104 PARTIE 3 MAGNÉTOSTATIQUE GB 105 7/ Energie. Effet Joule a – Forme locale Action de E ⇒ charges mobiles (densité volumique nq) dans dτ soumises à df e = nq dτ E Déplacement élémentaire dl de dτ à vitesse v durant dt : dl = v dt Travail élémentaire effectué par dF : dT = df e • dl = nq dτ E • v dt Avec j = nq v ⇒ dT = j • E dτ dt 2 Par unité de temps et de volume ⇒ Densité de puissance : p = j • E = γ E = j γ 2 Positive ⇒ puissance reçue par le conducteur C’est le générateur (en soumettant les extrémités du conducteur à une ddp) qui fournit de l’énergie aux charges - Ces charges se déplacent en luttant contre les forces de frottement - Le travail des forces de frottement est dissipé en chaleur - Cet effet calorifique est l’effet Joule •/• GB 106 b – Forme intégrale Conducteur de volume V et ddp VA − VB aux bornes Puissance totale dissipée dans le conducteur : P = ∫∫∫ j • E dτ dl V Élément de tube de courant entourant j : longueur dl , surface de base dS ( ⇒Volume dτ = dl • dS ⇒ P = ∫∫∫ j • E dl • dS ) dS dτ V dS j dl ( ) Puisque j // dl ⇒ P = ∫∫∫E • dl j • dS V P= ∫ C A→B j • dS E • d l ∫∫ S B = I ∫ E • dl = I (VA − VB ) A 2 Avec VA − VB = RI ⇒ Puissance totale dissipée dans le conducteur P = RI Unité : watt (W) C’est la forme intégrale de l’effet Joule •/• 107 Chapitre II GB INDUCTION MAGNÉTIQUE CRÉÉE PAR LES COURANTS 1/ Historique et premières définitions a – Observations Jusqu'au début des années 1820, on ne connaissait que le magnétisme des aimants naturels à base de magnétite. Par hasard, Hans Christian Ørsted (1821) montra qu'un courant électrique parcourant un fil influence l'aiguille d'une boussole située à proximité Il fut incapable d'expliquer ce phénomène André-Marie Ampère pressentit que si un courant dans un fil exerçait une force magnétique sur une aiguille de boussole, deux fils parcourus chacun par un courant devraient interagir Dans une série d'expériences, il montra que cette interaction était simple : des courant parallèles s'attirent, des courants de sens contraire se repoussent. La force entre deux courants est inversement proportionnelle à la distance qui les séparent et proportionnelle à l'intensité •/• GB 108 b – Force magnétique Deux fils parcourus par des courants ⇒ soumis à une force Intensité de la force : dépend de la distance entre les fils, de la longueur de ceux-ci et de l’intensité des courants Sens : dépend de la direction relative des courants • Fils // ∈ plan ⇒ force maximum Courants de même sens ⇒ attraction i2 i1 i1 i2 i1 i2 Sens inversé ⇒ répulsion • Fils ⊥ ⇒ force nulle Attraction Répulsion Forces maximum Force nulle - Champ E : Rend compte de l’action à distance entre charges statiques (loi de Coulomb) - Comportement des forces ici observées ⇒ champ vectoriel : induction magnétique B que crée un circuit au voisinage du second •/• 109 GB c – Champ d’induction magnétique – Loi de Laplace Force magnétique sur le circuit C1 : proportionnelle à Idl dFm i - Longueur de C1 C0 C1 - Intensité I du courant qui traverse C1 - Intensité i du courant qui traverse C0 ⇒ Caractérisation d’un élément de courant : vecteur élémentaire I dl colinéaire et de même sens que I qui parcourt C I dl x B11 Soit Idl = I dl y Force magnétique sur Idl x : dF1 = I dl x B12 B I dl 13 z B31 B21 De même pour Idl y et Idl z : dF2 = I dl y B22 dF3 = I dl z B32 B B 23 33 B ij caractérisent le champ d’induction magnétique créé en I dl par le circuit C0 B11 dl x + B21 dl y + B31 dl z ⇒ force dF m = dF1 + dF 2 + dF 3 ⇒ dF m = I B12 dl x + B22 dl y + B32 dl z B dl + B dl + B dl 23 y 33 z 13 x B11 B21 B31 dl x ⇒ dFm = I [B] dl ⇒ Matrice [B] caractérise ⇒ dF m = I B12 B22 B32 dl y l’induction magnétique B 13 B23 B33 dl z •/• GB 110 Expérimentalement : dF m ⊥ dl ⇒ dF m • dl = 0 I dl ⇒ ∀ dl : dF m B11 dl 2x + B 22 dl 2y + B33 dl 2z + (B12 + B 21 ) dl x dl y + (B 23 + B32 ) dl y dl z + (B31 + B13 ) dl x dl z ≡ 0 B11 = B22 = B33 = 0 B = − B 21 ⇒ 12 B13 = −B31 B23 = −B32 0 ⇒ [B] = − Bz By Bz 0 − Bx Bx Notation : B = B y B z B21 0 ⇒ [B] = − B21 0 B 13 − B32 − B13 B32 0 B x = B32 On pose B y = B13 Bz = B21 B − By Bx 0 Bz dl y − B y dl z ⇒ dFm = I B x dl z − Bz dl x B dl − B dl x y y x dl x B x ⇒ dFm = I dl y ∧ B y dl B z z Idl C dF m ⇒ dF m = Idl ∧ B ⇒ Loi de Laplace B est le champ d’induction magnétique en I dl Traduit l’observation : dF m ⊥I dl , I dl change de sens ⇒ dF m change de sens •/• GB 111 d – Nature du vecteur champ d’induction magnétique B I dl et B // ∈ P dF m et I dl : vecteurs polaires, P plan de symétrie dF m B// P I dl B'// Symétrie ⇒ P I dl ' ' dF m Si B'// = −B // alors dF'm = −dF m Composante // plan de symétrie change de signe dF m ∈ P , B ⊥ P dF m = dF'm ⇒ Sens de B⊥ inchangé B⊥ α P B'⊥ I dl dF m dFm = Idl B⊥ sin α Symétrie ⇒ dFm' = dFm = Idl B'⊥ sin(π − α ) = Idl B'⊥ sin α P ⇒ B'⊥ = B ⊥ ' dF m Composante ⊥ plan de symétrie inchangée α I dl ' ⇒ Vecteur induction magnétique : vecteur antisymétrique (vecteur transformé en l’opposé de son symétrique) Vecteur axial •/• GB 112 e – Force de Laplace Remarques préliminaires 1. - Tube élémentaire de courant : Section dS , Longueur dl ,Vecteur densité de courant j En tout point de ce tube I = j • dS dl ( ) ⇒ I dl = j • dS dl dS ( j ) Puisque dl // j ⇒ Idl = dl • dS j ⇒ Idl = j dτ 2. - De plus j dτ = nqdτ v = dQv ( dQ : charge de conduction dans dτ ) ⇒ dF m = Idl ∧ B ou dFm = j ∧ B dτ ou dFm = dQ v ∧ B (non relativiste v <<c) ⇒ Charge Q animée d’une vitesse v ⇒ soumise à la force de Laplace Fm = Q v ∧ B v ∧ B : même rôle que le champ E c’est le champ de Lorentz Fm = Q v ∧ B Fe = Q E REMARQUES : - Puisque F m ⊥ v ⇒ F m n’effectue aucun travail ⇒ ne peut servir à faire varier l’énergie cinétique de la particule - Unité de l’induction magnétique : le Tesla (T) •/• GB 113 2/ Forces sur les électrons de conduction – Magnétorésistance a – Définitions : Champ électromagnétique – Force de Lorentz ( ) - Lorsque E et B co-existent dans une région ⇒ E, B : champ électromagnétique ( ) - Particule de charge Q placée dans une région ou règne E, B : ⇒ soumise à une force totale F = Q E + v ∧ B : Force de Lorentz ( ) b – Magnétorésistance Conducteur : porteurs mobiles : électrons de conduction nq : densité de charge des porteurs mobiles (n : densité des porteurs, q : charge d’un porteur - Pour un électron q = −e) ( ) Conducteur soumis à E , B : charges mobiles dans dτ soumises à : ( ) - Force de Lorentz dFL = nq E + v ∧ B dτ ( v: vitesse des charges) - Interaction avec ions fixes ⇒ force de frottement fluide dFf = −a v dτ (a ≡ coefficient de frottement par unité de volume) Régime stationnaire ( v : vitesse limite constante) ⇒ dFL + dFf = 0 •/• 114 GB a ⇒ v doit satisfaire à : E = v−v∧B nq a ⇒E+v∧B= v nq Vecteur densité de courant : j = nq v n 2q 2 Conductivité du milieu (en l’absence de champ ) : γ = a ⇒E= j 1 − j ∧B γ nq ⇒ j n’a plus la direction de E ⇒ conductivité du matériau modifiée : magnétorésistance B 1 j ∧B nq • P E // = j γ nq (<0) E⊥ E E, j 1 j ∧ B et ∈ P γ nq ⇒ Introduction de deux champs – l’un // à j (champ ohmique) : E // = j γ – l’autre ⊥ à j : Champ de Hall E ⊥ = − // 1 j ∧B nq ⇒E =E +E ⊥ Magnétorésistance longitudinale et magnétorésistance transverse •/• GB 115 B c – Champ de Hall Ruban conducteur parcouru par un courant suivant sa longueur Régime stationnaire : courant caractérisé par j Charges mobiles nqdτ (< 0) B ⊥ plan du ruban ( ) dτ soumis à dF = nq v ∧ B dτ = j ∧ B dτ + j + + + + + dF H dτ _ _ EH l _ dF _ L ⇒ Polarisation du conducteur : Accumulation d’électrons (charges < 0) sur la face Face , dépeuplée d’électrons, se charge > 0 ⇒ Apparition d’un champ induit E H (champ de Hall) ⇒ E H exerce à son tour sur dτ une force dFH = nq E H dτ qui s’oppose à dF Régime permanent : dFH + dF = 0 ⇒ nq E H + j ∧ B = 0 ⇒ EH = − 1 j ∧B nq Exemple d’application : ddp V entre et : V = L E H En norme : j B = ne E H courant qui traverse la plaque : I = jlL ⇒ Densité des porteurs de charges : n = IB l Ve _ _