TP 4 : filtres électriques

TP 1ère année - 2ème semestre TP 4 : filtres électriques
TP 4 : filtres électriques
Objectif : Étudier les caractéristiques de gain et de phase de quelques filtres classiques
1 Introduction
1.1 Décomposition en série de Fourier d’un signal périodique
1.1.1 Définitions
Un signal s ( t )quelconque mais périodique de période T (de fréquence f ou de pulsation
2π
T
)
est décomposable en une somme infinie de fonctions sinusoïdales :
s(t) = a0+
∞
X
n=1
ancos(nωt) + bnsin(nωt)(1)
avec :
a0=1
TˆT
0
s(t)dt(2)
qui représente la valeur moyenne donc la composante continue du signal ;
an=2
TˆT
0
s(t) cos(nωt)dt(3)
bn=2
TˆT
0
s(t) sin(nωt)dt(4)
qui sont les coefficients réels de la série de Fourier.
1.1.2 Fondamental et harmoniques
Lorsque n= 1, on a la composante fondamentale du signal caractérisée par a1et b1.
Pour tout autre valeur de n , on parle d’ harmonique de rang n caractérisée par les valeurs
de anet bn.
1.1.3 Amplitude et phase
L’harmonique de rang n (ceci est valable pour le fondamental, n = 1) peut s’écrire de deux
façons différentes, en mode sinus-cosinus ou en mode amplitude-phase :
ancos(nωt) + bnsin(nωt)⇐⇒ Ancos(nωt +φn)(5)
avec An=pa2
n+b2 net tan φn=bn
an
si an6= 0.Anest l’amplitude, φnla phase.
Ainsi la décomposition en série de Fourier de s(t) peut être :
s(t) = A0+
∞
X
n=0
Ancos(nωt +φ)avec A0=a0
2(6)
Ceci nous intéresse particulièrement car une tension ou un courant sinusoïdaux sont représentés
par leur amplitude et leur phase.
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1.1.4 Cas des fonctions paires et impaires
Fonction paire Si s(t)est une fonction paire alors s(t) cos(nωt)est paire.
On a : an=4
Tˆ
T
2
0
s(t) cos(nωt)dtpour n6= 0 et a0=2
Tˆ
T
2
0
s(t)dt.
La fonction s(t) sin(nωt)est impaire et bn= 0.
Fonction impaire Si s ( t )est une fonction impaire alors s ( t ) cos ( nωt )est impaire et an = 0 ,∀n .
La fonction s(t) sin(nωt)est paire. On a donc : bn=4
Tˆ
T
2
0
s(t) sin(nωt)dt.
1.1.5 Spectres
Lorsque l’on représente sur un graphique l’amplitude de chacun des termes de la décomposition
en série de Fourier en fonction de la fréquence, on trace le spectre d’amplitude du signal.
De la même manière, on peut représenter la phase de chaque terme en fonction de la fréquence,
on obtient alors le spectre de phase du signal
1.2 Exemple du signal carré
Regardons ce que donne la décomposition en série de Fourier d’un signal carré de ce type :
t
s(t)
T
A
-A
Figure 1 – Signal carré à décomposer en série de Fourier
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Ce signal étant impaire, on obtient que des termes en sinus dans la décomposition.
En effet, calculons les valeurs des coefficients bnnon nuls :
bn=4
Tˆ
T
2
0
s(t) sin(nωt)dt(7)
=4
T×A−cos(nωt) nω 
T
2
0
(8)
=4A
nT ω −cos(nω T 2)+1avec ω=2π T(9)
=2A
nπ (−cos(nπ) + 1) (10)
Les bnsont nuls si nest pair et lorsque nest impair, on a bn=4A
nπ .
Le développement en série de Fourier du signal carré est donc :
s(t) = 2A
π
∞
X
n=0
sin((2n+ 1)ωt)
2n+ 1 (2n + 1 représente un nombre impaire) (11)
Le signal carré ne comporte que des harmoniques impaires, leurs amplitudes décroissent en
1
n
.
Voici le spectre en amplitude obtenu :
Fréquence
Amplitude
4A
π
4A
3π
1f3f5f7f
Décroissance en 1
n
Figure 2 – Spectre en amplitude représentant les premiers harmoniques du signal carré
On pourrait, en transformant la décomposition de Fourier en mode amplitude-phase, tracer
le spectre de phase donnant la phase pour chaque harmonique (cette phase est égale à −π
2
pour
chacun des harmoniques : par exemple pour n= 1,sin ωt = cos ωt −π
2).
On peut montrer que plus on sommera d’harmoniques pour reconstituer le signal carré, plus
on sera proche d’un "joli" signal carré :
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t
s(t)
s(t) = 4A
π
n
X
n=0
sin((2n+ 1)ωt)
2n+ 1
n= 1
n= 6
n= 20
A
T
Figure 3 – Décomposition en série de Fourier d’un signal carré
1.3 Rôle et caractéristiques des filtres
1.3.1 Généralités
Le rôle d’un filtre électrique consiste à modifier le spectre des signaux qui vont y transiter
afin d’obtenir des caractéristiques particulières.
Un filtre peut permettre d’amplifier les basses fréquences et laisser passer les hautes fréquences
sans modification : dans le domaine du son, ce filtre permettrait par exemple de palier à la
déficience des hauts-parleurs en basses fréquences.
Mais attention, les filtres agissent aussi sur la phase des signaux, et cela peut avoir de
l’importance même si on concentre généralement sur leur action vis à vis de l’amplitude.
On caractérise donc un filtre électrique par deux courbes qui caractérisent l’action du filtre en
amplitude et en phase.
1.3.2 Importance du déphasage
Soit un filtre qui fournit en sortie un signal du type Vs ( t ) = Vssin ( ωt −φ ). On peut écrire
cette expression comme étant Vs ( t ) = Vsin ω ( t−τ )avec τ =
φ
ω
un temps de retard introduit
par le filtre.
Imaginons faire transiter par ce filtre deux signaux de pulsations différentes ω1 et ω2 (un
instrument de musique qui fournirait un accord de deux notes), nous obtiendrons en sortie deux
signaux avec des temps de retard égaux à τ1=φ1
ω1
et τ2=φ2
ω2
.
Si ces temps de retard sont différents, l’accord de deux notes qui transiterait par le filtre
serait retranscrit en deux notes indépendantes, entendues successivement : ce n’est pas très
intéressant musicalement parlant !
Ainsi, dans le domaine de la Hi-fi, on souhaite avoir des filtres à phase linéaire, c’est à dire
qui impose le rapport φ
ω= cte quelle que soit la fréquence.
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1.3.3 Diagramme de Bode
Soi un filtre électrique qui reçoit un signal d’entrée noté ve ( t )et qui fournit en sortie un
signal vs(t).
Gains On s’intéresse aux rapports des amplitudes de ces signaux.
On définit alors le gain en tension , grandeur sans unité, par : G =
Vs
Ve
où Ve et Vs sont
respectivement les amplitudes des signaux d’entrée et de sortie.
On peut aussi définir le gain en décibel (dB), noté GdB et égal à 20 log Vs
Ve
.
Ces gains dépendent de la fréquence.
Phase On définit la phase φ , en degré ou en radian, comme la différence de phase entre le
signal de sortie et le signal d’entrée : φ=φs−φe.
Diagramme Tracer le diagramme de Bode d’un filtre consiste à représenter les courbes
GdB =f(ω)et φ=f(ω)(on travaille indifféremment en fréquence ou en pulsation).
Les filtres agissant sur de grandes gammes de fréquence, on utilisera une échelle logarithmique
pour l’axe des abscisses.
Généralement ces courbes présentent une forme particulière qui dépend d’un ou plusieurs
points de fréquences précises. Les fréquences de ces points sont appelées fréquences de coupure
et permettent de caractériser un filtre.
Enfin on pourra remarquer que les courbes suivent des asymptotes particulières. On peut
obtenir l’équation de ces asymptotes par un traitement théorique et alors tracer un diagramme
de Bode asymptotique.
1.3.4 Trois types de filtres classiques
On rencontre souvent trois types de filtres, facile à reconnaître :
– Les filtres "passe-haut" pour lesquels le gain n’est pas faible pour les grandes fréquences ;
– Les filtres "passe-bas" pour lesquels le gain n’est pas faible pour les petites fréquences ;
– Les filtres "passe-bande" pour lesquels le gain n’est pas faible dans une certaine bande de
fréquence.
2 Notion de déphasage
Soit un filtre qui accepte en entrée un signal ve ( t ) = Vecos ( ωt + φe )et qui fournit en sortie
un signal vs(t) = Vscos(ωt +φs).
φ=φs−φereprésente le déphasage de vspar rapport à ve:
– Il est proportionnel au décalage des sinusoïdes ;
– Il est compris entre −πet π;
– Il est positif si le signal vsest en avance (à gauche) par rapport à ve.
Si, sur un écran d’oscilloscope, on obtient les courbes suivantes :
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