Spectroscopie par Transformée de Fourier

23 Novembre 2012
Examen Optique de Fourier – 2h
Arnaud Dubois
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ordinateur non autorisé.
Réponses en anglais autorisées.
-----------------L’approximation de Fresnel sera supposée toujours valable.
Problème 1 – Filtrage optique
On considère le système optique représenté schématiquement sur la Figure 1.
Figure 1
Les 2 lentilles sont identiques (focale f = 20 cm). Elles sont supposées minces, sans pupille
limitant le faisceau, et ne présentent aucune aberration.
Un diaphragme de forme rectangulaire, de largeur a (selon x) et hauteur b (selon y) est placé
dans le plan 1, centré sur l’axe optique.
Questions préliminaires
0.1
Où se trouve l’image, donnée par le système optique complet, du plan 0 (à
justifier) ?
Foyer - > infini -> Foyer. Donc l’image est le plan 2
1
0.2
Quel est le grandissement du système optique complet (à justifier) ?
grandissement = -1 ; démonstration géométrique (ou éventuellement deux fois la TF de
f(x,y) donne f(-x,-y))
0.3
Quel est le nom usuel du plan 1, pourquoi (justification non demandée) ?
Extrait du cours : “L’amplitude complexe d’une onde monochromatique au point (x, y) dans le plan focal
arrière d’une lentille convergente de focale f est proportionelle à la TF de l’amplitude complexe de l’onde
dans le plan focal avant, calculée aux fréquences spatiales  x  x /  f et  y  y /  f . Cette relation est
valide dans l’approximation de Fresnel. Le plan focal arrière de la lentille est appelé plan de Fourier.”
----1.
Une source de lumière monochromatique, de longueur d’onde , supposée ponctuelle,
est placée au point F1 dans le plan 0.
1.1
Donner l’expression de l’amplitude complexe U(x,y) de la lumière dans le plan 2.
L’ouverture dans le plan 1 est éclairée par une onde plane
Amplitude dans plan 1 :
( )
( )
Amplitude dans plan 2 :
(
)
(
) (idem question 0.3,
résultats du cours)
1.2
Tracer l’allure de la distribution d’intensité I(x,0) dans le plan 2
|
|
(
)
1.3
Calculer la largeur de la fonction I(x,0) définie comme la distance entre le centre de
I(x,0) et son premier zéro. On prendra a = 1 mm et  = 0.6 µm.
largeur = = 120 µm
----2.
Un objet, placé dans le plan 0, est éclairé par une onde plane d’amplitude unité. La
longueur d’onde est  = 0.6 µm. La transmittance de l’objet, en amplitude, est
[
2.1
(
)], avec p = 10 µm.
Quelle est l’amplitude complexe de la lumière dans le plan 1 avant le diaphragme ?
̃(
{
[ (
2
)
)
(
)]}
( )
Avec
2.2
Que peut-on voir sur un écran placé dans le plan 1 devant le diaphragme (on
supposera que la résolution de l’oeil n’est pas un facteur limitant) ?
3 taches sur l’axe 0x. La tache centrale est 4 fois plus intense que les taches latérales. Les
taches latérales sont séparées d’une distance
.
2.3
Quelle est la distribution d’intensité dans le plan 2, quand a = 3 cm et b = 1 cm ?
|
Les 3 fréquences sont transmises.
2.4
|
Quelle est la distribution d’intensité dans le plan 2, quand a = 1 cm et b = 3 cm ?
Seule la fréquence centrale est transmise.
2.5
Quelle est la distribution d’intensité dans le plan 2, quand a = 3 cm, b = 1 cm,
lorsque le diaphragme est décentré de 0,5 cm selon x et selon y ?
Le bord du diaphragme est sur la ligne des 3 pics. Deux réponses sont envisageables :
- Aucune lumière ne passe
- La lumière passe : un des ordres (+1 ou -1) est coupé :
( {
[ (
|
)]}
( ))
|
----3.
L’objet placé dans le plan 0 est maintenant supposé être une mire créneaux infinie.
Cette mire est constituée d’une succession de fentes parallèles, disposées de manière
périodique (période p0) de longueur infinie (direction y) et de largeur p0/2 (direction x)
orientées selon la direction y. La transmittance de cette mire est représentée sur la figure 2
(seulement 3 fentes sont représentées ici). Cet objet est toujours éclairé par une onde plane
d’amplitude unité. La longueur d’onde est  = 0.6 µm. Les dimensions du diaphragme
rectangulaire placé dans le plan 1 (et de nouveau centré) sont a = 1 cm et b = 3cm.
1
…
…
0
x
p0
Figure 2
3
3.1
Calculer l’amplitude complexe de la lumière dans le plan 1 avant le diaphragme.
(
[
) ∑
∑
]
( ) avec
3.2
Quelle est la valeur minimale du paramètre p0 pour laquelle l’image dans le plan 2
présente une structure périodique ?
Il faut qu’au moins les ordres de diffraction ±1 soient transmis, i.e. la distance entre les
ordres ±1 soit inférieure à “a”, i.e.
----4.1
Quelle est la fonction de transfert en amplitude du système entre les plans 0 et 2 ?

FTamplitude  x , y   rect  x  f
a


'   rect  y  f

 b

'

4.2
On place dans le plan 2 un capteur CCD matriciel, dont les pixels sont carrés de
largeur apix. Les pixels sont supposés être parfaitement jointifs, de facteur de remplissage égal
à 100%.
Quelle(s) condition(s) doit vérifier apix pour que l’acquisition de l’image par le capteur CCD
respecte le critère d’échantillonnage de Shannon ? On prendra  = 0,6 µm, a = 1 cm et
b = 3cm.
~ ~
~
~
donc I 2  U2  U2 . Le support de U 2 étant un rectangle de côté
~
a/f’ et b/f’, d’après la question précédente, I 2 est susceptible d’avoir des fréquences
jusqu’à a/f’ et b/f’. Il faut donc échantillonner avec un pas plus fin que f’/2a en x et
f’/2b en y. Comme a<b, on obtient : apix<f’/2b.
A.N. : apix<2µm
Dans le plan 2 : I 2  U 2
2
----5.
On considère maintenant le système d’imagerie dans le cadre d’un éclairage
spatialement incohérent de l’objet placé en 0.
5.1
Quelle est la fonction de transfert incohérente (en intensité) du système entre les plans
0 et 2 ?
4
La fonction de transfert en intensité est proportionnelle à l’auto-corrélation de la fonction de
transfert en amplitude. L’autocorrélation d’un rectangle de support [-1/2 ; 1/2] étant un
triangle de support [-1 ; 1], on a :




FTint ensité  x , y   tri  x  f '   tri  y  f '  avec tri la fonction triangle de support [-1,1].
a

 b

5.2
On place à nouveau dans le plan 2 un capteur CCD matriciel, dont les pixels sont
carrés de largeur apix. Les pixels sont supposés parfaitement jointifs de facteur de remplissage
égal à 100%.
Quelle(s) condition(s) doit vérifier apix pour que l’acquisition de l’image par le capteur CCD
respecte le critère d’échantillonnage de Shannon ? On prendra apix = 14 µm,  = 0,6 µm,
a = 1 cm et b = 3 cm.
D’après la question précédente, le support de la FTintensité est [-a/f’ ; a/f’] [-b/f’ ; b/f’],
identique au cas de l’imagerie cohérente. On a donc : apix<f’/2a.
A.N. : apix<6µm
5
Problème 2 – Cohérence temporelle
La lumière émise par une diode électroluminescente (LED) est supposée avoir un spectre
de forme Gaussienne de largeur totale à mi-hauteur
. La fréquence
centrale d’émission de la LED correspond à la longueur d’onde
.
1. Déterminer la largeur spectrale totale à mi-hauteur
en nanomètres.
2. Déterminer la longueur de cohérence temporelle
La LED est utilisée comme source de lumière dans un interféromètre de Michelson réglé en
lame d’air à faces parallèles.
3. Donner l’expression de l’interférogramme
, représentant la différence de marche
dans l’interféromètre. Tracer l’allure de la function
  2   2 2 
 
I    1  exp 
   cos  2 
2
 
 4ln 2 c

4. Sur quel domaine de différence de marche, le contraste des interférences est-il
supérieur à 0,5 ?
  2   2 2 
contraste  exp 
 
2
 4 ln 2 c

2ln 2 c
2ln 2 c
 
contraste > 0.5 pour 
soit 2.6m    2.6m
 
 
6