TIS-DTIM-2017-021 M2SN Méthodes d`éléments finis Web

GEN-F160-7 (GEN-SCI-029)
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www.onera.fr
PROPOSITION DE SUJET DE THESE
Intitulé : Méthodes d'éléments finis frontières auto-adaptatives pour
la simulation de grandes scènes en propagation d'ondes.
Référence : TIS-DTIM-2017-021
(à rappeler dans toute correspondance)
Laboratoire d’accueil à l’ONERA :
Branche : Traitement de l'information et
systèmes Lieu (centre ONERA) : Toulouse
Département : Département Traitement de
l'Information et Modélisation
Unité : M2SN Tél. : [phone]
Responsable ONERA : D. Levadoux et
S. Pernet Email : [email protected]
Directeur de thèse envisagé :
Nom :
Adresse :
Tél. : Email :
Sujet :
L’efficacité des méthodes d'équations intégrales pour résoudre nombre de problèmes de
diffractions d'ondes est désormais un fait avéré,
particulièrement lorsque ces problèmes sont complexes
et de grandes tailles. Dans ce domaine, l'ONERA est un acteur majeur, particulièrement reconnu grâce
à son code de simulation électromagnétique NumWorks/Maxwell3D qui porte à un haut niveau de
performance ce type de méthodes: http://www.onera.fr/fr/actualites/un-bond-dans-le-temps-de-calcul-
de-la-signature-radar.
Mais si ces méthodes sont précises et
rapides, elles réclament à leurs utilisateurs un niveau d'expertise
important. En effet, la création de l'espace d'approximation de la solution nécessite de construire un
maillage qui soit fidèle à la complexité géométrique du problème et qui permette de
contrôler l'erreur
numérique de la solution. Il en résulte des opérations de pré ou post-
traitement coûteuses en temps
ingénieur car la création d'un maillage satisfaisant ces contraintes n'est jamais automatique et nécessite
l'utilisation longue et souve
nt délicate de logiciels de CAO/maillages. De surcroît, comme l'erreur
numérique est difficile à calculer après un calcul, l'utilisateur préfère surmailler a priori
toutes les zones
« douteuses » (singularités géométriques, contrastes matériaux, etc.). Il
en résulte une perte d'optimalité
de la méthode et parfois, lorsque la physique sous-
jacente du problème n'est pas triviale, une solution
numérique instable et peu fiable (cf. Le cas CrossRoll du workshop EM ISAE 2014
http://websites.isae.fr/IMG/pdf/cas_test_3a.pdf).
Afin de répondre a ces difficultés, nous proposons de mettre en place un algorithme de raffinement
auto-
adaptatif capable de générer une suite de maillages garantissant une décroissance de l'erreur
d'approximation sous un seuil prescrit par l
'utilisateur et certifiant ainsi la validité du calcul. Rappelons
qu''un algorithme de raffinement auto-adaptative consiste à réaliser en boucle les actions suivantes:
1. calcul de la solution numérique

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2. estimation de l’erreur sur l’ensemble du maillage
3. marquage des éléments du maillage où cette erreur est la plus grande
4. raffinement des zones marquées
Ce processus est répété jusqu'à ce que l'erreur soit inférieure au seuil prescrit. On peut donc imaginer
partir d’un maillage grossier mais généré rapidement, pui
s prescrire une erreur cible et enfin laisser
l’algorithme auto-adaptatif générer la suite des maillages jusqu’à convergence de l’erreur.
Un des points clés du raffinement auto-adaptatif est la construction d'indicateurs d'erreur
a posteriori
capables de
guider efficacement l'algorithme. L'ONERA a récemment ouvert un axe de recherche dans
ce domaine pour la modélisation par équations intégrales et a proposé via la thèse de Marc Bakry [1]
de nouveaux indicateurs a posteriori fiables et efficaces qui permettent d'envisager une résolution auto-
adaptative optimale.
L’objectif de cette thèse est de réaliser une avancé dans le domaine de la simulation numérique des
phénomènes de propagation d'ondes par formulations intégro-différentielles en mettant en plac
e un
algorithme de raffinement auto-
adaptatif efficace pour des applications de grandes tailles. Si ce type
d'approche est déjà bien éprouvé pour les méthodes élément fini standards il reste un challenge pour
les méthodes intégrales du fait de la diversité
et la complexité des algorithmes mis en œuvre (solveurs
direct/itératifs, préconditionneurs algébriques/analytiques, produits matrices vecteurs rapides FMM ou
H-matrix, etc.). Cependant les compétences acquises dans ce domaine à l'ONERA sont nombreuses et
permettent de relever le défi.
En résumé, la thèse a pour ambition de concevoir un algorithme auto-adaptatif permettant :
• de garantir la précision d’un calcul par rapport à une prescription de l’utilisateur,
• de construire un maillage "idéal" du point de vue de la simulation,
•
de réduire le coût global du calcul en économisant du temps ingénieur lors de la génération du
maillage.
Nous proposons trois axes de recherche pour réaliser cette o bjectif :
1.
Le schéma classique de résolution par équations int
égrales est l'utilisation d'un solveur itératif
dont le produit matrice-
vecteur est accéléré par une méthode FMM (Fast Multipole Method). La
mise en place d'un algorithme de raffinement auto-
adaptatif nécessite naturellement un certain
nombre de modificat
ions dans ce schéma afin d'assurer la performance du code de calcul. En
effet, cet algorithme va produire localement des zones raffinées, voire très raffinées (i.e. un
maillage multi-échelle) qui sont généralement néfastes pour les performances des solveur
s
basés sur une méthode FMM standard. Il est donc impératif de posséder une méthode
d'accélération efficace pour ce type de configurations. Des solutions dans la littérature (FMM
base multi-fréquence [2], H-matrix [3]) seront le point départ pour concevoir le produit matrice-
vecteur efficace pour ce type de maillages. D'autre part, à chaque itération, l'algorithme de
raffinement produira uniquement des modifications locales du maillage donc de la matrice à
inverser. Il sera donc primordial de mettre en plac
e des structures évitant la reconstruction
globale à chaque raffinement de toutes les données nécessaires pour effectuer les produit
matrice-vecteur (voir [4] ).
2.
La technique proposée dans [1] offre aussi une approche naturelle pour déterminer
une
estimation de l’erreur algébrique induite par l’utilisation d’un solveur itératif. Cette estimation
sera de même nature que l’erreur de discrétisation (norme sous-
jacente à la méthode
d’approximation) et devrait ainsi permettre de proposer des critère
s d’arrêt efficace. Plus
précisément, les estimateurs d'erreur a posteriori que l'on a évoqué précédemment sont utilisés
pour répondre à la question : quelle est la distance entre la solution approchée uh et la solution
exacte u de notre problème ? Leur
construction est basée sur l'hypothèse que le problème
discret a été résolu de façon exacte. Or en pratique, on utilise souvent un solveur itératif pour

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inverser le système linéaire, et donc, pour pouvoir utiliser les indicateurs d'erreur dérivés pour
uh ,
il faut utiliser un critère d'arrêt très petit afin de s'assurer que la solution calculée ua soit
proche de uh . Ceci peut induire une augmentation substantielle du coût de calcul sans aucune
amélioration supplémentaire de l'erreur globale. Notre objec
tif est de donner une estimation
précise de l'erreur u -
ua par le biais d'un estimateur d'erreur a posteriori de la forme µd+µa où
µd et µa estiment respectivement l'erreur de discrétisation et l'erreur algébrique. On peut alors
choisir comme critère d’arrêt pour le solveur itératif une condition du type µa ≤
β µd avec 0 <β<1
(voir [5]). Autrement dit, on utilise un équilibrage entre l’erreur de discrétisation et l’erreur
algébrique pour déterminer un critère d’arrêt. Le but est d’éviter de faire un grand no
mbre
d’itérations à partir du moment où l’erreur algébrique passe en dessous de l’erreur de
discrétisation et ainsi de faire une économie importante en terme de coût calcul.
3. Ce dernier axe s’intéressera à la preuve théorique la convergence quasi-optimal
e de
l’algorithme de raffinement auto-
adaptatif c'est à dire que nous tenterons de démontrer que ce
dernier produit la meilleure suite de maillages possible pour un problème donné. Nous avons
déjà prouvé ce type de résultat dans [1] pour un algorithme gu
idé par une localisation standard
du résidu et pour une résolution directe du système linéaire. Ici, on s'attachera à étendre le
résultat aux algorithmes guidés par les indicateurs a posteriori construits à partir de la nouvel
technique de localisation pr
oposée dans [1] et en considérant une résolution itérative du
système linéaire contrôlée comme prévu dans 2. Ce résultat non trivial assurera la robustesse
du nouvel l'algorithme.
Finalement, les approches proposées seront implémentées dans le code NumWorks/Maxwell3D.
[ 1] Marc Bakry.
Fiabilité et optimisation des calculs obtenus par des formulations intégrales en
propagation d'ondes, doctorat en mathématiques appliquées, Université Paris-Saclay, 2016.
[2] Stéphanie Chaillat, Francis Collino. A Wideb
and Fast Multipole Method for the Helmholtz Kernel:
Theoretical Developments, Computers and Mathematics with Applications, 2015 , 70.
[3] Wolfgang Hackbusch, Hierarchical matrices : algorithms and analysis
, Springer series in
computational mathematics, 2015.
[4] Jelena Djokic, E
cient Update of Hierarchical Matrices in the case of Adaptive Discretisation
Schemes, Phd university of Leipzig, 2006 .
[5] P. Jiránez, Z. Strakos, and M. Vohralík.
A posteriori error estimates including algebraic error and
stopping criteria for iterative solvers. SIAM J. Sci. Comput., 32 :1567–1590, 2010.
Collaborations extérieures : Marc Bakry (INRIA Defi )
PROFIL DU CANDIDAT
Formation : Université ou école d’ingénieur
Spécificités souhaitées : Mathématiq
ues appliquées, EDP, analyse numérique, éléments
finis et fortra n