SÉRIES ENTIÈRES I. NOTION DE SÉRIE ENTIÈRE

P T SÉRIES ENTIÈRES Chapitre 10
I. NOTION DE SÉRIE ENTIÈRE
1. Cadre
On considère (an) une suite de réels ou de complexes.
On s’intéresse à la série (numérique) Xanznpour z∈Cou z∈R. On parle de série entière Xanzn:
Ùcette série converge pour certains zdans un domaine D,
Ùon définit alors la fonction S:z7→ +∞
X
n=0
anznsur D, appelée fonction somme de la série.
2. Rayon de convergence
Proposition 1 Lemme d’Abel
Soit z0∈C∗tel que la suite (anzn
0)n∈Nest bornée.
Pour tout z∈Ctel que |z|<|z0|, la série Xanznconverge absolument.
démo :La suite (anzn
0)n∈Nest supposée bornée : il existe M∈Rtel que ∀n∈N,|anzn 0|ÉM.
Soit z∈Ctel que |z|<|z0|(on suppose que z06=0). On a pour tout n∈N,|anzn|É|anzn
0|¯¯¯¯
z
z0¯¯¯¯
n
ÉM¯¯¯¯
z
z0¯¯¯¯
n
.
Or x=¯¯¯¯
z
z0¯¯¯¯∈[0,1[ donc la série XM xnconverge (série géométrique).
Par théorème de comparaison des séries à termes réels positifs, on conclut que Xanznconverge absolument, donc con-
verge.
Proposition 2
Soit Xanznune série entière. Soit z0∈C∗.
Si Xanzn
0converge, alors Xanznconverge absolument pour tout z∈Ctel que |z|<|z0|.
démo :Le fait que Xanzn
0converge implique que la suite (anzn
0) converge vers 0 donc est bornée.
Définition 1 : Soit Xanznune série entière. Il existe un unique réel Rtel que,
• Si |z|<Ralors X
nÊ0
anznconverge (absolument),
• Si |z|>Ralors X
nÊ0
anzndiverge (grossièrement).
On appelle Rle rayon de convergence de la série entière.
démo :âExistence : on pose E={ρ∈R+/ (anρn) est bornée}.
Si cet ensemble n’est pas majoré, on pose R=+∞ et on prouve que la série Xanznconverge pour tout z∈C.
Si cet ensemble est majoré, c’est une partie non vide majorée de Rdonc elle admet une borne supérieure R.
On prouve alors le résultat énoncé.
âUnicité : Si R1et R2vérifient les conditions énoncées avec R16=R2, on prend ρ∈]R1,R2[ pour trouver une contradiction.
0
R
Remarque
a. On a défini Rpar R=sup{ρ∈R+/ (anρn) est bornée} (borne
supérieure dans R).
b. À l’intérieur du disque de convergence, la série converge
absolument. À l’extérieur la série diverge grossièrement.
Pour |z| = R, on ne peut rien dire de général, cela dépend de la
série étudiée.
Exemple 1
a. La série X
nÊ0
zna pour rayon de convergence 1. C’est aussi le cas de la série entière X
nÊ0
z2n
b. La série X
nÊ0
zn
n+1a pour rayon de convergence 1 : utiliser le critère de D’Alembert pour le montrer.
c. La série X
nÊ0
zn
2na pour rayon de convergence 2.
d. La série X
nÊ0
zn
n!a pour rayon de convergence +∞.
Magali Hillairet 1Lycée Franklin, Orléans

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Remarque 1 : Pour chercher le rayon de convergence d’une série Xanzn:
ÙOn peut remarquer que c’est le même rayon pour X|an|zn.
ÙSi ∃z0∈C∗tel que Xanzn
0CV alors RÊ|z0|.
O
z0
ÙSi ∃z0∈C∗tel que Xanzn
0DV alors RÉ|z0|.
O
z0
Comparaison des rayons de deux séries
Proposition 3
Soit Xanznet Xbnzndeux séries entières. Soit Raet Rbleurs rayons respectifs.
• Si ∀n∈N,|an|É|bn|alors RbÉRa.
• Si |an|∼|bn|alors Ra=Rb.
démo
3. Opération sur les séries entières
Proposition 4 Produit par un scalaire
Soit Xanznune série entière. Soit λ∈Cou R.
Les séries entières Xanznet Xλanznont le même rayon de convergence, et dans le disque de conver-
gence, on a +∞
X
n=0
λanzn=λ+∞
X
n=0
anzn.
Proposition 5 Somme
Soit Xanznet Xbnzndeux séries entières. Soit Raet Rbleurs rayons respectifs.
On note enfin Rle rayon de la série entière X(an+bn)zn.
Alors on a RÊmin(Ra,Rb) et si Ra6=Rbalors R=min(Ra,Rb).
Et pour tout z∈Ctel que |z|< min(Ra,Rb), on a +∞
X
n=0
(an+bn)zn=+∞
X
n=0
anzn++∞
X
n=0
bnzn.
Proposition 6 Produit de Cauchy
Soit Xanznet Xbnzndeux séries entières. Soit Raet Rbleurs rayons respectifs.
On pose pour tout n∈N,cn=
n
X
k=0
akbn−k.
Le rayon Rde la série entière Xcnznvérifie RÊmin(Ra,Rb).
Pour tout z∈Ctel que |z| <mi n(Ra,Rb), on a +∞
X
n=0
cnzn=(+∞
X
n=0
anzn)(+∞
X
n=0
bnzn).
Magali Hillairet 2Lycée Franklin, Orléans

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Proposition 7
Soit Xanznune série entière de rayon R.
• Les séries Xanzn+1et X
nÊ1
anzn−1ont pour rayon R.
• Les séries Xnanznet Xan
n+1znont pour rayon R.
démo âFixons z∈Cet considérons vn=|anzn+1|. On a vn=|z||anzn|
| {z }
un
.
On peut donc affirmer, grâce aux résultats sur les séries que Xvnconverge si et seulement si Xunconverge.
Cela permet de conclure que les séries entières ont le même rayon de convergence car les séries numériques à zfixé con-
vergent ou divergent pour les mêmes z.
Le raisonnement est le même avec wn=anzn−1en remarquant que pour tout z∈C∗,wn=1
|z|un.
âNotons R0le rayon de la série entière Xnanzn.
On remarque d’abord que ∀n∈N,|an|É|nan|, donc R0ÉR.
Il reste à prouver que RÉR0. Pour cela prenons ρ∈R∗
+et z∈Ctel que |z|<ρ<R(cela n’est possible que pour R6=0 mais
dans ce cas, on a fini !).
On écrit, pour tout n∈N,|nanzn|=nµ|z|
ρ¶n
anρn.
Puisque 0 É|z|
ρ<1, on sait que µnµ|z| ρ¶n¶n∈N
est bornée, par un réel Mpositif. C’est un résultat de croissance comparée :
lim
n→+∞
n
an=0si a >1donc lim
n→+∞nbn=0pour 0<b<1.
Donc ∀n∈N,|nanzn|É M anρn. Or Xanρnconverge car ρ<R. Donc Xnanznconverge absolument.
Ainsi, ∀z∈C,|z|<R=⇒ Pnanznconverge absolument. Cela prouve que RÉR0.
II. SOMME D’UNE SÉRIE ENTIÈRE D’UNE VARIABLE RÉELLE
1. Cadre réel
On considère (an) une suite de réels ou de complexes.
On s’intéresse à la série entière Xanxnpour x∈R.
On note Rle rayon de convergence de la série entière. ] −R,R[ est l’intervalle de convergence.
On appelle (fonction) somme de la série entière l’application définie, sur ]−R,R[, par S:x7→ +∞
X
n=0
anxn. C’est
une fonction à valeurs dans Rou C(suivant que la suite (an) est dans RNou CN).
Exemple 2
a. La série entière Xxna pour rayon de convergence 1. La fonction somme associée est
S: ]−1,1[ →R
x7→ +∞
X
n=0
xn
. On peut montrer que ∀x∈]−1,1[, S(x)=1
1−x.
b. Soit θ∈Rfixé. La série entière Xeinθxna pour rayon de convergence 1. La fonction somme associée est
S: ]−1,1[ →C
x7→ +∞
X
n=0
einθxn
. On peut montrer que ∀x∈]−1,1[, S(x)=1
1−eiθx.
c. La série entière X(−1)x2na pour rayon de convergence 1. La fonction somme associée est
S: ]−1,1[ →R
x7→ +∞
X
n=0
(−1)nx2n
. On peut montrer que ∀x∈]−1,1[, S(x)=1
1+x2.
d. La série entière Xnxna pour rayon de convergence 1. La fonction somme associée est
S: ]−1,1[ →R
x7→ +∞
X
n=0
nxn
. Peut-on donner une expression simple de S(x) pour x∈]−1,1[ ?
Magali Hillairet 3Lycée Franklin, Orléans

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2. Continuité
Soit une série entière Xanxnde rayon de convergence R.
Proposition 8 (Admis)
La fonction somme S:x7→ +∞
X
n=0
anxnest continue sur ]−R,R[.
Remarque 2 :
Le résultat suivant et hors programme mais il répond à une question naturelle : que dire en Ret −R?
Si la série XanRn(resp. Xan(−R)n) est convergente, alors la fonction somme est prolongeable par continuité
en R (resp. en −R).
3. Dérivation
Proposition 9 (Admis)
Soit une série entière Xanxnde rayon de convergence R.
La série X
nÊ1
nanxn−1admet pour rayon R.
La fonction somme Sest dérivable sur ]−R,R[ et ∀x∈]−R,R[, S0(x)=+∞
X
n=1
nanxn−1.
On déduit de ce premier théorème :
Proposition 10
Soit une série entière Xanxnde rayon de convergence R.
Sa fonction somme Sest de classe C∞sur ]−R,R[ et
∀k∈N,ak=S(k)(0)
k!.
démo :on démontre par récurrence sur kque fest de classe Ckpour tout k∈N,
et que ∀x∈]−R,R[, S(k)(x)=+∞
X
n=k
n(n−1)...(n−k+1)anxn−k.
Exemple 3
S:x7→ +∞
X
n=0
xnest définie sur ]−1,1[.
âSest dérivable sur cet intervalle et ∀x∈]−1,1[, S0(x)=+∞
X
n=1
nxn−1.
On sait de plus que sur ]−1,1[, Scoincide avec la fonction x7→ 1
1−x. Les dérivées de ces deux fonctions sont
égales sur ]−1,1[, donc ∀x∈]−1,1[, +∞
X
n=1
nxn−1=1
(1−x)2.
âSest de classe C∞. Dérivez encore une fois pour obtenir une expression simple de +∞
X
n=0
n(n−1)xn, valable
pour tout x∈]−1,1[.
âUtiliser ce qui précède pour donner une expression simple de la somme de la série entière X
nÊ0
n(n+2)xn
(en précisant son rayon de convergence et donc sur quel intervalle la somme est définie).
Magali Hillairet 4Lycée Franklin, Orléans

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4. Intégration
Proposition 11 (Admis)
Soit une série entière Xanxnde rayon de convergence R.
La série entière Xan
n+1xn+1admet pour rayon R.
La fonction F:x7→ +∞
X
n=0
an
n+1xn+1est la primitive de Ssur ]−R,R[ qui s’annule en 0.
Exemple 4
• Le rayon de convergence de la série Xxnest 1.
La fonction S:x7→ +∞
X
n=0
xnest continue sur ]−1,1[.
On peut donc affirmer que Xxn+1
n+1admet un rayon de convergence égal à 1 et que Sadmet pour primi-
tive sur ]−1,1[ la fonction F:x7→ +∞
X
n=0
xn+1
n+1.
Fest l’unique primitive de Ss’annulant en 0. Or Scoincide avec la fonction x7→ 1
1−xsur ] −1,1[ et
x7→−ln(1−x) en est une primitive s’annulant en 0. Par unicité de la primitive s’annulant en 0 pour cette
fonction, on conclut que ∀x∈]−1,1[, +∞
X
n=0
xn+1
n+1=−ln(1−x) .
• Par un raisonnement similaire, montrer que X(−1)n
n+1xn+1admet un rayon de convergence égal à 1 et que
∀x∈]−1,1[, +∞
X
n=0
(−1)n
n+1xn+1=ln(1+x).
• Montrer que la série entière X(−1)n
2n+1x2n+1admet un rayon de convergence égal à 1 et que ∀x∈]−
1,1[, +∞
X
n=0
(−1)n
2n+1x2n+1=arctan(x).
III. FONCTIONS DÉVELOPPABLES EN SÉRIES ENTIÈRES AUTOUR DE 0
1. Définition
Définition 2 : Soit f:I→Koù Iest un intervalle ouvert de Rcontenant 0.
On dit que fest développable en série entière autour de 0 s’il existe une série entière Xanxnde rayon de conver-
gence R6=0 et un réel r∈]0,R[ tels que ∀x∈]−r,r[, f(x)=+∞
X
n=0
anxn.
Aurement dit, fest DSE(0) s’il existe un voisinage de 0 sur lequel fcoincide avec une somme de série entière.
Exemple :
•f:x7→ 1
1−xest DSE autour de 0 car ∀x∈]−1,1[, f(x)=+∞
X
n=0
xn.
•f:x7→ln(1 +x) est DSE autour de 0 car ∀x∈]−1,1[, f(x)=+∞
X
n=0
(−1)n
n+1xn+1.
•f:x7→ 1
1+x2est DSE autour de 0 car ∀x∈]−1,1[, 1 1+x2=+∞
X
n=0
(−1)nx2n.
•f:x7→arctanxest DSE autour de 0 car ∀x∈]−1,1[, arctanx=+∞
X
n=0
(−1)n
2n+1x2n+1.
Magali Hillairet 5Lycée Franklin, Orléans