UPMC Année Universitaire 2008

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L3 PGA
Mécanique Quantique
TD n1
Expérience des fentes de Young
A. Avec des ondes lumineuses.
Cette expérience réalisée en 1802 démontre la nature ondulatoire de la lumière : les fronts
d'onde d'une onde progressive émise par une source sont pratiquement plans lorsqu'ils at-
teignent deux fentes 1 et 2. Young observa sur un écran « très éloigné » des fentes, des bandes
brillantes et sombres appelées « franges d'interférence ».
1) Interfranges
a) Rappeler à quelle condition, un point arbitraire P sur l'écran sera soit brillant (in-
terférence constructive) soit sombre (interférence destructive).
b) On admet que si l'écran est très éloigné des fentes, on peut considérer que les
rayons issus de ces dernières sont parallèles. En déduire la différence de marche au point P
c) Application : calculer l'espacement entre les franges brillantes produites sur l'écran
par deux sources de lumière jaune-orange de longueur d'onde 600 nm, sachant que la distance
séparant les fentes est de 0;8mm et l'écran est à 2mdes fentes.
2) Intensité lumineuse
On suppose que les fentes 1 et 2 sont sufsamment étroites pour que la lumière diffractée
par chaque fente se propage uniformément vers l'écran. Par conséquent, les amplitudes des
champs en un point quelconque de l'écran sont égales. En un point donné de l'écran, les
champs dus à 1 et 2 sont : E1=E0sin (!t)et E2=E0sin (!t +)où la différence de phase
dépend de la différence de marche .
a) Puisqu'une longueur d'onde correspond à un déphasage de 2, à quel déphasage
correspond la différence de marche ?
b) Calculer le champ résultant en un point quelconque de l'écran.
On rappelle que : sin (p) + sin (q) = 2 sin p+q
2cos pq 2
c) Quelle est l'amplitude de l'onde résultante  (x)? En déduire son intensité.
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3) Ordres de grandeur - Interprétation
a) On se place maintenant dans le cadre du modèle corpusculaire de la lumière. Calculer le
ux Nde photons associé à un faisceau de lumière monochromatique précédente d'intensité
sortante (ou ux d'énergie) I0= 1;5:1012 W m2.
b) On a 4photographies de l'écran de surface environ 4mm2, (cf. gure), à 4instants
successifs de l'expérience d'interférences précédente faite en envoyant les photons un à un.
Sachant que pour chacune on dénombre successivement 5, 38, 140 et 1080 impacts de pho-
tons, quel temps a duré l'expérience ? Au bout de combien de temps a été prise la première
photographie ?
c) Comment peut-on interpréter ce résultat expérimental ? En rapprochant les deux
modèles, corpusculaire et ondulatoire, comment peut-on interpréter le carré du champ élec-
trique ?
B. Avec des électrons
Si on fait l'expérience des fentes d'Young avec des électrons, on observe le même genre
de gures d'interférences
Dans ce qui suit, on note  (! r)la fonction d'onde de l'onde de de Broglie associée à un
électron de masse m.
1) Rappeler les deux relations liant l'énergie et la quantité de mouvement d'un élec-
tron à la pulsation et au vecteur d'onde de l'onde associée. Ces relations restent-elles vraies
pour un photon ?
2) En transposant les résultats du A. que peut-on dire du carré du module de  (! r)?
3) A.N. Supposons que h= 6;625:103J:s (au lieu de 6;625:1034 J:s). On lance
des billes de 66;25 gavec une vitesse de 5m=s sur un mur percé de 2fenêtres étroites,
parallèles et séparées de 0;6m. Le choix de ces fenêtres se fait au hasard à chaque tir.
Calculer la longueur d'onde associée à ces billes. En déduire un ordre de grandeur de
l'étroitesse des fenêtres. Pourquoi, avec de tels objets macroscopiques (ces billes), une telle
expérience d'interférences est en réalité impossible ? Calculer l'interfrange de la gure formée
sur un mur situé à 12 mderrière les fenêtres.
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Mécanique Quantique
TD n2
A. Fonction d'onde
On rappelle qu'en plus d'être de « carré sommable » et « normalisée », une fonction d'onde
doit également être de classe C1.
1) Une onde plane monochromatique  (x; t) = Aei(!tkx)peut-elle constituer une fonc-
tion d'onde ?
2) Soit une particule connée sur un segment de droite de longueur L(ex : modèle des élec-
trons libres dans un métal...). Le calcul conduit à une fonction d'onde du type (n= 1;2;3:::) :
 (x) = Csin (nx=L)pour 0xL
0ailleurs
a) Expliquer pourquoi  (x)peut convenir comme fonction d'onde
b) Que représente le coefcient C? Le calculer
c) Représenter la densité de probabilité pour n= 1;2et 3. Commenter.
B. Principe de correspondance
La première étape du passage à la mécanique quantique consiste à remplacer dans toute
expression, les grandeurs classiques par des « opérateurs » (linéaires) associés. Ainsi :
Grandeur classique Opérateur linéaire associé
x(y; z)bx=x
px(py; pz)bpx=i~@
@x
1) Déterminer l'opérateur b Tassocié à l'énergie cinétique d'une particule de masse m
2) L'opérateur associé à l'énergie mécanique totale T+Vest appelé opérateur hamiltonien
b
H.
Déterminer l'opérateur hamiltonien :
a) pour une particule connée sur un segment de droite (cf. A.)
b) pour un oscillateur (particule subissant une force de rappel proportionnelle à son
élongation ; on notera kla constante de proportionnalité).
c) pour l'électron dans l'atome d'hydrogène.
3) A chaque opérateur b Acorrespondent un ensemble de fonctions n(x; y; z; t)et un
ensemble de nombres (a priori complexes)anqui satisfont la relation : b A n(x; y; z; t) =
ann(x; y; z; t). On dit alors que nest la fonction propre associée à la valeur propre an.
a) Ecrire l'équation aux valeurs propres pour l'opérateur b A=i@
@x
b) Déterminer anet n. Commentez le résultat
c) Que deviennent anet nsi on impose aux fonctions propres d'être L-périodiques ?
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C. Puits de potentiel carré inni
Soit une particule de masse mdans un puits de potentiel à une dimension, carré, inni. On
rappelle que la fonction d'onde d'une telle particule peut s'écrire :
 (x) = 1
X
n=1
anun(x)où : un(x) = (q2
Lsin (nx=L)pour x2[0; L]
0pour x =2[0; L]
1) Calculer les valeurs moyennes de la position x(pour alléger les notations, on ne fera
plus gurer les "chapeaux" sur les symboles représentant les opérateurs), de l'impulsion pet
de l'énergie cinétique p2=2mdans l'état fondamental.
Rappel : sin2(x) = 1cos(2x)
2.
2) On suppose que l'état de la particule est décrit par  (x) = Cfu1(x) + u2(x)g. Calcu-
ler la constante Cpour que la fonction d'onde  (x)soit normalisée.
D. Etat fondamental de l'atome d'hydrogène
L'état fondamental de l'atome d'hydrogène est décrit par la fonction d'onde (en coordon-
nées sphériques) :
 (r; ; ') = Cer=a0
où a0, le « rayon de Bohr », est donné par 4"0~2
me2et est égal à 0;53 
A.
1) Normaliser  (r; ; ')
2) Calculer les valeurs moyennes de r,r2ainsi que l'écart quadratique moyen r.
3) Quelle est la densité de probabilité (notée dP=dr) de trouver l'électron dans une couche
sphérique de rayon ret d'épaisseur dr ? Tracer la courbe dP=dr. Quelle est la distance r0la
plus probable de l'électron au noyau ?
On donne : Z1
0
errndr =n!
n+1 où 2R+et n2N
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Mécanique Quantique
TD n3
A. Commutateurs.
1) Montrer que le commutateur du produit de deux opérateurs Aet B, avec l'opérateur C
s'écrit :
[AB; C] = A[B; C]+[A; C]B
2) Soit l'opérateur moment cinétique orbital ! L=i~! r! ^r. Ses composantes carté-
siennes obéissent aux relations de commutation :
[Lx; Ly] = i~Lz
(et permutations circulaires). Calculer le commutateur h! L2; Lzi.
3) On dénit les deux opérateurs L=LxiLy. Calculer [Lz; L+];[Lz; L]et [L+; L].
B. Mesures d'énergie.
1) Sans dégénérescence.
Soit une particule de masse mconnée sur une longueur Lpar un puits de potentiel carré
inni à une dimension. Elle est dans un état j i= (1+i)ju1i+iju2ioù fjunigest l'ensemble
des vecteurs propres de l'hamiltonien. Les fonctions propres correspondantes sont données par
(cf. TD précédent) : un(x) = q2
Lsin(nx L).
a) Représenter l'allure de la fonction d'onde (x), c'est-à-dire de sa partie réelle et de sa
partie imaginaire. Est-elle normalisée à l'unité ?
b) On veut mesurer l'énergie cinétique de cette particule décrite par cet état (x). Quels
résultats va-t-on trouver ? Avec quelles probabilités ?
2) Avec dégénérescence.
On considère un modèle d'atome à deux niveaux d'énergie : fondamental E0et excité E1.
L'état fondamental est décrit par le vecteur propre ju0iet l'état excité a une dégénérescence
double, i.e. il peut être décrit par deux vecteurs propres ju1iou ju2i. L'ensemble des vecteurs
propres junide l'hamiltonien forme une base orthonormée complète de l'espace des états de
l'atome. Quelle est cette base ici, pour cet atome ? Que trouve-t-on si on mesure son énergie
quand l'atome est dans l'un des états j isuivants :
a) j i=ju0i, où est une constante complexe.
b) j i=ju1i+ju2i, (,constantes 2C).
c) j i=ju0i+ju1i+iju2i?
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