ÉLECTROMAGNÉTISME ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )

Spé y 2010-2011
Devoir n°2
ÉLECTROMAGNÉTISME
E3A MP 2009
A.1.1.a. Pour créer un champ électrique dans un conducteur, il faut appliquer une différence
de potentiel ou tension entre ses extrémités. On peut aussi appliquer un champ magnétique variable
ou déplacer le conducteur dans un champ magnétique constant.
b. Dans le référentiel lié au réseau atomique, un électron est soumis :
Ÿ à son poids (que l’on néglige devant les autres forces) ;
ur
ur
Ÿ à la force f ELEC = ( -e ) E 0 de la part du champ électrique ;
ur
mr
Ÿ à la force de frottement f = - v .
t
Le référentiel est supposé galiléen. La relation fondamentale de la dynamique s’écrit donc
r
ur m r
d v (t )
m
= ( -e ) E 0 - v
dt
t
r
r
d v ( t ) v æ -e ö ur
+ = ç ÷ E0 .
soit encore
dt
t èmø
c. C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre dont la solution générale est de
r
ur
et ur
la forme v ( t ) = Ae- t / t - E 0 .
m
Il apparaît la durée caractéristique t du régime transitoire et la vitesse en régime établi
r
et ur
v0 = - E 0 .
m
d. Le courant électrique est un phénomène de transport convectif donc la densité de courant
ur
ur
r
ur
r
ne 2 t ur
E0 .
est de la forme J = n ( -e ) v . En régime établi, il reste J 0 = n ( -e ) v 0 soit J 0 =
m
ur
L’intensité étant le flux de J , l’unité de celui ci est donc homogène à une intensité par unité
de surface et son unité est A×m-2.
ur
ur
ne 2 t
e. On constate que l’on a bien la loi locale d’Ohm J 0 = g E 0 en posant g =
.
m
(18,1´10 )(1,6 ´10 ) ( 7, 27 ´10 )
A.N. g =
( 9,1´10 )
28
-19 2
-15
-31
= 3,7´107 W–1×m–1.
A.1.2.a. L’équation du mouvement est linéaire donc on peut chercher des solutions particur
ur
lières sinusoïdales de pulsation w sous forme complexe en notant v ( t ) = Veiwt . On obtient
ur
ur iwt Veiwt æ -e ö ur iwt
ur æ
ö ur
1 ö ur æ -e ö ur
-et
æ
iwVe +
= ç ÷ E 0 e d’où ç iw + ÷ V = ç ÷ E 0 puis V = çç
÷÷ E 0 .
t
tø
m
1
+
i
wt
(
)
èmø
è
èmø
è
ø
ur
ur æ ne 2 t ö ur
On définit alors la densité de courant complexe J = n ( -e ) V = çç
÷÷ E 0 . On reconè m (1 + iwt ) ø
g
naît la loi locale d’Ohm et l’on peut poser G ( iw) =
.
(1 + iwt )
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Devoir n°2
g
b. On a G ( iw) =
. C’est une fonction décroissante de w. On peut tracer la courbe
1 + w2 t2
en coordonnées linéaires ou en coordonnées logarithmiques.
|G|/g
log(|G|/g) log(WC/w0)
log(w/w0)
–3dB
1/ 2
w
WC
On a les formes asymptotiques suivantes donc
Ÿ pour w << 1/t, G ( iw) = g ;
g
.
wt
Il apparaît donc la pulsation de coupure WC = 1/t. A.N. WC = 1,4´1014 rad×s–1. Cette pulsation est très élevée. On peut considérer que pour des fréquences usuelles du courant, la conductivité
du métal est un réel indépendant de la fréquence.
A.2.1.a. Les équations de Maxwell s’écrive, dans le milieu métallique :
ur
ur
ur
ur
uur ur
ur
¶ B T ( M , t ) uur ur
¶ET ( M , t )
div E T = r / e 0 , div B T = 0 , rot E T = ; rot B T = m 0 J ( M , t ) + e0m 0
.
¶t
¶t
ur
r
Comme le champ électrique ne dépend que de z et est porté par e x , on a div E T = 0 . On a
Ÿ pour w >> 1/t, G ( iw) =
( )
( )
( )
( )
( )
donc r = 0 dans le conducteur (non parfait).
æ ¶E ö
J / ç e0
= g/ ( e 0 w) >> 1 par hypothèse donc
¶t ÷ø
è
uur ur
ur
l’équation de Maxwell-Ampère se réduit à rot B T = m 0 J ( M , t ) .
ur
¶ E T (t )
ur
b. La condition e0
<< J ( M , t ) s’appelle l’ARQS magnétique.
¶t
ur
c. La répartition de courant étant a priori dans tout le volume du conducteur et décrite par J
dans un modèle 3D, il n’y a pas de densité 2D sur l’interface métal-vide. On a donc continuité de la
ur
ur
composante tangentielle de B , c’est-à-dire de B puisqu’ici, il n’a pas de composante normale. On
peut donc écrire BT ( 0 + , t ) = BI ( 0- , t ) .
ur
r
ur
r
A.2.2.a. Avec les expressions E T = E T ( z , t ) e x et B T = B T ( z , t ) e y , l’équation de Maxwell¶ E T ( z, t ) r
¶ BT ( z, t ) r
Faraday
devient
ey = ey
et
celle
de
Maxwell-Faraday
¶z
¶t
r
¶ B ( z, t ) r
- T
e x = m0 g E T ( z, t ) e x .
¶z
Comme
J ( z , t ) = g E T ( z , t ) , on a
( )
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Devoir n°2
On dérive la première par rapport à z et la deuxième par rapport à t, on trouve
¶ E ( z, t )
¶ E T ( z, t )
¶ ¶ B T ( z, t )
¶ ¶ B T ( z, t )
=et = m0 g T
.
2
¶z
¶z
¶t
¶t
¶z
¶t
2
Comme
¶ 2 E T ( z, t )
¶ E ( z, t )
¶ 2 BT ( z, t ) ¶ 2 B T ( z, t )
= m0 g T
=
, il vient
.
2
¶z
¶t
¶z¶t
¶t ¶z
Avec E T ( z , t ) = f ( z ) exp ( iwt ) , il vient
d 2 f ( z)
dz 2
= m0 giw f ( z ) après simplification par eiwt .
b. L’équation caractéristique r 2 = im 0 gw a pour racines r = ±
1+ i
1+ i
m 0 gw = ±
en posant
d
2
z z
z z
+i
- -i
2
d d
d d
d=
. La solution de l’équation différentielle est donc f ( z ) = Ae
+ Be
.
m 0 gw
On constate que lim Ae
z ®¥
Il reste donc f ( z ) = Be
z z
- -i
d d
z z
+i
d d
= ¥ ce qui n’est pas possible physiquement. On en déduit A = 0.
puis E T ( z , t ) = Be - z / d exp ( i ( wt - z / d ) ) . En posant B = ET,0 e jj , donc
la partie réelle est ET ( z , t ) = ET,0 e - z / d exp ( i ( wt - z / d + j ) ) .
La grandeur d est homogène à une longueur car l’argument z/d est sans dimension. d représente la distance caractéristique d’atténuation des champs. On l’appelle épaisseur de peau.
A.N. d =
2
= 8,2´10–5 m soit d = 83 mm.
7
6
( 4p´10 )( 3, 7 ´10 )( 2p´10 )
-7
c. d décroît lorsque w augmente. Pour un conducteur parfait tel que g est infini, on obtient
d = 0. Il n’y a aucune pénétration des champs.
d. Par définition du vecteur de Poynting, la puissance instantanée qui traverse une surface S
ur
ur
ur r
ur
E (M ,t) Ù B (M ,t )
est P ( t ) = òò R × n S dS avec R ( M , t ) =
. Les expressions réelles des champs
m0
S
ur
E0 2 cos 2 ( wt ) r r
E0 2 cos 2 ( wt ) r
conduisent alors à R ( M , t ) =
ex Ù e y =
e z . En prenant une surface perm0c
m0c
r
E0 2 cos 2 ( wt ) r r
E0 2 cos 2 ( wt )
pendiculaire à e z , il vient P ( t ) = òò
e z × e z dS =
òòS dS soit
m0c
m0c
S
P (t ) =
E0 2 cos 2 ( wt )
S.
m0c
Comme
cos 2 ( wt ) = 1/ 2 , la puissance moyenne par unité de surface est PI =
E0 2
.
2m 0c
e 0 cE0 2
Comme e0m0 = 1/c , on peut écrire aussi PI =
2
e. d est homogène à une longueur et w à l’inverse d’un temps donc wd est homogène à une
vitesse comme c. Tous les termes des sommes sont homogènes entre eux et le rapport est sans dimension.
2
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Devoir n°2
æ ( wd - c )2 + c 2 ö
æ ( wd + c ) 2 - ( wd - c )2 ö
On
a
PT = ç1 =ç
÷P
÷ PI
2
2
ç ( wd + c ) 2 + c 2 ÷ I
ç
÷
c
c
wd
+
+
(
)
è
ø
è
ø
æ
ö
æ ( 2c )( 2wd ) ö
æ ( ( wd + c ) - ( wd - c ) ) ( ( wd + c ) + ( wd - c ) ) ö
4wdc
=
P
ç
÷P .
=
P
soit
ç
÷
=ç
P
÷
T
I
2
ç ( wd + c ) 2 + c 2 ÷ I
ç
÷ I ç ( wd + c )2 + c 2 ÷
( wd + c ) + c 2
è
ø
è
ø
è
ø
1
2
w
L’hypothèse g >> e0w se traduit par m 0 g >> 2 w soit 2 >> 2 ou encore dw << c. La
c
d w
c
æ 4wdc ö
æ 2wd ö
2
relation précédente devient donc PT » ç
P =ç
÷ PI soit PT = e 0 wdE0 .
2 ÷ I
è 2c ø
è c ø
Cette puissance est absorbée par le conducteur puis dissipée par effet Joule.
PT æ 2wd ö
=ç
÷ << 1 . La puissance transportée par l’onde incidente ne pénètre pratiquePI è c ø
ment pas dans le conducteur ce qui justifie a priori le choix de ce type de matériau pour réaliser un
blindage électromagnétique.
ur
r
N
A.3.1.a. Le champ magnétique à l’intérieur du solénoïde est B INT = m 0 I e z .
D
r
ur uur
ur
b. Le flux à travers une spire orientée comme e z est FSPIRE := òò B × nS dS . Comme B est
On a
uniforme sur la surface, il reste FSPIRE :=
r r
N
N
m 0 I òò e z × e z dS = m 0 I S avec S = pr2.
D
D
N2
m 0 I pr 2 .
D
Par définition du coefficient d’auto inductance, on a L := F/I. On trouve donc ici
Le flux propre total à travers le solénoïde est F = NFSPIRE soit F =
pr 2
L = N m0
.
D
2
ur
r
N
c. Le champ crée par la grande bobine dans la petite est toujours B INT = m 0 I e z donc son
D
r
N
flux à travers une spire de la petite bobine orientée comme e z est F 'SPIRE = m 0 I pr '2 . Le flux total
D
N N'
m 0 I pr '2
est donc F ' =
D
Par définition du coefficient d’inductance mutuelle, on a M := F’/I. On trouve donc ici
M = N N ' m0
pr '2
.
D
On en déduit a = N N ' .
ur
d. Dans l’ARQS magnétique, le champ magnétique vérifie les équations div B T = 0 et
uur ur
ur
rot B T = m 0 J ( M , t ) comme en magnétostatique donc l’expression du champ magnétique crée par
( )
( )
la bobine est la même. Les résultats précédents ne sont donc pas modifiés.
A.3.2.a. On dessine le circuit avec l’intensité orientée. On est en
régime sinusoïdal donc on utilise les impédances complexes. On peut
E
écrire E = ( R + RG ) I + iLwI d’où I =
.
( R + RG ) + iLw
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i(t)
RG
e
R
L
Devoir n°2
UL
On en déduit I =
On obtient i ( t ) =
E
et tan ( jI - je ) = - Lw / ( R + RG ) .
( R + RG ) + ( Lw)
Em cos ( wt )
en posant
2
2
( R + RG ) + Lw
2
2
je = arc tan ( Lw / ( R + RG ) ) .
b. On a uL ( t ) = L
di ( t )
iLw E
soit, en amplitude complexe U L = iLwI =
donc
dt
( R + RG ) + iLw
iwL / ( R + RG )
R + RG
UL
=
qui est bien de la forme demandée en posant wC =
.
E 1 + iwL / ( R + RG )
L
On a
w / wC
UL
U
U
=
donc L : 0 et L : 1 . On a un filtre passe-haut.
2
E
E w=0
E w=¥
1 + ( w / wC )
B.1. On constate que le champ électrique et le champ magnétique n’ont pas le même comportement vis-à-vis de la fréquence à basse fréquence mais décroissent de la même manière audessus d’une fréquence critique de l’ordre de 106 Hz.
Ÿ Le champ électrique ne pénètre pas dans la cavité à basse et à haute fréquence. Il est
maximum dans la cavité au voisinage de la fréquence critique. Pour des fréquences inférieures,
l’augmentation du champ est de l’ordre de +50 dB par décade. Pour des fréquences supérieures, la
décroissance du champ est de l’ordre de –75 dB par décade.
Ÿ Le champ magnétique pénètre dans la cavité à basse fréquence mais pas à haute fréquence.
Il décroît constamment dans la cavité si la fréquence augmente, avec deux pentes bien distinctes :
pour des fréquences inférieures à la fréquence critique, la décroissance est de l’ordre de –10 dB par
décade ; pour des fréquences supérieures, la décroissance est de l’ordre de –75 dB par décade.
ur
uur ur
¶ B INT ( M , t )
. Sur la surface
B.2. L’équation de Maxwell-Faraday s’écrit rot E INT = ¶t
ur
uur ur
r
r
¶ B INT r
d’aire SL orienté comme e y , on peut écrire òò rot E INT × nS ( M ) dS = - òò
× nS ( M ) dS .
¶t
SL
SL
uur ur
r
ur
r
Ÿ Avec le théorème de Stokes, il vient òò rot E INT × n S ( M ) dS = Ñò E INT × td l . Le champ
est
(
(
)
)
(
)
C
ur
E INT est tangent au contour en tous les points de celui-ci et sa valeur algébrique uniforme donc
ur
r
E
INT × td l = EINT ( t ) L avec l’orientation choisie.
Ñò
SL
C
ur
r
¶ B INT r
d ur
¶×
Ÿ òò
× n S ( M ) dS = òò B INT × n S ( M ) dS car les opérateurs
et òò commutent
¶t
dt SL
¶t
SL
SL
ur
r
r
r
puisqu’ils portent sur des variables indépendantes. Mais òò B INT × n S ( M ) dS = BINT ( t ) e y × òò e y dS car
L
ur
r
le champ magnétique est supposé uniforme à l’intérieur. Il reste òò B INT × n S ( M ) dS = BINT ( t ) S L .
SL
S
SL
dBINT ( t )
SL .
dt
Cette équation est linéaire donc on peut utiliser les représentation complexe. On en déduit
E INT L = -iwB INT S L ou encore E INT L + iwB INT S L = 0
En reportant, on obtient EINT ( t ) L = -
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Devoir n°2
B.3. On a E INT,V =
w SL B0
L2 + ( g wm 0 h S L )
2
et B INT =
L B0
L2 + ( g wm0 h S L )
2
. On constate E INT,V : 0
w=0
et B INT,V : B0 d’une part et E INT,V : 0 et B INT,V : 0 . Ces limites sont conformes aux résultats
w=0
w=¥
w=¥
expérimentaux.
B.4.
B INT = B0
Posons
wC =
L
,
m 0 ghS L
on
peut
alors
E INT,V =
écrire
B0
i w / wC
m 0 gh i w / wC - 1
et
1
1 - i w / wC
On en déduit :
æ B
(
log E INT,V
æ E INT,V ö
÷
log ç
ç B0 / m0 gh ÷
è
ø
æ B INT,V
log ç
ç B0
è
ö
Ÿ log ( E INT,V ) : log ç 0 ÷ - log ( w/wC ) et
w= 0
è m0 gh ø
log(w/wC)
æ
ö
) : log çè mBgh ÷ø .
w=¥
0
0
Ÿ log ( B INT,V ) : log ( B0 ) et
ö
÷
÷
ø
w= 0
(
log B INT,V
) : log ( B ) - log ( w/w
0
w=¥
C
).
L’allure des courbes est indiquée ci-contre.
A.N. w =
C
4 ´ ( 30 ´ 10-2 )
( 4p´10 )( 3, 7 ´10 )( 0, 2 ´10 )(30 ´10 )
-7
-3
7
-2 2
wC
= 228 Hz.
2p
B.5. On constate que ce modèle ne prévoit pas correctement l’allure des courbes (il manque
la décroissance de |EINT| à haute fréquence ni la valeur de la fréquence de coupure.
C.1.1. a. La courbe de U1,EFF seule montre que cette tension est faible aux basses fréquences
même en l’absence de blindage. Le champ induit est faible aux basses fréquences. Il vaut donc
mieux tracer le rapport des tensions avec et sans blindage pour ne voir que l’effet de celui-ci. La
courbe de UEFF,B/UEFF,A montre que le blindage agit comme un filtre passe-bas ayant une fréquence
de coupure de l’ordre de 10 kHz..
= 1434 rad.s–1 soit f C =
b. d =
2
= 8,3´10-4 m soit 0,83 mm. On a donc d >> h.
7
4
( 4p´10 )( 3, 7 ´10 )( 2p´10 )
-7
L’onde électromagnétique pénètre donc correctement à cette fréquence. Ce n’est pas l’effet de peau
qui provoque l’effet de blindage.
C.1.2.a. Puisque la tension induite aux bornes de la bobine 1 est due uniquement à la variadi ( t )
tion du flux magnétique envoyé par (2) à travers (1), on peut écrire u1 ( t ) = M 2
où i2(t) est le
dt
courant circulant dans la bobine 2. En régime sinusoïdal on a donc U 1 = iM wI 2 . En utilisant la
question A.3.2.a., on obtient U 1 =
U 1,A
iM w
E G soit
=
EG
( R2 + RG ) + iL2w
Mw
( R2 + RG ) + ( L2w)
2
2
. Avec les
expressions de M et de L trouvées aux questions A.3.1.b et A.3.1.c, on obtient
U 1,A
EG
=
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pr 2
N1 N 2 m 0 1 w
D
æ 2
pr2 2 ö
2
R
+
R
+
N
m
w÷
( 2 G) ç 2 0
D ø
è
2
=
N1 r12
N 2 r2 2
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m0
p N 2 2 r2 2
w
D ( R2 + RG )
æ
ö
p N 2 r2
1 + ç m0
w÷
D ( R2 + RG ) ø
è
2
2
2
.
Devoir n°2
En notant wC =
tale.
U 1, A
N1 r12
D ( R2 + RG )
=
,
on
obtient
EG
N 2 r22
m 0 p N 2 2 r2 2
( w / wC )
1 + ( w / wC )
2
.
On constate que |U1,A| correspond bien à un filtre passe_haut comme la courbe expérimen-
pr2 2
, on peut écrire wC = ( R2 + RG ) / L2 .
D
(12 + 50 ) = 620 rad×s–1 soit f = 99 Hz. Cette valeur est cohérente avec la valeur
A.N. wC =
C
100 ´ 10-3
expérimentale de f1.
C.2.a. La cause du champ électrique est ici le champ magnétique variable dans le temps. Il
r
est uniforme dans la bobine et porté par e z . Il est donc invariant par antisymétrie par rapport au
r
ur
r
plan contenant O, M et e z . Il en est de même de E ( M , t ) qui est donc porté par eq ( M ) . On peut
ur
r
écrire E ( M , t ) = E ( r , z , t ) eq ( M ) .
r
Le champ magnétique est invariant par translation le long de e z donc E ne dépend pas de z.
r
Le champ magnétique est invariant par rotation d’un angle q quelconque autour de e z donc
E ne dépend pas de q.
r
Remarque : il n’y a pas invariance du champ magnétique le long de e r car il n’a pas la
même valeur lorsque l’on sort de la bobine.
ur
r
On obtient donc E ( M , t ) = Eq ( r ) eq ( M ) et, d’après la loi locale d’Ohm,
ur
r
J ( M , t ) = gEq ( r ) eq ( M ) .
Avec L2 = N 2 2m 0
b. On intègre l’équation de Maxwell-Faraday sur la surface qui s’appuie sur un contour cirur
r
uur ur
r
¶ B INT r
culaire de rayon r, orienté comme me eq , òò rot E INT × nS ( M ) dS = - òò
× nS ( M ) dS .
¶t
S
SL
r r
uur ur
r
ur
r
Ÿ òò rot E INT × nS ( M ) dS = Ñò E INT × td l = Ñò EINT eq × eq d l = EINT ( t ) 2pr .
(
SL
(
)
)
C
C
ur
r
r
r
¶ B INT r
d ur
Ÿ òò
× n S ( M ) dS = òò B INT × n S ( M ) dS = BINT ( t ) e z × òò e z dS = BINT ( t ) pr 2 .
dt SL
¶t
SL
S
dBINT ( t ) 2
pr .
dt
r
r
En amplitude complexe, on obtient E INT = - iwB INT puis J = -g iwB INT .
2
2
ur r
L’intensité qui traverse une longueur l de conducteur est i ( t ) = òò J × eq dS
En reportant, on obtient EINT ( t ) 2pr = -
r r
rC + h
l
= òò J ( r , t ) eq × eq drd l = ò J ( r , t ) dr ò d l . Comme h << rC, on peut considérer
rC
que J est
uniforme
i ( t ) = J ( rC , t ) ò
rC + h
rC
et
rC
rC + h
ur
J
0
a
sa
valeur
l
l
0
0
pour r = rC.
On
obtient
dr ò d l = J ( rC , t ) h ò d l .
l
Dans le modèle de distribution surfacique, on écrit i ( t ) = J S ( t ) ò d l .
l
alors
rC
ur
JS
0
l
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Devoir n°2
En comparant les deux expressions, il vient JS(t) = J(r, t) h soit, en amplitude complexe,
rh
1
J S = -g C iwB INT . On obtient bien une relation de la forme proposée en posant a = grC h .
2
2
c. Le champ magnétique est tangent à l’interface métal-air où circule la densité de courant
ur
J . La condition de passage s’écrit donc, en un point M de la surface,
urS
ur
ur
r
B EXT ( M , t ) - B INT ( M , t ) = m 0 J S ( M ) Ù e r ( M )
r
r
r r
soit, en projection, BEXT ( M , t ) e z - BINT ( M , t ) e z = m 0 J S ( t ) eq Ù er ( M ) d’où, en représentaB INT
tion complexe, B EXT - B INT = -m 0 J S = m 0 a iw B INT . On obtient donc
B EXT
=
1
1 + i m0 a w
qui est
bien de la dorme demandée en posant WC’ = 1/(m0a).
d. WC ' =
2
( 4p´10 )( 3, 7 ´10 )( 2, 2 ´10 )( 62 ´10 )
-7
-2
7
-6
= 3,1´104 rad×s–1 soit fC’ = 5 kHz.
e. On a montré wC = ( R2 + RG ) / L2 à la question C.1.2.a. La condition wC << WC’ peut donc
s’écrire R2 + RG << L2WC’. Au voisinage de la pulsation WC’, les résistances sont négligeables devant l’impédance de la bobine.
ur
f. Le flux magnétique à travers la bobine 2 est dû au champ B INT ( t ) intérieur au cylindre sur
ur
la section de rayon rC et au champ B EXT ( t ) extérieur au cylindre, de rC à r2. Pour les N2 spires, le
flux est donc, en amplitude complexe, F 2 = N 2 p rC2 B INT + N 2 p ( r22 - rC2 ) B EXT .
ur
g. À l’intérieur de la bobine 1 ne règne que le champ B INT ( t ) donc le flux à travers 1 est
dBINT ( t )
soit, en amplitude complexe,
dt
= - N1 p r12 iwB INT . Avec E G = N 2 p rC2 iwB INT + N 2 p ( r22 - rC2 ) iwB EXT .
F1 ( t ) = N1 p r12 BINT ( t ) et la tension est donc u1B ( t ) = - N1 p r12
U 1B
On en déduit
U 1B
EG
=
- N1 p r12 iwB INT
(
N 2 p r iwB INT + N 2 p r - r
2
C
de la forme proposée en posant b ( r2 , rC ) =
h.
U 1B
EG
=-
On
N1 r12
a
montré
1
2
N 2 rC 1 + b ( r2 , rC )(1 + i m 0 a w)
Spé y 2010-2011
B INT
B EXT
r22 - rC2
rC2
=
2
2
2
C
) iw B
=EXT
N1 r12
1
qui est
N r
æ r - rC2 ö B EXT
1+ç
÷
2
è rC ø B INT
2
2 C
2
2
.
1
1 + i m0 a w
=-
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N1 r12
à
la
question
C.2.c.
1
N r 1 + b ( r2 , rC ) + i m 0 a wb ( r2 , rC )
2
2 C
donc
soit
Devoir n°2
U 1B
EG
=-
H1 = -
N1 r12
1
N r 1 + b ( r2 , rC )
2
2 C
1
b ( r2 , rC )
1 + i m0 a w
1 + b ( r2 , rC )
. On a bien la forme proposée en posant
2
N1 r12
N1 r1
1
ou encore H1 = 2
N 2 rC 1 + b ( r2 , rC )
N 2 rC2
1
1+
r22 - rC2
=-
N1 r12 rC2
N 2 rC2 r22
soit H1 = -
N1 r12
N 2 r22
.
rC2
æ
ö
1 + b ( r2 , rC )
r2 2
1 1 + b ( r2 , rC )
1
= WC '
et w2 =
= WC ' çç1 +
÷÷ ou encore w2 = W C ' 2 2 .
r2 - rC
b ( r2 , rC )
m 0 a b ( r2 , rC )
è b ( r2 , rC ) ø
A.N. w2 = ( 3,1536 ´ 10
2,8
) 2,8( 2 - )2, 2 2
( ) ( )
2
4
= 8,24´104 rad :s–1 soit f2 = 13 kHz.
On retrouve bien la valeur obtenue expérimentalement.
Spé y 2010-2011
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Devoir n°2