® Correction DS no12

➤Correction DS no12
I Chauffage d’une maison par pompe `a chaleur [Agro 06]
1.a) L’´evolution de l’air dans la maison est isobare et la maison a une capacit´e thermique C:
dH=(δQP=δQ =−α.C.(T−T0).dt
C.dT⇒dT
dt+α.T =α.T0
1.b) L’´equation diff´erentielle est une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre `a coeffi-
cients constants.
Solution particuli`ere de l’´equation avec second membre : Tp=T0
Solution g´en´erale de l’´equation homog`ene : Tg=A. exp(−α.t)
Solution g´en´erale de l’´equation :
T=T0+A. exp(−α.t)CI : T(0)=Ti −−−−−−−−−→
soit : Ti=T0+AT=T0+ (Ti−T0).exp(−α.t)
2) En r´egime permanent, le tansfert thermique apport´e par la pompe `a chaleur `a la maison
compense le transfert thermique re¸cu par la maison de la part de l’atmosph`ere ext´erieure :
dH=δQtotal =δQ +δQpompe = 0 ⇒ −α.C.(TC−T0).dt+PC.dt= 0
Soit : PC=α.C.(TC−T0) = 1,5.104W= 15 kW
3.a) Cycle id´eal r´eversible : cycle de Carnot :
•A→B: transformation isotherme (avec contact avec la
source chaude de temp´erature TC) ;
•B→C: transformation adiabatique r´eversible ;
•C→D: transformation isotherme (avec contact avec la
source froide de temp´erature TF) ;
•D→A: transformation adiabatique r´eversible.
Il n’y a pas de transfert thermique sur les adiabatiques,
en revanche il y a un ´echange thermique r´eversible sur les
isothermes car le fluide calo-porteur et la source (froide ou
chaude) sont `a la mˆeme temp´erature.
P
V
A
B
CD
3.b) Sur un tel cycle r´eversible (cS= 0), puisque Uet Ssont des fonctions d’´etat et que
´eS=´eSF+´eSC=QF
TF
+QC
TC
:
Premier principe : ∆U=W+Q= 0 ⇒W+QC+QF= 0 (I)
Deuxi`eme principe : ∆S=´eS+
cS= 0 ⇒QF
TF
+QC
TC
= 0 (II)
3.c) Par d´efinition : eth =−QC
W
(I)
=QC
QC+QF
(⋆)cycle r´eversible −−−−−−−−−−→
donc (II) utilisable eth,C =TC
TC−TF≃19,7
Particularit´e d’une pompe `a chaleur :
L’efficacit´e est sup´erieure `a 1 (si ce n’´etait pas le cas, la pompe n’aurait aucun int´erˆet).

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3.d) Alors que la chaleur QCest d´efinie n´egativement car elle est effectivement c´ed´ee par le
fluide `a la source chaude, la puissance associ´ee PCest d´efinie positivement d’o`u :
eth,C =−QC
W=−QC ∆t.∆t W=PC PM⇒ PM=PC eth,C
= 1,02 kW = 1 020 W(3 C.S.)
3.e) Puisque ´eSF=QF
TF
et ´eSC=QC
TC
:k=
´eSF
´eSC
=−QF
TF
.TC
QC
(⋆⋆)
Dans le cas d’un cycle r´eversible, l’´egalit´e de Clausius-Carnot QF
TF
+QC
TC
= 0 impose : kC= 1
4.a) La relation (⋆) ´etant valable que le fonctionnement soit r´eversible ou non :
eth =−QC
W=QC QC+QF
=1
1 + QF
QC
(⋆⋆)
=1
1−k.TF
TC
⇒eth =TC
TC−k.TF
V´erification num´erique : eth =TC
TC−k.TF
=295
295 −0,79 ×280 ≃4,0
4.b) Le deuxi`eme principe appliqu´e `a une machine thermique conduit `a l’in´egalit´e de Clausius :
´eSF+´eSC+cS= 0 ⇒´eSF+´eSC≤0
Puisque QC<0 et QF>0 pour une pompe `a chaleur, on a ´eSc<0 et ´eSF>0, soit :
´eSF
´eSC
+ 1 ≤0⇒k−1≥0⇒k≤1Soit, puisque −−−−−−−→
k≥0par d´ef. 0≤k≤1
•k=kC= 1 : aucune cr´eation d’entropie : fonctionnement r´eversible de la pompe
•k= 0 :QF= 0 : la pompe `a chaleur ne fonctionne pas.
4.c) Bilan entropique : cS=−´eSF−´eSC=´eSC.(k−1) ⇒cS=−QC
TC
.(1 −k)
Puisque 1 −k≥0 et −QC>0, on v´erifie que cS≥0 (deuxi`eme principe de la thermodyna-
mique).
4.d) Que le fonctionnement soit r´eversible ou non, le raisonnement effectu´e en 3.d) est valable :
P′
M=PC
eth
=PC.1−k.TF
TC= 5,00 kW = 5 000 W(3 C.S.)
II G´en´erateur `a turbine `a gaz [e3a 11]
1) •Pour le syst`eme ferm´e :
- `a l’instant t:mΣ(t) = m0(t) + δme;
- `a l’instant t+ dt:mΣ(t+ dt) = m0(t+ dt) + δms.
•Comme la masse du syst`eme ferm´e se conserve mΣ(t) = mΣ(t+ dt) soit :
m0(t) + δme=m0(t+ dt) + δms.
Par ailleurs, en r´egime permanent la masse de fluide dans le syst`eme ouvert est constante
(m0(t) = m0(t+ dt)), donc le bilan pr´ec´edent se simplifie en : δme=δms≡δm
2) •Le fluide en amont exerce sur le fluide du syst`eme Σ une pression Pesur une section Se,
soit une force PeSedirig´ee dans le sens de l’´ecoulement. Pendant dt, le d´eplacement du fluide `a
l’entr´ee vaut DD′, donc le travail fourni a pour expression :
δWamont =PeSe.DD′=Pe.V{AA′D′D}=Pe.ve.δme=wamont.δm
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•Le fluide en aval exerce sur le fluide du syst`eme Σ une pression Pssur une section Ss, soit une
force PsSsdirig´ee dans le sens opppos´e `a l’´ecoulement. Pendant dt, le d´eplacement du fluide `a
l’entr´ee vaut CC′, donc le travail fourni a pour expression :
δWaval =PsSs.CC′=Ps.V{BB′C′C}=Ps.vs.δms=waval.δm
•Le travail massique total des forces de pression sur Σ pendant dta pour expression :
wp=δWp
δm =wamont +waval =Pe.ve−Ps.vs
3) •Les ´energies cin´etique et potentielle ´etant n´egligeables, le premier principe pour le syst`eme
ferm´e Σ s’´ecrit :
dUΣ=δW +δQ =δWp+δWu+δQ
•Expression de dUΣ:
- `a l’instant t:UΣ(t) = UΣ0(t) + δUe=UΣ0(t) + ue.δm ;
- `a l’instant t+ dt:UΣ(t+ dt) = UΣ0(t+ dt) + δUs=UΣ0(t+ dt) + us.δm
Par cons´equent, en r´egime permanent :
dUΣ= ( UΣ0(t+ dt) + us.δm)−(
UΣ0(t) + ue.δm) = (us−ue).δm
•En introduisant le travail utile massique wuet le transfert thermique massique q, tels que δWu=
wu.δm et δQ =q.δm, l’expression du premier principe devient, en introduisant l’enthalphie
massique (h=u+P.v) :
(us−ue).δm = (Pe.ve−Ps.vs).δm +wu.δm +q.δm simplification −−−−−−−→
par δm hs−he=wu+q
4) Les lois de Laplace concernent un gaz parfait subissant une adiabatique r´eversible (donc
une isentropique). D`es lors :
dHGP 2e
=
LJ CP.dT2e
=
IdTh T.
dS+V.dP
dUGP 1e
=
LJ CV.dT1e
=
IdTh T.
dS−P.dV
γ=CP
CV
−−−−→ dHGP
dUGP
=γ=−V
P.dP dV
Soit : dP
P+γ. dV V= 0 ⇒dln(P V γ) = 0 ⇒P V γ=Cte P V =nRT
−−−−−−→ P1−γ.T γ=Cte
Ou encore : P
γ−1
γ
T=Cte (⋆)
5) •On en d´eduit, pour l’isentropique 1 →2 (qui concerne un gaz parfait) :
P
γ−1
γ
1
T1
=Cte =P
γ−1
γ
2
T2⇒T2=P2 P1γ−1
γ
.T1⇒T2=λ.T1
•De mˆeme, et comme P3=P2et P4=P1, pour l’isentropique 3 →4 :
P
γ−1
γ
3
T3
=Cte =P
γ−1
γ
4
T4⇒T4=P4 P3γ−1
γ
.T3=P1
P2γ−1
γ
.τ.T1⇒T4=τ.T1
λ
A.N. : λ=P2
P1γ−1
γ
= 1,93 τ=T3
T1
= 4,33 T2= 579 K T4= 673 K
6) Pour le gaz parfait, la deuxi`eme loi de Joule s’´ecrit : ∆h=cP.∆T.
Le compresseur fonctionne de mani`ere isentropique et r´eversible, donc adiabatique.
Le premier principe appliqu´e au fluide en ´ecoulement pour la transformation adiabatique r´eversible
1→2 s’´ecrit :
h2−h1=(cP.(T2−T1) = cP.T1.(λ−1)
w12 +
q12 =w12 ⇒w12 =cP.T1.(λ−1) = 279,2kJ.kg−1
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7) Dans la chambre de combustion le gaz ne re¸coit pas de travail : w23 = 0, donc le premier
principe s’´ecrit :
h3−h2=(cP.(T3−T2) = cP.T1.(τ−λ)
w23 +q23 =q23 ⇒q23 =cP.T1.(τ−λ) = 720,8kJ.kg−1
8) Le travail fourni par le gaz `a la turbine s’exprime comme pr´ec´edemment. Comme la turbine
fonctionne de mani`ere isentropique r´eversible, donc adiabatique :
h4−h3=
cP.(T4−T3) = cP.T4.1−T3
T4
w34 +
q34 =w34 =−wT
⇒wT=cP.τ.T1
λ.(λ−1) = 626,7kJ.kg−1
9) •Le travail r´ecup´er´e par la turbine sert `a faire fonctionner le compresseur et l’altenateur :
wT=wa+wC=wa+w12 ⇒wa=wT−w12 =cP.τ.T1
λ.(λ−1) −cP.T1.(λ−1)
Soit : wa=cP.T1.(λ−1).τ
λ−1=cP.T1.τ+ 1 −λ−τ λ= 347,5kJ.kg−1
•´ Etude de waen fonction de λ:
∂wa
∂λ =cP.T1τ λ2−1;∂wa ∂λ (λ<√τ)
>0 ; ∂wa
∂λ (λ=√τ)
= 0 ; ∂wa
∂λ (λ>√τ)
<0
Donc : waest maximal pour λ=λmax =√τ= 2,08 .
Cette valeur est proche de la valeur utilis´ee (1,93). On peut ´egalement calculer : wa,max =
351,0kJ.kg−1, qui est une valeur sup´erieure `a la valeur calcul´ee mais tr`es proche de celle-ci.
10) On calcule : R=wC
wa
=cP.T1.(λ−1)
cP.T1.(λ−1).τ
λ−1⇒ R =λ
τ−λ= 0,80
Commentaire : Ici wa> wc, et la turbine fournit plus d’´energie `a l’alternateur qu’au compres-
seur. D’apr`es l’expression de R, ce rapport est :
- fonction croissante de λ: plus la compression 1 →2 est importante, plus la part de wTutilis´ee
par le compresseur est ´elev´ee ;
- et fonction d´ecroissante de τ: plus l’´ecart de temp´erature maximal est important, plus la part
de wTfournie `a l’alternateur est importante.
11) •La grandeur utile du g´en´erateur `a turbine est le travail fourni `a l’alternateur caract´eris´e
par wa, et la grandeur coˆuteuse est le transfert thermique q23 fourni par la combustion. Donc :
η=wa
q23
=
cP.T1.τ
λ−1.(λ−1)
cP.T1.(τ−λ)=λ−1 λ⇒η= 1 −1 λ= 1 −T1 T2
= 0,482
•Pour le cycle moteur de Carnot entre les mˆemes temp´eratures extrˆemes T1= 300 Ket
T3= 1 300 K, le rendement vaut ηC= 1 −T1
T3
= 0,769
Cl : le rendement du cycle de Brayton est nettement inf´erieur.
12) Comme w41 = 0 par hypoth`ese, le premier principe donne :
h1−h4=
cP.(T1−T4) = cP.T1.1−τ
λ
w41 +q41 =q41 ⇒q41 =cP.T1.1−τ
λ=−373,3kJ.kg−1
Cette ´energie est n´egative donc le gaz fourni de l’´energie au milieu ext´erieur. Cette ´energie est
directement r´ecup´erable sous forme de chaleur (principe de la cog´en´eration) mais pas de travail,
car d’apr`es le second principe on ne peut pas envisager de transformation dont le seul effet soit
la conversion de chaleur en travail.
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On peut cependant r´ecup´erer une partie de cette chaleur et la convertir indirectement en travail,
en utilisant le principe d’un « régénérateur ».
13) On utilise la relation ∆h=cp.∆Tet les définitions des rendements isentropiques, où les
transformations isentropiques ont été étudiés dans la partie précédente.
• Pour le compresseur : ηC=h2−h1
h2′−h1
=T2−T1
T2′−T1
=(λ−1).T1
T2′−T1
Soit : T2′=T1.1 + λ−1
ηC= 649 K
• Pour la turbine : ηT=h4′−h3
h4−h3
=T4′−T3
T4−T3
=T4′−τ.T1
τ.T1.1
λ−1
Soit : T4′=τ.T1.1 + ηT.1
λ−1= 767 K
14) La transformation 1→2′étant encore adiabatique, l’expression de w12′est identique à celle
w12, la température T2étant remplacée par T2′:
w12′=cP.(T2′−T1) = cP.T1.λ−1
ηC
= 349,0kJ.kg−1
15) • En adaptant les calculs précédents : q2′3=cP.(T3−T2′) = cP.τ.T1−T1.1 + λ−1
ηC
Soit : q2′3=cP.T1.τ−1−λ−1
ηC= 651,0kJ.kg−1
• De plus : w′
T=−w34′=cP.(T3−T4′) = cP.τ.T1.ηT.1−1
λ
Soit : w′
T=cP.T1.τ.ηT
λ.(λ−1) = 532,7kJ.kg−1
16) • Le travail récupéré par la turbine sert à faire fonctionner le compresseur et l’altenateur :
w′
T=w′ a+w′ C=w′ a+w12′⇒w′
a=w′ T−w12′=cP.T1.τ.ηT
λ.(λ−1) −cP.T1.λ−1 ηC
Soit : w′
a=cP.T1.(λ−1).τ.ηT
λ−1 ηC
Soit : w′
a=cP.T1.ηT.τ +1
ηC−ηT
τ
λ−λ ηC= 183,7kJ.kg−1
• De l’expression de w′
a, on déduit : ∂w′
a
∂λ =cp.T1.ηT.τ λ2−1 ηC
Cette dérivée s’annule pour λ=√ηC.ηT.τ, donc le rendement maximal correspond à :
λ′
max =√ηC.ηT.τ =λ′
max =√ηC.ηT.λmax = 1,72 < λmax
Cette valeur reste proche de la valeur utilisée en pratique λ= 1,93.
17) R′=w′
C
w′
a
=((((((
(
cP.T1.(λ−1)
ηC
.1
((((((
(
cP.T1.(λ−1).τ.ηT
λ−1 ηC⇒ R′=λ
τ.ηT.ηC−λ= 1,9
• Comme ηC.ηT<1:R′=λ
τ.ηT.ηC−λ>λ τ−λ=R
Du fait des sources des irréversibilités, la répartition de w′
Test moins bonne, car la turbine fournit
moins de travail alors que le compresseur en absorbe plus.
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