(Notes de Cours révisées) École de Printemps

INTRODUCTION A LA RHEOLOGIE DES FLUIDES
APPROCHE MACROSCOPIQUE
(Notes de Cours révisées)
École de Printemps. GDR Matériaux Vitreux
Mars 2003.
Didier Bernardin
Chargé de Recherches CNRS
L.E.M.T.A. UMR 7563. (Nancy)
email: db[email protected].fr

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TABLE DES MATIÈRES 3
Table des matières
1 Relations constitutives. Fluides simples 7
1.1 Notations ................................................ 7
1.2 Dynamique ............................................... 7
1.3 Matériauxsimples............................................ 9
1.3.1 Heuristique. .......................................... 9
1.3.1.1 Lesprincipes..................................... 9
1.3.2 Résumé: loi constitutive d’un matériau simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Groupe de symétrie d’un matériau simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Fluidessimples ............................................. 12
1.4.1 Cas des processus non isothermes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Fluidesimpleaurepos..................................... 14
1.4.3 Note sur les fonctions thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4 Note sur les mouvements stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Fluides simples à mémoire instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1 Les fluides de Reiner-Rivlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.2 Fluide visqueux incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2.1 Loipuissance..................................... 16
1.5.2.2 LoideCarreau.................................... 17
1.5.2.3 Petitcatalogue.................................... 18
1.6 Restrictions imposées par le second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Problème intérieur de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.1 Potentiel de dissipation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.2 Le problème intérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Couchelimite.............................................. 22
1.8.1 Les équations de Prandtl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.2 L’équation de Blasius pour le fluide en loi puissance. Épaisseur de couche limite. . . . . 25
1.9 Lubrification .............................................. 26
2 Ecoulements viscométriques 29
2.1 Écoulements de cisaillement simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Rappels: endomorphismes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Écoulements viscométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Fonctions viscométriques d’un fluide simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Loi constitutive d’un fluide simple en écoulement viscométrique . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2 Restriction apportée par le second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3 Parité des fonctions viscométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.4 Cas des fluides de Reiner-Rivlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.5 Fluidesàseuil ......................................... 37
2.4 Écoulements unidirectionnels plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.0.1 Ecoulement de Couette plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.0.2 Ecoulement de Poiseuille plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.0.3 Ecoulements de Couette-Poiseuille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Écoulements Hélicoïdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.1 Définition............................................ 42
2.5.2 Étude dynamique locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5.3 Écoulements unidirectionnels en conduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4TABLE DES MATIÈRES
2.5.3.1 Écoulement de Poiseuille en conduite de section circulaire . . . . . . . . . . . . 47
2.5.3.2 Écoulement unidirectionnel entre cylindres coaxiaux. . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.4 Écoulements de Couette entre cylindres coaxiaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.4.1 Principe du viscosimètre de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.5 Écoulements de Couette-Poiseuille entre cylindres coaxiaux . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.6 Analyse qualitative de l’effet Weissenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.7 Analyse qualitative de l’élargissement d’un jet libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Quelques Écoulements instationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.1 Ecoulement de cisaillement unidirectionnel plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.2 Ecoulement unidirectionnel en conduite de section circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6.3 Ecoulement de Couette instationnaire entre cylindres concentriques . . . . . . . . . . . . 54
2.7 Le rhéomètre à disques parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.8 Lerhéomètreplan-cône ........................................ 59
2.8.1 Étude formelle d’un écoulement azymuthal viscométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.8.2 Équations de bilan local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.8.3 Conditions limites cinématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.8.4 Un écoulement azymuthal n’est pas solution exacte des équations de bilan local. . . . . 65
2.8.5 Étude en hypothèse de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.8.5.1 Les équations locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.8.5.2 Détermination de la vitesse et du couple visqueux appliqué sur le cône. . . . . 67
2.8.5.3 Mesure des contraintes normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 Fluides viscoélastiques 73
3.1 Modèles monodimensionnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.1 Heuristique. Fonction de relaxation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.2 Analogiemécanique....................................... 75
3.2 Les modèles infinitésimaux classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.1 Les modèles tridimensionnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.2 Violation de l’objectivité matérielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Modèles objectifs intégraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.1 Fluides simples à mémoire evanescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.2 Viscoélasticité linéaire finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.2.1 La fonction de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.3 Modèles intégraux sur-convectés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.4 Modèles infinitésimaux en petites perturbations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.5 Modèles infinitésimaux en petits déplacements ou en mouvements infiniment lents. . . . 86
3.3.6 Modèles de type Oldroyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.7 Modèles non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.7.1 Les modèles KBKZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.7.2 Modèles phénomènologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.7.3 Catalogue....................................... 90
3.4 Les modèles différentiels linéaires objectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.1 Les dérivées codéformationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.1.1 la dérivée codéformationnellesous-convectée [Lower convected codeformational
derivative] ...................................... 91
3.4.1.2 La dérivée codéformationnelle sur-convectée [Upper convected codeformational
derivative] ...................................... 97
3.4.1.3 Notes ......................................... 99
3.4.2 La dérivée corotationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4.2.1 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4.2.2 Action d’un changement de référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4.2.3 Modèle de Maxwell corotationnel ou modèle ZFD . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4.3 Résumé des modèles différentiels linéaires objectifs de fluides incompressibles . . . . . . 105
3.4.3.1 Modèles de type Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4.3.2 Modèles de type Oldroyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.5 Modèle de Goddard-Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6 Modèle d’Oldroyd à 8 Cstes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

TABLE DES MATIÈRES 5
3.7 Modèles intégraux non linéaires corotationnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.8 Fonctions viscométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.8.1 Modèle intégral sous-convecté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.8.2 Modèle intégral sur-convecté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.8.3 Modèle intégral mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.8.4 Modèle intégral corotationnel de Goddard-Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.8.5 Notes............................................... 111
3.9 Fonctions viscométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.9.1 Expressions directes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.9.2 Calcul à partir de la loi différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4 Fluides de Grade n 115
4.1 Tenseurs de Rivlin-Ericksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 Retardation................................................ 117
4.3 FluidesdeGraden. .......................................... 117
4.3.1 Cassous-convecté ....................................... 117
4.3.2 Cas sur-convecté ou co-rotationnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.3 Modèles de grade 1 et 2 de fluides incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.3.1 Modèles de grade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.3.2 Modèles de grade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.3.3 Les fonctions viscométriques des fluides de Grade 2 . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.3.4 Modèles de grade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.4 Instabilité de l’état de repos dans les fluides de Grade n.................. 121
A Écoulements de Poiseuille instationnaires. 123
B Viscosité complexe 137
C Lubrification 153
D Gonflement d’un jet capillaire 173