3ème DS de mathématiques n°5 Jeudi 19 mars 2015 1h50 – Calculatrice autorisée Exercice 1 (5 points) Les étapes des calculs sont exigées. Ecrire sous la forme + √ où a et b sont des entiers relatifs et b est l’entier positif le plus petit possible. A = √2 + 2√5 3√5 − √2 − 2 √10 + 3 ; B = 5√63 + 6√7 − √28 ; C = 4 + 3√5 Exercice 2 (8 points) On propose deux programmes de calcul : Programme A : Choisir un nombre. Ajouter 3. Calculer le carré du résultat obtenu. Programme B : Choisir un nombre. Soustraire 5. Calculer le carré du résultat obtenu. 1) On choisit 1 comme nombre de départ. a. Quel résultat obtient-on avec le programme A ? b. Quel résultat obtient-on avec le programme B ? c. Peut-on en conclure que ces deux programmes de calcul conduisent toujours aux mêmes résultats pour un même nombre de départ ? Justifier. 2) Quel(s) nombre(s) de départ faut-il choisir pour le résultat du programme A soit égal au résultat du programme B ? 3) Quel(s) nombre(s) de départ faut-il choisir pour le résultat du programme A soit 0 ? Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Exercice 3 (5 points) x désigne un nombre positif. Le triangle RST est-il rectangle en R quelle que soit la valeur de x ? Justifier la réponse. Exercice 4 (3 points) 1) Factoriser l’expressionE = ( + 5) − ( + 5)( − 5) 2) En déduire, sans calculatrice, la valeur de 1 0052 – 1 005 × 995 Exercice 5 (4 points) Le dessin n’est pas à l’échelle. Quand l’avion reliant Nantes à Toulouse n’est plus très loin de l’aéroport de Toulouse, le radar de la tour de contrôle émet un signal bref en direction de l’avion. Le signal atteint l’avion et revient au radar 0,000 3 seconde après son émission. 1) Sachant que le signal est émis à la vitesse de 300 000 km/s, vérifier, qu’à cet instant, l’avion se trouve à 45 km du radar de la tour de contrôle. 2) La direction du radar forme un angle de 5° avec l’horizontale. Calculer alors l’altitude de l’avion à cet instant, arrondie à la centaine de mètres près. On négligera la hauteur de la tour de contrôle. Exercice 6 (3 points) Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Affirmation 1 : Dans un triangle ABC rectangle en A, AB = 5 et ACB = 57°, la valeur exacte de AC est donc 5 tan 57° . Affirmation 2 : Si a est un angle aigu, cos a = √ et sin a = , alors tan a = √ . Exercice 7 (6 points) Collées sur une vitrine, de grandes affiches annoncent une réduction de 30 % sur toute la boutique. 1) Un article coûtant x € est soldé. Exprimer son nouveau prix p(x) en fonction de x. 2) Calculer le nouveau prix d’une jupe initialement à 20 €. 3) Calculer le prix initial d’un pull dont le prix soldé est 38,50 €. 4) Pour les personnes possédant une carte de fidélité, le magasin accorde une remise supplémentaire de 10 % sur le prix soldé. Déterminer le pourcentage de la réduction globale, entre le prix initial et le prix après la seconde réduction. Exercice 8 (6 points) Un peu de Physique En physique, la tension U aux bornes d’une "résistance" est proportionnelle à l’intensité I du courant qui la traverse, c’est-à-dire U = R × I où R (valeur de résistance) est le coefficient de proportionnalité. On rappelle que l’unité d’intensité est l’ampère et que l’unité de tension est le volt. Intensité I (en ampères) 0,02 0,03 0,04 0,08 Tension U (en volts) 3 4,5 6 12 1) a. Vérifier que ce tableau est un tableau de proportionnalité. Justifier clairement. b. Quel est le coefficient de proportionnalité ? c. Calculer la tension U si l’intensité I vaut 0,07 ampères. On nomme f la fonction qui donne la tension U en fonction de l’intensité I. 2) Préciser la nature de la fonction f et donner l’expression algébrique de f (I). 3) Dans le repère en annexe (à coller sur la copie), tracer la représentation graphique de la fonction f. 4) a. Lire graphiquement l’intensité quand U = 10 volts (donner une valeur approchée avec la précision permise par le graphique). b. Déterminer par le calcul la valeur exacte de l’intensité quand U = 10 volts. Annexe : repère pour l’exercice 8 (à coller sur la copie) 3ème Correction du DS de mathématiques n°5 Exercice 1 (5 points) A = √2 + 2√5 3√5 − √2 − 2 √10 + 3 A = 3√10 − 2 + 6 × 5 − 2√10 − 2√10 − 6 A= −√ C = 4 + 3√5 = 4 + 2 × 4 × 3√5 + 3√5 B = 5√63 + 6√7 − √28 B = 5 √9 × √7 + 6 √7 − √4 × √7 B = 5 × 3 × √7 + 6 √7 − 2√7 B = 15√7 + 6√7 − 2√7 = √ = 16 + 24√5 + 9 × 5 = + √ Exercice 2 (8 points) 1) a. (1 + 3)2 = 42 = 16 ou 1 + 3 = 4 et 42 = 16 Avec le programme A et 1 comme nombre de départ, on obtient 16. b. (1 – 5)2 = (– 4)2 = 16 ou 1 – 5 = – 4 et (– 4)2 = 16 Avec le programme B et 1 comme nombre de départ, on obtient 16. c. Pour 1, on obtient le même résultat, mais cela ne veut pas dire que ce soit le cas pour tout nombre, on ne peut pas généraliser à partir d’un cas. Si on choisit x, on obtient (x + 3)2 avec A et (x – 5)2 avec B. ou Si on choisit 0, on obtient (0 + 3)2 = 32 = 9 et (0 – 5)2 = (– 5)2 = 25 (x + 3)2 – (x – 5)2 = 0 [(x + 3) + (x – 5)] [(x + 3) – (x – 5)] = 0 (x + 3 + x – 5) (x + 3 – x + 5) = 0 2 2 x + 6x + 9 = x – 10x + 25 ou (2x – 2) × 8 = 0 16x = 16 2x – 2 = 0 x=1 x=1 Les résultats sont égaux si on choisit 1. 2) Soit x le nombre choisi, programme A = programme B (x + 3)2 = (x – 5)2 3) Si on choisit x, on obtient (x + 3)2 avec le programme A. (x + 3)2 = 0 lorsque x + 3 = 0 soit x = – 3 Il faut choisir (– 3) pour avoir 0. Exercice 3 (5 points) ST2 = (5x + 15)2 = 25x2 + 150x + 225 RS2 + RT2 = (3x + 9)2 + (4x + 12)2 = 9x2 + 54x + 81 + 16x2 + 96x + 144 = 25x2 + 150x + 225 donc ST2 = RS2 + RT2 d’après le théorème de Pythagore, RST est donc rectangle en R pour tout x. Exercice 4 (3 points) 1) E = ( + 5) − ( + 5)( − 5) = ( + 5)( + 5) − ( + 5)( − 5) = E = ( + 5)[( + 5) − ( − 5)] = ( + 5)( + 5 − + 5) = ( + ) 2) Pour x = 1 000, E = (1 000 + 5)2 – (1 000 + 5) × (1 000 – 5) = 1 0052 – 1 005 × 995 et E = 10( + 5) = 10 × (1 000 + 5) = 10 × 1 005 = 10 050 2 donc 1 005 – 1 005 × 995 = 10 050 Exercice 5 (4 points) = 1) et distance = 2 × RA car le signal va à l’avion puis revient donc 2 RA = vitesse × temps = 300 000 × 0,0003 = 90 km d’où RA = 90 : 2 = 45 km L’avion se trouve bien à 45 km du radar de la tour de contrôle 2) Dans AIR rectangle en I, sin ARI = donc AI = AR × sin ARI = 45 sin 5 ≈ 3,9 km L’altitude de l’avion à cet instant est 3,9 km. Exercice 6 (3 points) L’affirmation 1 est fausse. Dans le triangle ABC rectangle en A, tan ACB = donc AC = = L’affirmation 2 est vraie. tan a = = √ 1 2 2 √3 = × = 1 √3 = √3 3 . Exercice 7 (6 points) 1) p(x) = 1 − = 0,7 . 2) p(20) = 0,7 × 20 = 14. Le prix soldé de cette jupe est 14 €. 3) On cherche x tel que p(x) = 38,50 soit 0,7 x = 38,5 donc x = 38,5 : 0,7 = 55 Ce pull coûtait initialement 55 € 4) 0,7 × 1 − = 0,7 × 0,9 = 0,63 = La remise totale est de 37 % = =1− Exercice 8 (6 points = 1+0.5+1 + 1 + 1 + 0.5+1) 1) a. 3 : 0,02 = 150 ; 4,5 : 0,03 = 150 ; 6 : 0.04 = 150 et 12 : 0,08 = 150 Les quatre quotients sont égaux donc c’est bien un tableau de proportionnalité. b. Le coefficient de proportionnalité est 150. c. U = 150 × I = 150 × 0,07 = 10,5 ou 0,07 = 0,03 + 0,04 donc U = 4,5 + 6 = 10,5 La tension U est 10,5 volts si l’intensité I vaut 0,07 ampères. 2) f est linéaire et f (I) = 150 I. 3) On trace la demi-droite qui passe par l’origine du repère et le point de coordonnées (0,08 ; 12) 4) a. Graphiquement, l’intensité est d’environ 0,065 ampères quand U = 10 volts b. On cherche I tel que 150 I = 10, donc I = = L’intensité est de ampères.