ÉLECTROMAGNÉTISME ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )

Spé y 2010-2011 page 1/9 Devoir n°2
Spé y 2010-2011 Devoir n°2
ÉLECTROMAGNÉTISME
E3A MP 2009
A.1.1.a. Pour créer un champ électrique dans un conducteur, il faut appliquer une différence
de potentiel ou tension entre ses extrémités. On peut aussi appliquer un champ magnétique variable
ou déplacer le conducteur dans un champ magnétique constant.
b. Dans le référentiel lié au réseau atomique, un électron est soumis :
Ÿ à son poids (que l’on néglige devant les autres forces) ;
Ÿ à la force
(
)
0
ELEC
feE
=-
urur
de la part du champ électrique ;
Ÿ à la force de frottement
m
fv
=-
t
urr
.
Le référentiel est supposé galiléen. La relation fondamentale de la dynamique s’écrit donc
(
)
( )
0
dvt
m
meEv
dt
=--
t
r
urr
soit encore
(
)
0
dvt ve
E
dtm
-
æö
+=
ç÷
t
èø
r
r
ur
.
c. C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre dont la solution générale est de
la forme
( )
/
0
te
vtAeE
m
-t
t
=-
rurur
.
Il apparaît la durée caractéristique t du régime transitoire et la vitesse en régime établi
0
0e
vE
m
t
=-
rur
.
d. Le courant électrique est un phénomène de transport convectif donc la densité de courant
est de la forme
(
)
Jnev
=-
urr
. En régime établi, il reste
(
)
00
Jnev
=-
urr
soit
2
0
0ne
JE
m
t
=
urur
.
L’intensité étant le flux de
J
ur
, l’unité de celui ci est donc homogène à une intensité par unité
de surface et son unité est A×m-2.
e. On constate que l’on a bien la loi locale d’Ohm
0
0
JE
=g
urur
en posant
2
ne
m
t
g= .
A.N.
(
)
(
)
(
)
( )
2
281915
31
18,1101,6107,2710
9,110
--
-
´´´
g= ´ = 3,7´107 W–1×m–1.
A.1.2.a. L’équation du mouvement est linéaire donc on peut chercher des solutions particu-
lières sinusoïdales de pulsation w sous forme complexe en notant
(
)
it
vtVe
w
=
rur
. On obtient
0
it
itit
Vee
iVeEe
m
w
ww
-
æö
w+=
ç÷
tèø
ur
urur
d’où
0
1e
iVE
m
-
æöæö
w+=
ç÷ç÷
t
èøèø
urur
puis
( )
0
1
e
VE
mi
æö
-t
=
ç÷
ç÷
+wt
èø
urur
.
On définit alors la densité de courant complexe
( ) ( )
2
0
1
ne
JneVE
mi
æö
t
=-=
ç÷
ç÷
+wt
èø
ururur
. On recon-
naît la loi locale d’Ohm et l’on peut poser
( ) ( )
1
ii
g
Gw=
+wt
.

Spé y 2010-2011 page 2/9 Devoir n°2
b. On a
( )
22
1
i
g
Gw=
+wt
. C’est une fonction décroissante de w. On peut tracer la courbe
en coordonnées linéaires ou en coordonnées logarithmiques.
On a les formes asymptotiques suivantes donc
Ÿ pour w << 1/t,
(
)
i
Gw=g
;
Ÿ pour w >> 1/t,
( )
i
g
Gw=
wt
.
Il apparaît donc la pulsation de coupure WC = 1/t. A.N. WC = 1,4´1014 rad×s–1. Cette pulsa-
tion est très élevée. On peut considérer que pour des fréquences usuelles du courant, la conductivité
du métal est un réel indépendant de la fréquence.
A.2.1.a. Les équations de Maxwell s’écrive, dans le milieu métallique :
(
)
T
0
div/
E
=re
ur
,
(
)
T
div0
B
=
ur
,
( )
(
)
T
T
,
rot
BMt
E
t
¶
=- ¶
ur
uurur
;
( )
( )
(
)
T
T000
,
rot,
EMt
BJMt
t
¶
=m+em ¶
ur
uururur
.
Comme le champ électrique ne dépend que de z et est porté par
x
e
r
, on a
(
)
T
div0
E
=
ur
. On a
donc r = 0 dans le conducteur (non parfait).
Comme
(
)
(
)
T
,,
JztEzt
=g , on a
( )
00
/
E
J
t
æ¶ö
e=g/ew
ç÷
¶
èø >> 1 par hypothèse donc
l’équation de Maxwell-Ampère se réduit à
(
)
( )
T0
rot,
BJMt
=m
uururur
.
b. La condition
( ) ( )
T
0
,
Et
JMt
t
¶
e<<
¶
ur
ur s’appelle l’ARQS magnétique.
c. La répartition de courant étant a priori dans tout le volume du conducteur et décrite par
J
ur
dans un modèle 3D, il n’y a pas de densité 2D sur l’interface métal-vide. On a donc continuité de la
composante tangentielle de
B
ur
, c’est-à-dire de
B
ur
puisqu’ici, il n’a pas de composante normale. On
peut donc écrire
(
)
(
)
TI
0,0,
BtBt
+-
=
.
A.2.2.a. Avec les expressions
(
)
TT
,
x
EEzte
=
urr
et
(
)
TT
,
y
BBzte
=
urr
, l’équation de Maxwell-
Faraday devient
(
)
(
)
TT
,,
yy
EztBzt
ee
zt
¶¶
=-
¶¶
rr
et celle de Maxwell-Faraday
(
)
( )
T
T
,,
xx
Bzt
eEzte
z
0
¶
-=mg
¶
rr
.
w
|
G
|/
g
W
C
1/2
log(
w/w
0)
log(|
G
|/
g
) log(
W
C/
w
0)
–3dB

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On dérive la première par rapport à z et la deuxième par rapport à t, on trouve
(
)
(
)
2
TT
2
,,
EztBzt
zzt
¶¶
¶
=-
¶¶¶ et
(
)
(
)
TT
,,
BztEzt
tzt
0
¶¶
¶
-=mg
¶¶¶
.
Comme
(
)
(
)
22
TT
,,
BztBzt
zttz
¶¶
=
¶¶¶¶ , il vient
(
)
(
)
2
TT
2
,,
EztEzt
zt
0
¶¶
=mg
¶¶
.
Avec
(
)
(
)
(
)
T,exp
Eztfzit
=w
, il vient
(
)
( )
2
2
dfz
ifz
dz
0
=mgw après simplification par
it
e
w
.
b. L’équation caractéristique 2 ri
0
=mgw
a pour racines 1
2
i
r0
+
=±mgw
1
i
+
=±
d
en posant
0
2
d=
mgw
. La solution de l’équation différentielle est donc
( )
zzzz
ii
fzAeBe
+--
dddd
=+ .
On constate que lim
zz
i
zAe +
dd
®¥
=¥
ce qui n’est pas possible physiquement. On en déduit A = 0.
Il reste donc
( )
zz
i
fzBe
--
dd
= puis
(
)
(
)
(
)
/
T
,exp/
z
EztBeitz
-d
=w-d
. En posant T,0
j
BEe
j
=, donc
la partie réelle est
(
)
(
)
(
)
/
TT,0
,exp/
z
EztEeitz
-d
=w-d+j
.
La grandeur d est homogène à une longueur car l’argument z/d est sans dimension. d repré-
sente la distance caractéristique d’atténuation des champs. On l’appelle épaisseur de peau.
A.N.
( )( )( )
776
4103,710210
-
2
d= p´´p´ = 8,2´10–5 m soit d = 83 mm.
c. d décroît lorsque w augmente. Pour un conducteur parfait tel que g est infini, on obtient
d = 0. Il n’y a aucune pénétration des champs.
d. Par définition du vecteur de Poynting, la puissance instantanée qui traverse une surface S
est
(
)
S
S
tRndS
=×
òò
P
urr
avec
( )
(
)
(
)
,,
,
EMtBMt
RMt
0
Ù
=m
urur
ur
. Les expressions réelles des champs
conduisent alors à
( )
(
)
22
0
cos
,
xy
Et
RMtee
c
0
w
=Ù
m
urrr
(
)
22
0
cos
z
Et
e
c
0
w
=m
r
. En prenant une surface per-
pendiculaire à
z
e
r
, il vient
( )
(
)
22
0
cos
zz
S
Et
teedS
c
0
w
=×
m
òò
P
rr
(
)
22
0
cos
S
Et
dS
c
0
w
=m
òò
soit
( )
(
)
22
0
cos
Et
tS
c
0
w
=m P.
Comme
(
)
2
cos1/2
tw= , la puissance moyenne par unité de surface est
2
0
I2
E
c
0
=
m
P.
Comme e0m0 = 1/c2, on peut écrire aussi
2
0
I
2
cE
0
e
=P
e. d est homogène à une longueur et w à l’inverse d’un temps donc wd est homogène à une
vitesse comme c. Tous les termes des sommes sont homogènes entre eux et le rapport est sans di-
mension.

Spé y 2010-2011 page 4/9 Devoir n°2
On a
( )
( )
22
TI
22
1cc
cc
æö
wd-+
=-
ç÷
ç÷
wd++
èø
PP
( ) ( )
( )
22
I
22
cc
cc
æö
wd+-wd-
=
ç÷
ç÷
wd++
èø
P
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
I
22
cccc
cc
æö
wd+-wd-wd++wd-
=
ç÷
ç÷
wd++
èø
P
( )( )
( )
I
22
22c
cc
æö
wd
=
ç÷
ç÷
wd++
èø
P
soit
( )
TI
22
4c
cc
æö
wd
=
ç÷
ç÷
wd++
èø
PP
.
L’hypothèse g >> e0w se traduit par 2
c
0
1
mg>>w
soit
22
c
2w
>>
dw ou encore dw << c. La
relation précédente devient donc
TI
2
4
2
c
c
wd
æö
»
ç÷
èø
PP
I
2
c
wd
æö
=
ç÷
èø
P
soit
2
T0
E
0
=ewd
P.
Cette puissance est absorbée par le conducteur puis dissipée par effet Joule.
On a T
I
2
1
c
wd
æö
=<<
ç÷
èø
P
P. La puissance transportée par l’onde incidente ne pénètre pratique-
ment pas dans le conducteur ce qui justifie a priori le choix de ce type de matériau pour réaliser un
blindage électromagnétique.
A.3.1.a. Le champ magnétique à l’intérieur du solénoïde est INT
z
N
BIe
D
0
=m
urr
.
b. Le flux à travers une spire orientée comme
z
e
r
est SPIRE :
BndS
S
F=×
òò
uruur
. Comme
B
ur
est
uniforme sur la surface, il reste SPIRE :zz
N
IeedS
D0
F=m×
òò
rr
N
IS
D
0
=m avec S = pr2.
Le flux propre total à travers le solénoïde est F = NFSPIRE soit
2
2
N
Ir
D
0
F=mp
.
Par définition du coefficient d’auto inductance, on a L := F/I. On trouve donc ici
2
2
r
LN
D
0
p
=m .
c. Le champ crée par la grande bobine dans la petite est toujours INT
z
N
BIe
D
0
=m
urr
donc son
flux à travers une spire de la petite bobine orientée comme
z
e
r
est
2
SPIRE
''
N
Ir
D
0
F=mp
. Le flux total
est donc
2
'
''
NN
Ir
D
0
F=mp
Par définition du coefficient d’inductance mutuelle, on a M := F’/I. On trouve donc ici
2
'
'
r
MNN
D
0
p
=m.
On en déduit
'
NN
a=
.
d. Dans l’ARQS magnétique, le champ magnétique vérifie les équations
(
)
T
div0
B
=
ur
et
(
)
( )
T0
rot,
BJMt
=m
uururur
comme en magnétostatique donc l’expression du champ magnétique crée par
la bobine est la même. Les résultats précédents ne sont donc pas modifiés.
A.3.2.a. On dessine le circuit avec l’intensité orientée. On est en
régime sinusoïdal donc on utilise les impédances complexes. On peut
écrire
(
)
G
ERRIiLI
=++w
d’où
( )
G
E
I
RRiL
=
++w
.
UL
RG R
e L
i(t)

Spé y 2010-2011 page 5/9 Devoir n°2
On en déduit
( ) ( )
22
G
E
I
RRL
=
++w
et
(
)
(
)
IeG
tan/
LRR
j-j=-w+.
On obtient
( )
(
)
( )
m
2
cos
G
Et
it
RRL
2
w
=
++w
en posant
(
)
(
)
eG
arctan/LRRj=w+ .
b. On a
( )
(
)
L
dit
utL
dt
= soit, en amplitude complexe L
UiLI
=w
( )
G
iLE
RRiL
w
=
++w
donc
(
)
( )
G
L
G
/
1/
iLRR
U
EiLRR
w+
=
+w+
qui est bien de la forme demandée en posant
G
C
RR
L
+
w= .
On a
( )
LC
2
C
/
1/
U
E
ww
=+ww donc L
0
0
U
Ew=
:
et L
1
U
E
w=¥
:
. On a un filtre passe-haut.
B.1. On constate que le champ électrique et le champ magnétique n’ont pas le même com-
portement vis-à-vis de la fréquence à basse fréquence mais décroissent de la même manière au-
dessus d’une fréquence critique de l’ordre de 106 Hz.
est
Ÿ Le champ électrique ne pénètre pas dans la cavité à basse et à haute fréquence. Il est
maximum dans la cavité au voisinage de la fréquence critique. Pour des fréquences inférieures,
l’augmentation du champ est de l’ordre de +50 dB par décade. Pour des fréquences supérieures, la
décroissance du champ est de l’ordre de –75 dB par décade.
Ÿ Le champ magnétique pénètre dans la cavité à basse fréquence mais pas à haute fréquence.
Il décroît constamment dans la cavité si la fréquence augmente, avec deux pentes bien distinctes :
pour des fréquences inférieures à la fréquence critique, la décroissance est de l’ordre de –10 dB par
décade ; pour des fréquences supérieures, la décroissance est de l’ordre de –75 dB par décade.
B.2. L’équation de Maxwell-Faraday s’écrit
( )
(
)
INT
INT
,
rot
BMt
E
t
¶
=- ¶
ur
uurur
. Sur la surface
d’aire SL orienté comme
y
e
r
, on peut écrire
( )
( ) ( )
LL
INT
INT
rot
SS
B
EnMdSnMdS
t
SS
¶
×=-×
¶
òòòò
ur
uururrr
.
Ÿ Avec le théorème de Stokes, il vient
(
)
( )
L
INTINT
rot
S
EnMdSEd
S
×=×t
òòò
C
uururrurr
l
Ñ
. Le champ
INT
E
ur
est tangent au contour en tous les points de celui-ci et sa valeur algébrique uniforme donc
(
)
INT INT
EdEtL
×t=
ò
C
urr
l
Ñ
avec l’orientation choisie.
Ÿ
( ) ( )
LL
INT INT
SS
Bd
nMdSBnMdS
tdt
SS
¶
×=×
¶
òòòò
ur
rurr
car les opérateurs
t
¶×
¶
et
L
S
òò
commutent
puisqu’ils portent sur des variables indépendantes. Mais
(
)
(
)
LL
INT INT yy
SS
BnMdSBteedS
S
×=×
òòòò
urrrr
car
le champ magnétique est supposé uniforme à l’intérieur. Il reste
(
)
(
)
L
INT INT
L
S
BnMdSBtS
S
×=
òò
urr
.
En reportant, on obtient
( )
(
)
INT
INT
L
dBt
EtLS
dt
=- .
Cette équation est linéaire donc on peut utiliser les représentation complexe. On en déduit
INTINT
L
ELiBS
=-w ou encore INTINT
0
L
ELiBS
+w=