Chapitre 5.5 – Le spectre de l`hydrogène et le modèle de Bohr

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 5.5 – Le spectre de l’hydrogène
et le modèle de Bohr
Le modèle atomique de Thomson
Le modèle de Thomson fut proposé en 1904 par le physicien anglais J.J.
Thomson après la découverte de l’électron en 1897 (prix Nobel de
physique de 1906) par ce même physicien. Dans ce modèle, l’atome est
considéré comme étant une « densité de charge positive » parsemé de
charges négatives (pudding aux raisins). Cette distribution permet
d’expliquer la neutralité de l’atome (autant de charges positives que
négatives) et la stabilité de celui-ci.
J.J. Thomson
(1856-1940)
o Atome neutre.
o Densité de charge positive à l’intérieur de l’atome.
o Les électrons de charge négative à l’intérieur de l’atome
sont en mouvement sous la forme d’anneau.
o La masse volumique de l’atome est équitablement
répartie dans l’atome.
o La stabilité de l’atome est possible grâce à la force
électrique entre les charges positives et les charges
négatives.
Modèle de Thomson
Densité
charge
positive
Le modèle atomique de Rutherford
En 1909, le physicien de Nouvelle-Zélande Ernest Rutherford fut en
mesure de reformuler le modèle atomique de Thomson. À l’aide d’un
modèle théorique de diffusion fondé sur une collision élastique entre deux
particules chargées repoussées par une force électrique et d’une
expérience réalisée par Hans Geiger et Ernest Marsden (deux de ses
étudiants), Rutherford démontra qu’un atome était constitué d’un petit
noyau de charges positives entouré d’un nuage de charges négatives dont
la masse de l’atome était essentiellement située dans le noyau.
Ernest Rutherford
(1871-1937)
o Atome neutre.
o Charge positive concentrée au centre de l’atome dans le
noyau.
o Les électrons de charges négatives à l’intérieur de
l’atome sont en mouvement sur des orbites circulaires.
o La masse volumique de l’atome est pratiquement nulle
partout sauf où le noyau est situé.
o Le noyau de l’atome est instable. Il faudra la découverte
du neutron (hypothèse formulée par Rutherford en
1920) et la force nucléaire pour expliquer la stabilité du
noyau atomique.
Modèle de Rutherford

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
L’expérience de Geiger-Marsden
L’expérience de Geiger-Marsden consistait à utiliser un
faisceau de particules alpha (noyau d’hélium) à environ
m/s109,1
7
×pour bombarder une mince feuille d’or de
6000Å
1
d’épaisseur (quelques atomes d’épaisseurs). Puisque
99,99% des particules alpha traversaient la feuille sans être
déviées et sans endommager la feuille, les deux modèles
atomiques précédent semblaient être plausibles, car :
Montage de l’expérience de Geiger-Marsden
Modèle Thomson Modèle Rutherford
Les particules alpha passent
au travers des
faibles densités de charges positives en
subissant une faible déviation.
Les particules alpha passent
loin des
noyaux subissant ainsi une faible déviation
due à la petite force électrique.
Cependant, 0,01% des particules alpha subissaient une diffusion
avec des angles prononcés (0 à 180
o
). Cette diffusion ne peut pas
être expliquée par une diffraction de l’onde-particule (hypothèse
inexistant en 1909) sur les atomes d’or (taille : m10
10−
≈a), car :
( )( )
m1022,5
109,11067,14
1063,6
15
727
34
B
−
−
−
×=
×××
×
==>>>>
mv
h
a λ
(Longueur d’onde de de Broglie, introduit en 1924)
La diffraction des particules alpha
sur les atomes d’or respecte la
distribution ci-haut.
(Diffraction : a >>>> λ)
Ce scénario semblait être possible uniquement si l’atome était constitué essentiellement de
vide dont la masse et la charge électrique positive était concentré dans un petit noyau. Une
particule alpha pouvait alors se diriger à grande vitesse directement vers le noyau, ralentir
et être diffusé en raison de la répulsion électrique des charges positives du noyau sur les
charges positives de la particule alpha.
Cette diffusion est la conséquence d’une interaction coulombienne (force électrique) ne
pouvant être expliquée par le modèle de Thomson :
Modèle de
Thomson
Diffusion à
angle faible
(
0
≈
θ
)
Modèle de
Rutherford
Diffusion à
angle faible
( 0
≈
θ
)
Diffusion à
angle élevé
( 0
>
θ
)
•
Diffusion légère des particules alpha, car la charge positive
est diluée dans le volume de l’atome (faible force électrique).
•
Diffusion légère si la particule alpha passe loin du noyau.
• Diffusion élevé si la particule alpha passe près du noyau.
1
Un angström est une unité de longueur : 1 Å = 0,1 nm = 1
×
10
-10

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La section efficace de la diffusion de Rutherford
La grande réussite de Rutherford fut de proposer un modèle
théorique pour établir la relation entre la distribution des
particules alpha déviées « anormalement » et l’hypothèse du
noyau atomique. Une équation de section efficace permis
d’établir un lien entre la variation de particules captées d σ
en fonction de la variation d’angle solide
2
couvert d Ω à
partir de l’équation du mouvement d’une particule de charge
Z
1
e se déplaçant avec une énergie cinétique K déviée par
une charge électrique ponctuelle Z
2
e (étant le noyau) sous
l’effet de la force électrique :
( )
2/sin
1
4
1
4d
d
4
2
0
2
21
θ
πε
σ
=
ΩK
eZZ
Un angle solide Ω correspond à un
élément de surface angulaire sans unité de
m
2
. La relation est : Ω = A / r
2
http://fr.wikipedia.org/wiki/Angle_solide
Preuve :
Avant d’entamer le calcul de la section
efficace, rappelons le résultat de la
diffusion de Rutherford
3
donnant une
équation associée à l’angle de déviation
d’une particule chargée en raison d’une
interaction coulombienne sur une charge
ponctuelle :
bK
eZZ
00
2
21
82
tan
επ
α
=
α
b
0
vmp
i
v
v
=
f
p
v
eZq
1
=
eZQ
2
=
r
r
qQ
kF ˆ
2
e
=
v
p
v
α
0
=
Q
v
v
0
e
=F
v
0
e
=F
v
En construction …
2
Un petit angle solide dΩ correspond à une petite portion de surface situé sur une sphère.
3
La diffusion de Rutherford a été présentée dans le chapitre NYB – Chapitre 2.3b.

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Le moment cinétique
Le moment cinétique
z
L d’une particule mesure la quantité
de mouvement transportée par une particule pour effectuer
une rotation autour de l’axe z . Cette quantité augmente si la
particule augmente sa quantité de mouvement p , augmente
si la trajectoire circulaire de rayon r augmente et augmente
lorsque l’angle θ s’approche de 90
o
favorisant ainsi une
trajectoire perpendiculaire à r de forme circulaire.
p
v
x
y
z
z
r
θ
z
L
v
point de
référence
v
v
Moment cinétique
z
L d’une particule Moment cinétique
z
L d’un corps
(
)
θ sinprL
z
=
(
)
θ sinrvmL
z
=
ω IL
z
=
où
z
L : Moment cinétique de la particule selon l’axe z ( /smkg
2
⋅ )
r
: Distance dans le plan xy entre le point de référence et la particule (m)
p
: Module de la quantité de mouvement de la particule dans le plan xy ( m/skg
⋅
ou Ns )
θ
: Angle dans le plan xy entre
r
et
p
I
: Moment d’inertie du corps (
2
mkg ⋅)
ω
: Vitesse angulaire du corps ( rad/s )
N.B. Il est à noter que cette grandeur est conservée dans le temps lorsqu’il y a une force
centrale qui agit sur une particule, car la force n’augmente pas la composante de
quantité de mouvement p perpendiculaire à r puisqu’elle est justement parallèle à r .
L’action de l’électromagnétisme en mécanique quantique
En mécanique quantique, plusieurs problèmes furent résolus après l’introduction de la
constante de Planck h . Les unités de cette constante correspondent à ce que l’on nomme en
physique une « action ». Une action permet de modifier la configuration d’un système en
comptabilisant les variations d’énergie sous un intervalle de temps. L’action correspond au
produit d’une énergie avec un temps.
Le principe de moindre action invite tout phénomène physique à se réaliser en minimisant
l’action requis pour effectuer un changement :
sJ1063,6
34
⋅×=
−
h
• Puisque h est une constant très petite, les forces électromagnétiques permettent à un
système d’effectuer de très petit changement à la fois.
• Un changement macroscopique est un changement nécessitant un nombre
macroscopique d’action h .
• Un changement quantique au niveau des atomes peut requérir de toute petite action étant
un multiple entier d’action h .

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
L’action du moment cinétique
La constante de Planck h peut être réécrite sous une autre forme qui invite un nouveau
concept à être interprété comme étant une action : le moment cinétique
z
L .
Preuve : [ ] ( ) /smkgsm
s
mkg
sNmsJ
2
2
⋅=⋅
⋅
=⋅=⋅=h
Il est important de préciser que
[
]
/smkg
2
⋅=h sous cette forme ne correspond pas à des
unités de moment cinétique, car une notion de radian est incluse dans le moment cinétique
en raison d’une périodicité après une rotation complète.
La constante de Planck réduite
h
La constante de Planck h utilisé pour évaluer le quanta d’énergie d’un photon peut être
réécrite sous la forme d’une constant de Planck réduite
h
(h barre) où un nouveau quanta
peut être associé à l’action du moment cinétique :
sJ100546,1
2
34
⋅×==
−
π
h
h
Preuve :
La notion de moment cinétique introduit un concept de périodicité dans un mouvement où
un cycle correspond à 2 π radians. Démontrons que l’unité du moment cinétique prend la
forme de la constante de Planck réduite
h
:
[ ] [ ] [ ]
[
]
[ ] h==⋅=⋅⋅=⋅
⋅
=
⋅
=⋅==
π
ω
2rad2 π
tour1
radradsJrads
s
mkg
s
s
rad
s
mkg
s
rad
mkg
2
22
2
h
hILz
La quantification du moment cinétique
Puisque la constante de Planck réduite
h
correspond à
l’action du moment cinétique z L , la mécanique quantique
impose la quantification du moment cinétique . Ainsi, toute
variation de moment cinétique d’une particule doit
d’effectuer à « coup de
h
». De plus, tous les modules du
moment cinétique z L se doit d’être quantifier et être un
multiple entier n de
h
:
( )
ℜ∈
classiquez
L
( )
N,
quantique
∈∈ nnL
z
h
0
h h2
h3
...
hn 0
hnL
z
=
où
z
L : Moment cinétique d’une particule ou d’un atome ( sJ
⋅
)
n : Nombre entier de quanta de moment cinétique ( N
∈
n )
h
: Constante de Planck réduite, sJ100546,1 34 ⋅×= −
h