Modélisation Théorique et Numérique du Phénomène de

UNIVERSITÉ MOHAMMED V-AGDAL
FACULTÉ DES SCIENCES
RABAT
N° d’ordre 2611
THESE DE DOCTORAT
Présentée par :
Nom et Prénom : MOHAMED SAMMOUDA
Discipline : Physique
Spécialité : Mécanique des
Fluides et Environnement
Sur le Thème :
Modélisation Théorique et Numérique du Phénomène de la
Convection Naturelle et Thermosolutale dans les Milieux poreux
à Porosité Variable
Soutenue le 14 décembre 2012, devant le jury composé de:
Président :
Omar FASSI FEHRI : Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des Sciences de
Rabat et Secrétaire perpétuel de l'Académie Hassan II des Sciences Techniques.
Examinateurs :
Mohammed BOUKALLOUCH : Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des
Sciences de Rabat.
Houssine El RHALEB : Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des Sciences de
Rabat.
Kamal GUERAOUI : Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des Sciences de
Rabat.
Abdellah El HAMMOUMI : Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des
Sciences de Rabat.
Abderrahmane MAAOUNI : Professeur de l’enseignement supérieur à la Faculté des
Sciences de Rabat.
Aomar IBEN BRAHIM : Professeur de l’enseignement supérieur au Centre Nationale pour
la Recherche Scientifique et Technique (CNRST), Rabat.
Invité :
Abderrahim MRABTI : Docteur en Mécanique des Fluides, CNSS Casablanca.
Modélisation Théorique et Numérique du Phénomène de la Convection Naturelle et
Thérmosolutale dans les Milieux Poreux à Porosité Variable
Dédicace
A
Mes parents,
Ma sœur,
Mes tantes et oncles,
Mes cousins et cousines,
Tous mes proches,
Tous mes amis,
Tous qui me sont chers,
Tous ceux qui m’ont aidé et
encouragé.
Je dédie cette thèse
2
Modélisation Théorique et Numérique du Phénomène de la Convection Naturelle et
Thérmosolutale dans les Milieux Poreux à Porosité Variable
Remerciements
Simplement quelques mots pour remercier toutes les personnes qui ont contribué à la
réalisation de ce travail. Vos milles gestes et encouragements furent pour moi des plus
appréciés.
Monsieur Omar Fassi-Fehi vous me faîtes le très grand honneur de présider mon jury
de thèse, malgré vos multiples occupations, que vous trouviez ici, l’expression de ma
gratitude pour l’intérêt que vous avez porté à mon travail.
J’adresse mes plus sincères remerciements à mon directeur de thèse Monsieur Kamal
Gueraoui, Professeur de l’enseignement supérieur à la faculté des sciences de Rabat,
pour m’avoir encadré et accordé beaucoup de son temps et de m’avoir bénéficié de
l’étendue de ses connaissances et de son aide et de m’avoir guidé tout au long de
période de cette thèse. Vivement merci Monsieur pour votre soutien, votre confiance
et vos précieux conseils.
Je tiens à remercier Monsieur Abderrahim Mrabti pour le temps qui m’a consacré
pour répondre à mes questions sur ce travail dont il a suivi le déroulement. Nos
discussions m’ont été bénéfiques pour réaliser ce travail. Sans oublier de le remercier
encore une fois d’avoir accepté d’examiner ce travail de thèse.
Je souhaite exprimer ma gratitude à Monsieur Abdellah El Hammoumi, Professeur
de l’enseignement supérieur à la faculté des sciences de Rabat, de m’avoir soutenue
tout le long de ce travail et d’avoir accepté de juger mon travail.
Je tiens à remercier également Monsieur Mohammed Boukallouch, Professeur de
l’enseignement supérieur à la faculté des sciences de Rabat, d’avoir bien voulu
examiné ce travail et de m’honorer par sa participation au jury.
Je souhaite aussi remercier Monsieur Aomar Iben Brahim, Professeur de
l’enseignement supérieur au CNRST d’avoir accepté de siéger à mon jury.
Je remercie aussi Monsieur Houssine El Rhaleb Professeur de l’enseignement
supérieur à la faculté des sciences de Rabat d’avoir accepté de participé à mon jury.
Mes remerciements vont également à Monsieur Abderrahman Maaouni, Professeur
de l’enseignement supérieur à la faculté des sciences de Rabat d’avoir accepté
d’examiner mon travail.
Je tiens également à remercier mes collègues du laboratoire en particulier M. Driouich, M.
Belcadi, A. EL Allati et I. Aberdane, et tous mes amis. Je suis heureux de leur témoigner ici
toute ma reconnaissance et ma sympathie.
Enfin, Je salue mes parents, mes oncles et mes tantes et tous mes amis pour tout le soutien
qu’ils m’ont témoigné et du fait d’être toujours près de moi.
3
Modélisation Théorique et Numérique du Phénomène de la Convection Naturelle et
Thérmosolutale dans les Milieux Poreux à Porosité Variable
Liste des publications
1. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, A. El Hammoumi, A. Iben
Brahim (2011) «The Variable Porosity Effect on the Natural Convection in a
non-Darcy Porous Media » International Review on Modelling and Simulation
(IREMOS). Vol. 4, N. 5, pp. 2701-2707.
2. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, A. El Hammoumi, A. Iben
Brahim (2012) « Non-Darcy Natural Convection Heat Transfer along a
Vertical Cylinder Filled by o Porous Media with Variable Porosity »
International Review of Mechanical Engineering (IREME). Vol. 6, N. 4,
3. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, A. El Hammoumi, O. Fassi
Fehri (2012) « The Magnetic Field Effect on Thermosolutal Natural
Convection in Non-Darcy Porous Media with Non-Uniform Porosity Saturated
by an electrically conducting fluid » Accepté pour publication dans : Adv.
Studies Theor. Phys.
4. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, Y.M. Haddad (2011) « NonUniform Porosity Effect on Natural Convection in Non-Darcy Porous Media »
AES-ATEMA 2011 International Conference Advances and trends in
Engineering and their Applications, Riga, Latvia: July 11-15, pp. 137-142,
Processing.
5. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, A. El Hammoumi, O. Fassi
Fehri (2012) « Double Diffusive Natural Convection in Non-Darcy Porous
Media with Non-Uniform Porosity » soumis pour publication dans : Journal of
Porous Media.
6. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda, Y.M. Haddad (2012) «The
Effect of the Rheological Characteristics of the molten polymer On Its Flow in
Rigid Cylindrical Tubes» Adv. Studies Theor. Phys., Vol. 6, no. 12, 569 – 586.
7. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda, I. Aberdane, Y.M. Haddad
(2012) « The effect of electric field on the flow of a compressible ionized fluid
in a cylindrical tube» Adv. Studies Theor. Phys., Vol. 6, no. 13-16, 687-696.
8. M. Driouich, K. Gueraoui, Y.M. Haddad, M. Sammouda, A. El
hammoumi, M. Kerroum, O. Fassi Fehri (2010) « Numerical and
Theoretical Modelling of unsteady Flows for Incompressible Fluid in Rigid
Conducts. Application to Molten Polymers Flow » International Review on
Modelling and Simulation (IREMOS). Vol. 3, N. 6, 1317-1323.
9. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda, Y.M. Haddad (2011) « A New
Numerical Code to Study the Flow of Molten Polymers In Elastic Pipes» AESATEMA 2011 International Conference Advances and trends in Engineering
and their Applications, Riga, Latvia: July 11-15, pp. 143-148, Processing.
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Modélisation Théorique et Numérique du Phénomène de la Convection Naturelle et
Thérmosolutale dans les Milieux Poreux à Porosité Variable
Liste des Communications
1. M. Sammouda, K.Gueraoui, A. Mrabti « Influence du champ magnétique
sur le phénomène de la convection naturelle en milieu libre dans une cavité
cylindrique chauffée par le bas » Communication à la deuxième Rencontre
Nationale de Physique Théorique organisée à Oujda, 4 et 5 décembre 2009.
2. M. Sammouda, K.Gueraoui « Influence de la variation de la porosité sur les
écoulements dans les milieux poreux» Communication à, Scientific Days on
Theoretical Physics: Theoretical Foundations and Applications, Laboratory of
Theoretical physics 21-22 may 2010 Rabat.
3. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich « Etude Numérique de la
Convection Naturelle dans un Cylindre Rempli par un Milieu Poreux et Saturé
par un Fluide Newtonien » Communication à la Première Rencontre Nationale
sur les Modélisations Numérique et Mathématiques en Mécanique de Fluide et
en Environnement organisée à Rabat le 02 Janvier 2010.
4. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich « Etude Numérique de L’Effet de
la Viscosité effective sur la Convection Naturelle en Milieu Poreux à Porosité
Variable » Communication à un Congré national, Deuxième Journée Nationale
sur les Modélisations Numériques et Mathématiques en Mécanique et en
Environnement, 07 janvier 2011.
5. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, A. Mrabti, A. Hihi « Effet de la
Variation de la Porosité sur la Convection Naturelle dans un Milieu Poreux
Non-Darcien» Communication au 10ème Congrès de Mécanique Oujda, Du 19
au 22 avril 2011.
6. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, « La Convection Naturelle et
Thermosolutale dans les Milieux Poreux non-Darcien » Communication Au
Workshop sur les Methodes Numérique Appliquées à la Physique à Rabat, Le
26 novembre 2011.
7. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich, A. Hihi « Natural convection in
a cylindrical enclosure filled with a porous media with non-uniform porosity »
Communication in International Symposium on Composites and Aircraft
Materials: damage and fatigue diagnostics, Fez, Morocco, du 9 à 12 Mai 2012.
8. M. Sammouda, K. Gueraoui, M. Driouich « The Magnetic Field Effect on
Thermosolutal Natural Convection in Non-Darcy Porous Media with NonUniform Porosity » Communication in The First Symposium on Analytical and
Numerical Solutions
for Melting and Solidification Problems
(SANSMSP2012), Kos, Greece, du 19 à 25 septembre 2012.
5
Modélisation Théorique et Numérique du Phénomène de la Convection Naturelle et
Thérmosolutale dans les Milieux Poreux à Porosité Variable
9. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda Communication à la Première
Rencontre Nationale sur les Modélisations Numérique et Mathématiques en
Mécanique de Fluide et en Environnement organisée à Rabat le 02 Janvier
2010 sous le titre : « Ecoulement des polymères Fondus en Conduites
Rigide ».
10. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda, M. Taibi, A. Hihi
Communication au 10ème Congrès de Mécanique Oujda, Du 19 au 22 avril
2011 ; « Nouvelle approche des écoulements des polymères fondus en
conduites élastiques».
11. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda, Communication à un Congré
International à Romania: International Conference on Structural Analysis of
Advanced Materials, September 7-11, 2011, Bucharest (Romania) ; « Study
the effect of coupling fluid compressible - deformable wall on the flow of
molten polymers».
12. M. Driouich, K. Gueraoui, M. Sammouda, M. Taibi, Communication à un
Congré national, Deuxième Journée Nationale sur les Modélisations
Numériques et Mathématiques en Mécanique et en Environnement, 07 janvier
2011 ; « L’Effet de la Nature de la Paroi sur les Écoulements des
Polymères Fondus Pendant la Phase d’Injection ».
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Modélisation Théorique et Numérique du Phénomène de la Convection Naturelle et
Thérmosolutale dans les Milieux Poreux à Porosité Variable
Résumé
Dans les dernières décennies, les transferts couplés de chaleur et de masse dans les milieux
poreux par convection naturelle suscitent un vif intérêt dans les domaines scientifiques et
industriels. L’intérêt pour ces phénomènes de convection naturelle est dû à la diversité des
applications potentielles dans les domaines technologiques, physiques, chimiques et
microbiologiques. Parmi les applications potentielles, on peut citer l’extraction de l’énergie
géothermique, la croissance cristalline où l'on essaie d'obtenir un monocristal à partir d'un
mélange fondu, l’isolation thermique des bâtiments, l’exploitation des réserves pétrolières la
dispersion des polluants dans les aquifères, etc.
Dans la présente thèse, on effectue une étude théorique et numérique du phénomène de la
convection double diffusive dans une cavité cylindrique remplie par un milieu poreux et
saturé par un fluide newtonien de propriétés thermodynamiques constantes à l’exception de la
densité qui varie linéairement avec la température selon l’approximation de Boussinesq. La
paroi latérale de l’enceinte est supposée rigide, imperméable et adiabatique. Les parois
horizontales sont maintenues à des températures et concentrations constantes. La porosité du
milieu est considérée variable, cette variation est décrite par une loi empirique exponentielle
en fonction du rayon de l’enceinte.
L’extension de Brinkman-Forchheimer de la loi de Darcy a été adoptée pour décrire le
mouvement du fluide au sein de la matrice poreuse. Une série d’expériences numériques est
menée pour différentes valeurs des paramètre de contrôle tels que, le nombre de Rayleigh
thermique Ra, le nombre de Darcy Da, le rapport des forces de poussé N, le nombre de Lewis
Le, pour le cas d’une porosité uniforme et le cas d’une porosité variable, pour mettre en
évidence l’effet de ces paramètres de contrôle sur l’écoulement et sur les transferts de chaleur
et de masse dans une couche poreuse à porosité non-uniforme remplissant une cavité
cylindrique.
Mots clé : convection naturelle et thermosolutale, milieu poreux, extension de BrinkmanForchheimer de la loi de Darcy, porosité variable, différences finies.
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Modélisation Théorique et Numérique du Phénomène de la Convection Naturelle et
Thérmosolutale dans les Milieux Poreux à Porosité Variable
Abstract
In the last decades, transfers coupled by heat and mass in porous media by natural convection
arouse a deep interest in the scientific and industrial domains. The interest for these
phenomena of natural convection is due to the diversity of the potential applications in the
technological, physical, chemical and microbiological domains. Among the potential
applications, we can quote the extraction of the geothermal energy, the crystalline growth
where we try to obtain a single crystal from a molten mixture, the heat insulation of
buildings; the exploitation of the oil reserves the dispersion of the pollutants in aquifers, etc.
In the present thesis, we make a theoretical and numerical study relative to the phenomenon
of the convection double diffusive in a cylindrical cavity filled by a porous media and
saturated by a Newtonian fluid having constant thermodynamics properties, except the
density which varies linearly with the temperature according to the Boussinesq
approximation. The side wall of the surrounding the cavity is supposed rigid, non porous and
adiabatic. The horizontal walls are maintained in constant temperatures and concentrations.
The porosity of the media is considered variable; this variation is described by an empirical
exponential law according to the radius of the cavity.
The extension of Brinkman-Forchheimer of Darcy's law was adopted to describe the
movement of the fluid within the porous matrix. A series of numerical simulations is led for
various values parameter of control such as, the number of thermal Rayleigh Ra, the number
of Darcy Da, the ration of the strengths of pushed N, the number of Lewis Le, for the case of
a uniform porosity and the case of a variable porosity, to highlight the effect of these
parameters of control on the flow and on the transfers of heat and mass in a porous layer with
non-uniform porosity filling a cylindrical cavity.
Keywords: natural convection and thermosolutale, porous media, Brinkman-Forchheimer
extension of Darcy's law, variable porosity, finished differences.
8
Modélisation Théorique et Numérique du Phénomène de la Convection Naturelle et
Thérmosolutale dans les Milieux Poreux à Porosité Variable
Tables des Matières
LISTES DES SIGLES ET ABRÉVIATIONS .................................................. 11
LISTE DES FIGURES ...................................................................................... 14
LISTE DES TABLEAUX .................................................................................. 17
INTRODUCTION GENERALE ............................................................................ 18
CHAPITRE 1 : REVUE BIBLIOGRAPHIQUE ..................................................... 21
1. 1 INTRODUCTION ............................................................................................................... 22
1.2 HISTORIQUE DE LA CONVECTION NATURELLE EN MILIEU POREUX ................................... 22
1.3 HISTORIQUE DE LA CONVECTION THERMOSOLUTALE EN MILIEU POREUX ........................ 26
CHAPITRE 2 : FORMULATION MATHÉMATIQUE ........................................... 30
2.1 INTRODUCTION ................................................................................................................ 31
2.2 EQUATIONS VECTORIELLES GOUVERNANTES D’UN MILIEU POREUX................................. 31
2.2.1 Equation de continuité ............................................................................................. 32
2.2.2 Equation d’énergie .................................................................................................. 33
2.2.3 Equation de concentration....................................................................................... 35
2.2.4 Equation de conservation de la quantité de mouvement en milieu poreux ............. 36
2.2.5 Variation de la porosité ........................................................................................... 37
2.2.6 Approximation de Boussinesq ................................................................................. 38
2.2.7 Formulation vorticité-fonction de courant .............................................................. 39
2.3 DESCRIPTION DU MODELE ............................................................................................... 41
2.3.1 Configuration géométrique...................................................................................... 41
2.3.2 Conditions aux limites ............................................................................................. 42
2.4 ADIMENSIONNALISATION ............................................................................................... 45
2.4.1 Les équations gouvernantes adimensionnelles ........................................................ 45
2.4.2 Conditions aux limites Adimensionnelles ................................................................ 48
2.4.3 Transfert de chaleur et de masse (Nusselt et Sherwood)......................................... 50
2.5 CONCLUSION ................................................................................................................... 51
9
Modélisation Théorique et Numérique du Phénomène de la Convection Naturelle et
Thérmosolutale dans les Milieux Poreux à Porosité Variable
CHAPITRE 3 : MÉTHODE DE RÉSOLUTION ..................................................... 52
3.1 INTRODUCTION ................................................................................................................ 53
3.2 DISCRETISATION DES EQUATIONS .................................................................................... 54
3.3 PROCEDURE DE RESOLUTION ........................................................................................... 55
3.3.1 Equations de transport ............................................................................................ 55
3.3.2 Equation de la fonction de courant ......................................................................... 61
3.3.3 Conditions aux limites ............................................................................................. 63
3.4 PROCESSUS DE RESOLUTION ............................................................................................ 64
3.5 PROFIL INITIAL ................................................................................................................ 65
3.6 CONCLUSION ................................................................................................................... 65
CHAPITRE 4 : RÉSULTATS ET DISCUSSIONS ................................................... 66
4.1 INTRODUCTION ................................................................................................................ 67
4.2 CONVECTION NATURELLE THERMIQUE ............................................................................ 67
4.2.1 Effet de nombre de Rayleigh : ................................................................................. 67
4.2.2 Effet de nombre de Darcy ........................................................................................ 76
4.2.3 Effet du nombre Prandtl .......................................................................................... 84
4.3 CONVECTION THERMOSOLUTALE .................................................................................... 91
4.3.1 Effet de rapport de poussé N : ................................................................................. 91
4.3.2 Effet du nombre de Lewis ........................................................................................ 98
4.4 CONCLUSION ................................................................................................................. 101
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES .............................................. 102
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES : ........................................................... 106
ANNEXE ........................................................................................................... 112
10
Liste des Sigles et Abréviations
Listes des Sigles et Abréviations
C
~
C
D
Da
Dg
g
H
imax
jmax
K
ke
kT
concentration
concentration adimensionnelle
diffusivité massique
Nombre de Darcy K / R 2
diamètres des graines
accélération de la pesanteur
hauteur de l’enceinte
nombre maximale des points dans la direction radiale
nombre maximale des points dans la direction axiale
perméabilité du milieu poreux
diffusivité thermique du milieu poreux  e / C  f
diffusivité thermique du fluide  f / C  f
Le
N
nombre de Lewis Sc / Pr
Nu
Nr
Nz
Nd
p
Pr
nombre de Nusselt moyen
nombre des nœuds dans la direction radiale
nombre des nœuds dans la direction axiale
nombre des nœuds du domaine d’infiltration
pression
nombre de Prandtl  / kT
RA
Ra
rapport d’aspect H/R
Ra*
R
r
~
r
Le nombre de Rayleigh modifié RaDa
Rayon de l’enceinte
Coordonné radial
Coordonné radial adimensionnelle
Terme source dans les équations de transport
S
rapport des poussées  S C / T T  Ra S / LeRaT
Nombre de Rayleigh du fluide  f gT T R 3 /  kT
11
Liste des Sigles et Abréviations
Sc
Nombre de Schmidt  / D
She
T
t
U
~
U
Nombre de Sherwood moyen
Température
Température adimensionnelle
Le temps
Composante radiale de la vitesse
Composante radiale adimensionnelle de la vitesse
v
Champ des vitesses dans les pores
V
Champ des vitesses de darcy
W
~
W
z
~
z
ΔT
Composante axiale de la vitesse
Composante axiale adimensionnelle de la vitesse
ΔC
Écart de concentration de référence C  C  C0
r
z
t
Le pas spatial dans la direction radiale
~
T
Coordonné axiale
Coordonné axiale adimensionnelle
Écart de température de référence T  T  T0
Le pas spatial dans la direction axiale
Pas du temps
Iindices
0
axe
C
f
F
inf
i
j
paroi
sup
S
∞
Référence
Sur l’axe du cylindre
Chaude
Phase fluide
Froide
Sur la paroi inferieur
Indice discret dans la direction radiale
Indice discret dans la direction axiale
Sur la paroi latérale
Sur la paroi supérieure
Phase solide
Loin des parois
Symboles Grecs
12
Liste des Sigles et Abréviations


C 
C m 
densité du fluide
porosité du milieu poreux
Capacité calorifique
Capacité calorifique du milieu poreux




Conductivité thermique

~


S



~


~






viscosité dynamique du fluide
Conductivité thermique du milieu poreux
Rapport de conductivité
rapport des capacités calorifiques C m / C  f
viscosité dynamique effective
coefficient d’expansion thermique
coefficient d’expansion solutale
fonction de la porosité variable
viscosité cinématique du fluide
fonction de courant
fonction de courant adimensionnelle
composante du vecteur rotationnel des vitesses
composante du vecteur rotationnel des vitesses adimensionnel
facteur d’homotopie
Facteur de relaxation
facteur optimal de surrelaxation successive (S.O.R)
coefficient de pondération
Coefficient numérique
13
Liste des Figures
Liste des Figures
Figure 1: Volume élémentaire dans le systéme des coordonnés cartisiènnes ............................... 32
Figure 2: l’approche prise dans ce cas de transfert thermique ..................................................... 34
Figure 3: la variation de la porosité prés des parois .................................................................... 38
Figure 4:la géométrie physique considérée ................................................................................... 41
Figure 5: Représentation du maillage du système physique.......................................................... 54
Figure 6 : champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1 et
Ra=10000 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. .................................................... 68
Figure 7: champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1 et
Ra=20000 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. .................................................... 69
Figure 8: champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1et Ra=40000
avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ...................................................................... 70
Figure 9: champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1et Ra=60000
avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ...................................................................... 71
Figure 10: champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1et
Ra=80000 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. .................................................... 71
Figure 11: le nombre de Nusselt pour Da=0.01, Pr=1et pour (a) porosité uniforme et (b)
porosité variable. ........................................................................................................................... 72
Figure 12: la variation du nombre de Nusselt moyen pour Da=0.01, Pr=1et pour porosité
uniforme et porosité variable ......................................................................................................... 72
Figure 13: la vitesse radiale et axiale pour Da=0.01, Pr=1et pour porosité uniforme. ............... 73
Figure 14: la vitesse radial et axial pour Da=0.01, Pr=1, RA=1 et pour porosité variable. ....... 73
Figure 15: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=10000 avec (a) porosité
uniforme (|max|0.07523) et (b) porosité variable (|max|=2.2999). ......................................... 74
14
Liste des Figures
Figure 16: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=20000 avec (a) porosité
uniforme (|max|=1.8685) et (b) porosité variable (|max|=3.1538). ........................................ 75
Figure 17: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=40000 avec (a) porosité
uniforme (|max|=3.2411) et (b) porosité variable (|max|= 5.2167). ....................................... 75
Figure 18: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=60000 avec (a) porosité
uniforme (|max|=2.3723) et (b) porosité variable (|max|= 5.8337). ....................................... 76
Figure 19: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=80000 avec (a) porosité
uniforme (|max|=3.0446) et (b) porosité variable (|max|=6.6630). ........................................ 76
Figure 20: fonction de courant et isothermes pour Ra=50000, Pr=1et Da=0.0004 avec (a)
porosité uniforme et (b) porosité variable. .................................................................................... 77
Figure 21: fonction de courant et isothermes pour Ra=50000, Pr=1et Da=0.004 avec (a)
porosité uniforme et (b) porosité variable. .................................................................................... 77
Figure 22: fonction de courant et isothermes pour Ra=50000, Pr=1et Da=0.04 avec (a) porosité
uniforme et (b) porosité variable. .................................................................................................. 78
Figure 23: fonction de courant et isothermes pour Ra=50000, Pr=1et Da=0.4 avec (a) porosité
uniforme et (b) porosité variable. .................................................................................................. 79
Figure 24: fonction de courant et isothermes pour Ra=200000, Pr=1et Da=0.0004 avec (a)
porosité uniforme et (b) porosité variable. .................................................................................... 79
Figure 25: fonction de courant et isothermes pour Ra=200000, Pr=1et Da=0.004 avec (a)
porosité uniforme et (b) porosité variable. .................................................................................... 80
Figure 26: fonction de courant et isothermes pour Ra=200000, Pr=1et Da=0.04 avec (a)
porosité uniforme et (b) porosité variable. .................................................................................... 81
Figure 27: fonction de courant et isothermes pour Ra=200000, Pr=1et Da=0.4 avec (a) porosité
uniforme et (b) porosité variable. .................................................................................................. 82
Figure 28: le nombre de Nusselt pour Ra=50000, Pr=1, RA=1 et pour (a) porosité uniforme et
(b) porosité variable. ..................................................................................................................... 82
Figure 29: le nombre de Nusselt pour Ra=200000, Pr=1et pour (a) porosité uniforme et (b)
porosité variable. ........................................................................................................................... 83
Figure 30: fonction de courant et isothermes pour Ra=2.104, RA=1 et Da=0.01 pour porosité
uniforme et pour (a) Pr=1, (b) Pr=2, (c) Pr=5, (d) Pr=10, (e) Pr=50. ...................................... 85
Figure 31: fonction de courant et isothermes pour Ra=2.104, RA=1 et Da=0.01 pour porosité
variable et pour (a) Pr=1, (b) Pr=2, (c) Pr=5, (d) Pr=10, (e) Pr=50.......................................... 87
Figure 32: le nombre de Nusselt pour Da=0.01, Ra=2.104, RA=1 pour une porosité uniforme. 87
15
Liste des Figures
Figure 33: le nombre de Nusselt pour Da=0.01, Ra=2.104, RA=1 pour une porosité variable. 88
Figure 34: fonction de courant pour Ra=2.104 et Da=0.01 pour porosité variable et pour (a)
t=1000*dt, (b) t=2000*dt, (c) t=3000*dt, (d) t=4000*dt, (e) t=5000*dt, (f) t=6000*dt, (g)
t=7000*dt, (h) t=8000*dt, (i) régime permanent, le facteur de relaxation est  = 0 .................... 89
Figure 35: fonction de courant pour Ra=2.104 et Da=0.01 pour porosité constante et pour (a)
t=700*dt, (b) t=1400*dt, (c) t=2100*dt, (d) t=3000*dt, (e) t=4000*dt, (f) régime permanent, le
facteur de relaxation est  = 0.1. ................................................................................................... 90
Figure 36: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=10000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=0 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ............................... 92
Figure 37: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=10000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=1 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ............................... 92
Figure 38: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=10000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=2 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ............................... 93
Figure 39: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=10000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=-1 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ............................. 94
Figure 40: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=100000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=0 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ............................... 95
Figure 41: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=100000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=1 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ............................... 95
Figure 42: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=100000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=2 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ............................... 96
Figure 43: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=100000, Pr=1,
Da=0.01, Le=1 et N=-1 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ............................. 97
Figure 44: la vitesse radial et axial pour Da=0.01, Pr=1, N=1 et Le=1 et pour porosité
uniforme. ........................................................................................................................................ 98
Figure 45: la vitesse radial et axial pour Da=0.01, Pr=1, RA=1, N=1 et Le=1 et pour porosité
variable. ......................................................................................................................................... 98
Figure 46: la vitesse radial et axial à mi-hauteur pour Da=0.01, Pr=1, N=1 et Ra*=1000 et
pour porosité uniforme. ................................................................................................................. 99
Figure 47: la vitesse radial et axial à mi-hauteur pour Da=0.01, Pr=1, N=1 et Ra*=1000 et
pour porosité variable.................................................................................................................... 99
Figure 48: variation du nombre de Nusselt moyen avec le rapport de poussé N pour Pr=1,
Da=0.01 et pour (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ................................................ 100
16
Liste des Figures
Figure 49: variation du nombre de Sherwood moyen avec le rapport de poussé N pour Pr=1,
Da=0.01 et pour (a) porosité uniforme et (b) porosité variable. ................................................ 100
Liste des Tableaux
Tableau1 : le nombre de Nusselt moyen et la fonction de courant maximale pourPr=1……76
Tableau2 : le nombre de Nusselt moyen et la fonction de courant maximale pour Ra=2.104,
Da=0.01pour porosité uniforme et variable……………………………………….....81
Tableau4 : le nombre de Nusselt et Sherwood moyen et la fonction de courant maximale pour
Pr=1, Da=0 .01et Le=1………………………………………………………………..…93
Tableau3 : le nombre de Nusselt et Sherwood moyen et la fonction de courant maximale pour
Pr=1, Da=0 .01et N=1…………………………………………………………………….93
17
Introduction Générale
INTRODUCTION GENERALE
18
Introduction Générale
L’étude du phénomène de la convection naturelle, d’origine thermique (convection purement
thermique) ou d’origine thermique et solutale (thermosolutale), a suscité et suscite encore
l’intérêt de nombreux scientifiques et industriels par ses applications dans plusieurs secteurs
industriels tel que la croissance cristalline, la convection solaire, la pollution des sols et la
géologie…etc. Depuis la découverte du phénomène par les expériences de Bénard [1] et
l'analyse théorique de Rayleigh [2] au début du XXème siècle, les recherches dans ce
domaine ont été continues et le nombre des travaux sur le sujet est impressionnant.
L’application d’un champ de gradient thermique sur un fluide entraîne l’existence de
différence de masse volumique qui engendre, dans certains cas, des mouvements naturels de
la matière qui a tendance à monter grâce à la poussée d’Archimède lorsqu'elle est chaude
(donc moins dense) et à redescendre une fois refroidie créant des mouvements circulaires
pour assurer les échanges thermiques entre les milieux chauds et les milieux froids. Ce
phénomène dit de convection naturelle est familier dans notre vie quotidienne. En effet,
l’équilibre thermique entre l’air de notre maison et l’extérieur se fait par convection naturelle
à travers les murs d’isolation. L’évacuation de la pollution due aux gaz émis par les
automobiles et les effluents industriels se fait aussi par des mouvements de convection
naturelle assurés par le gradient de température entre la surface de la terre et une altitude,
sinon l'air deviendrait irrespirable et on risquerait d’être étouffé.
Il se trouve que non seulement le gradient de température qui peut créer des mouvements de
convection naturelle des particules fluides dus à la variation de la densité mais aussi des
gradients de concentration. Un tel phénomène qui combine les forces de poussée thermique
(dues au gradient thermique) et solutale (dues au gradient de concentration) est connu sous le
nom de double diffusion (convection thermosolutale). Ce type de transport convectif en
milieux fluides ou poreux attire l’attention des chercheurs depuis plusieurs décennies par ses
applications dans un large éventail de domaines, à titre d’exemple : l’océanographie - c’est
dans ce contexte que ce phénomène de double diffusion a été découvert la première fois en
1959 par Stommel [3] et formulé mathématiquement ensuite par Stern [4], l’astrophysique, la
biologie, les processus chimiques, les réservoirs pour le stockage de gaz naturels et de
déchets radioactifs, le phénomène de cristallisation des métaux et des alliages et le transport
de polluants dans le sol, etc.
Résoudre un problème de convection naturelle (thermique ou thermosolutale) au sein d’un
milieu poreux revient à déterminer, d’une part, la structure et l’intensité de l’écoulement ainsi
que les champs de températures et de concentrations en fonction des divers paramètres qui
contrôlent et gouvernent le problème et, d’autre part, les taux de transfert de chaleur et de
masse au niveau de la paroi active traduits, respectivement, par les nombres de Nusselt et de
Sherwood. Les livres de M. Kaviany [5] et D. Nield et A. Bejan [6] présentent des résumés
19
Introduction Générale
complets sur les recherches théoriques, numériques et expérimentales déjà accomplies dans
cet axe.
Dans la présente thèse, nous considérons l’étude théorique et numérique du phénomène de la
convection naturelle thermique et thermosolutale dans une enceinte cylindrique verticale
remplie d’un milieu poreux à porosité variable et saturé par un fluide newtonien de propriétés
thermodynamiques constantes, exceptée la densité, qui varie linéairement avec la température
selon l’approximation de Boussinesq [7]. Des conditions aux frontières de type Dirichlet
(températures et concentrations constantes) ont été imposées sur les parois supérieure et
inférieure de l’enceinte cylindrique. La paroi latérale est rigide, imperméable et adiabatique.
À notre connaissance, tous les travaux ayant traité cette configuration l’ont fait dans le cadre
d’une porosité uniforme.
Dans notre étude, la porosité de la matrice remplissant la cavité est considérée variable selon
une loi exponentielle [8]. Nous nous intéressons aux effets ainsi engendrés sur la structure et
l’intensité de l’écoulement et sur les transferts de chaleur (nombre de Nusselt) et de masse
(nombre de Sherwood) à la paroi active de la cavité.
A cette fin, ce mémoire de thèse est structuré de la façon suivante :
Le premier chapitre sera consacré à la présentation du contexte bibliographique, portant sur la
convection naturelle et thermosolutale dans les milieux poreux, en essayant de rappeler
certains travaux de recherche effectués dans le passé dans ce domaine de recherche.
La formulation mathématique du problème (les équations de bases dimensionnelles et nondimensionnelles gouvernant le système avec les conditions aux frontières associées) sera
abordée en détail dans le deuxième chapitre de cette thèse.
L'objet du troisième chapitre concerne la méthode de résolution numérique des équations aux
dérivées partielles qui sont formulées sous la forme vorticité-fonction de courant (formulation
plus commode dans les écoulements bidimensionnels). A cette fin, la méthode des différences
finies précise à l’ordre deux sera utilisée pour discrétiser les équations de conservation. Quant
à la fonction de courant elle sera résolue par la méthode de S.O.R (Simultaneous OverRelaxation). L’avancement dans le temps est assuré à l’aide de la méthode des directions
alternées (ADI). Les équations algébriques ainsi obtenues seront résolues à l'aide de
l’algorithme de Thomas.
Le quatrième chapitre porte sur la discussion et l’interprétation des différents résultats
obtenus dans cette thèse. La première partie de ce chapitre sera consacrée à la discussion des
résultats obtenus pour le cas de convection purement thermique. La deuxième partie portera
sur la convection thermosolutale. Une comparaison entre le cas de porosité constante et
variable sera abordée dans les deux parties. Une étude d’effet d’un champ magnétique sur la
convection double diffusive sera en annexe.
Le travail sera terminé par une conclusion générale consacrée à la mise en évidence des
principaux résultats obtenus le long de cette étude ainsi que les perspectives à envisager dans
le futur et qui peuvent faire l’objet de travaux complémentaires.
20
Introduction Générale
Chapitre 1 : Revue Bibliographique
21
Chapitre 1 : Revue Bibliographique
1. 1 Introduction
La convection naturelle est un mode de transfert de chaleur d’un milieu chaud vers un milieu
froid, par un transport macroscopique de la matière (mouvement des particules fluides)
généré par des effets de poussée d’Archimède lié à l’action du champ de pesanteur à la
présence d’un gradient de la température. Ce phénomène a été largement étudié pendant les
dernières décennies. Un nombre important des travaux de recherche sur ce sujet est très
abondant dans la littérature. Par ailleurs, le mouvement d’un fluide peut être généré par des
variations de densité conséquence de l’existence d’un champ de gradient de température ou
d’autres quantités scalaires. Dans le cas le plus fréquent, les deux quantités scalaires
responsables de ces mouvements convectifs du fluide sont les gradients de température et de
concentration. Ce phénomène cruciale est connu sous le nom de convection thermosolutale
ou double diffusion. En effet, ces deux forces de poussées peuvent agir ensemble ou bien en
opposition selon des conditions aux frontières ainsi que le coefficient d’expansion solutale.
Un tel phénomène peut être très compliqué lorsqu’il se manifeste dans un milieu poreux, dû à
la complexité du milieu poreux. Il est généralement impossible de connaitre exactement les
paramètres d’une matrice poreuse telle que la porosité et la perméabilité (admittance
d’infiltration d’un fluide). Rappelons que la porosité est le vide (appelés pores) qui se trouve
dans une matrice solide constitué par des grains consolidés. Ces pores peuvent être
interconnectés, pour laisser infiltrer le fluide, ou non et saturé par un fluide (pour plus
d’information, les lecteurs intéressés pourront consulter les références de M. Kaviany [5] ou
D. Nield et A. Bejan [6]). La complexité de ce milieu poreux impose l’introduction de la
notion de modèle pour représenter d’une façon macroscopique les mouvements des particules
fluides au sein d’une matrice poreuse, dont l’objectif est d’expliquer même d’une façon
approximative le phénomène de transfert de chaleur et de concentration dans les milieux
poreux.
L’objet du présent chapitre est de présenter une synthèse une sur les travaux de recherche
déjà menés sur le phénomène de la convection naturelle et thermosolutale dans les milieux
poreux.
1.2 Historique de la convection naturelle en milieu poreux
Pour mener une étude du phénomène de la convection naturelle dans une couche poreuse, il
faut caractériser le mouvement du fluide au sein de cette matrice poreuse. Dû à la complexité
22
Chapitre 1 : Revue Bibliographique
de cette matrice poreuse, il s’avère impossible de connaitre exactement le mouvement de
fluide saturant le milieu poreux. D’où l’introduction de la notion du modèle pour décrire
d’une façon macroscopique le mouvement des particules fluides au sein d’une couche
poreuse ainsi que le transfert de chaleur engendré.
Le modèle empirique le plus simple pour décrire le mouvement de fluide au sein d’une
couche poreuse est celui de H. Darcy [9] [10]. Ce modèle est limité pour des écoulements
lents. Plus tard, ce modèle a été corrigé pour être mieux adapté à des écoulements à grand
nombre de Reynolds. En se basant sur des données expérimentales, un terme non-linéaire de
second ordre entre la vitesse d’infiltration et le gradient de pression a été ajouté par
Forchheimer [11] pour tenir compte des effets d’inertie pour des écoulements à grandes
vitesses. Les effets des parois (contraintes visqueuses) sont pris en considération en modifiant
la loi de Darcy, la modification a été présentée par Brinkman [12] [13].
Les travaux de recherche utilisant comme équation de mouvement la loi de Darcy, sont très
en abondence dans la littérature. Horton et Rogers [15] et Lapwood [16] furent parmi les
premiers à mener une étude de la convection naturelle dans un milieu poreux isotrope à
porosité uniforme. Depuis ces premier travaux, l’étude des mouvements convectifs au sein
d’une couche horizontale poreuse isotrope à porosité uniforme saturée par un fluide et
chauffée par le bas a fait l’objet d’un grand nombre de travaux dans le domaine des milieux
poreux.
Dans les applications industrielles, on trouve une multitude de géométries selon le besoin de
l’utilisation. Cela exige une étude du phénomène pour différentes géométries dont l’objectif
est de répondre aux besoins scientifique et industriel qui s’avère le plus important.
En effet, l’étude du phénomène de la convection naturelle dans les enceintes peut être classée
en deux grands groups ; les enceintes rectangulaires et les enceintes non-rectangulaires.
Les investigations menées sur la convection naturelle dans des géométries rectangulaires
remplies par des milieux poreux à porosité uniforme sont très abondantes dans la littérature
[17-27]. Récemment, C. Revnic et T. Grosan [28] ont utilisé une cavité rectangulaire d’une
dimension infinie pour étudier le phénomène de la convection naturelle avec un bidisperse
porous medium (BDPM) en se basant sur le modèle proposé par Nield and Kuznetsov [29]
and Rees et al [30]. Un (BDPM) est milieu poreux standard composé d’une phase solide et
des pores saturés par un fluide, mais la phase solide peut être considérée comme un autre
milieu poreux avec les mêmes propriétés physiques.Les surfaces horizontales sont
considérées adiabatiques. Les surfaces latérales sont maintenues à des températures
constantes et différentes. Le nombre de Rayleigh pris dans cette investigation n’a pas excédé
103. Ces auteurs ont montré que le transfert thermique est dominé par la conduction pour des
grands nombres de Rayleigh. La dimension de la cellule intérieure des contours de
convection augmente avec l’augmentation de nombre de Darcy, la conductivité thermique
influence sur l’orientation de la cellule centrale de convection.
Stewart et Dona [31], Prasad et Chul [32] ont étudié le phénomène de la convection naturelle
dans une enceinte cylindrique verticale da rapport d’aspect de l’ordre de l’unité remplie par
un milieu poreux générant de la chaleur, pour des nombres de Rayleigh petits, et nettement
élevés respectivement mais restent inférieur à 104. Les surfaces horizontales de la cavité
cylindrique sont supposées isothermes. Ces auteurs ont tiré comme résultats que les
stratifications des isothermes se resserrent vers le haut de la paroi latérale de l’enceinte en
23
Chapitre 1 : Revue Bibliographique
augmentant le nombre de Rayleigh, ainsi que l’apparition des cellules secondaire pour des
nombres de Rayleigh plus élevés.
L’utilisation d’un nombre de Rayleigh inférieur à 104 peut être expliquée par le fait d’utiliser
la loi de Darcy pour modéliser l’infiltration des particules fluides dans la matrice poreuse
limite l’augmentation du nombre de Rayleigh, car la loi de Darcy est limitée pour des
écoulements à des champs des vitesses moyens. Les effets d’inertie ainsi que les effets des
contraintes visqueuses n’étaient pas pris en considération, donc pour des grands nombres de
Rayleigh le problème d’instabilité numérique s’impose.
Yasin Varol et al [33] ont étudié le phénomène de la convection naturelle dans une enceinte
triangulaire remplie par une matrice poreuse à porosité constante et chauffée par le bas. Le
coté latéral vertical de l’enceinte est supposé rigide imperméable et adiabatique. Le modèle
adopté pour caractériser le mouvement de fluide au sein de la matrice poreuse est celui de
Darcy. L’investigation est faite pour différentes valeurs de Nombre de Rayleigh
(50≤Ra≤1000) et du rapport d’aspect de 0.25 à 1. A partir des résultats obtenus, ils ont trouvé
que le taux de transfert thermique augmente avec la diminution de rapport d’aspect, ainsi que
l’écoulement présente beaucoup de cellules pour des nombres de Rayleigh plus grands.
Yasin Varol et al [34] reviennent deux ans après pour faire une étude du phénomène de la
convection naturelle dans une enceinte trapézoïdale pour continuer les travaux déjà menés
dans ce cadre de géométrie [35-38] tout en considérant une porosité constante. L’enceinte est
maintenue à des températures constantes sur les parois latérales inclinées. Quant aux parois
horizontales, elles sont considérées rigides et adiabatiques. L’investigation est faite pour
différents nombre de Rayleigh (100≤Ra≤1000), différentes angles d’inclinaison de l’enceinte
et différentes valeurs du rapport d’aspect. En se basant sur les résultats obtenus, ces auteurs
trouvent que le taux de transfert thermique augmente avec l’augmentation du nombre de
Rayleigh et diminue avec la diminution de l’angle de l’inclinaison de l’enceinte. La
distribution de la température est influencée par l’angle d’inclinaison de la paroi, elle
engendre un écoulement multicellulaire, ce qui influence sur la stratification des isothermes.
Un autre type de géométrie étudié par Yasin Varol et al [39], est celui d’une géométrie
rectangulaire divisée en deux triangles adjacents et remplie par une matrice poreuse à
porosité uniforme. Les parois horizontales sont considérées adiabatiques, alors que les parois
verticales sont maintenues à des températures constantes. En adoptant le modèle de Darcy
pour décrire le mouvement de fluide dans le milieu poreux.
Le modèle de Darcy est limité pour des écoulements à faible nombre de Reynold (faible
vitesse). Des instabilités numériques apparaissent pour des grands nombres de Rayleigh dans
les problèmes adoptant le modèle de Darcy. L’extension de Brinkman-Forchheimer (EBFD)
permet de prendre en compte les effets des contraintes de cisaillement macroscopiques ainsi
que les effets d’inertie. Ce qui lui rend plus au moins mieux adapté pour des écoulements
lorsque les vitesses sont importantes ou des grandes perméabilités.
En effet, Kladias et Prasad [40] ont étudié la convection naturelle dans une couche poreuse
horizontale et chauffée par le bas. Le modèle adopté pour caractériser le mouvement de fluide
dans cette couche poreuse est celui de Darcy étendu par Brinkman et Forchheimer (EBFD).
Le nombre de Rayleigh critique d’amorcement de l’écoulement est inferieur par comparaison
avec celui dans le modèle de Darcy, avec une réduction de la circulation des particules fluides
due aux effets des contraintes visqueuses et des effets d’inertie prises en compte dans
24
Chapitre 1 : Revue Bibliographique
l’équation de mouvement [41]. La diminution de l’intensité de l’écoulement réduit en effet le
transfert thermique par convection. Ce nombre de Rayleigh critique est influencé par le
rapport de conductivité solide-fluide, il augmente avec la diminution du rapport de
conductivité. L’intensité de l’écoulement augmente avec l’augmentation du nombre de
Prandtl fluide et un régime asymptotique est atteint lorsque les champs de température et
d’écoulement deviennent insensibles à la variation du nombre de Prandtl. Avec
l’accroissement du nombre de Prandtl, l’influence des termes d’inertie devient très faible,
ainsi le comportement asymptotique tend vers celui de l’extension de Brinkman.
Tanmay Basak et al ont étudié le phénomène de la convection naturelle dans un milieu
poreux à porosité uniforme mais en adoptant le modèle de Brinkman-Forchheimer avec
source thermique uniforme et non-uniforme dans une géométrie rectangulaire [42] et
trapézoïdale [43]. Les équations gouvernantes ainsi obtenues sont résolues par la méthode des
éléments finis. L’investigation est faite pour différentes valeurs des nombres de Darcy, de
Prandtl et de Rayleigh, à noter qu’ils ont considéré des valeurs de nombre de Rayleigh un peu
élevé puisqu’ils ont adopté le modèle de Brinkman-Forchheimer qui s’avère mieux adapté
pour des écoulements à grandes vitesses. Ces auteurs ont observé que le transfert thermique
est dominé par la conduction pour des valeurs du nombre de Rayleigh inférieur à 7.103 et
8.103, pour une cavité rectangulaire et trapézoïdale respectivement, dans le cas d’un
chauffage uniforme. Alors que le transfert thermique est dominé par la conduction pour des
nombres de Rayleigh inférieurs à 3.103 et 5.103, pour une cavité rectangulaire et trapézoïdale
respectivement, pour un chauffage non-uniforme. Dans le domaine de convection, le nombre
de Nusselt augmente dans le cas d’un chauffage non-uniforme. Une corrélation entre le
nombre de Nusselt caractérisant le transfert thermique avec les nombres adimensionnels
caractérisant l’écoulement a été établi par ces auteurs.
Le phénomène de dispersion thermique (variation de la conductivité thermique effective du
milieu poreux avec la vitesse d’infiltration du fluide) a été étudié par Ibrahim, A. Abbas et al
[44]. Le modèle adopté est celui de Brinkman-Forchheimer. Les équations gouvernantes sont
résolues par la méthode des éléments finis (FEM). La diminution de taux de transfert
(nombre de Nusselt) due à l’introduction des effets des contraintes visqueuse et d’inertie et
compenser par le phénomène de la dispersion thermique, puisque la conductivité thermique
varie linéairement avec le module de la vitesse d’infiltration. Cela rend compte l’importance
que peut jouer les paramètres caractérisant la matrice poreuse (porosité, perméabilité) dans le
phénomène du transfert thermique au sein d’un milieu poreux.
L’anisotropie des milieux poreux s’impose dans beaucoup d’applications industrielles, telles
que les systèmes d’énergie géothermique, l’exploitation des réserves pétrolières, la
prévention de la pollution des aquifères et l’isolation thermique. Ce qui pousse les chercheurs
à mener des études du phénomène dans des milieux poreux anisotropes.
L’étude de la convection naturelle dans un milieu poreux anisotrope dans une cavité
rectangulaire est menée par Degan et al [45] et plus récemment par D. J. Krishna [46]. Ces
auteurs ont observé que les propriétés anisotropes du milieu ont une influence significative
sur le comportement de l’écoulement ainsi que le transfert de chaleur.
A. Mrabti [47] a examiné le phénomène de la convection naturelle dans une enceinte
cylindrique de rapport d’aspect égal à l’unité, et saturé par un fluide newtonien de nombre de
Prandtl égal à 0.71. L’enceinte est chauffée par le bas, la paroi latérale est supposée rigide,
imperméable et adiabatique. L’auteur a remarqué qu’en augmentant le nombre de Rayleigh
25
Chapitre 1 : Revue Bibliographique
thermique la structure de l’écoulement devient bicellulaire avec une intensification de
l’écoulement lorsqu’on augmente la porosité du milieu. Cette structure bicellulaire disparait
lorsque le nombre de Darcy augmente.
L’auteur a aussi fait une étude comparative entre le modèle empirique de Darcy étendu par
Brinkman et Forchheimer EBFD pour tenir compte des effets des contraintes visqueuses et
des effets d’inertie et le modèle REB (Réduction des Equations de Bilan). Pour les deux
modèles une augmentation du nombre de Darcy, pour un nombre de Rayleigh et une porosité
donnée, engendre une intensification de l’écoulement et une amélioration du taux de transfert.
Alors que pour un nombre de Rayleigh et Darcy donnés, le taux de transfert de chaleur croit
avec la porosité pour le modèle REB, mais pour le modèle de EBFD cette croissance
n’apparait que pour un maillage plus fin. Le taux de transfert ainsi que l’intensité de
l’écoulement sont indépendants de la porosité pour un nombre de Rayleigh-Darcy
(Ra*Da≈100), alors qu’une diminution de la porosité engendre une réduction du taux de
transfert indépendamment du maillage et on note une intensification de l’écoulement pour un
maillage plus fin.
L’effet des parois n’influence pas sur l’écoulement de fluide d’une manière directe (effet des
contraintes visqueuses). Mais elles peuvent influencer sur l’arrangement des grains
constituant la matrice poreuse créant ainsi une désorganisation traduit par une augmentation
de la porosité tout en approchant des parois. Une relation empirique traduisant cette variation
de la porosité près des parois est présentée dans les travaux de ces auteurs [48-54].
Shih-Wen Hsiao et al [55] ont étudié numériquement la convection naturelle d’une cavité
cylindrique chauffée et incorporée dans un milieu poreux. La porosité varie
approximativement par une fonction exponentielle tout en approchant la paroi latérale du
cylindre. Les effets non-Darciens et la dispersion thermique sont pris en considération dans
l’équation de mouvement et l’équation d’énergie. Comme résultats, ils ont trouvé que la
variation de la porosité tend à augmenter le gradient de la température près de la paroi latérale
de la cavité. L’effet de la dispersion thermique est négligeable pour des nombres de Rayleigh
petits. En tenant compte de la variation de la porosité et la dispersion thermique, les nombres
de Nusselt moyens qui traduisent le taux de transfert thermique sont proches de ceux trouvés
expérimentalement.
Des résultats qualitativement semblables à ceux trouvés par Shih-Wen Hsiao et al sont
obtenus par Jiin-Yuh Jang et al [56], D. Pal et I.S. Shivakumara [57], A.M. Elaiw [58] qui ont
étudié l’effet de la variation de la porosité sur la convection naturelle d’une plaque semiinfinie incorporée dans un milieu poreux.
P.Nithiarasu et al [59] ont étudié la convection naturelle dans une cavité rectangulaire remplie
par un milieu poreux non-Darcien en tenant compte des effets des contraintes visqueuses et
d’inertie dans l’équation de mouvement qui est réduite aux équations de Navier-Stokes. La
porosité est supposée variable selon une loi empirique qui suit une fonction exponentielle.
L’investigation est faite pour différentes valeurs de nombres de Darcy et de Rayleigh.
1.3 Historique de la convection thermosolutale en milieu poreux
26
Chapitre 1 : Revue Bibliographique
La convection thermosolutale (transfert de masse et chaleur s’opposent ou coopèrent) occupe
une place très importante dans les applications industrielles telles que les systèmes d’énergie
géothermique, la croissance cristalline où l'on essaie d'obtenir un monocristal à partir d'un
mélange fondu, la dynamique du noyau terrestre, siège d'une solidification par ségrégation,
l’exploitation des réserves pétrolières, la pollution des sols et la géologie, cela a motivé les
chercheurs et industriels à mener des recherches dans ce cadre dont l’objectif principal est de
comprendre les différents mécanismes résultants des mouvements convectifs engendrés.
La première étude menée sur le phénomène de convection thermosolutale dans une couche
poreuse isotrope horizontale d’extension infinie chauffée par le bas et soumise à un gradient
de concentration vertical a été effectué par D. Nield [60]. Cet auteur a déterminé le nombre
de Rayleigh critique marquant l’amorcement du phénomène de la convection pour différentes
conditions aux frontières. D. Nield a aussi pu montrer que le soluté joue un rôle de stabilisant
alors que la chaleur celui d’un déstabilisant. Des écoulements convectifs oscillants peuvent
se déclencher à des nombres de Rayleigh inférieurs au nombre de Rayleigh supercritique. Les
critères pour l’existence de la convection croissante ou oscillante ont été également dérivés
dans cette investigation.
Ce travail a été étendu et généralisé plus tard par Taunton et al [61]. Dans cette investigation,
trois régimes convectifs ont été trouvés. Un premier régime stable (état de repos du fluide),
un second régime dit oscillant caractérisant la transition du régime stable au régime oscillant.
Le dernier régime est celui caractérisant l’apparition du phénomène convectif pour des
nombres de Rayleigh supérieurs au nombre de Rayleigh supercritique.
Poulikakos [62] a effectué une étude du phénomène de la convection double-diffusive dans
une couche poreuse horizontale en utilisant la loi de Darcy étendue par Brinkman (des effets
des contraintes visqueuse sont pris en considération) pour caractériser le mouvement de
fluide au sein de cette couche.
Trevisan et Bejan [63] ont étudié théoriquement et numériquement le phénomène de la
convection thermosolutale dans une couche poreuse isotrope chouffée et salée par le bas pour
des grands nombres de Rayleigh thermiques. Murray et Chen [64] ont effectué une étude
expérimentale du phénomène dans les milieux poreux isotropes à porosité uniforme. Les
expériences ont été menées sur un dispositif composé d’une boîte métallique remplie de billes
de verre saturées avec de l'eau distillée. Cette boite est soumise à des flux de masse et de
chaleur.
Les conditions aux limites imposées à un système diffèrent d’une application à l’autre et
influence sur la structure d’écoulement de la convection ainsi que sur le taux de transfert de la
chaleur et du soluté. Rosenberg et Spera [65] ont effectué une étude du phénomène de
transfert de masse et de chaleur au sein d’une cavité remplie par une matrice poreuse soumise
à une gradient de température verticale et une variété de conditions initiales et des conditions
aux frontières. Ce travail montre que la structure et la dynamique de l’écoulement ainsi que le
transfert de masse et de chaleur dépondent fortement du Rapport des Poussées des forces
solutale et thermique pour des nombres de Rayleigh et Lewis constants.
Une étude de la convection double diffusive au sein d’une couche poreuse isotrope soumise à
des flux uniformes de chaleur et de soluté imposés à la paroi inférieure a été menée par
Mamou et al [66] et Amahmid et al [67]. Une bonne concordance a été trouvée dans cette
investigation entre les résultats obtenus analytiquement par Sen et al. [68] et numériquement
27
Chapitre 1 : Revue Bibliographique
par Alavyoon [69]. Ils se sont focalisés particulièrement au cas où les forces de poussées
thermiques et solutales s’opposent et de même intensité. Les nombres de Rayleigh critiques
marquant l’amorcement du phénomène de la convection ont été calculés analytiquement pour
différents nombres de Lewis et Darcy. Ces auteurs ont trouvé que le nombre de Rayleigh
thermique critique augmente lorsque le nombre de Darcy augmente pour un nombre de Lewis
égal à 1. Pour des nombre de Rayleigh supérieur au nombre critique l’augmentation du
nombre de Darcy réduit l’intensité de l’écoulement ainsi que le taux de transfert thermique et
solutale.
Dans une étude basée sur la stabilité linéaire, Mahidjiba et al [70] illustrent l’effet des
conditions aux limites thermiques et solutales de type Neumann et Dirichlet respectivement,
sur la convection thermosolutale dans une cavité rectangulaire horizontale remplie par un
milieu poreux isotrope à porosité uniforme. Les auteurs montrent alors qu’il existe trois
nombres de Rayleigh critiques, le nombre de Rayleigh supercritique, Rayleigh sur-critique et
Rayleigh oscillant.
Ils montrent aussi que pour des conditions aux limites thermique et solutale de type Dirichlet
et Neumann respectivement, la structure de l’écoulement convectif est monocellulaire
indépendamment de la valeur du rapport de forme pour (NLe < -1). Alors que pour un rapport
de forme pour (NLe ≤ -1), l’écoulement est inconditionnellement stable selon la stabilité
linéaire.
R. Bennacer et al [71] ont effectué une étude numérique et analytique concernant le transfert
combiné de chaleur et de masse dans une cavité rectangulaire remplie par un milieu poreux
homogène et présente une anisotropie thermique. Le modèle de Darcy-Brinkman est adopté
pour caractériser l’écoulement du fluide dans le milieu poreux. Une situation où le transfert
de masse est maximal a été établie pour une valeur critique du taux d’anisotropie thermique.
Les auteurs ont établi une corrélation globale permettant de prédire le transfert de masse pour
les milieux thermiquement anisotropes en régime de Darcy. Un critère de validité de cette
corrélation a également été défini.
Bourich et al [72] ont effectué une analyse numérique de la convection double diffusive dans
une cavité carrée remplie par un milieu poreux. Des températures et concentrations
constantes sont appliquées sur les parois horizontales et verticales respectivement. Il a été
démontré que pour un certain nombre de rapports de poussée, supérieur à un N critique, les
solutions multiples disparaissent. Par contre, une solution monocellulaire se maintient quand
la convection se favorise (N > 0) ou s’oppose (N < 0). Des corrélations des valeurs critiques,
pour lesquelles la transition de l’écoulement monocellulaire naturel vers l’écoulement
monocellulaire antinaturelont été proposés.
M.F. El-Amin [73] a examiné l’effet de la double dispersion à savoir, la dispersion thermique
et la dispersion solutale, sur le phénomène de la convection thermosolutale. L’extension de
Forchheimer de la loi de Darcy a été considérée pour l’équation de mouvement de fluide dans
la matrice poreuse. L’effet combiné de la dispersion thermique et la diffusivité solutale sur le
profil de la vitesse et sur le transfert de masse et de chaleur dans un milieu poreux Darcien et
Non-Darcien pour divers paramètres de contrôle tels que le nombre de Lewis, le nombre de
Rayleigh et le rapport des poussée a été illustré. L’auteur a observé, dans le cas où la
dispersion n’est pas prise en considération, une amélioration du taux de transfert de chaleur
avec l’augmentation du nombre de Lewis dans le cas où les forces de poussée s’opposent. Le
contraire a été observé pour le cas où les forces de poussée se favorisent. Alors que le
28
Chapitre 1 : Revue Bibliographique
transfert de masse traduit par le nombre de Sherwood s’améliore avec l’augmentation du
nombre de Lewis dans les deux cas. Lorsque la dispersion thermique est tenue en compte, le
profil de la vitesse diminue, alors que les profils de la température et de la concentration
augmentent avec l’augmentation du coefficient de correspondance entre la diffusivité
thermique et la vitesse.
Les recherche menées dans le phénomène du transfert conjugué de chaleur et de masse dans
les milieux poreaux saturé par un fluide non-Newtonien est très important due à leur diverses
applications industrielles. Ching-Yang Cheng [74] a étudié le phénomène du transfert de
masse et de chaleur par convection naturelle d’une plaque maintenue à des flux de chaleur et
de masse variables dans un milieu poreux saturé par un fluide non-Newtonien suivant une loi
de puissance. L’auteur a observé que l’existence d’un gradient de pression dans la loi de
puissance du fluide réduit le profil de la vitesse ainsi que le transfert de chaleur et de masse
traduit par le nombre de Nusselt et Sherwood respectivement. Une augmentation de la
composante de la loi de puissance améliore le transfert thermique et solutal.
Récemment N. Retiel et H. Bougurra [75] ont étudié l’influence du nombre de Rayleigh
thermique et du nombre de Lewis sur la structure de l’écoulement et la distribution de la
température et de concentration du phénomène de la convection thermosolutale dans une
cavité demi-cylindrique horizontale fermée chauffée et salée par la paroi horizontale qui
coupe le cylindre verticalement en deux. L’investigation est faite pour différents rapports des
poussées des forces themique et solutale N dans le cas où les forces de poussé s’opposent
(N<0) ou s’additionnent (N>0), pour un nombre de Prandtl=0,7.D’prés les résultats trouvés,
les auteurs ont remarqué que les profils de la température et de la concentration varient
considérablement en fonction des nombres de Rayleigh thermique et du nombre de Lewis. Ils
ont remarqué que pour un nombre de Lewis plus grand la stratification solutale est faible en
forme de panache repoussée par une stratification thermique dominant le cœur de la cavité
avec une augmentation du taux du transfert solutal à proximité de la paroi. Par contre, pour
un nombre de Lewis égal à l’unité les stratifications thermique et solutale se développent
d’une façon similaire.
Fu-Yun Zhao et al [76] ont étudié la convection double diffusive dans une cavité
rectangulaire d’une extension infinie. La cavité est partiellement chauffée et salée par une des
parois verticales, alors que le reste est supposé rigide imperméable et adiabatique. Une série
d’expériences numériques a été menée pour différentes valeurs des nombres adimensionnels
de contrôle à noter, le nombre de Darcy, Lewis, rapport des poussées et la localisation du
segment qui représente la source de la chaleur et le soluté.
Il a été remarqué que la localisation du segment source de chaleur et de concentration
influence sur la structure d’écoulement ainsi que sur le taux de transfert de chaleur et de
masse. L’augmentation du nombre de Lewis améliore considérablement le taux de transfert
de masse et une nette diminution du taux de transfert de chaleur.
Très récemment, A.C. Baytas et al [77] ont étudié la convection double diffusive dans une
géométrie rectangulaire remplie partiellement par un milieu poreux dans le coté inférieur de
la cavité et saturé par un fluide newtonien. Alors que la partie supérieure de la cavité est
remplie par un fluide newtonien. Les parois horizontales sont supposées rigides
imperméables et adiabatiques. Les parois horizontales sont maintenues à des températures et
concentrations uniformes. Le mouvement du fluide dans la matrice poreuse est décrit par
l’extension de Brinkman-Forchheimer de la loi de Darcy. Des conditions de continuités pour
29
Chapitre 1 : Revue Bibliographique
la température, la concentration et la vitesse ont été considérées pour passer du milieu fluide
au milieu poreux. Ce problème est investigué dans deux cas, cas où l’interface fluide-milieu
poreux est horizontale et cas où l’interface fluide-milieu poreux contient un pas (A) dans le
milieu surface de contacte. Les auteurs ont montré que la convection s’amorce avec un
rouleau dans le sens trigonométrique dans la région fluide-milieu poreux pour une interface
horizontale. Lorsque le facteur A augmente la structure présente un écoulement
multicellulaire avec un changement de sens pour quelques cellules. Le taux de transfert
thermique et solutal (Nusselt et Sherwood respectivement) s’améliore sur la paroi active de la
cavité
avec
l’augmentation
du
facteur
A.
Chapitre 2 : Formulation
Mathématique
30
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
2.1 Introduction
La description du mouvement d’un fluide saturant une matrice poreuse est généralement
impossible à cause de la complexité et la difficulté de bien déterminer les paramètres qui
caractérisent un milieu poreux à savoir : la porosité et la perméabilité. C’est pour cette raison
que la notion de modèle a été introduite pour essayer de décrire le mouvement du fluide et le
transfert de chaleur au sein de la matrice poreuse de façon macroscopique.
Le modèle de base le plus simple qui permet de décrire le mouvement d’un fluide dans un
milieu poreux est celui basé sur la loi de Darcy [5]. Ce modèle lie la chute de pression à la
vitesse d’infiltration dans la matrice poreuse. Cette loi phénoménologique a porté le nom de
Henry Darcy qui a justifié l’hypothèse proposée par Depuit en 1854. Ce dernier fut le premier
à déduire, en se basant sur des expériences faites sur des filtres à eau à London, que la chute
de pression est proportionnelle à la vitesse d’infiltration dans la matrice poreuse.
En effet, cette loi est limitée à des écoulements lents et stationnaires en milieu homogène
isotrope (faible nombre de Reynolds). Elle a montré sa défaillance pour les écoulements à
grande vitesse. Dans le but d’élargir le domaine de validité de cette loi et détendre son champ
d’application, Brinkman a ajouté, en 1947 [6], un terme qui tient compte des effets des
contraintes visqueuses adjacentes aux parois. Ce terme contient la viscosité effective qui est
fonction de la porosité du milieu et de la viscosité du fluide saturant la matrice poreuse ainsi
que du Laplacien de la vitesse pour tenir compte de la rigidité et de l’adhérence aux parois.
Une autre extension empirique a été introduite par Forchheimer [6] afin de tenir compte des
effets d’inertie pour des écoulements à grande vitesse.
L’extension de Brinkman-Forchheimer de la loi de Darcy (EBFD) a élargi le champ
d’application de cette loi phénoménologique de Darcy tout en gardant les deux concepts
suivants:
-
Les gradients de pression et la gravité sont les seules forces gouvernant l’écoulement.
La vitesse d’écoulement est linéairement proportionnelle à la somme de ces deux
forces.
Cette extension est très adaptée à la description des écoulements dans un milieu poreux
puisqu’elle permet de tenir compte à la fois des effets d’inertie et de la diffusion visqueuse.
2.2 Equations vectorielles gouvernantes d’un milieu poreux
La convection naturelle thermosolutale qu’elle soit dans un milieu fluide libre confiné ou
dans un milieu poreux est un transport macroscopique de la matière d’un milieu chaud vers
31
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
un milieu qui l’est moins. Ce transport est dû à un changement de la densité du fluide en
contact avec les deux sources. Au sein de ces mouvements convectifs l’énergie se transmet
du milieu chaud vers le milieu moins chaud. La résolution d’un tel problème consiste en la
détermination des champs des vitesses, de température et de concentration en chaque point de
la cavité occupée par le fluide considéré. Dans ce qui suit, nous allons établir les équations
qui gouvernent ce phénomène de convection naturelle dans une matrice poreuse afin
d’étudier le processus de transfert de l’énergie par ces mouvements convectifs du fluide.
2.2.1 Equation de continuité
L’équation de continuité décrit la loi de conservation de la masse. Pour établir cette équation
dans un milieu poreux, nous considérons un parallélépipède comme un volume de contrôle
avec une porosité ε et utilisons les coordonnées cartésiennes.
Figure 1: Volume élémentaire dans le systéme des coordonnés cartisiènnes
Ce volume élémentaire contient dans ces pores une masse de fluide :
  dx1 dx2 dx3
(2.1)
La quantité de masse échangée par ce volume dans un intervalle de tempe dt est :
 
dx1 dx2 dx3 dt
t
(2.2)
Les flux de masse traversant les surfaces dx2  dx3 à x1 et x1  dx1 sont :
32
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
V1 x dx2 dx3 dt
(2.3)
1
V1 x dx dx2 dx3 dt  V1 x dx2 dx3 dt  V1  dx1dx2 dx3 dt
1
1
x1
1
(2.4)
Donc, la variation de masse de fluide dans la direction x1 est :

V1 
dx1dx2 dx3 dt
x1
(2.5)
On procède de la même manière dans les autres surfaces de l’élément de volume et on
trouve :



 V1 
dx1dx2 dx3 dt
x1
 V2 
dx1dx2 dx3 dt
x2
3

i 1
 V3 
dx1dx2 dx3 dt
x3
Vi 
dx1dx2 dx3dt
xi
Le taux de variation de la masse pendant l’intervalle de temps dt est égal au changement de
flux de masse à travers cet élément de volume dx1 dx2 dx3
3
Vi 
 
dx1dx2 dx3 dt  
dx1dx2 dx3 dt
t
xi
i 1
(2.6)
Par conséquent, l’équation de conservation de masse s’écrit sous la forme :
 
 div  V  0
t
 
(2.7)
Pour un fluide incompressible, l’équation de conservation de masse s’écrit sous la forme
suivante :

div V  0
(2.8)
2.2.2 Equation d’énergie
Pour établir l’équation d’énergie issue du premier théorème de la thermodynamique dans un
milieu poreux, on fait recours à quelques simplifications et quelques approximations dans le
but d’enlever la complexité et l'hétérogénéité du milieu poreux. Pour cela, on considère un
cas simple où le milieu est isotrope et où les effets radiatifs et la dissipation visqueuse sont
négligeables. Les pores sont interconnectés pour former un milieu homogène isolé du milieu
solide (Figure2.2), comme si nous avons deux milieux adjacents chacun à ses propres
propriétés thermodynamiques. On suppose aussi qu’il y a équilibre thermique entre la phase
33
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
solide et fluide (Tf=Ts). Où Tf et Ts représentent respectivement les températures des phases
fluide et solide. On admet aussi qu’il n’y a pas de transfert thermique entre les deux phases
solide et fluide [5].
Figure 2: l’approche prise dans ce cas de transfert thermique
La fraction de volume pour chaque phase sera définit comme suit :
Pour la phase solide nous avons :
1   C S TS  1   .S TS 
(2.9)
t
Et pour la phase fluide nous avons :
 C  f
Tf
 C  f
t


(2.10)


(2.11)
  C  f v.T f   .  f T f
Tf
t
 C  f V .T f   .  f T f
Les indices f et s réfèrent respectivement à la phase fluide et solide. Dans les équations de
transfert précédentes nous avons supposé que la surface poreuse est égale à la porosité. Par
exemple, S TS est le flux de chaleur par conduction à travers le solide, et donc . S TS
est le taux de transfert par conduction par unité de volume du solide.


En adoptant l’hypothèse mentionnée auparavant ( T f  TS  T ), et en ajoutant l’équation 2.9 à
l’équation 2.10 on trouve :
C m T  C  f V .T  e .T 
t
(2.12)
Où :
C m   C  f  1   C S
(2.13)
34
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
La conductivité thermique du milieu poreux e dépond en général des conductivités
thermiques des phases fluide et solide  f ,  S respectivement, et de la façon avec laquelle
s’effectue le transfert thermique au sein de la matrice poreuse. Si le transfert s’effectue en
parallèle, la conductivité thermique est alors la moyenne arithmétique pondérée des
conductivités  f ,  S .
 e   f  1   S
(2.14)
Si la structure et l’orientation du matériau exigent un transfert thermique en série poreux de
tel sort que le flux de chaleur traverse à la fois la phase solide et la phase fluide alors la
conductivité thermique du bloc s’écrit sous la forme suivante :
1
 1   


e  f
S
(2.15)
D’autres formules de corrélations ont été proposées dans le but de mieux contrôler ce
phénomène de transfert dans de tels milieux complexes. Mais en générale, eP , eS ,
présentent des limites supérieures et inferieures respectivement de la conductivité globale de
la matrice poreuse.
Si on divise l’équation 3 par C  f on trouve l’équation d’énergie suivante :
 
T
 V .T  k e . T
t

(2.16)
Où :

C m
C  f
ke 
et
e
C  f
2.2.3 Equation de concentration
La diffusion d’une concentration C dans la matrice poreuse peut être représentée sous la
forme suivante à l´aide de la loi de Fick multipliée par la fraction de volume des vides :


C
  v.C  .  DC
t

(2.17)
En utilisant la relation de Dupuit-Forchheimer [9] , V   v , cette équation devient :


C
V .C  .  DC
t

(2.18)
D est la diffusivité du milieu poreux.
35
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
2.2.4 Equation de conservation de la quantité de mouvement en milieu
poreux
Les mouvements de convection naturelle dans un milieu fluide libre sont régis par les
équations de Navier-Stokes déduites des bilans de masse et de quantité de mouvement.
Cependant, l’équation qui régit le mouvement d’un fluide au sein d’un milieu poreux est
basée sur une loi d’origine empirique (loi de Darcy 1854. Dans le but d’élargir son domaine
de validité, des corrections ont été proposées pour tenir compte des effets des parois
(extension de Brinkman), et des effets d’inertie (extension de Forchheimer).
- Loi de Darcy
La loi de Darcy sous forme générale pour un écoulement laminaire stationnaire dans un
milieu poreux homogène isotrope est :
V
K

 g   p
(2.19)
Contrairement à la porosité ε qui ne dépend que de l’arrangement des grains qui forment la
matrice poreuse, la perméabilité K dépend des dimensions des pores (diamètres des grains
Dg) et de la porosité. Dans le but de trouver une relation entre la perméabilité et la porosité
plusieurs modèles ont été proposés. Dans notre travail, on a adopté le modèle de rayon
hydraulique, où la perméabilité et la porosité sont liées par la relation de Carman-Kozeny
suivante, estimée pour un lit uniforme de grains:
K
 3 Dg2
180 1  
2
(2.20)
- Equation de Brinkman
Dans le but de prendre en considération les effets des contraintes visqueuses, Brinkman a
ajouté un terme à la loi de Darcy :
p  

K
V   g  ~ V
(2.21)
Le terme ajouté est analogue au terme Laplacien qui apparaît dans l'équation de NavierStokes. La viscosité effective dépond de la viscosité du fluide et de la porosité. Plusieurs
corrélations existent dans la littérature, nous avons adopté la corrélation générale suivante :
~ 1

 
(2.22)
36
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
- Equation de Forchheimer
La loi de Darcy est une loi linéaire de la vitesse d’infiltration valide pour des écoulements à
petit nombre de Reynolds, Re, qui est de l’ordre de l’unité. Si la vitesse d’infiltration
augmente ce qui sera traduit par une augmentation du nombre de Reynold tout en restant dans
l’intervalle de 1 à 10. Une déviation de la linéarité de la loi de Darcy est observée. Cette
déviation du régime Darcien au régime non-Darcien est due aux effets d’inertie qui
apparaissent avec l’augmentation de la vitesse. Dans le but de prendre en considération les
effets d’inertie, la loi linéaire de Darcy a connu une modification en ajoutant un terme nonlinaire :
C

 p   V   g  1F/ 2  V V
(2.23)
K
K
Où CF représente une constante non-dimensionnelle. L’équation (2.20) est une modification
d’une équation qui porte le nom de Dupuit (1863), Forchheimer (1901) et See Lage (1998).
Ce paramètre, CF, dépond de la nature du milieu poreux [8]. Dans notre travail, on a utilisé
180
l’expression C F  3 / 2 qui est fonction de la porosité.

- Extension de Brinkman-Forchheimer de la loi de Darcy
Brinkman a ajouté un terme à l’équation de Darcy pour prendre en compte les effets des
contraintes visqueuse, Forchheimer, de sa part, a ajouté un terme pour tenir compte des effets
d’inertie pour des écoulements à grande vitesse (grand nombre de Reynolds). Pour tenir
compte des effets des parois et d’inertie simultanés, on a ajoute les deux termes à la loi de
Darcy pour élargir le domaine de validité de cette loi, et par analogie avec l’équation de
Navier-Stokes l’extension de Brinkman-Forchheimer de la loi de Darcy dans le régime nonstationnaire s’écrit sous la forme :
 1 V
V V
  . 
  t    




C

    V   g   p  ~V  F  V V

K
K 1/ 2

(2.24)
2.2.5 Variation de la porosité
La porosité d’un matériau formé par des grains ou des fibres consolidées ne peut pas être
uniforme avec une valeur bien déterminée puisque les grains qui forment ce matériau ne
peuvent pas avoir la même forme et la même taille et être arrangés d’une manière uniforme.
Il y a une augmentation de la porosité dès qu’on s’approche des parois parce que ces
dernières empêchent les grains de prendre une forme plus compacte. Par ailleurs, les
expériences ont montré que la porosité varie exponentiellement avec le rayon de l’enceinte
(Figure 2.3).
37
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
Figure 3: la variation de la porosité prés des parois
La plupart des chercheurs ont supposé une variation de la forme suivante [5][6] :
    1  C por e   R  r  
(2.25)
Ou  est une constante qui dépend du diamètre des grains (=η/Dg), et Cpor est une constante
 1 .
non-dimensionnelle fonction de la porosité loin des parois C por  

2.2.6 Approximation de Boussinesq
Dans l’étude du phénomène de la convection naturelle, c’est la variation de la densité sous
l’effet du gradient de température et de concentration qui engendre les mouvements
convectifs au sein de l’enceinte. Par conséquent, la densité volumique doit être fonction de la
température et de la concentration et une équation d’état est nécessaire pour compléter les
équations de conservation de masse et de quantité de mouvement et l’équation d’énergie. Ces
variations de la densité sont alors approximées par un développement de Taylor au premier
ordre [7]:
   0 1 T T  T0   S C  C0 
(2.26)
Où  est la densité à la température de référence et à la concentration de référence, βT le
coefficient d’expansion volumique thermique et βS le coefficient d’expansion volumique
solutale exprimés sous la forme suivante :
βT  
1 ρ


ρ0   T  P,S
,
βS  
1 ρ


ρ0   C  P,S
(2.27)
L’approximation de Boussinesq consiste à considérer que les variations de la densité du
fluide sont négligeables à l’exception du terme de poussé dont il faut tenir compte.
L’équation 2.21, pour une convection purement thermique, devient alors :
~
C
μ
μ
1  V  V  V
1

.

V  ρ0 1  βT T  T0   β S C  C 0  g 
p 
ΔV  1F/ 2 V V (2.28)
ε  t  ε  ε
ρ0 K
ρ0
ρ0
K
38
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
2.2.7 Formulation vorticité-fonction de courant
Dans les écoulements bidimensionnels de convection naturelle, il est plus commode d’utiliser
la formulation vorticité-fonction de courant pour éliminer la pression pour laquelle nous ne
possédons aucune information.
Cette formulation consiste à remplacer les variables primitives pression et vitesse par la
composante non nulle du vecteur rotationnel de la vitesse et la fonction de courant .
Pour éliminer la pression et faire apparaitre le vecteur on applique l’opérateur rotationnel
à l’équation 2.21 stationnaire :
C
V  V
 μ

 μ~

F VV
rot .   rot
V   rot1  βT T  T0   β S C  C 0 g  rot ΔV   rot


1/ 2
ε ε
 ρ0 K 
 ρ0



K

(2.29)
La porosité varie exponentiellement avec le rayon suivant l’équation suivante :
ε  ε 1  C por e  Γ  R r    ε χ  r 
(2.30)
Puisque la viscosité effective et le terme de Forchheimer sont fonction de la porosité, on peut
les écrire sous la forme suivante :
~   1   1  r 1
Où :
C F  180 ε χ r 
,
 r   1  C por e   Rr 
(2.31)
(2.32)
La perméabilité dépend de la porosité et des diamètres des grains. Puisqu’on considère, dans
une première approximation dans les études des milieux poreux, que le milieu est homogène
et isotrope et que les grains sont de même taille, donc le seul facteur qui influe sur la
perméabilité est la porosité. Et puisque la porosité s’écrit sous une forme facile ; une
constante (représentant la porosité loin des parois) multipliée par une fonction variable avec
le rayon du cylindre, il est plus commode d’écrire la perméabilité sous une forme semblable à
la porosité.
Donc la perméabilité s’écrit sous la forme :
K
ε 3 Dg2
1801  ε 
2

ε 3 Dg2
1801  ε  
2
f r   K  f r 
(2.33)
39
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
On a :
1    χ 2
1    2
1  2     2  2 1  2    2  2    2  2     2  2


1  2    2
1  2    2
 1

2  1      2 1   2

1    
  1    2    1   
 1
1    2
2
Donc :
1801      1801     1  C por1 1  1  C por2 
2
2


(2.34)
D’où :
r 
f r  

1  C por1 1   r  1  C por2 r 
3


(2.34)
Avec :
C por 
  1

C por1 

1    2    
2
C por2 

2    
Vue les identités suivantes :
A .  A  A 2  rot A  A
2



 

rot A  B  A .B  B  . A  B . A  A. B
 
rot f A  f rot A    f  A
L’équation 2.28 peut être écrite sous la forme générale suivante :

 1


V 
1
1  V
 1    V   1 

     V    .V  V .      
.     .        .       V 
 





 

     2
         


 

  
  1 
 
 


 1  1   1 
 1 
  2 .  V  . V            V . V        V  .V       


 
K
       
  
 
 
   


  V 


T
C 
180  3 / 2
1
1
      V  T g
 S g
         V 
V   180  3 / 2 1 / 2   V
1/ 2
r
r 
K
K

 K



 
 V
K

 180 
1/ 2
 1  V  1 
 3 / 2   3 / 2  1 / 2  V
  
 K 

 
(2.35)
40
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
2.3 Description du modèle
2.3.1 Configuration géométrique
La configuration géométrique de l’écoulement est constituée d’une enceinte cylindrique
droite de hauteur H, de rayon R et d’axe vertical illustrée sur la Figure 2.4. Cette
cavité est remplie par un milieu poreux non-Darcien isotrope et saturé par un fluide
Newtonien de propriétés thermodynamiques constantes exceptée la densité qui varie avec la
température selon l’approximation de Boussinesq. Les bases inférieures et supérieures de la
cavité sont maintenues à des températures et concentrations constantes et uniformes,
respectivement, (TC ,TF) et (Cinf , Csup). Les parois latérales sont rigides et imperméables.
Figure 4:la géométrie physique considérée
Le système d’équations scalaires à résoudre pour cette configuration géométrique est :

A V 
1  U  W    2U ' 

   2 1    2 
T
C
 2 









 2   T g
 S g

2 
2
2
1/ 2 3 / 2 

 z   X
K r K  
  r
r r  z 
r
r
  r



U   W  '  W   W '



  r       z   2  
 AV
K


1/ 2
2
 U W '

W f'
'
 
W    UW2 2'


2
K f

  
 r 
V
  180    V
   3 / 2 1 / 2   U
W
r
   K   z
 3W '  A V  W f '
 2       2 K f

 
3/ 2
3/ 2
1/ 2
 2
 T
 UT   WT  U T
 2T 1 T 



 ke  2  2 
r
r
z
r
r  r 
z

 2
 C
 UC   WC  U C
 2 C 1 C 
 C


  D  2  2 
  D

 r
r
z
r
r  r 
z z
z


(2.36)
(2.37)
(2.38)
41



Chapitre 2 : Formulation Mathématique
Puisqu’on utilise la formulation vorticité-fonction de courant, il faut faire apparaitre la
fonction de courant par le biais de l’équation de continuité:
U 
1 
W 
,
r z
1 
r r
(2.39)
Le vecteur rotationnel des vitesses est relié à la fonction de courant par la relation suivante :
1
2  
   V    
 e   e
r
r r 
avec
1
2  
    

r
r r 
(2.40)
2.3.2 Conditions aux limites
Les équations de base décrites précédemment sont résolues en tenant compte des conditions
aux frontières spécifiques à notre problème. On peut distinguer trois types de conditions aux
limites ; thermique, solutale et dynamique :
-
Conditions aux limites thermiques
Les parois latérales peuvent être conductrices comme elles peuvent être isolantes.
L’introduction d’un coefficient d’homotopie permet de tenir compte de la conductivité de la
paroi latérale et d’aboutir à la condition aux limites thermique du type Fourier :

 Tparoi
r
z

 1    Tparoi  TC  TC  TF    0
H

r=R
(2.41)
Selon la valeur du coefficient d’homotopie 0    1 , on peut distinguer trois cas :
 Cas d’une paroi parfaitement adiabatique (=1) :

 T paroi

0
r
Cas d’une paroi parfaitement conductrice (=0) :

z 

 T paroi  TC  TC  TF    0
H

Cas d’une paroi semi-conductrice ( 0    1 ) :
 Tparoi
z

 1    Tparoi  TC  TC  TF    0
r
H

La température est continue dans l’axe (hypothèse d’axisymétrie) donc :

 Taxe
0
r
r=R
(2.42)
r=R
(2.43)
r=R
(2.44)
r=0
(2.45)
42
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
Les bases du cylindre, inférieure et supérieure, sont maintenues à des températures constantes
et uniformes telles que :
T  TC
-
en
z=0
T  TF
,
en
z=H
(2.46)
Conditions aux limites solutales
Les bases de cylindre inférieure et supérieure sont maintenues à des concentrations constantes
et uniformes telles que :
C  Cinf
en
z=0
,
C  Csup
en
z=H
(2.47)
Les parois latérales sont isolantes :
C
r
0
r=R
(2.48)
r=0
(2.49)
paroi
La concentration est continue suivant l’axe (hypothèse d’axisymétrie) donc :
 Caxe
0
r
-
Conditions aux limites dynamiques
Les parois étant rigides et imperméables, le champ des vitesses est nulle (adhérence à la
paroi), et les conditions aux frontières associées la fonction de courant sont alors exprimées
par :
 
en
z=0 , z=H , r=R
(2.50)


0
r
z
Pour admettre un écoulement bidimensionnel dans une cavité cylindrique, on suppose une
symétrie axiale de l’écoulement [78]. Cette condition est traduite par :
axe
0
z
en
r=0
(2.51)
Ceci veut dire que la fonction de courant est constante cte . Pour des raisons de continuité,
on prend la fonction de courant nulle sur l’axe puisqu’elle est nulle sur les parois rigides :
axe  0
en
r=0
(2.52)
Puisqu’il n’existe pas de conditions aux limites pour la vorticité (le vecteur rotationnel des
vitesses), on peut remplacer la vorticité dans l’équation de mouvement par la fonction de
courant puisque nous avons une relation qui relie le vecteur rotationnel et la fonction de
courant (Equation 2.33). Si on procède de cette façon l’expression de l’équation de
43
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
mouvement devient plus délicate, donc il est plus commode de trouver des conditions aux
limites pour le vecteur rotationnel des vitesses au lieu de le remplacer par la fonction de
courant. On déduit les valeurs de vorticité aux frontières de celles qui correspondent aux
champs des vitesses et de la fonction de courant, en tenant compte des valeurs aux points
intérieurs avoisinant la paroi [47].
Les valeurs limitent des champs des vitesses et de la fonction de courant, puisqu’elles
existent comme conditions aux limites, permettent de déterminer le vecteur rotationnel des
vitesses aux frontières.
L’équation de la fonction de courant s’écrit :
1  2
1  1  2 

 2

r r 2
r z 2
r r
(2.53)
a- Vorticité à la paroi latérale
L’équation de la fonction de courant aux frontières devient :
 r R 
1  2
r r 2
(2.54)
r R
Puisqu’aux frontières (0) et le champ des vitesses est nul.
Méthode de Thom
La méthode de Thom est basée sur un développement de Taylor de la fonction de courant à
un point de la paroi (r=R)
 R dr   r  R

 dr
r
dr 2  2 

2 r 2
r R
(2.55)
r R
Puisque :
 r R 

r
 2
r 2

0
(2.56)
r R
On trouve :
r R
2

dr 2 r  R dr
(2.57)
Et donc l’expression de Thom pour la vorticité est :
 r R 
2

dr 2
(2.58)
r  R  dr
44
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
b-Vorticité aux parois inférieure et supérieure
En tenant compte des conditions aux limites à la paroi pour la fonction de courant et les
champs des vitesses, l’équation de la fonction de courant Eq.2.46 devient.
 z 0 , H 
1  2
r z 2
(2.59)
z 0 , H
Les conditions d’adhérence aux parois donnent les expressions suivantes :
 z 0 

z
0
 zH 
,
z 0

z
0
(2.60)
zH
Méthode de Thom
Le développement de Taylor de la fonction de courant pour la surface inférieure :
 z dz   z 0  dz

z

z 0
dz 2  2 
2 z 2
(2.61)
z 0
Pour la surface supérieure :
 z  H dz   z  H  dz

z

zH
dz 2  2 
2 z 2
(2.62)
zH
On obtient les expressions de Thom suivantes :
 z 0 
1 2

r dz 2
z  dz
 zH 
1 2

r dz 2
(2.63)
z  H  dz
c-Vorticité sur l’axe
Les valeurs du vecteur rotationnel des vitesses sur l’axe sont prises nulles, puisqu’il n y a pas
de conditions de non glissement sur l’axe, donc la vorticité sur l’axe est :
 r 0  0
(2.64)
2.4 Adimensionnalisation
2.4.1 Les équations gouvernantes adimensionnelles
Le rayon R de la paroi à été choisi comme longueur de référence pour adimensionnaliser les
équations de base Eq.(2.29) à Eq(2.33). L’écart de la température et de la concentration entre
les parois supérieure et inférieure de la cavité sont prises comme référence pour
adimensionnaliser la température et la concentration. Pour la vitesse, on a pris la diffusivité
thermique comme vitesse caractéristique.
45
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
Donc les grandeurs caractéristiques de l’adimensionnalisation sont définies comme suit:
R
: Pour les longueurs
Ke
R
: Pour les vitesses
Ke
R2
: Pour le vecteur rotationnel des vitesses
RK e : Pour la fonction de courant
T  TC  TF : Écart de température de référence
C  Cinf  Csup : Écart de concentration de référence
Le système d’équations scalaires gouvernant le problème, après avoir introduit les variables
adimensionnelles, s’écrit sous la forme suivante :
   
(2.65)
   
(2.66)
~~
~~
~~
~
~
~
 UT  WT U T  2T  2T 1 T

 ~  ~2  ~2  ~ ~
~
r
~
z
r
r r
r
z
~
~
~
~
~~
~~
~~
 UC  WC U C    2 C  2 C 1 C       C






~
~
r
~
z
r
Le   ~
r ~
r  Le  ~
z ~
z
r 2 ~
z2 ~
   
~~
~~
~
~
~
~
1   U  W   2U'
Pr
Pr A 3 / 2  ~
Pr   2  1   2  

 ~    2  
 2 
V     ~ 2  ~ ~  ~ 2 
r
z   
Da
  r
r r z 
 2  ~
r '
Da1 / 2

~
~
~
~
~~
~~
~
 T~
C  U  W'  W  WX  UW'
Pr Wf '
'
~
2
 ~ 2  ~ 2 
  Ra Pr ~  N ~   ~ 
  Pr
W
2



r  r    z      r 
Da f

 r
 
~~
~
 UW' 2 
180  ~  V
~  V   270 V  W'  90 V


  2 2   3 / 2 1/ 2 U ~  W ~   


r   Da1 / 2   3 / 2    3 / 2
     Da  z

 


~
~
1 
~
~ 1 
U~ ~
W ~ ~
,
r z
r r
~
2~
2~
1  1  
~ 1 
  ~ ~2  ~2 ~  ~ ~2
r r
r z
r r
 W~f '
 Da f

1/ 2

(2.67)
(2.68)
(2.69)
La diffusivité thermique du milieu poreux s’écrit sous la forme :
e
C  f
(2.70)
 e   f  1   S
(2.71)
ke 
Où :
46
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
Qui peut s’écrire sous la forme :


 e   e    1    S
 e




(2.72)
Avec :
 e     f  1     S
(2.73)
D’où :

   f    1   S

1
(2.74)
Pour la fonction (r) :
  r   1  C por e


 Rr 
Dg
(2.75)
Qui peut être écrite sous la forme suivante :
  r   1  C por e


R 1r ' 
Dg
 1  C por e
 1801 2

 
Da 


3


1 / 2
1r ' 
(2.76)
Puisque :
Da
Dg2
K
 3
 2 
2
2
R
180 1     R
(2.77)
Donc :
180 1    

Da
2
R
 3
Dg2
2
(2.78)
Les équations adimensionnelles (2.57)-(2.70), font apparaitre des nombres adimensionnels
qui contrôlent le système. Ces nombres sans dimension sont définis par :
Le nombre de Rayleigh thermique pour le fluide :
Le nombre de Prandtl pour le fluide :
Le nombre de Darcy :
g T T R 3
Ra 
 KT
Pr 

KT
Da 
K
R2
47
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
f
Le rapport de conductivité, (fluide, matrice poreuse) :
f 
Le rapport de conductivité, (solide, matrice poreuse) :
S 
S
 e
Le rapport des poussées :
N
 S C
T T
Le nombre de Schmidt :
Sc 
 e

D
Le 
Le nombre de Lewis :
Sc
Pr
2.4.2 Conditions aux limites Adimensionnelles
Les conditions aux limites adimensionnelles qui contrôlent ce système s’écrivent sous la
forme suivante :
-
Conditions aux limites thermiques

paroi parfaitement adiabatique :
~
T
0
~
r

~
r 1
(2.79)
Cas d’une paroi parfaitement conductrice :
~
z
~
T  1
RA
~
r 1
(2.80)
~
r 0
(2.81)
La température sur l’axe (hypothèse d’axisymétrie) :
~
T
0
~
r
Les bases de cylindre, inférieur et supérieur, sont maintenues à des températures constantes et
uniformes :
~
T 1
en
~z  0
,
~
T 0
en
~
z  RA
(2.82)
48
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
-
Conditions aux limites solutales
Les bases de cylindre, inférieure et supérieure, sont maintenues à des concentrations
constantes et uniformes telles que :
~
C 1
~z  0
~
C 0
~
z  RA
(2.83)
~
C
~
0
r 1
~
r
La concentration est continue suivant l’axe (hypothèse d’axisymétrie) donc :
(2.84)
en
,
en
Les parois latérales sont isolantes :
-
~
C
0
~
r
Conditions aux limites dynamiques
~
r 0
(2.85)
Les parois étant rigides et imperméables, (conditions d’adhérence à la paroi):
~
~
~  
 ~  ~ 0
r
z
Condition de symétrie de l’écoulement :
~z  0 , ~z  RA , ~
r 1
en
~
0
~
r 0
en
(2.86)
(2.87)
Pour la vorticité :
Sur les parois latérales :
2 ~
~
 ~  ~2 
r 1
r
(2.88)
~
r 1 ~
r
Sur les parois inférieure et supérieure :
~
~
z 0
Sur l’axe :
1 2 ~
 ~ ~2 
r z
~
~
z  RA
~
z  ~
z
~
~
r 0
0
1 2 ~
 ~ ~2 
r z
(2.89)
~
z  RA  ~
z
(2.90)
49
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
2.4.3 Transfert de chaleur et de masse (Nusselt et Sherwood)
L’étude du transfert de chaleur et de masse dans la cavité soumise à des gradients de
températures et de concentration nécessite la détermination de l’intensité du transfert
convectif. Cette intensité est donnée, dans le cas de transfert thermique, par le nombre de
Nusselt, qui caractérise le transfert de chaleur au niveau des parois mais n’intervient pas
comme condition de similitude des écoulements. Ce nombre est défini en une position x
comme suit [79][80]:
~
 ~ T 
Nu l  RA wT  ~ 
z 

(2.91)
Pour le transfert de masse (nombre de Sherwood) :
~
 ~ C 

Shl  RALe wC  ~ 
z 

(2.92)
On déduit les expressions des nombres de Nusselt locaux sur les surfaces horizontales
inférieure et supérieure :
~
T
Nu i   RA ~
z
(2.93)
~
z 0
~
T
Nu S   RA ~
z
(2.94)
~
z  RA
Et les nombres de Sherwood :
~
C
Shi   RA ~
z
~
C
ShS   RA ~
z
(2.95)
~
z 0
(2.96)
~
z  RA
La valeur moyenne du nombre de Nusselt le long des parois horizontales, inférieure et
supérieure, (parois actives) de la cavité est donnée par :
~
T
Nu i  2 RA ~
z
0
1
~
1
T
Nu S  2 RA  ~
z
0
d~
r
(2.97)
~
z 0
d~
r
(2.98)
~
z  RA
La valeur moyenne du nombre de Sherwood est donnée par :
50
Chapitre 2 : Formulation Mathématique
~
C
Sh i  2 RA  ~
z
0
1
~
C
Sh S  2 RA  ~
z
0
d~
r
(2.99)
d~
r
(2.100)
~
z 0
1
~
z  RA
2.5 Conclusion
Après avoir déterminé les équations gouvernantes le problème, à savoir la convection
naturelle et thermosolutale dans une enceinte cylindrique, ainsi que les conditions aux limites
aux frontières, l’étape suivante consiste à les résoudre. La résolution analytique de ces
équations est impossible, sauf pour des cas très simples, le recours à des méthodes
numériques s’avère nécessaire. La méthode de différences finies (décrite dans le chapitre
suivant) à été choisie pour la résolution de ces équations.
51
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
52
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
3.1 Introduction
Les équations de base qui gouvernent le problème de convection thermosolutale sont nonlinéaires et couplées. Généralement, elles n’admettent pas de solutions analytiques sauf pour
des cas très simplifiés. Par conséquent, un recours aux méthodes numériques s’avère
obligatoire.
Les méthodes numériques passent par deux étapes ; une étape de maillage et une étape de
discrétisation. Il existe plusieurs méthodes de discrétisation, les plus couramment utilisées
sont:
1.
2.
3.
4.
La méthode des différences finies,
La méthode des éléments finis,
la méthode des volumes finis,
la méthode des caractéristiques.
Dans le cadre de notre étude, nous avons opté pour la méthode des différences finies qui
s’avère la plus adaptée et la plus facile à utiliser pour les problèmes à géométrie simple. C’est
la plus ancienne des méthodes numériques, elle a été introduite au 18e siècle par Euler. Elle
consiste à remplacer les dérivées partielles par des différences divisées ou combinaisons de
valeurs ponctuelles de la fonction en un nombre fini de points discrets ou nœuds du maillage
prédéfini (voir figure3.1). On obtient donc des équations linéaires reliant les valeurs des
inconnues en un nœud aux valeurs de ces mêmes inconnues aux nœuds voisins. La
température, la vorticité, la concentration et la fonction de courant aux nœuds sont les
inconnues du problème, quant à la vitesse, elle est déduite de la valeur de la fonction de
courant.
La symétrie cylindrique réduit l’étude à la demi-coupure verticale passant par l’axe du
cylindre droit. On décompose ce domaine à des petits rectangles. on désigne les coins de ces
rectangles par des nœuds, chaque nœud est identifié par le couple d’indices (i,j) qui désigne
les lignes d’intersection du maillage. Les nœuds voisins sont implicitement définis par l’ajout
ou la soustraction d’une unité des indices d’incrément. Les équations différentielles qui
gouvernent le problème seront approximées par un système d’équations algébriques dans
lesquelles les valeurs des variables aux nœuds (température, concentration, vorticité et
fonction de courant) sont les inconnues du problème. Par des itérations successives on
détermine ces valeurs tout en respectant des conditions aux limites qui contrôlent le système.
53
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
Figure 5: Représentation du maillage du système physique
3.2 Discrétisation des équations
Les équations établies dans le chapitre précédent peuvent être classées en deux types
d’équations :
-
les équations de transport
l’équation de la fonction de courant
Le premier type d’équations contient des termes d’advection, des termes de diffusion, et bien
évidemment des termes sources, alors que la seconde équation est de type Poisson.
Pour les équations de transport, la principale considération lors de l’établissement des
équations aux différences est la formulation des termes d’advection et des termes de
diffusion. Nous avons choisi pour l’approximation de ces derniers termes, le schéma centré
d’ordre deux CDS. L’inconvénient de ce schéma est la génération des solutions oscillantes
pour des maillages grossiers. Mais, il se stabilise et donne des résultats plus précis avec des
maillages plus fins.
Pour chaque domaine discrétisé, les dérivées partielles de premier et deuxième ordre sont
approchées selon le schéma CDS dans le cas des termes diffusifs :
 f

 r
 2 f
 2
 r
f
 f i 1, j

  i 1, j
  r 2
2

r
i, j
 
f
 2 f i , j  f i 1, j

  i 1, j
  r 2
2

r
i, j
 
,
,
 f

 z
 2 f
 2
 z
f
 f i , j 1

  i , j 1
  z 2
2

z
i, j
 
(3.1)
f
 2 f i , j  f i , j 1

  i , j 1
  z 2 (3.2)
2

z
i, j
 
54
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
Où i et j sont les indices du point courant où l’on évalue la dérivée, r et z les pas spatiaux
dans les directions r et z respectivement (espacement entre deux nœuds voisins). f représente
soit la température T, la concentration C, la vortocité  ou la fonction de courant 
Les termes d’advection sont approximés par une différence centrée de deuxième
ordre comme suit :
Vri1, j f i 1, j  Vri1, j f i 1, j
 Vr f 

  r 2
 r i, j
2r
(3.3)
Vzi, j 1 f i , j 1  Vzi, j 1 f i , j 1
 Vz f 

  z 2
 z i, j
2z
(3.4)
 
 
f représente la variable transporté et Vr et Vz les composantes du champ des vitesses,
respectivement, dans les directions r et z.
3.3 Procédure de résolution
Les équations d’énergie (2.57), de la concentration (2.58) et de la vorticité (2.59) étant
paraboliques par rapport au temps et elliptiques par rapport aux coordonnées spatiales,
l’intégration dans le temps peut être effectuée à l’aide d’un schéma explicite ou implicite. Les
schémas explicites sont coûteux en effort de calcul par pas de temps et nécessitent des pas des
temps très petits pour des raisons de stabilité de la solution en régime permanent. Les
schémas implicites ne sont pas généralement influencés par les contraintes de stabilité. La
méthode implicite aux directions alternées (A.D.I) S.V. Patankar [81], est choisie comme
outil de résolution puisqu’il s’avère un outil puissant de résolution des systèmes linéaire
émanant des EDP elliptiques et paraboliques. Cette technique consiste à deviser chaque pas
de temps en deux demis pas de temps. On aboutit à deux systèmes matriciels tri-diagonaux
dans les deux directions. Le premier système matriciel est obtenu par la discrétisation
implicite selon la direction r et explicite selon la direction z, l’autre système est obtenue par
la discrétisation implicite selon la direction z et explicite selon r.
Cette méthode conduit à des systèmes matriciels tri-diagonaux facilement inversibles par des
méthodes directes.
La solution est obtenue en faisant un balayage du domaine dans le premier demi pas du temps
suivant la direction r, ensuite suivant la direction z pour le deuxième demi pas du temps.
3.3.1 Equations de transport
Les équations de transport de la vorticité, de la température et de la concentration peuvent
être écrites sous la forme générale suivante :
55
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
 
 
~
~
1f
 Uf
 Wf
2 f
2 f
f
f
  pr ~   pz ~   sr ~ 2   sz ~ 2   r ~   z ~  f  S
 t
r
z
r
z
r
z
(3.5)
Où :  est un facteur de relaxation nécessaire pour la stabilité de la solution.
 pr , pz , sr , sz , a sont définis sous la forme suivante :
Pour l’équation d’énergie :
 pr  1,  pz
~
1
U
 1,  sr  1,  sz  1,  r  ~ ,  z  0,    ~ ,
r
r
S 0
(3.6)
~


1 
 
U
,  sz 
, r  ~
, z  ~
, ~ ,S 0
Le
Le
r Le
 z Le
r
(3.7)
Pour l’équation de concentration :
 pr  1,  pz  1,  sr 
Pour l’équation de mouvement :
~
1
2U'
Pr
Pr 180 3 / 2
 pz  2 ,






V
Da

 2
~
r2
Da1 / 2
Pr
1 Pr
 sz   ,
r   ~ ,
z  0

r 
~
~
~
~
~
~~
~
 T~
C  U  W'  W  W'  UW'
Pr Wf '
'
~
 ~ 2  ~ 2 
S   2 Ra Pr ~  N ~   ~ 


Pr

W
2
r  r    z      r 
Da f

 r
1
 pr  2 ,

Pr
 sr   ,

 
~~
 UW' 2
  2 2
  


180  ~  V
~ V
  3 / 2 1/ 2 U ~  W ~
  Da  z
r


  270 V
   Da
 
1/ 2
 W~'  90 V
     


3/ 2
3/ 2
 W~f '
 Da f

1/ 2

(3.8)
Forme implicite en r et explicite en z
Durant le premier balayage, on utilise une discrétisation implicite dans la direction r et
explicite dans la direction z. Les dérivées par rapport à la variable r seront écrites à l’instant
1
n  , par contre, celles par rapport à la variable z seront écrites à l’instant n. L’équation aux
2
différences pour le premier demi pas du temps s’écrit sous la forme suivante :
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
~
~
~
~
n
U in1, j f i 1, j 2  U in1, j f i 1, j 2
Wi ,nj 1 f i ,nj 1  Wi ,nj 1 f i ,nj 1
f i 1, j 2  2 f i , j 2  f i 1, j 2
1 f i, j 2  f i, j
  pr
  pz
  sr
t

2~
r
2~
z
~
r2
2
n 1
  sz
n 1
f i ,nj 1  2 f i ,nj  f i ,nj 1
f i 1, j 2  f i 1, j 2
f i ,nj 1  f i ,nj 1
n 1
 r
 z
 f i , j 2  S in, j
2
~
~
~
2r
2z
z
(3.9)
56
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
Où : f représente les variables ; température, T, vorticité, ou concentration, C, à calculer
au nœud du maillage.
L’étape suivante consiste à regrouper les termes en f à l’instant intermédiaire n+1/2 dans un
membre et les autres termes à l’instant précédent n dans l’autre membre, on obtient alors la
forme discrète implicite en r sous la forme matricielle suivante :
n 1
n 1
Ai f i1, j 2  Bi f i , j
2
n 1
 Ci f i1, j 2  Di
(3.10)
Avec :
~
U in1, j
t 
1
1 
Ai  
 pr




sr
r
2
2 
2~
r
2~
r 
~
r
Bi  

t  2
2

  sr ~ 2   
2  t
r

~
U in1, j
t 
1
1 
Ci  
 pr
  sr ~ 2   r ~ 
~
2 
2r
2r 
r
(3.11)
(3.12)
(3.13)
~
~

Wi ,nj 1 f i ,nj 1  Wi ,nj 1 f i ,nj 1
f i ,nj 1  2 f i ,nj  f i ,nj 1
f i ,nj 1  f i ,nj 1
t  2 n
n 
(3.14)
Di  
f i , j   pz





S
sz
z
i
,
j

2  t
2~z
2~z
~z 2

Les coefficients précédents prennent les valeurs suivantes :
 Pour la température :
~n
t  U i 1, j
1
1 
Ai  

 ~2  ~ ~ 
~
2  2r r
2ri , j r 
~
U in, j 
t  2
2

Bi  


2  t ~
ri , j 
r2 ~
~n
t  U i 1, j
1
1 
Ci  

 ~2  ~ ~ 
~
2  2r r
2ri , j r 
(3.16)
~ n ~n
~ n ~n
~n
~n ~n
t  2 ~ n Wi , j 1Ti , j 1  Wi , j 1Ti , j 1 Ti , j 1  2Ti , j  Ti , j 1 
Di  
Ti , j 


2  t
2~
z
~
z2

(3.18)
(3.15)
(3.17)
57
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
 Pour la concentration :
~n

t  U i 1, j



Ai  



2  2~
r Le~
ri , j ~
r 
r 2 2 Le~
(3.19)
~
U in, j 
t  2
2

Bi  


2  t Le~
ri , j 
r 2 ~
(3.20)
~n

t  U i 1, j



Ci  



2  2~
r Le~
ri , j ~
r 
r 2 2 Le~
(3.21)
~n
~n ~n
~n
~n
~ n ~n
~ n ~n
t  2 ~ n Wi , j 1Ci , j 1  Wi , j 1Ci , j 1   Ci , j 1  2Ci , j  Ci , j 1  '  Ci , j 1  Ci , j 1  
Di  
Ci , j 


 Le 

2  t
2~
z
Le 
2~
z
~
z2




(3.22)
 Pour la vorticité :
~n
t  U i 1, j
 Pr
 Pr 
Ai  
 2 ~  ~2  ~ ~ 
2  2 r r
2ri , j r 
(3.23)

 ~n
180 V  
t  2
2 Pr  2U i , j '  Pr  Pr
Bi   



 2 

2  t ~
Da ~
r 2  
ri , j Da1 / 2  3 / 2  



(3.24)
~n
t  U i 1, j
 Pr
 Pr 
Ci  
 2 ~  ~2  ~ ~ 
2  2 r r
2ri , j r 
(3.25)
~
~
Wi ,nj 1 in, j 1  Wi ,nj 1 in, j 1  Pr   in, j 1  2 in, j   in, j 1  
t  2
n


Di  
i, j 


2  t
 
2 2 ~
z
~
z2

(3.26)
~
 T~i ,nj
Cin, j
t 
2


  Ra Pr ~  N ~
 ri , j
2
ri , j


~n
~
~
~ ~
~
 U~in, j   W
'  W n   W n '  U n W n '
W n f '

 i , j   i , j  i , j   i , j i , j   Pr i , j 
~
 ~
ri , j    ~
zi , j   2   
Da f 2 
ri , j  2


58
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
n
n

~n ~ n 2


V

V
i
,
j
i
,j

t
' ~ n  U i , jWi , j ' 
180  ~ n
~n
    Pr
Wi , j 

U

W
i, j
  2  2   3 / 2 Da1 / 2  i , j ~
2

zi , j
~
ri , j






 90 V
t 

2 

n
i, j
3/ 2


 W~

 Da

n
i, j
1/ 2

f'
  270 V

  Da
 
n
i, j
1/ 2
 W~




' 




n
i, j
3/ 2
(3.26)
f
Forme implicite en z et explicite en r
Durant le deuxième balayage, on utilise une discrétisation implicite suivant la direction z et
explicite suivant la direction r. Les dérivées par rapport à la variable z seront écrites à
1
l’instant n+1, par contre, celles par rapport à la variable r seront écrites à l’instant n  .
2
L’équation aux différences pour le deuxième demi pas du temps s’écrit sous la forme
suivante :
n 1
n 1
1 f i, j  f i, j
t

2
2
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
~
~
~
~
U in1, j f i 1, j 2  U in1, j f i 1, j 2
Wi ,nj 1 f i ,nj11  Wi ,nj 1 f i ,nj11
f i 1, j 2  2 f i , j 2  f i 1, j 2
  pr
  pz
  sr
2~
r
2~
z
~
r2
n 1
  sz
n 1
f i ,nj11  2 f i ,nj1  f i ,nj11
f i 1, j 2  f i 1, j 2
f i ,nj11  f i ,nj11
 r
 z
 f i ,nj1  S in, j
2
~
~
~
2r
2z
z
(3.27)
En regroupe les termes en f à l’instant intermédiaire n+1 dans un membre et les autres termes
à l’instant intermédiaire n+1/2 dans l’autre membre, on obtient alors la forme discrète
implicite en z sous la forme matricielle suivante :
Ai f i n1,1j  B i f i ,nj1  C i f i n1,1j  D i
(3.28)
Avec :
~
Wi n1, j
t 
1
1 
A i  
 pz




sz
z
2
2 
2~
z
2~
z 
~
z
Bi  

t  2
2

  sz ~ 2   
2  t
z

~n
t  Wi 1, j
1
1 
Ci  
 pz




sz
z
2
2 
2~
z
2~
z 
~
z
(3.29)
(3.30)
(3.31)
59
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
~
~


U in1, j f i 1, j 2  U in1, j f i 1, j 2
f i 1, j 2  2 f i , j 2  f i 1, j 2
f i 1, j 2  f i 1, j 2
t  2 n 12
n 
Di   
f i , j   pr





S
sr
r
i, j 
2  t
2~r
2~r
~r 2



(3.32)
 Pour la température :
~n
t  Wi , j 1
1 
A i  

 ~2 
~
2  2z z 
~
U in, j 
t  2
2
Bi  
 2 ~ 
2  t ~
ri , j 
z
~n
t  Wi , j 1
1 
Ci  


2  2 ~
z ~
z 2 
(3.33)
(3.34)
(3.35)
~ n ~ n 1
~ n ~ n 1
~ n 1
~ n 1 ~ n 1
~ n 1 ~ n 1 

t  2 ~ n 12 U i 1, j Ti 1, j 2  U i 1, j Ti 1, j 2 Ti 1, j 2  2Ti , j 2  Ti 1, j 2
1 Ti 1, j 2  Ti 1, j 2 
Di   
Ti , j 

~

2  t
2~
r
ri , j
2~
r
~
r2


(3.36)
 Pour la concentration :
~n
t  Wi , j 1

' 
A i  



2
2  2~
z Le~
2Le~
z 
z
(3.37)
~
U in, j 
t  2
2

Bi  


2  t Le~
ri , j 
z 2 ~
(3.38)
~n
t  Wi , j 1

' 
Ci  



2
~
~
2  2z Lez
2Le~
z 
(3.39)
~ n 1 ~ n 1 
~ n 1 ~ n 1 
~ n ~ n 1
~ n ~ n 1

 ~ n 1
t  2 ~ n 12 U i 1, j Ci 1, j2  U i 1, j Ci 1, j2   Ci 1, j2  2Ci , j 2  Ci 1, j2 
 Ci 1, j2  Ci 1, j2 
Di   
Ci , j 
 

  Le~
2  t
2~
r
Le 
ri , j
2~
r
~
r2





(3.40)
60
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
 Pour la vorticité :
~n
t  Wi , j 1
 Pr 
A i  
 2 ~  ~2 
2  2 z z 
(3.41)

 ~n
180 V  
t  2
2 Pr  2U i , j '  Pr  Pr
(3.42)
Bi   



 2 

2  t ~
Da ~
z 2   2
ri , j Da1 / 2  3 / 2  



~n
t  Wi , j 1
 Pr 
(3.43)
Ci    2 ~  ~2 
2  2 z z 
~ n ~ n 1 ~ n ~ n 1
~ n 1 ~ n 1
~ n 1 ~ n 1

 ~ n 1
t  2 ~ n 12 U i 1, j  i 1, j2  U i 1, j  i 1, j2  Pr   i 1, j2  2 i , j 2   i 1, j2  i 1, j2   i 1, j2
Di   
i, j 


2  t
 
2~
ri , j ~
r
2 2 ~
r
~
r2


~
~
~
~
~
~ ~
~
 T~i ,nj
Cin, j  U in, j   Wi ,nj '  Wi ,nj   Wi ,nj '  U in, jWi ,nj '
Wi ,nj f ' 
t 
Pr
2




  Ra Pr ~  N ~   ~ 

2
~
  2 
 ri , j
 ri , j    ~
2

r
z
Da f 2 
r

i
,
j
i
,
j
i
,
j








n
n

~n ~ n 2


V

V
i
,
j
i
,j

t
' ~ n  U i , jWi , j ' 
180  ~ n
~n
    Pr
Wi , j 

U

W
i, j
  2  2   3 / 2 Da1 / 2  i , j ~
2

zi , j
~
ri , j






 90 V
t 

2 

n
i, j
3/ 2

 W~

 Da

n
i, j
1/ 2

f'
  270 V

  Da
 
n
i, j
1/ 2
 W~



3.3.2 Equation de la fonction de courant
L’équation de la fonction de courant est différente des équations de transport citées
précédemment. Sa résolution se fait à l’aide d’autres méthodes. Dans le cadre de notre étude,
nous avons choisi la méthode SOR (Simultaneous Over Relaxation), proposée par [82].
L’équation de la fonction de courant s’écrit sous la forme suivante :
~
~
~
1  1  2 
~ 1  2
  ~ ~2  ~2 ~  ~ ~2
r r
r z
r r

' 




n
i, j
3/ 2
(3.44)
f
(3.45)
On discrétise chaque terme de l’équation de la fonction de courant (3.45) selon un schéma
centré classique, on trouve l’expression générale suivante :
61


 

Chapitre 3 : Méthode de Résolution
1
~
 in,j1  ~
ri , j
~
~
~
~
~
~
~
~
 in11,j  2in, j 1  in11,j in, j 11  2in, j 1  in, j 11 1 in11,j  in11,j


~
2
2
~
~

ri , j
2~
r

r

z





(3.46)
Qui peut être écrite sous la forme suivante :


~
~
~
~
~
~
in, j 1  A1in11,j  A2 in1,1j  A3 in, j 11  in, j 11  A4 in,j1
(3.47)
Où : A1, A2, A3, A4 sont des constantes définies par :
 2ri , j  dr dz 2
A1  
 4r dz 2  dr 2
 i, j


dr 2
A3  
2
2
 2 dz  dr



 2ri , j  dr dz 2
A2  
 4r dz 2  dr 2
 i, j





 ri , j dr 2 dz 2
A4  
 2 dz 2  dr 2















(3.48)
La méthode de surrelaxation successive S.O.R. par point donne directement la valeur de la
fonction de courant  à l’instant (n +1) au nœud considéré par une relation de
pondération suivante :

~
~
~
in, j 1  1  in, j  in, j 1
(3.49)
Où : ω est le facteur optimal de surrelaxation successive (S.O.R) qui peut être défini de la
façon suivante :

2
1  3,015
(3.50)
Nd
ùd représente le nombre des nœuds du domaine d’infiltration.
~
~
Quant aux composantes du champ des vitesses U in, j 1 et Wi ,nj1 , elles sont évaluées à partir de
la fonction de courant. L’équation 2.60 est discrétisée selon un schéma de différences finies
centré du premier ordre, d’où les composantes du champ des vitesses à l’instante n+1 sont :
~ n1 ~ n1
1 i , j 1  i , j 1
~ n1
U i, j  ~
ri , j
2~
z
,
~ n1 ~ n1
1 i 1, j  i 1, j
~ n1
Wi , j   ~
ri , j
2~
r
(3.51)
62
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
3.3.3 Conditions aux limites
Les conditions aux frontières sont discrétisées selon un schéma aux différences finies
décentré avant ou arrière selon la paroi considérée.
-
Conditions aux limites thermiques
Pour les parois latérales ~
r 1:
-
paroi parfaitement adiabatique :
~
~
Ti max, j  Ti max 1, j
1  j  j max
(3.52)
-
Cas d’une paroi parfaitement conductrice :
r  0:
Pour l’axe du cylindre ~
~z
~
j
Ti max, j  1 
RA
~
~
T1, j  T2, j
1  j  j max
(3.53)
1  j  j max
(3.54)
1  i  i max
(3.55)
~
~
Ci max, j  Ci max 1, j
1  j  j max
(3.56)
~
~
C1, j  C2, j
1  j  j max
(3.57)
1  i  i max
(3.58)
1  i  i max
(3.59)
z  0 , ~z  RA :
Pour les bases inférieure et supérieure du cylindre ~
~
Ti ,1  1
-
et
~
Ti , j max  0
Conditions aux limites solutales
Pour les parois latérales ~
r 1:
r  0:
Pour l’axe du cylindre ~
z  0 , ~z  RA :
Pour les bases inférieure et supérieure du cylindre ~
~
Ci ,1  1
Où :
~
Ci ,1  0
et
et
~
Ci , j max  0
~
Ci , j max  1
63
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
-
Conditions aux limites dynamiques
Conditions aux frontières pour la fonction de courant :
~
~
1, j  i max, j  0
1  j  j max
(3.60)
~
~
i ,1  i , j max  0
1  i  i max
(3.61)
2 ~
~
i max, j  ~ 2 i max 1, j
r
1  j  j max
(3.62)
~
1, j  0
1  j  j max
(3.63)
1 2 ~
~
 i ,1 
i , 2
ri ~
z2
1  i  i max
(3.64)
1  i  i max
(3.65)
Conditions aux frontières pour le vecteur rotationnel :
1 2 ~
~
i , j max 
i , j max 1
ri ~
z2
Puisque les conditions aux frontières sur le vecteur rotationnel ont une grande influence sur la
stabilité du programme, la valeur du vecteur rotationnel aux frontières est estimée par une
formule de pondération comme suit :

~
~
~
in,j1  1   in, j  in,j1
(3.66)

~
Où :  et  sont respectivement le coefficient de pondération et la valeur du vecteur
rotationnel calculée par les expressions ci-dessus. L’introduction d’un coefficient de
pondération a pour but de réduire l’évaluation de la vorticité devant le transfert thermique,
mais ce coefficient ne doit pas être trop faible pour ne pas influencer sur la stabilité et la
convergence.
3.4 Processus de résolution
La résolution du système d’équations couplées qui gouvernent le problème de convection
thermosolutale (3.10 au 3.14) et (3.28 au 3.32) conditionné par les conditions aux limites cité
ci-dessus, se fait selon l’algorithme de calcul suivant :
-
Lecture des données (maillage, nombres adimensionnels…)
Introduction des conditions initiales sur la température, la concentration et le champ
dynamique.
64
Chapitre 3 : Méthode de Résolution
-
Début de la boucle sur le temps.
1. Calcul de la température
2. Calcul de la concentration
3. Calcul de la vorticité
4. Calcul de la fonction de courant
On sort de la boucle de calcul de la fonction de courant quand le critère de convergence
suivant est satisfait :
~
~
Max il,j1  il, j
 1
~
~
Min il,j1  Max il,j1
(3.67)
5. Détermination du champ des vitesses
-
La boucle du temps est terminée quand le critère de convergence suivant est satisfait :

i
f i ,nj1  f i ,nj
j

i
f i ,nj1
 2
(3.68)
j
Où : f représente la température, la concentration ou la vorticité. etsont des constantes
fixées à l’avance.
3.5 Profil initial
Pour amorcer le calcul, il faut initier le programme par un champ initial. Ce champ initial
peut être arbitraire à condition qu’il satisfasse les conditions aux limites imposées. Nous
avons choisi un champ dynamique initial nul, par contre, pour la température ou la
concentration, nous avons pris un champ initial sous la forme suivante A. Mrabti [47]:
2
~
z 
3 ~ 
z 
~ ~ 

 ~
T , C  1 
1   cos r  sin 

2 
 RA 

 RA 
(3.69)
 est un coefficient numérique.
3.6 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons résolu les équations algébriques gouvernant le problème en se
basant sur le schéma de différences finies. L’étape suivante consiste à implémenter ces
équations algébriques dans un langage informatique.
65
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
Chapitre 4 : Résultats et
Discussions
66
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
4.1 Introduction
Dans ce chapitre nous avons présenté quelques résultats obtenus pour ce problème de
convection naturelle et thermosolutale dont la formulation mathématique des équations
gouvernantes a été établie dans les chapitres précédents.
L’objectif principal de cette étude est de mettre en évidence l’effet de la variation de la
porosité sur la convection naturelle et thermosolutale dans une cavité cylindrique. Donc dans
un premier temps, nous allons traiter le cas d’une enceinte cylindrique remplie par un milieu
poreux non-Darcien, dont l’écoulement hydrodynamique est caractérisé par l’extension de
Brinkman-Forchheimer de la loi de Darcy (EBFD), soumis seulement à un gradient de
température. Les parois de bases inférieure et supérieure sont maintenues à des températures
constantes, tandis que la paroi latérale est considérée soit adiabatique soit conductrice
(parfaitement ou partiellement). Dans un second temps on considère une cavité cylindrique
remplie par un milieu poreux non-Darcien dont l’écoulement hydrodynamique est caractérisé
par l’extension de Brinkman-Forchheimer de la loi de Darcy (EBFD) et généré par l’action
simultanée des gradients de température et de concentration. La cavité est chauffée par le bas,
mais pour la concentration la paroi active est soit la base supérieure, soit la base inférieure, ce
qui permet d’étudier les deux cas d’écoulement thermosolutal à savoir, écoulement additif et
écoulement opposé.
4.2 Convection naturelle thermique
Le fluide saturant la matrice poreuse remplissant l’enceinte cylindrique est soumise à un
champ de gradient thermique.
4.2.1 Effet de nombre de Rayleigh :
On considère une cavité cylindrique de rapport d’aspect égal à l’unité remplie par une matrice
poreuse de porosité variable saturée par un fluide Newtonien convectant de nombre de
Prandtl égale à 1. Le nombre de Darcy pris est 0.01 et 0.05, le rapport de conductivité
thermique est pris égal à l’unité. L’enceinte est chauffée par le bas.
Les (figure6 à 10) présentent le champ dynamique, la fonction de courant et les isothermes
pour différents nombres de Rayleigh, pour une matrice poreuse de porosité une fois constante
et une fois variable, pour illustrer l’effet de cette variabilité sur l’écoulement et sur le transfert
de chaleur à la paroi chaude inférieure. Pour un nombre de Rayleigh (Ra=104), la convection
s’amorce par un écoulement monocellulaire d’intensité très faible (|max|=0.0429) pour une
porosité uniforme et (|max|=0.1355) pour une porosité variable, les isothermes sont quasihorizontales (la solution de non-écoulement), le champ des vitesses est quasiment nul
(figure13 et figure14). Le transfert thermique traduit par le nombre de Nusselt est égal à
l’unité (régime dominé par la conduction). Par ailleurs, on note que les lignes de courant sont
plus serrées pour le cas dune porosité variable.
67
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(a) champ dynamique
Streamlines
isothermes
(b) champ dynamique
Streamlines
isothermes
Figure 6 : champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1 et Ra=10000
avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
En augmentant le nombre de Rayleigh (Ra=2.104), l’écoulement s’intensifie,
(|max|=1.5295) pour une porosité uniforme et (|max|=3.2113) pour une porosité variable, tout
en restant monocellulaire de structure rectangulaire remplissant toute la cavité et tournant
dans le sens anti-trigonométrique (figure7). Les isothermes sont plus serrées du côté inférieur
droit et du côté supérieur gauche de la cavité où le gradient de la température est plus
important, si en chauffe la cavité du bas, la température sur l’axe est plus importante que celle
proche de la paroi latérale. En effet, le mouvement de convection s’amorce du côté de l’axe,
alors que le fluide proche de la paroi latérale est retardé par l’effet de la viscosité ; la vitesse
axiale proche de l’axe est alors plus importante que celle proche de la paroi latérale
(figure13). Pour une porosité variable on assiste clairement à une intensification de
l’écoulement (|max|=3.2113). En effet, la porosité augmente tout en approchant de la paroi
latérale, ce qui donne plus d’espace pour le fluide pour se mouvoir et par conséquent
augmente l’intensité de l’écoulement. Le centre du rouleau est dirigé vers le coin supérieur
droit de la cavité créant une zone dans le coin inférieur droit de la cavité.
68
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(a) champ dynamique
Streamlines
isothermes
(b) champ dynamique
Streamlines
isothermes
Figure 7: champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1 et Ra=20000
avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
Si on augmente le nombre de Rayleigh à (Ra=4.104), l’écoulement devient plus intense
(|max|=2.7296) tout en restant dans le sens anti-trigonométrique pour le cas de porosité
constante. Pour une porosité variable, on assiste à un inversement de l’écoulement (figure8),
en effet, l’augmentation du nombre de Rayleigh peut s’assimiler à une augmentation de
l’énergie de chauffage, l’axe et la base inférieure de la cavité deviennent plus chauds que la
paroi latérale, le fluide tend à s’éloigner de la zone chaude pour transférer l’énergie du côté
chaud vers le côté froid. Le centre de rouleau s’oriente vers le bas en créant une zone près de
la paroi de base supérieure faisant penser qu’en augmentant le nombre de Rayleigh un second
rouleau apparaitra. Pour (Ra=6.104) et pour une porosité variable, l’écoulement s’organise en
deux rouleaux de centres situés sur la diagonale secondaire de l’enceinte puisque il y a plus
d’espace proche de la paroi latérale dû à la variation de la porosité.
Pour une porosité constante, l’écoulement ne change de sens que pour une valeur de Rayleigh
(Ra=8.104), annonciateur de l’apparition d’un rouleau secondaire. Le taux de transfert dans le
cas de porosité variable est plus important (figure12)
69
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(a) champ dynamique
Streamlines
isothermes
(b) champ dynamique
Streamlines
isothermes
Figure 8: champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1et Ra=40000
avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
(a) champ dynamique
Streamlines
isothermes
70
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(b) champ dynamique
Streamlines
isothermes
Figure 9: champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1et Ra=60000
avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
(a) champ dynamique
(b) champ dynamique
Streamlines
Streamlines
isothermes
isothermes
Figure 10: champ dynamique, fonction de courant et isothermes pour Da=0.01, Pr=1et Ra=80000
avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
71
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(a)
(b)
Figure 11: le nombre de Nusselt pour Da=0.01, Pr=1et pour (a) porosité uniforme et (b) porosité
variable.
Figure 12: la variation du nombre de Nusselt moyen pour Da=0.01, Pr=1et pour porosité uniforme et
porosité variable
72
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
Figure 13: la vitesse radiale et axiale pour Da=0.01, Pr=1et pour porosité uniforme.
On augmentant le nombre de Darcy (Da=0.05), pour le cas de porosité variable on remarque
une intensification de l’écoulement (|max|=6.6630) pour (Ra=8.104), la forme et le sens des
rouleaux n’ont pas été affectés par cette augmentation du nombre de Darcy (figure15 à 19).
Pour le cas de porosité uniforme, en plus d’une intensification de l’écoulement, on assiste au
phénomène de redoublement de rouleau convectant pour (Ra=6.104), tandis que pour
Da=0.01, le même nombre de Rayleigh doit atteindre 8.104 pour assister à un inversement de
l’écoulement annonciateur de ce phénomène de deux rouleaux. En effet, une augmentation du
nombre de Darcy, peut être vue comme une augmentation de la perméabilité, donc plus de
liberté pour le fluide convectant et par conséquent une augmentation de la vitesse de
mouvement des particules fluides.
Figure 14: la vitesse radial et axial pour Da=0.01, Pr=1, RA=1 et pour porosité variable.
73
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(a)
Streamlines
isotherms
(b)
Streamlines
isotherms
Figure 15: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=10000 avec (a) porosité
uniforme (|max|0.07523) et (b) porosité variable (|max|=2.2999).
(a)
Streamlines
isotherms
(b)
Streamlines
isotherms
74
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
Figure 16: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=20000 avec (a) porosité
uniforme (|max|=1.8685) et (b) porosité variable (|max|=3.1538).
(a)
Streamlines
isotherms
(b)
Streamlines
isotherms
Figure 17: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=40000 avec (a) porosité
uniforme (|max|=3.2411) et (b) porosité variable (|max|= 5.2167).
(a)
Streamlines
isotherms
(b)
Streamlines
isotherms
75
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
Figure 18: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=60000 avec (a) porosité
uniforme (|max|=2.3723) et (b) porosité variable (|max|= 5.8337).
(a)
Streamlines
isotherms
(b)
Streamlines
isotherms
Figure 19: fonction de courant et isothermes pour Da=0.05, Pr=1et Ra=80000 avec (a) porosité
uniforme (|max|=3.0446) et (b) porosité variable (|max|=6.6630).
4.2.2 Effet de nombre de Darcy
L’effet du nombre de Darcy est illustré dans les figures suivantes qui présentent des
streamlines, isothermes et taux de transfert traduit par le nombre de Nusselt, pour une
enceinte de rapport d’aspect égale à 1, saturée par le même fluide et pour différents nombres
de Rayleigh.
76
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(a)
Streamlines
isotherms
(b)
Streamlines
isotherms
Figure 20: fonction de courant et isothermes pour Ra=50000, Pr=1et Da=0.0004 avec (a) porosité
uniforme et (b) porosité variable.
(a)
Streamlines
isotherms
(b)
Streamlines
isotherms
Figure 21: fonction de courant et isothermes pour Ra=50000, Pr=1et Da=0.004 avec (a) porosité
uniforme et (b) porosité variable.
77
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(a)
Streamlines
isotherms
(b)
Streamlines
isotherms
Figure 22: fonction de courant et isothermes pour Ra=50000, Pr=1et Da=0.04 avec (a) porosité
uniforme et (b) porosité variable.
(a)
Streamlines
isotherms
78
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(b)
Streamlines
isotherms
Figure 23: fonction de courant et isothermes pour Ra=50000, Pr=1et Da=0.4 avec (a) porosité
uniforme et (b) porosité variable.
(a)
Streamlines
isotherms
(b)
Streamlines
isotherms
Figure 24: fonction de courant et isothermes pour Ra=200000, Pr=1et Da=0.0004 avec (a) porosité
uniforme et (b) porosité variable.
79
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(a)
Streamlines
isotherms
(b)
Streamlines
isotherms
Figure 25: fonction de courant et isothermes pour Ra=200000, Pr=1et Da=0.004 avec (a) porosité
uniforme et (b) porosité variable.
(a)
Streamlines
isotherms
80
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(b)
Streamlines
isotherms
Figure 26: fonction de courant et isothermes pour Ra=200000, Pr=1et Da=0.04 avec (a) porosité
uniforme et (b) porosité variable.
Pour Rayleigh (Ra=5.104) :
Pour un nombre de Darcy très petit (Da=4.10-4), les isothermes sont parfaitement horizontales
(figure20), la fonction de courant maximale est très petite (Table1) pour les deux cas de
porosité, uniforme et non-uniforme. Si on augmente le nombre de Darcy à (Da=4.10-3), et
pour une porosité uniforme, l’écoulement se manifeste par un seul rouleau occupant tout la
cavité et tournant dans le sens anti-trigonométrique, les isothermes sont plus serrées sur les
deux côtés inférieure droite et supérieure gauche de la cavité, où le gradient de la température
est plus important. Pour une porosité variable, l’écoulement change de sens, tout en restant
monocellulaire, le centre du rouleau se dirige vers le côté inférieur droit de l’enceinte, créant
une zone en haut. En augmentant le nombre de Darcy (Da=4.10-2), on note l’apparition d’un
petit rouleau dans le côté droit supérieur de la cavité (figure4.17), alors que pour le cas de
porosité uniforme on note une intensification de l’écoulement (Table1), l’œil de cellule se
déplace vers le côté supérieur droit de la cavité créant ainsi une zone dans le côté inférieur
droit. En augmentant le nombre de Darcy (Da=4.10-1), le petit rouleau dans la zone
supérieure droite de la cavité s’agrandit dans le cas de porosité variable, alors que la zone
créée en haut, dans le cas de porosité uniforme, connait l’apparition d’un autre rouleau. En
effet, l’augmentation du nombre de Darcy peut être assimilée à une augmentation de la
perméabilité, et donc plus de liberté pour le fluide convectant, d’où une intensification de
l’écoulement, lorsque la vitesse des particules augmente, ces dernières échangent de l’énergie
avec les particules descendantes avant d’atteindre la paroi supérieure créant ainsi une source
chaude pour les particules descendantes, d’où la formation d’un autre rouleau en haut.
81
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(a)
Streamlines
isotherms
(b)
Streamlines
isotherms
Figure 27: fonction de courant et isothermes pour Ra=200000, Pr=1et Da=0.4 avec (a) porosité
uniforme et (b) porosité variable.
(a)
(b)
Figure 28: le nombre de Nusselt pour Ra=50000, Pr=1, RA=1 et pour (a) porosité uniforme et (b)
porosité variable.
82
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(a)
(b)
Figure 29: le nombre de Nusselt pour Ra=200000, Pr=1et pour (a) porosité uniforme et (b) porosité
variable.
ε=Cte
ε≠Cte
Da
Nu
Ψmax
Nu
Ψmax
4.10-4
1.1569
0.00639
1.1573
0.0032
Ra=5.104
4.10-3
4.10-2
1.2729 1.4726
1.9414 2.8977
3.4837 4.5623
4.4654 6.5822
4.10-1
1.6017
2.6662
3.4113
5.0703
4.10-4
1.1472
1.3763
3.0237
3.1954
Ra=2.105
4.10-3
4.10-2
4.8495 2.7308
5.5063 4.5108
2.4407 3.6816
5.8433 7.8474
4.10-1
2.0414
5.4403
3.3138
8.7024
Tableau1 : le nombre de Nusselt moyen et la fonction de courant maximale pour Pr=1.
Pour le taux de transfert traduit par le nombre de Nusselt sur la paroi inférieure chaude
(figure28) et sa moyenne (table1), on note une augmentation du transfert thermique sur la
paroi chaude avec l’augmentation du nombre de Darcy. En effet, une augmentation du
nombre de Darcy peut être engendrée par une augmentation de la perméabilité, d’où une plus
grande liberté pour les particules fluides convectant et une amélioration du transfert de la
chaleur.
Pour Rayleigh (Ra=2.105) :
Pour un faible nombre de Darcy (Da=4.10-4), la convection se manifeste par un écoulement
monocellulaire tournant dans le sens anti-trigonométrique et occupant toute la cavité
(figure24) avec une augmentation considérable de la vitesse d’écoulement (Table1). Pour le
cas de porosité variable, l’écoulement est monocellulaire mais tourne dans le sens opposé, le
centre du rouleau se déplace vers le coin inférieur droit de l’enceinte, préparant ainsi les
conditions de formation d’un autre rouleau au-dessus. En augmentant Darcy (Da=4.10-3),
l’écoulement change de sens pour le cas de porosité uniforme. Pour une porosité nonuniforme, on note la formation d’un autre rouleau supérieur pour transmettre l’énergie du
rouleau inférieur vers la paroi supérieure froide (figure4.20), avec une intensification de
l’écoulement (Table1).
83
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
Pour un nombre de Darcy important (Da=4.10-2) et (Da=4.10-1), pour les deux cas de
porosité, uniforme et non-uniforme, l’écoulement se manifeste par deux rouleaux superposés,
les isothermes sont plus serrées vers le milieu de la paroi latérale où le gradient de
température est plus important, puisque cette zone présente une zone de changement de
l’énergie entre les deux rouleaux superposés. La différence réside dans l’intensité de
l’écoulement, qui est plus importante dans le cas de porosité variable, puisque il y a plus
d’espace pour le fluide convectant, et dans le transfert de chaleur.
4.2.3 Effet du nombre Prandtl
Pour mettre en évidence l’effet du nombre de Prandtl sur la convection naturelle, on
considère une enceinte de rapport d’aspect égal à l’unité. Les nombres de Darcy et de
Rayleigh considérés sont respectivement Da=0.01 et Ra=2.104, pour différents nombres de
Prandtl et une porosité soit constante soit variable.
Les (figures30 et 31) présentent les lignes de courant et les isothermes pour différents
nombres de Prandtl et pour porosité constante (figure30), et porosité variable (figure31). Pour
le cas de porosité constante, on note que le nombre de Prandtl n’a pas d’effet sur la forme et
le sens d’écoulement des contours de convection. Les isothermes tendent à se serrer des côtés
inférieur droit et supérieur gauche de l’enceinte. Mais on constate une augmentation de
l’intensité de l’écoulement (table2), et du taux de transfert thermique (figure32) avec une
diminution du nombre de Prandtl.
En comparant les fonctions de courant de la (figure30), qui concerne le cas de porosité
uniforme, on constate que l’intensité du contour interne s’intensifie, (|max|=1.1) pour Pr=1,
(|max|=1.4) pour Pr=2, (|max|=1.6) pour Pr=5, (|max|=1.7) pour Pr=10, (|max|=1.8) pour
Pr=50, tout en tournant toujours dans le sens anti-trigonométrique et en remplissant toute la
cavité avec le centre du rouleau au milieu de l’enceinte.
(a)
84
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(b)
(c)
(d)
(e)
Figure 30: fonction de courant et isothermes pour Ra=2.104, RA=1 et Da=0.01 pour porosité
uniforme et pour (a) Pr=1, (b) Pr=2, (c) Pr=5, (d) Pr=10, (e) Pr=50.
85
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(a)
(b)
(c)
(d)
86
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(e)
Figure 31: fonction de courant et isothermes pour Ra=2.104, RA=1 et Da=0.01 pour porosité
variable et pour (a) Pr=1, (b) Pr=2, (c) Pr=5, (d) Pr=10, (e) Pr=50.
Figure 32: le nombre de Nusselt pour Da=0.01, Ra=2.104, RA=1 pour une porosité uniforme.
87
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
Figure 33: le nombre de Nusselt pour Da=0.01, Ra=2.104, RA=1 pour une porosité variable.
=Cte
max
Nu
max
Nu
≠Cte
Pr=1
1.1028
1.0568
2.7892
1.5390
Pr=2
1.4547
1.1635
1.3205
1.2723
Pr=5
1.6794
1.2646
3.7624
3.2881
Pr=10
1.7562
1.3228
3.7002
3.2709
Pr=50
1.8007
1.3854
3.8098
3.2441
Tableau2 : le nombre de Nusselt moyen et la fonction de courant maximale pour Ra=2.104, Da=0.01,
pour porosité uniforme et variable.
(a)
(b)
(c)
88
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(d)
(e)
(g)
(h)
(f)
(i)
Figure 34: fonction de courant pour Ra=2.104 et Da=0.01 pour porosité variable et pour (a)
t=1000*dt, (b) t=2000*dt, (c) t=3000*dt, (d) t=4000*dt, (e) t=5000*dt, (f) t=6000*dt, (g) t=7000*dt,
(h) t=8000*dt, (i) régime permanent, le facteur de relaxation est  = 0
Pour le cas de porosité variable, l’effet du nombre de Prandtl est considérable que se soit pour
le sens de rotation des contours de convection, l’intensité de l’écoulement ou le taux de
transfert de chaleur. En effet, pour un nombre de Prandtl de (Pr=1), la convection se
manifeste par un rouleau tournant dans le sens anti-trigonométrique, le centre de rouleau se
dirige vers le coin supérieur droit de la cavité. La forme du contour est un peu elliptique avec
un grand côté s’alignant sur la diagonale secondaire créant ainsi une zone dans le côté droit
inférieur et gauche supérieur de l’enceinte.
(a)
(b)
(c)
89
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(d)
(e)
(f)
Figure 35: fonction de courant pour Ra=2.104 et Da=0.01 pour porosité constante et pour (a)
t=700*dt, (b) t=1400*dt, (c) t=2100*dt, (d) t=3000*dt, (e) t=4000*dt, (f) régime permanent, le
facteur de relaxation est  = 0.1.
Les isothermes sont plus serrées vers le côté gauche supérieur de la cavité que le côté droit
inférieur ce qui signifie un gradient de température plus important dans cette zone.
En augmentant le nombre de Prandtl (Pr=2), on note l’apparition d’un autre rouleau tournant
dans le sens opposé dans le coin inférieur droit de la cavité. Les deux rouleaux sont séparés
par une ligne de courant neutre (|| = 0) rejoignant les deux frontières, le rouleau supérieur
occupe plus d’espace que celui qui vient d’apparaitre.
Pour des nombres de Prandtl de (Pr=5) et (Pr=10) et (Pr=50), l’écoulement change de sens et
devient plus intense en comparant avec un nombre de Prandtl (Pr=1) (table2), le centre de
rouleau se déplace vers le coin inférieur droit de la cavité tout en s’alignant sur la diagonale
première de la cavité. Les isothermes sont plus serrées dans le côté gauche inférieur de la
cavité, ce qui signifie un gradient important de la température, que vers le côté droit
supérieur.
Pour le taux de transfert on note une augmentation du nombre de Nusselt avec le nombre de
Prandtl pour une porosité constante, à signaler que le transfert thermique est plus important
dans le cas de porosité variable, et plus précisément lorsque la structure d’écoulement change
de sens (figure33). Le nombre de Nusselt à atteint une valeur très grande (Nu=5.5) dans le
centre de la cavité puisque on note un gradient important de la température dans cette zone
(figure31, (d)).
Les figures (figure34) et (figure35) présentent l’évolution des lignes de courant avec le temps
avant d’atteindre le régime permanant pour une porosité variable et porosité constante
respectivement. Sur le (figure35), l’écoulement s’amorce par deux contours de forme et de
sens de rotation différents. Le rouleau près de l’axe de la cavité est plus grand, plus intense et
tourne dans le sens anti-trigonométrique. En effet, avec une paroi adiabatique et en chauffant
l’enceinte par le bas, l’axe est plus chaud que la paroi latérale, donc les particules fluides prés
de l’axe reçoivent plus d’énergie, et donc le mouvement de convection s’amorce par un
rouleau plus intense dans cette zone. Avec le temps ce contour s’agrandit davantage et tend à
éliminer le petit contour situé près de la paroi latérale, et c’est ce qui se réalise avec le temps
puisque on note la disparition du petit contour lorsque on atteint le régime permanant.
Pour une porosité variable (figure34), la convection se manifeste par deux contours de sens
opposés, mais par comparaison avec le cas de porosité constante, le rouleau près de la paroi
90
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
latérale n’est pas très petit devant celui près de l’axe de l’enceinte. En évoluant avec le temps,
le contour près de l’axe tend à s’agrandir au détriment de l’autre près de la paroi, mais à
certain temps le contour près de la paroi devient prépondérant jusqu’à l’atteinte d’un seul
rouleau de sens anti- trigonométrique intense et occupant toute la cavité. En effet, puisque la
porosité près de la paroi latérale est plus grande, en la comparant avec celle près de l’axe, les
particules fluides constituant le rouleau près de la paroi latérale trouve une liberté dans leurs
mouvements et dans l’intensité du rouleau augmente et il s’agrandit au détriment de l’autre.
L’effet du nombre de Prandtl sur le transfert thermique se traduit par une augmentation du
nombre de Nusselt lorsque ce nombre augmente pour une porosité constante. Par contre, on
note, pour une porosité variable, un comportement non-monotone du nombre de
Nusseltlorsque le nombre de Prandtl augmente (table2).
4.3 Convection thermosolutale :
L’enceinte cylindrique précédente, de rapport d’aspect égale à l’unité, remplie d’un milieu
poreux à porosité variable saturé par un fluide newtonien de nombre de Prandtl (Pr = 1), est
soumise en plus d’un champ de gradient thermique à un champ de gradient solutale.
4.3.1 Effet de rapport de poussé N :
Les (figure36) à (figure38), présentent les lignes de courant, les isothermes et les
isoconcentrations pour un nombre de Darcy (Da=0.01), un nombre de Lewis (Le=1) et un
nombre de Rayleigh thermique (Ra=104) et pour différentes valeurs de nombre N (N > 0),
pour une porosité constante et porosité variables. Pour un écoulement de convection
purement thermique (N = 0), la convection est due au champ thermique seul, la convection
s’amorce par un écoulement monocellulaire d’intensité très faible (|| = 0.0429) (figure36
(a)), l’écoulement est légèrement plus intense dans le cas de porosité variable (|| = 0.1356)
(figure36 (b)), les isothermes sont quasi-horizontales, les taux de transfert de chaleur et de
masse sont proche de l’unité dans le cas de porosité constante alors que le transfert de masse
atteint une valeur de (She=1.3238) dans la cas de porosité variable.
(a)
Streamlines
isotherms
isoconcentration
91
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(b)
Streamlines
isotherms
isoconcentrations
Figure 36: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=10000, Pr=1, Da=0.01,
Le=1 et N=0 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
(a)
(b)
Streamlines
Streamlines
isotherms
isotherms
isoconcentration
isoconcentrations
Figure 37: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=10000, Pr=1, Da=0.01,
Le=1 et N=1 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
Pour un rapport de poussée égale (N = 1), on note une intensification de l’écoulement qui
continue à tourner dans le sens anti-trigonométrique. Pour le cas de porosité constante le
contour occupe toute la cavité avec un centre de rouleau situant dans le milieu de l’enceinte,
alors que pour le cas de porosité variable le centre du rouleau se dirige vers le coin supérieur
92
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
droit de la cavité. Les isothermes et les isoconcentrations sont plus serrées dans le côté droit
inférieur et gauche supérieur de la cavité, à signaler que les isoconcentrations sont plus
serreés que les isothermes. Les transferts thermiques et solutal traduits, respectivement, par le
nombre de Nusselt et Sherwood sont plus importants dans le cas de porosité variable
(figure48) et (figure49).
En augmentant le rapport de poussée à (N = 2), l’écoulement continue à s’intensifier (table4).
La structure de l’écoulement n’a pas été influencée par cette augmentation dans le cas de
porosité constante. L’effet dans le cas de porosité variable est que le centre du rouleau se
dirige vers le coin supérieur droit de la cavité toute en s’alignant sur la diagonale secondaire
de la cavité (figure38 (b)) avec la création d’une zone dans le côté droit inférieur de la cavité.
Le taux de transfert thermique et solutal augmente avec le rapport de poussée (table4). En
effet, pour un rapport de poussée positif, les forces de poussée thermique et solutale
s’ajoutent et par conséquent l’intensité de l’écoulement augmente, l’augmentation de
l’intensité de l’écoulement améliore le transfert thermique et solutale.
(a)
(b)
Streamlines
Streamlines
isotherms
isotherms
isoconcentration
isoconcentrations
Figure 38: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=10000, Pr=1, Da=0.01,
Le=1 et N=2 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
93
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(a)
(b)
Streamlines
Streamlines
isotherms
isotherms
isoconcentration
isoconcentrations
Figure 39: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=10000, Pr=1, Da=0.01,
Le=1 et N=-1 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
Lorsque les deux forces s’opposent pour (N=-1), les isothermes et les isoconcentrations sont
parfaitement horizontales (figure39), signifie que le transfert se manifeste par conduction,
puisque le fluide est figé entre ces deux forces qui s’opposent. La fonction de courant est de
l’ordre de (= 10-4), qui peut être dû au maillage ou à des fluctuations numériques.
(a)
Streamlines
isotherms
isoconcentration
94
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(b)
Streamlines
isotherms
isoconcentrations
Figure 40: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=100000, Pr=1, Da=0.01,
Le=1 et N=0 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
(a)
(b)
Streamlines
Streamlines
isotherms
isotherms
isoconcentration
isoconcentrations
Figure 41: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=100000, Pr=1, Da=0.01,
Le=1 et N=1 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
En augmentant le nombre de Rayleigh thermique (Ra=105), la structure de l’écoulement
change, la convection se manifeste par un écoulement bicellulaire dans les deux cas de la
porosité (constante et variable) et pour différentes valeurs de rapport de poussé (-2 < N < 2).
95
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
La (figure40) présente les lignes de courant et les iso-courbes de température et de
concentration dans le cas purement thermique (N=0) pour une porosité constante (a) et
variable (b). Les rouleaux sont de tailles différentes, le rouleau supérieur et plus grand que
celui inférieur dans le cas de porosité constante, alors que le rouleau inférieur et plus grand
que celui supérieur dans le cas de porosité variable. Les isothermes et les isoconcentrations
sont désorganisées, elles sont plus serrées dans le milieu de la paroi latérale, dans le coin
supérieur gauche de la cavité et dans le milieu de la paroi chaude pour une porosité uniforme.
Pour une porosité variable les iso-courbe de concentration et de température sont serrées dans
le coin inférieur gauche et dans le milieu de la paroi froide en haut, ces zones étant
caractérisées par de forts gradients de température et de concentration.
Pour un rapport de poussé (N=1) et (N=2), l’écoulement atteint le régime permanent par un
écoulement bicellulaire presque de même taille et superposé avec une intensification de
l’écoulement (figure44) (figure45), qui engendre une amélioration du transfert thermique et
solutale (figure48) (figure49).
(a)
(b)
Streamlines
Streamlines
isotherms
isotherms
isoconcentration
isoconcentrations
Figure 42: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=100000, Pr=1, Da=0.01,
Le=1 et N=2 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
Pour un rapport de poussée égal à (N = -1) (figure43), même en augmentant le nombre de
Rayleigh thermique, les iso-contour de température et de concentration dans le cas de
porosité constante sont parfaitement horizontales (solution de non-écoulement), dans le cas
96
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
de porosité variable, on note une petite distorsion des isothermes et des isoconcentrations qui
peut être attribuée à une fluctuation numérique.
(a)
(b)
Streamlines
Streamlines
isotherms
isotherms
isoconcentration
isoconcentrations
Figure 43: fonction de courant isothermes et isoconcentrations pour Ra=100000, Pr=1, Da=0.01,
Le=1 et N=-1 avec (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
97
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
Figure 44: la vitesse radial et axial pour Da=0.01, Pr=1, N=1 et Le=1 et pour porosité uniforme.
Figure 45: la vitesse radial et axial pour Da=0.01, Pr=1, RA=1, N=1 et Le=1 et pour porosité
variable.
4.3.2 Effet du nombre de Lewis
Les (figure46) et (figure47) illustrent l’effet du nombre de Lewis sur les vitesses axiale et
radiale à mi-hauteur de la cavité. On note que globalement la vitesse radiale diminue avec
l’augmentation du nombre de Lewis pour les deux cas, porosité constante et variable. Une
diminution de l’intensité implique une diminution du taux de transfert thermique (table3).
D’un autre côté, on note une augmentation très importante au niveau de transfert solutale
(table3).
98
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
Figure 46: la vitesse radial et axial à mi-hauteur pour Da=0.01, Pr=1, N=1 et Ra*=1000 et pour
porosité uniforme.
Figure 47: la vitesse radial et axial à mi-hauteur pour Da=0.01, Pr=1, N=1 et Ra*=1000 et pour
porosité variable.
En effet, un nombre de Lewis (Le > 1) implique une augmentation similaire de la diffusivité
thermique vis-à-vis de la diffusivité solutale.
En générale, une augmentation du nombre de Lewis, signifie une diminution de l’intensité de
l’écoulement et par conséquent une diminution du nombre de Nusselt qui traduit le transfert
thermique sur la paroi chaude et une augmentation du nombre de Sherwood, que se soit pour
une porosité constante ou variable, à signaler que le transfert thermique est solutal est plus
important dans le cas de porosité variable à cause de la grande porosité près de la paroi
latérale.
99
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
(a)
(b)
Figure 48: variation du nombre de Nusselt moyen avec le rapport de poussé N pour Pr=1, Da=0.01
et pour (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.
(a)
(b)
Figure 49: variation du nombre de Sherwood moyen avec le rapport de poussé N pour Pr=1,
Da=0.01 et pour (a) porosité uniforme et (b) porosité variable.

=Cte
Nu
She
max

≠Cte
Nu
She
max
Le=1
1.1252
1.7255
1.3251
1.6051
2.1148
2.9142
Ra*=100
Le=2
1.0639
24.7180
0.0430
1.0251
24.8521
0.1361
Le=5
1.0639
33.1354
0.0429
1.0254
33.1954
0.1356
Le=1
2.8991
4.4439
4.2118
2.4445
3.3891
7.6735
Ra*=1000
Le=2
2.4439
24.7224
2.9054
3.1667
25.847
5.3358
Le=5
2.4276
33.1221
2.8719
3.2147
33.6547
5.2582
Tableau3 : le nombre de Nusselt et Sherwood moyen et la fonction de courant maximale pour
Pr=1, Da=0 .01et N=1.
100
Chapitre 4 : Résultats et Discussions
Ra*
100
Cte
Nu
She
-2
-1
0
1
2
1.0788
1.0812
1.0639
1.1252
1.2961
1.0003
0.9983
0.9655
1.7255
2.0018
0.00002
0.0001
0.0429
1.3251
1.8029
-2
-1
0
1
2
1.1572
1.1509
2.4255
2.8991
1.9898
0.9967
0.9902
2.9351
4.4439
3.2185
0.0005
0.0091
2.8683
4.2118
5.0179
N
≠Cte
max
She
max
1.1674
1.1057
1.0254
1.6051
1.6350
1.4010
1.4310
1.3238
2.1148
2.2102
0.0002
0.0041
0.1356
2.9142
3.1135
1.1745
1.2169
3.2227
2.4445
3.2790
1.4047
1.4290
4.7089
3.3891
4.6529
0.0005
0.0832
5.2449
7.6735
8.2242
Nu
1000
Tableau4 : le nombre de Nusselt et Sherwood moyen et la fonction de courant maximale pour
Pr=1, Da=0 .01et Le=1.
4.4 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons traité dans un premier temps le problème de convection naturelle
dans un milieu poreux à porosité variable saturé par un fluide newtonien. Nous avons discuté
l’effet des nombres de Rayleigh, de Darcy et de Prandtl sur la structure de l’écoulement et sur
le transfert thermique au niveau de la paroi inférieure qui constitue la source chaude. Dans un
deuxième temps, nous avons ajouté au gradient thermique un gradient solutal pour traiter le
problème de convection thermosolutale, nous avons discuté l’effet de quelques nombres
adimensionnels, à savoir le nombre de Lewis, le rapport de poussée et le nombre de Rayleigh
thermique.
101
Conclusion Générale et Perspectives
CONCLUSION GENERALE ET
PERSPECTIVES
102
Conclusion Générale et Perspectives
Nous avons présenté dans ce mémoire de thèse une étude théorique et numérique du
phénomène de la convection naturelle et thermosolutale dans une cavité cylindrique remplie
par un milieu poreux de porosité variable et saturé par un fluide newtonien de propriétés
thermodynamiques constantes à l’exception de la densité qui varie avec la température selon
l’approximation de Boussinesq. Les parois de base du cylindre sont soumises à des
températures constantes. La paroilatérale est supposéerigide imperméable et adiabatique. Le
modèle adopté pour caractériser le mouvement du fluide au sein de la matrice poreuse est
celui de Darcy étendu par Brinkman et Forshheimer pour tenir compte des effets des
contraintes visqueuses et des forces d’inerties. Le systèmed’équationsrégissant le
phénomènea été établi en formulation vorticité-fonction de courant qui est plus commode
pour les écoulements bidimensionnels.
Le système d’équations adimensionnel gouvernant le problème est résolu numériquement à
l’aide d’un code de calcul établi à la base de la méthode des différences finies centrées du
deuxième ordre. L’intégration sur le temps est effectuée à l’aide de la méthode des directions
alternées. Quant à la fonction de courant, elle a été résolue à l’aide de la méthode de (S.O.R).
L’effet des nombres sans dimension, de Rayleigh thermique (Ra), de Darcy (Da), de Prandtl
(Pr), de Lewis (Le) et le rapport de poussée (N), sur l’écoulement et les transferts de masse et
de chaleur a été analysé pour le cas d’une porosité constante et le cas d’une porosité variable.
Le travail a été divisé en deux parties. Une première partie consacrée à l’étude du phénomène
de convection naturelle purement thermique due au champ de gradient thermique imposé sur
la paroi basse et une deuxième partie consacrée à l’étude du phénomène de convection
thermosolutale due au champ de gradient thermique et solutal.
 Convection purement thermique
Dans le cas de la convection purement thermique, nous avons commencé notre étude par
l’illustration de l’effet du nombre de Rayleigh sur la structure et l’intensité de l’écoulement et
sur le taux de transfert de chaleur sur la paroi active (source chaude). Cette étude nous a
permis d’analyser l’effet de la variabilité de la porosité en considérant un milieu de porosité
constante et un autre de porosité variable.
Nous avons remarqué que l’augmentation du nombre de Rayleigh intensifie l’écoulement et
améliore le transfert de chaleur sur la paroi chaude et que cette intensification de
l’écoulement est précédée par un changement de sens de rotation des rouleaux de convection.
Pour un nombre de Rayleigh important, nous avons constaté, d’une part, que la convection se
manifeste par deux contours superposés tournant dans deux sens différents et d’autre part,
que les particules fluides trouvent des difficultés dans leur montée du fait de la porosité. Ce
phénomène crée alors pour le fluide, en haut de l’enceinte, une source additionnelle à celle de
la cavité active basse, ce qui donne lieu au rouleau contrarotatif supérieur. La variation de la
porosité crée plus d’espace pour les particules fluides ce qui leur donne plus de liberté dans
leur mouvement et donc une intensification de l’écoulement et un taux de transfert de chaleur
plus important.
103
Conclusion Générale et Perspectives
Nous avons discuté aussi l’effet du nombre de Darcy sur les lignes de courant et le transfert
thermique sur la paroi basse pour une porosité uniforme et non-uniforme d’une enceinte de
rapport de forme égal à l’unité rempli d’un fluide de nombre de Prandtl égal à 1 pour
différentes valeurs du nombre de Rayleigh dans le but d’illustrer l’effet couplé des deux
nombres, Rayleigh et Darcy. Nous avons remarqué que l’augmentation du nombre de Darcy
intensifie l’écoulement et améliore le taux de transfert thermique. La structure de
l’écoulement est influencée par le nombre de Darcy, la convection peut être monocellulaire
dans le sens anti-trigonométrique pour des nombres de Darcy petits. La variation de la
porosité crée un espace pour le fluide pour se mouvoir en liberté ce qui, par conséquent,
engendre une augmentation dans la vitesse d’écoulement et une amélioration du taux de
transfert.
L’effet du nombre de Prandtl sur le champ dynamique et le nombre de Nusselt a été aussi
étudié. La structure de l’écoulement n’est pas impactée par l’augmentation du nombre de
Prandtl dans le cas de porosité constante. Pour le cas de porosité variable, l’effet du nombre
de Prandtl sur la structure de l’écoulement est très clair car il s’accompagne par un
changement de sens de la rotation, une intensification de l’écoulement et une amélioration du
taux de transfert de chaleur sur la paroi active.
 Convection thermosolutale
Dans le cas de convection thermosolutale, notre intérêt s’est surtout porté sur l’effet du
rapport de poussée et du nombre de Lewis sur le phénomène de double diffusion dans une
cavité cylindrique. Dans un premier temps, et dans le but de mettre en évidence l’effet du
rapport de poussée, nous avons considéré un nombre de Lewis égal à 1, pour différentes
valeurs de N. Dans un deuxième temps, nous avons fixé le nombre du rapport de poussé
(N=1) pour différentes valeurs de nombre de Lewis pour visualiser l’effet de ce dernier
nombre.
L’augmentation du rapport de poussé (N>0), pour un nombre de Rayleigh thermique donné
faible, nous avons noté une intensification de l’écoulement avec une structure monocellulaire
tournant dans le sens anti-trigonométrique et qui ne présente pas de changement notable pour
un rapport de poussé (0<N<3). Dans le cas de porosité variable, nous avons constaté que
pour un rapport de poussé (N=2), la structure tend à changer de sens de rotation puisque le
fluide trouve plus d’espace pour se mouvoir. De même, le taux de transfert thermique et
solutal sur la paroi active augmente. Pour un rapport de poussé (N>0), les gradients de
température et de concentration se favorisent, ce qui justifie les résultats obtenus. Dans le cas
où les forces de poussées s’opposent (N=-1), les particules fluides se trouvent figées à cause
de ces deux forces. Les taux de transfert thermique et solutal traduits par les nombres de
Nusselt et de Sherwood sont près de l’unité.
Pour un nombre de Rayleigh thermique grand, la structure de l’écoulement présente deux
cellules superposées. Le champ dynamique et les taux de transfert thermique et solutal sont
améliorés.
L’effet du nombre de Lewis a été étudié pour un rapport de poussé (N=1). Nous avons
constaté que pour un nombre de Lewis grand, la diffusivité thermique est plus importante que
la diffusivité solutale, donc une nette dominance de la stratification thermique par rapport à la
diffusivité solutale,et que le gradient de concentration est intense à proximité de la paroi
104
Conclusion Générale et Perspectives
active. Nous avons aussi remarqué que le transfert solutal se favorise par l’augmentation de
nombre de Lewis.
 Les perspectives
A l’issue de ce travail quelques perspectives intéressantes se sont dégagées et peuvent être
envisagées dans les travaux de recherche futurs :




Étudier le phénomène en considérant l’anisotropie en perméabilité
Introduire la dispersion dans l’extension de Brinkman-Forchheimer de la loi de Darcy
(EBFD)
Considérer une cavité cylindrique remplie par un (BDPM)
Considérer une paroi partiellement remplie par un milieu poreux a porosité variable et
saturé par un fluide newtonien
105
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111
Annexe
ANNEXE
112
Annexe
The Magnetic field effect on Thermosolutal Natural
Convection in Non-Darcy Porous Media with NonUniform Porosity Saturated by an electrically conducting
fluid
M. Sammouda
The abdus Salam international centre for theoretical physics ICTP, Strada Costiera, 11I34151 Trieste Italy.
Team of modeling in fluid mechanics and in environment, LPT, URAC 13, faculty of
Sciences Rabat-Agdal, BP 1014, Rabat, Morocco.
K. Gueraoui
Team of modeling in fluid mechanics and in environment, LPT, URAC 13, faculty of
Sciences Rabat-Agdal, BP 1014, Rabat, Morocco.
Department of Mechanical Engineering, University of Ottawa, Ottawa.
M. Driouich
The abdus Salam international centre for theoretical physics ICTP, Strada Costiera, 11I34151 Trieste Italy.
Team of modeling in fluid mechanics and in environment, LPT, URAC 13, faculty of
Sciences Rabat-Agdal, BP 1014, Rabat, Morocco.
A. El Hammoumi
Laboratory of Mechanical and Materials, Faculty of Sciences Rabat-Agdal, BP 1014, Rabat,
Morocco.
O. Fassi Fehri
Laboratory of Mechanical and Materials, Faculty of Sciences Rabat-Agdal, BP 1014, Rabat,
Morocco.
Abstract
In the current work, a numerical investigation of magnetoconvection in a cylindrical
enclosure filled with a non-Darcy porous medium with variable porosity and saturated with
a Newtonian electrically conducting fluid has been performed. The variation of porosity
follows an exponential law. The side walls of the enclosure are rigid, impermeable and
adiabatic, while the horizontal walls are maintained at uniform temperature and
concentration. The fluid flow occurring in the porous layers is described by BrinkmanForscheimer extended Darcy law (EBFD) by using the Boussinesq approximation. The finite
difference method has been used to solve the governing momentum, energy and
concentration conservation equation. The tests were carried out for various values of
Rayleigh number, Hartmann number and Darcy, The heat and mass transfer characteristics
are presented in the form of streamlines, isotherms and isoconcentration lines profiles, and
average Nusselt and Sherwood numbers, both for uniform or non-uniform porosity. It is
observed that the flow and the heat transfer rate in the cavity are affected by the magnetic
field illustrate by the mean of Hartmann number.
113
Annexe
The numerical code developed can be used for various industrial processes
involving the phenomenon of natural convection.
Keywords: Natural convection, porous media, variable porosity, cylindrical cavity, extension
Darcy law.
NOMENCLATURE:
: Fluid density
k e :Thermal diffusivity of the porous media
 :Thermal conductivity of the porous media
T : Temperature
C : Concentration
U : Dimensionless radial velocity
W : Dimensionless axial velocity
 : Fluid viscosity
~ : Apparent viscosity
K : Permeability of the porous matrix
 : Porosity
  : Infinite porosity
 : Vorticity
 : Stream function
L, L2 , L3 : Dimensionless constant
 s : Ratio of solid conductivity /matrix
B : The external magnetic field
 : The electric potential
 : electrical conductivity

J : The electric current
Da : Darcy number
Ra : Rayleigh number
Pr : Prandtl number
Le : Lewis number
N : Buoyancy ratio
RA : Aspect ratio
Nu : Nusselt number
She : Sherwood number
Ha : Hartmann number
 f : Ratio of fluid conductivity /matrix
D : mass diffusivity
1. Introduction
Thermosolutale natural convection phenomenon in viscous fluids and fluid saturated porous
media has occupied the central stage in many fundamental heat and mass transfer analyses
and has received considerable attention over the last few decades because of its wide range of
applications such as, soil pollution, thermal insulation, grain storage, dispersion of chemical
contaminations through water saturated soil, storage of nuclear waste, fuel cells, heat removal
from nuclear fuel debris in nuclear reactors, thermal energy storage system, solar collectors
with a porous absorber, etc. for much study and understand the phenomenon and its
problems, one must know the equations that control the movement of fluids in a porous
matrix, such as the equation of motion, energy, concentration and continuity within the
porous media. It is usually impossible to know exactly the movement of fluid and heat
transfer in a porous matrix, which is why the notion of model is introduced to represent
macroscopically the transfer of momentum and heat in a porous media. The fluid flow into
the porous matrix in characterized by the simplest and phenomenological law of Darcy
[1][2][3] that bind the drop pressure and the velocity of infiltration into the porous matrix.
This model has been corrected by Brinkman and Forchheimer to take into account the
boundary and inertia effects [4][5][6],and it’s the model adopted in our study (BrinkmanForchheimer extantion of Darcy law).
114
Annexe
The current paper investigates the effect of a magnetic field on the steady free thermosolutale
natural convection in a cylindrical enclosure filled with a Non-Darcy porous medium with
non-uniform porosity and saturated with an electrically conducting fluid. This type of
problem arises in geophysics when a fluid saturates the earth’s mantle in the presence of a
geomagnetic field and in the in the process of solidification of metals and alloys, between the
liquid and solid phase there is a porous phase which of course is characterized by a nonuniform porosity and influence on the quality of materials, a well detailed study of this area
increases the quality of materials results. The study of the phenomenon natural convection
flow of a viscous fluid in confined and porous environments in the presence of a magnetic
field has been studied by [7][8][9][10][11], and a very few studies on the natural convection
flow of a conducting fluid in the presence of a magnetic field [12][13], and there is no study
before on the thermosolutale natural convection in a porous media with non-uniform porosity
saturated with an electrically conducting fluid, that’s the objective of this current work.
2. Analysis
In this paper, we consider the steady thermosolutale natural convection flow in a cylindrical
cavity filled with a porous media with non-uniform porosity and saturated by an electrically
conducting fluid. The enclosure is heated from below and maintained at uniform temperature
and concentration, while the horizontal walls are adiabatic, rigid and impermeable. The
cavity is subjected, in addition to the field of gravity, a uniform magnetic field directed along
the coordinates z (Fig.1). The height of the enclosure is denoted by L and the radius by R.
Further, it is assumed that density of fluid varies linearly with the temperature and
concentration according to the Boussinesq approximation [1][2], the radiation and Joule
heating effects are neglected, The fluid and the porous medium are in local thermal
equilibrium, the induced magnetic field can be neglected compared to the applied magnetic
field because of magnetic Reynolds number which is assumed to be small.
With the assumptions considered above, the conservation equations for mass, momentum,
energy and concentration equations are given by :
Fig.1 The geometry of the considered physical system
The governing equations for this problem are given by:
115
Annexe
1 rU  W 

0
r r
z
(1)
  2T  2T 1 T 
T 1 rUT  WT 



 K e  2  2 
t r r
z
r r 
z
 r
(2)
  2 C  2 C 1 C 
C 1 rUC WC 
C
    DX '


 D  2  2 
t r r
z
r r 
r
z
 r
(3)
The momentum equation written in vector form:
V V
C
1 V

   .    V   g   p  ~ V  F1  V V  J  B (4)


 t
K
K 2
 

J      V  B

The density of the fluid depends on temperature and concentration variations and can be
described as:
   0 1 T T  T0    C C  C0 
The variation of porosity follows an exponential law with a radius of the cylindrical cavity,
and is written as follows [3] :
    1 Le  a r  R     X r 
(5)
In the momentum equation (3) above, the permeability K and the apparent viscosity are
written as a function of porosity [x], since the porosity is variable and can be written as a
constant multiplies a function of the radius of the cavity, the parameters mentioned above can
be written as:
K 
3 d2
 K  f r 
2
180 1   
~    1    1 X r 
CF 
(6)
(7)
3
1,8  3 2 1,8  3 2


  X r  2
180
180
(8)
Where :
X r   1 Le  a r  R 
(9)
116
Annexe
f r  
X r 
1 L2 1 X r 1 L3 X r 
3
(10)
In the two-dimension flows, it is most common to use the vorticity – stream function
formulation, so the momentum equation can be written as :
1  1

 t  2
 T g
3
A 2

 U W   2UX ' 

 



1
z   X 2 K  r 2
 r
K 2

2
2

           1  

  r 2 z 2 r r 

T
C U  WX '  W  WX '  UWX '  W f '  X '
UWX ' 2

 

 
 S g




W

r
r  r  X     z  X   r X  2
K f
X
X22
 V
 V  3 AWX ' V

 B 2 U
(11)


U

W



3
3
3
1
1 
1

z

r


z
2
2
2
2 
2
2

0
2f K
 K
2 K X


The vorticity and the component of velocity are expressed according to the stream function
such as:
AW f ' V
A
U
1
2  
1 
1 

;W
;     
r
r  r 
r z
r r
(12)
We introduce the following non-dimensional variables:
r *
K
K
T  Ti
C  Ci
r
z
; z *
; U *  W *  e ;  *  R K e ;  *  2e ; T * 
; C *
R
T
C
R
R
R
The following non-dimensional stationary equations are obtained by keeping the same
notations of dimensional quantities:
1 rUT  WT   2T  2T 1 T

 2  2 
r r
z
r r
r
z
(13)

1 rUC WC 
   2 C  2 C 1 C 
C
  p  DX '

 p  2  2 
(14)
r r
z
Le  r
r r 
Le
r
z
117
Annexe
3
1  U W   2UX ' p Pr f p Pr f A  2







1
z   X 2
Da
 2  r
 r2
Da 2


   p Pr f



  2   2  1  
 2  2 

r r 
z
 r
 T
C  U  WX '  W  WX '  UWX ' p Pr f f ' p Pr f X '
 

 

 
 p 2 Pr f Ra f 
N


W
2

r

r


r
X



z
X

Da
f

X
r
X







 V
AW f ' V
 V  3 AWX ' V

A
U
UWX ' 2
 2 2 
 3
U
W
 Pr Ha 2
(15)

3
3
1
1 
1
r  2  2 K 2X
z
X 
2 f  2 K 2  2 K 2  z


The vorticity and velocity component in dimensionless form written as:
U
1
2  
1 
1 

;W
;     
r
r  r 
r z
r r
(16)
Where:


p   f X r    S 1 X r 
1
;
    1 Le
a M r

 1801    2


; M 
Da
3






1
2
The dimensionless boundary conditions of the considered system can be written as:
r 0 ; 0 ;
T
axe
r
0 ;
C
axe
r
0 ; 
0
r  0
(17)
C
 T paroi
 
2
 0 ; paroi  0 ;  r 1  2  r 1dr (18)

0;
r
r  z
r
dr
 
1 2
z0 ; 

 0 ; T  1 ; C  1 ;  z 0 
 z dz (19)
r  z
r dz 2
 
1 2
z 1 ;  

 0 ; T  0 ; C  0 ;  z  RA 
 z  RA dz (20)
r z
r dz 2
The heat and masse transfer along the hot wall is characterized by the local Nusselt number
and local Sherwood number which are defined by:
r  1;  
Nu   RA
i
T
z
;
z  0
Sh   RA
i
C
z
(21)
z  0
3. Numerical method
The finite differences method is used to solve the system of equations, momentum, energy
and concentration. The algebraic system obtained was performed through the ADI method
118
Annexe
(Alternating Direction Implicit) [14][15][16][17][18][19]. The equation of stream function is
discretized using a scheme of Hirsh accurate with order four and whose relations are [21]:
dx 2
12
dx  F

3   x

 F
  4
 i 1
x
  2 F
 2
  x

 2F
  10 2
 i 1
x
  F
  
i   x
 
   Fi 1  Fi 1
 i 1 
  2F
   2
i   x
(22)
 
   Fi 1  2 Fi  Fi 1
 i 1 
(23)
In the case of Dirichlet or Neumann boundary conditions, the system is not closed. A
relationship between the stream function to its derivatives is required, the relation of Padé is
used:
dx 2
12
  2 F
 2
  x
  2F
   2
i   x
  dx  F
  

2
  x

 i 1 
  F
  
i   x
 
   Fi 1  Fi
 i 1 
(24)
The use of Hirsh scheme aims to achieve better accuracy in the calculation of stream function
and its first derivatives involved, respectively, in computing the values of vorticity at the
borders and in the advective terms transport equations. We consider that the convergence is
reached if, with each step of time, the following test is checked.
 f
i
n 1
i, j
 f i ,nj
j
 f
i
n 1
i, j
 10 5
(25)
j
f represents vorticity Ω or temperature Τ.
4. Results and discussion
A numerical study has been performed to investigate the steady thermosolutale natural
convection in cylindrical enclosures filled with porous media with non-uniform porosity and
saturated with a Newtonian electrically conducting fluid for different values of the Hartmann
number, Rayleigh number and porosity for a purely thermal transfer, and both thermal and
solutale in other cases. The results are presented as streamlines, isotherms, isoconcentration
lines, average Nusselt and Sherwood numbers displayed in table.1 and table.2 and velocity
profiles for various values of the magnetic field parameter Ha, to highlight the effect of
magnetic fields on the cells, heat and mass transfer in the bottom of the cavity. It is seen from
these figures and the tables that the magnetic field has a considerable effect on the intensity
119
Annexe
of cells and on the heat and mass transfer. In the fig.2 to fig.5 we present streamlines
isotherms and isconcentration for Da=0.01, Ra=2.104, Pr=0.71, Le=1 and for a purely thermal
transfer (N=0) for uniform porosity and for various values of Hartmann number, it is seen
that the intensity of the convection decreases with the increasing of Hartmann number, and
for Ha=1000, the isotherms and the isoconcentrations are almost parallel and this implies that
conduction is dominant, which means also that there is no flow of fluid. That’s due to the
effect of magnetic field traduced by Lorenz forces which slow the particles fluid, this
phenomena is very important in the process of solidification, the quality of materials is
influenced by the intensity of cells of convection, and many structural defects appear at the
end of solidification process and if we can slow the intensity of flow of these cells, we can
have a materiel with good quality. In the fig.6 to fig.10 the same results are presented but for
thermal and solutale convection (N=1) this time buoyancy forces are very important because
the convection is due to both gradient of temperature and concentration, therefore, we need a
very important energy to slow the fluid’s particles, we can also see that the intensity of
convection decreases with increase of Hartmann number, but to slow the fluids particles in
this case we need a important energy which mean a high number of Hartmann.
Fig. 2. Streamlines, isotherms and isoconcentrations for Ra=20000, Pr=0.71, N=0, Le=1, Da=0.01, Ha=0,
Ψmax= 1.46886, for uniform porosity
Fig. 3. Streamlines, isotherms and isoconcentrations for Ra=20000, Pr=0.71, N=0, Le=1, Da=0.01, Ha=100,
Ψmax= 1.212174, for uniform porosity
120
Annexe
Fig. 4. Streamlines, isotherms and isoconcentrations for Ra=20000, Pr=0.71, N=0, Le=1, Da=0.01, Ha=500,
Ψmax= 0.07043, for uniform porosity
In the tab.1 and tab.2 are presented the average Nusselt, Sherwood and maximum of
streamlines, it is seen from these tables that the intensity of convection decrease with increase
of Hartmann number in all case (uniform and non-uniform porosity, purely thermal and
thermosolutale transfer), the only difference is that in the case of (N=1), we must generate
more energy to the system to control the motion of fluid particles. The Nusselt number
converges to unit with increasing of Hartmann number which means that the conduction is
dominated.
The fig.11 to fig.14 show the velocity profiles, axial and radial, we can see clearly that the
components of velocity decreasing with increasing of Hartmann number, for Ha=1000, in the
case of purely transfer (N=0) the components of velocity equal to 0 which mean that
convection is stopped and the conduction is dominated, However, for N=1 the velocity
profiles decreases with Ha=1000, but it does not reach the value 0, in addition to thermal
buoyancy force, the solutale buoyancy force is added, therefore, to slow the velocity of
particles fluids we have to generate very important energy (magnetic field).
Fig. 5. Streamlines, isotherms and isoconcentrations for Ra=20000, Pr=0.71, N=0, Le=1, Da=0.01, Ha=1000,
Ψmax=0.0133, for uniform porosity
121
Annexe
Fig. 6. Streamlines, isotherms and isoconcentrations for Ra=20000, Pr=0.71, N=1, Le=1, Da=0.01, Ha=0,
Ψmax=2.40392, for uniform porosity
Fig. 7. Streamlines, isotherms and isoconcentrations for Ra=20000, Pr=0.71, N=1, Le=1, Da=0.01, Ha=100,
Ψmax=2.21492, for uniform porosity
Fig. 8. Streamlines, isotherms and isoconcentrations for Ra=20000, Pr=0.71, N=1, Le=1, Da=0.01, Ha=500,
Ψmax= 1.658911, for uniform porosity
Fig. 9. Streamlines, isotherms and isoconcentrations for Ra=20000, Pr=0.71, N=1, Le=1, Da=0.01, Ha=1000,
Ψmax= 1.23198, for uniform porosity
122
Annexe
Fig. 10. Streamlines, isotherms and isoconcentrations for Ra=20000, Pr=0.71, N=1, Le=1, Da=0.01,
Ha=2000, Ψmax= 0.692, for uniform porosity
Ha
0
100
500
1000
Uniform
porosity
ε=Cte
Nu
She
Ψmax
1.219
1.828
1.468
1.138
1.702
1.212
0.977
0.948
0.0704
0.998
0.984
0.0133
Non-uniform
porosity
ε≠Cte
Nu
She
Ψmax
1.667
2.152
3.122
1.598
2.068
2.664
1.161
1.570
1.297
0.985
1.387
0.0409
Table.1. Average Nusselt and Sherwood numbers and Ψmax for Ra=20000, Pr=0.71, N=0, Le=1,Da=0.01
Ha
0
100
500
1000
Uniform
porosity
ε=Cte
Nu
She
Ψmax
1.568
2.322
2.403
1.527
2.297
2.214
1.353
2.121
1.658
1.179
1.861
1.231
Non-uniform
porosity
ε≠Cte
Nu
She
Ψmax
1.692
2.451
2.889
1.841
2.417
3.398
3.070
4.795
2.583
1.810
2.815
2.092
Table.2. Average Nusselt and Sherwood numbers and Ψmax for Ra=20000, Pr=0.71, N=1, Le=1,Da=0.01
Fig. 11 Axial and Radial velocity at mid-height of cavity for Ra=20000, Pr=0.71, N=0, Le=1, Da=0.01,for
uniform porosity
123
Annexe
Fig. 12 Axial and Radial velocity at mid-height of cavity for Ra=20000, Pr=0.71, N=1, Le=1, Da=0.01,for
uniform porosity
Fig. 13 Axial and Radial velocity at mid-height of cavity for Ra=20000, Pr=0.71, N=0, Le=1, Da=0.01,for nonuniform porosity
Fig. 14 Axial and Radial velocity at mid-height of cavity for Ra=20000, Pr=0.71, N=1, Le=1, Da=0.01,for nonuniform porosity
5. Conclusion
This paper presents a theoretical and numerical study of magnetic field effects on double
diffusive natural convection in a non-Darcy porous media with non-uniform porosity placed
124
Annexe
in a cylindrical enclosure and saturated by electorally conducting fluid. The fluid flow in the
porous matrix is characterized by Brinkman-forscheimer extension of Darcy law. The results
presented as streamlines, isotherms and isoconcentrations line for this cylindrical enclosure
maintained with different temperature and concentration values on its basic walls for different
governing parameters (Hartmann number, Rayleigh number, and buoyancy coefficient) and
for uniform and non-uniform porosity. Based on the results found, the main conclusions of
the present analysis are as follows:




The magnetic field effect on thermosolutale natural convection is to reduce the
convective heat and mass transfer inside the enclosure.
It’s found that for purely thermal transfer the convection is due to buoyancy thermal
forces, and to reduce the convective heat and mass transfer we need law number of
Hartmann.
For thermal and solultale transfer, the convection is due to both buoyancy thermal
and solutale forces, and to reduce the heat and mass transfer we have to generate a
very important energy (magnetic field) a high number o Hartmann.
The variation of porosity increases the intensity of flow of convection, therefore, to
control the movement of particle’s fluid we need a very important energy traduced by
magnetic field.
Acknowledgements
M. SAMMOUDA is supported by the Abdus Salam International Centre for Theoretical
Physics. ICTP, Strada Costiera, 11I-34151 Trieste Italy.
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