® Correction DS no12

➤
I
Correction DS no12
Chauffage d’une maison par pompe à chaleur
[Agro 06]
1.a) L’évolution de l’air dans la maison est isobare et la maison a une capacité thermique C :
dH =
(
δQP = δQ = −α.C.(T − T0 ).dt
⇒
C.dT
dT
+ α.T = α.T0
dt
1.b) L’équation différentielle est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.
Solution particulière de l’équation avec second membre : Tp = T0
Solution générale de l’équation homogène : Tg = A. exp(−α.t)
Solution générale de l’équation :
CI : T (0)=Ti
T = T0 + A. exp(−α.t)
−−−−−−−−−→
soit : Ti =T0 +A
T = T0 + (Ti − T0 ). exp(−α.t)
2) En régime permanent, le tansfert thermique apporté par la pompe à chaleur à la maison
compense le transfert thermique reçu par la maison de la part de l’atmosphère extérieure :
dH = δQtotal = δQ + δQpompe = 0
Soit :
⇒
−α.C.(TC − T0 ).dt + PC .dt = 0
PC = α.C.(TC − T0 ) = 1, 5.104 W = 15 kW
3.a) Cycle idéal réversible : cycle de Carnot :
• A → B : transformation isotherme (avec contact avec la
source chaude de température TC ) ;
• B → C : transformation adiabatique réversible ;
• C → D : transformation isotherme (avec contact avec la
source froide de température TF ) ;
• D → A : transformation adiabatique réversible.
Il n’y a pas de transfert thermique sur les adiabatiques,
en revanche il y a un échange thermique réversible sur les
isothermes car le fluide calo-porteur et la source (froide ou
chaude) sont à la même température.
P
B
A
C
D
V
c
3.b) Sur un tel cycle réversible ( S = 0), puisque U et S sont des fonctions d’état et que
QC
QF
é
é
é
+
:
S = SF + SC =
TF
TC


∆U = W + Q = 0 ⇒ W + QC + QF = 0 (I)

 Premier principe :
é
c


 Deuxième principe : ∆S = S + S = 0
⇒
QC
QF
+
=0
TF
TC
(II)
QC
TC
−QC (I)
cycle réversible
=
(⋆) −−−−−−−−−−→ eth,C =
≃ 19, 7
W
QC + QF
TC − TF
donc (II) utilisable
Particularité d’une pompe à chaleur :
L’efficacité est supérieure à 1 (si ce n’était pas le cas, la pompe n’aurait aucun intérêt).
3.c) Par définition : eth =
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3.d) Alors que la chaleur QC est définie négativement car elle est effectivement cédée par le
fluide à la source chaude, la puissance associée PC est définie positivement d’où :
eth,C =
−QC
−QC ∆t
PC
=
.
=
W
∆t W
PM
⇒
PM =
PC
= 1, 02 kW = 1 020 W
eth,C
(3 C.S.)
é SF Q F TC
QC
QF
é
et S C =
: k = é = −
(⋆⋆)
.
3.e) Puisque S F =
TF
TC
TF Q C
SC
QF
QC
Dans le cas d’un cycle réversible, l’égalité de Clausius-Carnot
+
= 0 impose : kC = 1
TF
TC
4.a) La relation (⋆) étant valable que le fonctionnement soit réversible ou non :
é
eth =
−QC
QC
=
=
W
QC + QF
1
1
(⋆⋆)
=
QF
TF
1+
1 − k.
QC
TC
⇒
eth =
TC
TC − k.TF
TC
295
≃ 4, 0
=
TC − k.TF
295 − 0, 79 × 280
4.b) Le deuxième principe appliqué à une machine thermique conduit à l’inégalité de Clausius :
Vérification numérique : eth =
é
é
c
SF + SC + S = 0
⇒
é
é
SF + SC ≤ 0
é
é
Puisque QC < 0 et QF > 0 pour une pompe à chaleur, on a S c < 0 et S F > 0, soit :
é
SF
é
SC
+1≤0
⇒
k−1≥0
⇒
k≤1
Soit, puisque
−−−−−−−→
k≥0 par déf.
0≤k≤1
• k = kC = 1 : aucune création d’entropie : fonctionnement réversible de la pompe
• k = 0 : QF = 0 : la pompe à chaleur ne fonctionne pas.
c
é
é
é
4.c) Bilan entropique : S = − S F − S C = S C .(k − 1)
⇒
c
S=−
QC
.(1 − k)
TC
c
Puisque 1 − k ≥ 0 et −QC > 0, on vérifie que S ≥ 0 (deuxième principe de la thermodynamique).
4.d) Que le fonctionnement soit réversible ou non, le raisonnement effectué en 3.d) est valable :
PC
TF
′
PM =
= PC . 1 − k.
= 5, 00 kW = 5 000 W (3 C.S.)
eth
TC
II
Générateur à turbine à gaz
[e3a 11]
1) • Pour le système fermé :
- à l’instant t : mΣ (t) = m0 (t) + δme ;
- à l’instant t + dt : mΣ (t + dt) = m0 (t + dt) + δms .
• Comme la masse du système fermé se conserve mΣ (t) = mΣ (t + dt) soit :
m0 (t) + δme = m0 (t + dt) + δms.
Par ailleurs, en régime permanent la masse de fluide dans le système ouvert est constante
(m0 (t) = m0 (t + dt)), donc le bilan précédent se simplifie en : δme = δms ≡ δm
2) • Le fluide en amont exerce sur le fluide du système Σ une pression Pe sur une section Se ,
soit une force Pe Se dirigée dans le sens de l’écoulement. Pendant dt, le déplacement du fluide à
l’entrée vaut DD′ , donc le travail fourni a pour expression :
δWamont = Pe Se .DD′ = Pe .V{AA′ D′ D} = Pe .ve .δme = wamont .δm
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• Le fluide en aval exerce sur le fluide du système Σ une pression Ps sur une section Ss , soit une
force Ps Ss dirigée dans le sens oppposé à l’écoulement. Pendant dt, le déplacement du fluide à
l’entrée vaut CC ′ , donc le travail fourni a pour expression :
δWaval = Ps Ss .CC ′ = Ps .V{BB ′ C ′ C} = Ps .vs .δms = waval .δm
• Le travail massique total des forces de pression sur Σ pendant dt a pour expression :
wp =
δWp
= wamont + waval = Pe .ve − Ps .vs
δm
3) • Les énergies cinétique et potentielle étant négligeables, le premier principe pour le système
fermé Σ s’écrit :
dUΣ = δW + δQ = δWp + δWu + δQ
• Expression de dUΣ :
- à l’instant t : UΣ (t) = UΣ0 (t) + δUe = UΣ0 (t) + ue .δm ;
- à l’instant t + dt : UΣ (t + dt) = UΣ0 (t + dt) + δUs = UΣ0 (t + dt) + us .δm
Par conséquent, en régime permanent :
+ u .δm) = (u − u ).δm
dt) + us .δm) − (
+
dUΣ = (
UΣ0 (t
UΣ0 (t)
e
s
e
• En introduisant le travail utile massique wu et le transfert thermique massique q, tels que δWu =
wu .δm et δQ = q.δm, l’expression du premier principe devient, en introduisant l’enthalphie
massique (h = u + P.v) :
(us − ue ).δm = (Pe .ve − Ps .vs ).δm + wu .δm + q.δm
simplification
−−−−−−−→
par δm
hs − he = wu + q
4) Les lois de Laplace concernent un gaz parfait subissant une adiabatique réversible (donc
une isentropique). Dès lors :

2e
2e
+ V.dP

C
dS
 dHGP = CP .dT = T.
γ= CP
V dP
dHGP
LJ
IdTh
=γ=− .
−−−−V→
e
e
1
1

dUGP
P dV
− P.dV
 dUGP = CV .dT = T.
dS
LJ
Soit :
IdTh
dP
dV
+ γ.
=0
P
V
Ou encore :
P
dln(P V γ ) = 0
⇒
⇒
P V γ = Cte
P V =nRT
−−−−−−→
P 1−γ .T γ = Cte
γ−1
γ
T
= Cte (⋆)
5) • On en déduit, pour l’isentropique 1 → 2 (qui concerne un gaz parfait) :
γ−1
γ−1
γ−1
P2 γ
P2 γ
P1 γ
= Cte =
⇒ T2 =
.T1 ⇒
T2 = λ.T1
T1
T2
P1
• De même, et comme P3 = P2 et P4 = P1 , pour l’isentropique 3 → 4 :
γ−1
γ−1
γ−1
γ−1
P4 γ
P4 γ
P3 γ
P1 γ
= Cte =
⇒ T4 =
.T3 =
.τ.T1
T3
T4
P3
P2
A.N. :
λ=
P2
P1
γ−1
γ
= 1, 93
τ=
T3
= 4, 33
T1
T2 = 579 K
⇒
T4 =
τ.T1
λ
T4 = 673 K
6) Pour le gaz parfait, la deuxième loi de Joule s’écrit : ∆h = cP .∆T .
Le compresseur fonctionne de manière isentropique et réversible, donc adiabatique.
Le premier principe appliqué au fluide en écoulement pour la transformation adiabatique réversible
1 → 2 s’écrit(:
cP .(T2 − T1 ) = cP .T1 .(λ − 1)
h2 − h1 =
⇒
w12 = cP .T1 .(λ − 1) = 279, 2 kJ.kg −1
q
=
w
w12 + 12
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7) Dans la chambre de combustion le gaz ne reçoit pas de travail : w23 = 0, donc le premier
principe s’écrit :
(
cP .(T3 − T2 ) = cP .T1 .(τ − λ)
h3 − h2 =
⇒
q23 = cP .T1 .(τ − λ) = 720, 8 kJ.kg −1
+ q23
w23
= q23
8) Le travail fourni par le gaz à la turbine s’exprime comme précédemment. Comme la turbine
fonctionne de manière isentropique réversible, donc adiabatique :


 cP .(T4 − T3 ) = cP .T4 . 1 − T3
τ.T1
T4
⇒ wT = cP .
h4 − h3 =
.(λ − 1) = 626, 7 kJ.kg −1

λ
 w + q
= w34 = −wT
34
34
9) • Le travail récupéré par la turbine sert à faire fonctionner le compresseur et l’altenateur :
τ.T1
.(λ − 1) − cP .T1 .(λ − 1)
wT = wa + wC = wa + w12 ⇒ wa = wT − w12 = cP .
λ
τ
τ
Soit : wa = cP .T1 .(λ − 1).
= 347, 5 kJ.kg −1
− 1 = cP .T1 . τ + 1 − λ −
λ
λ
• Étude de wa en fonction de λ :
τ
∂wa
∂wa
∂wa
∂wa
>0 ;
=0 ;
<0
= cP .T1
−1
;
∂λ
λ2
∂λ (λ<√τ )
∂λ (λ=√τ )
∂λ (λ>√τ )
√
Donc : wa est maximal pour λ = λmax = τ = 2, 08 .
Cette valeur est proche de la valeur utilisée (1, 93). On peut également calculer : wa,max =
351, 0 kJ.kg −1 , qui est une valeur supérieure à la valeur calculée mais très proche de celle-ci.
λ
wC
cP .T1 .(λ − 1)
⇒
τ
R=
=
= 0, 80
wa
τ −λ
−1
cP .T1 .(λ − 1).
λ
Commentaire : Ici wa > wc , et la turbine fournit plus d’énergie à l’alternateur qu’au compresseur. D’après l’expression de R, ce rapport est :
- fonction croissante de λ : plus la compression 1 → 2 est importante, plus la part de wT utilisée
par le compresseur est élevée ;
- et fonction décroissante de τ : plus l’écart de température maximal est important, plus la part
de wT fournie à l’alternateur est importante.
10) On calcule : R =
11) • La grandeur utile du générateur à turbine est le travail fourni à l’alternateur caractérisé
par wa , et la grandeur coûteuse est le transfert thermique q23 fourni par la combustion. Donc :
τ
−
1
.(λ − 1)
c
.T
.
1
P
wa
λ−1
1
T1
λ
η=
=
=
⇒
η =1− =1−
= 0, 482
q23
cP .T1 .(τ − λ)
λ
λ
T2
• Pour le cycle moteur de Carnot entre les mêmes températures extrêmes T1 = 300 K et
T1
= 0, 769
T3 = 1 300 K, le rendement vaut ηC = 1 −
T3
Cl : le rendement du cycle de Brayton est nettement inférieur.
12) Comme w41 = 0 par hypothèse, le premier principe donne :

 cP .(T1 − T4 ) = cP .T1 . 1 − τ
τ
λ
h1 − h4 =
= −373, 3 kJ.kg −1
⇒ q41 = cP .T1 . 1 −
 w + q
λ
= q41
41
41
Cette énergie est négative donc le gaz fourni de l’énergie au milieu extérieur. Cette énergie est
directement récupérable sous forme de chaleur (principe de la cogénération) mais pas de travail,
car d’après le second principe on ne peut pas envisager de transformation dont le seul effet soit
la conversion de chaleur en travail.
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On peut cependant récupérer une partie de cette chaleur et la convertir indirectement en travail,
en utilisant le principe d’un « régénérateur ».
13) On utilise la relation ∆h = cp.∆T et les définitions des rendements isentropiques, où les
transformations isentropiques ont été étudiés dans la partie précédente.
• Pour le compresseur : ηC =
Soit :
h2 − h1
T2 − T 1
(λ − 1).T1
=
=
h2′ − h1
T2′ − T1
T2′ − T1
λ−1
T = T1 . 1 +
= 649 K
ηC
2′
• Pour la turbine : ηT =
h4′ − h3
T4′ − T3
=
=
h4 − h3
T4 − T 3
1
−1
= 767 K
Soit : T4′ = τ.T1 . 1 + ηT .
λ
T4′ − τ.T1
1
τ.T1 .
−1
λ
14) La transformation 1 → 2′ étant encore adiabatique, l’expression de w12′ est identique à celle
w12 , la température T2 étant remplacée par T2′ :
w12′ = cP .(T2′ − T1 ) = cP .T1 .
15) • En adaptant les calculs précédents : q2′ 3
λ−1
= 349, 0 kJ.kg −1
ηC
λ−1
= cP .(T3 − T2′ ) = cP . τ.T1 − T1 . 1 +
ηC
λ−1
Soit : q2′ 3 = cP .T1 . τ − 1 −
= 651, 0 kJ.kg −1
ηC
1
• De plus : wT′ = −w34′ = cP .(T3 − T4′ ) = cP .τ.T1 .ηT . 1 −
λ
Soit :
wT′ = cP .T1 .
τ.ηT
.(λ − 1) = 532, 7 kJ.kg −1
λ
16) • Le travail récupéré par la turbine sert à faire fonctionner le compresseur et l’altenateur :
λ−1
τ.ηT
′
.(λ − 1) − cP .T1 .
wT′ = wa′ + wC
= wa′ + w12′ ⇒ wa′ = wT′ − w12′ = cP .T1 .
λ
ηC
τ.ηT
1
Soit : wa′ = cP .T1 .(λ − 1).
−
λ
ηC
τ
λ
1
′
− ηT −
= 183, 7 kJ.kg −1
Soit : wa = cP .T1 . ηT .τ +
ηC
λ ηC
∂wa′
ηT .τ
1
′
• De l’expression de wa , on déduit :
= cp .T1 .
−
∂λ
λ2
ηC
√
Cette dérivée s’annule pour λ = ηC .ηT .τ , donc le rendement maximal correspond à :
√
√
λ′max = ηC .ηT .τ = λ′max = ηC .ηT .λmax = 1, 72 < λmax
Cette valeur reste proche de la valeur utilisée en pratique λ = 1, 93.
(
(
′
((
wC
cP(
.T(
− 1)
1 .(λ
(
=
.
′
wa
ηC
λ
1
⇒
R′ =
= 1, 9
1
τ.ηT .ηC − λ
( τ.ηT
(
(
(
(
cP(
.T1 .(λ − 1).
−
(
λ
ηC
λ
λ
>
=R
• Comme ηC .ηT < 1 : R′ =
τ.ηT .ηC − λ
τ −λ
Du fait des sources des irréversibilités, la répartition de wT′ est moins bonne, car la turbine fournit
moins de travail alors que le compresseur en absorbe plus.
17) R′ =
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Du point de vue numérique, on passe de R = 0, 8 à R′ = 1, 9 : le compresseur absorbe deux fois
plus d’énergie que la turbine n’en fournit à l’alternateur.
τ.ηT
1
cP .T1 .(λ − 1).
−
wa′
λ
ηC
′
= 0, 28
• Quant au rendement : η =
=
λ
−
1
q2′ 3
cP
.T1 . τ − 1 −
ηC
Du fait des irréversibilités, le rendement η ′ = 0, 28 du cycle de Brayton réel est nettement inférieur
au rendement η = 0, 48 du cycle de Brayton réversible.
III
Moteur de Diesel
[d’après ICNA 06 & 10]
1)
2) La loi des gaz parfaits appliquée à la masse ml de gaz
dans l’état {A} s’écrit : PA VA = mrTA .
PA VA
Soit : m =
= 2, 90g
rTA
P
B
C
D
3) La transformation A → B est adiabatique réversible
pour un gaz parfait. On peut appliquer la loi de Laplace :
PA1−γ .TAγ = PB1−γ .TBγ
γ
TA 1−γ
PA = 71, 2.105 P a
On en déduit : PB =
TB
A
V
mrTB
= 0, 12 L
PB
grandeur utile −W
QDA,V
QF
CV .(TA − TD )
=
= 1+
= 1+
= 1+
4) Rendement : ρ = grandeur coûteuse
QC
QC
QBC,P
CP .(TC − TB )
TD
TA . 1 −
1 TA − TD
1
TA
Soit : ρ = 1 + .
=1+ .
TC
γ TC − TB
γ
TB .
−1
TB
Soit : VB =
• Comme B → C est une isobare :
H
VC
TC
nR
P
VC VA
α
H
C .VC
=
,
1
= H .
=
.
=
nR
TB
VB
VA VB
β
P
H B .VB
H
nR
PD .V
PD
TD
H
D
= H .
=
,
2
nR
TA
V
PA
H PA .
A
• Comme C → D et A → B sont régies par la loi de Laplace :

γ−1

VB
TA
γ−1
γ−1 TA


=
= αγ−1
,
3
⇒
TA V A = T B V B


T
V
T

B
A
B


γ

VC γ
VC
γ
γ
PC VC = PD VD
PD =
PC =
PC ⇒ PD = PC .β −γ ,
4

V
V
D
A



γ


VB

γ
γ

PB
⇒ PA = PB .α−γ ,
5
PA =
 PA VA = PB VB
VA
PD
α1−γ . 1 −
α−γ .(1 − αγ .β −γ )
1
PA
,,
1 ,
2
,
4
−
→
ρ
=
1
+
• On en déduit : −−−→ ρ = 1 + .
γ
α.β −1 − 1
β −1 − α−1
,
5
et ,
3
1 α−γ − β −γ
Soit : ρ = 1 − . −1
γ α − β −1
• Comme D → A est une isochore :
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5) On a : ∆SDA = ∆SDA,rév hyp =
Soit :
∆SDA =
mr
. ln
γ−1
TA
TD
Z
A
1e
dSrév hyp =
D
IdTh
Z
A
D
1e
dV
dU + P.
=
LJ
T
Z
A
CV
D
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dT
T
= −4, 36 J.K −1
6) Le transfert thermique QDA est effectué avec une source de température constante TA :
Z A
Z A
δQ
QDA
é
é
δS=
S DA =
=
TA
D TA
D
isoch
1e
Pour exprimer QDA , on applique le premier principe : QDA = QDA,V = ∆UDA = CV .(TA −TD )
LJ
Soit :
é
S DA =
mr TA − TD
.
= −14, 83 J.K −1
γ−1
TA
7) Le deuxième principe s’écrit :
é
p
∆SDA = S DA + S DA
⇒
p
S DA
TD
mr
TD
=
. ln
−1+
= 10, 47 J.K −1 > 0
γ−1
TA
TA
Donc il y a création d’entropie sur la transformation D → A et le cycle est irréversible.
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7