1 Programmation de n! avec Algobox 2 Etude de deux suites avec

F.JUNIER 2013/2014
TS
TP INFO n°2
1 Programmation de n! avec Algobox
On rappelle que pour tout entier naturel n on définit la factorielle de n par :
0! = 1 et ∀n > 1, n! = 1 × 2 × 3 × · · · × (n − 1) × n
Compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il affiche n! pour l’entrée d’un entier naturel n :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
VARIABLES
fact EST_DU_TYPE NOMBRE
n EST_DU_TYPE NOMBRE
i EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE n
fact PREND_LA_VALEUR 1
POUR i ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
fact PREND_LA_VALEUR ......
FIN_POUR
AFFICHER fact
FIN_ALGORITHME
2 Etude de deux suites avec Algobox
On considère les suites (u n ) et (v n ) définies pour tout entier n > 1 par :
un =
n 1
X
k=0 k!
v n = un +
1
n × n!
1. Compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il affiche les valeurs des n premiers termes des suites (u n ) et
(v n ), où n est un entier supérieur ou égal à 1 :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
VARIABLES
fact EST_DU_TYPE NOMBRE
u EST_DU_TYPE NOMBRE
v EST_DU_TYPE NOMBRE
n EST_DU_TYPE NOMBRE
i EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE n
fact PREND_LA_VALEUR 1
u PREND_LA_VALEUR 1
POUR i ALLANT_DE 1 A n
DEBUT_POUR
fact PREND_LA_VALEUR .....
u PREND_LA_VALEUR .....
AFFICHER u
AFFICHER " et "
v PREND_LA_VALEUR .....
AFFICHER v
FIN_POUR
FIN_ALGORITHME
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2. Tester cet algorithme pour afficher les 20 premiers termes des suites (u n ) et (v n ).
Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation de ces suites ? sur leur convergence ?
3 Etude mathématique
1. Démontrer que pour tout entier n > 1 on a u n 6 v n .
2. Déterminer le sens de variation des suites (u n ) et (v n ).
3. Montrer que la suite (u n ) est majorée par v 1 . En déduire qu’elle converge.
4. Montrer que la suite (v n ) est minorée par u 1 . En déduire qu’elle converge.
5. On considère la suite (e n ) définie pour tout entier n > 1 par e n = v n − u n .
a. Démontrer que pour tout entier n > 1 on a n × n! > n.
b. En déduire la limite de la suite (e n ) et que les suites (u n ) et (v n ) convergent vers la même limite.
Cette limite notée e est le nombre d’Euler.
6. Compléter l’algorithme de seuil ci-dessous pour qu’il affiche des valeurs approchées par défaut u n et
par excès v n du nombre d’Euler à 10−6 près.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
VARIABLES
fact EST_DU_TYPE NOMBRE
u EST_DU_TYPE NOMBRE
v EST_DU_TYPE NOMBRE
i EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
fact PREND_LA_VALEUR 1
u PREND_LA_VALEUR 2
v PREND_LA_VALEUR 3
i PREND_LA_VALEUR 1
TANT_QUE (v-u>0.000001) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
i PREND_LA_VALEUR ....
fact PREND_LA_VALEUR ....
u PREND_LA_VALEUR .....
v PREND_LA_VALEUR ...
FIN_TANT_QUE
AFFICHER u
AFFICHER v
FIN_ALGORITHME
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