.e. pour tout “´el´ement” xde A, il y a un “´el´ement” yde B
(“relever” xle long de e, et redescendre par ϕ) tel que h(x, y) soit vrai. En d’autres termes, c’est pesque
la signification usuelle du quantificateur existentiel.
Par exemple, consid´erons le topos des G–ensembles et applications G–´equivariantes, pour un groupe
non trivial G. Remarquer que Glui–mˆeme n’a pas d’´el´ements (dans le sens fort) relativement au contexte
vide (repr´esent´e par l’objet final 1), car Gagissant sur lui–mˆeme n’a pas de point fixe. Toutefois, G
est “non vide”, car non isomorphe au G–ensemble vide (l’objet initial 0). Donc, Gne peut avoir que
des ´el´ements abstraits, et il est de fait abstraitement non vide, comme on peut facilement le v´erifier en
prouvant que ∃G(>◦∗) est ´egal `a >◦∗. Bien sˆur, 1 n’est pas projectif dans le topos des G–ensembles.
On peut noter que le quantificateur universel n’est pas moins ´etrange que le quantificateur existentiel.
En effet, l’´enonc´e ∀G(⊥ ◦ ∗) (o`u ⊥, d´efini comme ∀Ω(π2), signifie “faux”) n’est pas vrai dans le topos des
G-ensembles (pourvu que la Th´eorie des Ensembles soit consistante). En effet, s’il ´etait ´egal `a >◦∗, on
aurait ⊥◦∗ =>◦∗ (rel. 1 ×G), ce qui implique que le topos des G–ensembles est d´eg´en´er´e (i.e. est
un groupo¨ıde), et que la Th´eorie des Ensembles est inconsistante. N´eanmoins, il est vrai que pour tout
´el´ement de G, l’´enonc´e ⊥◦∗ est ´egal `a >◦∗, simplement parce qu’il n’y a pas d’´el´ement dans G. Ceci
donne un exemple tr`es simple d’´enonc´e universellement quantifi´e qui n’est pas d´emontrable, mais dont
toutes les particularisations sont d´emontrables.
4

La question des objets projectifs dans un topos est li´ee `a l’axiome du choix(3) Le lecteur int´eress´e
pourra consulter un livre de r´ef´erence sur les topos, par exemple [2], [3], [4].
Maintenant, nous prouvons notre interpr´etation du quantificateur existentiel. Supposons d’abord que
l’´epimorphisme eet la fl`eche ϕexistent, satisfaisant f◦<e, ϕ> =>◦∗ (rel. X). Pour montrer que
∃B(h) = >◦∗ (rel. A), il suffit de prouver que :
(∀B(h◦(π1×1) ⇒π2◦π1)) ⇒π2=> ◦ ∗ (rel. A×Ω).
Pour cela, il suffit, en supposant que <u, v> :Y−→ A×Ω est une fl`eche telle que (∀B(h◦(π1×1) ⇒
π2◦π1)) ◦<u, v> => ◦ ∗, de prouver que π2◦<u, v> => ◦ ∗, i.e. que v=>◦∗ (rel. Y).
Notre nouvelle hypoth`ese est :
h◦(π1×1) ◦(<u, v> ×1) ⇒π2◦π1◦(<u, v> ×1) = >◦∗ (rel. (A×Ω) ×B)
La conclusion de l’implication s’´ecrit, apr`es simplification, v◦π1, et la pr´emisse se simplifie en h◦(u×1).
Soit ψ:P−→ Y×Ble pullback de <e, ϕ> le long de u×1. Dans le diagramme suivant, les deux
carr´es sont cart´esiens.
Y A
Y×B A ×B
P X
-
u
-
u×1
-
?
π1
?
ψ
?
π1
?
<e, ϕ>
Comme π1◦<e, ϕ> est ´egal `a e, on voit que π1◦ψest un ´epimorphisme. Mais comme h◦<e, ϕ> =>◦∗,
on a h◦(u×1) ◦ψ=>◦∗, donc v◦π1◦ψ=> ◦ ∗ => ◦ ∗ ◦ π1◦ψ(rel. P). Maintenant, π1◦ψ´etant un
´epimorphisme, on voit que v=> ◦ ∗.
R´eciproquement, supposons que ∃B(h) = >◦∗ (rel. A). Posons X=KA×B(h), e=π1◦
J(rel. KA×B(h)) et ϕ=π2◦ J (rel. KA×B(h)). Alors, on a J=<e, ϕ>, donc h◦<e, ϕ> => ◦ ∗, et
il reste `a prouver que e:KA×B(h)−→ Aest un ´epimorphisme. Soient uet vdeux fl`eches de Avers un
objet Y, telles que u◦e=v◦e. Il suffit de prouver que u=v.
Notre hypoth`ese est :
(∀B(h◦(π1×1) ⇒π2◦π1)) ⇒π2=> ◦ ∗ (rel. A×Ω).
En composant la pr´emisse de cette implication sur la droite par <1,eq ◦<u, v>>, et en ´eliminant le
quantificateur, on obtient la formule :
h◦(π1×1) ◦(<1,eq ◦<u, v>> ×1) ⇒π2◦π1◦(<1,eq ◦<u, v>> ×1).
3qui a deux formes non ´equivalentes : interne et externe. L’axiome du choix externe dit que tous les objets sont projectifs,
alors que l’axiome du choix interne dit que tous les objets sont int´erieurement projectifs, i.e. que pour tout objet A, et tout
´epimorphisme B−→ C, la fl`eche correspondante BA−→ CAest un ´epimorphisme. Le lecteur peut facilement v´erifier que
dans le topos des G–ensembles, tous les objets sont int´erieurement projectifs..
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