ÉLECTROMAGNÉTISME

G.P. Électromagnétisme 2013
ÉLECTROMAGNÉTISME
Version du 04/03/2013
Sommaire
Chap 1: Électrostatique.........................................................................................................................3
I.Les lois de l'électrostatique............................................................................................................3
A.Forme locale dans le cas d'une distribution volumique : équations de Maxwell....................3
1Équation de MAXWELL-FARADAY appliquée à l'électrostatique......................................3
2Équation de MAXWELL-GAUSS.........................................................................................3
B.forme intégrale........................................................................................................................3
1Le champ électrostatique est à circulation conservative........................................................3
2Le théorème de Gauss............................................................................................................3
C.Équations de Poisson et de Laplace.........................................................................................4
D.Le cas d'une distribution non volumique (surfacique)............................................................4
II.Conducteur en équilibre électrostatique........................................................................................5
A.Définitions...............................................................................................................................5
B.À l'intérieur du conducteur en équilibre électrostatique..........................................................5
C.En surface du conducteur en équilibre électrostatique............................................................6
D.À l'extérieur du conducteur au voisinage de la surface...........................................................6
E.Tracé de lignes de champ dans la situation de deux sphères en influence..............................7
III.Condensateurs..............................................................................................................................7
A.Définition de condensateur......................................................................................................8
B.Capacité...................................................................................................................................8
C.Capacité d'un condensateur plan.............................................................................................9
1Démonstration 1 utilisant Q=C U...........................................................................................9
Symétrie pour le champ.....................................................................................................9
Le champ est uniforme entre les armatures.....................................................................10
Expressions du champ.....................................................................................................10
Capacité...........................................................................................................................11
2Autres démonstrations utilisant Q=C U...............................................................................12
3Démonstration utilisant l'énergie W= ½ C U2.....................................................................12
Démonstration électrocinétique de la formule de l'énergie d'un condensateur................12
Détermination de la capacité du condensateur plan........................................................14
D.Autres capacités.....................................................................................................................14
E.Associations de condensateurs..............................................................................................14
Chap 2: Équations de Maxwell...........................................................................................................15
Chap 3: Énergie en électromagnétisme..............................................................................................16
Chap 5: Magnétostatique....................................................................................................................17
I.Exemples classiques de calculs de champ magnétique................................................................17
A.Champ B créé par un fil infini parcouru par une densité uniforme de courant.....................17
1Symétries..............................................................................................................................17
2Théorème d'Ampère.............................................................................................................17
M à l'extérieur du fil........................................................................................................17
M à l'intérieur du fil.........................................................................................................17
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B.Champ B créé par un solénoïde infini parcouru par du courant surfacique..........................18
1Modélisation par une nappe de courant uniforme................................................................18
2Symétries..............................................................................................................................18
3Théorème d'Ampère.............................................................................................................19
.........................................................................................................................................19
Chap 6: Induction...............................................................................................................................20
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G.P. Électromagnétisme 2013
Chap 1: Électrostatique
I. Les lois de l'électrostatique
A. Forme locale dans le cas d'une distribution volumique :
équations de Maxwell
1 Équation de MAXWELL-FARADAY appliquée à l'électrostatique
rot  E=0
d'où
E=− grad V
et
dV =− E dl
( différentielle totale )
2 Équation de MAXWELL-GAUSS
div  E=
0
B. forme intégrale
1 Le champ électrostatique est à circulation conservative
Loi de FARAFAY appliquée à l'électrostatique:
La circulation de  E sur toute courbe ferméeest nulle
( et analogies explicatives cf ici pas de source de rotation – type batteur – qui fait tourner le
fluide...)
∮
E dl=0
∫
A
B
E dl =−VB−VA
(ne dépend que du point de départ et du point d'arrivée)
2 Le théorème de Gauss
Le flux sortant de  E à travers une surface fermée est égal à la chargeintérieure sur 0
( et analogies explicatives cf source qui émet du fluide en régime permanent...)
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∯
E dS=qintérieure
0
C. Équations de Poisson et de Laplace
En électrostatique
rot  E=0
donc
E
dérive d'un gradient puisque
rot  grad f= 0
. La
fonction de point est appelée
−V
et :
E=− grad V
puis avec l'équation de Maxwell-Gauss, on écrit
div  E=
0
soit
div − grad V = 
0
.
L'électrostatique est à la recherche du potentiel qui vérifie l'équation de Poisson faisant intervenir
un laplacien:
V=− 
0
Lorsque l'on se trouve dans le vide par exemple entre des conducteurs chargés, l'équation devient
l'équation de Laplace :
V=0
On peut démontrer les expressions de
VM=∭Pd
40rPM
(pas de charges à l'infini et
V∞=0
)
E=∭Pd
PM
40rPM
3
(trois intégrales triples à calculer mais les symétries permettent de
réduire le nombre d'intégrales à déterminer)
Une propriété
V
ne peut être extremum dans une région
vide de charge. Ceci permettrait de démontrer
que dans le cas d'un conducteur creux en
équilibre électrostatique, la cavité est au même
potentiel que le conducteur.
D. Le cas d'une distribution non volumique (surfacique)
Au cours de la traversée de la « surface », le champ change progressivement de valeur et si l'on
modélise par une surface au sens mathématique du terme, on aura apparition d'une discontinuité, le
champ n'étant plus défini sur la surface elle-même. Il y a continuité de la composante tangentielle et
discontinuité de la composante normale. Ceci se démontre en partant des équations de Maxwell par
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un passage à la limite. Mais les équations de Maxwell qui s'appliquent en cas de répartition
volumique ne sont plus applicables en cas de répartition surfacique.
Pour les champs au voisinage de
M
dans le milieu 1 ou dans le milieu 2, on a :
E2M−  E1M= M
0
n12
V2M−V1M=0
II. Conducteur en équilibre électrostatique
A. Définitions
•Un conducteur est un milieu matériel dans lequel des « charges électriques mobiles », sont
susceptibles de se déplacer par exemple sous l’action d’un champ électrique
E
. Pour un
conducteur ohmique ( fixe ) , on aura une loi linéaire ( loi d'Ohm ) :
j=  E
.
•Un conducteur est en équilibre électrostatique lorsque le courant électrique est nul en tout
point de ce conducteur ( en volume et « en surface » ).
•Échelle mésoscopique : échelle très petite par rapport à l’échelle du laboratoire et très
grande par rapport à l’échelle des atomes . Le champ
E
est une valeur moyenne en un
point à l'échelle mésoscopique ( il ne s'agit pas du champ microscopique au voisinage par
exemple d'un électron ponctuel...) . Pour le mouvement, l'agitation thermique est nulle en
moyenne au niveau mésoscopique.
B. À l'intérieur du conducteur en équilibre électrostatique
•Le champ électrique
Le champélectrique est nul en tout point dans le conducteur
(puisque
j
est nul en tout point intérieur )
•Le potentiel est uniforme à l'intérieur du conducteur
Vintérieur =V0
(puisque
E=− grad V = 0
en tout point intérieur )
•La densité volumique de charge est nulle à l'intérieur du conducteur
(en effet l'équation locale de Maxwell-Gauss
div  E=
0
puisque
E= 0
en tout point
intérieur donne
=0
). Ce qui signifie que dans un volume mésoscopique en un point, il y
a autant de charges positives que de charges négatives ou encore ( classification fort
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