énoncé

Spé ψ
ψψ
ψ 2012-2013 page 1/5 Devoir n°5
Spé ψ
ψψ
ψ 2012-2013 Devoir n°5
CONVERSION DE PUISSANCE
Toutes les parties sont indépendantes. Un formulaire se trouve en fin de problème.
Partie I
On désire tracer expérimentalement le cycle d’hystérésis B = f(H) d’un matériau se présen-
tant sous la forme d’un tore sur lequel sont bobinés deux enroulements. On note R son rayon moyen
et S sa section.
Le schéma de principe du montage expérimental est le suivant
Dans les conditions expérimentales, N
2
i
2
<< N
1
i
1
. On ne tiendra pas compte de la résis-
tance des enroulements. H et B sont supposés uniformes dans le tore.
I-1) La relation entre i
1
et H est du type H = K
1
i
1
. Établir l’expression de K
1
en fonction de
N
1
et R.
I-2-a) Rappeler la relation entre le flux φ
CM
à travers une section droite du circuit magnéti-
que et la tension v
2
dans la bobine 2. La relation entre v
S
et B est du type B = K
2
v
S
. En déduire
l’expression de K
2
en fonction de α, N
2
et S. On admettra que v
S
= 0, lors-
que B = 0.
b) On utilise le montage ci-contre pour réaliser l’intégrateur.
Quelles doivent être les bornes d’entrée + et – de l’amplificateur opéra-
tionnel pour un fonctionnement en mode linéaire ? Établir alors
l’expression de α en fonction de R et de C.
I-3) Les composants donnent K
1
= 100 S.I. et K
2
= 0,20 S.I.
On observe sur l’écran de l’oscilloscope la courbe ci-dessous.
S
R
i
1
N
1
R
0
= 1,0
Ω
N
1
N
2
voie X
voie Y
INTEGRATEUR
S 2
v v dt
= − α
∫
(
α
> 0)
v
2
v
S
R
C
+2
+4
+2
+1 +3 V
X
(Volts)
V
Y
(Volts)

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ψ 2012-2013 page 2/5 Devoir n°5
En déduire l’ordre de grandeur du champ magnétique rémanent B
R
, de sa valeur à saturation
B
SAT
et de l’excitation coercitive H
C
dont on précisera les unités.
I-4) La ferrite présente un cycle de surface inférieure à celle du fer ainsi qu’un champ réma-
nent plus faible.
Quel est parmi ces deux matériaux celui qui est le mieux adapté à la réalisation :
* d’un transformateur ?
* d’un aimant permanent ?
I-5) Sur l’oscillogramme, on évalue l’aire A du cycle à 6 carreaux. Rappeler sous forme
d’une intégrale, l’expression de la densité volumique d’énergie dissipée dans le matériau au cours
d’un cycle. L’évaluer numériquement dans le cas du cycle étudié ci-dessus.
Partie II
On considère un conducteur ohmique, cylindrique de très grande hauteur
h (i.e. supposé infini) suivant l’axe z’z. Il est amagnétique, c’est-à-dire assimila-
ble d’un point de vue magnétique à du vide de perméabilité µ
0
.
Ce conducteur est placé dans une région où règne un champ magnétique exté-
rieur
EXT
B
, uniforme avec
(
)
EXT MAX
cos
z
B B t e
= ω . Celui-ci provient d’une
excitation extérieure
(
)
EXT MAX
cos
z
H H t e
= ω .
On note ρ son rayon et γ sa conductivité électrique.
II-1) L’air est assimilé à du vide. Rappeler la relation qui existe entre
EXT
B
et
EXT
H .
II-2) Expliquer pourquoi, il apparaît dans ce conducteur ohmique un
champ électrique induit
E
ainsi que des courants induits de densité volumique
V
J
.
II-3) On montre que le champ électrique s’écrit
(
)
MAX
sin
2
rB t
E e
θ
ω ω
= . Rappeler
l’expression de la densité volumique locale des pertes Joule instantanées, puis établir sa valeur lo-
cale moyenne sur le temps en fonction de B
MAX
, r, γ et ω.
II-4) À l’aide d’une intégration sur le conducteur de rayon ρ et de hauteur h, donner
l’expression de la densité volumique des pertes Joules moyennes sur le temps et sur l’espace.
II-5) Dessiner l’allure des lignes de courants induits à l’intérieur du conducteur étudié pré-
cédemment. Les pertes à l’intérieur de ce conducteur sont elles modifiées :
- si on découpe le conducteur suivant un plan d’équation θ = constante ?
- si on découpe le conducteur suivant un plan d’équation z = constante ?
II-6) Pourquoi feuillette-t-on les circuits magnétiques des transformateurs électriques ?
Pourquoi ajoute-t-on du silicium (peu conducteur) au fer de ces circuits magnétiques ?
II-7) La densité de courant
J
crée à l’intérieur du conducteur un champ magnétique
'
B
avec
( )
(
)
( )
2 2
0 MAX
' sin
4
z
B r
B r t e
µ γ ω ρ −
= ω pour tout r < ρ et
(
)
' 0
B r
=
pour tout r > ρ .
z
= Cte
θ
= Cte
z
z
’
z
EXT
B
ρ

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ψ 2012-2013 page 3/5 Devoir n°5
En assimilant le champ magnétique
B
à l’intérieur du conducteur à la somme des deux contribu-
tions
EXT
B
et
'
B
soit
EXT
'
B B B
= +
, déterminer en fonction de B
MAX
, ρ , ω , t et γ, le flux φ(t) de
B
à travers un disque de rayon ρ et d’axe z’z.
II-8) On définit le champ magnétique moyen dans le conducteur par
( )
(
)
2
z
t
B t e
φ
=πρ . Dé-
terminer
( )
B t
en fonction de B
MAX
, µ
0
, γ, ω, ρ et t.
II-9) Montrer qu’on peut définir une perméabilité complexe µ telle que
EXT
B H= µ . On
précisera le module et l’argument de µ en fonction de µ
0
, γ, ω et ρ.
II-10) On note
(
)
(
)
EXT
x t H t
= et
(
)
(
)
y t B t
= . Comparer alors l’allure de la courbe
y = f(x) en basses fréquences et en hautes fréquences, lorsque les courants de Foucault sont impor-
tants. Que peut-on prévoir pour les cycles d’hystérésis des matériaux ferromagnétiques conducteurs
à hautes fréquences ?
Partie III
III-1) On considère le dispositif ci-contre qui
comporte un circuit magnétique torique et un conducteur
rectiligne supposé infini, parcouru par un courant i(t),
placé sur l’axe de révolution du tore. Le tore est à section
rectangulaire de hauteur h, les côtés sont distants de a et
b de l’axe de révolution ; a et b sont donc les rayons inté-
rieur et extérieur du tore. On a b = 2a et h = 1 cm. Le
matériau magnétique constituant le tore est supposé ho-
mogène, linéaire, de perméabilité magnétique relative
µ
r
= 10
6
.
On rappelle que µ
0
= 4π×10
–7
H⋅m
–1
.
a) En justifiant soigneusement votre réponse, montrer qu’à l’intérieur
du tore le champ magnétique est de la forme
(
)
(
)
(
)
,
B M B r z e M
θ
= .
b) Exprimer ce champ
(
)
,
B r z
.
c) En déduire l’expression du flux φ à travers section hachurée du cir-
cuit magnétique, parallèle à Oz telle que r ∈ [a, b].
III-2) Un disjoncteur différentiel se compose de deux circuits
électriques couplés par le circuit magnétique précédent. La ligne
électrique bifilaire EDF (230 V
EFF
, 50 Hz qui assure le transport aller
et retour du courant) est placée au centre du circuit magnétique pré-
cédent. Une autre bobine, assimilable à un circuit ouvert, comporte N
spires enroulées autour du circuit magnétique.
a) Un usager touche accidentellement un seul des deux
fils de la ligne centrale bifilaire, par exemple le conducteur aller, en
même temps que ses pieds sont reliés à la terre. Il y a alors un cou-
rant de fuite : tout le courant véhiculé par le conducteur aller ne re-
part pas par le conducteur retour. Pour qu’il n’y ait pas d’accident
grave, l’intensité efficace du courant qui traverse l’usager doit être inférieure à 30 mA. Expliquer en
quoi ce dispositif permet de détecter une électrocution ?
b) La bobine précédente alimente un électroaimant qui coupe l’alimentation EDF sur
seuil de tension de valeur efficace : V
SEUIL
= 5 V
.
Combien doit-elle comporter de spires pour une
protection de 30 mA (valeur efficace du courant maximal admissible dans le corps de l’usager) ?
h
z
i(t)
2a
2b
r
e
e
θ
h
z
i(t)
bobine de N spires
de section h(b –a)
i
ALLER
(t)
i
RETOUR
(t)
Ligne bifilaire
EDF

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ψ 2012-2013 page 4/5 Devoir n°5
c) En pratique, les matériaux magnétiques ne sont généralement pas linéaires, mais
présentent un cycle d’hystérésis B(H). Pourquoi les constructeurs de disjoncteurs différentiels re-
cherchent-ils des matériaux magnétiques doux tel que
dB
dH
en H = 0, soit maximum ?
III-3) Dans certains pays, on impose que certaines installa-
tions électriques (salles de bains, piscines...) soient alimentées via un
transformateur de rapport m = 1.
Y a-t-il un risque d’électrocution si on touche accidentelle-
ment un seul des deux conducteurs du secondaire du transformateur.
En quoi un transformateur constitue-t-il un élément de protection des
personnes ? Quelles sont ses limites ?
Partie IV
La résistance totale des bobinages ramenée au primaire du transforma-
teur représenté ci-contre est R = 8Ω. On néglige tout autre écart à l’idéalité du
transformateur.
IV-1) Le transformateur est alimenté sous une tension sinusoïdale de
valeur efficace U
1
= 220V. La tension efficace au secondaire à vide est de
26V.
a) Représenter le schéma équivalent du transformateur vu entre les tensions u
1
et u
2
en utilisant la résistance R et le modèle du transformateur parfait. Déterminer la valeur numérique
de m
b) Lorsque le primaire du transformateur est alimenté et son secondaire relié à une
charge résistive R
C
, la tension efficace au secondaire vaut alors U
2
= 24V. Établir une relation entre
u
1
( t ), i
1
( t ) et u
2
( t ). En déduire les intensités efficaces I
1
et I
2
dans le primaire et dans le secondaire.
c) Calculer la puissance moyenne fournie dans ce cas par la source au primaire du
transformateur. Calculer le rendement correspondant à ce fonctionnement.
IV-2) Ce transformateur est utilisé en élévateur de tension: son secondaire est alimenté sous
une tension de 24V. On garde cependant les dénominations « primaire » et « secondaire » de la
question précédente pour désigner les bobinages du transformateur. C’est donc le secondaire qui est
maintenant alimenté et le primaire qui est éventuellement chargé.
a) Quelle est la valeur efficace de la tension à vide au primaire ?
b) On relie le primaire au dipôle résistif R
C
. Quelle est la valeur efficace de la tension
au primaire ?
c) Calculer le rendement correspondant à ce fonctionnement et comparer avec la va-
leur trouvée la question IV-1
d) Ce résultat est-il généralisable à deux transformateurs de même résistance totale
des bobinages, l’un élévateur et l’autre abaisseur de tension ?
Partie V
Soit un moteur à excitation indépendante qui fonctionne à courant d’excitation constant et
sous tension d’induit nominale U
N
= 220 V. Sa réaction d’induit est parfaitement compensée, sa
résistance d’induit est R = 2,0 Ω.
V-1) Le moteur fonctionne en charge. On a relevé une intensité du courant d’induit I = 10 A
et une vitesse de rotation Ω = 1000 tr.min
–1
.
a) Calculer la f.e.m. d’induction e apparaissant dans le moteur.
b) Calculer le moment du couple électromagnétique
C exercée sur l’arbre du moteur.
i
1
(t) i 2
(t)
i
2
u
1
u
2
m
i
1

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ψ 2012-2013 page 5/5 Devoir n°5
c) Les pertes collectives de ce moteur sont P
P
= 70 W et la puissance électrique four-
nie à l’inducteur P
E
= 90 W. Calculer la puissance utile, le moment du couple mécanique utile sur
l’arbre et le rendement du moteur.
V-2) Le moteur fonctionne à vide sous la même tension d’alimentation.
a) En négligeant l’intensité du courant dans l’induit, déterminer la f.e.m. E
0
= |e| et la
vitesse de rotation Ω
0
du moteur.
b) Montrer que si l’on note la variation de la vitesse de rotation ∆Ω = Ω
0
– Ω( Ι ), on
peut écrire
0
/
k I
∆Ω Ω = et calculer sa valeur pour I = 10 A.
Formulaire
On donne en coordonnées cylindriques
( )
z
1
grad
r
U U U
U e e e
r r z
θ
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂θ ∂
( )
(
)
(
)
(
)
z
1 1
div
r
ra a a
a
r r r z
θ
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂θ ∂
( )
(
)
z
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
rot
zr z r
r
aa ra
a a a
a e e e
r z z r r r r
θ θ
θ
∂∂ ∂
∂ ∂ ∂
= − + − + −
∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
U U U U U U U
U r
r r r r z r r r r z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∆ = + + + = + +
∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂