LES GAZ, PARTIE A :

Chapitre III : Les gaz, Partie A
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LES GAZ, PARTIE A :
Vers la notion de gaz parfait
Nous allons décrire le comportement des gaz grâce { leurs variables d’état ainsi que d’un point de
vue microscopique en recherchant les liens entre ces deux descriptions. Les expériences montrent
que les gaz se comportent tous de la même façon lorsque leur pression est faible (jusqu’{ quelques
atmosphères- quelques centaines de kilopascals- pour une précision de quelques pourcents). Cette
constatation a conduit au modèle du gaz parfait.
Nous commençons par définir quelques notions propres à la Thermodynamique dont la nécessité et
l’utilité seront particulièrement mises en évidence au cours de ce chapitre.
A. Vocabulaire thermodynamique
1. Transformation thermodynamique
Définition : Une transformation thermodynamique conduit un système d’un premier état (E)
d’équilibre, appelé conventionnellement état initial, { un deuxième état (E’) d’équilibre, appelé
conventionnellement état final.
Les états initial et final d’équilibre sont décrits par les valeurs des variables d’état caractérisant
le système.
Voici un exemple de transformation thermodynamique :
On se propose de comprimer du gaz. On enferme une quantité de gaz donnée dans un corps de
pompe à vélo. La jupe du piston est plaquée contre la paroi, la valve de la chambre à air est
fermée. (Voir chapitre I, complément 1.) On s’assure qu’il n’y a pas de fuite (pas de gaz sortant
du corps de pompe), ni d’entrée d’air en provenance de l’atmosphère. L’état (E) initial
d’équilibre du gaz est décrit par les valeurs n, p, V, t de ses quantité de matière, pression, volume
et température. On pousse sur le piston ce qui provoque une compression du gaz. L’état (E’) final
d’équilibre est décrit par les valeurs n, p’, V’, t’.
Ce n’est qu’un exemple, on peut aussi considérer des transformations thermodynamiques dans
lesquelles la quantité de matière varie.
Ce type de transformation se rencontre couramment en Thermodynamique et est représentée
par le schéma simplifié suivant :
état (E)
n, p, V, t
transformation T
état (E')
n, p', V', t'
Figure 1 : schéma simplifié d’un corps de pompe avec son piston, cas d’une compression
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2. Source thermique
Définition : Une source thermique est un système thermodynamique dont la température est
constante et qui peut échanger de l’énergie sous forme de chaleur mais pas sous forme de travail
avec le système étudié.
Voici des exemples de sources thermiques :
- Un four, une étuve, un bain liquide dont la température est pilotée par un système électrique.
Le thermostat maintient la température constante malgré l’échange d’énergie sous forme de
chaleur.
- L’atmosphère dont la température est imposée par la météo, constante pendant la durée
habituelle d’une expérience. La température de l’atmosphère reste constante { cause de sa
taille par rapport à celle du système étudié.
- Un mélange eau-glace de température 0°C ou de l’eau bouillante de température 100°C sous
la pression atmosphérique normale. Malgré l’échange d’énergie sous forme de chaleur, la
température de la source thermique ne varie pas : Dans le premier cas de l’eau gèle ou de la
glace fond, dans le deuxième de l’eau se vaporise ou de la vapeur se liquéfie. Mais la
température se maintient.
Voici un exemple de transformation faisant intervenir une source thermique :
Dans l’exemple de transformation du paragraphe précédent, on désire de plus maintenir la
température du gaz constante pendant la compression. Si elle est rapide elle s’accompagne en
général d’un échauffement. L’expérimentateur agit donc lentement et utilise un corps de pompe
aux parois diathermanes pour laisser le temps et la possibilité { l’atmosphère de maintenir la
température constante.
3. Transformations isotherme, isobare, isochore1
Définitions : Au cours d’une transformation isotherme la température du système est constante.
Au cours d’une transformation isobare la pression du système est constante.
Au cours d’une transformation isochore le volume du système est constant.
La compression lente du gaz, à température constante, effectuée dans le paragraphe 2, est un
exemple de transformation isotherme.
4. Transformation monotherme
Définition : Au cours d’une transformation monotherme le système échange de l’énergie sous forme
de chaleur avec une seule source thermique.
Voici un exemple de transformation monotherme :
On sort un glaçon du congélateur. Le glaçon va échanger de l’énergie sous forme de chaleur avec
l’atmosphère dont la température va demeurer constante tandis que le glaçon va se réchauffer et
fondre doucement. La température du glaçon n’est pas constante, la transformation n’est pas
isotherme mais elle est monotherme.
1
Ces adjectifs sont construits à partir de mots grecs : « isos » signifie égal, « thermos » chaud, « baros » lourd,
« khôra » espace.
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5. Transformation monobare
Définition : Une transformation monobare s’effectue { pression extérieure effective constante.
L’adjectif « effective » signifie que la pression extérieure est éventuellement due à deux causes :
pression extérieure proprement dite et action d’autres forces extérieures.
Par exemple, le piston d’une pompe { vélo est soumis { la pression atmosphérique et { l’action
du cycliste.
Dans le paragraphe suivant nous allons commencer par une description microscopique des gaz
pour finir par une description macroscopique.
B. Description des gaz
Au niveau microscopique les gaz se définissent par le mouvement et le nombre de leurs
molécules. La loi d’Avogadro-Ampère fait passer du niveau microscopique au niveau
macroscopique en reliant le nombre de molécules au volume du gaz. L’étude macroscopique
montre l’existence d’une équation d’état reliant quantité de matière, pression, volume et
température.
1. Description au niveau microscopique
a) Mouvements moléculaires, interactions
Un gaz est constitué de molécules animées de mouvements incessants dont les trajectoires sont
des lignes brisées. C’est l’agitation moléculaire, cause du mouvement brownien décrit par Robert
Brown en 1827 (des grains de pollen en suspension dans de l’eau ont un mouvement erratique
dû à cette agitation). Chaque cassure de trajectoire correspond à un choc entre deux molécules
ou entre une molécule et la paroi du récipient.
Figure 2 : trajectoires de molécules (très grossies)
Au moment des chocs chaque molécule interagit avec une autre molécule ou la paroi. Elle
interagit aussi avec les autres molécules par action à distance de nature électrostatique.
Lorsque la distance entre molécules est supérieure à quelques dizaines de nanomètres ces forces
sont négligeables car les molécules sont neutres. Lorsque cette distance diminue, la structure
des molécules formées de noyaux et de nuages électroniques intervient ; il en résulte des forces
dites de Van der Waals qui sont attractives. Lorsque la distance diminue encore, l’interaction
entre les nuages électroniques devient prépondérante et les molécules se repoussent fortement.
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b) Nombre de molécules
Le nombre de molécules dans un volume usuel de gaz est extrêmement grand. La mole, unité de
quantité de matière, permet d’utiliser des nombres plus adaptés à notre échelle.
La mole est la quantité de matière d'un système contenant autant d'entités élémentaires qu'il y a
d'atomes dans 0,012 kg de carbone 12. (Un atome de carbone 12 est formé de 12 nucléons dont
6 protons ; le noyau comporte donc 12-6 = 6 neutrons ; et le nuage électronique comporte 6
électrons.)
Le nombre d’entités identiques (atomes, molécules, ions, …) par mole est égal au nombre
d’Avogadro NA ≈ 6,02. 1023 mol-1. (Mesure actuelle la plus précise : 6,02214179. 1023 mol-1.)
La quantité n de gaz est égale au quotient du nombre de molécules N par le nombre d’Avogadro :
n (en mol)
N (nombre sans dimension)
N A (en mol 1 )
Après cette courte description au niveau microscopique, passons { la loi d’Avogadro-Ampère.
2. La loi d’Avogadro-Ampère
a) Enoncé
Des volumes égaux de gaz différents pris dans les mêmes conditions de température et de pression
renferment le même nombre de molécules.
He
H2
O2
CO2
Figure 3 : même volume, même température, même pression donc même nombre de molécules
b) Conséquence : Le volume molaire
Le volume molaire Vm est égal au quotient du volume par la quantité de matière :
Vm
V
n
Chaque mole de gaz contient le même nombre de molécules donc occupe d’après la loi
d’Avogadro-Ampère le même volume dans les mêmes conditions de température et de pression.
En d’autres termes tous les gaz ont le même volume molaire Vm.
Il est égal à environ 22,4 L.mol-1 dans les conditions normales de température et de pression (en
abrégé CNTP), 0 °C et 1,01325. 105 Pa. (Mesure actuelle la plus précise : 22,413996 L.mol-1.)
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c) Interprétation microscopique
Dans une mole de gaz, il y a environ 6,02. 1023 molécules. Dans les CNTP le volume moyen
disponible par molécule est donc 22,4. 10-3 / 6,02. 1023 m3 ≈ 4. 10-26 m3. La distance moyenne
entre molécules est donc de l’ordre de (4. 10-26)1/3 ≈ 3.10-9 m, soit une dizaine de fois la taille des
molécules qui est de l’ordre du dixième de nanomètre. (Par comparaison, la taille d’un être
humain est de l’ordre du mètre, la distance entre êtres humains dans un gaz serait en moyenne
d’une dizaine de mètres.) Il y a donc beaucoup de vide entre les molécules. Ce qui explique que le
volume occupé ne dépend pas de la nature des molécules.
Nous abordons maintenant la description au niveau macroscopique.
3. Description au niveau macroscopique
a) Existence d’une équation d’état
Pour décrire une masse de gaz, il faut donner sa quantité de matière n, son volume V, sa pression
p et sa température t. (En précisant en plus sa formule chimique, nous pouvons en déduire
d’autres grandeurs comme la masse, la masse volumique, la densité. Voir chapitre IV.)
Mais dans les mêmes conditions de température et de pression, une quantité de matière double
occupe un volume double (deux moles d’hélium ont un volume deux fois plus grand qu’une mole
d’hélium). Donc nous pouvons fixer la quantité de matière n et nous intéresser uniquement aux
autres variables d’état p, V, t.
Et nous pouvons aller plus loin. Car si nous choisissons une quantité de matière n donnée et un
volume V, nous pouvons encore choisir une température t mais pas la pression p qui nous est
alors imposée par le gaz, par les résultats expérimentaux. C'est-à-dire que la pression p est une
fonction du volume V et de la température t. Il existe une équation d’état c'est-à-dire une relation
qui lie les variables d’état :
p
f (V , t )
b) Variables d’état indépendantes, fonction d’état
Lorsque l’équation d’état est ainsi exprimée, elle utilise le volume et la température en tant que
variables d’état indépendantes et fait apparaître la pression comme une fonction d’état, c’est-àdire comme une fonction de variables d’état indépendantes.
Nous aurions pu fixer la pression et la température et alors le volume aurait été imposé par le
gaz et serait apparu comme une fonction d’état des deux variables indépendantes pression et
température. L’expérimentateur choisit ses variables d’état indépendantes, mais c’est la nature
du système qui impose leur nombre. (Le couple p, V est aussi un choix possible de variables
d’état indépendantes.)
Ici, une quantité donnée de gaz est décrite par deux variables indépendantes, les autres sont des
fonctions d’état. Nous allons étudier la fonction p = f(V, t).
c) Etude d’une fonction de deux variables
Etablir l’expression de cette fonction ne peut se faire d’emblée en faisant varier à la fois le
volume et la température. On procède par étapes : on maintient la température constante et on
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observe comment la pression dépend du volume ; puis on maintient le volume constant et on
observe comment la pression dépend de la température.
On peut aussi maintenir la pression constante et observer comment le volume dépend de la
température. Mais les deux observations précédentes suffisent.
Cette démarche met en évidence plusieurs types de transformations thermodynamiques :
isotherme, isochore ou isobare. (Voir paragraphe A.3.) Observer ces différentes transformations
sera l’occasion de rencontrer quelques expériences simples de Thermodynamique, d’illustrer le
rôle d’une source thermique et de décrire ces transformations { l’aide des variables d’état.
C. Variations du volume avec la pression et la température
1. Variation du volume avec la pression à température constante
a) Expérience : matériel et mode opératoire
On enferme une quantité de gaz donnée dans un corps de pompe fermé par un piston que l’on
peut visser ou dévisser pour faire varier le volume et par conséquent la pression. On s’assure
que l’ensemble est étanche, pas de fuite ni d’entrée d’air. Le volume est lu sur une règle graduée,
la pression s’affiche sur un manomètre digital et la température est lue sur un thermomètre. Voir
figure 4.
0
20
40
60 cm 3
n, p, V, t
hPa
Figure 4 : le dispositif expérimental
Lorsque l’expérimentateur visse ou dévisse, il provoque une compression ou une détente du gaz.
Si elles sont rapides elles s’accompagnent en général d’un échauffement ou d’un refroidissement.
Toutes les parois sont diathermanes. L’expérimentateur agit donc lentement pour laisser le
temps { l’atmosphère de maintenir la température constante.
L’expérience décrite ci-dessus met en jeu une succession de transformations que nous allons
maintenant décrire { l’aide des variables d’état.
b) Description quantitative de ces transformations thermodynamiques
Ces transformations thermodynamiques T sont toutes du même type ; ce sont des
transformations isothermes d’un système fermé :
n, p, V , t
T1
n, p ', V ', t
T2
n, p '', V '', t
T3
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Le système est une quantité n de gaz constante : c’est un système fermé. L’état initial est décrit
par les valeurs p, V, t de sa pression, de son volume et de sa température. L’état final est décrit
par des valeurs p’, V’, t.
La température du gaz reste constante pendant toute la transformation, qui est donc isotherme.
Remarque : On pourrait aussi agir brusquement puis attendre que l’équilibre thermique se
réalise. Si on procédait ainsi, la transformation serait monotherme. De plus, dans cette
expérience, on veut que dans les deux états considérés (E) et (E’) le gaz soit en équilibre
thermique avec le milieu extérieur pour que les températures du premier et du second état
soient les mêmes. Ce n’est pas toujours le cas dans une transformation monotherme. La
température initiale du système peut être différente de celle de la source thermique. Dans tous
les cas pendant une transformation monotherme, la température du système peut varier en son
sein et au cours du temps. (Voir paragraphe A.4.)
c) Résultats expérimentaux
On réalise l’expérience avec un volume initial de 20 cm3 sous la pression de 1000 hPa à la
température de 20°C. Le tableau donne la série de mesures et calcule le produit pV car un
examen rapide des résultats montre que ce produit est sans doute constant :
V
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
cm3
p
1998
1339
1000
800
666
574
501
445
401
363
333
hPa
pV
19980
20085
20000
20000
19980
20090
20040
20025
20050
19965
19980
hPa.cm3
60
70
On trace la représentation graphique du produit pV en fonction du volume V :
pV = fonction(V)
pression x volume en hPa.cm3
25000
20000
15000
10000
5000
0
0
10
20
30
40
50
volume en cm3
Les volumes sont connus à 1 ou 2 cm3 près, les pressions à 1 ou 2 hPa près. Donc la précision des
mesures de volume est de quelques pourcents, celle des mesures de pression de quelques
dixièmes de pourcents et donc celle du produit pV de quelques pourcents. Les mesures montrent
donc qu’{ la température t :
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pV
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p 'V '
p ''V ''
constante
Lorsqu’on recommence l’expérience { une autre température le produit pV est encore constant,
mais la valeur de la constante est modifiée : elle dépend de la température.
d) Loi de Boyle-Mariotte
Enoncé : A température constante le produit pV reste constant.
pV
k (t )
p
k (t )
V
ou
La notation k(t) traduit la dépendance de la constante avec la température t. Et bien sûr elle
dépend aussi de la quantité de gaz étudiée.
e) Interprétation microscopique
Qu’est-ce qui change lorsqu’{ température constante le volume est divisé par exemple par deux ?
La densité moléculaire- c’est-à-dire le nombre de molécules par unité de volume N/V- est
multipliée par deux :
V
V
2
alors
N
V
2
N
V
et
p
2p
La loi de Boyle-Mariotte indique que la pression varie comme la densité moléculaire.
Nous venons d’étudier les variations du volume avec la pression { température constante. Pour
achever l’étude de la fonction p = f(V, t) il faut nous intéresser aux variations de la pression avec
la température à volume constant.
2. Variation de la pression avec la température à volume constant
a) Expérience : matériel et mode opératoire
hPa
°C
eau chaude
n, p, V, t
Figure 5 : le dispositif expérimental
On enferme dans un flacon rigide une quantité donnée de gaz. Son volume V est donc constant.
(En fait le flacon se dilate sous l’effet de l’augmentation de température ; on peut négliger cette
dilatation par rapport à celle du gaz ou effectuer un calcul correctif pour obtenir des résultats
Chapitre III : Les gaz, Partie A
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plus précis.) Le flacon est placé dans un bain rempli d’eau chaude. Lorsque la température
diminue, la pression aussi. La température t est mesurée grâce à un capteur de température relié
à un affichage en degrés Celsius et la pression p grâce à un manomètre digital.
b) Description de ces transformations thermodynamiques
Cette expérience met en jeu une succession de transformations thermodynamiques toutes du
même type ; ce sont des transformations isochores d’un système fermé :
T1
n, p, V , t
n, p ', V , t '
T2
T3
n, p '', V , t ''
Le système est une quantité n de gaz constante : c’est un système fermé. Un état initial est décrit
par les valeurs p, V, t de sa pression, de son volume et de sa température. Un état final par des
valeurs p’, V, t’.
c) Résultats expérimentaux
On réalise l’expérience avec un volume de 250 cm3, la température variant entre 20 à 60 °C
environ. Le tableau donne la série de mesures.
t
20,7
25,2
30,4
34,8
40,5
45,1
50,3
54,9
59,7
°C
p
1016
1031
1049
1065
1083
1102
1117
1133
1149
hPa
p = fonction(t)
1400
p = 3,4244 t + 945,19
p = 3,4244 ( t + 945,19/3,4244)
p = 3,42 ( t + 276)
1200
pression en hPa
1000
800
600
400
200
0
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
température en degrés Celsius
Pour exploiter les résultats, on trace la représentation graphique de la pression p en fonction de
la température Celsius t. C’est une droite ne passant pas par l’origine. Donc la pression est une
fonction affine de la température c’est-à-dire de la forme p = a t + b. Nous utiliserons cette
expression sous la forme p = a (t + c) ou encore p/(t + c)= a.
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L’équation de la droite est fournie par le logiciel Excel®. La mise en facteur du coefficient a fait
apparaître la quantité t+276. Des mesures plus précises donnent t+273,15.
La température est connue à 1 ou 2 dixièmes de degré Celsius près donc avec une précision de
l’ordre du pourcent. La précision sur la pression est de l’ordre du dixième de pourcent. Donc la
valeur trouvée, 276, est acceptable.
d) Loi de Charles
Enoncé : A volume constant le quotient de la pression p par (t+273,15) est constant :
p
t 273,15
k '(V )
La constante dépend du volume et bien sûr de la quantité de gaz étudiée.
e) Interprétation à l’échelle microscopique
A quoi la pression du gaz est-elle due ? Aux chocs des molécules sur les parois. Plus les chocs
sont nombreux et violents et plus la pression augmente. Ils sont d’autant plus nombreux que la
densité moléculaire et la vitesse s’accroissent et d’autant plus violents que la vitesse des
molécules augmente.
Le volume est constant donc la densité moléculaire aussi. Donc l’élévation de température se
traduit par une augmentation de la vitesse des molécules, c’est pourquoi on désigne le
mouvement des molécules sous le nom d’agitation thermique.
Nous pourrions nous contenter de ces deux lois mais nous allons compléter ce paragraphe par
une étude rapide des variations du volume avec la température à pression constante.
3. Variation du volume avec la température à pression constante
a) Expérience : description
Il s’agit de la description simplifiée de l’expérience historique de Gay-Lussac. Voir complément 1.
positions de l'index de mercure à
glace fondante
puis
eau bouillante
t = 0°C
t' = 100°C
n, p, V, t
dispositif de chauffage
Figure 6 : le dispositif expérimental
On plonge dans de la glace fondante un ballon contenant une quantité donnée de gaz sous la
pression atmosphérique. Le ballon se poursuit par un tube fin contenant un index de mercure
Chapitre III : Les gaz, Partie A
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qui emprisonne le gaz. On note la première position de l’index, puis on chauffe l’eau jusqu’{
ébullition. Le gaz se dilate et l’index se déplace jusqu’{ sa deuxième position.
La pression extérieure est celle de l’atmosphère qui presse l’index de mercure. Elle est constante
durant l’expérience.
b) Description de la transformation thermodynamique
Le système est une quantité n de gaz constante, c’est un système fermé. Cette expérience met en
jeu une transformation thermodynamique T monobare (voir définition plus haut, paragraphe
A.5.). Pour réaliser une transformation isobare, il faudrait chauffer très lentement et
uniformément.
Dans les deux états d’équilibre, initial et final, la pression du gaz est égale { la pression
extérieure car l’index est immobile. La transformation est décrite par le diagramme suivant :
T
n, p, V0 , t0
n, p, V100 , t100
c) Résultats expérimentaux
Les résultats expérimentaux montrent que :
V100
100 273,15
V0
0 273,15
En généralisant (très rapidement) à toute température :
V
t 273,15
constante
Lorsqu’on recommence l’expérience { une autre pression le quotient V/(t+273,15) est encore
constant, mais la valeur de la constante est modifiée : elle dépend de la pression.
d) Loi de Gay-Lussac
Enoncé : A pression constante le quotient du volume V par (t+273,15) est constant :
V
t 273,15
k ''( p)
La constante dépend de la pression et bien sûr de la quantité de gaz étudiée. La valeur 273,15 est
la même que dans la loi de Charles.
e) Interprétation microscopique
Lorsque la température augmente, le volume augmente et donc la densité moléculaire diminue.
Ce qui devrait faire diminuer la pression (paragraphe C.1.e.) ; or la pression est constante donc
l’élévation de température compense la diminution de densité moléculaire en augmentant la
vitesse des molécules. Ceci rend les chocs des molécules sur la paroi plus nombreux et plus
violents.
Nous allons conclure ce paragraphe par un peu d’histoire puis par la notion de gaz parfait.
Chapitre III : Les gaz, Partie A
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4. Conclusion
a) Un peu d’histoire
La loi de Boyle est la plus ancienne des lois que nous venons de voir, elle date de 1662. Mariotte
a repris cette étude indépendamment en 1676. Ensuite vient la loi de Charles en 1798. Puis la loi
de Gay-Lussac, en 1802, qui reprend une étude non publiée de Charles datant de 1787. Celle
d’Avogadro est publiée en 1811 et n’est pas bien accueillie mais Ampère la soutient en 1814.
En résumé, à part la loi de Boyle-Mariotte toutes ces lois datent grosso modo du début du 19e
siècle, c’est-à-dire d’environ deux siècles. Même si on peut faire remonter l’origine de la
Thermodynamique { la domestication du feu par l’Homme, son essor s’est produit durant tout le
19e siècle.
Pour consulter les portraits des scientifiques qui ont donné leurs noms à ces lois, leurs
biographies sommaires et leurs expériences historiques, voir le complément 1.
b) Validité des lois étudiées
Toutes ces lois sont valables tant que la pression reste faible c’est-à-dire n’excède pas quelques
atmosphères- quelques centaines de kilopascals- pour une précision de quelques pourcents.
Le comportement des gaz s’en écarte lorsque la pression augmente et les écarts dépendent de la
pression, de la température et de la nature du gaz. Par exemple, l’hélium, le dihydrogène, le
dioxygène et le dioxyde de carbone ne se comportent pas de la même façon les uns par rapport
aux autres et à différentes pressions ou températures. Ces écarts sont dus aux forces attractives
de Van der Waals et aux forces répulsives entre nuages électroniques.
Aux faibles pressions, la distance moyenne entre molécules est au moins de quelques
nanomètres. A cette distance les forces de Van der Waals sont négligeables donc les gaz suivent
les lois étudiées.
Mais les forces de Van der Waals augmentent lorsque la distance entres molécules diminue.
C’est-à-dire lorsque la densité moléculaire et donc la pression sont suffisamment fortes. Alors le
comportement des gaz s’écarte des lois étudiées.
De plus, lorsque la distance entre molécules est de l’ordre du dixième de nanomètre, les nuages
électroniques des molécules se repoussent fortement. Lorsque la pression augmente
indéfiniment, il est impossible de réduire indéfiniment le volume du gaz comme le prévoit la loi
de Boyle-Mariotte. Donc la taille des molécules est aussi { l’origine des écarts entre les lois
énoncées et le comportement des gaz.
c) Notion de gaz parfait
Pour qu’un gaz suive quelque soit la pression les lois que nous venons d’étudier, il faudrait que
les forces de Van der Waals soient toujours nulles et que les molécules soient ponctuelles. Les
physiciens ont créé dans ce but le modèle théorique du gaz parfait.
Définition : Un gaz parfait est formé de molécules ponctuelles et qui n’interagissent pas.
Un gaz parfait suit toujours les lois que nous venons d’étudier. Lorsque la pression tend vers
zéro, le comportement des gaz réels tend vers celui des gaz parfaits.
Chapitre III : Les gaz, Partie A
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Nous allons voir que les lois d’Avogadro-Ampère, Boyle-Mariotte et Charles peuvent se résumer
par une seule relation qui lie les variables d’état n, p, V et t, appelée équation d’état des gaz
parfaits. Et que la loi de Gay-Lussac en découle ainsi qu’une nouvelle échelle thermométrique.
D. Le modèle du gaz parfait, la température absolue
1. Rassemblement des lois
a) Loi de Charles et de Boyle-Mariotte
D’après la loi de Charles :
p
t 273,15
(1)
k '(V )
p
k '(V ) t 273,15
D’après la loi de Boyle-Mariotte :
(2)
pV
k (t )
En remplaçant la pression par l’expression (1) :
(3)
pV
V k '(V ) t 273,15
k (t )
On constate que V.k’(V) ne peut pas dépendre du volume :
pV
C t 273,15
b) Loi d’Avogadro-Ampère
La constante C ne dépend ni de la pression, ni de la température, ni du volume. Elle pourrait
dépendre de la nature du gaz mais d’après la loi d’Avogadro-Ampère, elle n’en dépend pas. Elle
ne dépend donc que du nombre de molécules. Dans les mêmes conditions de température et de
pression, un volume double, triple … contient deux, trois … fois plus de molécules donc :
C
N kB
La constante de Boltzmann kB est une constante universelle (elle ne dépend ni d’une variable
d’état ni de la nature du gaz). En utilisant la quantité de matière plutôt que le nombre de
molécules, on peut aussi écrire :
C
N kB
n N AkB
nR
La constante du gaz parfait R = NAkB est elle aussi universelle.
c) Equation d’état des gaz parfaits
L’équation d’état des gaz parfaits s’écrit donc sous l’une ou l’autre forme :
pV
N k B t 273,15
pV
n R t 273,15
Chapitre III : Les gaz, Partie A
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Nous connaissons maintenant entièrement la fonction p = f(V, t). De ce fait nous pouvons
envisager des transformations quelconques c’est-à-dire faire varier volume et température
simultanément, ne pas nous restreindre à des transformations isochores ou isothermes.
d) Loi de Gay-Lussac
La loi de Gay-Lussac, que nous n’avons pas utilisée, se déduit de l’équation d’état des gaz
parfaits :
V
t 273,15
nR
p
k ''( p)
2. La température absolue, le zéro absolu
Le facteur (t+273,15) qui apparait dans l’équation d’état des gaz parfaits conduit à définir une
nouvelle échelle thermométrique, la température absolue :
T = t + 273,15
L’unité de température absolue est le kelvin, abrégé K. Une variation de un kelvin est égale à une
variation de un degré Celsius.
Cette définition fait apparaître la température absolue comme une grandeur jamais négative. Car
la pression et le volume d’un gaz sont toujours positifs. D’où la notion de zéro absolu. Toutefois
cette interprétation du zéro absolu est liée au gaz parfait qui est un modèle, une notion limite.
Nous verrons dans un chapitre ultérieur la notion de température thermodynamique et
l’interprétation physique du zéro absolu.
Finalement l’équation d’état des gaz parfaits s’écrit :
pV
N k BT
pV
n RT
Nous venons de définir la température absolue à partir de la température Celsius. Pour
améliorer la précision, la définition actuelle fait l’inverse (voir complément 2.) et concerne la
température thermodynamique que nous verrons dans un chapitre ultérieur et nous
montrerons alors que les températures, absolue et thermodynamique, sont identiques.
3. Valeur des deux constantes universelles R et kB
a) La constante des gaz parfaits
Dans les conditions normales de température et de pression, le volume molaire des gaz parfaits
vaut 22,414 L.mol-1 :
sous T0
273,15 K et P0 101325 Pa, Vm0
D’après l’équation d’état des gaz parfaits :
R
pV
nT
pV
T n
p
Vm
T
constante
P0
Vm 0
T0
22, 414.10 3 m3
Chapitre III : Les gaz, Partie A
R
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101325
22, 414.10 3 J. K 1. mol
273,15
1
d'où
R 8,314 J. K 1. mol
1
L’unité SI de la constante R est en effet le J.K-1.mol-1 :
u( R)
Pa.m3
mol.K
N.m-2 .m3
mol.K
N.m
mol.K
J.K -1.mol-1
Remarquons que le produit pV se mesure en joules, comme un travail ou une énergie.
b) La constante de Boltzmann
La constante de Boltzmann en découle :
J.K 1.mol
mol 1
kB
R
NA
kB
8,314
J.K
6, 02.1023
en
1
1
J.K
d'où k B
1
1,38.10
23
J.K
1
Dans ce chapitre, nous avons vu que les gaz sous faible pression suivent tous les mêmes lois :
Avogadro-Ampère, Boyle-Mariotte, Charles et Gay-Lussac. Ce fait conduit à définir le modèle du gaz
parfait qui suit ces lois quelque soit la pression car il est constitué de molécules ponctuelles
n’interagissant pas entre elles. Et toutes ces lois sont rassemblées dans l’équation d’état des gaz
parfaits : pV=nRT.
Pour étudier ces lois, nous avons rencontré plusieurs types de transformations thermodynamiques,
évolutions d’un système d’un état d’équilibre vers un autre état d’équilibre par des chemins variés :
isotherme, monotherme, isobare, monobare et isochore.
Dans le chapitre suivant, l’équation d’état des gaz parfaits nous permettra de calculer leur masse
volumique et leur densité. Nous étudierons ensuite diverses situations expérimentales.