TP 4 : filtres électriques

TP 1ère année - 2ème semestre
TP 4 : filtres électriques
TP 4 : filtres électriques
Objectif : Étudier les caractéristiques de gain et de phase de quelques filtres classiques
1
Introduction
1.1
1.1.1
Décomposition en série de Fourier d’un signal périodique
Définitions
2π
Un signal s(t) quelconque mais périodique de période T (de fréquence f ou de pulsation
)
T
est décomposable en une somme infinie de fonctions sinusoïdales :
s(t) = a0 +
∞
X
an cos(nωt) + bn sin(nωt)
(1)
n=1
avec :
1
a0 =
T
ˆ
T
s(t)dt
(2)
0
qui représente la valeur moyenne donc la composante continue du signal ;
2
an =
T
2
bn =
T
ˆ
T
s(t) cos(nωt)dt
(3)
s(t) sin(nωt)dt
(4)
0
ˆ
T
0
qui sont les coefficients réels de la série de Fourier.
1.1.2
Fondamental et harmoniques
Lorsque n = 1, on a la composante fondamentale du signal caractérisée par a1 et b1 .
Pour tout autre valeur de n, on parle d’harmonique de rang n caractérisée par les valeurs
de an et bn .
1.1.3
Amplitude et phase
L’harmonique de rang n (ceci est valable pour le fondamental, n = 1) peut s’écrire de deux
façons différentes, en mode sinus-cosinus ou en mode amplitude-phase :
an cos(nωt) + bn sin(nωt) ⇐⇒ An cos(nωt + φn )
avec An =
p
a2n + b2n et tan φn =
(5)
bn
si an 6= 0. An est l’amplitude, φn la phase.
an
Ainsi la décomposition en série de Fourier de s(t) peut être :
s(t) = A0 +
∞
X
n=0
An cos(nωt + φ) avec A0 =
a0
2
(6)
Ceci nous intéresse particulièrement car une tension ou un courant sinusoïdaux sont représentés
par leur amplitude et leur phase.
19
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1.1.4
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Cas des fonctions paires et impaires
Fonction paire Si s(t) est une fonction paire alors s(t) cos(nωt) est paire.
ˆ T
ˆ T
2
2
2
4
s(t) cos(nωt)dt pour n 6= 0 et a0 =
s(t)dt.
On a : an =
T 0
T 0
La fonction s(t) sin(nωt) est impaire et bn = 0.
Fonction impaire Si s(t) est une fonction impaire alors s(t) cos(nωt) est impaire et an = 0, ∀n.
ˆ T
2
4
s(t) sin(nωt)dt.
La fonction s(t) sin(nωt) est paire. On a donc : bn =
T 0
1.1.5
Spectres
Lorsque l’on représente sur un graphique l’amplitude de chacun des termes de la décomposition
en série de Fourier en fonction de la fréquence, on trace le spectre d’amplitude du signal.
De la même manière, on peut représenter la phase de chaque terme en fonction de la fréquence,
on obtient alors le spectre de phase du signal
1.2
Exemple du signal carré
Regardons ce que donne la décomposition en série de Fourier d’un signal carré de ce type :
s(t)
A
T
t
-A
Figure 1 – Signal carré à décomposer en série de Fourier
20
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Ce signal étant impaire, on obtient que des termes en sinus dans la décomposition.
En effet, calculons les valeurs des coefficients bn non nuls :
4
bn =
T
ˆ
T
2
s(t) sin(nωt)dt
(7)
0
T
4
− cos(nωt) 2
= ×A
T
nω
0
T
2π
4A
− cos(nω ) + 1 avec ω =
=
nT ω
2
T
2A
=
(− cos(nπ) + 1)
nπ
(8)
(9)
(10)
4A
Les bn sont nuls si n est pair et lorsque n est impair, on a bn =
.
nπ
Le développement en série de Fourier du signal carré est donc :
∞
2A X
sin((2n + 1)ωt)
s(t) =
π n=0
2n + 1
(2n + 1 représente un nombre impaire)
(11)
Le signal carré ne comporte que des harmoniques impaires, leurs amplitudes décroissent en
Voici le spectre en amplitude obtenu :
1
n.
Amplitude
4A
π
Décroissance en
1
n
4A
3π
Fréquence
1f
3f
5f
7f
Figure 2 – Spectre en amplitude représentant les premiers harmoniques du signal carré
On pourrait, en transformant la décomposition de Fourier en mode amplitude-phase, tracer
le spectre de phase donnant la phase pour chaque harmonique (cette phase est égale à − π2 pour
chacun des harmoniques : par exemple pour n = 1, sin ωt = cos ωt − π2 ).
On peut montrer que plus on sommera d’harmoniques pour reconstituer le signal carré, plus
on sera proche d’un "joli" signal carré :
21
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s(t) =
s(t)
n
4A X
sin((2n + 1)ωt)
π n=0
2n + 1
n=1
n=6
n = 20
A
t
T
Figure 3 – Décomposition en série de Fourier d’un signal carré
1.3
1.3.1
Rôle et caractéristiques des filtres
Généralités
Le rôle d’un filtre électrique consiste à modifier le spectre des signaux qui vont y transiter
afin d’obtenir des caractéristiques particulières.
Un filtre peut permettre d’amplifier les basses fréquences et laisser passer les hautes fréquences
sans modification : dans le domaine du son, ce filtre permettrait par exemple de palier à la
déficience des hauts-parleurs en basses fréquences.
Mais attention, les filtres agissent aussi sur la phase des signaux, et cela peut avoir de
l’importance même si on concentre généralement sur leur action vis à vis de l’amplitude.
On caractérise donc un filtre électrique par deux courbes qui caractérisent l’action du filtre en
amplitude et en phase.
1.3.2
Importance du déphasage
Soit un filtre qui fournit en sortie un signal du type Vs (t) = Vs sin(ωt − φ). On peut écrire
φ
cette expression comme étant Vs (t) = V sin ω(t − τ ) avec τ = un temps de retard introduit
ω
par le filtre.
Imaginons faire transiter par ce filtre deux signaux de pulsations différentes ω1 et ω2 (un
instrument de musique qui fournirait un accord de deux notes), nous obtiendrons en sortie deux
φ1
φ2
signaux avec des temps de retard égaux à τ1 =
et τ2 =
.
ω1
ω2
Si ces temps de retard sont différents, l’accord de deux notes qui transiterait par le filtre
serait retranscrit en deux notes indépendantes, entendues successivement : ce n’est pas très
intéressant musicalement parlant !
Ainsi, dans le domaine de la Hi-fi, on souhaite avoir des filtres à phase linéaire, c’est à dire
φ
qui impose le rapport = cte quelle que soit la fréquence.
ω
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1.3.3
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Diagramme de Bode
Soi un filtre électrique qui reçoit un signal d’entrée noté ve (t) et qui fournit en sortie un
signal vs (t).
Gains
On s’intéresse aux rapports des amplitudes de ces signaux.
On définit alors le gain en tension, grandeur sans unité, par : G =
respectivement les amplitudes des signaux d’entrée et de sortie.
Vs
où Ve et Vs sont
Ve
On peut aussi définir le gain en décibel (dB), noté GdB et égal à 20 log
Ces gains dépendent de la fréquence.
Vs
.
Ve
Phase On définit la phase φ, en degré ou en radian, comme la différence de phase entre le
signal de sortie et le signal d’entrée : φ = φs − φe .
Diagramme Tracer le diagramme de Bode d’un filtre consiste à représenter les courbes
GdB = f (ω) et φ = f (ω) (on travaille indifféremment en fréquence ou en pulsation).
Les filtres agissant sur de grandes gammes de fréquence, on utilisera une échelle logarithmique
pour l’axe des abscisses.
Généralement ces courbes présentent une forme particulière qui dépend d’un ou plusieurs
points de fréquences précises. Les fréquences de ces points sont appelées fréquences de coupure
et permettent de caractériser un filtre.
Enfin on pourra remarquer que les courbes suivent des asymptotes particulières. On peut
obtenir l’équation de ces asymptotes par un traitement théorique et alors tracer un diagramme
de Bode asymptotique.
1.3.4
Trois types de filtres classiques
On rencontre souvent trois types de filtres, facile à reconnaître :
– Les filtres "passe-haut" pour lesquels le gain n’est pas faible pour les grandes fréquences ;
– Les filtres "passe-bas" pour lesquels le gain n’est pas faible pour les petites fréquences ;
– Les filtres "passe-bande" pour lesquels le gain n’est pas faible dans une certaine bande de
fréquence.
2
Notion de déphasage
Soit un filtre qui accepte en entrée un signal ve (t) = Ve cos(ωt + φe ) et qui fournit en sortie
un signal vs (t) = Vs cos(ωt + φs ).
φ = φs − φe représente le déphasage de vs par rapport à ve :
– Il est proportionnel au décalage des sinusoïdes ;
– Il est compris entre −π et π ;
– Il est positif si le signal vs est en avance (à gauche) par rapport à ve .
Si, sur un écran d’oscilloscope, on obtient les courbes suivantes :
23
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VE
VS
D est le nombre de divisions
correspondant à une période
donc à un déphasage de 2π ;
2V
d
0.2
D
t(ms)
d est le nombres de divisions correspondant au décalage des sinusoïdes donc au
déphasage de φ en radians.
On a alors, par une règle de
2π d
.
trois : |φ| =
D
Figure 4 – Notion de déphasage
3
Méthodes de mesures
Dans ce TP, nous allons tracer le diagramme de Bode de deux types de filtres. On travaillera
en fréquence, les mesures s’étaleront de f = 20 Hz à f = 10 kHz.
On rappelle que le diagramme de Bode est logarithmique, il faudra y penser pour étaler les
mesures dans la gamme de fréquence.
On réalisera une vingtaine de mesure dans cette gamme pour chaque manipulation.
3.1
Mesure de la fréquence
Pour tracer le diagramme de Bode du déphasage, il faut connaître précisément la fréquence.
Celle-ci sera lue directement sur le GBF qui impose la tension d’entrée au filtre.
3.2
Mesure du déphasage
L’oscilloscope possède une mesure automatique de déphasage. Pour l’utiliser :
– En appuyant sur CURS, régler la chaîne sur CH2 ;
– Appuyer sur la touche MEAS puis sur la touche MORE par deux fois, et enfin sur la touche
au dessus de laquelle apparait un φ minuscule ;
– Le déphasage qui apparaît en degré est celui de la voie 2 sur la voie 1.
– Rappelons ici que le déphasage varie entre −π et π (−180◦ et 180◦ ), si l’oscilloscope indique
un déphasage supérieur à |180|◦ , le véritable déphasage à noter est égal à 360◦ − φ.
Pour une bonne mesure, il faut que les signaux soient bien visibles à l’écran, utiliser tout
l’écran verticalement (régler la sensibilité verticale des deux voies) et régler la base de temps afin
d’observer plusieurs périodes à l’écran.
Vous pouvez également vérifier que la mesure automatique donnée par l’oscilloscope est bonne
en utilisant les curseurs et la règle de trois énoncée plus haut dans ce polycopié ; ou encore en
utilisant la méthode des neufs carreaux vue au premier semestre.
3.3
Mesure du gain en tension
Nous nous contenterons dans ce TP de tracer l’évolution du gain en tension en fonction de la
Vs
fréquence. Il nous faut donc les amplitudes des deux voies afin de calculer G = .
Ve
Pour plus de précision, on préfèrera relever les tensions crête à crête sur chaque voie (Vpp ) et
Vs
2Vs
Vs pp
on pourra effectuer le rapport de ces deux tensions. En effet, G =
=
=
.
Ve
2Ve
Ve pp
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Rappelons que pour passer d’une voie à l’autre, il faut appuyer sur CURS puis choisir la
chaîne CH1 ou CH2.
Une nouvelle fois on optimisera les signaux à l’écran en réglant la sensibilité verticale des
voies avant la mesure.
Mise à jour
3.4
Étalement des mesures
Pour réaliser de bonnes courbes, dont on peut se servir par la suite, il faut choisir où prendre
les mesures (à quelles fréquences).
Dans ce TP :
– L’échelle de fréquence en abscisse sera logarithmique : il ne faut donc pas espacer vos
prises de mesures de manière régulière comme on a l’habitude de le faire (Ne pas prendre
des mesures tous les 500 Hz par exemple) ;
– Il faudra relever certains points sur les courbes : il faut alors que la courbe soit "précise" autour de ces points. Il faut donc prendre beaucoup de mesures autour des points
caractéristiques de chaque courbe.
Ces informations doivent vous permettre d’effectuer les mesures adéquates.
4
Manipulations
4.1
Étude d’un filtre RC
On utilisera la résistance et le condensateur qui appartiennent au même boîtier.
♠ Noter les valeur de R et de C.
On appelle ve (t) la tension d’entrée fournit par le GBF et vs (t) la tension de sortie du filtre.
4.1.1
Réalisation du montage
Voie 1
Câbler les différents composants (GBF,
conducteur ohmique, condensateur et oscilloscope) afin de réaliser le montage ci-contre.
ve (t)
i
GBF
R
vs (t)
Voie 2
C
Figure 5 – Étude d’un filtre RC
4.1.2
Mesures du gain en tension et du déphasage de vs (t) par rapport à ve (t)
1. Régler le GBF (avec le bouton "level") de façon à ce qu’il délivre une tension ve (t) d’amplitude 6V. Régler sa fréquence à 500 Hz.
2. Régler l’oscilloscope afin d’observer correctement les signaux ve (t) et vs (t) des deux voies.
3. Se placer sur la gamme en fréquence 10 kHz du GBF. Partir d’une fréquence très basse ('
25 Hz) puis l’augmenter progressivement (jusqu’à ' 10 kHz) tout en observant l’évolution
des signaux à l’écran de l’oscilloscope :
– Observer l’évolution des amplitudes de ve (t) et vs (t) ;
25
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– Observer l’évolution du déphasage de vs (t) par rapport à ve (t) (On sait théoriquement
que celui-ci varie entre 0◦ et −90◦ ).
♠ Faire trois phrases qui décrivent ces évolutions : de Ve , de Vs et de φ.
4. ♠ Pour des fréquences allant de ' 25 Hz à ' 10 kHz, effectuer une vingtaine de mesures
de Ve pp , Vs pp et de φ.
Remplir un tableau de mesures faisant apparaître f , Ve pp , Vs pp et φ.
Remarque
On ne prendra pas la mesure de Ve pp pour chaque fréquence car celle-ci ne varie quasiment pas. On pourra
seulement prendre sa valeur tous les 4-5 points.
5. ♠ Compléter le tableau en ajoutant une ligne permettant le calcul du gain en tension G.
(On peut aussi utiliser directement Régressi pour effectuer ce calcul (mise à jour : dans ce
cas, fournir le tableau de mesures))
4.1.3
Exploitation
1. Tracer sous Régressi le graphique représentant le gain en tension en fonction de la fréquence
avec une échelle logarithmique.
2. ♠ Mesurer et noter la fréquence de coupure fc de ce filtre sachant que f = fc pour
Gmax
G= √ .
2
1
.
3. ♠ Comparer fc à la fréquence propre du filtre définie par f0 =
2πRC
4. ♠ D’après le paragraphe 1.3.4, à quel type appartient ce filtre ?
5. Tracer sous Régressi le graphique représentant le déphasage en fonction de la fréquence
avec une échelle logarithmique.
6. La fréquence de coupure est la fréquence pour laquelle φ = −45◦ .
♠ Lire et noter fc à partir de la courbe de déphasage. Comparer une nouvelle fois fc à f0 ,
la fréquence propre du filtre.
♠ Imprimer les deux courbes tracées sous Régressi
4.2
Étude d’un filtre RLC
(Mise à jour de tout le paragraphe)
Dans certaines configurations, le circuit RLC série peut jouer le rôle de filtre électrique. On
envoie le signal d’entrée aux bornes de l’association des trois dipôles et on recueille le signal de
sortie aux bornes d’un des dipôles judicieusement choisi.
Dans le cas que nous allons étudier, on met en lumière que le phénomène de résonance (en
intensité) du circuit RLC série soumis à une excitation sinusoïdale conduit à un filtrage particulier.
4.2.1
Théorie
Si on soumet un circuit RLC série à une
excitation sinusoïdale, et qu’on relève la
tension aux bornes du conducteur ohmique
en fonction de la fréquence (Figure 6), il y
a résonance sans condition :
Voie 1
ve (t)
L
C
vs (t)
Voie 2
R
La tension uR (t) prend des valeurs importantes pour un intervalle de fréquence bien
déterminé.
Figure 6 – Étude d’un filtre RLC
26
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Aux bornes de la résistance, le gain en tension théorique est donné par :
G= s
1 + Q2
avec x =
1
1
x−
x
2
(12)
ω 2
1
, ω0 =
, ω = 2πf et ω0 = 2πf0 . Q est appelé facteur de qualité.
ω0
LC
Questions théoriques
1. ♠ Exprimer la fréquence propre théorique f0 th en fonction de L et de C ;
2. ♠ Vérifier, en justifiant, que G(x → 0) = 0, G(x → 1) = 1 et que G(x → ∞) → 0.
Remarque
Le gain maximum est obtenu pour x = 1 et est théoriquement égal à 1. Ceci est vrai si la bobine ne possède pas
de résistance interne.
Dans le montage étudié, la résistance interne de la bobine a une valeur plutôt importante (de l’ordre 140 Ω). Le
gain n’est donc pas égal à 1 à la résonance, il est plus faible.
4.2.2
Réalisation du montage
On utilisera les boites à décades blanches de résistance, condensateur et bobine.
Régler ces boîtiers pour avoir R = 500 Ω, C = 0.1 µF et L = 0.2 H.
On appelle ve (t) la tension d’entrée fournit par le GBF et vs (t) la tension de sortie du filtre.
Câbler les différents composants afin de réaliser le montage de la figure 6.
4.2.3
Recherche de la fréquence de résonance et de la bande passante à partir du
gain
1. Régler le GBF (avec le bouton "level") de façon à ce qu’il délivre une tension ve (t) d’amplitude 6V. Régler sa fréquence à 500 Hz.
2. Régler l’oscilloscope afin d’observer correctement les signaux ve (t) et vs (t) des deux voies.
3. Se placer sur la gamme en fréquence 10 kHz du GBF. Partir d’une fréquence très basse
(' 25 Hz) puis l’augmenter progressivement jusqu’à 10 kHz environ. VS
♠ Écrire une phrase qui explique le comportement du gain en tension G =
.
VE
♠ En déduire, d’après le paragraphe 1.3.4, à quel type appartient ce filtre.
4. Toujours en faisant varier la fréquence du signal d’entrée (GBF), rechercher la fréquence
pour laquelle la tension de sortie est maximum.
♠ Noter cette fréquence notée frés .
5. ♠ Comparer cette fréquence avec la fréquence propre du filtre f0 th .
Gmax
6. Les fréquence de coupure sont les fréquences pour lesquelles le gain est égal à √ . Ces
2
fréquences sont au nombre de deux.
VS max
6.1. ♠ Mesurer le gain maximum, c’est à dire à la résonance, la valeur de Gmax =
.
VE max
Le noter ;
6.2. ♠ Trouver, à l’aide de l’oscilloscope et du GBF, les deux fréquences de coupure. Les
noter ;
6.3. ♠ La bande passante est égale à la différence entre les deux fréquences de coupure.
Donner la valeur de la bande passante (∆fexp ) expérimentale ;
27
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6.4. ♠ Comparer la valeur de celle-ci à la bande
r passante théorique (∆fth ).
ω0
L
1
On donne : ∆ω =
et Q =
Q
R+r C
Remarque
Attention, une fois encore, il faut tenir compte de la résistance interne de la bobine qui est loin d’être
négligeable dans le cas présent r ' 140 Ω.
4.2.4
Recherche de la fréquence de résonance et de la bande passante à partir du
déphasage
1. Régler l’oscilloscope pour qu’il affiche le déphasage de la tension de sortie VS du filtre par
rapport à la tension d’entrée VE .
2. Se placer sur la gamme en fréquence 10 kHz du GBF. Partir d’une fréquence très basse
(' 25 Hz) puis l’augmenter progressivement jusqu’à 10 kHz environ.
♠ Écrire une phrase qui explique le comportement du déphasage.
3. La fréquence de résonance est obtenue lorsque le déphasage est nul.
♠ Trouver et noter cette fréquence, la comparer avec f0 th .
4. Les fréquences de coupure sont les fréquences pour lesquelles le déphasage est égal à 45◦ et
−45◦ .
♠ Trouver de nouvelles valeurs des fréquences de coupure de ce filtre puis une nouvelle
valeur de sa bande passante.
♠ Comparer cette nouvelle bande passante à la bande passante théorique.
4.2.5
Influence du facteur de qualité sur la fréquence de résonance et la bande
passante
1
On rappelle que le facteur de qualité a pour expression : Q =
R+r
la résistance, on diminue le facteur de qualité et inversement.
r
L
. Ainsi, en augmentant
C
1. Sur internet, se rendre à l’adresse suivante : https ://www.circuitlab.com/circuit/5z2775/rlcpasse-bande/.
2. Cliquer sur Open in Editor (une nouvelle fenêtre apparait) puis sur Simulate (en bas à
gauche, une boîte apparaît) et enfin Run frequency-domain simulation.
3. On observe alors la courbe de réponse Gain = f (fréq) et la courbe de déphasage.
4. Retrouver avec le réticule la valeur de la fréquence de résonance et de la bande passante de
ce filtre.
5. Cacher la fenêtre de simulation (Hide en haut à droite), double cliquer sur la résistance
pour changer sa valeur et la régler à 1000 Ω.
6. Relancer alors la simulation : Simulate et enfin Run frequency-domain simulation.
7. Trouver approximativement la nouvelle valeur de la bande passante et la nouvelle fréquence
de résonance.
8. ♠ Rédiger une phrase qui explique la relation entre facteur de qualité et fréquence de
résonance ainsi que la relation entre facteur de qualité et bande passante.
La bande passante permet de caractériser la sélectivité du filtre.
28
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5
Simulation
TP 4 : filtres électriques
(Mise à jour : à ne faire que si le temps le permet)
L’étude du rôle des filtres avec des signaux non sinusoïdaux est plus complexe. De plus pour
le moment nous n’avons pas évoqué la relation filtres-spectres.
Pour faire "d’une pierre deux coups" nous allons utiliser une applet du site Webphysique.
Rendez-vous à cette adresse : http://www.webphysique.fr/Filtrage-lineaire-d-un-signal.
html sur l’ordinateur avec le navigateur Internet Explorer.
Lire l’introduction de la page web et manipuler les différents boutons (ne pas utiliser le
curseur d’offset ni le curseur d’amplification A) pour comprendre ce qu’il se passe.
5.1
Filtre passe-bas
1. Choisir un signal d’entrée créneau, choisir un filtre passe-bas du premier ordre ;
2. Définir la fréquence propre du filtre qui permet de ne conserver que le fondamental de la
tension créneau injectée. fP
♠ Noter la valeur de log
.
f
♠ Que peut-on dire du signal temporel en sortie ? Quelle forme devrait-il avoir sachant
que l’on a filtré pour ne garder qu’une fréquence ?
3. Sans changer les réglages, passer sur un filtre passe-bas d’ordre 2 :
♠ Que s’est-il passé ?
4. Utiliser le curseur permettant de régler le facteur de qualité pour indiquer Q = 3 . Observer
le signal temporel de sortie.
♠ Que peut-on en dire ?
♠ Conclure quant à l’utilisation d’un filtre d’ordre 1 ou d’ordre 2.
5.2
Filtre passe-bande
Manipuler l’applet pour filtrer le mieux possible le signal créneau afin de ne garder que
l’harmonique de rang 5. fP
♠ Noter les valeurs de log
et de Q choisies.
f
29