Feuille d`exercices : Ferromagnétisme

Feuille d'exercices : Ferromagnétisme
P Colin
15 décembre 2016
1
Choix d'un matériau
À l'aide du tableau 1, préciser si les matériaux proposés peuvent être utilisés dans :
• un transformateur basse fréquence ;
• un transformateur haute fréquence ;
• un aimant permanent.
Composition
Fer - 3%Si
Acier
Fer - 50%Ni
Samarium 1 -Cobalt
Ferrite 1
Ferrite 2
Ferrite 3
µ0 Msat (T)
2,0
1,8
1,6
1,7
0,35
0,6
0,48
Br (T)
1,0
1,0
1,0
0,75
0,1
0,4
0,15
Hc (A.m−1 )
25
4.103
1,0
5.105
18
2,2.105
30
Résistivité (µΩ.cm)
48
50
45
55
106
107
108
Table 1 Choix d'un matériau
2
Électroaimant torique
On étudie le champ créé dans l'entrefer d'un électroaimant torique (gure 1).
Celui-ci est constitué d'un matériau ferromagnétique LHI de perméabilité magnétique
µr . Tout le matériau magnétique est recouvert d'un bobinage (N spires) parcouru par
un courant d'intensité i. L'entrefer a une ouverture angulaire α susamment petite pour
supposer que les lignes de champ ont la même géométrie que si l'entrefer n'existait pas. Le
tore a un rayon moyen R et une section susamment petite pour que les rayons extérieur
et intérieur soient tous les deux assimilables à R : a R, et on suppose que les champs
sont uniformes sur une section du tore.
1. Le samarium (Sm) est l'élément chimique de numéro atomique 62, de symbole Sm. Il appartient au
groupe des terres rares. Le corps simple samarium est un métal.
1
R
i
a
α
Figure 1 Électroaimant torique (vue de dessus)
1. En précisant les approximations faites, établir une relation entre les excitations ma~ 1 dans l'entrefer et H
~ 2 dans le matériau magnétique.
gnétiques H
2. Rappeler la relation de passage pour la composante normale du champ magnétique
lors de la traversée d'une interface. Cette relation demeure-t-elle vraie en présence de
~ 1 dans l'entrefer
matière aimantée ? En déduire l'expression du champ magnétique B
de l'aimant.
~ 1 k pour N = 800, i = 5, 0 A, µr = 5, 0.103 , α =
3. Donner la valeur numérique de k B
5, 0◦ et R = 10 cm. Commenter l'inuence des diérents paramètres sur l'intensité
du champ magnétique dans l'entrefer. Conclure sur la géométrie la mieux adaptée
pour produire un champ magnétique intense.
4. Pour réaliser un électroaimant, vaut-il mieux utiliser un matériau magnétique dur ou
doux ?
3
Électroaimant cylindrique
On considère la structure schématisée sur la gure 2 : Le système est de révolution
autour de l'axe Oz ; les dimensions sont données en mm. Il existe 200 spires parcourues par
un courant d'intensité i0 . Le module du champ magnétique dans l'entrefer est noté B0 .
1. On donne sur la gure 3 la carte du champ magnétique engendré par une spire
circulaire isolée dans l'air. En utilisant la géométrie du système, les propriétés connues
des matériaux magnétiques sans ou avec entrefer, proposer une description qualitative
des lignes de champ magnétique dans l'électroaimant.
2. Quelle valeur faut-il donner à l'intensité i0 du courant pour avoir B0 = 0, 2 T.
Commenter ce résultat.
2
z
entrefer
2
10
10
5
9
200 spires circulaires
6
11
Figure 2 Électroaimant cylindrique
Figure 3 Champ magnétique d'une spire circulaire dans l'air.
4
Circuit magnétique à aimant permanent
Un aimant permanent de forme cylindrique (hachuré sur la gure 4) de longueur l et
section S est destiné à créer un champ magnétique de valeur Be = 1, 6 T, dans un entrefer
de dimensions ε = 8 mm et s = 2 cm2 auquel il est relié par un circuit magnétique en fer
doux.
On souhaite déterminer les valeurs de l et S en envisageant deux matériaux, dont les
propriétés caractéristiques sont données dans le tableau 2.
Les valeurs préconisées sont dénies pour chaque matériau en vue de rendre minimal
le volume de l'aimant 1 pour une utilisation donnée. Cet exercice vise à montrer comment
s'utilisent ces données et à en justier le choix.
1. Le volume de l'aimant est particulièrement important pour certaines utilisations : par exemple, un
casque audio utilise deux petits haut-parleurs intégrant chacun un aimant et on comprend facilement
l'intérêt de miniaturiser ceux-ci (volume mais aussi poids !).
3
Aimant
Fer doux
l
s
S
ε
Figure 4 Circuit magnétique à aimant permanent
Alliage Champ
Excitation Champ
Excitation
rémanent coercitive préconisé préconisée
Sm-Co
Ni-Al-Co
Br (T)
0,8
0,8
Hc (kA.m−1 )
500
100
Bp (T)
0,38
0,4
Hp (kA.m−1 )
300
80
Table 2 Propriétés des matériaux envisagés
1. Tracer l'allure des lignes de champ du champ magnétique dans le circuit magnétique,
y compris l'entrefer.
2. Relier les normes des champs magnétiques Ba dans l'aimant, Bf dans le fer (dans la
partie de même section S que l'aimant) et Be dans l'entrefer à l'aide du rapport des
sections k = Ss .
3. Établir une relation entre les valeurs de l'excitation magnétique Ha dans l'aimant,
Hf dans le fer et He dans l'entrefer faisant intervenir les longueurs l, ε et L, longueur
moyenne des lignes de champ dans le fer doux.
4. Montrer que l'hypothèse µLr ε permet de simplier la relation entre les excitations
et en déduire une relation linéaire entre Ba et Ha , faisant intervenir k ,l, ε et µ0 .
5. Rappeler l'allure de la caractéristique (Ba , Ha ) d'un matériau magnétique dur et
montrer que la relation précédente conduit à deux points de fonctionnement possibles.
6. Montrer que le volume Va de l'aimant est proportionnel au volume Ve de l'entrefer
et à Be2 .
7. En déduire que, pour Be et Ve xés, on minimise le volume de l'aimant si |Ha Ba | est
maximal (critère d'Evershed).
4
Les valeurs de |Ha | et |Ba | qui rendent le produit |Ha Ba | maximal correspondent aux
valeurs "préconisées" par le fabricant de l'aimant.
8. Pour chacun des matériaux dont les données sont fournies dans le tableau 2, calculer
les volumes des aimants correspondants.
9. Déterminer pour l'aimant dont le volume est le plus petit sa longueur l et sa section
S.
5
Énergie stockée dans l'entrefer d'un électroaimant
On considère un circuit magnétique torique, de section S et rayon moyen R, réalisé en
matériau ferromagnétique doux de perméabilité µ. Un entrefer d'épaisseur e est ménagé
dans le circuit magnétique. On supposera que la largeur de l'entrefer est susamment
faible pour que l'on puisse considérer que la géométrie des lignes de champ n'est pas
modiée. D'autre part, les champs sont considérés uniformes sur une section, leur valeur
étant déterminée à la distance R de l'axe du tore.
Un circuit électrique de N spires enlace le tore, il est parcouru par un courant d'intensité
I . On rappelle que l'énergie magnétique se distribue dans l'espace avec une densité volu2
mique B
2µ où B et µ correspondent au champ magnétique et à la perméabilité magnétique
au point considéré.
1. Exprimer l'énergie magnétique emmagasinée dans le fer, dont on notera L = 2πR la
longueur. On mettra le résultat en fonction du ux Φ du champ magnétique à travers
une section du tore, de l'excitation magnétique Hf dans le milieu et de la longueur
L.
2. Faire de même avec l'entrefer.
3. Exprimer le rapport entre ces deux énergies et commenter.
4. Pour un matériau de perméabilité relative µr = 1000 et un rapport Le = 0, 1, quelle
erreur commet-on en considérant que l'énergie magnétique est totalement comprise
dans l'entrefer ?
6
Cycle d'hystérésis
5
On désire tracer expérimentalement le cycle d'hystérésis (B, H) d'un matériau se présentant sous la forme d'un tore sur lequel sont bobinés deux enroulements. L'enroulement
primaire contient N1 spires et l'enroulement secondaire contient N2 spires. On note a son
rayon moyen et S sa section. Dans les conditions expérimentales, N2 i2 N1 i1 . On ne
tiendra pas compte de la résistance des enroulements. H et B sont supposés uniformes
dans le tore. On donne R0 = 1 kΩ.
1. Déterminer la relation entre H et i1 . Montrer que la tension vX sur la voie X peut
se mettre sous la forme vX = K1 i1 .
2. Proposer un montage avec des amplicateurs linéaires intégrés permettant d'avoir
i2 ∼ 0 et de réaliser la fonction intégration. On suppose qu'à t = 0, vY = 0 et B = 0.
Montrer que la tension vY sur la voie Y peut se mettre sous la forme : vY = K2 B .
Déterminer K2 .
Le générateur branché sur le primaire délivre un courant périodique de valeur moyenne
nulle et de période T . On alors observe sur l'oscilloscope la courbe suivante :
3. Commenter la forme de la courbe. À quoi correspondent les deux points A2 et A6 ?
4. Que représente la surface du cycle ?
Les composants donnent K1 = 0, 030 S.I. et K2 = 5, 0 S.I..
5. Déterminer les valeurs numériques correspondant aux points A2 et A6 .
6. Déterminer la puissance moyenne fournie par le générateur en fonction de l'aire du
cycle d'hystérésis.
6