DS n 2 de Mathématiques - Tivomaths

Premi` eres S2& S3Mercredi 14 Octobre 2015
DS n 2 de Math´ematiques
Th` emes : Second degr´ e & Fonctions de r´ ef´ erence.
Dur´ee : 50 minutes
L’usage de la calculatrice est autoris´e.
La qualit´e et la clart´e de la r´edaction entreront pour une part importante dans l’´evaluation de la copie.
Exercice 1 (≈3points)
Cet exercice est constitu´e d’un questionnaire `a choix multiples et de deux questions (cf page 2).
Exercice 2 (≈4points)
1. Soit fla fonction construite par l’enchaˆınement de fonctions de r´ef´erence donn´e en annexe (page 2).
Compl´eter les pointill´es du sch´ema afin de d´eterminer f(x).
2. Soit gla fonction d´efinie sur R+∗par :
g(x) = Ç2−1
√xå2
.
a) Compl´eter sur l’annexe (page 2) le sch´ema donnant la construction de g(x)`a l’aide de fonctions de r´ef´erence.
b) ´ Etudier le sens de variation de gsur l’intervalle ò0 ; 1
4ï.
Exercice 3 (≈5points)
R´esoudre dans Rles ´equations et l’in´equation suivantes.
(E1) : |8−3x|= 11 ; (E2) : |2x−5|=|5 + 7x|; (I1) : 4 <|4−3x|67.
Exercice 4 (≈4points)
Soit ϕla fonction d´efinie sur Rpar ϕ(x) = 
−2x2+ 5x+ 3
− |2x+ 1|.
1. D´eterminer les ´eventuelles racines du trinˆome P(x) = −2x2+ 5x+ 3.
2. ` A l’aide d’un tableau, exprimer ϕ(x)sans valeur absolue, selon les valeurs de x.
Exercice 5 (≈2points)
Cet exercice est `a traiter exclusivement sur l’annexe. Aucune justification n’est attendue.
Soit un polynˆome du second degr´e f:x∈R7→ ax2+bx +c.
En annexe (page 3), on donne un algorithme incomplet. On souhaite qu’`a partir de la donn´ee des cœfficients a,b
et cdu trinˆome fet d’un entier naturel n, cet algorithme affiche le nombre d’entiers compris entre 0et nqui sont
des racines de f.
1. Compl´eter les lignes 4, 5 et 9 de cet algorithme.
2. Sur l’annexe, pr´eciser les valeurs possibles que peut retourner cet algorithme.
Exercice 6 (≈2points)
Cet exercice est `a traiter exclusivement sur l’annexe. Aucune justification n’est attendue.
On consid`ere une fonction fd´efinie par l’algorithme donn´e en annexe (page 3) qui, `a partir de la donn´ee d’un
r´eel x, renvoie f(x), son image par f.
1. Compl´eter le tableau en annexe (page 3) par l’´etat des variables au cours de l’ex´ecution de l’algorithme pour
x=−1puis pour x= 4.
2. Sur l’annexe (page 3), exprimer f(x)`a l’aide d’une valeur absolue.
Corrig´e disponible sur http://tivomaths.free.fr/ - 1/3-L
A
T
E
X 2ε

Nom : ...........................
Annexe de l’exercice 1
Pour chaque question, une seule des trois affirmations propos´ees est exacte. Une case correctement coch´ee
rapporte 0,5 point. Aucun point n’est enlev´e en l’absence de r´eponse ou en cas de r´eponse fausse. Aucune
justification n’est attendue.
Questions R´eponses
1. On note ila fonction d´efinie sur R∗par i(x) = 1
x.iest strictement d´ecroissante sur [ 1 ; 10 ]
iest strictement croissante sur ]−∞; 0 [
i(−2) > i(3)
2. On note rla fonction racine carr´ee. rest strictement d´ecroissante sur R−
Si x > 100 alors r(x)>10
Si x∈] 0 ; 1 [, alors r(x)< x
3. Parmi les configurations suivantes, laquelle est correcte ? 
|
0
|
x
|
√x
|
x2
|
1
|
0
|
x2
|
x
|
√x
|
1
|
1
|
√x
|
x2
|
x
4. Si xest un r´eel appartenant `a l’intervalle ] 0 ; 1 [, alors :
Indication. On pourra s’aider de la question pr´ec´edente.
x2−x
> x
x2−√x <|x−√x|
√x−x2
>
x2−x
5. Rappeler la transformation de la diff´erence √a−√bsous la forme d’un quotient utilis´ee dans la preuve du sens
de variation de la fonction racine carr´ee (une ´etape interm´ediaire est attendue) :
√a−√b=..................................................................................................
6. D´eterminer (sans justifier) les entiers nv´erifiant |n−π|62: ...............................................
Annexe de l’exercice 2
1. Sch´ema de construction de f(x)`a partir de xpar enchaˆınement de fonctions de r´ef´erence :
x
X7→2X+1 .................
X7→√X
.................
X7→ 1
X
f(x) = .................
2. a) Sch´ema de construction de g(x)`a partir de xpar enchaˆınement de fonctions de r´ef´erence :
x.......................................................................................................
Tournez SVP. . .
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X 2ε

Annexe de l’exercice 5
1. Algorithme `a compl´eter :
1Entr´ees : Saisir a,bet c
2 Saisir un entier naturel n
3Initialisation : rprend la valeur 0
4Traitement : Pour iallant de .............................
5Si .............................
rprend la valeur r+ 1
Fin du Si
6
7
8Fin du Pour
9Sortie : Afficher .............................
2. Valeurs possibles en sortie de cet algorithme : ...............................................................
Annexe de l’exercice 6
Algorithme de l’exercice 6
1Entr´ee : Saisir un r´eel x
2Traitement : yprend la valeur x2
3zprend la valeur 2−y
4Si z60
5kprend la valeur −z+ 1
6Sinon
7kprend la valeur z+ 1
8Fin du Si
9Sortie : Afficher ”f(x) = ”, k
1. ´ Etat des variables au cours de l’ex´ecution de l’algorithme pour x=−1puis pour x= 4 :
x y z k
−1
4
2. Expression de f(x)`a l’aide d’une valeur absolue : f(x) = ..................................................
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