Problème 1
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DL 11 É LECTROMAGNÉTISME – T HERMODYNAMIQUE – C RISTALLOGRAPHIE Problème 1 Seuls quelques aspects de ce dispositif seront abordés dans ce sujet. La première partie établit quelques résultats utiles de la théorie cinétique des gaz. Constantes physiques Microscope à émission d’ions Le microscope à émission d’ions, imaginé et construit par Erwin M ÜLLER en 1951, fut le premier appareil ayant une résolution suffisante pour visualiser des atomes dans un cristal métallique. Le microscope se compose d’une pointe très fine de métal placée dans une cavité dont la paroi en verre (l’écran du microscope) est recouverte d’un revêtement phosphorescent et conducteur. Le dispositif est rempli d’hélium (ou d’un autre gaz) à une très basse pression, l’écran est mis à la masse et un important potentiel électrique positif est appliqué à la pointe. À cause de l’effet de pointe, le champ électrique est très important au niveau de la pointe, et l’on fait en sorte qu’il soit suffisant pour ioniser les atomes d’hélium qui passent à proximité. Constante de Planck : Constante diélectrique du vide : Constante de Boltzmann : Constante des gaz parfaits : Charge du proton : Masse de l’électron : Masse de l’hélium : Polarisabilité de l’hélium : Diamètre effectif de l’hélium : h = 6, 63.10−34 J.s ε0 = 8, 85.10−12 F.m−1 k B = 1, 38.10−23 J.K−1 R = 8, 31 J.mol−1 .K−1 e = 1, 6.10−19 C m e = 9, 1.10−31 kg m He = 6, 6.10−27 kg αHe = 2, 5.10−30 m3 d He = 0, 19 nm On prendra les valeurs suivantes pour les applications numériques Champ électrique à la pointe : Pression dans la cavité : Rayon de la pointe : Rayon de l’écran : Température du gaz : E 0 = 4, 4.101 0 V.m−1 P = 0, 15 Pa r 0 = 30 nm R e = 15 cm T = 300 K On rappelle les valeurs des intégrales suivantes F IGURE 1: Image obtenue à partir d’une pointe d’iridium. Chaque tache est l’image d’un atome. Les zones avec des labels sont des régions qui correspondent aux faces du cristal, avec des atomes coplanaires. Avec de l’habitude, on peut distinguer des défauts du cristal. L’électron part dans la pointe et l’ion He+ est violemment projeté sur l’écran et y forme une petite tache lumineuse. C’est au voisinage immédiat des atomes qui composent la pointe que le champ électrique est le plus important, et donc les ions d’hélium sont majoritairement formés au niveau de ces atomes. L’image produite sur l’écran reproduit donc l’agencement des atomes à la surface de la pointe. Z+∞ −∞ Z+∞ −∞ e 2 p d x = 2π 2 p d x = 2π − x2 2 − x2 x e Z+∞ −∞ Z+∞ −∞ x2 xe − 2 d x = 1 x2 x 3e − 2 d x = 2 1. Partie préliminaire : Théorie cinétique des gaz 1.1. Atmosphère isotherme - facteur de Boltzmann L’atmosphère terrestre est assimilée à un gaz parfait constitué de molécules de masse molaire M = 29 g.mol−1 et plongé dans un champ de pesanteur g Page 2 DL 11 uniforme et dirigé vers le bas avec °g ° = 10 m.s−2 . On suppose que ce gaz parfait est à l’équilibre thermodynamique à une température T = 300 K. 1.1.1 Établir la loi donnant la pression P (z) en fonction de l’altitude. 1.1.2 Évaluer l’épaisseur caractéristique de l’atmosphère dans ce modèle. Donner un ordre de grandeur de la pression au sommet de l’Everest. 1.1.3 Montrer que, dans ce modèle, la densité volumique n(z) des molécules est donnée par ° ° µ ¶ E p (z) n(z) = n(0) exp − E 0 (T ) (1) où E p (z) est l’énergie potentielle d’une molécule d’altitude z et où E 0 (T ) est une énergie caractéristique dépendant de la température mais indépendante du gaz considéré. Donner l’expression de E 0 en fonction de T et de la constante de Boltzmann. 1.2. Distribution de Maxwell On veut maintenant décrire la distribution d’équilibre des vitesses des molécules dans un gaz à la température T lorsque l’on néglige l’influence de tout champ extérieur. ­ ® 1.2.1 Justifier que ⟨v x ⟩ = v y = ⟨v z ⟩ = 0, où ⟨.⟩ représente la valeur moyenne sur toutes les molécules du gaz et où (v x ,v y ,v z ) sont les trois composantes de la vitesse en coordonnées cartésiennes. Par analogie avec l’équation (1), on admet que la£densité des molécules dans ¤ l’espace des vitesses est proportionnelle à exp −E c (v)/E 0 (T ) , où E c (v) est l’énergie cinétique d’une molécule. C’est la distribution de M AXWELL. 1.2.2 Montrer que la loi de distribution de probabilité de chacune des composantes (v x ,v y ,v z ) de la vitesse est décrite par une loi " gaussienne " ou " normale ", et écrire la probabilité pour que les composantes de la vitesse soient respectivement comprises entre v x et v x + d v x , entre v y et v y + d v y et entre v z et v z + d v z . r 1.2.3 Montrer que la " vitesse quadratique moyenne " v q = v q2 = D v 2 E Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 1.2.4 Déterminer la probabilité p(v)d v que cette norme soit comprise entre v et v + d v . La fonction p(v) est appelée densité de probabilité de v . 1.2.5 En déduire que la valeur moyenne de la norme de la vitesse d’une molécule est donnée par ⟨v⟩ = s 8k B T πm (2) 1.2.6 Est-il étonnant que v q / ⟨v⟩ soit un simple facteur numérique qui ne dépende pas des caractéristiques du gaz ? 1.3. Chocs sur une surface On considère une petite surface d S et l’on veut compter le nombre moyen de chocs de molécules du gaz sur un côté donné de cette surface pendant un temps τ. On note n le vecteur unitaire sortant normal à l’élément de surface. Dans un premier temps, on ne compte que les chocs des molécules ayant une vitesse comprise entre v et v + d v . 1.3.1 De quelle région de l’espace peuvent venir les molécules du gaz susceptibles de frapper la surface pendant le temps τ ? On repère les points de ce volume par leurs coordonnées sphériques (r ,θ,φ) d’axe n (voir la figure). Quelles sont les valeurs pertinentes de (r ,θ,φ) ? On considère un petit volume dV dans cette région de l’espace. vérifie 3k B T m où m est la masse d’une molécule. On s’intéresse ° ° maintenant à la distribution de probabilité de la norme de la vitesse v = °v °. 1.3.2 Exprimez le nombre total de molécules dans le volume dV en fonction de la pression et de la température du gaz, puis le nombre de molécules avec une vitesse entre v et v + d v . On exprimera le résultat à l’aide de la fonction p(v) introduite à la question 1.2.4. Quelle approximation fait-on ? Est-elle justifiée si l’on veut appliquer ces résultats au microscope ? Page 3 DL 11 1.3.3 Quelle est la proportion des molécules dans le volume dV qui vont dans la bonne direction pour heurter la surface d S ? 1.3.4 En déduire le nombre moyen de chocs sur la surface d S pendant le temps τ par des molécules avant une vitesse entre v et v + d v . 1.3.5 On tient maintenant compte de toutes les vitesses possibles. Montrer que le nombre total moyen de chocs sur la surface d S pendant le temps τ est de la forme τn c d S avec nc = p P 2πmk B T (3) Préciser la dimension et l’ordre de grandeur de n c dans les conditions de fonctionnement du microscope. Problème 2 L’espace est rapporté au repère cartésien (O,x , y ,z ) et on se situe dans l’air (assimilé au vide quant aux propriétés diélectriques). 1. Préliminaires : 1. 1. Enoncer le théorème de G AUSS pour l’électrostatique 1. 2. On considère un fil rectiligne illimité porté par (Oz ), portant une distribution uniforme de charge λ > 0. 1.2. a. Faire l’étude des symétrie et invariance de cette distribution. Exprimer le champ E (M ) en tout point M de l’espace où il est défini, en fonction des vecteurs de base des coordonnées cylindriques notés (u r ,u θ ,u z ) et des composantes non nuls du champ. 1. 2. b. En déduire le champ E (M ) en M à partir du théorème de G AUSS. 2. Étude d’une plaque infinie uniformément chargée. On considère maintenant une plaque infinie dans le plan O, y ,z , uniformément chargée avec la densité surfacique de charge σ > 0. 2. 1. Faire l’étude des symétrie et invariance de cette distribution. Exprimer le champ E (M ) en tout point M de l’espace où il est défini, en fonction des vecteurs de base des coordonnées cartésiennes notés (i , j ,k ) et des composantes non nuls du champ. 2. 2. En déduire le°champ ° E (M ) en M à partir du théorème de G AUSS. ° ° 2.3. A.N. Calculer °E (M )° pour σ = 7, 11.10−5 C.m−2 . Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3. Étude de deux plaques infinies uniformément chargées. On considère maintenant deux plaques infinies A et B, la première dans le plan O, y ,z , uniformément chargée avec la densité surfacique de charge σ > 0, et la deuxième parallèle à la première translatée du vecteur ei chargée avec la densité surfacique de charge −σ ?. 3.1. Exprimer les champs E A et E B créés en tout point de l’espace par les plaques A et B. 3.2. En utilisant le théorème de superposition, exprimer le champ E à l’extérieur et à l’intérieur des deux plaques. Dessiner quelques lignes de champ. 3.3. Déterminer l’expression de la différence de potentiel V A − VB . 3.4. A.N. Calculer V A − VB pour σ = 7, 11.10−5 C.m−2 et e = 5µm. 3.5. Sur chacun des plans, isolons par la pensée deux régions identiques d’aire S . En déduire la capacité C du condensateur formé par les deux surfaces S en regard. Problème 3 On considère la Terre comme une sphère de masse M , à répartition uniforme de masse, de rayon R et de centre O. 1. En raisonnant par analogie, donner l’équivalent du théorème de G AUSS pour la distribution de masse. Justifier l’analogie entre électrostatique et gravitation. 2. Calculer le champ de gravitation g et le potentiel gravitationnel V créés en tout point de l’espace par la Terre. 3. Montrer que le champ à l’extérieur de la Terre n’est pas modifié si on suppose seulement la répartition de masse à symétrie sphérique mais non plus uniforme. Problème 4 ATOMISTIQUE 1- Donner la configuration électronique du fer sous forme atomique et des ions fer II et fer III. On donne Z = 26 pour le fer. En réalité la couche de valence de Fe2+ est 4s0 3d6 . Quelle peut en être la raison ? 2- Le fer forme des complexes avec l’ion cyanure CN− et avec l’eau. Donner la formule de L EWIS de ces deux ligands. Indiquer la forme dans l’espace de ces deux ligands. Page 4 DL 11 STRUCTURE CRISTALLINE DU FER ET DE L’ACIER Le fer peut cristalliser sous deux formes selon la température. À basse température, la maille conventionnelle du fer α possède la structure cubique centrée (CC) alors qu’à haute température, le fer γ adopte la structure cubique à faces centrées (CFC). La transition s’opère à 910 °C à la pression standard ; puis, au-dessus de 1390 °C, le fer δ reprend une structure CC. Données numériques : masse molaire du fer M(Fe)= 55,85 g.mol−1 , masse molaire du carbone M(C)= 12 g.mol−1 , nombre d’Avogadro N A = 6, 02.1023 mol−1 . 1 - Fer α 1-a. Donner la définition d’une maille élémentaire. Par quel(s) paramètre(s) est-elle déterminée ? 1-b. Dessiner la maille conventionnelle du fer α. 1-c. Combien cette maille renferme-t-elle d’atomes ? 1-d. Définir puis calculer la compacité C CC d’une structure CC en adoptant le modèle de sphères dures indéformables. 1-e. Calculer le paramètre a α de la maille cubique, sachant qu’à 20 °C la masse volumique du fer α est ρ α = 7868 kg.m−3 . 1-f. Calculer le rayon R α de l’atome de fer α à 20 °C. 2 - Influence de la température Le volume massique du fer α passe de la valeur v (α)20 = 0, 1271 cm3 .g−1 à la température de 20 °C, à la valeur v (α)910 = 0, 1321 cm3 .g−1 à 910 °C, la variation étant linéaire en fonction de la température. L’étude est menée à pression constante. 2-a. Lequel des trois coefficients thermoélastiques α, β ou χT ces données vous permettent-elles de calculer ? En donner la valeur moyenne. 2-b. Entre quelles limites le paramètre de maille varie-t-il entre ces deux températures ? 2-c. Quel est le rayon de l’atome de fer α à 910 °C ? Dans la suite, le rayon atomique du fer α sera R α = 125 pm. 3 - Fer γ 3-a. Dessiner la maille conventionnelle du fer γ. 3-b. Combien cette maille renferme-t-elle d’atomes ? 3-c. Calculer la compacité C CFC d’une structure CFC (modèle de sphères dures indéformables). 3-d. Le rayon atomique du fer γ est R γ = 129 pm. Calculer le paramètre a γ de la maille cubique. Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3-e. Evaluer le volume massique v (γ)910 du fer γ. Si le carbone est très soluble dans le fer liquide (au-dessus de 1536 °C), il n’en va pas de même lorsqu’il se forme une solution solide fer-carbone (fonte ou acier). En effet, le carbone, dont le rayon atomique vaut RC = 77 pm, doit s’insérer dans les sites octaédriques des mailles cristallines de fer α ou de fer γ. 4 - Sites octaédriques 4-a. Dans la représentation de la maille de fer α ci-contre, un site interstitiel a été singularisé. De quel de type de site s’agit-il ? Est-il régulier ? (réponse à justifier) 4-b. Quel serait le rayon maximal R Mα d’un atome qui s’insérerait dans ce site sans entraîner de déformation de la structure cristalline ? Calculer R Mα . 4-c. Où sont situés les sites octaédriques dans le fer γ ? S’agit-il d’octaèdres réguliers ? 4-d. Quel serait le rayon maximal R Mγ d’un atome qui s’insérerait dans ce site sans déformer la structure cristalline ? Calculer R Mγ . 4-e. Que pouvez-vous en conclure sur la solubilité par insertion du carbone dans le fer solide ? 5 - Insertion du carbone Par hypothèse, lorsqu’un atome de carbone s’insère dans le cristal de fer, toutes les mailles subissent la même expansion. L’insertion de carbone dans le fer α permet de former un alliage appelé ferrite ; lorsque l’insertion s’opère dans le fer γ, l’alliage obtenu est dénommé austénite. 5-a. Quelle valeur prend le paramètre de maille du fer α lorsqu’un atome de carbone s’insère dans un site octaédrique ? À quelle variation relative de volume cela conduit-il ? Page 5 DL 11 5-b. De même, que devient le paramètre de maille du fer γ lorsqu’un atome de carbone s’insère dans un site octaédrique ? Quelle est la variation relative de volume induite ? 5-c. Quelles conclusions pouvez-vous en tirer quant à la formation de la ferrite et de l’austénite ? Un acier austénitique contient 1,33% de carbone en masse. 5-d. Quel est le nombre moyen d’atomes de carbone qui ont été insérés par maille ? 5-e. Calculer la masse volumique de cet acier. Que pensez-vous de ce résultat ? Problème 5 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3- Représenter leur géométrie d’après la méthode VSEPR. II. Structure cristalline de la blende. Le principal minerai de zinc est le sulfure de zinc ZnS de type blende. La blende, appelée aussi sphalérite, est la variété allotropique du sulfure de zinc qui cristallise dans le système cubique. Dans le cristal de blende ZnS, les ions Zn2+ et S2− jouent des rôles symétriques. On peut ainsi décrire la maille de ce cristal comme constituée d’un réseau cubique à faces centrées d’ions S2− avec occupation de la moitié des sites tétraédriques par les ions Zn2+ . 4- Dessiner la maille conventionnelle et donner la coordinence des ions Zn2+ et S2− . Les données numériques nécessaires à la résolution du problème sont regroupées à la fin de l’énoncé. Le soufre est un élément chimique de la famille des chalcogènes, de symbole S et de numéro atomique 16. On le trouve dans beaucoup de minéraux (sulfures et sulfates) et même sous forme native, particulièrement dans les régions volcaniques. 5- Donner la formule littérale de la masse volumique ρ de la blende en fonction du paramètre a de la maille, de la constante d’Avogadro N A et des masses molaires du zinc M(Zn) et du soufre M(S). I. Structure électronique du soufre et de composés oxygénés du soufre. Données pour l’ensemble du problème 1- Donner la structure électronique de l’atome de soufre dans l’état fondamental. On considère les espèces suivantes : SOCl2 , SO2− 4 , l’atome de soufre est l’atome central. 2- Proposer une structure électronique de L EWIS pour chacune de ces deux espèces. 6- Calculer la plus petite distance entre les ions Zn2+ et S2− dans la structure blende en fonction du paramètre a de la maille. La comparer aux rayons ioniques donnés et interpréter ce résultat. Numéros atomiques : Z(C) = 6, Z(O) = 8, Z(S) = 16 et Z(Cl) = 17 Masses molaires atomiques en g.mol−1 : M(C) = 12, M(O) = 16 et M(S) = 32 Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.K−1 .mol−1 Constante de Nernst à 298 K : ln 10 RT F = 0, 06 V Structure de la blende : paramètre de maille a = 540 pm rayons ioniques r(Zn2+ ) = 74 pm et r(S2− ) = 184 pm Page 6 DL 11 Correction : Problème 1 1.1. Atmosphère isotherme - facteur de Boltzmann 1.2.2 La probabilité de trouver simultanément les composantes de la vitesse respectivement comprise entre v x et v x + d v x , entre v y et v y + d v y et entre v z et v z + d v z est : µ ¶ mv 2 A exp − d vx d v y d vz = 2k B T µ ¶ mv x2 B exp − d vx × 2k B T Ã ! µ ¶ mv 2y mv z2 B exp − d v y × B exp − d vz 2k B T 2k B T 1.1.1 L’application de la relation fondamentale de la dynamique à un petit volume à l’équilibre conduit à : −µg z − dP =0 dz L’équation d’état du gaz parfait PV = nRT conduit à : MP µ= RT d’où l’équation à résoudre dP M g + z=0 dz RT de solution P = P 0 exp − Mg z RT Le fait que cette probabilité soit un produit de facteurs dépendant chacun seulement d’une coordonnées sont statistiquement indépendantes et que la probabilité de trouver la composante de la vitesse sur l’axe Ox entre v x et v x + d v x est indépendates des autres composantes et de la forme µ ¶ mv x2 B exp − d vx 2k B T la somme de toutes les probabilités étant égale à 1, on a : µ ¶ mv x2 B exp − d vx = 1 2k B T −∞ Z∞ qui se calcule par le changement de variable 1.1.2 La pression prend la forme P = P 0 exp (−z/H ) avec la hauteur caractéristique : H= RT = 7000 m Mg u2 = 1=B s P mg z N = = n(0) exp − V kB T kB T où m est la masse d’une particule et E 0 (T ) = kB T 1.2. Distribution de Maxwell 1.2.1 Dans un fluide en équilibre, il n’y a pas de direction ou de sens privilégié, donc ­ ® ⟨v x ⟩ = v y = ⟨v z ⟩ = 0 kB T =⇒ d v x = s kB T du m kB T m µ ¶ u2 2 du exp − u du 2 −∞ Z∞ soit 1.1.3 La densité de particule n vérifie : n= mv x2 Le calcul donne Au sommet de l’Everest P = exp −8000/7000 = 0, 3 bar Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 1=B 2πk B T m ce qui permet de calculer B La probabilité de trouver la composante de la vitesse sur l’axe Ox entre v x et v x +d v x vaut donc r µ ¶ mv x2 m exp − d vx 2πk B T 2k B T Ce qui correspond à une loi gaussienne. Page 7 DL 11 1.2.3 La vitesse quadratique moyenne est donnée par : D E D E ­ ® 2 v q2 = v = v x2 + v 2y + v z2 = 3 v x2 avec ­ µ ¶ mv x2 2 m exp − v d vx 2πk B T 2k B T x −∞ ³ ´ µ ¶ Z r m k B T 3 ∞ 2 − u22 2 = u e u du 2πk B T m −∞ ® v x2 = Z∞ r Lycée Clemenceau Nantes – MPSI Pour trouver la probabilité d’avoir la vitesse v à d v près, il suffit de reprendre l’expression de la probabilité µr m 2πk B T µ m dp = 2πk B T ¶3/2 µ ¶ mv 2 exp − 4πv 2 d v 2k B T 1.2.5 La valeur moyenne de la norme de la vitesse d’une molécule est donnée par ⟨v⟩ = q ­ ® v q = 3 v x2 = µ ¶ mv 2 exp − d vx d v y d vz 2k B T et de sommer toutes ces expressions sur le petit volume précédent, on obtient alors On obtient ainsi s ¶3 Z vd p ´ ¶3/2 Z+∞ ³ mv 2 m − 2k T B = 4πv 3 d v e 2πk B T −∞ 4 µ ¶3/2 s m k T B = 4π × 2πk B T m Z+∞ 2 u e 2 u 3 du −∞ s 8k B T = m µ 3k B T m 1.2.4 Dans l’espace des vitesses, l’ensemble des situations pour lesquelles la vitesse à la norme v correspond à une sphère de rayon v . Le volume de l’espace des vitesses pour lequelle la norme est comprise entre v et v +d v est le volume entre deux sphères 4 4 π(v + d v)3 − πv 3 = 3 3 4 π(3v 2 d v + 3vd v 2 + d v 3 ) 3 1.2.6 v q est une fonction de m , kB et T . A cause de l’homogénéïté des relations physique, v q s’exprime nécessairement sous la forme soit finalement 4πv 2 d v quand on ne conserve que le premier ordre en d v vq = K1 vz Espace des vitesses s où K 1 est sans dimension. De même ⟨v⟩ a la dimension d’une vitesse et doit s’exprimer sous la même forme ⟨v⟩ = K 2 v vy s kB T m On a donc vq ⟨v⟩ vx kB T m où K1 K2 = K1 K2 est un simple facteur numérique constant. Page 8 DL 11 1.3.1 D’après la figure, les molécules du gaz susceptibles de frapper la surface pendant le temps τ viennent de points de l’espace dont les coordonnées vérifient 0 < r < +∞ π 0<θ< 2 0 < ϕ < 2π Lycée Clemenceau Nantes – MPSI En tenant compte de toutes les directions, le nombre moyen de chocs sur la surface dS pendant le temps τ par des molécules avant une vitesse entre v et v + d v vaut dN′ = = Zvτ Zπ/2 Z2π r =0 θ=0 P dS p(v)d v × kB T 4π Zvτ Zπ/2 Z2π dr cos θ sin θdθ dϕ θ=0 r =0 = dN ϕ=0 ϕ=0 P dS 1 P dSvτ p(v)d v vτ 2π = p(v)d v kB T 4π 2 4k B T 1.3.5 On tient maintenant compte de toutes les vitesses possibles. Le le nombre total moyen de chocs sur la surface dS pendant le temps τ vaut 1.3.2 Le volume dV contient PkBdVT molécules, donc PkBdVT p(v)d v molécules de vitesse comprises entre v et v + d v . On montre que cette façon de raisonner n’est valable que si l’on peut négliger l’interaction entre les molécules et le microscope. 1.3.3 On considère la sphère de rayon r centrée sur dV . La projection de dS sur cette sphère est une surface de surface dS cos θ. La proportion des molécules dans le volume dV qui vont dans la bonne direction pour heurter la surface dS est donnée par le rapport de cette surface projetée à la surface totale de la sphère soit d N ′′ = Z∞ v=0 dN′ = P dSτ 4k B T Z∞ P dSτ P dSτ ⟨v⟩ = 4k B T 4k B T P dSτ =p 2k B T = v p(v)d v v=0 s 8k B T m Problème 2 1. 1. On considère le champ créé par une distribution de charges et une surface dS cos θ 4πr 2 E fermée S . Le théorème de G AUSS se traduit par la relation : Ó S dV r surface projetée n 1.3.4 Pendant τ les molécules de vitesse v qui frappent dS sont celles situées dans une demi–sphère de rayon R = vτ et dont la vitesse à la bonne direction. Leur nombre provenant du volume dV = r 2 dr sin θdθdϕ est dN = P dV dS cos θ p(v)d v kB T 4πr 2 E .dS = Q int ε0 où Q int désigne la charge à l’intérieur de la surface S . 1.2. a. Le champ E est défini en tout point de l’espace sauf sur le fil. Le vecteur E est contenu dans les plans de symétrie. Or tout plan passant par le fil est plan de symétrie ainsi que tout plan perpendiculaire au fil. Donc E est un vecteur radial. Par ailleurs l’invariance par rotation et translation par rapport à Oz impose que E r ne dépend que de r . 1. 2. b. On applique le théorème de G AUSS en utilisant un cylindre de hauteur h ayant pour axe le fil : λh = 2πr hE r ε0 ⇒ E= λ er 2πε0 r Page 9 DL 11 λ Lycée Clemenceau Nantes – MPSI M b σ>0 −σ σ b M x b M’ 2. Etude d’une plaque infinie uniformément chargée. 3.2. En superposant les deux champs, on obtient : Entre les armatures : E = + 2. 1. Le champ est défini en tout point de l’espace sauf sur la plaque. Tout plan perpendiculaire à la plaque est plan de symétrie. Donc le champ E contenu dans tous ces plans est normal à la plaque. Par ailleurs les invariances par translation suivant Oz et O y impose à E x de ne dépendre que de x . 2. 2. On applique le théorème de G AUSS en utilisant comme surface fermée un cylindre de génératrices perpendiculaires à la plaque et de bases S symétriques par rapport à la plaque. Le flux sur la surface latérale est nul car le champ est suivant e x . Les deux flux sur les bases sont opposés, de sorte que le théorème de G AUSS conduit à : 2SE x (x) = σS ε0 E= ⇒ σ ex 2ε0 Á l’extérieur des armatures : E = 0 Les lignes de champ sont perpendiculaires aux plaques. 3.3. La différence de potentiel V A − VB se calcule à partir de : E = −gradV dV = −E.dℓ = −E x (x).dx soit V A − VB = 3.Etude de deux plaques infinies uniformément chargées. 3.1. L’expression des champs en tout point de l’espace (hors des plaques) est : x <0: x <e : σ EA = − ex 2ε0 σ EB = + ex 2ε0 x >0: x>e: σ EA = + ex 2ε0 σ EB = − ex 2ε0 ⇒ V A − VB = ZB A E x (x).dx = Zx B xA σ dx ε0 σe ε0 3.4. Avec σ = 7, 11 × 10−5 C.m−2 et e = 5 µm, on obtient V A − VB = 40, 2 V . 3.5. La capacité C du condensateur formé par les deux surfaces S en regard est telle que Q A = σS = C (V A − VB ), soit : ° ° ° ° 2.3. Avec σ = 7, 11 × 10−5 C.m−2 , on obtient °E ° = 4, 0 × 106 V.m−1 . σ ex ε0 C= Problème 3 1. En comparant la loi de N ε0 S e EWTON F 1→2 = − G m1 m2 2 r 12 u1→2 qui donne la force attractive exercée par la masse m1 sur la masse m2 et la loi de C OULOMB F1→2 = + q1 q2 2 4πε0 r 12 u1→2 qui donne la force attractive ou répulsive exercée par la charge q1 sur la charge q2 , on déduit le tableau d’analogie suivant entre les deux domaines : Page 10 DL 11 grandeur impliquée loi de C OULOMB la charge q loi de N EWTON la masse m 1 4πε0 G constante champ Théorème de G AUSS à l’intérieur de S G AUSS électrostatique E Q E .dS = εint 0 charge Q int Ò gravitationnel G Ò G.dS = −4πG Mint masse Mint 2. La symétrie sphérique du problème impose de chercher un champ gravitationnel sous la forme G = G r (r )e r . Pour une surface de G AUSS sphérique centrée sur le centre O, on a donc : Ó G.dS = G r (r )4πr 2 = −4πG Mint GM A l’extérieur de la Terre, Mint = M d’où 4πr 2G r (r ) = −4πG M . On conclut G = − 2 e r . r ∂V 1 ∂V Le potentiel s’obtient par intégration à partir de G = −gradV = − er − eθ − ∂r r ∂θ 1 ∂V GM e ϕ . Pour le potentiel, on obtient donc : V = − en imposant un potenr sin θ ∂ϕ r tiel nul loin des masses. r3 r3 2 d’où 4πr G (r ) = −4πG M . On conclut r R3 R3 µ 2 ¶ G Mr GM r 3R 2 G = − 3 e r . Pour le potentiel, le calcul conduit à V = 3 − en assuR R 2 2 rant la continuité de V en R pour fixer la constante d’intégration. A l’intérieur de la Terre, Mint = M Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 2- Le carbone C possède quatre électrons sur sa couche périphérique, l’azote N cinq électrons, l’hydrogène un seul électrons et l’oxygène six. Dans le cas de l’ion cyanure, CN− on doit donc placer 10 électrons soit 5 doublets. On forme une triple liaison et C et N portent un doublet non liant. Le carbone porte une charge formelle négative. Le ligand est linéaire car il contient deux atomes. Dans le cas de la molécule d’eau, on a 8 électrons à placer, donc 4 doublets : il y a 2 doublets de liaison et 2 doublets non-liants sur l’oxygène. La molécule ne porte pas de charge formelle. Dans la théorie VSEPR, elle a la forme AX2 E2 , ce qui conduit à un angle légèrement inférieur à 109°. Les représentations des deux ligands sont donnés ci-dessous : O C N H 109° H STRUCTURE CRISTALLINE DU FER ET DE L’ACIER 1 - Fer α 1-a. La maille élémentaire est la maille de volume minimum redonnant le cristal par translation dans trois directions indépendantes. Les paramètres qui détermine la maille sont la longueurs des arêtes et les angles entre les arêtes. 1-b. La maille de la structure cubique centré est un cube d’arête a avec 1 atome à chaque sommet et un atome au centre. 3. A l’extérieur, si la symétrie est sphérique on peut faire le même calcul sans avoir à supposer la densité de masse uniforme, car l’étude des symétries est identique, la surface de G AUSS aussi et on a toujours Mint = M . Problème 4 Concours E3A MP 2008 ATOMISTIQUE 1- La configuration électronique du fer est, d’après la règle de K LECH KOWSKI :1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s 2 3d 6 . Pour les ions Fe2+ , on enlève deux électrons, donc on peut envisager la configuration : 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s 2 3d 4 . Le texte nous annonce que la configation se termine en 4s 0 3d 6 , ce qui montre qu’il est plus simple d’enlever les électrons des sous-couches s que de la sous couche d car ils doivent être en moyenne plus éloignés du noyau. Pour les ions Fe3+ , on enlève trois électrons, donc on peut envisager la configuration : 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s 2 3d 3 ou plus vraissemblablement, pour la même raison que précédemment : 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s 0 3d 5 . 1-c. La maille compte 8 sphères à chaque sommet appartenant à 8 mailles et une 1 8 sphère en propre au centre, d’où le nombre d’atomes : N = 8 × + 1 = 2 1-d. La compacité est le rapport du volume occupé par les atomes sur le volume de la maille. Dans le cas de la structure p CC les atomes sont tangents suivant une grande diagonale du cube, d’où : 4R = a 3. La compacité vaut : CCC = N 43 πR 3 a3 p N 43 πR 3 π 3 = = = 0, 68 p 8 (4R/ 3)3 Page 11 DL 11 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 1-e. La masse volumique est donnée par : ρα = e) N M(F N A 3 aα On en déduit : aα = s 3 3-b. La maille compte 8 sphères à chaque sommet appartenant à 8 mailles et 6 sphères au milieu des faces appartenant à 2 mailles, d’où le nombre d’atomes : N M(Fe) = 287 pm ρα N A N = 8× 1-f. Le rayon de l’atome de fer est alors : p aα 3 Rα = = 124 pm 4 ³ (4) ´ 2-a. C’est le coefficient de dilatation isobare α = V1 ∂V ∂T P qui permet d’étudier les variations de volume en fonction de la température à pression constante. En moyenne : α= 0, 1321 − 0, 1271 1 (0, 1321 + 0, 1271)/2 910 − 20 1 1 +6× = 4 8 2 3-c. Les p atomes sont tangents suivant la diagonale d’une face du cube, soit : 4R = aγ 2. La compacité vaut : CC F C = N 43 πR 3 a3 aα = s 3 N M(Fe) v = 287 pm NA On en déduit : a(α)20 = 286, 8 pm et a(α)910 = 290, 5 pm 2-c. On déduit de (??) le rayon à 910°C : R(α)910 = 125, 8 pm . 3-a. La maille CFC est un cube d’arête a avec un atome à chaque sommet et un atome au centre de chaque face. N 43 πR 3 π = p = 0, 74 p 3 (4R/ 2) 3 2 3-d. Le paramètre de la maille vaut : 4R aγ = p = 365 pm 2 = 4, 335.10−5 K−1 2-b. Le volume massique est l’inverse de la masse volumique, de sorte que : = 3-e. Le volume massique est donné par : vγ = Ã e) N M(F NA 3 aα !−1 = 0, 131cm3 g−1 4-a. Il s’agit d’un site octaédrique non régulier car toutes les arêtes n’ont pas la p même longueur : a ou a 3/2 (demi-diagonale de la maille). 4-b. La distance minimale entre deux atomes de fer opposés est a . La p taille maximale qu’on puisse insérer vérifie donc : a = 2R + 2R Mα avec a = 4R/ 3. On en tire R Mα = 19, 3 pm . 4-c. Dans le réseau CFC, les sites octaédriques sont au centre du cube et au milieu de chaque arête. Il s’agit d’octaèdre réguliers. 4-d. Dans le réseau CFC, la distance minimale entre deux atomes de fer opposés p est a . La taille maximale qu’on puisse insérer vérifie donc : a = 2R +2R Mα avec a = 4R/ 2. On en tire R Mα = 53, 4 pm . 4-e. La solubilité par insertion entraîne une déformation car le rayon de l’atome de carbone vaut RC = 77 pm. Cette déformation est plus grande dans le fer α. Page 12 DL 11 5-a. Dans le fer α en présence de carbone, le paramètre de maille devient : a ′ = 2(Rα + RC ) = 404 pm et pour le volume de la maille : ∆V a ′3 − a 3 = = 1, 74 V a3 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI 3- D’après la méthode VSEPR, la molécule SOCl2 est en AX3 E1 . Elle a une forme pyramidale avec des angles légèrement inférieurs à 109°. L’ion sulfate SO2− 4 a une forme tétraédrique avec des angles de 109°. 5-b. Dans le fer γ en présence de carbone, le paramètre de maille devient : a ′ = 2(Rγ + RC ) = 412 pm et pour le volume de la maille : ∆V a ′3 − a 3 = = 0, 44 V a3 5-c. La formation de l’austénite entraîne beaucoup moins de déformation que celle de la ferrite. 5-d. La maille CFC contient : NO = 1 + 12 × (1/2) = 4 sites octaédriques. Notons x le nombre d’atome de carbone présent dans chaque site octaédrique (x É 1).La fraction massique vérifie la relation : 0, 0133 = 4- La maille conventionnelle de la blende est donnée par la figure suivante : NO xM(C ) NO xM(C ) + 4M(Fe) On en tire x = 0, 0627 et il y a donc NO x = 0, 25 atomes de carbone par maille. 5-e. La masse volumique de l’acier est alors : ρ′ = NO xM(C ) + N M(Fe) = 5378 kg.m−3 N A a ′3 On constate que cet alliage est plus léger que le fer. Problème 5 Extraits Mines-Ponts PSI 2008 1- La structure électronique de l’atome de soufre dans l’état fondamental est : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p4 2- S et O possèdent 6 électrons de valence, Cl en possède 7. pour SOCl2 : 26 électrons de valence, soit 13 doublets ; pour SO2− 4 : 32 électrons de valence, soit 16 doublets. La coordinence des ions Zn2+ est 4 car ils sont au centre de site tétraédriques, celle des ions S2− est 4 pour la même raison. 5- La maille contient 4 ions Zn2+ , 8 ions ions S2− aux sommets qui appartiennent à 8 mailles et 6 ions S2− aux centres des faces qui appartiennent à 2 mailles, soit au total 4 ions S2− . La masse volumique est alors donnée par : ρ= 4[M(Zn) + M(S)] NA a 6- La plus petite distance Zn2+ /S2− est le quart de la diagonale du cube, soit : p a 3 = 236 pm 4 Or r(Zn2+ ) + r(S2− ) = 258 pm > 236 pm. Conclusion : le modèle ionique n’est pas correct pour ce cristal (liaison ionocovalente).
