ÉLECTROMAGNÉTISME
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G.P. Électromagnétisme 2013 ÉLECTROMAGNÉTISME Version du 04/03/2013 Sommaire Chap 1: Électrostatique.........................................................................................................................3 I.Les lois de l'électrostatique............................................................................................................3 A.Forme locale dans le cas d'une distribution volumique : équations de Maxwell....................3 1Équation de MAXWELL-FARADAY appliquée à l'électrostatique......................................3 2Équation de MAXWELL-GAUSS.........................................................................................3 B.forme intégrale........................................................................................................................3 1Le champ électrostatique est à circulation conservative........................................................3 2Le théorème de Gauss............................................................................................................3 C.Équations de Poisson et de Laplace.........................................................................................4 D.Le cas d'une distribution non volumique (surfacique)............................................................4 II.Conducteur en équilibre électrostatique........................................................................................5 A.Définitions...............................................................................................................................5 B.À l'intérieur du conducteur en équilibre électrostatique..........................................................5 C.En surface du conducteur en équilibre électrostatique............................................................6 D.À l'extérieur du conducteur au voisinage de la surface...........................................................6 E.Tracé de lignes de champ dans la situation de deux sphères en influence..............................7 III.Condensateurs..............................................................................................................................7 A.Définition de condensateur......................................................................................................8 B.Capacité...................................................................................................................................8 C.Capacité d'un condensateur plan.............................................................................................9 1Démonstration 1 utilisant Q=C U...........................................................................................9 Symétrie pour le champ.....................................................................................................9 Le champ est uniforme entre les armatures.....................................................................10 Expressions du champ.....................................................................................................10 Capacité...........................................................................................................................11 2Autres démonstrations utilisant Q=C U...............................................................................12 3Démonstration utilisant l'énergie W= ½ C U2.....................................................................12 Démonstration électrocinétique de la formule de l'énergie d'un condensateur................12 Détermination de la capacité du condensateur plan........................................................14 D.Autres capacités.....................................................................................................................14 E.Associations de condensateurs..............................................................................................14 Chap 2: Équations de Maxwell...........................................................................................................15 Chap 3: Énergie en électromagnétisme..............................................................................................16 Chap 5: Magnétostatique....................................................................................................................17 I.Exemples classiques de calculs de champ magnétique................................................................17 A.Champ B créé par un fil infini parcouru par une densité uniforme de courant.....................17 1Symétries..............................................................................................................................17 2Théorème d'Ampère.............................................................................................................17 M à l'extérieur du fil........................................................................................................17 M à l'intérieur du fil.........................................................................................................17 1/20 G.P. Électromagnétisme 2013 B.Champ B créé par un solénoïde infini parcouru par du courant surfacique..........................18 1Modélisation par une nappe de courant uniforme................................................................18 2Symétries..............................................................................................................................18 3Théorème d'Ampère.............................................................................................................19 .........................................................................................................................................19 Chap 6: Induction...............................................................................................................................20 2/20 G.P. Électromagnétisme 2013 Chap 1: Électrostatique I. Les lois de l'électrostatique A. Forme locale dans le cas d'une distribution volumique : équations de Maxwell 1 Équation de MAXWELL-FARADAY appliquée à l'électrostatique =0 rot E ( différentielle totale ) d'où E =− grad V et dV =− E dl 2 Équation de MAXWELL-GAUSS = div E 0 B. forme intégrale 1 Le champ électrostatique est à circulation conservative Loi de FARAFAY appliquée à l'électrostatique: sur toute courbe fermée est nulle La circulation de E ( et analogies explicatives cf ici pas de source de rotation – type batteur – qui fait tourner le fluide...) =0 ∮ E dl B ∫ E dl =−V B −V A (ne dépend que du point de départ et du point d'arrivée) A 2 Le théorème de Gauss Le flux sortant de E à travers une surface fermée est égal à la charge intérieure sur 0 ( et analogies explicatives cf source qui émet du fluide en régime permanent...) 3/20 G.P. ∯ E dS= Électromagnétisme 2013 q intérieure 0 C. Équations de Poisson et de Laplace En électrostatique rot E =0 donc E dérive d'un gradient puisque rot grad f = 0 . La −V fonction de point est appelée et : E =− grad V = soit div − grad V = puis avec l'équation de Maxwell-Gauss, on écrit div E . 0 0 L'électrostatique est à la recherche du potentiel qui vérifie l'équation de Poisson faisant intervenir un laplacien: V =− 0 Lorsque l'on se trouve dans le vide par exemple entre des conducteurs chargés, l'équation devient l'équation de Laplace : V =0 On peut démontrer les expressions de V M =∭ P d (pas de charges à l'infini et V ∞ =0 ) 4 0 r PM P d PM E =∭ (trois intégrales triples à calculer mais les symétries permettent de 3 4 0 r PM réduire le nombre d'intégrales à déterminer) Une propriété V ne peut être extremum dans une région vide de charge. Ceci permettrait de démontrer que dans le cas d'un conducteur creux en équilibre électrostatique, la cavité est au même potentiel que le conducteur. D. Le cas d'une distribution non volumique (surfacique) Au cours de la traversée de la « surface », le champ change progressivement de valeur et si l'on modélise par une surface au sens mathématique du terme, on aura apparition d'une discontinuité, le champ n'étant plus défini sur la surface elle-même. Il y a continuité de la composante tangentielle et discontinuité de la composante normale. Ceci se démontre en partant des équations de Maxwell par 4/20 G.P. Électromagnétisme 2013 un passage à la limite. Mais les équations de Maxwell qui s'appliquent en cas de répartition volumique ne sont plus applicables en cas de répartition surfacique. Pour les champs au voisinage de M dans le milieu 1 ou dans le milieu 2, on a : M E2 M − E1 M = n1 2 0 V 2 M −V 1 M =0 II. Conducteur en équilibre électrostatique A. Définitions • Un conducteur est un milieu matériel dans lequel des « charges électriques mobiles », sont susceptibles de se déplacer par exemple sous l’action d’un champ électrique E . Pour un conducteur ohmique ( fixe ) , on aura une loi linéaire ( loi d'Ohm ) : j= E . • Un conducteur est en équilibre électrostatique lorsque le courant électrique est nul en tout point de ce conducteur ( en volume et « en surface » ). • Échelle mésoscopique : échelle très petite par rapport à l’échelle du laboratoire et très grande par rapport à l’échelle des atomes . Le champ E est une valeur moyenne en un point à l'échelle mésoscopique ( il ne s'agit pas du champ microscopique au voisinage par exemple d'un électron ponctuel...) . Pour le mouvement, l'agitation thermique est nulle en moyenne au niveau mésoscopique. B. À l'intérieur du conducteur en équilibre électrostatique • Le champ électrique Le champélectrique est nul en tout point dans le conducteur (puisque j est nul en tout point intérieur ) • Le potentiel est uniforme à l'intérieur du conducteur V intérieur =V 0 (puisque E =− grad V =0 en tout point intérieur ) • La densité volumique de charge est nulle à l'intérieur du conducteur = puisque (en effet l'équation locale de Maxwell-Gauss div E E =0 en tout point 0 intérieur donne =0 ). Ce qui signifie que dans un volume mésoscopique en un point, il y a autant de charges positives que de charges négatives ou encore ( classification fort 5/20 G.P. Électromagnétisme 2013 simpliste ) fixe libre =0 . C. En surface du conducteur en équilibre électrostatique On s'intéresse ici au volume correspondant à une « petite épaisseur en surface », modélisé par une surface mathématique ( d'épaisseur nulle ) • Puisque l'on peut charger un conducteur, puisque l'on a démontré que la charge en volume était nulle, c'est donc que la charge ( si elle existe ) se trouve en « surface ». Il faut donc tenir compte d'un en surface. La charge se répartit en surface de telle façon que le champ soit nul à l'intérieur du conducteur. • Le champ n'est pas défini sur une surface chargée. ( Il passe dans cette « petite épaisseur »de la valeur nulle intérieure à sa valeur au voisinage extérieur du conducteur ). • On sait ( propriété admise ) que le potentiel est défini et continu à la traversée d'une surface chargée donc V surface =V 0 . Le conducteur est donc ( intérieur et surface ) au potentiel V0 . Le conducteur en équilibre électrostatique est un volume équipotentiel D. À l'extérieur du conducteur au voisinage de la surface Dans le vide, il n'y a pas de charge. Le potentiel est continu et vaut donc V 0 à l'extérieur au voisinage. Reste à déterminer le champ au voisinage de la surface à l'extérieur. Relation donnant la discontinuité de E à la traversée d'une surface chargée: M voisinage milieu 2 M − E E voisinage milieu 1 M = au point n de1 vers 2 0 Ici, en appelant milieu 2 le vide et milieu 1 le conducteur, on obtient en M sur la surface du conducteur ( théorème de Coulomb ) voisinage M −0 = M next E 0 1)Cette relation permettra plutôt d'obtenir M par la formule : M = 0 next . E voisinage M 2)Cette relation montre que le champ dans la « petite épaisseur » en surface est normal à la surface. Les charges de « surface » positives ou négatives subissent une force normale et dirigée vers l'extérieur ( à vérifier ) . Elle ne peuvent donc se déplacer le long de la « surface » ni vers l'intérieur et ne peuvent fuir vers l'extérieur ( il faudrait leur fournir une énergie correspondant à un « travail d'extraction » ). On trouve donc que les charges de surface sont immobiles elles- aussi. 6/20 G.P. Électromagnétisme 2013 E. Tracé de lignes de champ dans la situation de deux sphères en influence On place un conducteur neutre en face d'un conducteur chargé positivement. + + + + + + + + - + - + + - + + Conducteur neutre. La charge totale reste nulle car le conducteur est isolé. Conducteur chargé positivement. La charge totale reste constante car le conducteur est isolé. Les lignes de champ sont perpendiculaires à la surface des conducteurs. Le sens est en lien avec le signe de la charge surfacique. Le résultat doit être cohérent avec la valeur des potentiels. Potentiel le long de l'axe Remarque: si un conducteur est isolé ( Q du conducteur est connu) si un conducteur reste relié au générateur (c'est V du conducteur qui alors est connu) III. Condensateurs 7/20 G.P. Électromagnétisme 2013 A. Définition de condensateur Toute ligne de champ partant d'un conducteur A arrive sur le conducteur B . en influence totale. A et B sont ( par exemple B entoure A mais il existe d'autres possibilités) B QA A QB,int QB,ext Alors les deux armatures portent des charges de signe opposé. Ici Q A=−Q B , int soit Q A=Q et Q B , int =−Q . Démonstration Par le théorème de Gauss, en considérant la surface fermée en rouge sur la figure. Cette surface est à l'intérieur du conducteur B qui est un conducteur en équilibre électrostatique. Le champ ⃗ E est donc nul sur toute cette surface. Donc le flux est nul. Donc la somme des charges à l'intérieur Q A+Q B ,int est nulle. On a montré que si la charge de A est Q , la charge intérieure de B est −Q . B. Capacité V1 V2 Q -Q La capacité d'un condensateur (unité : Farad) est C . Elle est définie par 8/20 G.P. Électromagnétisme 2013 Q1=Q=C (V 1−V 2 ) ou par Q2, int =−Q=C (V 2−V 1 ) On écrit en désignant par U la différence de potentiel : Q=C U Justification Supposons une situation d'équilibre où le champ en M dans l'espace interarmature est ⃗ E (M ) . Une situation où ⃗ E est multiplié par λ en tout point M reste une situation d'équilibre (en ⃗ =0 en vertu de la linéarité des équations). Le effet, ⃗ E ( M ) vérifie toujours ⃗ rot ⃗ E =⃗ 0 et div E théorème de Coulomb montre alors que Q devient λ Q . La circulation du champ entre les deux armatures montre que U devient λ U . De plus, en vertu de l'unicité, cette solution est « la » solution pour λ U . Il y a donc proportionnalité entre la charge et la différence de potentiel ( loi de linéarité). C. Capacité d'un condensateur plan 1 Démonstration 1 utilisant Q=C U y Q 0 e (1) z (2) U Symétrie pour le champ On part ici de la constatation suivante: ⃗ E est selon u⃗z ⃗ E =E ( x , y , z ) u⃗z ( cf : si on néglige les effets de bords, en tout point M , les plans Mxz et Myz sont des plans de symétrie). L'invariance en translation selon x et selon y permettrait d'ailleurs de préciser ⃗ E =E ( z) u⃗z mais on se propose de retrouver ceci en utilisant l'équation de Maxwell-Faraday. 9/20 G.P. Électromagnétisme 2013 Le champ est uniforme entre les armatures On sait que : Si les lignes de champ électrostatique sont parallèles dans un espace vide de charge, alors le champ est uniforme. On pourra donc écrire ⃗ E =E u⃗z Démonstration 1) On utilise l'équation de Maxwell-Faraday de l'électrostatique : rot E = 0 . Par exemple, une telle configuration ( voir schéma ) dans le plan yOz avec E dépendant de y donne une « circulation élémentaire » en M , sur une courbe fermée, non nulle . Le rotationnel en M serait négatif selon x . M ∂E ∂E = u − u =0 En faisant le calcul : rot E 0 donne ici ∂y x ∂x y On en déduit que E est indépendant de y et E est indépendant de x dans la région interarmatures si on suppose les lignes de champ parallèles. C'est une façon de retrouver les invariances habituelles puisque la donnée proposée revient à négliger les effets de bords selon x et selon y . =0 puisque la charge 2) On utilise l'équation de Maxwell-Gauss de l'électrostatique : div E volumique est nulle dans l'espace vide. Par exemple, une telle configuration ( voir schéma ) dans le plan yOz avec E dépendant de z donne un « flux élémentaire » en M , à travers une surface fermée, non nul . La divergence en M serait positive. M ⃗ =0 donne ici En faisant le calcul : div E ∂E =0 ∂z On en déduit que E est aussi indépendant de z . Finalement E est uniforme. Expressions du champ 10/20 G.P. Électromagnétisme 2013 1) Relation entre U et le champ E On utilise E =− grad V soit ici : E=− dV dz On intègre avec E=constante . V2 e ∫ dV =−∫ E dz V1 0 −U =−E e et finalement : U E = uz e On retrouve l'expression bien connue. Le champ étant uniforme, on peut confondre la dérivée de dV V =− V et le taux d'accroissement de V donc E=− dz z 2) Relation entre Q et le champ E On utilise le théorème de Coulomb donnant le champ au voisinage d'un conducteur en équilibre pour l'armature (1): voisinage M −0 = M next E 0 soit : M = 0 next . E voisinage M voisinage M = E et n ext =uz donc : avec E M = 0 E = est uniforme E = uz 0 ou encore: 1 Q E= u 0 S z Capacité 11/20 G.P. Électromagnétisme Pour obtenir la capacité, il faut faire 2013 Q U U 1 Q E = uz = u 0 S z e C= Q S =0 U e 2 Autres démonstrations utilisant Q=C U -par les charges : le condensateur est considéré comme un plan en z =0 chargé par σ et un plan en z =e chargé par −σ . Le champ est obtenu par superposition des champs créés par ces deux plans infinis uniformément chargés. On retrouve que le champ est nul sauf entre les armatures E = uz . On intègre ensuite pour arriver à U . où il vaut 0 -par les potentiels : on résout entre les armatures Δ V ( z )=0 ce qui donne avec les conditions aux V −V 1 V −V 2 U limites V = 2 z +V 1 d'où ⃗ E =−⃗ grad V = 1 u⃗z= u⃗z . Le théorème de Coulomb e e e donne alors σ . On intègre pour obtenir Q . 3 Démonstration utilisant l'énergie W= ½ C U2 Démonstration électrocinétique de la formule de l'énergie d'un condensateur i E i R uR C uC Équation On pose = RC on obtient l'équation différentielle E= du C t uC t dt dont la solution est t u C t =E 1−exp − Bilan énergétique instantané On part de la loi des tensions et on multiplie par it dt afin d'obtenir le bilan d'énergie électromagnétique en t ( pendant dt ) 12/20 G.P. Électromagnétisme 2013 E=R i tu C t 2 E i t dt=R i t dtuC ti t dt 1 E i (t) dt=R i 2 (t )dt+d ( C u2C ( t)) 2 ou encore 1 2 2 d ( C uC (t))=E i (t) dt−R i ( t)dt 2 d U em=δU em, reçue +δ U em, produite avec U em : énergie électromagnétique Pendant dt , l'énergie électromagnétique élémentaire fournie par le générateur E i t dt se transforme partiellement en énergie thermique élémentaire dans la résistance par effet Joule R i 2 t dt . Le terme complémentaire correspond à l'énergie élémentaire électrique emmagasinée 1 2 dans le condensateur d C uC t . 2 L'énergie emmagasinée au total dans le condensateur est 1 2 U e , condensateur= C u C ( t) 2 Remarque concernant l'irréversibilité Bilan énergétique total: • énergie fournie par le générateur: t=∞ W G= ∫ E it dt t=0 W G=C E • 2 énergie thermique apparue: t=∞ W J = ∫ Ri 2 t dt t=0 1 W J = C E2 2 • énergie électromagnétique emmagasinée Ue C'est la différence entre l'énergie fournie par le générateur et l'énergie apparue par effet Joule. U e =W G−W J 13/20 G.P. Électromagnétisme 2013 1 U e= C E 2 2 Commentaire: Le « rendement » de cette opération irréversible de charge est de 50 % puisque l'énergie emmagasinée ne vaut que 50 % de l'énergie dépensée par le générateur. Détermination de la capacité du condensateur plan En utilisant la formule donnant la densité volumique d'énergie électrique u e= dU e =1 /2 ε0 E 2 dτ On écrit U e , condensateur= ∭ espace inter−armatures U e , condensateur=1/2 ε0 ( U 2 ) Se e =1 /2 ε0 S 2 U e 1/2 C U =1/2 ε0 S 2 U e 2 finalement, on retrouve C=ε0 S e D. Autres capacités -capacité d'un condensateur sphérique -capacité d'un condensateur cylindrique -capacité d'un condensateur diédrique E. Associations de condensateurs 14/20 2 1/ 2 ε0 E d τ G.P. Électromagnétisme Chap 2: Équations de Maxwell 15/20 2013 G.P. Électromagnétisme 2013 Chap 3: Énergie en électromagnétisme 16/20 G.P. Électromagnétisme 2013 Chap 5: Magnétostatique I. Exemples classiques de calculs de champ magnétique A. Champ B créé par un fil infini parcouru par une densité uniforme de courant Le rayon du fil est R . On néglige les effets de bord ce qui revient à dire que le fil rectiligne est considéré comme infini. L'intensité est I . I uz . La densité volumique de courant est j r R= R2 1 Symétries Un point M quelconque appartient à un plan de symétrie contenant l'axe Oz du fil. Donc B (pseudo-vecteur ou faux-vecteur ou vecteur axial) est perpendiculaire à ce plan. De plus, il y a invariance en rotation selon et invariance en translation selon z (cylindre infini) donc B =B r u 2 Théorème d'Ampère On applique le théorème d'Ampère à une courbe fermée C passant par le point M : ∮ B dl =0 I enlacé . La courbe d' Ampère à choisir est donc un cercle centré sur l'axe Oz , dans C un plan z =cste et passant par M . On oriente le plan contenant le cercle par uz . M à l'extérieur du fil Pour la région ( r R ) : B×2 r= 0 I B r R= 0 I u 2 r M à l'intérieur du fil 17/20 G.P. Pour la région ( r R ): Électromagnétisme 2013 B×2 r= 0 I enlacé 2 r avec, le courant enlacé étant proportionnel à la surface, I enlacé= I R B r R= 0 I r 2 R 2 u B. Champ B créé par un solénoïde infini parcouru par du courant surfacique Le rayon du solénoïde est R . Le solénoïde a pour longueur l mais on néglige les effets de bords, ce qui revient à dire que le solénoïde est considéré comme une tranche l d'un solénoïde infini. Le nombre de spires est N soit un nombre de spires par unité de longueur n= N . l L'intensité est I . On néglige l'hélicité des spires. 1 Modélisation par une nappe de courant uniforme On passe du discret au continu. Le courant total traversant la longueur l selon z ( N spires parcourues par I ) est N I . Si on modélise cette nappe par un courant surfacique j s= j s u , le courant total est obtenu en faisant le « flux » (généralisation du flux au flux à travers une courbe) de j s à travers l uz soit js l . Donc N I = j s l . La nappe est donc une nappe de courant j s= N I u=n I u l 2 Symétries Un point M quelconque appartient à un plan de symétrie perpendiculaire à l'axe Oz du solénoïde. Donc B (pseudo-vecteur ou faux-vecteur ou vecteur axial) est perpendiculaire à ce plan. De plus, il y a invariance en rotation selon et invariance en translation selon z (solénoïde 18/20 G.P. Électromagnétisme 2013 B =B r uz . infini) donc: 3 Théorème d'Ampère On admet que B est nul à l'extérieur du solénoïde On applique le théorème d'Ampère. La portion de courbe d' Ampère à choisir qui passe par M est donc un segment selon uz de longueur z= z MAX −z MIN . On ferme cette courbe comme sur la figure qui suit. On oriente par u . z + M ∮ B dl =0 I enlacé C sont perpendiculaires. Sur le coté extérieur selon uz , Sur les côtés selon ur , B et dl B est nul. On obtient donc: B M z= 0 j s z A l'intérieur du solénoïde, le champ est uniforme et vaut: N Bintérieur = 0 j s uz= 0 I uz l (on remarque que l'on vient de retrouver dans un cas particulier la relation de continuité à la traversée d'une nappe de courant) 19/20 G.P. Électromagnétisme Chap 6: Induction 20/20 2013
