Complexité 1 COLOR

Complexit´e
TD8
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On va montrer dans la suite que les trois probl`emes suivants sont NP-
complets.
COLOR = {(G, k)|Gest k-coloriable}
3−COLOR = {G|Gest 3-coloriable}
3−COLOR-PLAN = {G|Gest un graphe planaire 3-coloriable}
Q 1) Montrer que les 3 probl`emes sont dans NP. On admettra que tester si
un graphe est planaire est polynomial.
Q 2) Montrer que si 3-COLOR est NP-dur, alors c’est aussi le cas de COLOR.
1 COLOR
On montre que COLOR est NP-complet en r´eduisant `a partir de 3-SAT
On part d’une instance φde 3-SAT qui a pclauses et nvariables. On suppose
que n≥4.
On construit un graphe Gφqui a :
– Un sommet pour chaque variable xi.
– Un sommet pour chaque n´egation de variable xi
–nsommets suppl´ementaires yi
– Un sommet par clause Ck
Et dans lequel on relie :
–xi`a xi.
–yi`a yjpour i6=j
–yi`a xjet xjpour i6=j
–Ck`a xi(resp. xi) si xi(resp. xi) n’apparaˆıt pas dans Ck.
Q 1) Construire le graphe pour la formule φ= (a∨b∨c)∧(c∨a∨d)∧(b∨d∨c)
Q 2) Montrer que si φest salifiable, on obtient `a partir d’une instanciation
valide de φune coloration par n+1 couleurs du graphe Gφde la fa¸con suivante :
– On colorie yide la couleur i
– On colorie xide la couleur is’il est `a vrai et de la couleur n+ 1 sinon
– On colorie xide la couleur is’il est `a vrai et de la couleur n+ 1 sinon
– On colorie une clause de la couleur d’un des xiqui la satisfait
On commencera par indiquer, pour le graphe de la question pr´ec´edente, les
couleurs de chaque sommet lorsqu’on prend a= 1, c = 1, b = 0, d = 0
1

Q 3) Montrer que si le graphe est n+1-colori´e, alors tous les yiont des couleurs
distinctes, de sorte qu’on peut, sans perte de g´en´eralit´e, assigner la couleur i`a
yi.
Q 4) Montrer que si le graphe est n+ 1-colori´e, alors chaque sommet Ckn’a
pas la couleur n+ 1.
Q 5) Montrer que si le graphe Gφest n+ 1-coloriable, φest satisfaisable.
On expliquera comment trouver une instanciation des variables connaissant un
coloriage.
Q 6) Montrer que COLOR est NP-complet.
23-COLOR
On fait une r´eduction `a partir de NAE-3-SAT. On va appeler les couleurs
rouge, vert, et noir
On construit maintenant, `a partir d’une instance φde 3-SAT, `a nvariables
et pclauses un graphe de la fa¸con suivante :
– On relie xi`a xi
– On relie toutes les variables `a un sommet V
– Pour chaque clause, l1∨l2∨l3on ajoute trois sommets A, B, C formant
une clique et on relie A`a l1,B`a l2et C`a l3.
Q 1) Construire le graphe pour la formule φ= (a∨b∨c)∧(c∨a∨d)∧(b∨d∨c).
Q 2) Montrer que si φ∈NAE-3-SAT, on obtient `a partir d’une instanciation
valide de φune coloration en 3 couleurs du graphe Gφde la fa¸con suivante :
–Vest colori´e en vert
–xi(resp xi) est colori´ee en rouge si elle est vraie, et en noir sinon
– On compl`ete chaque triangle de clause avec les trois couleurs.
On suppose maintenant Gφ3-colori´ee, et, quitte `a changer les couleurs, que
Vest en vert.
Q 3) Montrer que si Gφest colori´ee en 3 couleurs, chaque triangle de clause
est reli´e `a un litt´eral rouge et un litt´eral noir.
Q 4) Montrer que si Gφest 3-coloriable, alors φ∈NAE-3-SAT.
Q 5) Montrer que 3-COLOR est NP-complet.
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3 Plan´eit´e
Remarque : 4-COLOR-PLAN est dans P.
On regarde ce graphe
A
B
D
C
Q 1) Montrer que dans toute 3-coloration les sommets Aet Dont la mˆeme
couleur, les sommets Bet Cont la mˆeme couleur.
Q 2) Montrer que si on se donne une couleur donn´ee pour Aet D, une couleur
donn´ee pour Bet C, on peut 3-colorier ce graphe.
Q 3) En utilisant ce gadget pour les croisements montrer que 3-COLOR ≤m
3-COLOR-PLAN, et donc que 3-COLOR-PLAN est NP-dur.
4 Degr´e born´e
On regarde ce graphe
A
B C
Q 1) Montrer que si A,Bet Cont la mˆeme couleur, le graphe est 3-coloriable.
Q 2) Montrer que dans toute 3-coloration du graphe, A,Bet Cont la mˆeme
couleur.
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On regarde maintenant le graphe Gnsuivant
A0
B0
A1An−1
Cn−1
. . .
Q 3) Montrer que dans ce graphe tous les sommets sont de degr´e ≤4 et les
sommets (Ai)0≤i<n,B0et Cn−1sont de degr´e 2.
Q 4) Montrer que ce graphe est planaire.
Q 5) Montrer que dans toute 3-coloration du graphe, les sommets (Ai)0≤i<n,
B0et Cn−1ont la mˆeme couleur
Q 6) Montrer que si les sommets (Ai)0≤i<n,B0et Cn−1ont la mˆeme couleur,
on peut compl´eter le graphe avec une 3-coloration.
Q 7) En d´eduire que l’ensemble {G|Gest un graphe planaire 3-coloriable dont
tous les sommets sont de degr´e ≤4}est NP-dur (on pourra partir de 3-COLOR-
PLAN et remplacer les sommets de degr´e k > 4 par Gk−2).
Q 8) Montrer que l’ensemble {G|Gest un graphe planaire 3-coloriable dont
tous les sommets sont de degr´e ≤2}est dans P.
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