Types abstraits Abstraction Types et ensembles Types et opérations

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Types abstraits
Abstraction - motivations
Notion de type abstrait
Spécification algébrique des TA
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Abstraction
Abstraction = se libérer des détails, simplifier, généraliser
En structures de données
Modèle de la machine : ensemble de cellules mémoire
Types de base : entiers, flottants, caractères, pointeurs
Types composés : tableaux de T, n-tuples de T1, T2, …
Types abstraits : indépendant de la représentation
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Types et ensembles
Le même ensemb le peut représenter des choses de différentes natures
Ensemble des nombres :
1.date (en nombre de jours depuis le 01.01.1900)
2.poids (en grammes)
3.durée (en jours)
4.longueur (en mètres)
Mais les opérations sont différentes
date – date OK
date + date ???
poids + poids OK
poids * poids ???
durée + durée OK
longueur * longueur OK
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Types et opérations
Un type de données est caractérisé par ses valeurs ET ses opérations
On n’a pas forcément besoin de connaître les valeurs
Pour autant qu’on puisse en extraire l’information voulue par une opération
nom_jour : date --> chaîne de car actères
nom_mois : date --> chaîne de car actères
mois : date --> entier
année : date --> entier
Peu importe la représentation utilisée pour les valeurs de date :
nb. jours depuis 1.1.1900, nb. minutes depuis 1.1.1900, 3 entiers (J, M, A), etc.

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Représentation d’un objet complexe
Différentes représentations d’un graphe
•Matrice booléenne
•Listes d’adjacence
•Tableau des arcs
•etc.
Remarques
Pour chaque représentation écriture de programmes différents
p.ex. “trouver les tâches dépendant de T”
Comment se libérer de la diversité des représentations ?
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Représentations d’un graphe
The Design and Analysis of
Computer Algorithms
Aho, Hopcroft, Ullman
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Signification des opérations
Représentations identiques (deux entiers), mêmes opérations, sens différents
Opérations
opér ation Comparer (a, b : Coordonnées) {
retourner a.x = b .x et a.y = b .y }
opération Comparer(a, b : Fraction) {
retourne a.num * b .den = a.den * b .num }
prodédure Additionner (a, b : Coordonnées) {
c.x = a.x + b .x; c.y = a.y + b .y; retourner c }
procédure Additionner (a, b : Fr actions) {
c.num = a.num*b .den + b .num*a.den; c.den = a.den*b .den;
retourner c }
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Conséquences
Séparer
•la définition (spécification) abstraite du type
•son implémentation (structures de données et algorithmes)
Comment définir abstraitement les opérations ?
•approche orientée modèle
•approche algébrique
En programmation :
sépararer
•l’interface d’un type (partie publique)
• son implémentation (par tie privée)
=> programmation modulaire, encapsulation, "data hiding", programmation OO

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Deux approches
Spécification orientée modèle
Types "prédéfinis" : entier, réels, booléens, …, séquence, ensemble, fonction
Construction d’une représentation par composition des types prédéfinis
Opérations :
spécification implicite par pré et post condition
spécification explicite : opér ations sur les représentations
Approche algébrique
Uniquement basée sur les opérations
Définition des propriétés des opérations par des équations (=)
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Types abstraits algébriques
Présentation d’un TA = {signatures d’opérations} + {propriétés}
On ne dit rien sur la représentation des objets de ce type
On définit le sens des opérations par des équations
plus abstrait (général) que des algorithmes
Spécification algébrique
SORTES : noms donnés aux différents types de valeurs
PROFIL d’une opération : sorte des paramètres et du résultat
AXIOMES : équations qui spécifient le comportement des opérations
forme :
expression == expression
ou
expression == expression ET … => expression == expression
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SPECIFICATION Booléens
sortes bool
opérations
vr ai : -> bool; // constante
faux : -> bool; // constante
non _ : bool -> bool;
_et_ : bool, bool -> bool; // notation infixée
_ou_ : bool, bool -> bool;
axiomes
variables X, Y : bool; // pour tout X et tout y
1. non vr ai == faux;
2. non non X == X;
3. vr ai et X == X;
4. faux et X == faux;
5. vr ai ou X == vr ai;
6. faux ou X == X; etc.
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Utilisation des axiomes
1. non vr ai == faux;
2. non non X == X;
3. vr ai et X == X;
4. faux et X == faux;
5. vr ai ou X == vr ai;
6. faux ou X == X;
(non vr ai) ou faux
== faux ou faux (par 1.)
==faux (par 6.)
non (vr ai et faux)
== non (faux) (par 3.)
== non (non vr ai) (par 1.)
== vr ai (par 2.)

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Exemple: Cercle
SPECIFICATION Cercle
SORTES
entier , r ationnel, cercle
OPERATIONS
cercle-unité : -> cercle // centre (0, 0), r a y on 1
tr anslater : cercle, entier , entier -> cercle
elargir : cercle, entier -> cercle
perimetre : cercle -> r ationnel
r ay on : cercle -> entier
centre- x : cercle -> entier // coordonnée x du centre
centre- y : cercle -> entier // coordonnée y du centre
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Graphiquement
tx
ty
translater(cercle-unité, tx, ty)
er
elargir(C, er)
C
cercle-unité
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Axiomes
VARIABLES X, Y , Z, DR: entier; C: cercle;
Coordonnées du centre et r a y on du cercle unité
centre- x (cercle-unité) == 0
centre- y (cercle-unité) == 0
r ay on (cercle-unité) == 1
La tr anslation modifie les coordonnées du centre
centre- x(tr anslater(C, X, Y)) == centre- x(C)+X
centre- y(tr anslater(C, X, Y)) == centre- y(C)+Y
mais pas le r ay on
r ay on(tr anslater(C, X, Y)) == r a y on(C)
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Axiomes (suite)
Elargir ne modifie pas les coordonnées du centre
centre- x(elargir(C, Z)) == centre- x(C)
centre- y(elargir(C, Z)) == centre- y(C)
mais change le r ay on
r a y on(elargir(C, Z)) == r a y on(C)+Z
L’élargissement ne doit pas donner un cercle de rayon négatif
Précondition à l’application de l’opération :
PRE elargir(C, Z) == r ay on(C) + Z >= 0
elargir(cercle-unité, -2) n’est pas défini ---> fonction partielle

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Exemples
r ay on(tr anslater(elargir(cercle-unité, 12), 5, 7)
== r ay on(elargir(cercle-unité, 12)
== r ay on(cercle-unité) +12
== 1 + 12
== 13
r ay on(elargir(elargir(cercle-unité, 5), –8)) pas défini car
elargir(elargir(cercle-unité, 5), –8) défini seulement si
r a y on(elargir(cercle-unité, 5)) + –8 >= 0 mais
r a y on(elargir(cercle-unité, 5))
== r a y on(cercle-unité) + 5 == 6
et 6 + –8 pas >= 0
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SPECIFICATION Naturels
UTILISE Bool
SORTES nat
OPERATIONS
0 : -> nat; // constante
succ : nat -> nat; // successeur
_+_ : nat, nat -> nat;
_–_ : nat, nat -> nat;
_*_ : nat, nat -> nat;
_^_ : nat, nat -> nat;
_=_ : nat, nat -> bool;
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AXIOMES (nat)
VAR X, Y : nat;
1. X + 0 == X;
2. X + succ(Y) == succ(X + Y);
3. 0 – X == 0; // éviter de sortir des entiers naturels.
4. X – 0 == X;
5. succ(X) – succ(Y) == X – Y ;
6. X * 0 == 0;
7. X * succ(Y) == X + (X * Y);
8. X ^ 0 == succ(0);
9. X ^ succ(Y) == X * (X ^ Y);
10. 0 = 0 == vr ai;
11. succ(X) = 0 == faux;
12. 0 = succ(X) == faux;
13. succ(X) = succ(Y) == X = Y
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Tableaux
Un tableau est un ensemble d’éléments numérotés à partir de 0.
Les éléments n’ont aucune propriété particulière à satisfaire
spécification Element
sortes elem
spécification T ableau(Element)
utilise Bool, Nat
sortes tab
opérations
init : elem -> tab; // initialise le tableau a v ec une
v aleur elem
_ [ _ ] : tab , nat -> elem; // accéder à un élément : a[i]
_ [ _ ] ← _ : tab , nat, elem -> tab; // modifier un élément : a[i] ← x