Faisceaux automorphes pour GL (n): la premiere construction de

arXiv:alg-geom/9511004v1 7 Nov 1995
Faisceaux automorphes pour GLn:
la premi`ere construction de Drinfeld
G´erard Laumon
Drinfeld a associ´e `a tout syst`eme local irr´eductible Lde rang 2 sur une surface de
Riemann compacte Xun “faisceau automorphe” WL,2sur l’espace de modules Fib2
Xdes
fibr´es vectoriels de rang 2 sur X.
En fait, Drinfeld a donn´e deux constructions de WL,2. La premi`ere est bas´ee sur
l’existence d’un mod`ele de Whittaker pour toute repr´esentation automorphe cuspidale
pour GL2. Elle garde un sens en caract´eristique positive et a ´et´e expos´ee dans [Dr]. Si n
est un entier ≥2 arbitraire, toute repr´esentation automorphe cuspidale pour GLnadmet
un mod`ele de Whittaker et il est possible d’´etendre conjecturalement cette premi`ere
construction en rang n(cf. [La]).
La seconde construction est bas´ee sur un calcul explicite de l’anneau des sections
globales d’un certain faisceau d’op´erateurs diff´erentiels sur l’espace de modules Fib2
X.
Elle n’a pour l’instant de sens qu’en caract´eristique nulle mais, par contre, elle est de
port´ee plus g´en´erale que la premi`ere construction car elle s’´etend conjecturalement aux
G-syst`emes locaux pour une groupe r´eductif Garbitraire.
Dans ces deux expos´es, donn´es `a Luminy lors du Colloque “Fibr´es vectoriels sur les
courbes et th´eorie de Langlands”, en juin 1995, je reprends la premi`ere construction de
Drinfeld en rang narbitraire, d’un point de vue l´eg`erement diff´erent de celui de [La] (ce
point de vue a aussi ´et´e consid´er´e par Bernstein et Vilonen).
Table des mati`eres
Expos´e I
1. Le diagramme de champs fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Faisceaux de Whittaker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. La construction fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4. Op´erateurs de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 G. LAUMON
Expos´e II
1. Passage `a la caract´eristique p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Fonction trace de Frobenius de WL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. La fonction trace de Frobenius de W◦
L,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4. Op´erateurs de Hecke et fonctions trace de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Compl´ements
1. Variante sch´ematique du diagramme fondamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2. Vari´et´es caract´eristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. Une variante de la construction du complexe W◦
L,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Bibliographie

FAISCEAUX AUTOMORPHES POUR GLn3
Expos´e I
1. Le diagramme de champs fondamental.
On fixe une courbe X, connexe, projective, lisse et de genre g≥2 sur le corps des
nombres complexes. On fixe de plus un entier n≥1 et un entier m0> n(3n−1)(g−1).
Pour chaque i= 1,...,n, on pose
mi=m0+i(i−1)(g−1)
et on note Cohi,mi
Xle champ des OX-Modules coh´erents Mide rang g´en´erique iet de
degr´e mi. C’est un champ alg´ebrique connexe et lisse de dimension i2(g−1) sur C.
On note
Ci⊂ Cohi,mi
X
l’ouvert form´e des Mitels que
HomOX(Mi,(Ω1
X)⊗(2n−1)) = (0).
Pour chaque Midans Cion a
HomOX(Mi,(Ω1
X)⊗j) = (0) (∀j≤2n−1),
puisque H0(X, Ω1
X)6= (0) par hypoth`ese sur g, et donc
Ext1
OX((Ω1 X)⊗j,Mi) = (0) (∀j≤2n−2)
par dualit´e de Serre.
LEMME 1.1. — L’ouvert Ciest non vide et de type fini sur C.
Plus pr´ecis´ement, pour i= 0, on a C0=Coh0,m0
X. Pour i= 1,...,n, l’ouvert Ci
de Cohi,mi
Xcontient l’ouvert Fibi,mi,ss Xdes OX-Modules localement libres semi-stables de
rang iet de degr´e miet, pour tout point Mide Ci, on a
mi−deg Mtors
i
i≥µ−(Mi/Mtors
i)≥4(n−1)(g−1),
o`u Mtors
iest le plus grand sous-OX-Module de torsion de Miet o`u, pour tout OX-Module
localement libre de rang fini, on a pos´e
µ−(E) = Infdeg(E/F)
rg(E/F)|(0) ⊂ F $Eet E/Fest sans torsion.

4 G. LAUMON
Preuve : Pour i= 0, chaque M0est engendr´e par ses sections globales, de sorte que
C0=Coh0,m0
Xadmet une pr´esentation globale
Quot0,m0
Om0
X/X ։Coh0,m0
X
et est donc de type fini.
Supposons donc i≥1. Si Liun point de Fibi,mi,ss
X, on a HomOX(Li,(Ω1
X)⊗(2n−1)) =
(0) car (2n−1)(2g−2) < mi/i par hypoth`ese sur m0, d’o`u l’inclusion Fibi,mi,ss
X⊂ Ci.
De plus, pour tout OX-Module localement libre de rang fini Gqui est semi-stable, on a
HomOX(G,(Ω1
X)⊗(2n−1))6= (0)
d`es que
µ(G) = deg(G)
rg(G)<(2n−2)(2g−2) = 4(n−1)(g−1).
Par suite, si un tel Gest quotient d’un Mi∈ Ci, on a n´ecessairement µ(G)≥4(n−1)(g−1).
D’o`u la conclusion
Pour chaque i= 0,...,n, notons
πi:Ei→ Ci
le fibr´e vectoriel de fibre HomOX((Ω1
X)⊗(i−1),Mi) en Mi∈ Ciet
π∨
i:E∨ i→ Ci
le fibr´e vectoriel dual, de fibre Ext1
OX(Mi,(Ω1
X)⊗i) en Mi. Les fibr´es πiet π∨
isont tous
les deux de rang m0−i2(g−1) et Eiet E∨
isont donc tous les deux des champs alg´ebriques
lisses et connexes, de dimension m0, sur C. Un point de Ei(resp. E∨
i) est une fl`eche
(Ω1
X)⊗(i−1) → Mi
(resp. une extension
(Ω1
X)⊗i֒→ Mi+1 ։Mi)
de OX-Modules avec Mi∈ Ci.
Pour chaque i= 1,...,n, on notera
E◦
i⊂ Ei
l’ouvert des fl`eches de OX-Modules
(Ω1
X)⊗(i−1) → Mi

FAISCEAUX AUTOMORPHES POUR GLn5
qui sont injectives (cet ouvert est non vide d’apr`es le lemme 1.1) et on notera
E∨◦
i−1⊂ E∨ i−1
l’ouvert des extensions de OX-Modules
(Ω1
X)⊗(i−1) ֒→ Mi։Mi−1
telles que l’on ait HomOX(Mi,(Ω1
X)⊗(2n−1)) = (0). On d´efinit un isomorphisme de C-
champs alg´ebriques
E◦
i
∼
−→ E∨◦
i−1
en envoyant
(Ω1
X)⊗(i−1) ֒→ Mi
sur
(Ω1
X)⊗(i−1) ֒→ Mi։Mi−1,
o`u Mi−1est le quotient de Mipar l’image de (Ω1
X)⊗(i−1). On a bien
HomOX(Mi−1,(Ω1
X)⊗(2n−1)) = (0)
car on a un plongement
HomOX(Mi−1,(Ω1
X)⊗(2n−1))֒→HomOX(Mi,(Ω1 X)⊗(2n−1)) = (0).
Le diagramme fondamental est alors le diagramme de morphismes de champs
alg´ebriques sur C
En⊃ E◦
n∼
=E∨◦
n−1⊂ E∨ n−1
ւ ց
Cn
···
E1⊃ E◦
1∼
=E∨◦
0⊂ E∨ 0
ց ւ ց
C1C0.
On a des actions naturelles du groupe multiplicatif Gm(sur C) sur les fibr´es vectoriels
du diagramme ci-dessus, par multiplication dans les fibres. Il est facile de voir que, pour
tout i= 1,...,n, les ouverts E◦
i⊂ Eiet E∨◦ i−1⊂ E∨ i−1sont Gm-invariants et l’isomorphisme
E◦
i∼
=E∨◦
i−1est Gm-´equivariant.
2. Faisceaux de Whittaker.
Soit Lun syst`eme local irr´eductible de C-espaces vectoriels de rang nsur X. Une
construction, due `a Deligne, associe `a Lun faisceau constructible de C-espaces vectoriels
L(m0)sur le produit sym´etrique X(m0)=Xm0/Sm0, espace de modules des diviseurs
effectifs de degr´e m0sur X: on consid`ere le revˆetement
r:Xm0→X(m0),(x1,...,xm0)7→ x1+···+xm0,