Propagation d`ondes dans les solides
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La Physique animée – CultureSciencesPhysique.ens-lyon.fr et Unisciel.fr Propagation d’ondes dans les solides : Introduction : Thomas Young est né en 1773 et mort en 1829. Il étudie tout d’abord la médecine et obtient son titre de docteur en médecine en 1795. Mais, très vite, il préfère se consacrer à la recherche et à la physique. Il est renommé pour ses contributions en optique, notamment grâce à l’expérience d’interférences dite des « fentes d’Young » qu’il réalise en 1801 : cette expérience consiste à faire passer un faisceau lumineux issu d'une source unique à travers de minuscules trous, percés dans un plan opaque. La figure obtenue sur un écran situé au delà des deux trous est constituée de lignes alternativement lumineuses et sombres, appelées franges d’interférences. Cette expérience historique mettait clairement en évidence le caractère ondulatoire de la lumière. Mais il aura fallu attendre la fin du XIXème siècle pour que le physicien écossais James Clerk Maxwell interprète bien finalement la lumière comme étant la propagation d’ondes électromagnétiques. Dans le domaine de la mécanique et, plus précisément, de la résistance des matériaux, Thomas Young remarque que le rapport entre la contrainte (c’est-à-dire la force par unité de surface) appliquée à un solide et l’allongement relatif qui en résulte est constant, tant que cette déformation reste petite et que la limite d’élasticité du solide n'est pas atteinte. Cette constante, appelée module d’Young, caractérise la rigidité du milieu et intervient dans l’expression de la vitesse du son dans les solides. On peut en effet penser que les ondes sonores se propageront d’autant plus rapidement que le solide sera rigide, c’est à dire son module Young est important. Connaître la rigidité d’un milieu permet, par exemple par la technique de l’élastographie dans le domaine de l’imagerie médicale, de déceler une anomalie dans un organe du corps humain. Nous allons, dans cette vidéo « la physique animée », nous intéresser à l’équation de propagation des ondes dans un solide et présenter quelques notions de résistance des matériaux, comme la loi de Hooke et le module d’Young. Expérience : Nous proposons ici deux expériences pour observer la propagation d’ondes dans les solides. Nous allons dans un premier temps mesurer la vitesse de propagation d’une onde dans différents matériaux. Nous avons choisi 3 matériaux de géométrie semblable : même section et même longueur. Il s’agit d’un barreau en téflon, un barreau en PVC et un barreau en aluminium. Ils sont, d’un côté, fixés sur une même plaque. De l’autre côté, nous avons disposé sur chacun d’eux un capteur piézoélectrique, permettant de détecter un mouvement grâce au signal électrique fourni. L’onde est créée en tapant la plaque avec un quatrième capteur piézoélectrique. Le signal électrique donné par celui-ci va servir de référence de temps. Olivier Granier, Delphine Chareyron, Nicolas Taberlet La Physique animée – CultureSciencesPhysique.ens-lyon.fr et Unisciel.fr Les capteurs sont reliés à un oscilloscope numérique 4 voies. On observe les réponses des capteurs piézoélectriques dans l’ordre suivant : aluminium, PVC puis téflon. A l’aide des curseurs il est possible de mesurer le temps de propagation de l’onde pour remonter aux vitesses. Nous trouvons ici à peu près 5500 m/s dans l’aluminium, 2100 m/s dans le PVC et 1200 m/s dans le téflon. Ces vitesses sont extrêmement élevées et il nous ait impossible de visualiser la propagation de la déformation dans ces solides. Nous proposons alors, en guise d’analogie, de visualiser la propagation d’une onde à l ‘aide d’un ressort. En comprimant quelques spires, puis en relâchant, la déformation agit comme une force sur les spires les plus proches, les mettant en mouvement. Leurs déplacements induisent à leur tour de nouvelles forces, et la déformation va se déplacer de proche en proche le long du ressort. Théorie: Si l’on en croit Lucky Luke, les indiens du far west américain collaient leurs oreilles sur les rails de chemins de fer pour vérifier si un train était bien sur le point d'arriver. Si les indiens utilisaient cette méthode, c'est parce que le son se propage beaucoup plus vite dans un métal que dans l'air. En effet, dans un métal, la vitesse du son est de l’ordre de 5 000 m.s-1 alors qu’elle est de l’ordre de 340 m.s-1 dans l’air. Quand un solide est déformé par un choc ou une compression, la déformation gagne les atomes voisins qui, se mettant à vibrer autour de leur position d'équilibre, agissent à leur tour de proche en proche, propageant finalement la déformation dans tout le milieu. Afin de mieux comprendre cette propagation de la déformation, prenons l’exemple simple d’un solide cristallin, dont la maille élémentaire est un cube d’arête a dont les atomes occupent les sommets. Les atomes ponctuels, de masse m, sont reliés entre eux par des ressorts horizontaux, de constante de raideur k et distants de la longueur a, correspondant à la distance inter-atome à l’équilibre. Isolons une chaîne horizontale d’atomes : ces atomes, couplés élastiquement par des ressorts, constituent une modélisation simple pour décrire la propagation de petits mouvements vibratoires, c'est-à-dire la propagation du son dans un solide. Les forces rappelant un atome vers sa position d'équilibre peuvent être modélisées, à l'ordre linéaire, par un rappel élastique, dans la mesure où les amplitudes des vibrations des atomes sont faibles par rapport à a. Le mouvement de l’ensemble se fait sans frottements le long de l’axe (Ox). Les atomes se déplacent légèrement autour de leurs positions d’équilibre respectives, que l’on peut paramétrer sous la forme xéq,n = na pour l’atome de rang n. On repère la position de cet atome hors équilibre par son abscisse : xn égale à na + un déplacement un qui reste faible vis-à-vis de a. La force exercée par l’atome n + 1 sur l’atome n est la force élastique du ressort, proportionnelle à son allongement. La distance inter-atome a est de l’ordre de 10-10 m : c’est une distance très inférieure à la période spatiale du déplacement longitudinal, c’est à dire la longueur d'onde de la vibration, de l’ordre de 25 cm à 20 kHz, pour une vitesse de 5 000 m.s-1. Olivier Granier, Delphine Chareyron, Nicolas Taberlet La Physique animée – CultureSciencesPhysique.ens-lyon.fr et Unisciel.fr Par conséquent, l’élongation un(t) varie très peu sur la distance a. L’approximation des milieux continus consiste alors à définir une fonction u continue, représentant le déplacement longitudinal à l’abscisse x et à l’instant t. Dans le cadre de cette approximation, la force elle aussi devient une fonction continue et peut s’écrire, en considérant a comme un infiniment petit du 1er ordre, en fonction de la dérivée de l’élongation u par rapport à l’abscisse x. Revenons maintenant à notre modèle de solide et plaçons nous dans le cadre de l’approximation des milieux continus. Le nombre d’atomes sur une section transverse S de solide est S / a2. La force F exercée par la partie de solide située à droite de la surface sur la partie située à gauche vaut simplement la force précédente fois le nombre d’atomes. Cette force est proportionnelle à l’allongement relatif du solide : c’est la loi de Hooke k Et Y = est le module d’Young, homogène à une pression. a Afin d’obtenir l’équation de d’Alembert par une étude mésoscopique, on écrit le principe fondamental de la dynamique à une tranche de solide d’épaisseur au repos dx, de surface transverse S et de masse mSdx, où m est la masse volumique du solide. En utilisant la loi de Hooke, cette équation devient. ∂2 u(x, t) 2 ∂2 u(x, t) Y avec c = =c 2 2 ∂t ∂x µ C’est l’équation d’onde de d’Alembert, déjà obtenue dans les vidéos de la collection « Physique animée » sur les ondes sonores dans les fluides et les ondes dans les cordes. On sait qu’elle est associée à un phénomène ondulatoire de vitesse ou célérité c. Cette vitesse ne doit pas être confondue avec la vitesse de déplacement longitudinal des atomes. Les ondes sont ici longitudinales car le mouvement des atomes se fait dans la direction de propagation. On a constaté, dans l’expérience, que la vitesse du son est d’autant plus grande que le milieu est rigide (module d’Young important) et peu inerte (masse volumique faible). Nous devons la découverte des différentes couches de la terre à la sismographie. Lors d’un tremblement de terre, les sismographes répartis sur la planète enregistrent les profils de vitesse des ondes transmises. Les vitesses sont modifiées en fonction de la profondeur et mesurées lors de leur traversée de la planète. Les géophysiciens ont découvert que les vitesses des ondes présentent une série de discontinuités qui sont dues en particulier à des transformations cristallographiques des minéraux qui composent la Terre. Le manteau colorié en vert est principalement composé de péridotite (silicate de Fer et de Magnésium), le noyau externe, en jaune, de fer liquide et le cœur, en rouge, de fer solide. A l’aide de ces éléments, les géophysiciens ont pu déterminer les tailles des différentes couches qui composent la Terre et remonter au profil de densité. On retrouve bien une vitesse de propagation plus faible dans le noyau externe qui est un liquide. Olivier Granier, Delphine Chareyron, Nicolas Taberlet
