Compte rendu Ondes de surface - Pol Grasland

Grasland-Mongrain Pol
Compte rendu
Ondes de surface
1) Ondes mécaniques
Les ondes propagatives sont un phénomène assez courant en physique, que ce soit en mécanique, en
acoustique, en électromagnétisme... Ces ondes sont caractérisées par leur pulsation , leur longueurω
d'onde (avec k=2 / ), et leur amplitude a.λ π λ
On définit ainsi la vitesse de phase vΦ= /k. Si vω Φest indépendant de k, le milieu est dit non dispersif
: toutes les ondes vont à la même vitesse. Si ce n est pas le cas, le milieu est dispersif : les grandes
ondes ne vont pas à la même vitesse que les ondes courtes.
Dans ce TP, nous considérons par la suite des vagues, ou plus précisément un phénomène de
propagation d'ondes à la surface d'un fluide,
Le régime général
Dans le régime général, on a, pour une onde de pulsation , se propageant à la surface d'une coucheω
de liquide d'épaisseur h, de masse volumique , de tension superficielle , on a :ρ γ
²=(gk+ k³/ ) * tanh(kh)ω γ ρ
Démonstration :
On suppose un liquide dans une cuve à fond plat (y=0) et d'épaisseur moyenne h. Soit (x,y,t) leΦ
potentiel des vitesses. On fait aussi l'hypothèse que l'écoulement est irrotationnel, donc que le terme
(v.grad)v est négligeable. Plus précisément, on doit avoir : (v.grad)v << dv/dt, soit avec v ~ /t :ζ
²/( *t²) << /t² <=> << ζ λ ζ ζ λ
Il s'agit d'une condition de petite amplitude qui est bien vérifiée ici, donc l'écoulement est bien
irrotationnel.
Le potentiel de vitesse est solution de l'équation de Laplace :Φ
=0∆Φ
Pour résoudre cette équation, on va séparer les variables. On pose, avec u = x - c*t
(x,y,t) = f(u) * g(y)Φ
Donc l'équation de Laplace donne ainsi :
g * ²f/ ² + f * ²g/ ²y = 0δ δ δ δ
<=> 1/f * ²f/ ²u = - 1/g * ²g/ ²yδ δ δ δ
Les deux membres de l'égalité dépendent de deux variables différentes, donc sont égales à une
constante, que l'on nommera -k²

On a ainsi, avec A constante qui dépend de l'amplitude de l'onde :
(x,y,t)=Aexp(i(kx- t))*ch(ky)Φ ω
Écrivons maintenant l'équation de Bernoulli, avec φ=g*y force extérieure, g l'accélération de
pesanteur, P la pression et la masse volumique du fluide :ρ
/ t + P/ + g*y = csteδΦ δ ρ
La relation de Laplace donne, avec P0 pression extérieure au-dessus de la surface, le coefficient deγ
tension superficielle et R = ²x/ ²y courbure local de la surface :δ δ
P=P0- /Rγ
En utilisant cette rélation dans l'équation de Bernoulli et en dérivant cette dernière par rapport au
temps, on obtient :
² / ²t  / * ³y/ ²x* t + g* y/ t = 0δ Φ δ γρ δ δ δ δ δ
Or on a les conditions aux limites :
[ / y]δΦ δ y=0 = 0
[ / y]δΦ δ y=y0 = y/ tδ δ
Donc l'équation de Bernoulli devient :
[ ² / ²t - / * ³ / ²x* y + g* / y]δ Φ δ γρ δ Φ δ δ δΦ δ y=y0 = 0
Ainsi, avec la forme de trouvée grâce à l'équation de Laplace, on obtient finalementΦ
² = (g*k + *k³/ ) * tanh(kh)ω γ ρ
Les cas limites
Lors de la propagation d'ondes à la surface de l'eau, deux formes d'énergie interviennent : l'énergie
de gravité et l'énergie de tension de surface. Selon l'énergie prédominante, nous allons avoir deux
régimes limites, correspondant à des formes approchées de l'équation de dispersion.
Par la suite, nous nous intéressons au cas où la profondeur h de l'eau est grande devant la longueur
capillaire lc - qui est d'environ 3 mm pour l'eau, ce qui justifie l'approximation  qui sera définie ci-
dessous. Dans ce cas, on a :
tan(kh) ~ 1
Cas ondes de gravité : Si la longueur d'onde est grande devant la longueur capillaire, c'est à dire :
>> lλc <=> k*lc << 1, on a des ondes de gravité.
On a alors :
²~g*kω
C'est par exemple le cas de la houle sur l'océan : la profondeur de l'océan est de plusieurs milliers de
mètres, la longueur d'onde est de l'ordre de la dizaine de mètre, et la longueur capillaire d'environ
3mm pour l'eau.
Cas ondes capillaires : Si la longueur d'onde est petite devant la longueur capillaire, c'est à dire :
<< lλc <=> k*lc >>1, on a des ondes capillaires.
On a alors :
² ~ k³/ω γ ρ

On rencontre ce type d'onde pour des eaux peu profondes. C'est le cas des ricochets à la surface d'un
étang.
Valeur critique lc :
Les deux régimes se rejoignent pour une valeur critique kc=1/lc telle que :
g*kc = *kγc³/ρ
<=> kc = (g* / )ρ γ 1/2
<=> lc = (g* / )ρ γ -1/2
Des calculs plus complets, qui dépassent largement le cadre de ce TP, permettent de montrer
d'autres régimes, et expliquent notamment le déferlement des vagues.
Nous avons tenté de savoir si nous pouvions identifier les deux régimes, lors de notre expérience.
Expérience mise en oeuvre
Un moteur muni d'une est reliée à une plaque oscillante dans un cuve de 2 m de long, 80 cm de
large, et de 10 cm de profondeur d'eau environ. Au bout de la cuve une mousse amortissante
empêche la réflexion d'ondes sur la paroi. La plaque oscillante créé des vagues qui seront
visualisées par deux systèmes chacun composé d'un laser et d'un capteur CCD relié à un
oscilloscope.
Le laser envoie un rayon lumineux ; lorsqu'il n'y a pas de vague, le faisceau arrive dans le centre de
la barrette CCD ; lorsqu'il y a une vague, le faisceau est dévié le long de la barrette CCD, la
déviation étant proportionnelle à l'amplitude de la vague.
On part alors d'une situation où les deux systèmes sont côte à côte, à la distance L1 d'un point de
référence : on observe donc le même signal à l'oscilloscope. Puis nous translatons l'un des deux
systèmes ; lorsque les signaux sont inversés sur l'oscilloscope, à la distance L2, ils sont en
opposition de phase, donc les deux systèmes sont séparés d'une distance égale à une demi longueur
d'onde. Lorsque les signaux se superposent à nouveau, à la distance L3, ils sont en phase, donc les
deux systèmes sont séparés d'une distance égale à une longueur d'onde.
NB : Dans notre expérience, l'un des deux systèmes donnait un signal inverse à celui attendu, à
cause d'un problème de positionnement de la barrette CCD. Cela n'est pas vraiment gênant une fois
ce problème connu.
Expérience : longueur d'onde en fonction de la fréquence

Résultats
Les fréquences sont données par l'oscilloscope :
fréquence f (Hz) 4,28 4.86 3.70 3.11 2.93 3.43 4.45 5.08 5.46
L1 (cm) 10.95 11.55 10.45 8.05 7.7
L2 (cm) 15.55 15 15.95 16.90 17.5
L3 (cm) 19.95 18.4 21.55 25.10 27.45
(cm)λ9 6.85 11.1 17.05 19.75 13.15 8.15 6.20 5.5
On trace alors ² en fonction de k, avec =2 *f et k=2 / :ω ω π π λ
On remarque que c'est une droite, passant par 0. Nous sommes donc dans le cas ondes de gravité :
ω² ~ g*k

Si l'on trace la vitesse de phase vΦ= /k=c, en fonction de k, on obtient une décroissanceω
hyperbolique, ce qui confirme l'hypothèse du cas eau profonde.
Nous avons alors essayé d'atteindre le régime ondes capillaires en augmentant la fréquence. La
valeur critique kc vaut (g*ρ/γ)1/2. Avec γ(eau) = 73.10¯3 N/m¯1, on a kc ~ 3,7 cm-1, ce qui est à peine
trois fois supérieur à notre valeur maximum.
Mais toutes les mesures à une fréquence supérieur à 6 Hz environ se sont révélées insatisfaisantes :
l'amplitude des vagues était trop importante et le rayon laser déviait en-dehors de la barrette CCD,
et d'autre part le régime commençait à être turbulent. Nous n'avons donc pas pu observer l'autre
régime.