Localisation d`Anderson d`atomes ultrafroids

87
Localisation d’Anderson
d’atomes ultrafroids
Article proposé par:
Alain Aspect , [e-mail]
Philippe Bouyer ,[e-mail]
VincentJosse ,[e-mail]
LaurentSanchez-Palencia ,[e-mail]
LaboratoireCharlesFabry de l’Institut d’Optique, CNRS /Univ.Paris-Sud, Palaiseau
Lesgazquantiques ultrafroidspermettentaujourd’hui de réaliserdes systèmesmodèles, à lafois trèsbien
contrôlésexpérimentalement,etcalculables sur le planthéorique. Al’aide d’un désordrecontrôlé,réaliséavec
des taveluresoptiques,ilsontpermisen 2008 l’observation directe de lalocalisation d’Anderson d’une onde de
matière. Leremarquable accord entre lesdonnéesexpérimentalesetlesprédictions théoriquesouvre des
perspectives sansprécédentpour réaliserdes simulateurs quantiquesdansdes situationsplus délicatesàtraiter
théoriquement.
ès sesorigines,lathéorie quantiquea connudeux
succèsmajeurs :laphysiqueatomique etlaphy-
sique de lamatièrecondensée. Ainsi,lapremière
apermisd’expliquerlastructure desatomesetlaseconde
celle desmétaux.Desquestions restentpourtantouvertes
etde nombreux phénomènes sontencoreaujourd’hui
malcompris.Parexemple,pourquoi certainsmatériaux
sont-ilsdesisolants ?Cette question,simple en appa-
rence,s’avère en faitparticulièrementardue etl’étude des
transitionsmétal-isolantasuscité de nombreux travaux,
tant théoriquesqu’expérimentaux.Dupointde vuethéo-
rique,on distinguetrois typesd’isolants fondamentaux :
i) lesisolants de bandesquirésultentde l’absencedecanal
de diffusion pour lesélectronsà certainesénergies,ii) les
isolants de Mott danslesquelslesélectrons,interagissant
fortemententre eux par répulsion coulombienne,empê-
chentmutuellementleurs mouvements,etiii) lesisolants
d’Anderson quirésultentde lalocalisation forte desélec-
tronsparinterférence destructive de cheminsde diffusion
multiple sur lesimperfectionsdu solide (voirl’article « La
localisation forte d’Anderson » danscevolume). Dupoint
de vue expérimental,malheureusement,l’observation
directe de cesdifférents typesd’isolants est pratiquement
impossible dansles systèmes usuelsde lamatièrecon-
densée car structure de bandes,interactionsetdésordre
jouentgénéralementdes rôlesimbriqués.Parailleurs,
desphénomènesparasites–telsque l’interaction avecles
phonons thermiques–viennent souventperturberforte-
mentces systèmes.Enfin,lesparamètrespertinents sont
généralementmalcontrôlés,rendantdifficilesles tests
quantitatifsde lathéorie. A celas’ajoute le faitque les
mesures sontlimitéesàdesgrandeurs macroscopiques
tellesque la conductivité,tandisque ladétermination de
ladécroissance exponentielle duprofil spatial,emblémati-
que de lalocalisation d’Anderson,reste inaccessible.
Commentalors faire le lien entre lesmodèles théori-
quesetlaréalité expérimentale ? De manièreremarqua-
ble,larencontre de laphysiqueatomique etde laphysique
de lamatièrecondensée ouvreaujourd’hui desperspecti-
ves sansprécédent.Danslesannées1980,desprogrès
spectaculairesontétéréalisésdansles techniquesde
refroidissementetde piégeage desatomes, ce quiaouvert
lavoie àlaréalisation despremiers condensats de Bose-
Einstein etde gazde Fermi dégénérésdansladeuxième
moitié desannées1990(voirlesarticles«La condensation
de Bose-Einstein en phase gazeuse »,Imagesde laphysique
2000,et«Lesgazde fermions ultrafroids»,Imagesde la
physique2005). Ces techniques sontaujourd’hui extrême-
mentbien maîtriséesetlaphysique desatomes ultra-
froidsa atteintaudébut desannées 2000 une nouvelle
frontière en établissant un lien aveclamatièrecondensée.
On peut ainsiréaliserdes systèmesdécrits exactementpar
desmodèles suffisamment simplespour êtretraitéspar
desapproches théoriques,souventprochesdesmodèles
introduits en physique de lamatièrecondensée. De plus,
ces systèmes sont remarquablementbien contrôléset
D

Localisation d’Anderson d’atomes ultrafroids
88
mesurablespardes techniquesoriginalesetcomplémen-
tairesdesoutils traditionnelsde laphysique de lamatière
condensée,parexemple parlamesure directe desfonc-
tionsd’onde. Danscecontexte,laphysique desatomes
ultrafroidsadéjàobtenuplusieurs succès spectaculaires,
avec, parexemple,l’observation d’isolants de Mott (équi-
pesde T.Hänsch, J.Bloch etT.Esslinger) etde lasuper-
fluidité fermionique (équipe de W.Ketterle). D’autres
travaux se focalisent sur lesgazen basse dimension etont
permisl’observation de gazde bosons1D(dits de Tonks-
Girardeau) qui ontlapropriétéremarquable d’être
d’autantplus fortementcorrélésqu’ils sontplus dilués
(équipe de D.Weiss),etde latransition de Berezinskii-
Kosterlitz-Thouless correspondantàune forme de super-
fluiditébosonique liée non pasàla condensation de Bose-
Einstein maisàlaprolifération de paires vortex-antivortex
dansdesgazde bosons 2D(équipe CNRS de J.Dalibard).
Une nouvelle étape aété franchie en 2008aveclapre-
mière observation directe de lalocalisation d’Anderson
d’une onde de matièreàl’aide d’atomes ultrafroidsà
l’Institut d’Optique de Palaiseauainsi qu’auLENS de
Florence. Danscetarticle,nous décrivonsl’expérience de
l’Institut d’Optique. Nous verronsnotammentque lesato-
mes ultrafroids,loin de secantonneràlaseule réalisation
de systèmesmodèles,offrentde nouvellesapproches
maisaussi desperspectives tout àfaitoriginales.
Une onde de matière
dans un désordre optique
Al’Institut d’Optique,nous nous sommesattaquésà
lalocalisation d’Anderson àune dimension, c’est-à-dire
danslasituation oùelle est laplus forte etlamieux
comprise (voirencadré1 ). Pour ce faire,il nous afallu
relever uncertain nombre de défis:i) réaliser un guide
atomiqueunidimensionnel,ii) créer une onde de matière
etinduireuntransport avecune énergie contrôlable,
iii) annulerlesinteractions,etiv)créer un désordre
contrôlé. Danscesconditions,nous avonspunon seule-
mentobserverlalocalisation d’une manière directe,mais
aussi démontrer unaccord quantitatif aveclesprédictions
théoriques.
Dansl’expérience,nous utilisons un faisceaulaser
horizontalsuffisammentdésaccordé sur le rouge de la
transition atomique. La force dipolaire induite parl’inte-
raction dulaseraveclesatomescontraintcesderniers à
resterconfinésau voisinage dumaximum d’intensité,
c’est àdireaucentre dufaisceaulaser.Onréaliseainsiun
guide atomiqueunidimensionnel :lesatomes sontconfi-
nés transversalement,mais sontlibresde se déplacerle
long de l’axe dufaisceau(voirfigure1 ).
L’onde de matière est créée àpartird’uncondensatde
Bose-Einstein d’atomesde rubidiumtrèsdilués.Le
condensatest réalisé directementdansle guide optique en
ajoutant un piégeage magnétique dansladirection longitu-
dinale (voirfigure 1a ). En éteignantle champ magnétique,
on déclenche alors l’expansion ducondensatdansle
guide (voirfigure 1b ). L’énergie de l’onde de matièreainsi
créée est un paramètrecrucial pour lalocalisation
d’Anderson (voirl’ encadré1 ). Elle est en faitdéterminée
parlesinteractions répulsivesinitialementprésentesdans
le gazpiégé car,lors despremiers instants de l’expansion,
l’énergie d’interaction est rapidementconvertie en éner-
gie cinétique d’expansion. On montreainsi que l’onde de
matière en expansion est formée d’un grand nombre de
composantesde nombre d’onde k ,dontladistribution
est une parabole inversée de nombre d’onde maxi-
mumk max .Il est pratique de quantifierk maxparle poten-
tiel chimiqueµducondensatqui peut êtreajusté en
contrôlantladensité initiale oulaforce desinteractions.
Dansl’expérience,oùmest lamasse
atomique, correspond àune vitesse maximale de quel-
quesmm/s.
L’expansion dansle guide est alors observée en ima-
geantdirectement– parfluorescencesur une caméra
CCD ultra-sensible – ladensité de lafonction d’onde ato-
miqueàdifférents tempsde propagation. Comme le
montre l’insert de lafigure2a ,en l’absence de désordre,
l’expansion est balistique, c’est-à-dire que lataille du
nuage atomiqueaugmente linéairementavecle temps.
Resteàintroduire le désordre. Pour agir sur lapropa-
gation de l’onde de matière,il suffitd’utiliserànouveaula
force dipolaire qui permetde réaliser une grande variété
de situations.Parexemple,en utilisant un nouveaufais-
ceaulaserdésaccordé cette fois sur le bleude latransition
atomique,on crée une force quirepousse lesatomesdes
zonesde lumière. En focalisant une simple nappe de
lumière perpendiculairementauguide,on crée ainsiune
lame semi- ou totalement réfléchissantesuivantl’inten-
sité lumineuseappliquée. Une succession régulière
(périodique) de lameslumineusespeut aussi être obtenue
en faisantinterférerdeux faisceaux faisant unangle
Figure 1 – Principe de l’expérience. a)Uncondensatde Bose-Einstein (en
vert-orange) est initialement réalisé dansle guide optique (en rouge) auquel
on ajouteunchamp magnétique (en gris). b)Encoupantle champ magné-
tique,on crée une onde de matièrese propageantle long duguide en pré-
sence de désordre (en bleu). La densitéatomique est directementimagée
parfluorescenceaprès untempsd’expansion donné.
D() k
km
max∼-4/
µ
2 θ

89
Localisation d’Anderson d’atomes ultrafroids
entre eux, créant unréseaude diffraction de pas
.Onréaliseainsi l’analogueatomique dufiltre
de Bragg en optique fibrée,qui peut réfléchirlesondesde
matière de vecteur d’onde . Si maintenant
on superpose plusieurs filtres,lasituation s’enrichitnota-
blement.Parexemple,en ajoutantaupremier réseau un
deuxième de pasincommensurable,on crée unréseau
apériodique (ouquasi-périodique). Untel réseaupartage
certainespropriétésavecles systèmescomplètement
désordonnésetpeut conduireaussiàdes situationsde
blocage du transport comme cela a été observéà Florence.
Dansnotre expérience,nous avons réaliséunvrai
désordre optique. Pour cela, nous avons utilisé ladiffrac-
tion d’un faisceaulaserpar un diffuseur, ce quicrée un
champ de taveluresoptiques(speckle en anglais). Celui-ci
est constitué de « grains» de lumière de taille etde forme
contrôlablesmaisde répartition spatiale etd’intensitéaléa-
toires(voirencadré2 ). Dansl’expérience,nous avons utilisé
unspeckle danslequel lesgrains sont trèsanisotropes,en
forme de lamesperpendiculairesauguide d’onde (en bleu
sur lafigure1 ). Ensuivantladiscussion précédente,on
peut voirce désordrecomme résultantde lasomme d’une
distribution de réseaux indépendants entre eux (c’est-à-dire
de positionnements relatifsindépendants). Le pointessen-
tiel est quece désordre est trèsbien contrôlé. Parexemple
son amplitude est proportionnelle àl’intensité laser,un
paramètre facile à contrôlerdanslesexpériences.
Observation de lalocalisation
d’Anderson
Nous avonsàprésent tous lesingrédients pour obser-
verlalocalisation d’Anderson. Il nous faut pourtant
encore prendre quelquesprécautions.Tout d’abord,le
champ de tavelurescontientde « hautes»barrièresde
potentiel, ce qui oblige àtravailleravecdesamplitudesde
désordretrèsfaiblesdevantl’énergie typique desparticu-
les(c’est-à-direV Rpetitdevantµ–voirencadré2)afin
que laprobabilité que l’onde soit stoppée classiquement
par un grand picuniquesoitcomplètementnégligeable.
C’est seulementà cettecondition que l’arrêtde l’expan-
sion peut résulterde l’interférence–quantique!–
destructive entre lesmultiplescheminsde diffusion de
l’onde sur lesmodulationsdupotentiel désordonné,
conformémentau scénario de lalocalisation d’Anderson.
Localisation d’Anderson àune dimension
Encadré 1
Considérons une particule se propageantdans un milieu
désordonné,représenté par un potentiel statique mais spa-
tialementaléatoire. Pour simplifierladiscussion,supposons
que le potentiel est formé d’impuretés toutesidentiques
maisdisposéesde manièrecomplètementaléatoireselon
une direction (voirfigureE1 ). Introduisonsalors laparticule
avecune énergie Eetdemandons-nous commentelle se pro-
page dansle milieu.
En mécanique quantique,laparticule est diffusée par
chaque impureté,quelle quesoit son énergie, créant une
superposition cohérente d’une onde transmise etd’une onde
réfléchie. Ainsi, à lapremière impuretérencontrée,elle se
sépare en deux.Chaque onde partielle vaensuiterencontrer
une nouvelle impureté qui lasépareànouveauen deux et
ainsi de suite. La densitéatomiquerésultealors de lasomme
de toutescescontributions.
Pour décrirece processus de multi-diffusion,on pourrait
envisager une approche semi-classiqueconsistantàrepré-
senterchaque diffusion par une probabilité de transmission
etànégligerlesphases relativesdesdifférents chemins
quantiquespossibles.Ceciconduitàune dynamique diffu-
sive,où un nuage de particulesindépendantes s’étale de
manièresub-balistique maisindéfiniment, comme dans un
mouvementbrownien classique.
En fait,on peut seconvaincre facilementque laphase
relative desdifférents cheminsde diffusion multiple est
déterminante. L’un de cescheminsconsisteàtraverserle
désordresansmodification,unautreàsubir une première
diffusion par une impureté quirenversesavitesse puis une
deuxième par une autre impureté qui larelance dansla
direction initiale (voirfigureE1 ).
La phaserelative de cescheminsest alors déterminée par
la corrélation entre lesdeux processus élémentairesde diffu-
sion,doncparlafonction de corrélation dudésordre.
Plus précisément,uncalculcompletmontre que ladiffu-
sion de laparticule peut êtretotalement supprimée etque le
profil de densité présenteune décroissance exponentielle,
ln(n ( z )) ∼–2| z |/ L loc,oùL locest lalongueur de localisation.
Ce qui est remarquable, c’est que,en 1D(ainsi qu’en 2D,
maispasen 3D), cette localisation – dite d’Anderson – alieu
même pour desénergies très supérieuresàl’amplitude
desimpuretés.Plus précisément,on trouve que
,oùest le vecteur d’onde
de laparticule etest latransformée de Fourierde lafonc-
tion de corrélation dupotentiel désordonné. Cette formule
illustrebien àlafoisle rôle descorrélationsetdesprocessus
de rétro-diffusion mentionnésci-dessus.
FigureE1 – Processus élémentairesde diffusion dans un potentiel uni-
dimensionnel formé d’impuretésaléatoires.
122 /() ˆ()/LE Ckk
toc∝
kmE=2/-
ˆ
C
+→kk–
λθ /2sin
k=2/ πθλ sin

Localisation d’Anderson d’atomes ultrafroids
90
Les taveluresoptiques,un désordrecontrôlé
Encadré 2
Un « champ de tavelures» (ou«speckle » en anglais) est
ladistribution spatiale aléatoire d’intensité quirésulte de la
diffusion d’un faisceaulasercohérentpar une surface
rugueuse. Selon le montage,ladiffusion peut se fairesoiten
réflexion soiten transmission,induisantdanslesdeux cas
une modulation spatiale de laphase etde l’amplitude du
champ lumineux.Dansl’expérience,nous avonschoisiun
dispositif en transmission :un faisceaulaserest diffracté par
unverre dépoli parattaquechimique. Les variationslocales
de son épaisseur induisent une modulation de phase dufais-
ceaudiffracté (voirfigureE2a ). L’image de ce dernierdansle
plan focal d’une lentille résulte doncde lasuperposition de
nombreusescomposantesde phasesaléatoires.La figure de
diffraction est alors spatialementaléatoire etformée de
grainsd’intensité lumineusevariable (voirfigureE2b ).
Desatomesplacésdanscechamp lumineux ressentent
un potentiel dipolaire proportionnel àl’intensité laser
où1/ Γest ladurée de vie duniveauato-
mique excité,I sat,l’intensité de saturation de latransition
atomique etδ ,ladifférence entre lafréquence laseretcelle
de latransition atomique. Le potentiel V ( r ) est doncspatiale-
mentaléatoire (c’est-à-dire désordonné).
Ce qui est remarquable, c’est quece potentiel désor-
donné est complètementcontrôlé,lesdifférents paramètres
étantdéterminésparlesloisde l’optique etl’interaction
lumière-matière,tout deux trèsbien connus.Tout d’abord,la
distribution de probabilité de l’intensité en chaque pointdes
grainsde lumière est une exponentielle décroissante,
,où〈I〉est l’intensité moyenne dans
le plan focal. Comme celle-ci est proportionnelle àl’intensité
dulaserincident,on contrôle facilementl’amplitude du
potentiel désordonné,.Ensuite,la
nature de Vdépend d’unautre paramètreajustable,le désac-
cordδ .Pour δ>0(décalage vers le bleude latransition ato-
mique),lesmaximad’intensitécorrespondentàdesmaxima
dupotentiel optique,de sorte que lesgrainsformentdesbar-
rièresde potentiel (voirfigureE2b ). Aucontraire,pour δ<0
(décalage vers le rouge),lesgrainsformentdespuits.Enfin,
lataille maisaussi laforme desgrainsde tavelure,définies
parlafonction de corrélation ,dépen-
dentde lagéométrie de lazone éclairée sur le diffuseur.On
peut doncréaliseràfaçon lesgrainsdésirés.
Dansl’expérience,nous utilisons un laserargon,de lon-
gueur d’onde λ=514 nm et une ouverture numérique
NA =0,3 suivantl’axez(voirfigureE2a ). La taille desgrains
de tavelure est alors Δ z=λ /(2NA)=0,82µ m. Afin d’obtenir
desgrainsde lumière fortementanisotropes,on peut éclai-
rerle diffuseur avecune ouverture numériquevariable sui-
vantladirection. Enutilisant une ouverture numérique plus
petitetransversalementàz ,nous obtenonsdesgrainsplus
gros selon ladirection x(97µ m) queselon la
direction y(10µ m).
La transformée de Fourierde lafonction de corrélation
dupotentiel désordonné joueunrôle fondamental dansla
localisation d’Anderson (voirencadré1 ). Dansle casd’un
verre dépoli d’ouverturecarrée etéclairéuniformément,on
trouve que est une fonction triangle (voirfigureE2c ).
Ontrouve doncques’annule pour k>k c=π/ Δ z
( k c=3,85 µ m –1 dansl’expérience) quicorrespond aumaxi-
mum desdifférence des vecteurs d’onde laserissus dudiffu-
seur (voirfigureE2a ). L’existence d’unseuil k cest doncune
propriété générale deschampsde tavelure dueàl’ouverture
numérique finie dudispositif optique.
IrVrI
Ir
sat
():() () =- Γ2
8 δ
P() exp(–/)
–
II II=〈 〉〈〉
1
VIII
R∝=〈〈〉〉 〈〉(– ) 2
CrVVrV() ()()–=〈 〉〈〉02
ˆ()Ck2
ˆ()Ck2
FigureE2–(a)Dispositif optique permettantde réaliser unchamp de tavelures.Un faisceaulaserest focalisé par une lentille sur lesatomes ultrafroids
aprèsavoirété diffusé par unverre dépoli. Il en résulteune distribution aléatoire d’intensité,etdoncun potentiel désordonné pour lesatomes,repré-
senté iciselon ladirection z . (b)Champ de taveluresobtenudansle plan focal de lalentille pour une ouverture numériqueanisotrope. Il présenteune
distribution aléatoire de grainsde lumière fortementanisotropes. (c)Fonction de corrélation dupotentiel de tavelureset satransformée de Fourier.Cette
dernièreaunsupport fini,déterminé parl’ouverture optique dudispositif (=0pour k>k c ).
ˆ()Ck2

91
Localisation d’Anderson d’atomes ultrafroids
Ensuite,le désordrecréé par taveluresoptiquesest
sensiblementplus complexe quecelui décritdans
l’encadré1oùlesimpuretés sontétroitesetpositionnées
de façon aléatoire. Notre désordre possède de fortescorré-
lations spatiales, ce quisetraduitnotammentparle fait
quesadistribution de fréquences spatiales, , pos-
sède lapropriététrèsparticulière d’avoir unsupport fini
de valeur maximale k c(voirencadré2 ). Or,en 1D, la
longueur de localisation secomportecomme
(voirl’ encadré1 ). Doit-on en conclure
que lalongueur de localisation diverge pour k>k c?Pas
tout àfaitcomme nous l’avonsmontré dans untravail
théoriquerécent.En fait,il faut tenircompte de corré-
lationsaux ordres supérieurs, ce qui montre que lalon-
gueur de localisation ne diverge pasmais subit unsaut
trèsabruptqui peut atteindre plusieurs ordresde
grandeur en . En pratique, alors que lalongueur
de localisation peut êtreraisonnablementpetite (etdonc
mesurable) pour k<k c ,elle devientgigantesque (quel-
quesmm,doncinobservable àl’échelle de l’expérience)
pour k>k c .On parle alors de seuil effectif de mobilité 1D,
car– en pratique – il secomportecomme unvraiseuil de
mobilité3D(voirl’article « La localisation forte
d’Anderson » danscevolume).
Enfin, comme nous l’avons signalé ci-des-
sus,l’onde de matière en expansion que nous
créonsdansle guide n’est pasformée d’une
seule maisd’un grand nombre de composan-
tesk .Ainsi, chaquecomposantevase locali-
seravecsapropre longueur de localisation et
le profil de l’onde de matièrerésulterade leur
superposition. Rappelonsque ladistribution
de kdansl’onde de matière est caractérisée
par un nombre d’onde maximalk max .Nous
pouvonsdoncnous attendreàobserverdes
régimesdistincts suivantles valeurs relatives
de k cetk max .
Que ditl’expérience ? Pour répondreà
cette question,nous avons répété l’expé-
rience de l’expansion ducondensat,mais
cette foisen présence dudésordre. La valeur
de k cest déterminée parle dispositif optique
(voirencadré2 ). Afin de contrôlerlavaleur de
k max ,nous pouvonsjouer sur le nombre
d’atomesdansle condensat:plus il est
grand,plus l’énergie d’interaction dansle
condensatinitial est grande,doncplus k max
est grand.
Pour un petitnombre d’atomes
(1,7×10 4 ),nous avonsk max<k c .Nous
observonsalors l’arrêt total de l’expansion
aprèsenviron une seconde (voirl’insert de la
figure2a ), ce quiconstitueune première
indication de lalocalisation. Néanmoins,
pour démontrer sansambiguïté lalocalisa-
tion d’Anderson,il nous faut rechercher un
profil exponentiel stationnaire. La figure2b
montre le profil obtenuaprèsarrêtde
l’expansion,quicorrespond à ce qui est attendu.De plus,
nous avons vérifié que lapente–qui donne lalongueur de
localisation L loc–restebien inchangée aucours du temps
(figure2c );c’est lapreuve directe de lalocalisation
d’Anderson. Cerésultat s’interprète facilement.Toutes
lescomposanteskdunuage en expansion sontefficace-
mentdiffuséesparle désordre etacquièrentaucours du
temps une enveloppe exponentielle dontlalongueur
caractéristique dépend de k .La fonction d’onde totale
résulte de leur superposition eton montre facilement
qu’elle est elle-même exponentiellementdécroissante.
Insistons sur le faitque nos résultats ne peuvent
s’expliquerpar un modèle classique. On pourraitimagi-
ner unblocage parde grandspicsdudésordre. Nous
avonsnéanmoinsécartécette possibilité en travaillant
avecde trèsfaiblesamplitudesde désordre. Ceci est
confirmé parle faitque le profil de densité (même en
l’absence de moyennage sur diverses réalisationsde
désordre) ne montreaucune chuteabrupteàdespositions
particulièrescomme on l’attendraitpour unblocage
classique. On pourraitaussi envisager un modèle semi-
classique,maiscelui-ciconduitàune diffusion (voir
encadré1 ),incompatible avecl’arrêtde l’expansion. Ce
ˆ
Ck(2)
LkkCk
loc() /(2)
2
∝ˆ
kk
c
B
Figure2–Observation de lalocalisation d’Anderson dansle régime k max<k c.a)Profil de densité
desfonctionsd’onde pour différents tempsd’expansion en présence de faible désordre
( V R / µ=0,12). Insert :évolution de lataille rmsdesprofilsen présence ounon de désordre.
b)Profil de densité en échelle semi-logarithmiqueaprèsarrêtde l’expansion ( t=1 s ). La ligne
bleuecorrespond àl’ajustementd’une fonction exponentielle aux ailes.c)Evolution de la
pente desprofilsL cen fonction du temps:lavaleur stationnairecorrespond àlalongueur de loca-
lisation L loc . d) Longueur de localisation en fonction de l’amplitude dudésordreV R .La courbe
pointillée correspond aux prédictions théoriquesetlescourbesen traitplein représententlesincer-
titudesliéesàladétermination desparamètresexpérimentaux.
ezL c
–/2